一道非常难的不定积分题目的解法

不定积分分部积分法例题及解析

不定积分分部积分法例题及解析说到不定积分，真是个让人又爱又恨的话题。

就像我们每天都要喝水，但有时候喝多了也会觉得腻。

今天咱们就来聊聊分部积分法，这可是解决不定积分的一把好手。

别担心，不会把你淹没在公式里，我会让它变得简单又有趣。

分部积分法就像一个老朋友，帮你把复杂的事情变得简单。

想象一下，你在吃一个超大汉堡。

最开始，汉堡看起来巨无霸，一口咬下去可能觉得咽不下去。

但是，如果把它分成两半，慢慢享用，突然就变得简单了。

这就是分部积分法的魅力。

公式长得像个数学怪兽，但其实它的样子是这样的：(int u , dv = uv int v , du)。

听起来是不是有点晦涩？别担心，咱们一起来拆解它。

选取 (u) 和 (dv) 是关键。

就像选汉堡的配料，你得挑你最喜欢的。

选择 (u) 的时候，通常选那些容易微分的，比如多项式；而 (dv) 通常是剩下的部分，容易积分的。

这个选择就像是搭配衣服，有些组合看起来很美，有些就像灾难现场。

对了，选择好之后，要记得微分 (u)，积分 (dv)。

没错，这就是我们要的材料。

举个简单的例子。

想象一下我们要计算 (int x e^x , dx)。

这里的 (u) 可以选 (x)，而(dv) 自然就是 (e^x , dx)。

所以，微分 (u) 得到 (du = dx)，积分 (dv) 得到 (v = e^x)。

把这些放回公式里，咱们就能得出结论。

这样一来，整个积分问题瞬间变得可口多了。

把 (u) 和 (v) 带回公式，得到的就是 (x e^x int e^x , dx)。

看到没，原本复杂的事情，现在变得一目了然。

简单积分就行了，结果是 (x e^x e^x + C)。

听起来简单吗？其实也就是那么回事儿。

分部积分法不是万能钥匙，有时候也会碰到难题。

这就像考试时遇到让人抓狂的题目，你可能要多花些时间去琢磨。

这时候，不妨再试一次，或者换个角度思考。

数学的魅力就在于它的灵活性，你总能找到出路。

巧用技巧求解不定积分

巧用技巧求解不定积分求解不定积分是数学中的重要问题之一，通常可以通过巧妙的技巧来解决复杂或者繁琐的积分。

在本文中，我将介绍几种常用的技巧来求解不定积分。

1. 分部积分法：分部积分法是求解积分中常用的方法之一，它是基于乘积法则的逆过程。

设有两个函数u(x)和v(x)，那么它们的乘积的积分可以表示为：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。

通过选择合适的u(x)和v'(x)，可以将原始的积分转化为更易求解的积分。

常用的选择方法有：选择u(x)和v'(x)是幂函数、指数函数、三角函数或者反三角函数等。

例如，对于积分∫x*sin(x)dx，我们可以选择u(x) = x 和v'(x) = sin(x)，然后根据公式进行计算：∫x*sin(x)dx = -x*cos(x) + ∫cos(x)dx= -x*cos(x) + sin(x) + C，其中C为积分常数。

2. 换元积分法：换元积分法也是求解不定积分中常用的方法之一，它通过引入一个新的变量来改变积分的形式。

设有一个函数u(x)和它的导数du(x)/dx，如果通过变量替换x = g(t)，可以得到dx = g'(t)dt，那么原始的积分可以表示为：∫f(x)dx = ∫f(g(t))g'(t)dt。

通过选择合适的变量替换，可以将原始的积分转化为更易求解的形式。

常用的变量替换包括：三角函数的倒数关系、幂函数的倒数关系、指数函数的自然对数函数等。

例如，对于积分∫e^x*sin(e^x)dx，我们可以选择变量替换u = e^x，那么dx = du/u，原始的积分可以表示为：∫e^x*sin(e^x)dx = ∫sin(u)du= -cos(u) + C= -cos(e^x) + C，其中C为积分常数。

3. 部分分式分解：部分分式分解是一种将有理函数分解成较简单形式的技巧，从而更容易求解积分。

一道非常难的不定积分题目的解法

一道非常难的不定积分题目的解法求∫arcsinx * arccosx dx的不定积分解题思路：反复运用换元，将arcsinx 换成sinx的形式，将arccox 换成cosx的形式，最终简化题目的难度！解题过程：第一步换元：将arccosx=t (xε[0,1]，tε[0,π/2])，从而得出cost=x.将∫arcsinxarccosx dx换成∫t arcsin(cost) d(cost)。

接下来怎么解呢？先看看∫arcsinx dx=arcsinx *x- ∫xd(arcsinx) 从而简化题目的难度！那么你是否会产生一个想法，上面那条题目是否可以转化呢！于是∫t* arcsin(cost)* d(cost)= ∫td(arcsin(cost)cost+sint)= t(arcsin(cost)cost+sint)- ∫(arcsin(cost)cost+sint)dt 从而求∫arcsin(cost)cost dt第二步换元：将arcsin(cost)=p ,从而sinp=cost,t=arccos(sinp).最终∫arcsin(cost)cost dt=∫psinp d(arccos(sinp))= ∫p sinp *(-1/√1-(sinp)^2)*cosp dp=∫p sinp*(-1/cosp)*cosp dp=-∫psinp dp=∫p dcosp=pcosp-∫cosp dp=pcosp-sinp+c第三步：总结出答案，表示成x的形式。

∫arcsin(cost)cost dt= arcsin(cost)(√1-cos^t)-cost+c∫(arcsin(cost)cost+sint)dt= arcsin(cost)(√1-cos^t)-cost-cost+c= arcsin(cost)(√1-cos^t)-2cost+c∫arcsinxarccosx dx=arcsinx(√1-x^2)-2x+c这条题目很难，但是换元转化的思想很重要淮师3/25/2010。

一道不定积分的几种解法

一道不定积分的几种解法假设有如下不定积分：∫(lnx)/x^2 dx这是一个比较难的不定积分，因为一般来说，我们求不定积分的时候，首先寻找的是能够对原式进行分部积分或换元积分的格式。

但是上面的式子不太容易找到这样的格式。

因此，下面将介绍几种不同的方法来求解这个不定积分。

一、逐步分解法对于这种比较难的不定积分，我们可以采用逐步分解法来实现分部积分。

具体做法如下：· 首先，我们对分子分母各做一下化简：· 然后，我们令 u = ln(x)，dv = x^-2 dx，这样我们就可以进行分部积分了。

= ∫ u dv= u * ( -x^-1 ) - ∫ v du= -ln(x)/x + 1/x + C其中，C是常数项。

这个方法的优点在于它比较简单易懂，容易理解。

缺点在于它需要进行一系列的化简运算，比较繁琐。

二、换元积分法另一种求解不定积分的方法是换元积分法。

具体做法如下：· 将原式拆分为两部分：· 令 u = ln(x)，然后对原式进行换元：三、导数除法法f'(x) = 1/x· 然后，我们将函数的导数写出来，按照一定的运算规则，得到：f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)· 最后，我们对式子进行不定积分，即可得到：这个方法的优点在于它比较巧妙，利用了函数的导数的性质。

缺点在于需要具备一定的导数运算能力和概念。

以上三种方法都可以用来求解不定积分，各有优缺点，需要根据具体情况选择合适的方法。

总的来说，在处理难题时，逐步分解法和导数除法法比较适用；在处理简单的题目时，换元积分法比较简便明了。

x乘e的2x次方的不定积分

x乘e的2x次方的不定积分X乘e的2x次方的不定积分数学是一门充满着神奇的学科，如此多元的形式和极致的美感，让它成为无数人梦寐以求的学科。

在这个广袤的数学宇宙中，有一道题目备受关注：x乘e的2x次方的不定积分，这一道题虽然表面上看起来十分复杂，但具体来讲它依然是根据不同类别的积分划分而成的，今天我们就来探讨一下这一道名为x乘e的2x次方的不定积分的奥妙。

1.凑微分法对于x乘e的2x次方的不定积分，我们可以采用凑微分法来解决。

在这一方法中，我们可以将函数拆分为两个部分：x和e的2x次幂。

然后，我们可以尝试将其中的一个部分转化为表格中的形式。

例如，对于e的2x次方，我们可以将它乘以e的负2次幂，从而获得新的积分式。

然后，我们就可以将整个积分转化为一个可以使用表格破解的形式。

2.分部积分法除了凑微分法，我们还可以使用分部积分法来解决这个问题。

分部积分法的基本思路是，将原始积分表达式拆分成两个乘积，然后使用分部积分方法求解。

例如，我们可以将函数拆分为x和e的2x次幂，然后使用分部积分法求解。

通过使用分部积分，我们可以将原始积分转化为其他形式的积分，这些积分比原始积分更容易求解。

3.初始值问题对于不定积分，我们可以将它们转化为初始值问题来求解。

在这种方法中，我们首先需要找到函数的导数，并将它们反转。

然后，我们可以使用初始值来计算积分的值。

这种方法也被称为牛顿-莱布尼茨公式。

通过使用这种方法，我们可以将原始积分转化为一个初始值问题，然后使用特定的技术来求解。

从以上的分析中，我们可以看出，解决x乘e的2x次方的不定积分仍然是有具体方法和技巧的。

无论是使用凑微分法，分部积分法，还是初始值问题，我们需要具体思考和分析出最适合我们所掌握的方法。

总的来说，数学是一门严谨的学科，对于每一个问题都有唯一的解法，整个数学体系的各个分支相互关联，构成一个完美而美丽的空间。

解决数学问题需要我们不断地深入学习和思考，并在实践中积累经验。

一道不定积分的几种解法

一道不定积分的几种解法
一道不定积分的题目可以有很多种解法，下面就以一个具体的例子来讲解不定积分的几种解法方法。

例：求不定积分∫(x^2 + 2x + 1)dx。

解法一：基本法则
我们可以使用基本法则求解这个不定积分。

根据积分的线性性质，我们可以将该积分拆分为三个部分：
∫(x^2 + 2x + 1)dx = ∫x^2dx + ∫2xdx + ∫1dx
对于每个部分，我们可以使用基本积分公式进行计算：
∫x^2dx = 1/3*x^3 + C1 （其中C1为常数）
∫2xdx = x^2 + C2 （其中C2为常数）
∫1dx = x + C3 （其中C3为常数）
不定积分的结果为：
∫(x^2 + 2x + 1)dx = x^2 + 2x + 1 + C （其中C为常数）
解法三：分部积分法
分部积分法可以用于求解含有乘积的积分。

公式为∫u*dv = uv - ∫v*du。

对于∫(x^2 + 2x + 1)dx，我们可以选择u = x^2，dv = dx。

则有du = 2xdx，v = x。

对第二个积分∫1*dx，由于∫1*dx = x + C2 （其中C2为常数），所以不需要再做进一步的计算。

以上就是三种不定积分的解法方法。

对于不同的题目，可能有不同的最佳解法，所以灵活应用各种方法是非常重要的。

—道不定积分例题的解法

—道不定积分例题的解法
积分是一门研究解决数学问题的重要方法，它可以用来计算一些变量的变化量。

在微积分中，道不定积分是一些特殊的积分形式，它们被用来计算不确定的变化量，即变量x在一定的区间内的性质的变化量。

由于道不定积分的引入，微积分的应用范围得以扩大，同时也促进了它的发展。

道不定积分可以用来解决一些较复杂的方程，并找出其变化量。

简单来说，道不定积分可以计算一个变量x在某个区间内性质的变化量，就是求不定积分。

一形式不定积分的常见例子就是用来计算难以解决的简单曲线积分。

道不定积分的解法类似于一元微分方程的解法，只是把一元常系数的常数项替换成了变量x。

道不定积分的计算方法也有三种，分别是常规积分、特殊函数积分和积分变换法。

其中常规积分就是通过简单的积分计算来求得答案，这一方法需要考虑到x的变化量大小，并有规律地进行积分，这一方法需要一定知识，但是结果可靠性较高。

特殊函数积分就是在计算中利用特殊函数，使其解出来的结果更加容易解释，但是这种方法不太适合于计算比较复杂的积分，因为特殊函数的复杂性可能无法满足需求。

积分变换法就是在计算的过程中，将连续的积分分割成一系列简单的数学操作，并将它们连接起来，这样就可以计算出积分的值，这种方法可以用来计算一些较复杂的积分。

总之，道不定积分是一种常用的计算方式，它可以用来计算一些复杂的方程，从而求得不确定的变量x在一定区间内的变化量。

道不定积分的计算方法有多种，而且都有各自的特点，需要根据实际需求选择适当的计算方法。

三角代换求不定积分例题

三角代换求不定积分例题在微积分学习中，求不定积分是一个重要的概念，而三角代换是解决一些复杂不定积分的常用方法之一。

本文将通过一个具体的例题来展示如何使用三角代换来求解不定积分。

考虑以下不定积分问题：\[ \int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}} \]首先，我们观察到被积函数中含有平方根，并且其内部是一个二次函数。

这时候我们可以尝试使用三角代换来简化问题。

我们可以令：\[ x = 3\sin\theta \]这样，我们有：\[ dx = 3\cos\theta d\theta \]接下来，我们要将原积分中的 x 用θ 表示出来。

由于我们已经令x = 3sinθ，那么根据三角恒等式，我们可以得到：\[ \sqrt{9-x^2} = \sqrt{9-9\sin^2\theta} = 3\cos\theta \]将 x 和 dx 用θ 表示后，原不定积分可以转化为：\[ \int \frac{3\cos\theta d\theta}{3\cos\theta} = \intd\theta \]现在，我们已经将原不定积分转化为了一个更简单的形式。

对于不定积分 \(\int d\theta\)，其结果显然是θ 加上一个常数 C，即：\[ \int d\theta = \theta + C \]最后，我们需要将θ 重新转化为 x。

由于我们之前令 x =3sinθ，因此可以得到：\[ \theta = \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) \]因此，最终的结果是：\[ \int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}} =\arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + C \]通过这个例题，我们展示了如何使用三角代换来求解不定积分。

三角代换是一个常用的积分方法，对于一些包含平方根和二次函数的积分问题非常有效。

希望读者通过这个例题能更加熟悉和掌握三角代换的使用方法，从而更好地应用于实际的积分计算中。

不定积分sint^3dt的解法

不定积分sint^3dt的解法积分是微积分学中非常重要的一个概念，不定积分又称原函数，是一种求导的逆运算，因此求不定积分也是微积分学中基本的内容。

在这篇文章中，我们来看一下如何求解不定积分sint^3dt。

首先，我们需要知道什么是不定积分？不定积分是函数的某一类原函数的集合。

理解不定积分的关键点是理解反导数的概念。

不定积分的一般形式如下：∫f(t)dt=F(t)+C其中，f(t)是被积函数，F(t)是原函数，C是常数。

不定积分的求解过程就是找到一个原函数F(t)。

在这个问题中，我们需要求解不定积分sint^3dt，即：接下来，我们将介绍一些不同的方法来求解这个不定积分问题。

方法1：通分法我们可以先将sint^3拆成sin(t)*sin^2(t)。

因为sin^2(t)=1-cos^2(t)，所以有：现在，我们可以将不定积分∫sint^3dt表示为∫(sin^3(t)-sin(t)*cos^2(t))dt。

对于sin^3(t)的不定积分，我们可以使用代换法，即令u=sin(t)，然后进行代换求解。

对于sin(t)*cos^2(t)，我们可以使用部分积分法求解。

具体来说，我们先对sin(t)*cos^2(t)进行一次积分分部，即：然后，我们将∫sin^3(t)dt用代换法进行求解。

令u=sin(t)，则有du=cos(t)dt，从而：∫sin^3(t)dt=∫sin^2(t)*sin(t)dt=∫(1-cos^2(t))*sin(t)dt=∫(1-u^2)du=1/3*sin^3 (t)-1/3*sin^3(t)+C因此，我们可以得到：方法2：奇偶性法观察原函数sint^3，可以发现它是一个奇函数，因为当t在[-π/2,π/2]时间内运动时，sint^3是一个关于y轴对称的函数。

因此，我们可以根据奇函数的性质来求解这个不定积分。

在[-π/2,π/2]时间内，我们有sin(-t)=-sin(t)，因此：现在，我们将sin^2(t)的表达式替换为1-cos^2(t)，得到：对于∫sin(t)dt，我们可以简单地使用积分求解，得到：现在，我们将上述结果代入原式中，即得到：综上，我们使用了通分法和奇偶性法来求解不定积分sint^3dt，得到了两个不同的解法，它们的结果是一样的。

专升本不定积分的求解技巧

专升本不定积分的求解技巧不定积分是微积分的重要概念之一，也是微积分中的基础知识。

专升本考试中，通常也会涉及到不定积分的求解问题。

下面将介绍一些不定积分的求解技巧。

1.基本积分公式：掌握基本的求导和积分公式是不定积分的基础。

比如常见的多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数的积分公式都是必须掌握的。

2.代换法：对于一些复杂的不定积分问题，可以通过合适的代换将其转化为简单的形式。

最常见的代换法是用一个变量替换整个被积函数。

3.部分分式分解法：当被积函数为有理函数时，可以通过部分分式分解将其拆解成若干个简单的分式，再进行不定积分。

4.分部积分法：对于一些具有乘积形式的函数，可以利用分部积分法将其转化为积分形式更简单的函数。

5.换元积分法：当被积函数中含有复杂的函数表达式时，可以通过换元积分法将其转化为一个形式更简单的函数再进行求解。

6.凑微分法：当被积函数中含有较高次数的函数或多项式时，可以通过凑微分法将其转化为更易求解的形式。

7.递推法：递推法主要用于一些具有递推关系式的函数，通过推导出递推关系，可以得到一般项的计算公式，并进行不定积分。

8. Euler换元法：Euler换元法主要用于一些含有平方根的函数，通过合理的换元将其转化为一个形式更简单的函数再进行求解。

除了上述的求解技巧，还需要熟练掌握基本的计算技巧，比如如何计算常数项、如何处理无理函数的积分、如何处理带有绝对值符号的函数等。

在考试中，如果遇到不定积分的求解问题，可以先根据题目给出的函数类型选择合适的求解技巧，然后按照相应的方法进行计算。

在计算过程中，要注意一步一步进行，避免出错。

最后，要检查计算结果的合理性，以确保计算无误。

在专升本考试中，不定积分的求解是一个重点和难点，需要投入一定的时间和精力进行学习和练习。

通过反复的积累和练习，掌握不定积分的求解技巧，提高自己的计算能力和解题能力，才能在考试中取得好成绩。

一道不定积分的几种解法

一道不定积分的几种解法不定积分是微积分中的一个重要概念，表示对函数进行反求导的过程。

一般来说，不定积分有多种解法，下面将介绍一些常用的不定积分解法。

第一种解法：基本初等函数法。

基本初等函数是指常见的数学函数，如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

对于很多函数，我们可以通过找到该函数的原函数来求解不定积分。

对于函数f(x)=x^2，我们知道它是一个二次函数，它的原函数是F(x)=(1/3)x^3+C，其中C是常数。

不定积分∫x^2dx=(1/3)x^3+C。

第二种解法：换元法。

换元法在解决某些复杂的不定积分问题时非常有效。

其基本思想是通过变量代换，将原函数转化为一个更容易求解的形式。

对于函数f(x)=e^x，我们可以通过变量代换u=e^x，使得du=e^xdx，从而将原函数转化为∫du= u + C = e^x+C。

分部积分法是求解一些乘积函数的不定积分的常用方法。

其基本公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，其中u(x)和v(x)都是可导函数。

这个公式可以通过对等式两边进行求导验证。

对于函数f(x)=x*sin(x)，我们可以将其分解为u(x)=x和v'(x)=sin(x)，然后利用分部积分公式求解。

具体步骤如下：∫x*sin(x)dx = -x*cos(x) + ∫cos(x)dx= -x*cos(x) + sin(x) + C定积分法是通过求解定积分的原函数来求解不定积分的方法。

定积分是不定积分的一个特例，它表示在两个给定的区间上对函数进行求和的过程。

对于一些具有特殊性质的函数，我们可以通过求解定积分的原函数来获得不定积分的解。

对于函数f(x)=1/x，在区间[1,2]上的定积分是∫1/x dx = ln|x|+C。

级数展开法适用于一些特殊的函数，通过将函数展开成级数的形式，再对每一项进行不定积分，最后将级数求和得到不定积分的解。

一道不定积分的几种解法

一道不定积分的几种解法不定积分是微积分中的重要内容，也是数学学习中常见的问题之一，对于不同的不定积分问题，有很多不同的解法。

本文将介绍一道不定积分的几种解法，帮助读者深入理解不定积分的求解方法。

一、直接使用不定积分的定义求解我们来看一道具体的不定积分问题：计算不定积分∫(5x^4 - 3x^2 + 2)dx。

这是一个简单的多项式函数的不定积分问题，可以直接使用不定积分的定义来求解。

根据不定积分的定义，我们将每一项分别进行不定积分，得到：∫(5x^4 - 3x^2 + 2)dx = (5/5)x^5 - (3/3)x^3 + 2x + C= x^5 - x^3 + 2x + CC为积分常数。

这道不定积分问题的解为x^5 - x^3 + 2x + C。

二、利用换元法求解接下来，我们将同样的不定积分问题∫(5x^4 - 3x^2 + 2)dx进行另外一种解法——换元法。

我们可以观察到5x^4 - 3x^2 + 2中的每一项都包含x^2。

我们可以设u = x^2，然后对u进行求导，得到du = 2x dx。

接着，我们将原不定积分问题中的每一项，用u替换x^2，并将dx用du/2x代替，得到：∫(5x^4 - 3x^2 + 2)dx = ∫(5u^2 - 3u + 2)(1/2)du= (5/2)∫u^2du - (3/2)∫udu + ∫du= (5/2)*(1/3)u^3 - (3/2)*(1/2)u^2 + u + C= (5/6)u^3 - (3/4)u^2 + u + C将u = x^2代回原式，并合并同类项，得到不定积分的解：(5/6)x^3 - (3/4)x^2 + x + C。

这就是利用换元法求解不定积分问题的方法，可以看到与直接使用不定积分的定义求解相比，这种方法更加简便。

三、使用分部积分法求解分部积分法一般适用于含有指数函数、三角函数、对数函数等特殊函数的不定积分问题。

对于这道问题，我们选择令u = x，dv = e^x dx，然后对u、dv进行求导和积分。

不定积分(较难)

计算题：⒈求dx xx ⎰cos tan⒉求⎰+xdx sin 1⒊求⎰++1)12(22x x dx⒋求dx xx x ⎰34sin2cos⒌求⎰+dx x x x )1(arctan 22⒍求⎰+xx dxsin 2)2sin(⒎dx x xex⎰+232arctan )1(⒏⎰dx xx cos sin13⒐⎰-.)1(ln 2dx x x⒑dx xx x ⎰+++221)1ln(⒒⎰+dx x ex x 22)2(⒓⎰++dx xe x x x)1(1计算题解答：⒈解：原式=()C xx d x dx xx x +=-=⎰⎰-cos 2cos cos cos cos sin 23⒉解：原式=⎰⎰⎰⎰+=-=+--xx d xdx dx xx dx x x x 222coscos seccossin 1)sin 1)(sin 1(sin 1=C x x +-sec tan⒊解：令tdt dx t t x 2sec ,22,tan =<<-=ππ原式=⎰⎰⎰+=+⋅=++tt tdtt t dtdt tt t222222cos sin2cos )1tan2(cos tan 1)1tan 2(sec=⎰+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+C x xC t t t d 221arctan )arctan(sin sin1sin ⒋解法一：原式=⎰⎰=dx x x x dx x x x x 2sin2cos812cos2sin22cos33334=⎰⎰⎰+-=-=-dx x x x x xd x d x x 2cot812cot812cot812cot 2cot 41222=⎰⎰+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-22csc41812cot 8112csc 812cot812222x dx x x x dx xx x=C x x x +--cot 412cot812⒋解法二：原式=⎰⎰⎰---==2sin812sin2sin412sin2cos 81233x xd x d x x dx x x x=C x x x dx x x x +--=+-⎰-2cot412csc812sin1812sin81222⒌解；原式=⎰⎰⎰+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-dx xx dx xx xdx x x22221arctan arctan arctan 111=⎰⎰⎰-++-=--22)(arctan 21)1(arctan arctan arctan 1arctan x xx dxxxx xd xxd=222)(arctan 2111121arctan x dx x x xx-⎪⎭⎫⎝⎛+-+-⎰=C x xxxx+-++-222)(arctan 211ln21arctan⒍解法一：原式=⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+2cos2tan 2tan 412cos2sin 241)1(cos sin 223x x x d x x x d x x dx=⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+C x x x d x x2tanln 412tan812tan 2tan 2tan141226.解法二：原式=⎰⎰⎰+--=+-=+22)1)(1(21cos )cos 1)(cos1(2sin )1(cos sin 2u u duu x x x xdxx x dx=C x x x C u u u +⎪⎭⎫⎝⎛+++--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--cos 12)cos 1ln()cos 1ln(81121ln 1ln 81 ⒍解法三：令212sin ,2tantt x x t +==则则,12,arctan 2,11cos 222dt tdx t x tt x +==+-=原式=C x x dt t t ++=⎪⎭⎫⎝⎛+⎰2tan 812tan ln 411412⒍解法四：原式=⎰⎰⎰+=+xdx xx dx x x x x sin412cos2sin812cos2sin82cos 2sin3322=C x x x +-+cot csc ln 412sec812⒎解法一：设则,tan t x =C t t e tdt e tdt t te dx xtttxxe+-==+=+⎰⎰⎰)cos (sin 21sin sec )tan1(tan )1(222arctan 2323C x e x C xxx exx++-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=2arctan22arctan 12)1(11121⒎解法二：原式=⎰⎰⎰+-+=+-+=+2arctan 2arctan 2arctan 2arctan arctan 211)1(1123xexxedx xexxedexx xxxxx=dx xxexex xexxx⎰+-+-+23)1(112arctan 2arctan 2arctanC xex x++-=2arctan 12)1(移项得原式⒏解：原式⎰+=dx xx xx cos sin cossin322⎰⎰+=dx xxxx dx 3sincos cos sinxdx xxdx xx2sin21sincos cossin -+=⎰⎰c xx x +-+-=2sin21sin ln cos ln⒐解：⎰⎰⎰+---=⋅---=-dx xxxx dx xxxx dx x x )111(1ln 1111ln )1(ln 2C xx xx +++-=|1|ln1ln⒑解：Cx x x x d x x xdx x x dx x x x +++=++++=+++=+++⎰⎰⎰232222222))1(ln(32)1ln()1ln(1)1ln(1)1ln(⒒解：原式⎰+-=212x de x x()dx xee xx x ex xx x221222++++-=⎰⎰++-=dx xe x ex xx22⎰-++-=dx e xex ex xxx22c e xex ex xxx+-++-=22⒓原式⎰++=dx xe xe x e x x x)1()1(⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=xxx dxe xe xe111c xexexx ++=1ln。

不定积分部分难题解答

不定积分部分难题解答：1．（P173-175）根据提示，请你接着把题做到底：（1）()dx xx ⎰--121；（2）()dx xx ⎰+311；（3）dx x x⎰-+11；（4）dx x x ⎰+-5412；（5）dx x x ⎰-+245；（6）dx xx ⎰-4412；（7）()dx xa⎰+2221；解：（1）令x t -=1，则.2,12tdt dx t x -=-=().1arctan 2arctan 21121212c x c t dt tdx xx +--=+-=+-=--⎰⎰（2）()26266arctan 6.1t x t dt t t c c t ==-+=++⎰（3）令x x t -+=11，则().14,112222dt t tdx t t x +=+-= ()dt t t dx x x ⎰⎰+=-+2221411 ① 再令u t tan =，则.sec 2udu dt =()⎰⎰⎰⎰==+=-+udu du u u dt t t dx x x 222222sin 4sec tan 41411 ()c u u u c u u du u +-=+-=-=⎰cos .sin 222sin 22cos 12c ttt t +++-=2211.12a r c t a n 2c t t t ++-=2112arctan 2().11111arctan 2c xxx x x +-+---+= 另解：dx xx⎰-+11()()()()dx x x x x ⎰+-++=1111dx xx ⎰-+=211+-=⎰dx x211dx xx ⎰-21()2211121s i n xd x x a c c ---=⎰ .1s i n 2c x x a c c +--= （4）dx x x ⎰+-5412()()()().122ln 212122c x x x d x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=-+-=⎰（5）dx x x ⎰-+245()()22322---=⎰x d x ()().32a r c s i n 232232222c x x x +-+---=（6）dx xx ⎰-4412()()121121212---=⎰x d x()().11212ln 212c x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=（7）令t a x tan =，则.sec 2tdt a dx =()⎰⎰⎰==+tdt adt t a dx x a2323222cos 1sec 111()c t t a t a c t t a dt t a ++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰cos .sin 21212sin 21212cos 1213333.21arctan 212223c x a x a a x a +++=2．（P180第2题）求下面的原函数：（1）dx e x x ⎰23；（2）dx x x ⎰3cos ；（3）dx x x ⎰2tan ；（4）dx x ⎰+)1ln(2；（5）()dx x ⎰2arcsin ；（6）()dx x ⎰ln cos ；（7）dx e e x x ⎰arctan ；（8）dx x x x ⎰+arctan 122；（9）()dx x ex221tan ⎰+；（10）dx x e x ⎰22cos ；c x a ax a x a a x a ++++=222233.21arctan 21（11）dx e x ⎰；（12）dx xxx ⎰-+11ln 。

不定积分部分难题解答

主讲周世国第五章不定积分第一节不定积分的概念一.原函数的概念1.定义1.如果在区间I 内，可导函数()x F 的导函数为()x f ，即当I x ∈时，()()F x f x '=或()()dx x f x dF =，则称函数()x F 为()x f （或()dx x f ）（在区间I 内）的一个原函数.比如：()l n l n x x x x '-=，则x x x -ln 就是x ln 的一个原函数.其实，()ln ln x x x c x -+=，因此x ln 的原函数有无数多个.注意：（1）原函数的存在：如果()x f 在区间I 上连续，则()x f 必有原函数；（2）原函数的个数：如果()x f 有一个原函数，则()x f 的原函数必有无数多个；（3）()x f 的任何两个原函数之间只相差一个常数. （4）()x f 的全体原函数可表示为()x F +C.2.定义2.（不定积分的定义）()x f 的全体原函数称为()x f 的不定积分，记为()()C x F dx x f +=⎰.其中记号“⎰”称为积分号；()x f 称为被积函数，()dx x f 称被积表达试；x 称为积分变量.举例：22;xdx x C =+⎰ C x x d x +=s i n c o s. 3.提问：（1）()()()f x dx f x '=⎰；（2）()()()dx x f dx x f d =⎰；（3）()()F x dx F x C '=+⎰；（3） ()()C x F x dF +=⎰；（4） C x x d +=⎰ln ln . 4.不定积分的集合意义：根据()()C x F dx x f +=⎰，说明不定积分的几何意义是一族曲线，在相同的横坐标处的切线平行，()x F y =称为积分曲线.二.基本积分表（1） ⎰=C dx 0；（2）212xdx x C =+⎰；（3） ⎰+=C x dx ；（4）⎰+=C kx kdx ；（5） 111(0,1)x dx x C μμμμ+=++≠-⎰；（6）⎰+=C x dx x||ln 1；（7）21arctan 1dx x C x =++⎰ （8）arcsin x C =+C x +-=a r c t a n ； C x +-=a r c c o s ；（9）ln xxa a dx C a=+⎰；（10）x x e dx e C =+⎰；（11）⎰+-=C x xdx cos sin ；（12）⎰+=C x xdx sin cos ；（13）2sec tan xdx x C =+⎰；（14）2csc tan xdx c x C =-+⎰；（15）⎰+=C x xdx x sec tan .sec ；（16）⎰+-=C x xdx c x csc tan .csc ；（17）⎰+=C chx shxdx ；（18）⎰+=C shx chxdx . 例1.求4133433dx x dx xC x--===-+⎰⎰；例2.求()()222.ln 2xxx x e e dx e dx C e==+⎰⎰第五章不定积分第二节不定积分的性质及其应用一.定理1.()()[]()()dx x g dx x f dx x g x f ⎰⎰⎰±=±；()()dx x f k dx x kf ⎰⎰=.（其中k 为任意常数）推论：()()()()1212.k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰（其中12,k k 为任意常数）有了定理1及基本积分表，我们就可以计算较简单的函数的积分，这种方法称做直接积分法. 二.举例.例1．求()4432222111arctan .1113x x dx x dx dx x dx x x c x x x -+==-+=-+++++⎰⎰⎰⎰ 例2．求21cos 11sin cos sin .22222x x x dx dx dx xdx x c -==-=-+⎰⎰⎰⎰ 例3．求222244csc 4tan .sin sin cos 22dx dxxdx c x c x x x ===-+⎰⎰⎰例4．已知某个函数的导数是x x cos sin +，又知当2π=x 时，这函数值为2，求此函数.解：因为().sin cos cos sin c x x dx x x ++-=+⎰，所以，可设().sin cos c x x x f ++-=又因为1212=⇒=+=⎪⎭⎫⎝⎛c c f π.所以，().1sin cos ++-=x x x f例5．设()21.(0)f x x x'=>，求()x f .解： ()()20)f x f x x ''==>，()12(0).fx d x x d x c x -===+>⎰ 例6．下列写法是否有误，为什么？()1 l n .x x e dx e c =+⎰（c 为任意正常数） ()2 321(0).3x x d x c c=+≠⎰ ()3a r c s i n a r c c o s .x c x c =+=-+ ()4 22111sin cos sin cos cos 2.224x xdx x c x c x c =+=-+=-+⎰本章难题解答：1．（P173-175）根据提示，请你接着把题做到底：（1）()dx xx ⎰--121；（2）()dx xx ⎰+311；（3）dx x x⎰-+11；（4）dx x x ⎰+-5412；（5）dx x x ⎰-+245；（6）dx xx ⎰-4412；（7）()dx xa⎰+2221；解：（1）令x t -=1，则.2,12tdt dx t x -=-=().1arctan 2arctan 21121212c x c t dt tdx xx +--=+-=+-=--⎰⎰（2）()26266arctan 6.1t x t dt t t c c t ==-+=++⎰（3）令x x t -+=11，则().14,112222dt t tdx t t x +=+-= ()dt t t dx x x ⎰⎰+=-+2221411 ① 再令u t tan =，则.sec 2udu dt =()⎰⎰⎰⎰==+=-+udu du u u dt t t dx x x 222222sin 4sec tan 41411 ()c u u u c u u du u +-=+-=-=⎰cos .sin 222sin 22cos 12c ttt t +++-=2211.12a r c t a n 2c t t t ++-=2112arctan 2().11111arctan 2c xxx x x +-+---+= 另解：dx xx⎰-+11()()()()dx x x x x ⎰+-++=1111dx xx ⎰-+=211+-=⎰dx x211dx xx ⎰-21()2211121s i n xd x x a c c ---=⎰ .1sin 2c x x acc +--= （4）dx x x ⎰+-5412()()()().122ln 212122c x x x d x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=-+-=⎰（5）dx x x ⎰-+245()()22322---=⎰x d x ()().32a r c s i n 232232222c x x x +-+---=（6）dx xx ⎰-4412()()121121212---=⎰x d x()().11212ln 212c x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=（7）令t a x tan =，则.sec 2tdt a dx =()⎰⎰⎰==+tdt adt t a dx x a2323222cos 1sec 111()c t t a t a c t t a dt t a ++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰cos .sin 21212sin 21212cos 1213333.21arctan 212223c x a x a a x a +++=2．（P180第2题）求下面的原函数：（1）dx e x x ⎰23；（2）dx x x ⎰3cos ；（3）dx x x ⎰2tan ；（4）dx x ⎰+)1ln(2；（5）()dx x ⎰2arcsin ；（6）()dx x ⎰ln cos ；（7）dx e e x x ⎰arctan ；（8）dx x x x ⎰+arctan 122；（9）()dx x ex221tan ⎰+；（10）dx x e x ⎰22cos ；c x a ax a x a a x a ++++=222233.21arctan 21（11）dx e x ⎰；（12）dx xxx ⎰-+11ln 。

不定积分分解ABC技巧

不定积分分解ABC技巧
在数学中，不定积分分解ABC技巧是一种常用的方法，用于求解较为复杂的不定积分。

通过将被积函数进行适当的分解和变形，可以使得原本难以处理的积分问题变得相对简单。

下面将介绍一些常见的不定积分分解ABC技巧，希望能够对读者有所帮助。

我们可以通过分部积分法来分解不定积分问题。

分部积分法是求解积分中常用的方法之一，适用于含有两个函数的积分。

通过选择合适的两个函数，并利用分部积分的公式，可以将原本复杂的积分问题转化为两个较为简单的积分相加的形式。

这样不仅可以简化计算过程，也可以减少出错的可能性。

我们可以通过换元积分法来分解不定积分问题。

换元积分法是求解积分中常用的另一种方法，适用于含有复杂函数的积分。

通过选择合适的代换变量，并进行适当的变形，可以将原本复杂的积分问题转化为简单的基本积分形式。

这样不仅可以简化计算过程，也可以加快求解的速度。

我们还可以通过分式分解法来分解不定积分问题。

当被积函数为有理函数时，可以通过分式分解的方法将其分解为若干个简单的分式相加的形式。

然后再分别对每个分式进行积分，最终将各个部分的积分结果相加即可得到原始函数的不定积分。

这种方法在处理有理函数积分时非常有效，可以大大简化计算过程。

总的来说，不定积分分解ABC技巧是求解不定积分问题中的重要方法之一。

通过合理选择适用的分解方法，可以将原本复杂的积分问题转化为简单的基本积分形式，从而更快更准确地求解问题。

希望以上介绍的内容对读者有所启发，能够在数学学习中有所帮助。

感谢阅读！。

不定积分的解题方法与技巧

一．直接积分法（公式法）利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分二．第一类换元法 1.当遇到形如⎰++cbx ax dx2的不定积分，可分为以下三种情况：（1）当0>∆时，可将原式化为()()21x x x x --，其中，21,x x 为c bx ax++2的两个解，则原不定积分为：()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=--⎰⎰⎰221112211x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---=2112ln 1（2）当0=∆时，可利用完全平方公式，化成()()⎰--2k xk x d 。

然后根据基本积分公式即可解决。

（3）当0<∆时，可先给分母配方，多利用C x x dx+=+⎰arctan 12解决。

2.当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分。

当被积函数为三角函数的偶次幂时，常用半角公式降幂；若为奇次，则拆一项去凑微分，剩余的偶次用半角公式降幂。

三．第二类换元法 1.三角代换当被积函数含有22x a -时，令x=asint 或x=acost ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππt 。

当被积函数含有22x a +时，令x=tant ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππt 。

当被积函数含有22a x -时，令x=±asect ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πt2.倒代换当分母中因子次数较高时，可考虑倒代换。

三．分部积分法口诀：反对幂指三，谁后谁先微。

意思是：反三角函数，对数函数，幂函数，指数函数，三角函数，谁在后面谁先被微分。

分部积分法一般用于两个函数相乘且两个函数属于口诀中五种函数中的两个。

四．有理函数的积分 1.形如()ka -x 1的有理函数，它所对应的部分分式是()()()kk221a -x A a -x A a -x A +⋯⋯++ 2.形如()kqpx ++2x1的有理函数，它所对应的的部分分式是()()()k2kk 2222211xx x qpx C x B qpx C x B q px C x B ++++⋯⋯++++++++3.非以上二者形式的有理函数，采取固定分项步骤（其实，就是上述两种方法的综合）：部分分式项数为原有理函数的分母整体的次数和。