2020届高考数学大二轮复习冲刺经典专题中难提分突破特训

中难提分突破特训(一)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2c －b a ＝cos Bcos A .(1)求角A 的大小；(2)若D 为BC 边上一点，且CD ＝2DB ，b ＝3，AD ＝21，求a . 解 (1)由已知，得(2c －b )cos A ＝a cos B ， 由正弦定理，得(2sin C －sin B )cos A ＝sin A cos B ， 整理，得2sin C cos A －sin B cos A ＝sin A cos B ， 即2sin C cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C .又sin C ≠0，所以cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)如图，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ，又CD ＝2DB ，∠BAC ＝π3，所以ED ＝13AC ＝1，∠DEA ＝2π3.由余弦定理可知，AD 2＝AE 2＋ED 2－2AE ·ED cos2π3， 解得AE ＝4，则AB ＝6. 又AC ＝3，∠BAC ＝π3，所以在△ABC 中，由余弦定理，得a ＝BC ＝3 3.2．2017年9月支付宝宣布在肯德基的KPRO 餐厅上线刷脸支付，也即用户可以不用手机，单单通过刷脸就可以完成支付宝支付，这也是刷脸支付在全球范围内的首次商用试点．某市随机抽查了每月用支付宝消费金额不超过3000元的男女顾客各300人，调查了他们的支付宝使用情况，得到如下频率分布直方图：若每月利用支付宝支付金额超过2千元的顾客被称为“支付宝达人”，利用支付宝支付金额不超过2千元的顾客称为“非支付宝达人”．(1)若抽取的“支付宝达人”中女性占120人，请根据条件完成上面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“支付宝达人”与性别有关；(2)支付宝公司为了进一步了解这600人的支付宝使用体验情况和建议，从“非支付宝达人”“支付宝达人”中用分层抽样的方法抽取8人．若需从这8人中随机选取2人进行问卷调查，求至少有1人是“支付宝达人”的概率．附：参考公式与参考数据如下K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.解 (1)由频率分布直方图得，“支付宝达人”共有600×(0.3＋0.2)×0.5＝150人，故“支付宝达人”中男性为150－120＝30人，2×2列联表如下：由表格数据，代入公式可得K 2＝－2150×450×300×300＝72>10.828.所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“支付宝达人”与性别有关． (2)由题意及分层抽样的特点可知，抽取的比例为8600＝175.所以抽取的8人中，“支付宝达人”有150×175＝2人，分别记为A ，B ；“非支付宝达人”有6人，分别记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，从这8人中随机选取2人，不同的取法有{A ，B }，{A ，a }，{A ，b }，{A ，c }，{A ，d }，{A ，e }，{A ，f }，{B ，a }，{B ，b }，{B ，c }，{B ，d }，{B ，e }，{B ，f }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{a ，e }，{a ，f }，{b ，c }，{b ，d }，{b ，e }，{b ，f }，{c ，d }，{c ，e }，{c ，f }，{d ，e }，{d ，f }，{e ，f }，共28种．其中至少有1人是“支付宝达人”的取法有{A ，B }，{A ，a }，{A ，b }，{A ，c }，{A ，d }，{A ，e }，{A ，f }，{B ，a }，{B ，b }，{B ，c }，{B ，d }，{B ，e }，{B ，f }，共13种．故所求事件的概率P ＝1328.3．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，E ，F 分别为AB ，B 1C 1的中点．(1)求证：B 1E ∥平面ACF ； (2)求三棱锥B 1－ACF 的体积．解 (1)证明：取AC 的中点M ，连接EM ，FM ，在△ABC 中，∵E ，M 分别为AB ，AC 的中点， ∴EM ∥BC 且EM ＝12BC ，又F 为B 1C 1的中点，B 1C 1∥BC ，∴B 1F ∥BC 且B 1F ＝12BC ，即EM ∥B 1F 且EM ＝B 1F ，故四边形EMFB 1为平行四边形，∴B 1E ∥FM ， 又MF ⊂平面ACF ，B 1E ⊄平面ACF ， ∴B 1E ∥平面ACF . (2)设O 为BC 的中点，∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ， 又AB ＝2，∴AO ＝ 3.在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，由面面垂直的性质定理可得AO ⊥平面BCC 1B 1，即三棱锥A －B 1CF 的高为3， ∴V 三棱锥B 1－ACF ＝V 三棱锥A －B 1CF ＝13×S △B 1CF ×AO ＝13×12×1×2×3＝33. 4.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α为参数)，直线C 2的普通方程为y ＝33x .以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解 (1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4，所以曲线C 1的极坐标方程为(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ－3)2＝4， 即ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0. 因为直线C 2过原点，且倾斜角为π6，所以直线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．(2)设点A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0，θ＝π6，得ρ2－(33＋3)ρ＋14＝0， 所以ρ1＋ρ2＝33＋3，ρ1ρ2＝14， 又ρ1>0，ρ2>0，所以1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA ||OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝33＋314.5．设f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤4； (2)若f (x )≥4，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x |＋2|x －1|，当x <0时，由2－3x ≤4，得－23≤x <0；当0≤x ≤1时，由2－x ≤4，得0≤x ≤1； 当x >1时，由3x －2≤4，得1<x ≤2.综上，不等式f (x )≤4的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，2. (2)f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x <0，2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x >a .可见，f (x )在(－∞，a ]上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． 当x ＝a 时，f (x )取得最小值a . 所以，a 的取值范围为[4，＋∞)．中难提分突破特训(二)1．已知具有相关关系的两个变量x ，y 的几组数据如下表所示：(1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并估计当x ＝20时，y 的值．参考公式：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^ x －.解 (1)散点图如图所示．(2)依题意，x －＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y －＝15×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，∑i ＝15x 2i ＝4＋16＋36＋64＋100＝220， ∑i ＝15x i y i ＝6＋24＋42＋80＋120＝272，b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝272－5×6×7.6220－5×62＝4440＝1.1， ∴a ^＝7.6－1.1×6＝1，∴线性回归方程为y ^＝1.1x ＋1，故当x ＝20时，y ^＝23.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2kn (k ∈N *)，S n 的最小值为－9. (1)确定k 的值，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n·a n ，求数列{b n }的前2n ＋1项和T 2n ＋1. 解 (1)由已知得S n ＝n 2－2kn ＝(n －k )2－k 2， 因为k ∈N *，当n ＝k 时，(S n )min ＝－k 2＝－9，故k ＝3.所以S n ＝n 2－6n .因为S n －1＝(n －1)2－6(n －1)(n ≥2)，所以a n ＝S n －S n －1＝(n 2－6n )－[(n －1)2－6(n －1)]， 得a n ＝2n －7(n ≥2)．当n ＝1时，S 1＝－5＝a 1，综上，a n ＝2n －7. (2)依题意，b n ＝(－1)n ·a n ＝(－1)n(2n －7)，所以T 2n ＋1＝5－3＋1＋1－3＋5＋…＋(－1)2n(4n －7)＋(－1)2n ＋1·[2(2n ＋1)－7]＝5－＝5－2n .3．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BCD ＝60°，AC 与BD 交于点O .以BD 为折痕，将△ABD 折起，使点A 到达点A 1的位置．(1)若A 1C ＝6，求证：平面A 1BD ⊥平面ABCD ； (2)若A 1C ＝22，求三棱锥A 1－BCD 的体积．解 (1)证明：因为∠BCD ＝60°，四边形ABCD 为菱形，所以△BCD 为正三角形，BD ⊥OA ，BD ⊥OA 1，OC ＝OA ＝OA 1＝3，因为OC 2＋OA 21＝6＝A 1C 2，所以OA 1⊥OC ， 所以OA 1⊥平面ABCD ，OA 1⊂平面A 1BD ， 所以，平面A 1BD ⊥平面ABCD .(2)由于BD ⊥OC ，BD ⊥OA 1，所以BD ⊥平面A 1OC ， 在△A 1OC 中，OA 1＝OC ＝3，A 1C ＝22， 所以，S △A 1OC ＝12×22×32－22＝2， V 三棱锥A 1－BCD ＝13×S △A 1OC ×BD ＝13×2×2＝223.4．在直角坐标系xOy中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ－2cos θ＝0.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1上有一动点M ，曲线C 2上有一动点N ，求|MN |的最小值． 解 (1)由ρ－2cos θ＝0，得ρ2－2ρcos θ＝0. ∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，∴x 2＋y 2－2x ＝0， 即曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)由(1)可知，圆C 2的圆心为C 2(1,0)，半径为1. 设曲线C 1上的动点M (3cos θ，2sin θ)， 由动点N 在圆C 2上可得|MN |min ＝|MC 2|min －1. ∵|MC 2|＝θ－2＋4sin 2θ＝5cos 2θ－6cos θ＋5，∴当cos θ＝35时，|MC 2|min ＝455，∴|MN |min ＝|MC 2|min －1＝455－1.5．已知不等式|2x －3|<x 与不等式x 2－mx ＋n <0(m ，n ∈R )的解集相同且非空． (1)求m －n ；(2)若a ，b ，c ∈(0,1)，且ab ＋bc ＋ac ＝m －n ，求a 2＋b 2＋c 2的最小值． 解 (1)当x ≤0时，不等式|2x －3|<x 的解集为空集，不符合题意； 当x >0时，|2x －3|<x ⇒－x <2x －3<x ⇒1<x <3， ∴1,3是方程x 2－mx ＋n ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＋n ＝0，9－3m ＋n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝3，∴m －n ＝1.(2)由(1)得ab ＋bc ＋ac ＝1， ∵a 2＋b 22≥ab ，b 2＋c 22≥bc ，a 2＋c 22≥ac ，∴a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22≥ab ＋bc ＋ac ＝1⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号. ∴a 2＋b 2＋c 2的最小值是1.中难提分突破特训(三)1．绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：[0,20)，[20,40)，…，[100,120]，得到如图所示的频率分布直方图：(1)请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”．填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？参考公式和数据：K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d，n＝a＋b＋c＋d.临界值表：解 (1)x －＝(10×0.005＋30×0.0075＋50×0.010＋70×0.0125＋90×0.010＋110×0.005)×20＝62.估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元． (2)列联表如下：K 2＝－250×50×30×70≈4.762>3.841，因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系．2．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)锐角△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，直线x ＝A 是函数f (x )图象的一条对称轴，AD ＝2BD ＝2，求边a .解 (1)∵f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴f (x )＝2sin x sin x ·12＋2sin x cos x ·32＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z .(2)∵x ＝A 是函数f (x )图象的一条对称轴， ∴2A －π6＝π2＋k π，k ∈Z .∴A ＝π3＋k π2，k ∈Z .又△ABC 是锐角三角形，∴A ＝π3.在△ABD 中，∠BAD ＝π6，BD ＝2，AD ＝2，由正弦定理，得212＝2sin B ，∴sin B ＝22.∴B ＝π4. ∴C ＝π－π3－π4＝5π12.∠CDA ＝π4＋π6＝5π12.∴AC ＝AD ＝2.在△ABC 中，由正弦定理， 得BCsin60°＝2sin45°，∴BC ＝a ＝ 6.3. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，PA ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝3MC ，O ，N ，Q 分别为BD，AD ，PA 的中点．(1)求证：OQ ∥平面PBC ；(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P －NBM 的体积． 解(1)证明：如图，连接AC ，则AC 与BD 交于点O ，易知OQ 为△APC 的中位线，所以OQ ∥PC ，又OQ ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以OQ ∥平面PBC . (2)因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PA ＝PD ，N 为AD 的中点，所以PN ⊥AD ，所以PN ⊥平面ABCD ，所以PN ⊥NB .又四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，PA ＝PD ＝AD ＝2，所以PN ＝NB ＝3， 所以S △PNB ＝12×3×3＝32，又BN ⊥AD ，PN ⊥AD ，BN ∩PN ＝N ，所以AD ⊥平面PNB ，AD ∥BC ， 所以BC ⊥平面PNB ，又PM ＝3MC ，所以V 三棱锥P －NBM ＝V 三棱锥M －PBN ＝ 34V 三棱锥C －PBN ＝34×13×2×32＝34， 即三棱锥P －NBM 的体积为34.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ＝π6(ρ∈R )，θ＝2π3(ρ∈R )，设直线l 1，l 2与曲线C 的交点为O ，M ，N ，求△OMN 的面积．解 (1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)，得普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－4ρsin θ＝0， 即ρ＝4sin θ.(2)不妨设直线l 1：θ＝π6(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ，M ，则ρM ＝|OM |＝4sin π6＝2，又直线l 2：θ＝2π3(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ，N ，则ρN ＝|ON |＝4sin 2π3＝2 3.又∠MON ＝π2，所以S △OMN ＝12|OM |·|ON |＝12×2×23＝2 3.5．已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式：f (x )<4－|x －1|；(2)已知m >0，n >0，m ＋n ＝1，若对任意的x ∈R ，m >0，n >0，不等式|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a >0)恒成立，求正数a 的取值范围．解 (1)由题意得不等式为|3x ＋2|＋|x －1|<4.①当x ≥1时，原不等式化为4x ＋1<4，解得x <34，不符合题意；②当－23<x <1时，原不等式化为2x ＋3<4，解得x <12，∴－23<x <12；③当x ≤－23时，原不等式化为－4x －1<4，解得x >－54，∴－54<x ≤－23.综上可得－54<x <12，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，12. (2)∵m >0，n >0，m ＋n ＝1， ∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋m n ≥2＋2n m ·mn ＝4.当且仅当m n ＝n m 且m ＋n ＝1，m >0，n >0，即m ＝n ＝12时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n min ＝4. 由题意得|x －a |－|3x ＋2|≤4(a >0)恒成立，①当x ≥a 时，可得x －a －3x －2≤4恒成立，即－a ≤2x ＋6恒成立， ∴－a ≤(2x ＋6)min ＝2a ＋6， 由a >0，可得上式显然成立；②当－23<x <a 时，可得a －x －3x －2≤4恒成立，即a ≤4x ＋6恒成立，∵4x ＋6>103，∴a ≤103；③当x ≤－23时，可得a －x ＋3x ＋2≤4恒成立，即a ≤2－2x 恒成立， ∴a ≤(2－2x )min ＝103.综上可得0<a ≤103，∴正数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，103.中难提分突破特训(四)1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝b 2sin A . (1)求c b的值；(2)设内角A 的平分线AD 交BC 于D ，AD ＝233，a ＝3，求b .解 (1)由S ＝12bc sin A ＝b 2sin A ，可知c ＝2b ，即c b ＝2.(2)由角平分线定理可知，BD ＝233，CD ＝33，在△ABC 中，cos B ＝4b 2＋3－b22·2b ·3，在△ABD 中，cos B ＝4b 2＋43－432·2b ·233， 即4b 2＋3－b22·2b ·3＝4b 2＋43－432·2b ·233，解得b ＝1.2．现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率(sEMG)等指标．(1)10名实验对象实验前、后握力(单位：N)测试结果如下：实验前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376 实验后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361完成下列茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N?(2)实验过程中测得时间t (分)与10名实验对象前臂表面肌电频率(sEMG)的中位数y (Hz)的9组对应数据(t ，y )为(0,87)，(20,84)，(40,86)，(60,79)，(80,78)，(100,78)，(120,76)，(140,77)，(160,75)．建立y 关于时间t 的线性回归方程；(3)若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据(2)中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：∑9i ＝1(t i －t )(y i －y －)＝－1800； 参考公式：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑ni ＝1 t i －t y i －y －∑ni ＝1t i －t 2，a ^＝y －－b ^t . 解 (1)根据题意得到茎叶图如下图所示，由图中数据可得x －1＝110×(346＋357＋358＋360＋362＋362＋364＋372＋373＋376)＝363，x －2＝110×(313＋321＋322＋324＋330＋332＋334＋343＋350＋361)＝333，∴x －1－x －2＝363－333＝30(N)， ∴故实验前后握力的平均值下降了30 N.(2)由题意得t ＝19×(0＋20＋40＋60＋80＋100＋120＋140＋160)＝80，y －＝19×(87＋84＋86＋79＋78＋78＋76＋77＋75)＝80，∑9i ＝1(t i －t )2＝(0－80)2＋(20－80)2＋(40－80)2＋(60－80)2＋(80－80)2＋(100－80)2＋(120－80)2＋(140－80)2＋(160－80)2＝24000，又∑9i ＝1(t i －t )(y i －y －)＝－1800， ∴b ^＝∑9i ＝1t i －t y i －y －∑9i ＝1t i －t 2＝－180024000＝－0.075， ∴a ^＝y －－b ^t ＝80－(－0.075)×80＝86，∴y 关于时间t 的线性回归方程为y ^＝－0.075t ＋86.(3)9组数据中40分钟到60分钟y 的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了．3．如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CD ∥AB ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AA 1＝2CD ＝2，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，点M 是AB 1的中点．(1)证明：CM ∥平面ADD 1A 1；(2)求点M到平面ADD1A1的距离．4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝21－cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)设M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，求|M 1M 2|的最小值． 解 (1)∵ρ＝21－cos θ，∴ρ－ρcos θ＝2，即ρ＝ρcos θ＋2.∵x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＝(x ＋2)2， 化简得y 2－4x －4＝0.∴曲线C 2的直角坐标方程为y 2－4x －4＝0. (2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2，∴2x ＋y ＋4＝0.∴曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＋4＝0， 表示直线2x ＋y ＋4＝0.∵M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，∴|M 1M 2|的最小值等于点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的最小值． 不妨设M 2(r 2－1,2r )，点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离为d ，则d ＝2|r 2＋r ＋1|5＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋122＋345≥325＝3510，中难提分突破特训(五)1．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n ，b n ＝a nn. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解 (1)由a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n ，得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n， 又b n ＝a n n ，∴b n ＋1－b n ＝12n ，由a 1＝1，得b 1＝1，累加可得(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝121＋122＋…＋12n －1，即b n －b 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12＝1－12n －1， ∴b n ＝2－12n －1.(2)由(1)可知a n ＝2n －n 2n －1，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n －1的前n 项和为T n ，则T n ＝120＋221＋322＋…＋n2n －1， ①12T n ＝121＋222＋323＋…＋n2n ， ② ①－②，得12T n ＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n 2n＝1－12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n ，∴T n ＝4－n ＋22n －1.易知数列{2n }的前n 项和为n (n ＋1)， ∴S n ＝n (n ＋1)－4＋n ＋22n －1.2．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都是2，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点．(1)求证：AE ⊥平面A 1BD ； (2)求三棱锥B 1－A 1BD 的体积．解 (1)证明：因为AB ＝BC ＝CA ，D 是AC 的中点，所以BD ⊥AC .因为在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，所以平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，又平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，所以BD ⊥平面AA 1C 1C ， 又AE ⊂平面AA 1C 1C ，所以BD ⊥AE .在正方形AA 1C 1C 中，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点，易证得A 1D ⊥AE ， 又A 1D ∩BD ＝D ，A 1D ⊂平面A 1BD ，BD ⊂平面A 1BD ，所以AE ⊥平面A 1BD .(2)如图，连接AB 1交A 1B 于点O ，则O 为AB 1的中点，所以点B 1到平面A 1BD 的距离等于点A 到平面A 1BD 的距离，易知BD ＝3，所以V 三棱锥B 1－A 1BD ＝V 三棱锥A －A 1BD ＝V 三棱锥B －AA 1D ＝13×S △AA 1D ×BD ＝13×12×2×1×3＝33， 所以三棱锥B 1－A 1BD 的体积为33. 3．党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一．为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100]的为优等品；指标在区间[60,80)的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：(1)在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层抽样方式，随机抽出5件产品，①求这5件产品中，优等品和合格品各多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；(2)所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元．甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元．用样本估计总体，比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶贫村脱贫？解(1)①由频数分布表知：甲的优等品率为0.6，合格品率为0.4，所以抽出的5件产品中，优等品3件，合格品2件．②记3件优等品为A，B，C,2件合格品分别为a，b，从中随机抽2件，抽取方式有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种，设“这2件中恰有1件是优等品”为事件M，则事件M发生的情况有6种，所以P (M )＝610＝35.(2)根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有60件优等品，40件合格品；乙种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品．设甲种生产方式每生产100件所获得的利润为T 1元， 乙种生产方式每生产100件所获得的利润为T 2元， 可得T 1＝60×(55－15)＋40×(25－15)＝2800(元)，T 2＝80×(55－20)＋20×(25－20)＝2900(元)，由于T 1<T 2，所以用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的利润较高，该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫村脱贫较好．4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ(ρ≥0,0≤θ<π)．(1)写出曲线C 1的极坐标方程，并求C 1与C 2交点的极坐标； (2)射线θ＝β⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤β≤π3与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (A ，B 异于原点)，求|OA ||OB |的取值范围．解 (1)由题意可得曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，联立C 1，C 2的极坐标方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θ，ρcos 2θ＝sin θ，得4sin θcos 2θ＝sin θ， 此时0≤θ<π，①当sin θ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0,0)；②当sin θ≠0时，cos 2θ＝14，当cos θ＝12时，θ＝π3，ρ＝23，得交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3，当cos θ＝－12时，θ＝2π3，ρ＝23，得交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，2π3，所以C 1与C 2交点的极坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫23，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2π3. (2)将θ＝β代入C 1的极坐标方程，得ρ1＝4sin β， 代入C 2的极坐标方程，得ρ2＝sin βcos 2β，∴|OA ||OB |＝4sin βsin βcos 2β＝4cos 2β， ∵π6≤β≤π3，∴1≤4cos 2β≤3， ∴|OA ||OB |的取值范围为[1,3]． 5．已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|，g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |. (1)求f (x )≥1的解集；(2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )．求a 的取值范围． 解 (1)∵函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|， ∴f (x )≥1，等价于|2x ＋1|－|2x －3|≥1， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－2x －1－－2x①或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，2x ＋1－－2x ②或⎩⎪⎨⎪⎧x >32，2x ＋1－x－③①无解，解②得34≤x ≤32，解③得x >32，综上可得，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥34. (2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )， 可得g (x )min ≥f (x )max .∵函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|≤|2x ＋1－(2x －3)|＝4， ∴f (x )max ＝4.∵g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |≥|x ＋1－(x －a )|＝|a ＋1|，故g(x)min＝|a＋1|，∴|a＋1|≥4，∴a＋1≥4或a＋1≤－4，解得a≥3或a≤－5，故a的取值范围为{a|a≥3或a≤－5}．中难提分突破特训(六)1．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点，连接CG，EF，BG.(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D－BCG的体积．解(1)证明：∵AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC，∵G为AD的中点，∴AD⊥CG，BG⊥AD，CG∩BG＝G，∴AD⊥平面BCG，∵E，F分别为AC，DC的中点，∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG1.(2)过E作EO⊥BC于点O，连接GE，∵△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直， ∴OE ⊥平面BCD ，∵EG ∥CD ， ∴EG ∥平面BCD ，∴G 到平面BCD 的距离即为OE ，易得OE ＝32， ∴V 三棱锥D －BCG ＝V 三棱锥G －BCD ＝13×S △BCD ×OE＝13×12×2×2×sin120°×32＝12. 2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且3(b 2＋c 2－a 2)＝4S .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，当b ＋2c 取得最大值时，求cos B . 解 (1)由已知3(b 2＋c 2－a 2)＝4S ＝2bc sin A ， 由余弦定理得23bc cos A ＝2bc sin A ，所以tan A ＝3， 因为A ∈(0，π)，故A ＝π3.(2)由正弦定理得3sinπ3＝b sin B ＝csin C ，即b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，因此b ＋2c ＝2sin B ＋4sin C ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝4sin B ＋23cos B ＝27sin(B ＋φ)，其中φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan φ＝32，则sin φ＝37＝217，故b ＋2c ≤27，当且仅当B ＋φ＝π2，即B ＝π2－φ时取等号，故此时cos B ＝sin φ＝217.3．为研究男、女生的身高差异，现随机从高二某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结果如下(单位：厘米)：男：164 178 174 185 170 158 163 165 161 170女：165 168 156 170 163 162 158 153 169 172(1)根据测量结果完成身高的茎叶图(单位：厘米)，并分别求出男、女生身高的平均值；(2)请根据测量结果得到20名学生身高的中位数h(单位：厘米)，将男、女生身高不低于h和低于h的人数填入下表中，并判断是否有90%的把握认为男、女生身高有差异？参照公式：K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d，n＝a＋b＋c＋d.(3)若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高，假设可以用测量结果的频率代替概率，现用分层抽样的方法从这10名男生中选出5人，再从这5名男生中任意选出2人，求恰有1人身高属于正常的概率．解(1)茎叶图为：平均值是将所有数据加到一起，除以数据的个数得到的结果，根据这一公式将数据代入公式，得到平均身高：男生168.8，女生163.6.(2)根据中位数的概念得到h ＝165.K 2＝2099≈0.202<2.706.所以没有90%的把握认为男、女生身高有差异．(3)由测量结果可知，身高属于偏矮的男生频率为0.4，身高属于正常的男生频率为0.4，身高属于偏高的男生频率为0.2，故用分层抽样的方法选出的5人中，身高偏矮的有2人，记为A ，B ，身高正常的有2人，记为c ，d ，身高偏高的有1人，记为E ，则从这5人中任意选出2人，所有情况为AB ，Ac ，Ad ，AE ，Bc ，Bd ，BE ，cd ，cE ，dE ，共10种，恰有1人身高属于正常的有Ac ，Ad ，Bc ，Bd ，cE ，dE ，共6种，故恰有1人身高属于正常的概率为35.4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2,0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解 (1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)两边同乘以ρ得， 曲线C ：y 2＝2ax ，由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去t ，得直线l ：x－y ＋2＝0.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t代入y 2＝2ax 得，t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ>0得a >4， 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋22t 1，22t 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋22t 2，22t 2， 则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ， ∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列， ∴|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，∴(22a )2－4×8a ＝8a ，∴a ＝5. 5．已知函数f (x )＝2|x ＋a |＋|3x －b |.(1)当a ＝1，b ＝0时，求不等式f (x )≥3|x |＋1的解集； (2)若a >0，b >0，且函数f (x )的最小值为2，求3a ＋b 的值． 解 (1)当a ＝1，b ＝0时，由f (x )≥3|x |＋1，得2|x ＋1|≥1，所以|x ＋1|≥12，解得x ≤－32或x ≥－12，所以所求不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.(2)解法一：因为f (x )＝2|x ＋a |＋|3x －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x －2a ＋b ，x <－a ，－x ＋2a ＋b ，－a ≤x ≤b 3，5x ＋2a －b ，x >b3，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，b3上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3，＋∞上为增函数，所以当x ＝b3时，函数f (x )取得最小值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 3＋a ＝2. 因为a >0，b >0，所以3a ＋b ＝3.解法二：f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3≥ 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 3＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3，等号在－a ≤x ≤b3时成立，因为当x ＝b3时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3的最小值为0，所以f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －b 3≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 3，等号在x ＝b3时成立，所以f (x )的最小值为2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 3，从而2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 3＝2.因为a >0，b >0，所以3a ＋b ＝3.。