八年级数学上册 1.1 探索勾股定理教案 (新版)北师大版
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理 》教案
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教案一. 教材分析《探索勾股定理》这一节的内容是八年级数学上册的开篇，主要让学生了解勾股定理的证明过程，培养学生的逻辑思维能力和探索精神。
教材通过引入古希腊人证明勾股定理的故事，引导学生学习运用几何图形和数学逻辑来证明这个重要的数学定理。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了平面几何的基本概念和性质，对几何图形的认知和推理能力有所提高。
但勾股定理的证明过程涉及到较复杂的逻辑推理，对学生来说是一个较大的挑战。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习反馈，适时给予引导和帮助。
三. 教学目标1.让学生了解勾股定理的证明过程，理解并掌握勾股定理的证明方法。
2.培养学生的逻辑思维能力和探索精神，提高学生运用几何图形和数学逻辑解决问题的能力。
3.激发学生对数学的兴趣，培养学生积极思考、合作探究的学习态度。
四. 教学重难点1.勾股定理的证明过程及证明方法的掌握。
2.逻辑推理能力的培养，如何将问题转化为几何图形进行证明。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生思考和探索勾股定理的证明过程。
2.运用几何图形和数学逻辑，进行直观演示和推理，帮助学生理解和掌握勾股定理。
3.分组讨论和合作探究，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、黑板、几何图形等。
2.设计好教学问题和活动，准备好相关的解答和反馈。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过引入古希腊人证明勾股定理的故事，激发学生的学习兴趣，引导学生思考和探索勾股定理的证明过程。
2.呈现（10分钟）呈现勾股定理的证明过程，运用几何图形和数学逻辑进行直观演示和推理。
在此过程中，关注学生的学习反馈，适时给予引导和帮助。
3.操练（10分钟）学生分组讨论和合作探究，运用几何图形和数学逻辑尝试证明勾股定理。
教师巡回指导，解答学生的问题，并提供反馈。
4.巩固（10分钟）针对学生的证明过程，进行总结和点评，帮助学生巩固所学内容。
北师大版数学八年级上册第一章1.1探索勾股定理(教案)
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
举例解释：在证明勾股定理时，学生可能对面积法的理解存在困难，教师需要通过具体的图形演示和步骤分解，帮助学生理解证明过程中的每一步逻辑，并鼓励学生通过讨论和思考来加深理解。对于难点的突破，教师可以设计不同层次的问题，逐步引导学生深入探究，从而实现知识的内化。
注意：由于字数限制，无法达到2000字，但上述内容已尽量详细列出教学难点与重点，并在每个方面举例解释。在实际教案编写中，可以根据需要进一步拓展和细化。
5.掌握勾股数的特点，能够判断一组数是否为勾股数，并能够找出常见的勾股数。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，特别是运用勾股定理解决直角三角形相关问题的能力；
2.强化逻辑推理和数学证明的思维训练，通过探索勾股定理的证明过程，提升学生的推理和论证能力；
3.增强学生的几何直观和空间想象力，通过观察和操作，理解直角三角形的性质和勾股定理的内涵；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表达式a² + b² = c²通过拼图法或面积法等具体例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题，如如何计算不同形状的直角三角形的斜边长度。
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理 》教学设计2
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计2一. 教材分析《探索勾股定理》这一节的内容，主要让学生通过实践活动，探索并证明勾股定理。
教材通过生动有趣的故事引入，引导学生通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，探索并理解勾股定理。
这一节内容既有利于培养学生的动手操作能力，也有利于培养学生的探究能力。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质有一定的了解。
但是，对于证明勾股定理，他们可能还没有接触过。
因此，在教学过程中，我需要引导学生通过实践活动，自己去探索并证明勾股定理。
三. 教学目标1.了解勾股定理的发现过程，感受数学的探究过程。
2.能够通过实践活动，探索并证明勾股定理。
3.培养学生的动手操作能力和探究能力。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生通过实践活动，探索并证明勾股定理。
2.教学难点：如何引导学生自己发现并证明勾股定理。
五. 教学方法1.启发式教学法：通过问题引导，激发学生的思考。
2.实践活动法：让学生通过实际操作，自己去探索并证明勾股定理。
六. 教学准备1.准备一些直角三角形和直角三角形的斜边，让学生在课堂上进行测量。
2.准备一些相关的多媒体教学资料，帮助学生更好地理解勾股定理。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个有趣的故事，引出勾股定理。
让学生了解到，勾股定理是我国古代数学家毕达哥拉斯发现的。
2.呈现（5分钟）呈现一组直角三角形，让学生进行测量，观察并猜想勾股定理。
3.操练（10分钟）让学生分组进行实践活动，每组选取一个直角三角形，用尺子测量其三条边的长度，然后计算出斜边的平方是否等于两个直角边的平方和。
通过实践活动，让学生自己验证勾股定理。
4.巩固（10分钟）让学生用自己的语言，描述一下勾股定理的内容。
并通过一些例子，让学生运用勾股定理进行计算。
5.拓展（10分钟）让学生思考，如果一个直角三角形的两条直角边长度相等，那么斜边的长度会是多少？引导学生进一步探究勾股定理的变体。
北师大版1_探索勾股定理_教案1八年级八年级数学上册
课题1、1探索勾股定理教材义务教育课程标准实验教科书（北师大版）八年级数学上册第一章第1节P2~ P6。
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发 展和现实世界中有着广泛的作用。
本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理 数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。
此外，历史上勾股定理的发 现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。
授课教师：刘洋 教学目标1、 知识与技能目标：掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示。
学生在经历 用数格子与割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻 辑推理过程。
2、 能力目标：通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际 问题中掌握勾股定理的应用技能。
3、 情感目标：通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学，爱数学，做数学的情感。
使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣。
教学重点、难点重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。
难点：计算以斜边为边长的大正方形 C 面积及割补思想的理解与应用 教学方法选择引导探索法，采用 问题情境----建立模型----解释、应用与拓展”的模式进行教学教具准备多媒体课件；若干张已画好直角三角形的方格纸；剪刀；已剪好的纸片若干张 教学过程仓U 设情境，弓I 入新课（师）请同学们观察动画，我国科学家曾向太空发射勾股图 试图与外星人沟通，在2002年的国际数学家大会上采用弦图 作为会标，它为什么有如此大的魅力呢？它蕴涵着怎样迷人的 奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理。
（设计意图：用一段生动有趣的动画，点燃学生的求知欲，以 景激情，以情激思，引领学生进入学习情境。
） 师生互动，探究新知活动1：（观察图1）你知道正方形C 的面积是多少吗？ 你是怎样得出上面结果的呢？（生）独立思考后交流，采用直接数方格的办法，或者是 分割成几个等腰直角三角形的方法计算正方形 C 的面积。
北师大版数学八年级上册1.1探索勾股定理教学设计
-结合多媒体教学，使用动画、图表等直观工具，帮助学生理解和记忆勾股定理及其证明过程。
-设计梯度性练习题，从简单到复杂，让学生在练习中逐步提高解题能力。
2.教学步骤：
-导入：通过实际问题，引导学生回顾直角三角形的定义和性质。
-探索：让学生通过剪纸、测量等实际活动，观察直角三角形三边关系，引导他们发现勾股定理。
2.引导学生通过观察、猜想、归纳等方法，发现勾股定理。
3.运用数学证明方法，如代数法、几何法等，证明勾股定理的正确性。
4.通过解决实际问题，培养学生运用勾股定理解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观
本章节教学旨在培养学生以下情感态度与价值观：
1.培养学生对数学的兴趣和热情，激发他们探索数学问题的积极性。
五、作业布置
为了巩固学生对勾股定理的理解和应用能力，特布置以下作业：
1.基础练习题：
-完成课本第15页的练习题1、2、3，涉及勾股定理的基本应用。
-通过解答这些题目，学生可以进一步熟悉勾股定理的公式及其在直角三角形中的应用。
2.提高拓展题：
-选择课本第16页的拓展题1、2，让学生在解决实际问题的过程中，运用勾股定理。
2.培养学生的团队合作意识，让他们在探索勾股定理的过程中，学会与他人交流、分享、合作。
3.培养学生勇于尝试、敢于质疑的精神，让他们在解决问题的过程中，形成批判性思维。
4.增强学生的民族自豪感，了解我国古代数学家在勾股定理研究方面的贡献，激发他们为国家和民族作出贡献的愿望。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了直角三角形的基本概念和性质，能进行简单的几何图形计算。在此基础上，他们对勾股定理的学习具备以下特点：
初中数学北师大八年级上册(2023年修订) 勾股定理探索勾股定理教案
第一章勾股定理第一节探索勾股定理：一、教学目标（一）知识与技能：.了解勾股定理的历史背景,体会勾股定理的探索过程..掌握直角三角形中的三边关系和三角之间的关系。
（二）能力训练要求.通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
.在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果。
（三）情感与态度：.通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。
.在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。
二、教学重难点重点：经历探索和验证勾股定理的过程，会利用两边求直角三角形的另一边长。
难点：拼图法验证勾股定理，会利用两边求直角三角形另一边长。
三、教学方法引导—探究—发现法．四、教学过程（一）自学指导请同学们认真看可课本至页内容，并解决下列问题：、“做一做”中的问题，你能完成吗?你能发现什么规律呢？、什么是勾股定理？、解答“想一想”中的问题（二）合作交流对于自学中的困惑请提出来，看你的同桌是否能帮助你，必要时请教老师，力争解决自己在学习过程中的疑惑。
如果你感觉还行，请不要保留地传授给你的同桌你的经验和收获。
（三）检查自学效果．观察下面两幅图，对做一做中的问题，通过讨论动手操作，总结规律。
结论： 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．.勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，那么 222c b a =+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方称为毕达哥拉斯定理）. 利用勾股定理解出折断处与旗杆顶间的长为米，所以旗杆折断前米高。
（四）当堂训练.求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：弦股勾225100x 1517.在△中∠＝度，若,则..如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？.小明妈妈买了一部英寸（厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有厘米长和厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？.某工人拿一个2.5m 的梯子，一头放在离墙1.5m 处，另一头靠墙，以便去修理梯子另一头的有线电视分线盒（如图）。
北师大数学八上1.1探索勾股定理 教案
1．1探索勾股定理（第一课时）一、教学内容教材：北师大版九年制义务教育课程标准实验教科书八年级数学上册第一章第一节探索勾股定理第一课时二、教材分析教材所处的地位勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。
它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。
学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
教法与学法分析：教法分析：针对初二年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择引导探索法，发现法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。
引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。
学法分析：采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，通过数格子、拼图等方法探索、验证勾股定理，使学生在经历观察、归纳、猜想的过程中，体会获取知识的途径。
借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
三、根据课程标准，本课的教学目标●知识与技能1．体验勾股定理的探索过程，由特例猜想勾股定理，再由特例验证勾股定理．2．会利用勾股定理解释生活中的简单现象．●过程与方法1．在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．2．在探索勾股定理的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力．●情感与价值观要求1．培养学生积极参与、合作交流的意识．2．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气．3．通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
四、教学重点：探索勾股定理五、教学难点：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理．●教学重点探索和验证勾股定理．●教学难点在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理．●教学方法交流—探索—猜想．---验证——发现等教学法通过数格子、拼图等方法探索验证勾股定理，使学生在经历观察、归纳、猜想的过程中，体会获取知识的途径。
1.1探索勾股定理+教学设计2023—2024学年北师大版数学八年级上册
教师引导学生发现三边关系并提出猜想：a 2+ b2=c2教师引导学生对我们的猜想进行验证，所以给定了几组以a,b为直角边的直角三角形,用我们的猜想计算斜边c的长度。
再次引导学生用工具画出满足上图给定直角边的直角三角形，并用刻度尺测量出斜边的长度，检验和公式算出的数值是否一致从而提出猜想。
猜想公式后尝试应用公式计算，求出斜边的长度作图满足条件的直角三角形，并进行测量，发现测量出的斜边和用公式计算出的斜边在误差允许的范围内保持一致。
设计意图：让学生经历作图——测量——猜想——作图——测量——验证的过程，培养学生的动手实践能力和数学探究能力。
并且，作图和测量是数学操作中的两项基本技能，在此环节中得以多次训练，教学结构完整而统一。
同时，也引导传授学生遇到陌生的问题时，要先进行尝试，再大胆猜想，最后进行验证的数学学习思路。
本环节运用了数形结合的思想和从特殊到一般的思想，让学生感受数学探究的方法与乐趣。
环节三.严谨证明，欣赏教师活动：引导学生使用赵爽弦图对勾股定理进行证明，并强调数形结合的思想方法。
同时，展示第二十四届数学家大会的会徽，再次渗透数学文化。
教师继续带领大家欣赏刘徽的“青朱出入图”、欧几里得《几何原本》中的证明，和达芬奇的证明。
并在课件中展示相应的人物简历、文化科普，激发学生兴趣的同时补充数学文化知识。
学生活动：利用“赵爽弦图”尝试证明勾股定理，并在教师的引导下完成定理的证明。
欣赏其他名人的证法，感受数形结合之美。
体会“算两次”和割补法在勾股定理证明中的妙用。
思考讨论是否还有其他的证明方法，激发数学思教师继续带领学生欣赏其他美妙的证法，并且告诉学生勾股定理有500多种证明方法，是证法最多的定理之一，从而引发学生强烈的求知欲望，想要去查找或探索其他证明方法。
考和潜能设计意图： 通过严谨的数学证明教导学生“先猜后证”是数学之道，一个定理的提出除了猜想和尝试外，还需要逻辑严谨的数学证明.定理的证明可以使本节课的思路更加严谨和清晰。
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版八年级数学上册第一章《几何初步》的第一节内容。
本节内容通过探究直角三角形三边的关系，引入勾股定理，是学生学习几何的重要基础。
教材以我国古代数学家赵爽的弦图作为探究勾股定理的载体，让学生经历探究过程，感悟数学的证明过程，体会数形结合的数学思想。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了相似三角形的性质，能够识别直角三角形，并了解其性质。
但对于证明勾股定理，他们可能还没有直观的感受。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作，逐步理解并证明勾股定理。
三. 教学目标1.了解勾股定理的发现过程，感受数学家探索勾股定理的艰辛。
2.掌握勾股定理的内容，并能运用勾股定理解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力、推理能力，提升学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：勾股定理的证明过程。
2.难点：理解并证明勾股定理。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、数形结合法等教学方法，引导学生通过观察、操作、推理等过程，探索并证明勾股定理。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件、视频等教学资源。
2.准备直角三角形模型、拼图等教具。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾平面几何的基本知识，为新课的学习做好铺垫。
例如：什么是直角三角形？直角三角形有哪些性质？2.呈现（10分钟）展示勾股定理的背景知识，介绍赵爽的弦图，让学生了解勾股定理的来源。
同时，提出探究问题：如何证明勾股定理？3.操练（15分钟）让学生分组进行讨论，每组尝试用拼图或者模型来证明勾股定理。
教师巡回指导，引导学生发现证明勾股定理的关键。
4.巩固（10分钟）学生汇报各自的证明过程，教师点评并总结。
同时，让学生回答一些与勾股定理相关的问题，加深对勾股定理的理解。
5.拓展（10分钟）让学生运用勾股定理解决实际问题，例如：计算一个直角三角形的两条直角边长。
北师大版数学八年级上册《探索勾股定理》教案1
北师大版数学八年级上册《探索勾股定理》教案1一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版数学八年级上册的一章内容。
本章通过探究直角三角形三边之间的关系，引导学生发现并证明勾股定理。
教材内容丰富，既有历史文化的传承，也有数学证明的严谨性，有助于提高学生的学习兴趣和探究能力。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了相似三角形、平方根等知识，为本章的学习奠定了基础。
但勾股定理的证明较为复杂，需要学生具有较强的逻辑思维能力和推理能力。
此外，学生对数学文化的认识还不够深入，需要教师在教学中加以引导。
三. 教学目标1.了解勾股定理的发现过程，感受数学文化的魅力。
2.掌握勾股定理的内容，并能运用勾股定理解决实际问题。
3.培养学生的探究能力、合作能力和数学思维能力。
四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的证明及应用。
2.难点：理解并证明勾股定理，运用勾股定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究勾股定理。
2.运用历史背景法，让学生了解勾股定理的文化价值。
3.采用合作交流法，培养学生团队合作精神。
4.利用几何画板等软件，直观展示勾股定理的证明过程。
六. 教学准备1.教师准备PPT、几何画板等教学工具。
2.学生准备笔记本、尺子、圆规等学习用品。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示勾股定理的历史背景，引导学生了解勾股定理的文化价值。
2.呈现（10分钟）教师通过几何画板展示直角三角形，引导学生观察并猜想勾股定理。
3.操练（15分钟）学生分组讨论，每组尝试用尺子、圆规等工具验证勾股定理。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）学生代表汇报验证结果，其他学生补充意见。
教师总结勾股定理的证明过程。
5.拓展（10分钟）教师提出一系列与勾股定理相关的问题，引导学生运用勾股定理解决实际问题。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，巩固勾股定理的知识。
7.家庭作业（5分钟）布置一道运用勾股定理解决问题的作业，巩固所学知识。
八年级数学上册 1.1 探索勾股定理教案1 (新版)北师大版
探索勾股定理教学目标：知识与技能1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。
过程与方法让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法． 情感与态度在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习重点难点：重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。
难点：勾股定理的发现教学过程创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题出示投影1 （章前的图文 p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。
出示投影2 （书中的P2 图1—2）并回答：观察图1-2，正方形A 中有_______个小方格，即A 的面积为______个单位。
正方形B 中有_______个小方格，即A 的面积为______个单位。
正方形C 中有_______个小方格，即A 的面积为______个单位。
你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问：图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C ，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？做一做出示投影3（书中P3图1—4）提问：1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系?从图1—1，1—2，1—3，1|—4中你发现什么？学生讨论、交流形成共识后，教师总结：以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。
议一议图1—1、1—2、1—3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书：直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
八年级数学上册 1.1 探索勾股定理教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中八年级上册数学教案
课题：1.1 探索勾股定理（1）教学目标：1．引导学生经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．2．引导学生探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力．教学重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题．教学难点：勾股定理的发现．课前准备：多媒体课件、三角板．教学设计：一、创设情境，自然引入引导语：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500多年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么？是否也和大哲学家有同样的发现呢？它蕴涵着怎样迷人的奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理．师：（板书课题）探索勾股定理（1）设计意图：问题的设计有一定的挑战性，目的是激发学生的探究欲望，老师要注意引导学生将实际问题转化为数学问题．学生会感到一些困难，从而老师指出学习了今天的这节课后，同学们就会有办法解决了．这种以实际问题作为切入点导入新课，不仅自然，而且也反映了“数学来源于生活”，学习数学是为更好“服务于生活”．二、设问质疑，合作探究探究一师：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗？等腰直角三角形都有上述性质吗？观察下图，并回答问题：（1）观察图1．（图中每个小方格代表一个单位面积）正方形A中含有______个小方格，即A的面积是______个单位面积；正方形B中含有______个小方格，即B的面积是______个单位面积；正方形C中含有______个小方格，即C的面积是______个单位面积．（2）在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流．（3）请将上述结果填入下表，你能发现正方形A，B，C的面积关系吗？A的面积（单位面积） B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）图1图2图3生：我们从上面的图中更进一步验证了等腰直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方．学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C．师：原来著名的哲学家毕达哥拉斯，他在朋友家地板砖的启发下，也发现了这个结论．并且还做了更为深入的研究，你知道是什么吗？生：等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形是否也有这个性质呢？师：的确如此，想知道结果吗？我们不妨寻着大哲学家的足迹，也做更深入的探究．设计意图：通过让学生观察计算，发现对于等腰直角三角形而言，满足两直角边的平方和等于斜边的平方，让学生亲历发现、探究结论的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想．探究二师：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗？如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A′、B′、C′的面积，看看能得出什么结论．预设：生1：从图中不难观察出A、B两个正方形分别含有4个小方格和9个小方格；A′、B′两个正方形分别含有9个小方格和25个小方格．生2：正方形C的面积可看作虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积，即5×5-4×12×2×3=13．所以正方形A的面积＋正方形B的面积等于正方形C的面积，即4+9=13．生3：用同样的方法计算C′的面积可得8×8-4×12×3×5=64-30=34．所以正方形A′的面积＋正方形B′的面积＝正方形C′的面积．师：三个正方形之间的面积关系能用直角三角形的三边关系表示吗？在同学的交流回答的基础上，师板书：勾股定理：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．设计意图：. 使学生感受方法的技巧获得掌握知识的快感，这对于学生良好思维品质的形成有重要作用．数学小史：（投影出示）师：当时大哲学家也发现并进一步深入探究的也正是这个结论，看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理．我们也应该向大哲学家学习，认真体验生活，努力发现生活中存在的各种奥秘．这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理”，而在中国则叫做“勾股定理”．勾股定理到底是谁最先发现的呢？我们可以自豪地说：是我们中国人最早发现的．证据就是《周髀算经》，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．“勾三，股四，弦五”正是直角三角形三边关系的重要体现．不仅如此，我们汉代的赵爽曾用2002年在召开的国际数学家大会的徽标的图案如右图证明了此结论，也正因为为了纪念这一伟大的发现而采用了此图案作徽标．下节课我们将要做更深入的研究．大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了．所以，按照当时的传统，他高兴地杀了整整一百头牛来庆贺．设计意图：此处主要是让学生对数学的一些历史有所了解，并让他们知道，我国在数学的发展史上占有非常重要的作用，培养学生的爱国热情，激励他们更加努力的学习，争取长大后也能为国争光．?225100三、思维训练，应用新知例1（投影出示）如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9m 处折断倒下，树顶落在离树根12m 处. 大树在折断之前高多少？解：设树倒下部分的面积为x m∵树倒下后与地面正好构成一个直角三角形 ∴222912x=+225811442=+=x∴15=x （m ）∴大树在折断前的高度为：24915=+(m)例2 （投影出示）小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？解：我们通常所说的29英寸和74厘米的电视机，是指其荧屏的对角线的长度，而不是其荧屏的长和宽，同时，荧屏的边框遮盖了一部分，所以实际测量存在一些误差．设计意图：例题学习其目的是巩固新知，通过老师的扳演，强调格式步骤．通过引例的探究，让学生知道勾股定理在现实生活中的应用非常多，同时也让学生明白如何利用勾股定理来解题，尤其是解题过程如何书写.基础题型练习：1．求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）2．如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从 一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米3．如图，在△ABC 中，cm AC AB 10==，AC BD ⊥于点D 且cm CD 2=，则BC 的长是 （ ）A ．cm 6B ．cm 5C ．210cmD ．8cm4．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是cm 2．设计意图：通过练习，进一步加深了学生对勾股定理的理解和应用，也让学生知道了如何运用所学知识服务于解题中来. 在这里通过具体的实际问题，使学生学数学、用数学的意识得到强化.使学生创造性的将数学知识应用于实践,并在实践中获得创造的成功感.更重要的是学生的创造性思维在实践中得到了锻炼． 四、交流心得，学习反思 1．你这节课的主要收获是什么？2．在探索和验证定理的过程中，我们运用了哪些方法？设计意图：梳理本节课的重要方法和知识点，加深对本节知识的理解．让学生在总结 的过程中理清思路、整理经验，对本节课所学的知识结构有一个清晰的认识，再通过排忧 解难让学生对知识形成正向迁移 .从而构建出合理的知识体系，养成良好的学习习惯. 五、达标检测，反馈矫正1.已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③5，12，13．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有．（填序号）2．如图，△ABC 是等边三角形，cm AB 4=，则BC 边上的高AD 等于．3. 如图，某某路与某某路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在某某路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为第2题图 第3题图DA7cmCB第4题图A ．600mB ．500mC ．400mD ．300m4．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长的平方为（ ） A ．25B ．7 C ．5 D ．25或75．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．设计意图：本节课主要任务是探索勾股定理，所以检测设计三个较为简单的题目，可以提升学生学习信心，培养学生的学习兴趣．及时反馈，了解学生对本节课知识的掌握情况，让学生在独立自主解答问题的过程中，进一步巩固所学的知识，夯实基础，同时培养学生发现问题，解决问题的能力.教师要及时巡视，根据学生的完成情况有针对性的进行讲解. 六、布置作业，落实目标 必做题：P 7 第1、2、3 题．选做题：印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．注:花离原位二尺远指两花之间的距离.设计意图：Ａ组题目为必做题，一方面可以了解学生对本节课所学内容的掌握情况，同时也可以培养学生快速准确解答问题的能力. Ｂ组问题为学有余力的同学设计，努力使每个学生在课堂上都有所发展，也充分利用课堂时间提高了优秀生解决问题的能力，如课上不能完成，可作为课后作业 ,分层次布置作业，使不同层次的学生得到不同的发展．第5题图第2题图第3题图。
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》的第一节内容。
本节课的主要内容是通过实际问题引导学生探究直角三角形三边之间的关系，从而引入勾股定理。
教材通过丰富的情境和探究活动，让学生经历探究过程，感受数学的发现过程，培养学生的探究能力和创新精神。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了相似三角形的性质，能够理解直角三角形的概念，但对于勾股定理的证明和应用可能还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要关注学生的知识基础，通过适当的引导和启发，帮助学生理解和掌握勾股定理。
三. 教学目标1.理解勾股定理的定义和证明过程。
2.能够运用勾股定理解决实际问题。
3.培养学生的探究能力和创新精神。
四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的理解和应用。
2.难点：勾股定理的证明过程。
五. 教学方法1.引导发现法：通过实际问题和探究活动，引导学生发现勾股定理。
2.小组合作学习：学生在小组内进行讨论和交流，共同完成探究任务。
3.情境教学法：通过丰富的情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
六. 教学准备1.教学课件：制作教学课件，包括图片、动画和视频等，帮助学生形象地理解勾股定理。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生探究勾股定理。
3.学生活动材料：为学生提供一些卡片，上面写有直角三角形的三边长度，用于学生进行小组探究。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的直角三角形，如篮球架、自行车的三角形车把等，引导学生观察并思考直角三角形的特点。
然后提出问题：“直角三角形的三边之间有什么特殊的关系呢？”2.呈现（10分钟）呈现教材中的探究活动，让学生分组进行探究。
每组有一张卡片，上面写有直角三角形的三边长度。
学生通过测量、计算和讨论，发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
3.操练（10分钟）学生分组进行探究，验证勾股定理。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
北师大版八年级数学上册1.1探索勾股定理教学设计
（二）过程与方法
1.通过观察、猜想、验证等环节，引导学生自主发现勾股定理，培养其观察、分析、解决问题的能力。
2.采用小组合作、讨论交流等形式，让学生在合作中学习，提高沟通能力和团队协作精神。
3.运用数形结合、分类讨论等数学方法，培养学生的逻辑思维和解决问题的策略。
2.学生通过实际测量、计算，验证勾股定理的正确性。
3.教师给出勾股定理的数学表达式：a² + b² = c²，并解释其含义。
4.教师讲解勾股定理的证明过程，如欧几里得的证明方法、我国古代数学家的证明方法等。
讲授新知环节旨在让学生掌握勾股定理的基本概念，理解其数学表达和证明过程。
（三）学生小组讨论，500字
c.三边长分别为9cm、12cm、15cm。
2.提高题：
（1）已知直角三角形的斜边长度为13cm，一条直角边长为5cm，求另一条直角边的长度。
（2）一个直角三角形的两直角边分别为x和y（x < y），且满足x² + y² = 41，求这个直角三角形的斜边长度。
3.拓展题：
（1）在直角三角形中，如果将两直角边的长度分别增加1，斜边的长度会增加多少？
1.激发学生的学习兴趣，通过生动有趣的实例，引导学生主动参与课堂活动，提高其学习积极性。
2.关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
3.加强对学生逻辑思维的训练，培养其运用数学知识解决问题的能力。
4.注重知识间的联系，帮助学生构建完整的知识体系，提高其综合运用能力。
三、教学重难点和教学设想
北师大版八年级数学上册1.1探索勾股定理教学设计
一、教学目标
北师大版八年级上册初中数学教学设计1探索勾股定理
4.强调勾股定理在实际生活中的重要性，激发学生对数学学科的兴趣和热爱。
5.布置课后作业，要求学生运用勾股定理解决实际问题，巩固课堂所学知识。
五、作业布置
为了巩固学生对勾股定理的理解和应用，特布置以下作业：
1.请同学们结合课堂所学的勾股定理，选取生活中的一个直角三角形实例，如窗户、楼梯等，测量并计算出其三条边的长度，验证勾股定理的正确性。
4.能够运用勾股定理推导出相似直角三角形的性质，如比例关系等。
（二）过程与方法
1.通过实际操作，引导学生观察、思考、分析勾股定理的规律，培养学生发现问题、解决问题的能力。
2.采用小组合作、讨论交流等形式，让学生在合作中学习，提高学生的沟通能力和团队协作精神。
3.设计丰富多样的练习题，使学生在练习中巩固知识，提高运算能力和解决问题的能力。
二、学情分析
八年级学生已具备一定的数学基础，掌握了直角三角形的基本性质，能够进行简单的几何计算。在此基础上，探索勾股定理，学生需要运用已学知识，通过观察、思考、实践，发现勾股定理的规律，并学会运用勾股定理解决实际问题。
学生对勾股定理的认识可能初步来源于生活实际，如建筑、测量等领域，但对勾股定理的严谨证明和应用可能尚不熟悉。因此，在教学过程中，教师需关注以下几点：
3.学生可能会提到直角三角形的边长关系，如两条直角边的平方和等于斜边的平方。教师给予肯定，并引出本节课的主题——勾股定理。
（二）讲授新知，500字
1.教师介绍勾股定理的概念，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2.通过动画演示或实物的形式，展示勾股定理的证明过程，如代数法、几何法等，使学生直观地理解定理的原理。
八年级数学上册1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理教案 新版北师大版
八年级数学上册1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理教案新版北师大版一. 教材分析《新版北师大版八年级数学上册》第一章“探索勾股定理”的目的是让学生了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的内涵，并能够运用勾股定理解决实际问题。
本节课是该章节的第一课时，主要让学生验证勾股定理。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对三角形、直角三角形等概念有一定的理解。
但他们对勾股定理的发现过程和证明方法可能还不够深入了解，因此需要通过本节课的教学，让学生从实践中感受勾股定理的真理，提高他们的数学思维能力。
三. 教学目标1.让学生了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的内涵。
2.培养学生运用几何图形进行推理和验证的能力。
3.提高学生对数学的兴趣和探索精神。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生通过实际操作，验证勾股定理。
2.教学难点：引导学生理解并证明勾股定理。
五. 教学方法1.实践教学法：让学生通过实际操作，发现并验证勾股定理。
2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和探索。
3.小组合作学习：学生分组讨论，共同完成验证勾股定理的任务。
六. 教学准备1.准备三角形模型、直尺、圆规等教具。
2.制作课件，展示勾股定理的发现过程和证明方法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，让学生了解勾股定理的发现过程，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师展示勾股定理的表述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
然后提出问题：如何验证这个定理呢？3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用教具和直尺，尝试构造直角三角形，并测量两条直角边和斜边的长度。
每组学生将自己的测量结果填入表格中。
4.巩固（5分钟）教师邀请几组学生汇报自己的测量结果，引导学生发现：不论直角三角形的直角边和斜边的长度如何变化，两条直角边的平方和总是等于斜边的平方。
5.拓展（5分钟）教师提出挑战性问题：如何证明这个结论对所有的直角三角形都成立呢？引导学生进一步思考和探索。
八年级数学上册1.1探索勾股定理教案北师大版(new)
所以，钢索的长度为10m
练习1：已知△ABC的三边AB长a, BC长b， AC长c，若∠B=90度，则有关系式(A）
二、合作探究
探究2：验证勾股定理
请同学们画四个与右图全等的直角三角形，并把它剪下来。
提示：用这四个三角形拼一拼、摆一摆，看看是否得到一个含有以斜边c为长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？并与同伴交流。
∴电线杆折断之前的高度
=BC+AB=5米+１３米＝１８米
议一议：用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2？
钝角三角形
锐角三角形
四、达标测评
1、如图,一个高3 米，宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条，则木条的长为(C)
.A。3米B.4米C。5米D.6米
2。求图中直角三角形的未知边的长度。
问题:电线杆、地面与铁索之间构成了一个怎么样的几何图形呢?
回答：直角三角形
思考：在直角三角形中，已知两边长如何确定第三边？
在网格纸中，以直角三角形各边为边长画正方形
图中每个小方格代表一个单位面积
数一数，得出三个正方体的面积
正方形A中含有9个小方格，即A的面积是9个单位面积
正方形B的面积是18个单位面积.
即X2+64=256—32X+X2
∴ X=6
∴ S∆ABC=BC•AD/2=2 •6 •8/2=48
五、应用提高
一个长方形零件图，根据所给尺寸（mm），球两孔中心A、B之间的距离
解：过A作铅垂线，
过B作水平线,两线交于点C，则∠ACB=90°
AC=90—40=50(mm)
BC=160-40=120(mm)
八年级数学上册 1.1.1 探索勾股定理(一)教学设计 (新版)北师大版
1.1.1 探索勾股定理（一）教学设计教学目标：●知识与技能目标用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．●数学思考让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．●解决问题进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．●情感与态度在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习．教法学法1.教学方法：引导—探究—发现法．2.学习方法：自主探究与合作交流相结合．教学过程设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．第一环节：创设情境，引入新课内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育.效果：激发起学生的求知欲和爱国热情.第二环节：探索发现勾股定理1．探究活动一：内容：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：（2）引导学生从面积角度观察图形：问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 学生通过观察，归纳发现：结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望.2．探究活动二：内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ （1）观察下面两幅图：（2）填表：A 的面积（单位面积）B 的面积 （单位面积）C 的面积 （单位面积）左图 右图（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）图1 图2 图3 学生的方法可能有： 方法一：如图1，将正方形C 分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形， 13132214=+⨯⨯⨯=C S ． 方法二：如图2，在正方形C 外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，133221452=⨯⨯⨯-=C S ． 方法三：如图3，正方形C 中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，13542=+⨯=C S ． （4）分析填表的数据，你发现了什么？ 学生通过分析数据，归纳出：结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积． 意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C 的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C 的面积计算这一难点后得出结论2. 3．议一议：内容：（1）你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？勾股定理（gou-gu theorem ）：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的 直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名． （在西方称为毕达哥拉斯定理）意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理. 效果：1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力.2．通过作图培养学生的动手实践能力.第三环节：勾股定理的简单应用内容：例 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下， 树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？（教师板演解题过程） 练习：1、基础巩固练习：（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：2、生活中的应用：小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生弦股勾225100x1517“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.第四环节：课堂小结内容：教师提问：1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流． 在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1．知识：勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+. 2．方法：① 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； ② 面积法；③ “割、补、拼、接”法.3．思想：① 特殊—一般—特殊； ② 数形结合思想．意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动．效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.第五环节：布置作业内容：作业：1．教科书习题1.1； 2．阅读《读一读》——勾股世界；3．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+.意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前a bcabc提条件．效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握．六、教学设计反思（1）设计理念依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.（2）突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理．（3）分层教学，拓展资源 基础训练1．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 米．2．如图，小张为测量校园内池塘A ，B 两点的距离，他在池塘边选定一点 C ，使∠ABC ＝90°，并测得AC 长26m ，BC 长24m ，则A ，B 两点间的距离 为 m ．3．如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 ．（ 不取 近似值）4．底边长为16cm ，底边上的高为6cm 的等腰三角形的腰长为 cm ．5．一艘轮船以16km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h 的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 km ．提高训练6．一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m ，梯子的顶端下滑2m 后，底端滑动 m ．7．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和 是 cm 2．CBA7cmDACB 2578．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ）． （A ）24cm 2（B ）36cm 2（C ）48cm 2（D ）60cm 29．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个 正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ）．（A ）321S S S >+ （B ）321S S S =+ （C ）321S S S <+ （D ）无法确定10．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的 路线探宝. 他们登陆后先往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍后又往 西走3km ，再折向北走6km 处往东一拐，仅走1km 就找到了宝藏，则 登陆点到埋宝藏点的直线距离为 km ．知识拓展11．如图，已知直角△ABC 的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．12．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．意图：进行分层训练，既满足了不同学生的需求，同时也便于老师及时地了解学生的情况.老师可以根据学生的情况选择上述题目进行练习，也可留作家庭作业.效果：通过分层练习，充分激发学生的学习热情，教师应留给学生充分的时间思考,在独立思考的基础上，鼓励学生相互讨论，得出结果.（4）评价方式根据新课标的评价理念，在本课主要从以下几个方面对学生学习情况进行评价：首先，在探索勾股定理的过程中，对学生的参与热情、情感态度、探究的积极性、探究的效果等学习情况进行评价．321S S S 32168埋宝藏点登陆点86CB AC DE其次，在“勾股定理的简单应用”这一教学环节中，通过例题和练习，可有效地评价学生理解和掌握知识的情况．第三，在“课堂小结”这一环节中，教师可从学生的自由发言和交流中，了解到各个教学目标的达成情况．第四，通过课后作业的完成情况，进一步了解学生对勾股定理的理解和掌握的程度．教师根据这些评价结果做出相应的反馈和调节，调整、设计下节课或下阶段的教学内容，以达到尽可能好的教学效果．。
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课题：探索勾股定理
教学目标：
知识与技能目标：
1.掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理；
2.能用勾股定理解决简单的问题。
过程与方法目标：
1.经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学发现过程，发展合情合理的推理能力
2.体会“数形结合”和“特殊到一般”的思想方法。
情感态度与价值观目标：
1.介绍古代在研究勾股定理方面取得的伟大成就。
2.在探索问题的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神。
重点：
探索和验证勾股定理
难点：
1、在方格上通过计算面积的方法探索勾股定理。
2、用面积法（拼图的方法）证明勾股定理。
教学流程：
一、情境引入
探究1：如图，从电线杆离地面8米处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m。
钢索的长度应该是多少？
问题：电线杆、地面与铁索之间构成了一个怎么样的几何图形呢？
回答：直角三角形
思考：在直角三角形中，已知两边长如何确定第三边？
在网格纸中，以直角三角形各边为边长画正方形
图中每个小方格代表一个单位面积
数一数，得出三个正方体的面积
正方形A中含有 9 个小方格，即A的面积是 9 个单位面积正方形B的面积是 18 个单位面积。
问题：如何得到正方体C的面积呢？
方法一：分割法
分“割”成若干个直角边为整数的三角形
方法二：填补法
把C“补”成边长为6的正方形面积的一半
三个正方体的面积有什么关系呢？
总结：S A+S B=S C
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积
追问：换一个直角三角形还依旧满足这种关系吗？满足
将直角三角形设为a，b，c，你能得到什么？
+S b=S c —> a2+b2=c2
S
想一想：两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
总结：
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
做一做：如图，从电线杆离地面8米处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m,钢索的长度应该是多少?
根据前面所得出的结论，同学们能不能试着解一下刚上课提出的这个问题？
解：由勾股定理得：
所以，钢索的长度为10m
练习1：已知△ABC的三边AB长a， BC长b， AC长c，若∠B=90度，则有关系式（ A）
二、合作探究
探究2：验证勾股定理
请同学们画四个与右图全等的直角三角形，并把它剪下来。
提示：用这四个三角形拼一拼、摆一摆，看看是否得到一个含有以斜边c为长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？并与同伴交流。
方法一：大正方形的面积可以表示为c2；
也可以表示为4×ab/2+(b- a)2
∵ c2= 4•1
2
ab +(b-a)2
=2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2
∴a2+b2=c2
方法二：大正方形的面积可以表示为(a+b)2；
也可以表示为c2 +4×ab/2
∵ (a+b)2 =c2 + 4×ab/2
a2+2ab+b2 =c2 +2ab
∴a2+b2=c2
总结：直角三角形三条边长度转化关系：
三、自主思考
探究3：我方侦查员小王在距离东西向公路400m 处侦查，发现一辆地方汽车在公路上行驶。
他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m ，10s 后，汽车与他相距500m ，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：1、根据题意画出图形,根据题中所给出的信息,你能得到什么结论呢?
2、由题可知,∠ABC=90°,AB=400米,AC=500米,BC 即为敌方汽车10秒所行使的距离,故在直角三角形中求出BC 的长即为解答此题的关键;
3、求出BC 的长后,根据“速度=路程÷时间”即可解答此题了. 解:根据题意画出图形; 根据题意可知,∠ABC=90°
AB=400米,AC=500米, BC 即为汽车10秒行驶的距离
∵ 在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=400米,AC=500米
300m 400500AB AC BC 2222=-=-=
∴ 敌方汽车速度为300÷10=30米/秒 答:敌方汽车速度为30米/秒.
练习2：如图，一根电线杆在离地面5米处断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部12米处，电线杆折断之前有多高？ 解：∵ＢＣ⊥ＡC ， ∴在Ｒt △ＡＢＣ中， ＡＣ＝１２，ＢＣ＝５, 根据勾股定理，
222
22212516913
AB AC BC AB AB =+=+=∴=即 ∴电线杆折断之前的高度 =BC+AB=5米+１３米＝１８米
议一议：用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a 2
+b 2
=c 2
？ 钝角三角形
锐角三角形
四、达标测评
1、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为( C ) . A.3米 B.4米 C.5米 D.6米
2.求图中直角三角形的未知边的长度。
108
6
AB BC
AC
2
22
2
=-
=
+ =
8
15
17
AB
AC
BC
2
22
2
=-
=
-=
3.在 Rt△ABC 中，∠C=900 .
（1）若a=5，b=12，则c =__13_.
（2）若c=4，b= 2 ，则a =__3
2__.
4、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积
解：设这个三角形为ABC，高为AD，设BD为X，则AB为（16-X），由勾股定理得：
X2+82=(16-X)2
即X2+64=256-32X+X2
∴ X=6
∴ S∆ABC=BC•AD/2=2 •6 •8/2=48
五、应用提高
一个长方形零件图，根据所给尺寸（mm），球两孔中心A、B
之间的距离
解：过A作铅垂线，
过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB=90°
AC=90-40=50(mm)
BC=160-40=120(mm)
由勾股定理，得
222
AB AC BC
=+
222
5012016900()
mm
=+=
∵AB﹥0，∴AB=130(mm)
答：两孔中心A、B之间的距离为130mm。
六、体验收获
1.什么是勾股定理
2.验证勾股定理
3.勾股定理的简单应用
七、布置作业
教材7页习题第2、3题。