4.6学习资料 (1)

知识要点梳函数定义域、值域、最值 例1 (1)求函数 y＝ 1 log2sinx－1的定义域；
(2)设 f(x)＝sin(cosx)(0≤x≤π)，求 f(x)的最大值与最小值．
1 1 1 1 [解] (1)log2 －1≥0，log2 ≥1， ≥2,0<sinx≤ . sinx sinx sinx 2 5π π ∴2kπ<x≤2kπ＋ 或 2kπ＋ ≤x≤2kπ＋π，k∈Z， 6 6 5π π ∴x∈(2kπ，2kπ＋ ]∪[2kπ＋ ，2kπ)(k∈Z)． 6 6 (2)当 0≤x≤π 时，－1≤cosx≤1，而[－1,1]是 f(x)＝sin(cosx)的递 增区间． 当 cosx＝－1 时，f(x)min＝sin(－1)＝－sin1； 当 cosx＝1 时，f(x)max＝sin1.
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[评析] 求三角函数的值域或最值，主要利用正、余弦函数 的有界性，一般通过三角恒等变换化归为下列基本类型处理： 1．y＝asinx＋b，设 t＝sinx 化为一次函数的最值． 2．y＝asinx＋bcosx＋c 型，化为 y＝ a2＋b2·sin(x＋φ)＋c 求解． 3．y＝asin2x＋bsinx＋c，设 sinx＝t，化为二次函数． 4．y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c，设 t＝sinx±cosx 化为二次函数上的最值． asinx＋b 5．y＝ 根据正弦函数的有界性，用分离法、数形结 csinx＋d 合法求解．
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π π (1)f(x)＝cos( ＋x)cos( －x) 3 3 1 3 1 3 ＝( cosx－ sinx)( cosx＋ sinx) 2 2 2 2 1 3 ＝ cos2x－ sin2x 4 4 1＋cos2x 3－3cos2x ＝ － 8 8 1 1 ＝ cos2x－ ， 2 4 [解]
[解析]
5π π π π 3 f( )＝f(－ )＝f( )＝sin ＝ . 3 3 3 3 2
[答案] D
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π 4．(2010 年海淀期末)函数 f(x)＝sin(2x＋3)图象的对称轴方 程可以为( π A. x＝12 π C. x＝3 ) 5π B. x＝12 π D. x＝6
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π (2)∵定义域是 x≠2kπ－ 或 x≠2kπ－π， 2 显然它不关于原点对称， 1＋sinx－cosx ∴函数 y＝ 是非奇非偶函数． 1＋sinx＋cosx
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[评析] 1.判断函数奇偶性的常用方法： (1)奇×奇＝偶；奇×偶＝奇；偶×偶＝偶． (2)定义法． (3)图象法：利用对称性判断． 2．定义法判断奇偶性的方法步骤： (1)先判断定义域是否关于原点对称．若不对称则一定是非 奇非偶函数． (2)再判断 f(x)＝f(－x)或 f(x)＝－f(－x)是否成立． 但注意：有时需要先对原式进行恒等变形再判定奇偶性就 较容易．
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2π f(x)的最小正周期为 ＝π. 2 1 1 2 π (2)h(x)＝f(x)－g(x)＝ cos2x－ sin2x＝ ·cos(2x＋ )， 2 2 2 4 π 2 当 2x＋ ＝2kπ(k∈Z)时，h(x)取得最大值 . 4 2 π h(x)取得最大值时，对应的 x 的集合为{x|x＝kπ－ ，k∈Z}． 8
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三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 例 3 判断下列函数的奇偶性： 1＋sinx－cosx (1)y＝xcosx；(2)y＝ . 1＋sinx＋cosx
[分析] 判断奇偶性首先判断定义域是否关于原点对称．
[解] (1)∵定义域为 R， 且 y＝x 是奇函数 y＝cosx 是偶函数 ∴y＝xcosx 是奇函数．
[解析] 值域[－2,1]含最小值不含最大值，故定义 域小于一个周期，故选 D.
[答案] D
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3．定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 5π π f(x)＝sinx， f( 3 ) 则 f(x)的最小正周期是 π， 且当 x∈[0， ]时， 2 的值为( ) 1 1 A．－2 B.2 3 3 C．－ 2 D. 2
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3 (2)f(x)＝sin(2x－ π)，由题意得 4 π 3 π 2kπ－ ≤2x－ π≤2kπ＋ (k∈Z)， 2 4 2 π 5 kπ＋ ≤x≤kπ＋ π(k∈Z)， 8 8 3 ∴函数 y＝sin(2x－ π)的单调增区间为 4 π 5 [kπ＋ ，kπ＋ π]，k∈Z. 8 8
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[评析] 1.单调区间的写法：必须写成区间形式． 2．单调性的性质： 增函数＋增函数＝增函数； 增函数－减函数＝增函数； 减函数＋减函数＝减函数； 减函数－增函数＝减函数． 3．判断函数单调性的常用方法： (1)定义法：用单调函数的定义； (2)导数法；(3)图象法；(4)用性质．
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思考探究1
(1)求函数 y＝
π 1－ 2cos( －x)的定义 2
域和值域； (2)求函数 y＝ sinx＋ 16－x2的定义域．
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π 2 (1)由函数 1－ 2cos( －x)≥0，得 sinx≤ ， 2 2 利用单位圆或三角函数的图象， 易得所求函数的定义域是 5π π {x|2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z}． 4 4 π 2 当 sinx＝cos( －x)＝ 时，ymin＝0； 2 2 π 当 sinx＝cos(2－x)＝－1 时，ymax＝ 1＋ 2. 所以函数的值域为[0， 1＋ 2]． sinx≥0， 2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z， (2)由 得 2 16－x ≥0， －4≤x≤4， ∴函数的定义域是{x|－4≤x≤－π 或 0≤x≤π}． [解]
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例 4 设函数 f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)， y＝f(x)图象的一条 π 对称轴是直线 x＝ . 8 (1)求 φ； (2)求函数 y＝f(x)的单调增区间．
π [解] (1)∵x＝ 是 y＝f(x)图象的一条对称轴， 8 π π π π ∴sin( ＋φ)＝±1， ＋φ＝kπ＋ ， ∴ k∈Z， φ＝kπ＋ ， 4 4 2 4 3 k∈Z.又∵－π<φ<0，∴φ＝－ π. 4
4.6三角函数的性质
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正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
图象
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定义域
R
R
π {x|x≠2＋ kπ，k∈Z}
π [解析] 设 z＝2x＋ ，由 y＝sinz 的对称轴为 z＝kπ 3 π π π kπ π ＋ (k∈Z)得 2x＋ ＝kπ＋ ，即 x＝ ＋ (k∈Z)，令 k 2 3 2 2 12 π ＝0，得 x＝ .故选 A. 12 [答案] A
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5．(2010 年浙江)函数 f(x)＝sin ________．
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思 考 探 究 2 (2010 年北京)已知函数 f(x)＝2cos2x＋ sin2x－4cosx. π (1)求 f( )的值； 3 (2)求 f(x)的最大值和最小值．
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2π 3 9 π π 2π [解] (1)f(3)＝2cos 3 ＋sin 3－4cos3＝－1＋4－2＝－4. (2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1 2 7 ＝3(cosx－3)2－3，x∈R. 因为 cosx∈[－1,1]， 2 所以，当 cosx＝－1 时，f(x)取最大值 6；当 cosx＝3时，f(x) 7 取最小值－3.
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思考探究3 6cos4x－5cos2x＋1 ，求 f(x)的定义域，判断 已知函数 f(x)＝ cos2x 它的奇偶性．
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π [解] 由 cos2x≠0 得 2x≠kπ＋2，(k∈Z) kπ π 解得 x≠ 2 ＋4，k∈Z， k π 所以 f(x)的定义域为{x|x∈R 且 x≠2π＋4， k∈Z}， 因为 f(x)的定 义域关于原点对称， 6cos4(－x)－5cos2(－x)＋1 6cos4x－5cos2x＋1 且 f(－x)＝ ＝ ＝f(x)． cos2x cos(－2x) 所以 f(x)是偶函数．
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x π 1.(2010 年湖北)函数 f(x)＝ 3sin( － )， x∈R 的最小正周期 2 4 为( ) π A. B. π 2 C. 2π D. 4π
[解析]
2π ∵T＝ ＝4π，故选 D. 1 2
[答案]
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D
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2．(2011 年江西十校)已知函数 y＝2sinx 的定义域为[a，b]， 值域为[－2,1] ，则 b－a 的值不可能是( ) 5π A. 6 B. π 7π D. 2π C. 6