【数学】华师版八年级上册第13章全等三角形【学案】13.5.4角平分线——角平分线的判定
华师大版数学八年级上册第13章《全等三角形》教学设计
华师大版数学八年级上册第13章《全等三角形》教学设计一. 教材分析华师大版数学八年级上册第13章《全等三角形》是学生在学习了平面几何基本概念、三角形、四边形等知识后，进一步研究全等三角形的性质和判定方法。
全等三角形是几何中的重要概念，是解决几何问题的基础。
本章内容主要包括全等三角形的定义、性质、判定方法以及全等三角形的应用。
通过本章的学习，使学生掌握全等三角形的性质和判定方法，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了平面几何基本概念、三角形、四边形等知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但全等三角形的学习对于学生来说是一个新的挑战，因为全等三角形的性质和判定方法较为抽象，需要学生能够理解和运用。
此外，学生对于实际问题的解决能力也有待提高。
三. 教学目标1.理解全等三角形的定义和性质，掌握全等三角形的判定方法。
2.能够运用全等三角形的性质和判定方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.全等三角形的定义和性质。
2.全等三角形的判定方法。
3.全等三角形在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探索全等三角形的性质和判定方法。
2.运用多媒体辅助教学，直观展示全等三角形的性质和判定方法。
3.采用小组合作学习，培养学生团队合作精神。
4.注重实践操作，让学生在动手实践中掌握全等三角形的性质和判定方法。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.全等三角形的教学课件。
3.全等三角形的练习题。
4.三角板、直尺、圆规等绘图工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示全等三角形的图片，引导学生思考：什么是全等三角形？全等三角形有哪些性质？2.呈现（10分钟）讲解全等三角形的定义和性质，通过示例演示全等三角形的判定方法。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用全等三角形的性质和判定方法解决实际问题。
华师版数学八年级上册教案-第13章 全等三角形-13.5 逆命题与逆定理(3课时)
13.5逆命题与逆定理1互逆命题与互逆定理(第1课时)一、基本目标1．理解逆命题与逆定理的意义，会写出一个命题的逆命题．2．会判断定理的逆命题的真假．二、重难点目标【教学重点】会写出一个命题的逆命题，会判断定理的逆命题的真假．【教学难点】写出一个命题的逆命题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P92～P93的内容，完成下面练习．【3 min反馈】一、互逆命题1．命题“两直线平行，内错角相等”的条件是两直线平行，结论是内错角相等．2．命题“内错角相等，两直线平行”的条件是内错角相等，结论是两直线平行．3．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．二、互逆定理1．“两直线平行，内错角相等”的逆命题是内错角相等，两直线平行．2．“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角．3．如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例题】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明．(1)两直线平行，同旁内角互补；(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；(3)相等的角是内错角；(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．【互动探索】(引发学生思考)什么是逆命题？怎样举反例？【解答】(1)逆命题：同旁内角互补，两直线平行．是真命题．(2)逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线．是真命题．(3)逆命题：内错角相等．是假命题．反例：如图，∠1与∠2是内错角，但不相等．(4)逆命题：等边三角形有一个角是60°.是真命题．【互动总结】(学生总结，老师点评)说明命题为假命题的反例即为符合该命题条件而不符合该命题结论的例子，如(3)小题中的例子．活动2巩固练习(学生独学)1．下列命题的逆命题是真命题的是(C)A．全等三角形的周长相等B．对顶角相等C．等边三角形的三个角都是60°D．全等三角形的对应角相等2．写出“全等三角形的面积相等”的逆命题：面积相等的三角形全等．3．写出命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题并证明．解：逆命题：直角三角形的两锐角互余．已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A＋∠B＝90°.证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，即∠A与∠B互余．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！2线段垂直平分线(第2课时)一、基本目标1．掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理．2．能灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．二、重难点目标【教学重点】线段垂直平分线的性质定理和判定定理．【教学难点】灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P94～P95的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，猜想一下线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？解：AA′、BB′、CC′与直线MN垂直平分．2．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．3．线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．4．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(C)A．MA＝MB，NA＝NBB．MA＝MB，MN⊥ABC．MA＝NA，MB＝NBD．MA＝MB，MN平分∠AMB5．三角形的三条垂直平分线交于一点．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC 于点D.若△DBC的周长为35 cm，求BC的长．【互动探索】(引发学生思考)已知AB、AC的长和△DBC的周长，要求BC的长，先求什么？再求什么？【解答】∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD.∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35 cm，∴BC＋AD＋CD＝35 cm.∵AC＝AD＋DC＝20 cm，∴BC＝35－20＝15 (cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质定理，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．【例2】如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．【互动探索】(引发学生思考)先利用角平分线的性质得出DE ＝DF ，再证△AED ≌△AFD ，从而找出AD 与EF 的关系．【解答】AD 垂直平分EF .证明如下： ∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF ，∠AED ＝∠AFD ＝90°.在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，DE ＝DF ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF ， ∴AE ＝AF ，∴A 、D 均在线段EF 的垂直平分线上，即直线AD 垂直平分线段EF .【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段的垂直平分线可以用定义法，也可用线段垂直平分线的判定定理．活动2 巩固练习(学生独学)1．三角形中，到三个顶点距离相等的点是( D ) A ．三条高线的交点 B ．三条中线的交点 C ．三条角平分线的交点 D ．三边垂直平分线的交点2．如图，△ABC 的两边AC 和BC 的垂直平分线分别交AB 于D 、E 两点，若AB 边的长为10 cm ，则△CDE 的周长为( A )A ．10 cmB ．20 cmC ．5 cmD ．不能确定3．如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段P A ＝5，则线段PB的长度为(B)A．6 B．5C．4 D．34．小明做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.【互动探索】(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可证得△ADE≌△FCE，从而证得结论；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．【证明】(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题是线段垂直平分线与全等三角形的综合应用，证得△ADE≌△FCE是解题的关键．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！3角平分线(第3课时)一、基本目标1．掌握角平分线的性质定理和判定定理．2．能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题．二、重难点目标【教学重点】角平分线的性质定理和判定定理．【教学难点】灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P96～P98的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．角平分线上的点到角两边的距离相等．2．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．3．三角形的三条角平分线交于一点，这个交点一定在三角形内部，它到三角形三边距离相等．4．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为30°.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生对学)【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC ＝3 cm，那么AE、AC、DE这三条线段之间有怎样的数量关系？请说明理由．【互动探索】(引发学生思考)根据“角平分线上的点到角两边距离相等”可得DE＝CE，从而可知AE 、AC 、DE 之间的数量关系．【解答】AE ＋DE ＝AC ＝3 cm.理由如下： ∵∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB ， ∴DE ＝CE ，由图可知，AC ＝AE ＋CE ， 所以AC ＝AE ＋DE ＝3 cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了“角平分线上的点到角两边距离相等”的性质，熟记性质是解题的关键．【例2】如图，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，F 、G 分别是OA 、OB 上的点，且PF ＝PG ，DF ＝EG .求证：OC 是∠AOB 的平分线．【互动探索】(引发学生思考)要证OC 是∠AOB 的平分线，需证PD ＝PE ，而通过证Rt △PFD ≌Rt △PGE 即可得PD ＝PE .【证明】∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴∠PDF ＝∠PEG ＝90°.在Rt △PFD 和Rt △PGE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧PE ＝PG ，DF ＝EC ，∴Rt △PFD ≌Rt △PGE (H.L.)， ∴PD ＝PE .∵P 是OC 上一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴OC 是∠AOB 的平分线．【互动总结】(学生总结，老师点评)根据三角形全等得到PD ＝PE ，这样就把已知条件和角平分线的判定定理联系起来了．活动2巩固练习(学生独学)1．如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝16，BD＝9，则点D到AB的距离是(D)A．10 B．9C．8 D．72．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)A．一处B．二处C．三处D．四处3．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC.(1)求证：AM平分∠DAB；(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．(1)证明：过点M 作ME ⊥AD 于点E . ∵DM 平分∠ADC ，∠C ＝90°，ME ⊥AD ， ∴MC ＝ME . ∵M 是BC 的中点， ∴BM ＝MC ＝ME .又∵∠B ＝90°，ME ⊥AD ， ∴AM 平分∠DAB .(2)解：AM ⊥DM .证明如下： ∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴AB ∥DC ，∴∠BAD ＋∠ADC ＝180°.∵AM 平分∠DAB ，DM 平分∠ADC ， ∴∠MAD ＝12∠BAD ，∠MDA ＝12∠ADC ，∴∠MAD ＋∠MDA ＝90°， ∴∠AMD ＝90°， ∴AM ⊥DM .环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！。
全等三角形135逆命题与逆定理4角平分线角平分线的判定课件2
你一定发现到角两边距离相等的点的确在该角的 平分线上. 我们可以通过“证明”说明这一结论正确.
知1－讲
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离 相等
的点在角的平分线上．
(1)几何语言：如图13.5-15，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或
∠AOC＝∠BOC)． (2)作用：运用角平分线的判定，
图
知1－讲
证明：过点O、Q作射线OQ. ∵ QD⊥OA, QE⊥OB ， ∴ ∠QDO= ∠BOQ = 90°. 在 Rt △QDO和 Rt △QEO中，
∵ OQ = OQ，QD = QE，
∴ Rt △QDO≌ Rt △QEO, (H. L.), ∴ ∠DOQ= ∠EOQ(全等三角形的对应角相等). ∴点Q在∠AOB的平分线上.
试试看，现在你会证明了吗？
图13.5.6
知2－讲
例4 如图13.5-20，CP，BP是△ABC两外角的平分线，
PE⊥AC且与AC的延长线交于点E，PF⊥AB且与
AB的延长线交于点F，试探究BC，CE，BF三条
线段有什么关系？
导引：点P是两个角的平分线的
交点，因此先作PD⊥BC，
利用角平分线的性质找出
(2)点在角的平分线上
点到这个角两边的
距离相等．
(3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离 就一定相等；判定定理反映只要是到角两边
距离 相等的点，都应在角的平分线上．
AB •D1 E）∶（ 2
AC •D1 F）＝ 2
(2)∵S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，
1
1
∴ （ AB •DE）∶（ AC •DF） ＝AB∶AC，
华师大版八年级上册数学第13章 全等三角形含答案
华师大版八年级上册数学第13章全等三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：①AB=DE；②BC=EF；③AC=DF；④∠A=∠D；⑤∠B=∠E；⑥∠C=∠F．以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC与△DEF全等的是（）A.①②⑤B.①②③C.①④⑥D.②③④2、如图所示，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点，分别在和上.下列结论：①；②；③；④.其中结论正确的序号是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④3、如图，在①AB=AC②AD=AE③∠B=∠C④BD=CE四个条件中，能证明△ABD与△ACE全等的条件顺序是（）A.①②③B.②③④C.①②④D.③②④4、如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）。
A.2个B.4个C.6个D.8个5、如图，已知AB＝AC，D，E分别为AB、AC上的点，AD＝AE，则下列结论不一定成立的是（）A.∠B＝∠CB.DB＝ECC.DC＝EBD.AD＝DB6、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列不成立的是（）A.∠B＝∠CAEB.∠DEA＝∠CEAC.∠B＝∠BAED.AC＝2EC7、到三角形三个顶点距离相等的点是（）．A.三条高线的交点B.三个内角平分线的交点C.三条中线的交点 D.三边垂直平分线的交点8、如图，已知△ABC≌△CDA，AB与CD是对应边，AB＝4，BC＝5，AC＝6，则AD的长为( )A.4B.5C.6D.不确定9、如图，CA⊥OA于点A，CB⊥OB于点B，CA=CB,下列结论中不一定成立的是( )A.OC平分∠AOBB.CO平分∠ACBC.OA=OBD.AB垂直平分OC10、如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以下结论：①△ABD≌△ACD；②AD⊥BC；③∠B=∠C；④AD是△ABC的角平分线．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个11、下列命题的逆命题是真命题的个数为（）（1）对顶角相等；（2）等腰三角形的两个底角相等；（3）三组边分别相等的两个三角形全等．A.0个B.1个C.2个D.3个12、给出下列说法：①射线是轴对称图形；②角的平分线是角的对称轴；③轴对称图形的对称点一定在对称轴的两侧；④平行四边形是轴对称图形；⑤平面上两个全等的图形一定关于某条直线对称，其中正确的说法有（）A.4个B.3个C.2个D.1个13、如图，已知等腰△ABC，AB＝BC，D是AC上一点，线段BE与BA关于直线BD对称，射线CE交射线BD于点F，连接AE，AF.则下列关系正确的是（）A.∠AFE+∠ABE＝180°B.C.∠AEC+∠ABC＝180°D.∠AEB＝∠ACB14、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC=10，BC=4，则△BCE的周长为（）A.6B.14C.24D.2515、我国的纸伞工艺十分巧妙。
华师大版八年级数学上：第13章《全等三角形》单元测试含答案解析初二数学试题试卷
第13章全等三角形一、选择题1．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE =S△CHD；④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= ．4．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=2，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF．当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF= ．5．如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是．6．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= cm．7．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是．（请写出正确结论的序号）．三、解答题8．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．（1）求证：DE=AB．（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求的长．9．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．10．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．11．如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求证：BC=FD．12．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．13．已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；（2）OA=OD．14．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．15．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF．求证：BE=AF．16．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．17．在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．18．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．第13章全等三角形参考答案与试题解析一、选择题1．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．2．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE =S△CHD；④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】首先根据正方形的性质证得△BAE ≌△CDE ，推出∠ABE=∠DCE ，再证△ADH ≌△CDH ，求得∠HAD=∠HCD ，推出∠ABE=∠HAD ；求出∠ABE+∠BAG=90°；最后在△AGE 中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE=90°即可得到①正确．根据tan ∠ABE=tan ∠EAG=，得到AG=BG ，GE=AG ，于是得到BG=4EG ，故②正确；根据AD ∥BC ，求出S △BDE =S △CDE ，推出S △BDE ﹣S △DEH =S △CDE ﹣S △DEH ，即；S △BHE =S △CHD ，故③正确；由∠AHD=∠CHD ，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB=∠EHD ，故④正确；【解答】证明：∵四边形ABCD 是正方形，E 是AD 边上的中点， ∴AE=DE ，AB=CD ，∠BAD=∠CDA=90°， 在△BAE 和△CDE 中∵，∴△BAE ≌△CDE （SAS ）， ∴∠ABE=∠DCE ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=DC ，∠ADB=∠CDB=45°， ∵在△ADH 和△CDH 中，，∴△ADH ≌△CDH （SAS ）， ∴∠HAD=∠HCD ， ∵∠ABE=∠DCE ∴∠ABE=∠HAD ，∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°， ∴∠ABE+∠BAH=90°， ∴∠AGB=180°﹣90°=90°， ∴AG ⊥BE ，故①正确；∵tan ∠ABE=tan ∠EAG=，∴AG=BG，GE=AG，∴BG=4EG，故②正确；∵AD∥BC，∴S△BDE =S△CDE，∴S△BDE ﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE =S△CHD，故③正确；∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD=∠CHD，∴∠AHB=∠CHB，∵∠BHC=∠DHE，∴∠AHB=∠EHD，故④正确；故选：D．【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直；②四个内角相等，都是90度；③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．二、填空题3．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= 3 ．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．【解答】解：△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AD=AE=2，AC=AB=5，∴CE=BD=AB﹣AD=3，故答案为3．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．4．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=2，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF．当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF= ．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】过点F作FG⊥AC于点G，证明△BCE≌△GCF，得到CG=CB=2，根据勾股定理得AC=4，所以AG=4﹣2，易证△AGF∽△CBA，求出AF、FG，再求出AE，得出AE+AF的值．【解答】解：过点F作FG⊥AC于点G，如图所示，在△BCE和△GCF中，，∴△BCE≌△GCF（AAS），∴CG=BC=2，∵AC==4，∴AG=4﹣2，∵△AGF∽△CBA∴，∴AF==，FG==，∴AE=2﹣=，∴AE+AF=+=．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质以及三角形相似的判定与性质，有一定的综合性，难易适中．5．如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是90°．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ODA与∠BAE的关系，根据余角的性质，可得∠ODA与∠OAD的关系，根据直角三角形的判定，可得答案．【解答】解：由ABCD是正方形，得AD=AB，∠DAB=∠B=90°．在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴∠BAE=∠ADF．∵∠BAE+∠EAD=90°，∴∠OAD+∠ADO=90°，∴∠AOD=90°，故答案为：90°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，余角的性质，直角三角形的判定．6．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= 4 cm．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】如图，作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4．【解答】解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22.5°，∵BG⊥MG，∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．∵MD∥AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM为等腰直角三角形∴BD=DM，而∠GBH=22.5°，∴GM平分∠BMD，而BG⊥MG，∴BG=EG，即BG=BE，∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，∴∠MHD=∠E，∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，∴∠GBD=∠HMD，∴在△BED和△MHD中，，∴△BED≌△MHD（AAS），∴BE=MH，∴BG=MH=4．故答案是：4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．7．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是①②．（请写出正确结论的序号）．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定．【专题】压轴题．【分析】由三角形ABE与三角形BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE=∠CBF=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EBF与三角形DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF=AD，AE=DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，若AB=AC，∠BAC=120°，只能得到AEFD为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．【解答】解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，在△ABC和△EBF中，，∴△ABC≌△EBF（SAS），∴EF=AC，又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC，∴EF=AD=DC，同理可得△ABC≌△DFC，∴DF=AB=AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；∴∠FEA=∠ADF，∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF，在△FEB和△CDF中，．∴△FEB≌△CDF（SAS），选项①正确；若AB=AC，∠BAC=120°，则有AE=AD，∠EAD=120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，故答案为：①②．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．三、解答题8．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．（1）求证：DE=AB．（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求的长．【考点】全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；矩形的性质；弧长的计算．【分析】（1）由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，得出∠EAD=∠AFB，由AAS证明△ADE≌△FAB，得出对应边相等即可；（2）连接DF，先证明△DCF≌△ABF，得出DF=AF，再证明△ADF是等边三角形，得出∠DAE=60°，∠ADE=30°，由AE=BF=1，根据三角函数得出DE，由弧长公式即可求出的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，∴∠EAD=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°，在△ADE和△FAB中，，∴△ADE≌△FAB（AAS），∴DE=AB；（2）解：连接DF，如图所示：在△DCF和△ABF中，，∴△DCF≌△ABF（SAS），∴DF=AF，∵AF=AD，∴DF=AF=AD，∴△ADF是等边三角形，∴∠DAE=60°，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∵△ADE≌△FAB，∴AE=BF=1，∴DE=AE=，∴的长==．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数以及弧长公式；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．9．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先证出∠ABC=∠ABD，再由ASA证明△ABC≌△ABD，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵∠3=∠4，∴∠ABC=∠ABD，在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（ASA），∴AC=AD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．10．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先证出∠ACB=∠DCE，再由SAS证明△ABC≌△DEC，得出对应角相等即可．【解答】证明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴∠A=∠D．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．11．如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求证：BC=FD．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出BC=DF．【解答】证明：∵AB∥EF，∴∠A=∠E，在△ABC和△EFD中∴△ABC≌△EFD（SAS）∴BC=FD．【点评】本题考查了平行线的性质和三角形全等的判定方法，难度适中．12．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】根据正方形的性质，可得AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，根据余角的性质，可得∠ADE=∠BAF，根据全等三角形的判定与性质，可得BF与AE的关系，再根据等量代换，可得答案．【解答】解：线段AF、BF、EF三者之间的数量关系AF=BF+EF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°．∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，∴∠AED=∠DEF=∠AFB=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF．在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE （AAS），∴BF=AE．∵AF=AE+EF，AF=BF+EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，等量代换．13．已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；（2）OA=OD．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【专题】证明题．【分析】（1）根据三角形中位线，可得DF与CE的关系，DB与DC的关系，根据SAS，可得答案；（2）根据三角形的中位线，可得DF与AE的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案．【解答】证明：（1）∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC．∵DF∥CE，∴∠C=∠BDF．在△CDE和△DBF中，∴△CDE≌△DBF （SAS）；（2）∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DF=AE，DF∥AE，∴四边形DEAF是平行四边形，∵EF与AD交于O点，∴AO=OD【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）利用了三角形中位线的性质，全等三角形的判定；（2）利用了三角形中位线的性质，平行四边的性的判定与性质．14．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°．【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图，∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD=45°，∵AF∥CE，且AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠APD=∠FCD=45°．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．15．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF．求证：BE=AF．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】证明题．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE=AF．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及垂直的定义，求出两三角形全等，从而得到BE=AF是解题的关键．16．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】首先根据等腰三角形的性质得到AD是顶角的平分线，再利用全等三角形进行证明即可．【解答】证明：∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC，∴AM=AN，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴∠MAD=∠NAD，在△AMD与△AND中，，∴△AMD≌△AND（SAS），∴DM=DN．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质进行证明．17．在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】证明题．【分析】由在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD对折，使点C落在E处，即可求得∠DBE=∠ADB，得出OB=OD，再由∠A=∠C，证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明即可．【解答】证明：平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD对折，使点C落在E处，可得∠DBE=∠ADB，∠A=∠C，∴OB=OD，在△AOB和△EOD中，，∴△AOB≌△EOD（AAS），∴OA=OE．【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及折叠的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．18．们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；新定义．【分析】欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．【解答】证明：∵在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC．又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE=OF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．。
最新数学华师版八年级上册第13章全等三角形13.5.1互逆命题与互逆定理课件
角相等” 的逆命题为“相等的角是对顶角”， 此命题就
是假命题.
（此讲解来源于教材）
知1－讲
例1 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命
题的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
(2)如果a＞b，那么a2＞b2；
(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.
何一个为原命题，另一个为逆命题．
（此讲解来源于《点拨》）
知1－讲
求一个命题的逆命题的方法：
命题“两直线平行，内错角相等”的 条件为: ;
结论为:
因此它的逆命题为：
.
;
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成
结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命 题. 但 是原 命题正确，它的逆命题未必正确.例如真命 题“对顶
1.必做:完成教材P93，T2-3
2.补充:完成《典中点》剩余的题.
的条件和结论， 你发现了什么？
行”都 是命题.
（来源于教材）
知1－讲
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个 命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条 件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个
命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题 .
要点精析：“互逆命题”是说明两个命题之间的关 系，两个命题的地位可以互换；两者可以确定其中任
（来自《典中点》）
1.每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件 改成结论，并将结论改成条件，就可以得到原命题的
逆命ห้องสมุดไป่ตู้．但原命题的真假与逆命题是否为真命题没有
丝毫关系． 2．每个定理都有逆命题，但每个定理不一定都有 逆定理，只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才 能称其为这个定理的逆定理．
华师大版八年级数学上册 第13章 知识梳理
D．4个
考点二 全等三角形的性质
例2 如图，已知△ABC≌△DEF，
边 请指出图中对应边和对应角.
A
边
边
B
C
角
D
角
角
F
E
AC= DF AB= DE BC= EF
∠A= ∠D ∠B= ∠E ∠C= ∠F
【解析】根据“全等三角形的对应边相等，对应角相等”解题.
方法总结
两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边， 大角与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，两个对顶 角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共 角的，公共角一定是对应角.
考点讲练
考点一 判断命题真假
例1 下列命题中是假命题的是( C ) A．三角形的内角和是180° B．多边形的外角和都等于360° C．五边形的内角和是900° D．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 【解析】要说明一个命题是真命题，需要经过证明它是正确的． 对于A、B、D来说，都是经过证明，被认为是正确的，而五边 形的内角和是540°，所以C不正确，故选C.
5．判定三角形全等 主要有五种方法：(1)全等三角形的定义：三边对应相等， 三角对应相等的两个三角形 全等 ；(2)三边对应相等的两 个三角形 全等 (简记为：S.S.S.)；(3)两角和它们的夹边对 应相等的两个三角形 全等 (简记为：A.S.A.)；(4)两角和其 中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为：A.A.S.)； (5)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为： S.A.S.)．若是直角三角形，则除了上述五种方法外，还有一种 方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简 记为：H.L.)．
针对训练
华东师大版八年级上册第13章《全等三角形》全章知识复习
5、如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于
点D，则下列结论中，正确的是
.
①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；
③D在∠BAC的平分线上.
C E
D
A
FB
巩固练习
6、如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90º，沿着 过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰 好落在AB边的中点D处，则∠A等于 º.
变式2：
已知在△ABC和△ADC中，AB=CD. 若不添加
任何字母和辅助线，要使△ABC≌△CDA，则
还需增加一个条件是
.
BD
A
C
点拨：相当于已知两组边对应相等，要得到 全等，可用“边角边”或“边边边”.
变式3：
如图，在△ABD中，AB=BD. 要使BE=BC，
需增加一个条件是
.
B
AE
CD
解法：(1)AE=DC; (2)∠ABE＝∠DBC;
(3)AC=DE; (4)∠ABC＝∠DBE;
(5)∠AEB＝∠DCB; (6)∠ACB＝∠DEB.
变式1：已知：如图，AB∥DE，AB=DE， AF=CD. 求证：BC=EF.
A
B
F E
C D
点拨：由题意先证△ABC≌△DEF， 再由全等三角形的性质得证.
应用举例
例2：如图，在等边△ABC中，D、E、F分别为 AB、BC、CA上一点(不是中点)，且AD=BE=CF. 则图中全等的三角形共有 15 对.
证法三：延长DM， 交AB的延长线于 点E.
例7： 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD 上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
A
D
F
最新数学华师版八年级上册第13章全等三角形13.4尺规作图课件
（此讲解来源于《点拨》）
知3－讲
例4
图13.4-8
图13.4-9
（此讲解来源于《点拨》）
知3－讲
（此讲解来源于《点拨》）
知3－讲
（此讲解来源于《点拨》）
知1－讲
作一条线段等于已知线段的作法： 如图13.4-1所示，已知线段DE，作一条线段等于 已知线段DE. 图13.4-1 作法：如图13.4-1所示．
第一步：先作射线AB ；
第二步：再用圆规在射线AB上截取AC，使AC ＝DE，线段AC就是所要作的线段．
（此讲解来源于《点拨》）
于点H；以点H为圆心、以MN长为半径画弧，在
OA的同侧与弧l交于点Q； (4)过点Q作射线OB，则∠AOB就是所求作的角，
如图13.4-7所示．
（此讲解来源于《点拨》）
知2－讲
总
结
叙述作法时，要注意对方向的描述，以本题为例， (3)应说明所画的弧与弧l的交点在OA的同侧还是异侧．
（来自《点拨》）
知2－练
知3－讲
知识点
3 作已知角的平分线 试 一 试
如图13.4.4，已知∠AOB ，为已知角，试按下列
步骤用直尺和圆规准确地作出∠AOB的平分线.
想想看，如 何将
∠AOB四等分？
（此讲解来源于教材）
知3－讲
第一步：在射线OA、AB上，分别截取OD 、 OE.使 OD = OE； 第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大
第一步：作射线O′A′ 第二步：以点O为圆心，
图13.4-4
以适当长为半径作弧，交OA
于点C，交OB于点D； 图13.4-5
华师大版八年级数学上第13章全等三角形13
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
八年级 数学 上册 华师版
【名师支招】判断逆命题的真假性，易出现只判断原命题的真假，也就 是审题不认真.
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
八年级 数学 上册 华师版
知识点 1：互逆命题
1.判断下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②若 a＞1 且 b＞1，则 a
＋b＞2；③全等三角形的对应角相等；④直角三角形的两锐角互余.其中
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
八年级 数学 上册 华师版
12.写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假： （1）如果 a＋b＞0，那么 a＞0习
基础夯实
整合运用
思维拓展
八年级 数学 上册 华师版
解：（1）逆命题：如果 a＞ 0，b＞ 0， 那么 a＋b＞ 0， 原命题为假命题，逆命题为真命题.
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
八年级 数学 上册 华师版
【自主解答】 A.其逆命题是：两个相等的角是对顶角，故是假命题；B.其逆命题是： 同位角相等，两直线平行，故是真命题；C.其逆命题是：对应角相等的 两个三角形是全等三角形.大小不同的两个等边三角形虽然对应角相等 但不全等，故是假命题；D.其逆命题是：四个角都相等的四边形是正方 形，故是假命题； 故选：B.
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
八年级 数学 上册 华师版
14.如图，四边形 ABCD 中，点 E 在 CD 上，连接 AE，BE，给出下列五个关 系式：①AD∥BC；②DE＝CE；③∠1＝∠2；④∠3＝∠4；⑤AD＋BC＝AB. 将其中的三个关系式作为条件，另两个作为结论，构成一个命题.
华东师大版八年级数学上册第13章《全等三角形》全章课件(共285张PPT)
练习：将下列命题改写成“如果…那么…”
的形式，然后指出这个命题的题设和结论。
（1）同角的补角相等。 （2）两直线平行，同位角相等。 （3）在同一平面内，同垂直于第三条
直线的两直线平行。
分析命题“不相等的两个角不可能是对顶角” 条件： 两个角不相等
结论： 这两个角不可能是对顶角
改写成“如果……，那么……”的形式： 如果两个角不相等， 那么这两个角不可能是对顶角。
观察 2、下列各图中的两个三角形是全等形吗？ 思考
A
D
B A
C
E
M C
F S
O
O
B
D
N
T
经过平移、旋转、翻折等位移变换
得到的三角形与原三角形全等。
1、能够完全重合的两个三角形,叫做
全等三角形。
A
D
B
CE
F
2、把两个全等的三角形重叠到一起时， 重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做 对应边，重合的角叫做对应角。
强调：
观察、猜想、度量、实验得 出的结论未必都正确；
一个命题的真假，常常需要 进行有理有据的推理才能作出正 确的判断，这个推理过程叫做命 题的证明．把经过证明的真命题 叫做定理．
巩固：
下列语句中哪些是命题？请判断其中命题 的真假，并说明理由。
（1）每单位面积所受到的压力叫做压强. （2）两个奇数的和是偶数. （3）两个无理数的乘积一定是无理数. （4）偶数一定是合数吗？ （5）连结AB. （6）不相等的两个角不可能是对顶角.
3、全等三角形的表示法：
A
D
B
CE
F
表示图中的△ABC和△DEF全等：
记作△ABC≌△DEF， 读作△ABC全等于△DEF.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
13.5.4 角平分线——角平分线的判定
学习内容：通过独立思考和小组合作，能够证明几何命题。
学习目标：1、进一步熟练角平分线的画法，证明几何命题的步骤
2、进一步理解角平分线的性质及运用
学习重点：角平分线的性质及运用
学习难点：角平分线的性质的灵活运用
学习方法：探究、交流、练习
学习过程：
一、课前巩固
1、画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特
点吗？
2、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等
二、学习新知
（一）思考：
证明一个几何命题的一般步骤：
①；②；③。
（二）应用：
1、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
2、如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
（1）．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？
（2．比例尺为1：20000是什么意思？
三、基础练习
1.到角的两边距离相等的点在上。
2.到三角形三边的距离相等的点是三角形（）
A.三条边上的高线的交点；
B. 三个内角平分线的交点；
C.三条边上的中线的交点；
D.以上结论都不对。
3.在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC，BC=8cm,BD=5cm,则D到AB的距离是。
4.已知：AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证: ∠BAO=∠CAO
四、拓展延伸
已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,
求证:点F在∠A的平分线上.
五、课堂小结
六、当堂检测
1、图中的直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( )
A.一处
B.两处
C.三处
D.四处
2.如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC
上的一点，PD ⊥OA 交OA 于D ，PE ⊥OB 交OB 于E ，F 是OC 上的另一点，连接DF ，EF ，
求证：DF ＝EF
3. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，且BE ＝CF 。
求证：AD 是△ABC 的角平分线。
D
N E B F M
C A B C
D E F A
七、课后反思：。