七年级数学一元二次方程及其解法(配方法,公式法)人教实验版五四制知识精讲
一元二次方程(配方法)课件
一元二次方程（配方法）PPT课件大纲
一元二次方程的基础知识
定义
一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中 a、b、c是已知的常数，a≠0。
求解方法
可以通过配方法、公式法和因式分解法等方法 求解一元二次方程
什么是配方法
配方法是解决一元二次方程的一种常用方法，通过变形将方程转化为可简化 求解的形式。 它能够帮助我们更快地求解一元二次方程，提高问题解决的效率。
配方法计算基本分类
标准型
形如ax²+bx+c=0，其中a、b、c都是已知的数值。
非标准型
形如ax²+bx=0或ax²+c=0，其中a、b、c都是已知 的数值。
配方法计算基本技巧
• 注意二次项系数的正负符号对应方程的特点。 • 通过变形，将方程转化为可简化求解的形式（平方差或平方和）。 • 利用求解一元二次方程的公式法或因式分解法来完成求解。
配方法的优缺点分析
优点
能够求解一元二次方程的实数解，适用于各种类型的问题。
2 缺点
对于非标准型方程，计算过程可能比较复杂。
配方法的思路和步骤
1
思路
关键思路是要将一元二次方程转化为平方差或平方和的形式，以便简化计算。
2
步骤
1. 根据方程形式，确定合适的变形方式。
2. 利用变形方式，将方程转化为可简化求解的形式。
3. 根据简化后的方程，求解得到方程的解。
3
技巧
在选择变形方式时，要根据方程的特点和计算的便利性进行选择，灵活运用数学知识。
如何确定配方法的计算方式
考虑方程的特点和计算的便利性，选择合适的配方法计算方式。
《一元二次方程——用配方法求解一元二次方程》数学教学PPT课件(3篇)
B．非负数
C．正数
D．无法确定
（来自《典中点》）
)
知1－练
3
解下列方程：
（1）x2－10x+25=7；
（2）x2－14x=8；
（3）x2+3x=1；
（4）x2+2x+2=8x+4.
（来自教材）
知2－导
知识点
2
用配方法解一元二次方程
探究：
怎样解方程x2＋6x＋4＝0?
我们已经会解方程(x＋3)2＝5.因为它的左边是含有x的完全
平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程．那么，
能否将方程x2＋6x＋4＝0转化为可以直接降次的形式再求解呢？
知2－讲
例2 解下列方程．
(1)x2－8x＋1＝0；
(2)2x2＋1＝3x；
(3)3x2－6x＋4＝0.
分析：
(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法．
(2)先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数
知1－讲
总 结
用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有
未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义
求解．当整理后右边为0时，方程有两个相等的实数根．
（来自《点拨》）
知1－练
1
方程x2－3＝0的根是________.
2
对于方程x2＝m－1.
(1)若方程有两个不相等的实数根，则m________；
对照上面解方程(Ⅰ)的过程，你认为应怎样解
方程(x＋3)2＝5?
在解方程(Ⅰ)时，由方程x2＝25得x＝±5.
由此想到：由方程 (x＋3)2＝5，②
得
x＋3＝± 5 ，
人教版初中数学中考复习一轮复习——一元二次方程解法及其应用(1)
D 1．(2021·河南) 若方程 x2-2x+m=0没有实数根，则 m的值可以是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D． 3
2．（2021•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等 的实数根，则实数k的值为 k 9．
3．（2021•台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，
a 1,b 3, c 4
b2 4ac -3 2 41（- 4） 9 16 25 0
所以方程有两个不等实数根
x b 3 25 3 5
2a
2
2
x1 4, x2 1
考点二：一元二次方程的解法
1x2 3x 4
2x2 6x 7 0
32 x2 4x 5 0
解：a 1,b (k 3),c 1 k
b2 4ac (k 3)2 41 (1 k) k 2 2k 5 k 2 2k 1 4 (k 1)2 4
因为(k 1)2 4 0, 所以方程有两个不等实数根。
考点三：判别式和一元二次方程根的情况
5．（2021•烟台）已知关于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中
考点二：一元二次方程的解法
2.配方法
对应练习： 1x2 4x 1 0
22x2 8x 3 0
12x2 1 3x
22x2 8x 3 0 x2 4x 3 0
2
x2 4x 3 2
x2 4x 4 3 4 2
x22 11 2
x 2 22 2
x1 2
22 ,x 2
变式2．若方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的 取值范围是（a 1且a 0 ）
一元二次方程知识总结及习题
一元二次方程的定义与解法知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2。
同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。
其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）x x 2752=； （2）()()832=+-x x ； （3）()()()22343+=+-x x x例2 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m知识点三 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解例 1 关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 有一个根为0，则=a例 2 已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有一个根为1，一个根为1-，则=++c b a ，=+-c b a例3 已知c 为实数，并且关于x 的一元二次方程032=+-c x x 的一个根的相反数是方程032=-+c x x 的一个根，求方程032=-+c x x 的根及c 的值。
用配方法求解一元二次方程ppt课件
考
点 适用直接开平方法的形式，利用直接开平方法求解.
清
［答案］解：（1）2x2=6，x2=3，
单
解
∴x=± ，∴x1= ，x2=- ；
读
（2）（x+1）2-8=0，移项，得（x+1）2=8，开平方，得
x+1=±2
，解得 x1=-1+2 ，x2=-1-2 ；
清
单 方程，一元二次方程的解有两个，特别注意开方后不要丢掉
解
读 负值.
2.2 用配方法求解一元二次方程
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例1 用直接开平方法解下列方程：
（1）2x2=6；
（2）（x+1）2-8=0；
（3）4x2+1=-4x；
（4）9（x-1）2=16（x+2）2．
2.2 用配方法求解一元二次方程
难
2-16=0；
例
解方程：（1）4（x-1）
题
型
（2）2x2+4x-1=0．
突
破
2.2 用配方法求解一元二次方程
重
［答案］ 解：（1）整理，得（x-1）2=4，开方，得
难
题 x-1=2 或 x-1=-2，解得 x1=3，x2=-1；
型
2
2
突
（2）整理，得 x +2x= ，配方，得 x +2x+1= +1，
2.2 用配方法求解一元二次方程
考
点
清
单
解
读
■考点一
原理
一般
人教版七年级公式法解一元二次方程说课ppt课件图文
教材分析
地位与作用
（1）在上节课学习了利用配方法解一元二次方程，为 本节课求根公式的推导打下了基础，有利于难点的突破。
（2）另外学生在八上《实数》一章中，学习了被 开方数的非负性，并掌握了开平方运算，为这节课理 解求根公式的应用条件奠定了基础。
我爱祖国，但用的是奇异的爱情！
是初中方程中的一个重要内容乊一是建立在学习了直接开平方法配方法解一元二次方程的基础乊上的内容掌握此方法是培养学生由特殊到一般的解题思路教材分析地位与作用
我爱祖国，但用的是奇异的爱情！
公式法解元二次方程
我爱祖国，但用的是奇异的爱情！
公 式 法 解 一 元 二 次 方 程
教材分析 教法分析 学法分析 教学过程 教学评价
我爱祖国，但用的是奇异的爱情！
教学过程
课时小结
本节课你学会了哪些知识？
（1） 学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方 程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二 次方程．
（2）我扩展：（方法归纳）求根公式是一元二次方程的专用公式， 只 有在确定方程是一元二次方程时才能使用，是常用而重要的一元二次方程 的万能求根公式
①此时可以直接开平方吗？需要注意什么？ ②等号右边的值有可能为负吗？说明什么？
b 4ac 2
让小组交流、讨论达成共识。学生会对
进行讨论，分类思想也
是今后常用的一种思想，应加以强化。
设计意图：师生共同完成前四步，这样与利于减轻学生的思维负担，便 于将主要精力放在后边公式的推导上。通过小组的讨论有利于发挥学生 的互帮互助；有利于突破难点。
我爱祖国，但用的是奇异的爱情！
教学评价
《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件(公式法)
配方,得
即
x2
b
c
x .
a
a
2
2
b
c b
b
x2 x ,
a
a 2a
2a
b b 2 4ac
.
x
2
2a
4a
2
②
b b 2 4ac
对于 x
. ②
2
2a
4a
2
因为a≠0,
由②式得
∴ 原方程无实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:确定a,b,c的值（注意符号）;
3.计算: 求出b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
★ 根的判别式
b b 2 4ac
3 x 2 6 x 5 0;
（1）
（2）
4 x 2 -x-9 0.
2、用配方法解方程的一般步骤有哪些？
一般步骤
方法
一移
移项
将常数项移到右边，含未知数的项移到左边
二化
二次项系数化为1
左、右两边同时除以二次项系数
三配
配方
左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
四开
开平方
利用平方根的意义直接开平方
＝
−1 ± 1.96 −1 ± 1.4
＝
，
2 × 0.3
0.6
2
∴ 1＝ ，2＝ − 4.
3
(2)6x2－11x＋4＝2x－2；
七年级数学一元二次方程的解法(因式分解法)人教实验版五四制知识精讲
七年级数学一元二次方程的解法（因式分解法）人教实验版五四制【本讲教育信息】一. 教学内容：一元二次方程的解法（因式分解法）二. 基础知识：利用因式分解解一元二次方程重点：用因式分解法解一元二次方程难点：因式分解解一元二次方程的基本方法及如何灵活选用适当方法解一元二次方程【典型例题】[例1] 用不同的方法解2532=-x x解法一：（因式分解法） 02532=--x x∴0)2)(13(=-+x x ∴013=+x ，02=-x ∴311-=x ，22=x 为原方程的解 解法二：（公式法）3=a ，5-=b ，2-=c∴4942=-=∆ac b ∴675242±=-±-=a ac b b x ∴311-=x ，22=x 解法三：（配方法）方程两边都除以3得，32352=-x x222)65(32)65(35+=+-x x ∴3649)65(2=-x ∴6765±=-x ∴311-=x ，22=x[例2] 解下列方程（用因式分解法）（1）)51)(23()4)(32(x x x x --=+-（2）22)6(16)3(49+=-x x（3）0625412=-+x x （4）x x x x 324)3()5()4(222-=-++-+解：（1）原方程可化为0)51)(23()4)(23(=--++-x x x x∴0)45)(23(=--x x∴023=-x 或045=-x ∴321=x ，452=x （2）原方程化为0)]6(4[)]3(7[22=+--x x∴0)]6(4)3(7)][6(4)3(7[=+--++-x x x x∴0)453)(311(=-+x x ∴1131-=x ，152=x （3）原方程化为024102=-+x x∴0)2)(12(=-+x x ∴121-=x ，22=x（4）原方程可化为02452=--x x∴0)3)(8(=+-x x ∴81=x ，32-=x[例3] 解下列关于x 的方程（1）22)23(b b a x a x =+--（2）abx x b a 4)1)((222=--|)||(|b a ≠解：（1）原方程化为0)2(3222=--+-b ab a ax x∴0)]()][2([=--+-b a x b a x∴0)2(=+-b a x 或0)(=--b a x∴b a x +=21或b a x -=2（2）原方程化为0)(4)(22222=----b a abx x b a 0)]())][(()[(=+---++b a x b a b a x b a∴0)()(=-++b a x b a 或0)()(=+--b a x b a∵||||b a ≠∴0≠+b a ，0≠-b a ∴b a a b x +-=1，b a b a x -+=2[例4] 解下列方程（1）04)21(3)21(2=----x x（2）04)1(5)1(222=+---x x（3）05624=+-x x解：（1）原方程化为04)21(3)21(2=----x x 0)421)(121(=--+-x x ∴211-=x 292=x （2）由已知，令12-=x y ，则原方程化为 0452=+-y y ∴0)4)(1(=--y y∴11=y ，42=y当1=y 时，112=-x ∴21=x ，22-=x当4=y 时，412=-x ∴53=x ，54-=x∴21=x ，22-=x ，53=x ，54-=x（3）∵05624=+-x x ，令y x =2原方程化为0562=+-y y0)5)(1(=--y y ∴11=y ，52=y当1=y 时，12=x ∴11=x ，12-=x当5=y 时，52=x ∴53=x ，54-=x[例5] 方程0120032001)2002(2=-⨯-x x 的较大根为a ，方程 020*******=--x x 的较小根为b ，求2007)(b a +的值。
(完整版)一元二次方程的解法总结,推荐文档
一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法、公式法和分解法)一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式：ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0）。
顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0)[有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线，即b²-4ac≥0] .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)²=n(n≥0)的方程，其解为x=m±配方法 :1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式(此一元二次方程满足有实根) 2.将二次项系数化为1 3.将常数项移到等号右侧 4.等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.左右同时开平方 7.整理即可得到原方程的根公式法：1.化方程为一般式：ax²+bx+c=0 （a≠0）2.确定判别式，计算Δ（=b²-4ac）；3.若Δ>0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=若Δ<0，该方程在实数域内无实数根因式分解法：因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法解一元二次方程的步骤1.将方程右边化为0；2.将方程左边分解为两个一次式的积；3.令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4.解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0)。
一元二次方程知识点以及考点分析(可编辑修改版)
x2
b 2a
；
当 b2 4ac 0 时，方程无实数根.
公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定 a, b, c 的值；③代入 b2 4ac 中计算其值，
判断方程是否有实数根；④若 b2 4ac 0 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的 一元二次方程。） （4）因式分解法： ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式至少有一个为 0，即：
（3） 8x 2
10x 3
0 （ x1
1 4 , x2
3 2
）
（2） y 2 4 y 45 0 （ y1 9, y2 5 ） （4） 7x 2 21x 0 （ x1 0, x2 3 ）
（5） 6x 2 3 3x 2 2x
6 （ x1
3 2
, x2
2 3
）
（6） (x 5)2
2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值
(1) m 为何值时，关于 x 的方程 (m 2)x m2 (m 3)x 4m 是一元二次方程。（ m 2 ）
（2）若分式 x 2 7x 8 0 ，则 x x 1
（x 8）
3．由方程的根的定义求字母或代数式值
(1)关于 x 的一元二次方程 (a 1)x 2 x a 2 1 0 有一个根为 0，则 a
3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（ a ），增长率（ x ），变化的次数（ n ），
变化后的基数（ b ）,这四者之间的关系可以用公式 a(1 x)n b 表示。
4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。 （五）新题型与代几综合题 （1）有 100 米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于 600 平方米，在场地的北面有一堵 50 米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长 40 米、宽 10 米的仓库，但面积只有 400 平方米，不合要求，问 应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？ （2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与 寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？（36 岁）
一二次方程配方法微型课
一二次方程配方法微型课一、一元二次方程配方法一元二次方程配方法是一种求解一元二次方程（即形如ax²+bx+c=0 的方程）的一种常用技巧。
二、配方法步骤配方法的步骤如下：1. 移项：将方程中的所有常数项移至等号的右侧。
2. 化成完全平方：在方程两边同时加上一个数，使得左边的多项式可以因式分解成一个完全平方项。
这个数可以是任何一个数，但通常选择使 bx 的系数为偶数的数。
3. 开平方法：将完全平方项开平方，并将结果移至等号的两边。
4. 解方程：将平方根的相反数与 x 相加或减去，得到两个根。
1. 求解方程：x² - 8x + 15 = 0移项：x² - 8x = -15化成完全平方：x² - 8x + 16 = -15 + 16 = 1开平方法：x - 4 = ±1解方程：x = 3 或 x = 52. 求解方程：2x² + 6x - 5 = 0移项：2x² + 6x = 5化成完全平方：2x² + 6x + 9 = 5 + 9 = 14开平方法：x + 3 = ±√7解方程：x = -3 ± √7配方法是一种方便快捷的求解一元二次方程的方法，特别是当二次项系数 a 为 1 时。
它可以避免使用求根公式，从而节省时间和精力。
五、配方法的局限性配方法只适用于二次项系数 a 为 1 的一元二次方程。
对于二次项系数a ≠ 1 的方程，需要使用求根公式或其他方法来求解。
六、配方法的应用配方法在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。
例如，它可以用于求解抛射体的轨迹方程，或用于确定电路中的电阻值。
数学初中七年级优质课解一元二次方程的方法与应用
数学初中七年级优质课解一元二次方程的方法与应用一、引言数学作为一门基础学科，在学生的学习过程中是不可或缺的。
而解一元二次方程是数学中的一个重要内容，也是学生们所面临的一道难题。
本文将介绍初中七年级数学的优质课，致力于帮助学生理解一元二次方程的解法和应用。
二、一元二次方程的概念一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知数且a≠0。
在解一元二次方程前，学生需要掌握平方根的概念，了解二次函数的图像特点以及常见的关系式。
三、解一元二次方程的基本步骤1. 整理方程：将一元二次方程变形，使其满足标准形式ax²+bx+c=0。
2. 求解方程：利用配方法或因式分解法，将方程转化为形如(x+d)²=e的形式，再求得x的解。
3. 检验解：将求得的解代入原方程，检查是否满足等式。
四、一元二次方程解法的实际应用1. 几何问题：可以通过解一元二次方程来解决一些几何问题，如求解正方形的边长、长方形的长宽等。
2. 物理问题：一元二次方程的解法也可以应用于物理问题，如自由落体问题中的抛物线运动的轨迹。
3. 经济问题：在经济学中，解一元二次方程可以应用于成本、收益等相关问题，帮助分析和解决实际情况。
五、数学初中七年级优质课设计下面是一个数学初中七年级的优质课设计示例，旨在向学生详细解释一元二次方程的解法和应用。
一、导入部分通过一个生活实际问题引入一元二次方程，并与学生们一起思考解决问题的方法。
二、概念讲解详细解释一元二次方程的定义、标准形式以及解法的基本步骤，并举例说明。
三、例题讲解选择一些简单易懂的例题，手把手地教学生如何利用配方法或因式分解法解一元二次方程，以帮助学生更深入地理解解题思路。
四、拓展应用通过实际问题的应用，让学生感受一元二次方程在几何、物理、经济等领域的实际应用情景，并进行相关计算和推理。
五、总结与归纳对本节课的内容进行总结和归纳，重点强调一元二次方程解法的重要性和应用。
一元二次方程及其解法一配方法和公式法
一元二次方程及其解法（一）配方法和公式法【知识回顾】一元一次方程：1、0(0)ax b b +=≠是一元一次方程的标准形式2、含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
3、解一元一次方程的步骤：（若分子或分母中有小数的，先把分子分母同乘以一个相同的倍数，把小数化为整数）去分母：方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数去括号：按照第二章中的去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号合并同类项：系数相加减，字母和字母的指数不变移项：把一项从方程的一边移动到另外一边，要改变符号系数化为1：两边同时除以x 的系数【例题剖析】例1：解下列一元一次方程：2151168x x -+-=；【一元二次方程知识点】一、一元二次方程定义:1.一个未知数2.未知数的最高次数是23.整式方程4、一元二次方程的一般形式: ax²+bx+c=0（a ≠0）其中，二次项______，一次项________二次项系数_______，一次项系数________，常数项__________二、一元二次方程的解（根）1、定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）2、判定一个数值是否是一元二次方程的解的方法是：将这个值代入一元二次方程的左右两边，看是否相等。
【例题指路】例2：下列是一元二次方程的是（ ）A 、223x x +-B 、2521x x =+C 、2(1)(2)x x x +-=D 、2(1)2(1)t t t +=- 例3：a 为何值时，方程1(1)270a a x x +-+-=为一元二次方程？例3：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项系数和常数项：（1）2(2)43x x x x -=-； （2）22(8)4(21)x x x +=+-；（3）211322x x x +---=；（4）关于x 的方程22(0)mx nx mx nx q p m n -++=-+≠例4：下列哪些数是一元二次方程243x x -=-的根：-3，-2，-1，0，1，2，3例5：若x=-1是关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个根，求代数式2008（a-b+ c ）的值。
配方法、公式法解一元二次方程课件p
降 次
用配方法解一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤：
（1）化二次项系数为1 （2）移项 （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方
（4）原方程变形为 (x m)2 n 形式
（5）如果右边为非负数，直接开平方法 求出方程的解，如果右边是负数，一元二 次方程无解。
解 : a 5, b 4, c 12
1.变形:化已知方
程为一般形式;
b2 4ac 42 4 5 (12) 256 0.2.确定系数:用
x b b2 4ac
a,b,c写出各项系 数;
2a
4 256 4 16 .
3.计算: b2-4ac 的值;
25
10
4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
5
x1
6; 5
x2
2.
5.定根:写出原方 程的根.
求根公式 : x b b2 4ac a 0,b2 4ac 0 2a
例2：用公式法解方程 x2+4x=2
这里的a、b、 c的值是什么？
❖你能用配方法解方程：ax2 bx c 0a 0 吗？
ax2 bx c 0a 0
解 : x2 b x c 0. aa
1.二次项系数化1:把二次项 系数化为1;
x2 b x c . aa
2.移项:把常数项移到方程 的右边;
x2
b
解:二次项系数化为1得：x2 1 x 3 0
移项得： x2 1 x 3
2
2
配方得：x2 1 x (1)2 3 (1)2
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七年级数学一元二次方程及其解法（配方法，公式法）人教实验版五
四制
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
一元二次方程及其解法（配方法，公式法）
二. 基础知识：
1. 一元二次方程的概念
2. 降次解一元二次方程
① 用配方法解一元二次方程（配方法解方程的一般步骤应重点掌握）
② 用公式法解一元二次方程（公式的推导方法是应重点掌握）
三. 重点和难点：
1. 重点：一元二次方程的概念和公式法解一元二次方程
2. 难点：配方法解方程
【典型例题】
[例1] ① 下列关于x 的方程
（1）02=++c bx ax
（2）0342=-+x x （3）0432=+-x x （4）0352=+-x x
中，一元二次方程的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 解：选A
根据一元二次方程定义易知（2）（3）不是一元二次方程，而（1）当0=a 时，方程就不是一元二次方程了。
② 下列关于x 的方程
（1）02=++c bx ax （2）0652
=++k k
（3）02
142333=--x x （4）023)3(22=-++x x m 中，是一元二次方程的为。
（只填代号）
解：应填（4）
由（1）可知，（1）不一定为一元二次方程，而（4）中032>+m ，所以应为一元二次方程
[例2] 解方程：1422-=x x
解法一：（配方法）
将方程变形为1422-=-x x
方程两边都除以2，得2122-
=-x x 配方，得22212112+-=+-x x ，即2
1)1(2=-x 解得2
21±=x ∴2211+
=x 2212-=x 解法二：（公式法）
将方程变形为01422
=+-x x
∵2=a ，4-=b ，1=c
∴8816124)4(422=-=⨯⨯--=-ac b ∴4
2242284242±=⨯±=-±-=a ac b b x ∴2211+
=x 2212-=x
[例3] 已知关于x 的方程12)3(-+m x m 01)1(2=--+x m
（1）m 为何值时，它是一元二次方程，并求出此方程的解；
（2）m 为何值时，它是一元一次方程。
解：（1）要使方程为一元二次方程，则必须满足
⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+2
1032m m 解得3=m 当3=m 时，原方程为一元二次方程 此时，方程为01)13(2322=--+x x ∵32=a )13(2-=b 1-=c ∴16)1(324)13(4422=-⨯⨯--=-ac b ∴3
442323224)13(2242±+-=⨯±--=-±-=a ac b b x ∴2131-=x ，6
332+-=x （2）若使原方程为一元二次方程，则应分以下几种情况进行讨论： ①⎩⎨⎧≠-=+010
3m m 解得3-=m ②⎪⎩⎪⎨⎧≠+++=-0
)1(23112m m m 解得2±=m ③⎩⎨⎧≠-=-0
)1(2012m m 解得1-=m
∴ 当3-=m 或2±
或1-时，原方程是一元二次方程
[例4] 关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，求a 。
解：∵01)1(22=-++-a x x a 是一元二次方程
∴01≠-a ∴1≠a
把0=x 代入原方程中，得12=a
∴1±=a ∵1≠a ∴1-=a
[例5] 已知一个直角三角形的两直角边的长恰是方程07822
=+-x x 的两个根，求这个直角三角形的斜边长。
解：∵2=a ，8-=b ，7=c
∴85664724)8(422=-=⨯⨯--=-ac b ∴2
242288242±=⨯±=-±-=a ac b b x ∴2241+=x 2
242-=x ∴ 斜边长为34
)24(4)24(2
2=-++
[例6] 已知c 为实数，并且方程032=+-c x x 的一个根的相反数是方程032
=-+c x x 的一个根，求方程032=-+c x x 的根及c 的值。
解：设方程032=+-c x x 的一个根为0x ，则由题意：
⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=+-)2(0)(3)()1(03020020c x x c x x （1）－（2）得0=c
当0=c 时，方程032=-+c x x 化为032=+x x
解得01=x ，32-=x
[例7] 若方程012=++mx x 与方程02
=--m x x 只有一个相同的实数根，求m 的值。
解：设两个方程相同的实数根为0x ，则
01020=++mx x ①0020=--m x x ② ①－②得0)1()1(0=+++m x m
即0)1)(1(0=++x m
∴1-=m 或10-=x
当1-=m 时，两个方程相同且方程无解 ∴1-=m （舍）
当10-=x 时，0)1()1(2=----m ，2=m
[例8] 有一种特殊材料制成的质量为30克的泥块，现将它切成大小两块，将较大泥块放在一架不等臂的天平的左盘中，称得质量为27克；又将较小泥块放在该天平的右盘中，称得质量为8克，若只考虑天平的臂长不等，其他因素忽略不计，请你依据物理学中的杠杆的平衡原理，求出较大泥块和较小泥块的质量。
解：设较大泥块的质量为x 克，则较小泥块的质量为)30(x -克。
若天平左、右臂长分别为acm 和bcm ，由杠杆平衡原理，得
⎩⎨⎧-==)
2)(30(8)1(27x b a b ax 由（1）÷（2）得)30(:278:x x -=
由比例的性质，得278)30(⨯=-x x
整理得0216302
=+-x x
解得181=x ，122=x
由题意18=x 时，1230=-x 12=x 时不合题意舍去
答：较大泥块质量为18克，较小泥块质量为12克。
【模拟试题】
1. 用配方法解方程：01622=+-x x
2. m 为何值时，关于x 的方程m x m x m m 5)1()2(2=+--是一元二次方程？
3. 用适当方法解下列方程： ①02)52(2
12=--x ②03762=-+x x ③0154)53(22=++-x x
【试题答案】 1. 2731+=x ，2732-=x 2. 2-=m
3. ①271=x ，232=x ②311=x ，232-=x ③321=x ，522=x。