锐角三角函数(第一课时)课件ppt

对边与斜边的比 BC ，你能得出什
么结论？
AB
C
B
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是
等腰直角三角形，由勾股定理得
AB2 AC2 BC2 2BC2
AB 2BC
因此 BC BC 1 2
AB 2BC 2 2
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这 个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都 等于 2
（2）直角三角形中一个锐角的度数越大，它的 对边与斜边的比值越大
结论
如图，Rt△ABC中，直角边AC、BC小于斜边AB，
B
sin A BC AB
＜1
sin B AC ＜1 AB
A
C
所以0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1,
如果∠A ＜ ∠B,则BC＜AC ,
那么0＜ sinA ＜sinB ＜1
C
AB
在Rt△BCD中， sin B CD BC
A
D
B
因为∠B=∠ACD，所以
sin B sin ACD AD AC
请分别计算60度的锐角对边与斜边的比值 你能发现什么规律吗？
sin 45 2 2
sin 45 2 2

sin30 1
2
(1)直角三角形中，锐角大小确定后，这个角的 对边与斜边的比值随之确定；
意大利的伟大科学家C 伽俐 ．略，曾在斜塔的顶
层做过自由落体运动的实 验.
B
“斜而未倒” AB=54.5m BC=5.2m
α
A
情
问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井 房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，
境 对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成
探
角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需
B' B
50m 30m
A的对边 斜边

B'C' AB'

1, 2
A
C C'
AB'＝2B ' C ' ＝2×50＝100
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形
的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 1 2
A
如图，任意画一个Rt△ABC，使
∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的
小结 拓展 回味无穷
1.锐角三角函数定义:
B
sinA= ∠A的对边
斜边
斜边
A
1
Sin300 =
2
sin45°= 2
2
2.sinA是∠A的函数.
∠A的对边
┌ C
3.只有不断的思考,才会有新的发现;只有 量的变化,才会有质的进步.
在Rt△ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝900 (1)AB=13,AC=12,求sinA (2)BC=8,AC=15,求sinAsinB (3)AB=10,BC=8,求sinAsinB
正弦函数
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角
A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），B记
着sinA 即
sin
A

A的对边 斜边

a c
例如，当∠A＝30°时，
c 斜边
A
b
a 对边
C
我们有 sin A sin 30 1
2
在图中
当∠A＝45°时，我
∠A的对边记作a
们有
sin A sin 45 2 2
90°，∠A＝∠A'＝α，那么 关系．你能解释一下吗？
B
BC 与 B'C' 有什么
AB
A' B'
B'
A
C
A'
C'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
BC AB B'C' A' B'
BC B'C' AB A' B'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三 角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
因此
sin A BC 119
AB 12
sin B AC 5 AB 12
求sinA就是 要确定∠A的对
边与斜边的比； 求sinB就是要确 定∠B的对边与 斜边的比
练习 B 根据下图，求sinB的值．
解： （1）在Rt△ABC中，
m
AB BC2 AC2 m2 n2
A
n
C
） 1
B.缩小 100
D.不能确定
3.如图 A 300
B
1
3 则 sinA=___2___ .
C 7
练习 B 根据下图，求sinA和sinB的值．
解： （1）在Rt△ABC中，
3
AB AC2 BC2 52 32 34
A
5
C
因此 sin A BC 3 3 34 AB 34 34
sin B AC 5 5 34 AB 34 17
求sinA就是 要确定∠A的对
边与斜边的比； 求sinB就是要确 定∠B的对边与 斜边的比
练习
根据下图，求sinA和sinB的值． 解： （1）在Rt△ABC中，
B 12
BC AB2 AC2 122 52 119
A
5
C
2
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时， 1
∠A的对边与斜边的比都等于 2 ，是一个固定值；当∠A＝45° 时，∠A的对边与斜边的比都等于 2 ，也是一个固定值.
2
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的 对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝
因此
sin B AC AB
n m2 n2

n m2 n2 m2 n2
求sinA就是 要确定∠A的对
边与斜边的比； 求sinB就是要确 定∠B的对边与 斜边的比
练习
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，图中sinB可由 哪两条线段比求得。
解：在Rt△ABC中，sin B AC
∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
例题示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和
sinB的值． 解：（1）在Rt△ABC中， B
AB AC2 BC2 42 32 5
求sinA就是 要确定∠A的对
边与斜边的比； 求sinB就是要确 定∠B的对边与 斜边的比
因此 sin A BC 3
AB 5
sin B AC 4 AB 5
3AΒιβλιοθήκη 4C（2）在Rt△ABC中，
因此 sin A BC 5
B
AB 13
5
AC AB2 BC2 132 52 12
C
sin B AC 12 AB 13
13 A
练一练
1.判断对错:
1) 如图
BC
(1) sinA=
AB
（√ ）
要准备多长的水管？
B
究 分析：
A
C
这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A＝30°，BC＝35m，求AB
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边
的一半”，即
A的对边 斜边

BC AB

1 2
可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的 水管？
B
BC (2)sinB= AB
（ ×）
10m 6m
(3)sinA=0.6m （×） A
C
sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；
(4)SinB=0.8 （√ ）
2)如图，sinA=
BC（ ×）
AB
练一练
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍，sinA的值（ C A.扩大100倍 C.不变