平均变化率
变化率简介
变化率简介变化率是学习导数的前提，它在描述各种变化规律的过程中起着非常重要的作用，速度和加速度就是两个典型例子.新教材人教A 版中，对于变化率主要从以下两个方面介绍：1、平均变化率；2、瞬时变化率.一、平均变化率函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆或（00[,]x x x +∆）上的平均变化率是商yx∆∆，其中x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，可正可负，但不能为0，y ∆是函数值相应的改变量，即00()()y f x x f x ∆=+∆-（y ∆为正、负、零均可）所以00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，下面通过举例来进一步加深对概念的理解。
例1、求332-=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.解：当自变量从0x 到x x ∆+0之间变化时，函数的平均变化率为：x f∆∆=∆-∆+=x x f x x f )()(00xx x x ∆---∆+=]33[]3)(3[2020 x x xx x x ∆+=∆∆+∆⋅=36)(3602评注：此类题目只需要紧扣定义式，注意运算过程就可以了. 评注：⑴函数平均变化率的求法可分两步：①求y ∆；②求yx∆∆.⑵不论0x 、x ∆中的哪一个变化，都会引起函数平均变化率的变化。
拓展：函数()y f x =的平均变化率的几何意义为其图象上割线的斜率。
即：函数()y f x =的图象为曲线C ，曲线C 上有一点00(,)P x y 及邻近一点00(,)Q x x y y +∆+∆，则割线PQ 的斜率0000y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。
利用平均变化率的几何意义，可解决一些实际问题，举例如下：例2、某电视机厂有甲、乙两条生产流水线，产量S （单位：台）与时间t （单位：天）的关系如图所示，问：（1）0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量哪个大？（2）在接近0t 天时，甲、乙两条生产线谁的日产量大？0,)x y y ∆+∆解析：（1） 0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量，即函数1()S f t =与2()S f t =在0[0,]t 内的平均变化率，其都为直线OA 的斜率，所以0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量相同。
平均变化率与瞬时变化率详解课件
定义与计算
瞬时变化率定义
瞬时变化率是指在某一时刻，函数值随自变量变化的快慢程度。通常用导数来 表示函数的瞬时变化率。
瞬时变化率的计算
对于函数$f(x)$，其瞬时变化率可以通过求导数$f'(x)$来计算。即，如果$f(x)$ 在$x=x_0$处的导数为$f'(x_0)$，则$f'(x_0)$即为在$x=x_0$处的瞬时变化率 。
，可以获得股票价格的预测结果，对于投资决策和风险管理具有重要意义。
机械故障预测
总结词
机械故障预测是基于机械设备运行过程中的数据，通 过分析变化率等信息，来预测设备可能出现的故障时 间和类型。
详细描述
机械故障预测是机械工程领域中的一个重要应用案例 。通过对机械设备运行过程中的数据进行分析，可以 提取出设备的运行特征和故障征兆，从而预测设备可 能出现的故障时间和类型。其中，变化率是一个重要 的指标，它可以反映设备的运行状态和磨损程度。通 过对变化率的计算和分析，可以获得机械故障预测结 果，对于提高设备运行效率和安全性具有重要意义。
感谢观看
THANKS
拐点和极值
函数的拐点可能是导函数的零 点，但并非所有导函数的零点
都是函数的拐点。
导数的计算方法
定义法
根据导数的定义计算导 数。
求导公式
利用常见函数的导数公 式进行计算。
复合函数求导
复合函数的导数可以利 用链式法则和乘法法则
进行计算。
高阶导数
高阶导数的计算需要利 用低阶导数的计算方法
，并逐阶求导。
04
瞬时变化率的性质
瞬时变化率非负性
对于单调递增函数，其瞬时变化率大于等于0；对于单调递减函数，其瞬时变化 率小于等于0。
《函数的平均变化率》课件
在投资决策中，平均变化率可以帮助投资 者评估投资标的的潜在收益和风险。
平均变化率在物理学中的应用
速度和加速度的测量
在物理学中，平均速度和平均 加速度是通过计算位移和时间
的平均变化率来定义的。
热传导研究
在研究热传导的过程中，材料 的热容和导热系数可以通过测 量温度随时间的变化率来计算 。
波动现象
在波动现象的研究中，波的传 播速度是通过测量波峰或波谷 随时间的变化率来定义的。
02
平均变化率是函数在区间上的整 体表现，反映了函数值随自变量 变化的平均速度。
平均变化率的意义
平均变化率可以用于分析函数的单调 性、凹凸性以及极值点等性质，是研 究函数的重要工具。
通过比较不同区间的平均变化率，可 以了解函数在不同区间上的表现，从 而对函数的整体性质有更深入的理解 。
平均变化率的计算方法
复杂函数的平均变化率计算
总结词
掌握复杂函数的平均变化率计算技巧。
详细描述
对于复杂的函数，如多项式函数、三角函数等，其平均变化率的计算需要更高级的技巧。通过具体的计算实例， 可以掌握如何处理复杂函数的平均变化率计算，并理解其在实际问题中的应用。
实际问题的平均变化率计算
总结词
将平均变化率应用于实际问题中。
在优化问题中，平均变化率可 以帮助我们找到函数的极值点
，从而找到最优解。
平均变化率在经济学中的应用
经济预测
成本分析
通过分析经济数据的平均变化率，可以预 测未来的经济走势。
在成本分析中，平均变化率可以帮助我们 了解成本随时间的变化趋势，从而制定出 更合理的成本控制策略。
供需关系
投资决策
平均变化率可以用来分析供需关系的变化 ，从而帮助企业做出更合理的生产和销售 决策。
《平均变化率》教案及教案说明
《平均变化率》教案及教案说明一、教学目标：1. 让学生理解平均变化率的定义及其几何意义。
2. 让学生掌握平均变化率的计算方法。
3. 让学生能够应用平均变化率解决实际问题。
二、教学内容：1. 平均变化率的定义2. 平均变化率的计算方法3. 平均变化率的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：平均变化率的定义、计算方法及应用。
2. 教学难点：平均变化率的计算方法及应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究平均变化率的定义、计算方法及应用。
2. 利用多媒体课件，直观展示平均变化率的图形，增强学生对概念的理解。
3. 开展小组讨论，让学生在合作中思考、交流，提高解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实例，引出平均变化率的概念。
2. 讲解与演示：讲解平均变化率的定义，展示相关图形，让学生直观理解。
3. 自主学习：学生自主探究平均变化率的计算方法。
4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的方法，互相学习。
5. 练习与应用：布置练习题，让学生巩固所学知识，并应用到实际问题中。
6. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考如何更好地运用平均变化率解决实际问题。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
教案说明：本教案以学生为主体，注重培养学生的自主学习能力、合作意识及解决问题的能力。
在教学过程中，充分利用多媒体课件，直观展示平均变化率的图形，有助于学生更好地理解概念。
通过生活中的实例，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
在练习与应用环节，注重让学生将所学知识运用到实际问题中，提高学生的数学素养。
本教案旨在让学生掌握平均变化率的知识，培养学生的数学思维能力。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问，了解学生对平均变化率定义的理解程度。
2. 练习题：收集学生的练习作业，评估学生对平均变化率计算方法的掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生的合作能力和问题解决能力。
《平均变化率》教案及教案说明
《平均变化率》教案及教案说明教案说明：本教案旨在帮助学生理解平均变化率的概念，掌握平均变化率的计算方法，并能应用于实际问题中。
通过本教案的学习，学生将能够：1. 理解平均变化率的定义和意义；2. 掌握平均变化率的计算公式；3. 应用平均变化率解决实际问题。
教案内容：一、引言1. 引入话题：讨论物体速度的变化，引导学生思考如何描述速度的变化。
2. 引入平均变化率的概念：速度的变化可以用平均变化率来描述，平均变化率的定义是速度的变化量与时间的比值。
二、平均变化率的定义与计算1. 讲解平均变化率的定义：平均变化率是变化量与变化时间的比值，表示变化的快慢。
2. 给出平均变化率的计算公式：平均变化率= 变化量/ 变化时间。
3. 举例说明：假设一个物体在时间t1时的速度为v1，在时间t2时的速度为v2，速度的平均变化率为(v2 v1) / (t2 t1)。
三、平均变化率的应用1. 问题情境：给出一个物体在不间点的速度，要求学生计算平均变化率。
2. 学生分组讨论：学生分组讨论并计算给定情境下的平均变化率。
3. 集体讨论：各组汇报计算结果，集体讨论并解释结果的意义。
四、巩固练习1. 给出一些实际问题，要求学生计算平均变化率。
2. 学生独立完成练习，教师进行解答和讲解。
五、总结与反思1. 总结平均变化率的定义、计算方法和应用。
2. 学生反思学习过程中的困难和问题，提出疑问并进行解答。
教学资源：1. 教学PPT：用于展示平均变化率的定义、计算公式和应用实例。
2. 练习题：用于巩固学生对平均变化率的理解和应用能力。
教学评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确性和解题思路。
3. 学生反馈：收集学生对教学内容的反馈和建议，以便进行教学改进。
六、实际情境分析1. 引入实际情境：讨论商品价格的变化，引导学生思考如何描述价格的变化。
2. 应用平均变化率的概念：商品价格的变化可以用平均变化率来描述，平均变化率的定义是价格的变化量与时间的比值。
第1章 1.1.1 平均变化率
1．1 导数的概念 1．1.1 平均变化率学习目标 1.了解平均变化率的实际背景.2.理解平均变化率的含义.3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题．知识点 平均变化率1．一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．特别提醒：在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： (1)函数在区间[x 1，x 2]上有意义．(2)在式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1中，x 2－x 1>0，而f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负、可为0.(3)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (4)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．1．平均变化率一定为正值．( × )2．函数的平均变化率为零，说明函数没有发生变化．( × ) 3．在平均变化率中，函数值的增量为正值．( × )4．函数在区间上的变化速度与平均变化率的绝对值大小有关．( √ )一、实际问题中的平均变化率例1 (1)蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T ＝120t ＋5＋15，其中T 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)，则t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温的平均变化率为_______℃/min. 答案 －1.6解析 ΔT Δt ＝T (10)－T (0)10－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12010＋5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫1200＋5＋1510＝－1.6(℃/min)，∴从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6℃/min.(2)某森林公园在过去的10年里，森林占地面积变化如图所示，试分别计算前5年与后5年森林面积的平均变化率．解 前5年森林面积的平均变化率为6.5－2.55－0＝0.8(公顷/年)．后5年森林面积的平均变化率为14.5－6.510－5＝1.6(公顷/年)．反思感悟 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．跟踪训练1 某质点沿方程为y ＝f (x )＝5x 2＋3(x 表示时间，f (x )表示位移)的曲线运动，则该质点从x ＝10到x ＝11的平均速度等于________． 答案 105解析 因为f (x )＝5x 2＋3，则质点从x ＝10到x ＝11的平均速度为v ＝f (11)－f (10)11－10＝(5×112＋3)－(5×102＋3)11－10＝105.二、函数在某区间上的平均变化率例2 (1)求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率； (2)求函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率． 解 (1)函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为f (2.1)－f (2)2.1－2＝(3×2.12＋2)－(3×22＋2)0.1＝12.3.(2)函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－2)(－1)－(－2)＝[3×(－1)－2]－[3×(－2)－2](－1)－(－2)＝(－5)－(－8)－1＋2＝3.反思感悟 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量x 2－x 1. (2)求函数值的改变量f (x 2)－f (x 1)． (3)求平均变化率f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练2 (1)计算函数y ＝f (x )＝x 2从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为： ①2；②1；③0.1；④0.01；(2)思考：当Δx 越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解 (1)因为f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－12＝(Δx )2＋2Δx ， 所以f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(Δx )2＋2Δx Δx ＝Δx ＋2.①当Δx ＝2时，平均变化率Δx ＋2＝4， 即函数f (x )＝x 2在区间[1,3]上的平均变化率为4； ②当Δx ＝1时，平均变化率Δx ＋2＝3， 即函数f (x )＝x 2在区间[1,2]上的平均变化率为3；③当Δx ＝0.1时，平均变化率Δx ＋2＝2.1，即函数f (x )＝x 2在区间[1,1.1]上的平均变化率为2.1； ④当Δx ＝0.01时，平均变化率Δx ＋2＝2.01，即函数f (x )＝x 2在区间[1,1.01]上的平均变化率为2.01.(2)当Δx 越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2. 三、函数平均变化率的应用例3 婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则婴儿体重在第________年增长较快．答案 一解析 ∵ΔW 1Δt 1＝11.25－3.7512－0＝0.625，ΔW 2Δt 2＝14.25－11.2524－12＝0.25， ∴ΔW 1Δt 1>ΔW 2Δt 2，故第一年婴儿体重的平均变化率大，婴儿体重增长较快． 反思感悟 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化速度越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化速度越慢．跟踪训练3 汽车行驶的路程S 和时间t 之间的函数图象如图所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系是______________．答案 v 3>v 2>v 1解析 v 1＝S (t 1)－S (t 0)t 1－t 0＝k OA ，v 2＝S (t 2)－S (t 1)t 2－t 1＝k AB ，v 3＝S (t 3)－S (t 2)t 3－t 2＝k BC ，由图象知，k OA <k AB <k BC ， 所以v 3>v 2>v 1.1．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 B解析 平均变化率为1－33－1＝－1.故选B.2．一物体的运动方程是S ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.4 B ．2 C ．0.3 D ．0.2 答案 B解析 v ＝S (2.1)－S (2)2.1－2＝7.2－70.1＝2.3．函数f (x )＝2x ＋4在区间[a ，b ]上的平均变化率为________． 答案 2 解析f (b )－f (a )b －a ＝(2b ＋4)－(2a ＋4)b －a ＝2(b －a )b －a＝2. 4．一个半径为r 的圆面，当半径增大Δr 时，面积S 的平均变化率为________． 答案 2πr ＋π·Δr解析 半径增大Δr 时，面积增加ΔS ＝π(r ＋Δr )2－πr 2 ＝π(Δr )2＋2πr ·Δr ，所以ΔS Δr ＝π(Δr )2＋2πr ·Δr Δr＝2πr ＋π·Δr .5．某市一天12小时内的气温变化图如图所示，则在区间[0,4]内温度的平均变化率为________ ℃/h.答案 －14解析 Δy Δx ＝f (4)－f (0)4－0＝－14(℃/h)．1．知识清单： (1)平均变化率．(2)平均变化率的几何意义及应用． 2．方法归纳：转化法．3．常见误区：对平均变化率的理解不透彻导致出错．1．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy 等于( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1 答案 B解析 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 2．已知函数f (x )＝x 2＋2，则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 A解析 ∵f (3)＝11，f (1)＝3，∴该函数在区间[1,3]上的平均变化率为f (3)－f (1)3－1＝11－33－1＝4.3．某质点沿曲线运动的方程为f (x )＝－2x 2＋1(x 表示时间，f (x )表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为( ) A ．－4 B ．－8 C ．6 D ．－6 答案 D解析 由题意得该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为f (2)－f (1)2－1＝－8＋1－(－2＋1)1＝－6.4．一根金属棒的质量y (单位：kg)是长度x (单位：m)的函数，y ＝f (x )＝3x ，则从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是( )A.25kg/m B.35kg/m C.34kg/m D.12kg/m 答案 B解析 从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是 f (9)－f (4)9－4＝3(9－4)9－4＝35(kg/m)．5．质点运动规律的方程是S ＝t 2＋3，则在时间[3,3＋Δt ]内，相应的平均速度是( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt答案 A解析 平均速度为(3＋Δt )2＋3－32－3Δt ＝6Δt ＋(Δt )2Δt＝6＋Δt .6．国庆黄金周7天期间，某大型商场的日营业额从1 300万元增加到4 100万元，则该商场国庆黄金周期间日营业额的平均变化率是______万元/天． 答案 400解析 日营业额的平均变化率为4 100－1 3007＝400(万元/天)．7．函数y ＝x 3＋2在区间[1，a ]上的平均变化率为21，则a ＝________. 答案 4解析 (a 3＋2)－(13＋2)a －1＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21.解得a ＝4或a ＝－5.∵a >1，∴a ＝4.8．函数y ＝f (x )＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为________． 答案 －8－2Δx解析 ∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝－8－2Δx ，即平均变化率为－8－2Δx . 9．已知函数f (x )＝x 2＋3x 在[0，m ]上的平均变化率是函数g (x )＝2x ＋1在[1,4]上的平均变化率的3倍，求实数m 的值．解 函数g (x )在[1,4]上的平均变化率为g (4)－g (1)4－1＝9－33＝2.函数f (x )在[0，m ]上的平均变化率为f (m )－f (0)m －0＝m 2＋3mm ＝m ＋3.令m ＋3＝2×3，得m ＝3.10．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s 到0 m/s 花了5 s ，乙车从18 m/s 到0 m/s 花了4 s ，试比较两辆车的刹车性能． 解 甲车速度的平均变化率为0－255＝－5(m/s 2)．乙车速度的平均变化率为0－184＝－4.5(m/s 2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．11．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( ) A ．3 B ．3Δx －(Δx )2 C ．3－(Δx )2 D ．3－Δx答案 D解析 ∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－(－2)＝3Δx －(Δx )2 ∴ΔyΔx＝3－Δx . 12．(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t 1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是( )A ．在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到t 0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度答案 BC解析 在0到t 0范围内，甲、乙的平均速度都为v ＝s 0t 0，故A 错误，B 正确；在t 0到t 1范围内，甲的平均速度为s 2－s 0t 1－t 0，乙的平均速度为s 1－s 0t 1－t 0.因为s 2－s 0>s 1－s 0，t 1－t 0>0，所以s 2－s 0t 1－t 0>s 1－s 0t 1－t 0，故C 正确，D 错误． 13．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值： t /min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c (t )/ (mg/mL) 0.840.890.940.981.001.000.970.900.790.63服药后30～70 min 这段时间内，药物浓度的平均变化率为________mg/(mL·min)． 答案 －0.002 解析c (70)－c (30)70－30＝0.90－0.9840＝－0.002mg/(mL·min)．14．如图是函数y ＝f (x )的图象．(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为______； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．答案 12 34解析 (1)函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数y ＝f (x )的图象知， f (x )＝⎩⎨⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3，所以函数y ＝f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.15．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________． 答案 2解析 体积的增加量ΔV ＝4π3m 3－4π3＝4π3(m 3－1)，所以ΔV ΔR ＝4π3(m 3－1)m －1＝28π3，所以m 2＋m ＋1＝7，所以m ＝2或m ＝－3(舍)．16．圆柱形容器，其底面直径为2 m ，深度为1 m ，盛满液体后以0.01 m 3/s 的速率放出，求液面高度的平均变化率．解 设液体放出t 秒后液面高度为y m ， 则π·12·y ＝π·12×1－0.01t ， ∴y ＝1－0.01πt ，液面高度的平均变化率为 ΔyΔt ＝1－0.01π(t ＋Δt )－1＋0.01πtΔt ＝－0.01π，故液面高度的平均变化率为－0.01π.。
2.1平均变化率与瞬时变化率（讲义+典型例题+小练）（解析版）
2.1平均变化率与瞬时变化率（讲义+典型例题+小练）一、平均变化率设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；例1：1．若函数()2f x x t =-，当1x m ≤≤时，平均变化率为2，则m 等于（ ）A ．5B ．2C ．3D ．1【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平均变化率的公式求解. 【详解】 解：由题得.故选：D2．求函数y ＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率.【答案】320x ＋3x 0·Δx ＋(Δx )2【解析】 【分析】利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值；利用平均变化率公式求出即可. 【详解】当自变量从x 0到x 0＋Δx ，函数的平均变化率为00()()f x x f x x +∆-∆＝3300()x x x x +∆-∆ ＝23233000033()()x x x x x x x x +⋅∆+∆+∆-∆ ＝2300233()()x x x x x x⋅∆+∆+∆∆ ＝320x ＋3x 0·Δx ＋(Δx )2.举一反三：1．求函数223y x x =-+在区间23,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和252,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均变化率.【答案】在区间23,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和252,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均变化率分别为2312和2512.【解析】【分析】根据题意，由平均变化率的定义求出函数在两个区间上的平均变化率，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数2223(1)2y x x x =-+=-+，在区间23[12，2]的平均变化率为2223[(21)2][(1)2]23122312212y x -+--+==-， 在区间[2，25]12的平均变化率为2225[(1)2][(21)2]25122512212y x -+--+==-． 2．小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起时间t 内所经过的距离为()2s t at =，求小球在时间段[]2,2h +内的平均速度. 【答案】4a ah + 【解析】 【分析】利用平均速度的定义直接可求. 【详解】因为小球在t 内所经过的距离为()2s t at =，所以在时间段[]2,2h +内的平均速度为()()()222222422s h s a h a a ah h h+-+⨯==++--.3．如图，直线l 为经过曲线上点P 和Q 的割线．(1)若(1,2)P ，(5,7)Q ，求l 的斜率；(2)当点Q 沿曲线向点P 靠近时，l 的斜率变大还是变小？ 【答案】(1)54(2)斜率变大 【解析】 【分析】（1）直接根据两点的斜率公式计算可得；（2）根据直线的倾斜角的变化及直线的斜率与倾斜角的关系判断即可； (1)解：因为(1,2)P ，(5,7)Q ，所以725514l k -==-； (2)解：当Q 沿曲线向点P 靠近时，直线的倾斜角α（锐角）在变大，又tan k α=，所以直线l 的斜率变大了；二．瞬时变化率设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；当x ∆、△y 都趋向0时。
02 瞬时变化率与平均变化率
1 02 瞬时变化率与平均变化率
一．平均变化率——割线的斜率
平均变化率，是y 的增量与x 的增量的比。
例题：函数f (x )＝－2x ＋10在区间[－3，－1]内的平均变化率为________．
【解析】Δy Δx ＝f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)
＝－2. 二．瞬时变化率——切线的斜率
可以通过减小自变量的该变量，用平均变化率“逼近”瞬时变化率。
形象地理解为函数图像上某点处切线的斜率。
例题：一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是________m/s.
【解析】
t t t
t t t t t t t t t t t t S ∆++-=∆∆+∆⋅+∆-=∆+--∆++∆+-=∆∆21)(2)1()()(1222 当t ∆趋于0时，即为：瞬时速度t 21+-.因此物体在3 s 末的瞬时速度是5321=⨯+-m/s
你能区分瞬时变化率与平均变化率了吗？。
课件3：1.1.1 函数的平均变化率
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律作直线运动，求在 4到4＋Δt之间的平均速度v. 解：Δs＝s(4＋Δt)－s(4) ＝3(4＋Δt)2＋(4＋Δt)＋4－(3×42＋4＋4) ＝25Δt＋3(Δt)2. ∴v＝ΔΔst＝25＋3Δt. 即物体在 4 到 4＋Δt 之间的平均速度为 25＋3Δt.
提示：从20 min到30 min变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率． 问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零．
知识点解读
平均变化率
(1)定义：对一般的函数 y＝f(x)来说，当自变f量(x2x)－从f(xx21)变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为. x2－x1
其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作Δx ，
函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量，记作Δy .这样，
函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变
f(x2)－f(x1)
量之比，即ΔΔxy＝
x2－x1 .
(2)作用：刻画函数值在 区间[x1，x2] 上变化的快慢.
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1
的过程中，设 Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化
率是ΔΔxy＝
fx1－fx0 ＝ x1－x0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.而当 Δx趋于0
时，平
均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．
高中数学同步教学课件 函数的平均变化率
反思感悟
平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、 加速度、膨胀率、经济效益等，分清自变量和因变量是解决此类问题的 关键.
跟踪训练 3 蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为 T＝t1＋205＋15，其中 T 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)，则从 t＝0 到 t＝ 10，蜥蜴的体温的平均变化率为__－__1_.6___℃/min.
(1)先计算函数值的改变量y2－y1.
(2)再计算自变量的改变量x2－x1.
(3)最后求平均变化率
y2－y1 x2－x1.
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝－6x，则函数 f(x)在区间[1,1.5]，[1,1.1]上的平 均变化率各是多少？
∵f(x)＝－6x， ∴f(1)＝－6，f(1.5)＝－4，f(1.1)＝－6110， ∴该函数在区间[1,1.5]上的平均变化率为 f11.5.5－－1f1＝02.5＝4， 在区间[1,1.1]上的平均变化率为f11.1.1－ －f11＝－61010.1＋6＝6110.
率为a，则
A.v＝2154 m/s，a＝2154 m/s2
B.v＝－1245 m/s，a＝2154 m/s2
C.v＝2154 m/s，a＝－2154 m/s2
√D.v＝－1245 m/s，a＝－2154 m/s2
探测器与月球表面的距离逐渐减小，所以 v＝01－4×1 56000＝－2154(m/s)； 探测器的速度逐渐减小，所以 a＝01－4×1 56000＝－1245(m/s2).
，
因
为
s2 － s0>s1 － s0 ， t1 － t0>0 ， 所 以
st21－ －st00>st11－ －st00，故 C 正确，D 错误.
平均变化率公式
平均变化率公式
平均变化率，是y的增量与x的增量的比，可以用来观察函数的变化速度以及函数是怎样变的。
在学习导数之前也可以先学习平均变化率，为后来学习导数做铺垫。
平均变化率公式：Δy=f(x+Δx)-f(x)。
平均变化率是y的增量与x的增量的比，可以用来观察函数的变化速度以及函数是怎样变的。
在学习导数之前也可以先学习平均变化率，为后来学习导数做铺垫。
导数也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
平均变化率的几何意义课件
平均变化率可以反映该段区间 内因变量相对于自变量的平均
变化速度
平均变化率为正表示因变量在 该段区间内呈上升趋势，即正
增长
平均变化率为负表示因变量在 该段区间内呈下降趋势，即负
增长
平均变化率的应用
判断函数单调性
总结词
平均变化率可以用于判断函数的单调性。
详细描述
平均变化率是函数在某区间上的改变量与区间的比值，当这个比值大于0时，函 数在该区间上是单调递增的；当这个比值小于0时，函数在该区间上是单调递减 的。
近似计算
总结词
平均变化率可以用于进行近似计算。
详细描述
在某些情况下，我们可以利用平 均变化率来近似计算函数的值， 这种方法称为微积分中的微分法。
平均变化率的拓展
导数的概念
01
02
03
导数的定义
导数是函数在某一点的变 化率，它描述了函数在该 点的切线斜率。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数曲 线在某一点的切线斜率， 即曲线在该点的变化趋势。
曲线的变化趋势
01
曲线的形状代表因变量 随自变量的变化趋势
02
曲线的陡峭程度代表变 化率的绝对值大小
03
曲线向上代表因变量随 自变量增加而增加，即 正相关关系
04
曲线向下代表因变量随 自变量增加而减少，即 负相关关系
平均变化率的几何意义
01
02
0304平均Fra bibliotek化率是曲线在某一段区 间上的平均倾斜程度
平均变化率的几何意义课件
引言
课程背景
01
平均变化率是微积分学中的基本 概念，它描述了一个函数在某区 间上的变化快慢。
02
几何意义是将平均变化率与线段 的长度联系起来，从而在几何空 间中解释函数的变化趋势。
函数的平均变化率
巩固训练1
已知一物体的运动方程为s(t)＝t2＋2t＋3，求物体在[1，1＋h]这段时
间内的平均速度．
解析：
s(1＋h)－s(1)＝[(1＋h)2＋2(1＋h)＋3]－(12＋2×1＋3)＝h2＋4h，
s 1+h −s 1
于是得
1+h−1
＝4＋h，
所以物体在[1，1＋h]这段时间内的平均速度为4＋h.
答案：A
s 3.3 −s 3
3.3−3
解析：s(3)＝12，s(3.3)＝13.89，∴തv＝
1.89
＝6.3，故选A.
0.3
＝
3．设函数f(x)＝x2 －1，当自变量x由1变到1.1时，函数f(x)的平均变
化率是(
)
A．2.1
B．0.21
C．1.21 D．12.1
答案：A
解析：根据平均变化率的公式，可得函数f(x)＝x2－1由1到1.1的平均变化率为：
(1)平均速度是刻画某函数在区间[a，b]上变化快慢的物理量．( √ )
(2)因变量的改变量f(b)－f(a)一定大于0.( × )
b − a
(3)函数的平均变化率
b−a
不能为0.(
×)
2．质点运动规律s(t)＝t2 ＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度
为(
)
A．6.3 B．36.3
C．3.3 D．9.3
函数的平均变化率
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
要点一
平均速度❶
若在一直线上运动的动点P在任何时刻t的位置均可用f(t)表示，则从
时刻a到时刻b的位移为f(b)－f(a)．因为所花时间为b－a，所以在时间
平均变化率及其几何意义
平均变化率及其几何意义
平均变化率是衡量投资或经济数据变化情况的一个重要参数。
它可以提供有关一段事件、投资等变化的全面概况，因此被经常用于估计重要的经济数据，以及评估投资收益的可靠性。
一、什么是平均变化率
平均变化率是衡量一段事件或投资的变化情况的数据，也叫做变化速率、变化率或百分比变化率。
它指的是从一组数据的开头到结尾之间，每个数据点间的平均改变值，以百分比来表示。
二、平均变化率的计算
平均变化率可以通过以下公式计算：
平均变化率 = (结尾数据值 - 开头数据值) / 开头数据值
例如，假设从某个时刻开始，某个基金投资组合的价值从100到200，那么这段时间内的平均变化率就是：（200-100）/100 = 100%。
三、平均变化率的几何意义
由于平均变化率反映的是数据的累计变化，它也具有几何意义。
如果一个投资组合在一定时间内的平均变化率为100%，那么这段时间的投资组合总体上就处于增长的趋势，那么投资组合的价值会两倍增长。
相反，如果平均变化率为-100%，则表示该投资组合所处的趋势是下降的，那么投资组合的价值会两倍下降。
四、平均变化率的用途
平均变化率可以用来比较不同的投资组合的表现，这样可以让投资者更好地抉择有潜力的投资组合。
此外，平均变化率还可以帮助投资者了解不同时间段投资价值的变化趋势。
五、总结
平均变化率是用于了解投资价值变化趋势的重要参数，它衡量一段时期内数据的各种变化方向，具有几何意义和应用价值。
尽管这一概念不是投资行情精准分析的最终答案，但是它有助于投资分析的可信度，使投资者更好地进行投资决策。
平均变化率的物理意义
平均变化率的物理意义以平均变化率的物理意义为标题，我们来探讨一下这个概念在物理学中的应用。
平均变化率是指在一段时间内某个物理量的变化程度。
在物理学中，我们经常需要分析事物的变化情况，例如物体的速度、加速度以及其他各种物理量的变化。
而平均变化率就是用来描述这些物理量变化程度的指标。
我们来看一下速度的平均变化率在物理学中的应用。
速度是描述物体运动状态的重要物理量，它是指物体在单位时间内所经过的位移。
当我们需要了解物体在某一段时间内的运动情况时，就可以使用速度的平均变化率来计算。
通过计算物体在这段时间内的位移，并除以所经过的时间，我们就可以得到速度的平均变化率。
这个值告诉我们物体在这段时间内平均每单位时间的位移量，从而可以了解物体的运动速度是否有变化。
除了速度，加速度的平均变化率也是物理学中经常使用的概念。
加速度是指物体速度变化的快慢程度，它是速度对时间的导数。
当我们需要研究物体的加速情况时，可以通过计算加速度的平均变化率来得到。
加速度的平均变化率告诉我们物体在某段时间内速度的平均变化量，从而可以判断物体是在加速还是减速，或者保持匀速运动。
除了速度和加速度，其他物理量的平均变化率也有着重要的物理意义。
例如，功率是描述物体对外界做功能力的物理量，它是功对时间的导数。
当我们需要了解物体在某段时间内对外界做功的情况时，可以通过计算功率的平均变化率来获得。
功率的平均变化率告诉我们物体在这段时间内平均每单位时间所做的功，从而可以判断物体的能量转化速度。
在实际应用中，平均变化率的物理意义非常重要。
通过计算物体在一段时间内的平均变化率，我们可以了解到物体在这段时间内的运动状态、能量转化情况等重要信息。
这些信息对于我们研究物体的运动规律、能量守恒等方面都有着重要的意义。
平均变化率在物理学中有着重要的物理意义。
通过计算物体在一段时间内的平均变化率，我们可以了解到物体在这段时间内的运动状态、能量转化情况等重要信息。
这些信息对于我们研究物体的运动规律、能量守恒等方面都有着重要的意义。
文档：解读平均变化率的意义
解读平均变化率的意义变化率问题在生活或学习中经常遇到，这类问题经常借助于函数求解，而对函数平均变化率理解显得尤为重要，下面我们据其定义浅析函数平均变化率的几何意义和物理意义．1．平均变化率的几何意义：如右图：由图可知，设函数()x f y =在处对应函数图象上的两点()()1100,,,y x B y x A ，不妨设10x x <，则此函数在区间[]10,x x 内的平均变化率xy ∆∆()()01010101x x y y x x x f x f --=--=就是经过函数图象上两点()()1100,,,y x B y x A 的割线斜率．注意点：⑴自变量的改变量0≠∆x ，但可正可负； ⑵函数在处有定义，是函数定义域内附近的一点； ⑶xy ∆∆()()01010101x x y y x x x f x f --=--=中自变量的改变量与函数值的改变量，二者差值顺序上对应要一致．如：若01x x x -=∆，则()()01x f x f -，而不是()()10x f x f -； ⑷直线斜率有正有负有零，平均变化率也有正有负有零．例1：分别求函数2x y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021，、⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0和⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21的平均变化率，并说明图像的变化情况．分析：根据平均变化率的几何意义可直接求相应割线斜率． 解：设()2x x f y ==，如下图：据平均变化率的几何意义知，函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021，内的平均变化率为： ()2121041021021-=--=---⎪⎭⎫⎝⎛-=∆∆f f x y ；y21１21-２xyＯＡＢ1x0x 0y 1y函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0内的平均变化率为：()2121041021021=-=--⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆f f x y ； 函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21内的平均变化率为：()2321411211211=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=∆∆f f x y ； 由上面所求结果可以看出，函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21内的平均变化率大于在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0内的平均变化率，所以函数图像在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21内的比在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0的要陡一些；函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021，内与在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0的平均变化率符号相反，但绝对值相等，函数在这两段内的图像升降变化快慢相同，但平均变化率为正时图像从左向右上升，平均变化率为负时，图像从左向右下降．评注：函数平均变化率的绝对值大，图像相对要陡一些，平均变化率绝对值小，图像相对要平缓，平均变化率能近似刻画图像的升降快慢．在较小范围内，平均变化率为正，图像从左向右上升，反之下降．２.平均变化率的的物理意义设()t s S =表示物体运动路程关于时间的函数，设(),11S t s =()22S t s =，其中210t t <≤，则()t s S =在[]21,t t 内的平均变化率为1212t t S S t S --=∆∆，它表示从到这段时间内，物体的平均速度．说明：平均变化率大，说明物体运动的相对快一些，反之较慢.平均变化率能近似反应物体在某短时间内运动的快慢.例2：自由落体的方程为221gt s =,s m g /10=，一物体从t=1状态下开始自由落下，秒后，物体运动路程的增量为 米，在附近的平均变化率为 ，这秒内物体的平均速度为 ．分析：物体运动路程的增量就是函数值的差值，物体秒内的平均速度就是在[]01.01，内的平均变化率；可借助于割线斜率求解．解：⑴因为物体自由落体的方程为221gt s =,s m g /10=，则25t s =，所以时，；01.1=t 时，1005.5=s ，则物体运动路程的增量为1005.051005.5=-．⑵t=1附近的平均变化率为为()10455152+∆-∆=∆-∆+=∆∆tt t t t s ()0≠∆t ． ⑶根据平均变化率的物理意义知，这秒内物体的平均速度为：05.1001.01005.0==∆∆t s )/(s m ． 评注：路程关于时间的函数的平均变化率是物体在某短时间内的平均速度，掌握这一物理意义，可用于解决一些实际问题．以上是对函数平均变化率的定义及意义的浅析．理解平均变化率的意义，并能熟练应用是后面理解导数的基础．。
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问题情境2
水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙, t s 后容器甲中水的体积 V(t)=5×e-0.1t (单位： cm3) ，计算第一个10s内体积的平均变化。
问题情境3
现有宿迁市某年3月和4月某天日最高气温记载. 时间 日最高气温
T (℃)
3月18日 3.5℃
C (34, 33.4)
4月18日 4月20日 18.6℃ 33.4℃
2, 3 习题1
yC yB k xC xB
y
●B ●A
该比值近似量化B,C之间 这一段曲线的陡峭程度. 称该比值为曲线在B,C之 间这一段平均变化率.
o
x
建构数学理论
平均变化率的定义：
一般地，函数 f (x)在区间 [ x1 , x2 ]上的平均变化率为
f ( x2 ) f ( x1 ) y x2 x1 x
厉庄高级中学
柏贵业
2011.12.09
问题情境1
想一想
(1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣 到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经 营成果？ (2)在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万 元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较 和评价甲，乙两人的经营成果？
本题说明:△y与△t中仅比较一个量的变化是 不行的.
p
1 3
课后思考:为什么趋近于2呢？2的几何意义是 什么？
x
小结回顾
这节课我的收获是什么？
f ( x1 ) f ( x2 ) y 1.平均变化率的定义： x x1 x2
2.平均变化率的意义: 大量生活中的实例 建立数学模型 3.求平均变化率的步骤： 4.思想方法： 数学应用
作业：p59 p67
思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平 均变化率有什么特点？
数学应用
例2、已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列 y 区间上的平均变化率： （1）[1，3]； 4 （2）[1，2]； 3 （3）[1，1.1]； 2.1 （4）[1，1.001]. 2.001
（5）[0.9，1]； 1.9 变题: （6）[0.99，1]；1.99 （7）[0.999，1]. 1.999
说明:(1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)) 连线的斜率. （以直代曲思想） (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”， 或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化” ． （数形结合想） “数离形时难直观，形离数时难入微”——华罗庚
数学应用
例1、已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别计算 在区间[-3，-1]，[0，5]上 f(x)及g(x) 的平均 变化率.
温差15.1℃ 温差14.8℃
30 B (32, 18.6)
ห้องสมุดไป่ตู้20
10 A (1, 3.5) 2 0 2 10 20 30 34 t(d)
问题情境4 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。
那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人 着迷。
交流与讨论
容易看出点B,C之间的曲线较 点A,B之间的曲线更加“陡 ●C 峭”. 如何量化陡峭程度呢？