柯西不等式的一个推广
利用柯西不等式一个推广公式再解竞赛题
１ ３
时等号成立。
∴ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥
１ ３
。
例 ２（ １９８４ 年列宁格勒数学竞赛试题） 设 ａ、ｂ、
ｃ∈Ｒ＋， 且 ａ＋ｂ＋ｃ＝１， 求证： ａ３ｂ＋ｂ３ｃ＋ｃ３ａ≥ａｂｃ 成立。
证明：
因为
ａ３ｂ＋ｂ３ｃ＋ｃ３ａ≥ａｂｃ
等价于
ａ２ ｃ
＋
ｂ２ ａ
＋
ｃ２ ｂ
≥１
所以利用柯西不等式推广公式
ｘ２１ !１
…… ＋ｂ２ｎ） ≥（ ａ１ｂ１ ＋ａ２ｂ２ ＋ …… ＋ａｎｂｎ） 。 若 令 ａ１ ＝
ｘ１ ， ａ２＝ ｘ２ ， ……， ａｎ＝ ｘｎ ； ｂ１＝"!１ ， ｂ２＝
"!１
"!２
"!ｎ
"!２ ， ……， ｂｎ＝"!ｎ （ ｘｉ∈Ｒ， !ｉ∈Ｒ＋， ｉ＝１， ２， ……，
ｎ） ， 可得柯西不等式一个推广公式：
当前， 地市报业作为一种经济组织， 其成长与 发展处于一个动态进程之中， 在这一过程中， 报业 人力资源的物理状态和心理状态也都在处于一个 不断的流变过程中。如何在报业与员工之间建立 并维持一份动态平衡的“心理契约”， 从而保证人 力资源有效地长期地为报业发展服务， 特别是采 编队伍不随报业的变动成长而发生人才流失， 成 为时下地市报业人力资源管理的核心话题。
方法， 使其接触到各种不同的业务， 并得以提升， 员工的能力与潜力， 无疑给达成与维持心理契约
从而扩展员工们职业生涯的发展道路。培训配合 创设良好的氛围、空间， 增强员工努力工作的热情
生涯设计是加强员工成就感和工作满意度以及对 与信念， 激发报业与员工共同信守“契约”所默示
组织忠诚度， 阻止人才外流的好办法。同时， 作为 的各自对应的“承诺”。因此， 这种报业文化的建
柯西不等式的应用及推广
。
由此证明了 且得等号成立的条件为：
.这等价于连比式 [8]。
3.2 判别式法
当 或 时，不等式显然成立
令 ，当 中至少有一个不为零时，可知A>0
构造二次函数 ，展开得： 故 的判别式
移项得 ，得证。
3.3 数学归纳法
) 当n=1时，有 ，不等式成立。
当n=2时，
因为 ，故有
当且仅当 ，即 时等号成立。
ii）假设n=k时不等式成立，即
当且仅当 时等号成立。
那么当n=k+1时，
当且仅当 , , 时等号成立，
即 时等号成立。
于是n=k+1时不等式成立。
由 ) ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。
3.4 基本不等式法
运用基本不等式 。
记 , , , 。
则柯西不等式就等价于 ，也等价于 。
，当且仅当 ，即 时等号成立；
，当且仅当 ，即 时等号成立；
……
，当且仅当 ，即 时等号成立。
把以上 个式子相加得
。
当且仅当 时等号成立，则等价命题成立。
故柯西不等式成立。
3.5 运用推广不等式
若 为正数， 为非负数， ，实数 ，则
（当且仅当 时等号成立）。
在以上推广不等式中取 。
有 。
化简得， 。
当 为零或几个为零（ 处于对称位置），不等式显然成立。
2 柯西不等式的诠释
柯西是18世纪法国、巴黎著名的数学家，他的一生获得了多项重要的成果。本文介绍的柯西不等式便是他的一个非常重要的成果。除此之外他在数学的很多领域都进行了深刻的研究，其中包括数论、代数、数学分析和微分方程等，为数学的发展做出的突出的贡献。
应用柯西不等式的几个推广
推 论 ２ ： 已 知 ｚ ， 。 ， … ， ｚ 是 正 整 数 ， … ＋ （ ￣ ／ ） ］ 。 一 ＿ 『 ・ （ ÷ ） ］ 一
Ｘ １
（ ÷ ） 一 １ 。 不 等 式 得 证 。
＼ ，
￣ ／ ｚ ｚ ＋ ｚ。 ＋ … ＋ｚ
作者 单位 ： 江 苏 省 扬 州 市 邗 江 区 瓜 洲 中 学
１ ０
Ｘ１ － １
ｚ ｌ
￣
ｎ ＋ １
、、 １ ｒ ， 广
１
一 一 １ ２
、 ＋ ，
。
￣ ２
－
＋ ． ．
２
ｚ
＾
／ ｎ ） 十 ＋ … ＋ （ ／ ｎ ．）
Ｉ
。
ｆ ＼ Ｘ＋ ＋…＋ １ — １ ， 所 以
１ Ｚ ２ Ｘ ｎ，
应 用 柯 西不 等 式 的几 个 推 广
■李 援朝
柯 西不 等式 ： 设 口１ ， ｎ ２ ， … ， 口 ； ｂ ｌ ， ｂ ２ ， …， ｚ ２ ． ．
６ 是 两 组 实 数 ，则 有
＾兰 １
。： ．
墨１
６ ：≥
。１ 。
￣ ／ ｚ。 ＋ ＋ … ＋
。
一一 ＋＿一
＋
＋
一 １
…
一
ｎ
－
， 证
１ 日 目 ．
：
一
证 ： 由 柯 西 不 等 式 得 （ 。 ＋ 。 举 一 ＋ － ≯ 一 ＋
ａ ｌ ＋口 ３ ＋ …＋ｎ 。 ａｌ ＋ 口２ ＋…＋口 ｔ 一 １ ，一
＃ｘｌ ＋ｚ ２ ＋ … ＋
…
≥ ＃ｘｌ 一 １＋ ￣ ／ ２ — １ ＋
柯西施瓦茨不等式
柯西施瓦茨不等式的应用及推广作者：查敏 指导老师:蔡改香摘要 本文探讨的是柯西施瓦茨不等式在不同数学领域的各种形式和内容及其多种证明方法和应用，并对其进行了一定程度上的推广.通过一系列的例题，反映了柯西施瓦茨不等式在证明相关的数学命题时可以使得解题方法得以简捷明快，甚至可以得到一步到位的效果，特别是在概率统计中的广泛应用.关键词 Cauchy-Schwarz 不等式 Minkowski 不等式 Holder 不等式 Hermite 阵1引言柯西施瓦茨不等式在数学中的应用比较广泛，是异于均值不等式的另一个重要不等式，灵活巧妙的运用它，可以使一些较困难的实际问题得到比较简捷地解决，这个不等式结构和谐，无论代数、几何，都可以应用.本文正是从实数域、微积分.内积空间、概率空间以及矩阵分析这五个方面的内容进行证明并举例说明其应用，对实数域和微积分中的形式进行了一定程度的推广.2 在实数域中的Cauchy 不等式命题1 设,(1,2,,)i i a b R i n ∈=，则222111()()()nnni i i i i i i a b a b ===≤⋅∑∑∑ （1）其中当且仅当,(1,2,,)i i b ka i n ==（k 为常数）等号成立.证明 由21()()0,,niii f x xa b x R ==+≥∀∈∑则222111)(2)0n n nii i i i i i a x a b x b ===-+≥∑∑∑（由于x R ∀∈,因此上述不等式的判别式大于零，即：2221114()4)()0n n ni i ii i i i a b a b ===-≤∑∑∑（易得（1）式成立.例1 设(1,2,...,),i a R i n +∈=求证21212111()(++n na a a n a a a ++++≥） 证明 由不等式左边的形式，很容易想到柯西不等式解之1212111)(+)n n a a a a a a +++++（22212222122211222111[()+][(+)]()()()111[](111)n n n na a a a a a a a a a a a n =++⋅++≥⨯+⨯++⨯=+++=（）（）柯西施瓦茨不等式在实数域中的应用十分广泛，而且许多著名的不等式就是用柯西施瓦茨不等式直接导出.下面介绍两个著名的不等式.由上面的柯西施瓦茨不等式可以得到Minkowski 不等式 定理1 任意的2n 个实数1212,,,,,,,n n a a a b b b ，有()111222222111nnni i i i i i i a b a b ===⎧⎫⎧⎫⎧⎫+≤+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭∑∑∑ （2） 事实上，由（1）得()22211112nnnniiii i i i i i i a b aa b b ====+=++∑∑∑∑11111222222222221111112=nn n nn n i i i i i i i i i i i i a a b b a b ======⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑∑ 这就证明了（2）.将柯西施瓦茨不等式中的幂指数扩充，则有赫尔德不等式. 定理2 对任意的非负数(),1,2,,i i a b i n =有11111()()nnnp q p q i i iii i i a b ab ===≤⋅∑∑∑其中,p q R +∈，满足111p q+=且1p >. 证明 由杨格不等式pq ap b q ab +≥，其中,0a b ≥且111p q+=得111111111111111()()(())1111()()1nn n n n n p q p q pq q p i ii i i i i i i i i i i i p q nn n p q p qi i i i i i i a ba b a a b b a a b b p q p q =========⎡⎤⎡⎤⋅=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪≤+=+=⎢⎥⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑赫尔德不等式中，当2,2p q ==时为柯西施瓦茨不等式，若将n →∞则可导出相应的无穷不等式.由定理2可将定理1的幂指数进行扩充 定理3 若对任意的非负实数,i i a b ，111p q+=，,p q R +∈且1p >，则()111111nnnpppp p p i i i i i i i a b a b ===⎧⎫⎧⎫⎧⎫+≤+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭∑∑∑ 证明()()()-1=p p i i i i i i a b a b a b ++⋅+()()()()==+pqi i i i p pq q i i i i i i a b a b a a b b a b +⋅+⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由杨格不等式()()()111nnnpp pqqiii i i i i i i i i a b a a b b a b ===+≤⋅++⋅+∑∑∑()111111n n np p q p p p i i i i i i i a b a b ===⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪≤+⋅+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑∑∑ 化简即得所要证得的不等式.还可将上述赫尔德不等式推广到无限和不等式： 推论1 若对任意非负实数,i i a b ，有11,nnii i i ab ==<∞<∞∑∑，则11111n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑下面将上命题1进行推广：引理1 （算术-几何平均值不等式）设12,,,n a a a 为个n 正数，则111nnni ii i a an ==≥∑∏，等号成立的充要条件为12n a a a ===.引理2 设{}{}1212,,,,,,,,nnx x x y y y V k R αβ∀==∈∈,作定义：{}{}(){}1122121122,,,,,,,,,,,,n nnn nx y x y x y k kx kx kx x y x y x y αβααβ+=+++==，则在V 中定义了的加法、数乘、内积作成R 上的线性空间一定构成欧几里得空间，简称欧氏空间 (在介绍柯西施瓦茨不等式在内积空间中的应用时会用到此定义).推论2 设,,,,(1,2,)i i i x y z i n =是m 组实数，则有1111()()()()nn nnmm m m i ii iii i i i i x y z x y z ====⋅⋅≤∑∑∑∑ （2）等号成立的充要条件为111222::::=::n n n x y z x y z x y z ==.证明 为方便起见，不妨设1,nmmxi i S x ==∑ 1,,nm myi i S y ==∑1,nm m zi i S z ==∑,ii xx a S =,,i i y y b S =,(1,2,)ii zz c i n S ==从而由引理1有i i i x y z i i i x y z S S S a b c ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅m m mi i i x y z a b c S S S m+++≤⋅⋅⋅对上式进行n 的累次求和，可得11()mnm m m i ii x y z i i i ii x y z S S S a b c m=⋅⋅≤⋅⋅+++∑∑即1111()mn nnmmm i ii x y z i i i ii i i x y z S S S a b c m===⋅⋅≤⋅⋅+++∑∑∑∑ （4）由于111()1nmin nm m i i i m i i x xxx a S S ======∑∑∑ 同理11nmii b==∑，11n m i i c ==∑这样（4）式为mi ii x y z ix y z S S S ⋅⋅≤⋅⋅∑再两边m 同时次幂，得()mm m m m i i i x y z ix y z S S S ⋅⋅≤⋅⋅∑故证得（3）式成立.注1 在命题1中，除,,(1,2,,)i i i i x a y b i n ===，其余均为1，且2m =，则不等式（3）就是不等式（1）的推广.推论3 （将命题1推广为无限和不等式）设,,,,i i i x y z R i N ∈∈且1m i i x ∞=<∞∑，1m ii y∞=<∞∑，1,m i i z ∞=<∞∑，则1111()()()()mm m m i i i iii i i i i x y z x y z ∞∞∞∞====⋅⋅≤∑∑∑∑（证明过程可仿推论2的证法并结合引理2）.3 微积分中的Cauchy-Schwarz 不等式命题2 设(),()f x g x 在[],a b 可积，则222()()()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ （5）证明 类似命题1可以利用判别式证明之.下面给出另一种证法:因为(),()f x g x 在[],a b 上可积，则由定积分的性质22,,f g fg 均在上[],a b 上可积，对区间[],a b 进行n 等分，分点为+,0,1,2,,i b ax a i i n n-==.由定积分的定义，有1()()lim ()()bni i n i a b af xg x dx f x g x n→∞=-=∑⎰221()lim ()bni n i a b af x dx f x n →∞=-=∑⎰221()lim ()bni n i ab ag x dx g x n→∞=-=∑⎰ 由（1）式知222()()()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 再由极限的保号性易知（5）式成立.注 2 若对[],,()0x a b f x ∀∈=，或(),()f x g x 成正比，则（5）式等号成立，但其逆不真.例如，除有限点外，[]()(),,f x g x x a b =∈，有()()bbaaf x dxg x dx=⎰⎰，但(),()f x g x 并不成比例.例2 利用柯西施瓦茨不等式求极限：设(),()f x g x 在[],a b 上连续，()0,()f x g x ≠有正下界，记()()(),1,2,bnn ad f x g x dx n ==⎰，求证：1limmax ()n n a x bnd f x d +→∞≤≤= .证明 为了分析1n n d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的变化趋势，研究n d 邻项之间的关系. n d =()()bna f x g x dx ⎰()()()()1122112211112211()()()()bn n a bbn n a a n n g x f x g x f x dxg x f x dx g x f x dx d d -+-+-+=⋅⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅⎰⎰⎰ 因为0n d >，平方得211n n n d d d +-≤，即11n n n n d dd d +-≥. 因为()f x 在[],a b 连续，所以存在0M >，使得()f x M ≤,故()()()()()()()()110bbbbn n nnn naaaadg x f x dxg x f x dx M g x f x dxg x f x dx Md ++≤=≤=⎰⎰⎰⎰因为1n n d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调有上界，所以有极限. 即1limmax ()n n a x bnd M f x d +→∞≤≤==在微积分中的柯西施瓦茨不等式也可以得到一些比较著名的不等式，如下面介绍的Minkowski 不等式：定理4 设(),()f x g x 在[],a b 可积，则Minkowski 不等式()111222222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 证明 由（5）式()()222()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()2b a f x g x dx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰()()()()222b b b a a af x dx f xg x dx g x dx =++⎰⎰⎰ ()()()()1222222b b bba a a af x dx f x dxg x dx g x dx ⎛⎫≤+⋅+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰2112222()()b b aa f x dx g x dx ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪=+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎰⎰因为两边都大于等于零，且右边大括号也大于等于零，所以有()111222222()()()()bbba a a f x g x dx f x g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 将柯西施瓦茨不等式的幂指数进行扩充，有Holder 不等式 定理5 (),()0f x g x >，111p q+=，,p q R +∈且1p >，则11()()()()bbbpqp qa a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤≤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰证明11()()()()bbbpqp qa a a f x g x dxf x dxg x dx ⎡⎤⎡⎤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 11=()()()()()()()()111bb b p q p q a a a bpqbbp q aaaf x f x dxg x g x dx dx f x g x dxp f x dxq g x dxp q⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤+⋅⋅=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰得证.利用定理5，将定理4的幂指数进行扩充，有()111()()()()bbbppppp p a a a f x g x dx f x g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰证明可参考定理3 的证明，且p=2即为定理4中的不等式. 同样将上命题2进行推广. 推论4 设()(1,2,,)i f x i n =是闭区间[],a b 上为正的n 个可积函数，则111()((()))bbn nnniii i a af x dx f x dx ==≤∏∏⎰⎰ （6）证明 不妨设(())(1,2,,),bni i af x dx k i n ==⎰则11111()(())()bnibn ni a i n ni ia n ii f x dxf x dx k k====∏⎰∏⎰∏由引理1可得111(())(())1()()1b bn nnn i i ni i i i a a f x f x dx dx k n k ==≤=∑∏⎰⎰ 这样就证得不等式（6）成立.注3 在推论4中，取2n =，则得到柯西施瓦茨不等式，即不等式（5）. 注4 不等式（5）可写成()()()()()()()()22b ba ab baaf x dxf xg x dx f x g x dxg x dx≥⎰⎰⎰⎰受此启发，易于得到柯西施瓦茨不等式更为一般的推广形式：设(),()(,1,2,,)i j f x f x i j n =是闭区间[],a b 上的可积函数，则有det(()())0bi j af x f x dx ≥⎰即为()()()()()()()()()()()()()()()21121221222120bbbnaaabbbna a abbbn n n aaaf x dxf x f x dxf x f x dxf x f x dxf x dxf x f x dx f x f x dxf x f x dxf x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰并且等号成立的充要条件为：存在不全为零的常数12,,,m ααα使得1()0i i i f x α∞=≡∑.推论5 （将命题2再推广）设()()0()0,(1,2,,),0ni i f x i n f x dx ∞≥=≤<∞⎰则11100()((()))n nnniii i f x dx f x dx ∞∞==≤∏∏⎰⎰ （7）（可仿推论4并结合反常积分理论即证）.4 n 维欧氏空间中Cauchy-Schwarz 不等式在n 维欧氏空间中，对任意的向量()()1212,,,,,,,,n n a a a b b b αβ==定义内积()()1122,,,,;n n a b a b a b αβ=定义的长度或范数为()12,ααα=.命题3 对任意的向量,αβ有(),αβαβ≤⋅ （8）当且仅当,αβ线性相关时等号才成立.证明 若0α=，则()0,0β=，（8）式显然成立.若0α≠，则令()2,βαγβαα=-⋅，则(),0γα=，且()()2222,,0,βαβαγβαβααα⎛⎫≤= -⋅-⋅⎪ ⎪⎝⎭()()()2,,,βαββαβα=-⋅()222,αββα=-当,αβ线性相关时等号显然成立.反之，如果等号成立，由以上证明过程可以看出，或0α=或0γ=，即()2,βαβαα=⋅也就是说,αβ线性相关.根据上述在n 维欧氏空间中的柯西施瓦茨不等式，我们有三角不等式αβαβ+≤+ （9）因为()()()()()2222,,2,,2=+αβαβαβαααβββααββαβ+=++=++≤++所以（9）式成立.用柯西施瓦茨不等式不等式有时可很巧妙地解决相关数学命题，如下例3 求证2221212++++nn a a a a a a nn++≤.证明 这里可取()()12,,,,1,1,,1,n a a a αβ==由柯西施瓦茨不等式()()()()22222221212+++,=1+1++1+++n n a a a a a a αβαβ=≤⋅整理即得2221212++++nn a a a a a a nn++≤5 概率空间(),,F ΩP 中的Cauchy-Schwarz 不等式命题4 设(),X Y 为任意随机变量，若()()22,X Y E E 存在，则()XY E 也存在，且()()()222XY XY E ≤E E ⎡⎤⎣⎦ （10）式中等号成立当且仅当存在常数0t ，使得{}01Y t X P == （11）证明 定义实变量t 的二次函数为()()()()()22222u t tX Y X t XY t Y =E -=E -E +E因为对一切t ，必然有()20tX Y -≥,从而有()0u t ≥，于是方程()0u t =要么无实根，要么就有一个实根，亦即重根，即判别式非正，从而()()()2220XY XY E -E E ≤⎡⎤⎣⎦即 ()()()222XY XY E ≤E E ⎡⎤⎣⎦当等号成立时，方程()0u t =有一个重根0t ，使()200t X Y E -= 从而 ()()()()22000D t X Y t X Y t X Y -=E --E -()200t X Y ≤E -=即 ()00D t X Y -= 且 ()00t X Y E -= 于是 {}001t X Y P -== 即 {}01Y t X P ==反之，若存在常数0t ，使得（11）式成立，即{}001t X Y P -==从而 {}222001t X Y P -==，(){}001t X Y X P -== 于是 {}22200Y t X E -=，{}200YX t X E -= 即 ()()2220Y t X E =E ，且()()20XY t X E =E故 ()()()()222222200XY t X t X X ⎡⎤E =E =E E ⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22Y X =E E 即在（10）式中等号成立.例4 设随机变量i X 与j X 的相关系数i j ρ存在，则1i j ρ≤且1i j ρ=的充要条件为i X 与j X 以概率1线性相关.即存在常数(),0a b a ≠，使{}1j i X aX b P =+=，其中当1i j ρ=时，0a >；当1i j ρ=-时0a <.证明 对随机变量()()i i i X X D X -E 与()()j j j X X D X -E 应用柯西施瓦茨不等式，有()()()()()()()()222i i i j j j i i i j i j X X X X X X X X D X D X D X D X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤-E -E -E ⎡⎤-E ⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦E ≤E E ⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭即21i j ρ≤，所以1i j ρ≤，此时等式成立当且仅当存在0t ，使得()()()()01j j i i i j X X X X t D X D X ⎡⎤-E -E ⎢⎥P ==⎢⎥⎣⎦其中0t 是方程2210i j t t ρ-+=当1i j ρ=时的解.显然，当1i j ρ=时，01t =，即()()()()1j j i i i j X X X X D X D X ⎡⎤-E -E ⎢⎥P ==⎢⎥⎣⎦当1i j ρ=-时，01t =-，即()()()()1j j i i i j X X X X D X D X ⎡⎤-E -E ⎢⎥P =-=⎢⎥⎣⎦该定理表明：当1i j ρ=时，i X 与j X 之间存在线性关系，从而相关系数i j ρ作为“标准尺度下的协方差”是随机变量i X 与j X 之间的线性强弱程度的度量，更确切地说应该是线性相关系数.在统计教学中，求直线趋势方程的两个待定系数时，用到最小二乘法.柯西施瓦茨不等式在求方程系数和判断极值中起到了补充说明的作用，增强了预测模型的准确性、科学性、严密性.例 5 （求方程系数中的应用）当函数(),1,2,,i i y f t i n ==（），是由实验或观察得到的，建立直线趋势方程e y a bt =+的模型时，要求实际观察值i y 与趋势值e y 离差的平方和必须为最小.解 设()()21,ni Q a b a bt y ==+-∑，这里()()()2211,n ni i i i Q a b a bt y a bt y ===+-=+-∑∑令2112()10,2()0n ni i Q Qa bt y a bt y t ab ==∂∂=+-⋅==+-⋅=∂∂∑∑ 整理得到：112111nni i n n n i i i y na b t ty a t b t =====⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∑∑∑∑∑消去a ,2211111n n n n n i i i i i n t t b n ty t y =====⎡⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑.由柯西施瓦茨不等式2222111111n n nn i i i i n t t t ====⎛⎫=⋅≥⋅ ⎪⎝⎭∑∑∑∑知22110nn i i n t t ==⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∑∑，当且仅当12111nt t t ===时取等号. 由于t 是时间变量，故12n t t t ≠≠≠，所以22110nn i i n t t ==⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∑∑所以111221111()n n ni i i n ni i n n i i n ty t y b t t y t a b n n =======⎧-⎪⎪=⎪-⎪⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑. 在直线回归方程e y a bx =+中，,a b 均为回归系数.在求回归系数时，同样用Cauchy 不等式证明22110n ni i n x x ==⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∑∑得到111221111()n n ni i i n ni i n ni i n xy x y b x x y x a b n n =======⎧-⎪⎪=⎪-⎪⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑. 事实上，如果，22110nn i i n x x ==⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∑∑，由柯西施瓦茨不等式我们得到12,n x x x x ====这时，总体回归直线就是一条平行于y 轴的直线了，这时x 与y 之间没有线性关系，从统计学的角度讲总体中没有变异，就没有必要进行统计了.例 6 （在判断极值存在中的应用）证明()()21,ni Q a b a bt y ==+-∑存在极小值.证明 因为2112()1,2()n ni i Q Qa bt y a bt y t ab ==∂∂=+-⋅=+-⋅∂∂∑∑ 求二阶偏导得222222111212,2,2n n ni i i Q Q Q n t t a b a b ===∂∂∂====∂∂∂∂∑∑∑ 因为222222222211112224n n n n i i i i Q Q Q t n t t n t a b a b ====⎡⎤⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=-⨯=-⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑由柯西施瓦茨不等式我们得到22110nn i i n t t ==⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑∑ 所以222222221140n n i i Q Q Q t n t a b a b ==⎡⎤⎛⎫∂∂∂⎛⎫∆=-⨯=-<⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑又因为2212120n i Q n a =∂==>∂∑，所以()()21,ni Q a b a bt y ==+-∑存在极小值，可以证明也就是最小值.由以上几个例子可以发现，柯西施瓦茨不等式不等式在概率论与数理统计中有着广泛的实际应用.6 矩阵分析中的Cauchy-Schwarz 不等式定义1 设i j A a =为n 阶方阵，记'A A *=,即同时取共轭又转置.若A A *=,则称A 是一个Hermite 阵.当A 为实矩阵时，Hermite 阵就是实对称阵.命题5 设,nx y C ∈，则(a) 2x y x x y y ***≤⋅ 等号成立当且仅当x 与y 线性相关.证明 当x 与y 至少一个为零向量时，结论显然不成立.不妨设0x ≠，定义x yz y x x*=-，则0x z *=.于是20z ≤22x y z y y x y x***==-222x y y x*=-此即222x y x y *≤⋅等号成立0z y ⇔=⇔与x 成比例.（b ）设A 为n n ⨯Hermite 阵且0A ≥,则2x Ay x Ax y Ay ***≤⋅等号成立当且仅当x 与y 线性相关.证明 因为0A ≥，则由Hermite 阵的性质，存在矩阵B,使得A B B *=.命,u Bx v By ==，对u 和v 应用(a),便得到(b).(c)设A 为n n ⨯的Hermite 阵且0A >,则 ‘ 21x y x Ax y A y ***-≤⋅, 等号成立当且仅当x 与1A y -线性相关.证明 因为0A >,所以12A -存在,对12u A x =和12v A y -=应用(a),即得欲证的(c).由上可知,nx y C ∈为任意的一对列向量，我们要讨论的是当它们为正交向量时柯西施瓦茨不等式，是柯西施瓦茨不等式的另一种形式的推广.推论6 C 表示复数域，x *表示x 的共轭转置向量，n n ⨯ 阶正定矩阵的全体记为(),C n >.设(),A C n ∈>，A 的特征值为12,,,n λλλ，且都大于零，那么对于任意一对正交向量,n x y C ∈，有 2112n x Ay x Ax y Ay λλ***⎛⎫≤-⋅ ⎪⎝⎭证明 不失一般性，令1x y ==，显然只需要证明当正交向量对1x y ==时，推论6成立.令()(),,B x y A x y *=那么，B 是一个22⨯Hermite 阵，令其特征值为12u u ≥，由Poincare 定理，有 1120n λμμλ≥≥≥> 所以(),B C n ∈>.同时21x Ayx Ax y Ay***-⋅()()()()()()212222222121244det 42x Ax y Ay x AyBx Ax y Ay x Ax y Ay TrB x Ax y Ay y Ay μμμμμμ**********⋅-===+----+-+-()()()1212121211212y Ay y Ay y Ay μμμμμμμμλμμμμ***=≥≥+++-所以()2121121x Axx Ax y Ayμμλμμ***≤-⋅+ 1121111λμμ=-⎛⎫+⎪⎝⎭又因为()()10f x x x=>是单调递减的函数，所以21112nx Axx Ax y Ayλλ***≤-⋅112n λλ=- 这样定理得证.例7 设(),A C n ∈>，A 的特征值为12,,,n λλλ，且都大于零，那么对于任意非零向量nx C ∈，有()()1142nx A x x Ax xλλ*-*≤证明 令()()211y xA x x A x x -*-=-，这样0x y *=同时()21Ay xx x A x Ax *-=-()()41x Ay x x A x x Ax **-*=-()()1y Ay x A x y Ax **-*=- （12）由（12）式，我们可以得到10y A x x Ay *-*=≤，将（11）式带入推论6，有 ()21112n x Ay x Ax x A x y Ax λλ***-*⎛⎫≤-⋅⋅- ⎪⎝⎭因为0x Ay y Ax **=≤，所以1112n x Ay x Ax x A x λλ***-⎛⎫≥--⋅ ⎪⎝⎭将上式用于()41x Ay x x A x x Ax **-*=-，我们得到()()4112n x x A x x Ax λλ*-*≥即()()1142nx A x x Ax xλλ*-*≤这样定理得证.注5 由柯西施瓦茨不等式的形式（b ）2x Ay x Ax y Ay ***≤⋅，我们可得到21x Ayx Ax y Ay***≤⋅由推论621112nx Ayx Ax y Ayλλ***≤-≤⋅ （13）因此（13）式的结论较柯西施瓦茨不等式精确，所得结果更强.结束语本文从五个方面分别介绍了柯西施瓦茨不等式的五个等价形式，并进行了简洁的证明.并分别介绍了柯西施瓦茨不等式的简单应用，特别是在概率统计中的实际应用，而且在实数域和微积分中进行了一定的推广.由于知识所限，在对其他方面的柯西施瓦茨不等式没有进入深入的分析，也没有进行推广.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 2003. [2]吴传生.数学分析（上册）习题精解[M].合肥:中国科技大学出版社，2004. [3]邓天炎，叶留青.概率统计[M].北京:中国矿业大学出版社，2004. [4] 王松佳,吴密霞,贾忠贞[M].北京:科学出版社,2005.[5] 黄廷祝,杨传胜.特殊矩阵分析及应用[M].北京: 科学出版社, 2007. [6]K.G.宾莫尔.数学分析基础浅导[M].北京：北京大学出版社，2006.[7]孙永生,王昆扬.泛函分析讲义[M].北京：北京师范大学数学科学学院，2007.[8] 罗俊丽,朱白. Cauchy-Schwarz 不等式的几中推广形式[J].商洛学院学报,23:4(2009),28-29. [9]常广平，李林衫，刘大莲.利用Cauchy-Schwarz 不等式估计回归系数[J].北京联合大学学报，22:4(2008),77-78.Application and promotion of the Cauchy-Schwartz inequalityAuthor:Zha Min Superviser: Cai GaixiangAbstract This paper explores all kinds of forms and content and a variety of ways of proof and applications of the Cauchy inequality in diffirent fields of mathematics,and makes some degrees of promotion of it. Through a series of examples,we can see that the Cauchy inequality makes the proof of related mathematical propositions more simple and even can reach onestop effect,especially in the field of probability and statistics. Keywords Cauchy-Schwartz inequality Minkowski inequality Holder inequality Hermite matrix。
柯西不等式 赫尔德 卡尔松
柯西不等式赫尔德卡尔松柯西不等式、赫尔德不等式和卡尔松不等式是数学中的重要概念，它们在分析、几何和概率论等领域都有着广泛的应用。
本文将从深度和广度两个方面对这三个不等式进行全面评估，并撰写有价值的文章来帮助您更好地理解这些重要的数学概念。
一、柯西不等式柯西不等式是数学分析中的一个重要定理，它是用来衡量两个向量内积的大小关系的不等式。
具体来说，对于两个n维实数向量a和b，它们的内积可以表示为a·b=∑(a_i * b_i)，而柯西不等式则可以表示为|a·b|<=||a||*||b||，其中||a||和||b||分别表示向量a和b的模长。
柯西不等式在几何学、泛函分析和概率论中都有广泛的应用，它可以帮助我们理解向量之间的相对位置关系，以及在求解最优解或估计问题中的重要作用。
在柯西不等式的证明和推广过程中，我们可以利用欧几里德空间的内积和范数的性质，结合线性代数的知识，展开严谨的数学推导和分析。
柯西不等式还可以推广到希尔伯特空间以及一般的内积空间中，有着深刻而广泛的数学意义。
二、赫尔德不等式赫尔德不等式是另一个重要的不等式定理，它是用来衡量函数间积分的大小关系的不等式。
具体来说，对于两个可积函数f和g以及两个常数p和q，赫尔德不等式可以表示为||∫(f*g)dx||<=||f||_p*||g||_q，其中||f||_p和||g||_q分别表示函数f和g在L^p和L^q范数下的大小，而f*g表示f和g的卷积或乘积运算。
赫尔德不等式在数学分析、数学物理和信号处理等领域有着重要的应用，它可以帮助我们理解积分函数之间的大小关系，以及在估计和逼近问题中的关键作用。
赫尔德不等式的证明和推广过程中，我们需要利用Lebesgue积分和Lebesgue测度的性质，结合实变函数和泛函分析的理论，展开严密的数学推导和分析。
赫尔德不等式还可以推广到广义的Lebesgue空间以及一般的测度空间中，有着深刻而广泛的数学意义。
柯西不等式的一个推论及其应用
关 键 词 ： 西 不 等 式 ； 论 ； 明 ； 赛 题 柯 推 证 竞
中图 分 类 号 ： ６ ３．２ Ｃ ３ ６ ， 文献标识 码 ： Ａ
本艾根琚栩 西不等式得 到一个 推论 ， 然后 用它解证 一些 国内外 中学生 数学竞 赛题 ， 读者从 中看 到用 它 解 答 ， 颖 有趣 ， 新 简捷 巧 妙 ！
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文 章 编 号 ：０ ８—６９ （０ ２ ０ １０ ３０ ２０ ）６—０６ —０ ０８ ４
浅谈柯西不等式的应用和推广
浅谈柯西不等式的应用和推广摘 要：柯西不等式是一个熟知的重要不等式，有着相当广泛的应用。
本文运用柯西不等式及推论对证明相关命题、证明不等式等问题进行探讨，并进一步地研究柯西不等式的推广和应用。
关键词：柯西不等式；应用；推广柯西不等式是由大数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，因而被命名为柯西不等式。
柯西不等式具有对称和谐的结构，在熟练掌握柯西不等式的相关内容之后，主要是应用柯西不等式解决相关问题，可以使一些复杂繁琐的题目简单化，从而可以拓宽解题思路，节省解题时间，提高解题效率。
1 柯西不等式的基本形式定理（柯西不等式） 设有两组实数1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 和1b ，2b ，⋅⋅⋅，n b ，则()()()222222211221212.n n n n a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+当且仅当i a 或i b 全为0，或i i b a λ=，R λ∈，1,2,,i n =⋅⋅⋅时取等号。
柯西不等式可以简写成： 2 柯西不等式的应用柯西不等式在数学各个分支里都有极其广泛的应用，本文对柯西不等式的应用做一些粗略的归纳，关键是分析问题后抓住问题的结构特征，找准解题的方法思路，通过变形构造出符合柯西不等式的形式及条件，从而达到化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的目的。
2.1 应用柯西不等式证明相关命题例1[1] 已知()000,P x y 及直线l ：0Ax By C ++=()220A B +≠，求证点0P 到直线l 的距离为 证明 设点(),P x y 是直线l 上的任意一点，则0.Ax By C ++=那么的最小值就是点0P 到直线l 的距离，由Ax By C +=-且220A B +>，构造两数组A ，B 与0x x -，0.y y - 由柯西不等式，得222111.n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑1PP =()()()()()222220000AB x x y y A x x B y y ⎡⎤+-+-≥-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()222000000.Ax By Ax By C Ax By Ax By C =+-+=--+=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦d当且仅当 时，即满足过点0P 垂直于直线l 直线时上述不等式取等号。
柯西不等式的证明、推广及应用
柯西不等式的证明、推广及应用2 柯西不等式的推广2.1 命题1若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，则有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221。
证明：∑∑==ni i n i i b a 1212, 收敛，⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 1212210i ni i b a ∑=∴1收敛，且∑∑∑=∞→=∞→=∞→≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n n i i n n i i i n b a b a 121221lim lim lim从而有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221成立。
2.2 命题2[3]若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，且对N n ∈∀有∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221，则对定义在[]b a ,上的任意连续函数()()x g x f ,有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b ab a ⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛222证明：因为函数()()x g x f ,在区间[]b a ,上连续，所以函数()()()()x g x fx g x f 22、、与在[]b a ,上可积，将[]b a ,区间n 等分，取每个小区间的左端点为i ξ，由定积分的定义得：()()()()()()()()xg dx x g x f dx x f xg dx x g x f dx x f i ni n bai ni n bani in bani in ba∆=∆=∆=∆=∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰=∞→=∞→=∞→=∞→ξξξξ12212211lim ,lim lim ,lim令()()12211221,ξξg bfa ==，则∑∑==ni i n i i b a 1212与收敛，由柯西不等式得()()()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∑∑∑∑∑∑=∞→=∞→=∞→===ni i n n i i n ni i i n n i i n i i n i i i x g x f x g f x g x f x g f 121221121221lim lim lim ,ξξξξξξξξ从而有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b ab a ⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛222。
柯西—施瓦茨不等式的推广与应用
柯西—施瓦茨不等式的推广与应用柯西—施瓦茨不等式是一个重要的几何不等式。
它表示一个轨迹在某个方向上的最大距离只能多于给定的固定距离。
这一不等式在许多不同的领域都有着广泛的应用，例如信息论、机器学习、几何优化等。
在信息论领域内，柯西—施瓦茨不等式提供了一种快速估计有效容量的方法，也就是可以根据柯西—施瓦茨不等式快速计算出通信信道的容量。
在机器学习领域，柯西—施瓦茨不等式用来计算给定数据集的最佳分类面，以此实现分类任务。
同时，柯西—施瓦茨不等式还可以用来求解很多优化问题，例如局部最小值搜索，梯度下降法等，它们都可以通过求解柯西—施瓦茨不等式来解决。
总之，柯西—施瓦茨不等式在不同领域都有着重要而深远的影响，它是几何不等式中的一颗明珠，在许多重要的计算机科学领域里都可以找到它的直接应用。
柯西—施瓦茨不等式（Kleene-Schwartz Inequality）是一个重要的数学不等式，它通过有限个变量的总和来比较他们的积和平方和的大小。
这个不等式最初是由美国数学家斯坦尼斯·柯西（Stephen Kleene）和俄国数学家谢尔盖·施瓦茨（Sergei Schwartz）在1934年提出的。
它最初是用来比较单变量的总和和它们的积和平方和的大小，但是它也可以推广到有限个变量的情况。
柯西—施瓦茨不等式的推广形式如下：∑_(i=1)^n▒〖a_i(x_i-y_i)〗^2≤2∑_(i=1)^n▒〖a_i(x_i-μ_i)〗^2+2∑_(i=1)^n▒〖a_i(μ_i-y_i)〗^2其中，a_i 是正常量，x_i 和 y_i 是两个变量，μ_i 表示变量 x_i 和 y_i 的中值。
该不等式有广泛的应用，其中最重要的是它可以用来分析不同变量之间的关系。
它可以用来分析两个变量之间的相关性，即检测它们之间是线性相关还是非线性相关。
此外，它还可以用来检验观测数据的正确性，以及分析观测数据中存在的潜在模式。
柯西不等式推广公式(一)
柯西不等式推广公式(一)柯西不等式推广公式什么是柯西不等式？柯西不等式是数学中的一种基本不等式，用于描述向量的内积性质。
它可以用来证明其他数学定理以及解决实际问题。
柯西不等式的原始形式是针对两个向量的，即对于向量a和向量b，有以下不等式成立：|a·b| ≤ ||a|| × ||b||该不等式表明，两个向量的内积的绝对值不会超过两个向量的模的乘积。
柯西不等式的推广公式除了上述原始形式的柯西不等式，还存在许多推广公式。
以下是几种常见的推广公式：1.几何形式的柯西不等式：对于n维实数空间中的n个向量a1，a2，…，an，有以下不等式成立：|a1·a2| +|a2·a3| + … + |an·a1| ≤ √(a1·a1) × √(a2·a2)× … × √(an·an) 这个公式表明，n个向量两两之间的内积的绝对值的和不会超过这n个向量模的乘积的开方。
2.数学分析中的柯西不等式：对于n维实数空间中的两个函数f(x)和g(x)，以及一个非零值为常数的函数h(x)，有以下不等式成立：|∫[a,b] f(x) × g(x) × h(x) dx| ≤(∫[a,b] f(x)² × h(x) dx × ∫[a,b] g(x)² × h(x)dx)^(1/2) 这个公式表明，对于给定的函数f(x)和g(x)，它们的乘积的积分的绝对值不会超过这两个函数分别平方并乘以常数函数积分的乘积的开方。
3.组合数学中的柯西不等式：对于n个实数a1，a2，…，an和n个实数b1，b2，…，bn，有以下不等式成立：(a1² + a2² + … + an²) × (b1² + b2² + … + bn²) ≥ (a1 × b1 + a2 × b2 + … + an × bn)² 这个公式表明，对于给定的两组实数，它们的平方和的乘积应大于等于这两组实数逐一相乘的和的平方。
Cauchy-Schwarz不等式的各种形式与推广
1 n n 2 2 [ai b j 2ai bi a j b j bi 2 a j 2 ] 2 i 1 j 1 1 n n (ai b j bi a j ) 2 0 2 i 1 j 1
证法二（判别式法）
• 设 x 为任意实数, 令
f ( x) ai 2 2 x ai bi x 2 bi 2
i 1 i 1 i 1 n n n
则
f ( x) (ai xbi ) 0
2 i 1 n
• 显然 f ( x)是关于 x 的一元二次三项式, 且对于 任意实数都是非负的, 所以其判别式必不大 于零, 即
4( ai bi ) 2 4 ai 2 bi 2 0
i 1 i 1 i 1 n n n
2 2 i 1 i 1 k 2 i 1 2 k 1 k 1 i 1 k 1 i 1
k
k
2 k 1
bi 2 ak 12 ) (ak 1bk 1 ) 2
i 1
k
ai ( bi b
2 i 1 k
)a
2 k 1
( bi 2 bk 12 )
i 1
2 i 1 i i 1 n n 2 i
( ai bi ) ai
2 i 1 i 1
n
n
2
b a b a b
2 i 1 i i 1 i i i 1
n
n
n
i i
a
i 1 n i 1
n
2
i
a b
i 1 n
n
i i
2 a i
n
aibi
bi
i 1
Cauchy-Schwarz不等式的各 种形式与推广
柯西不等式的推广及其应用
柯西不等式的推广及其应用1 柯西不等式的定义 定义1[1](1)P 如果1212,,,,,,n n a a a b b b 为两组实数，则21122()n n a b a b a b +++ ≤ 2222221212()()n n a a a b b b ++++++并且仅当1221133111n n n n a b a b a b a b a b a b ---=-==-时，等式成立．2 柯西不等式的证明证法一 (利用均值不等式)[2](12)P P -A=21ni i a =∑，B=21ni i b =∑，C=1ni i i a b =∑，只需证明A ≥2C B由均值不等式有222111122C C a b a b B B +≥， 222222222C C a b a b B B+≥22222n n n n C C a b a b B B+≥n 个式子相加得222C CA B C B B+≥，即2C A B≥．当且仅当(1,2,,)i i a kb i n ==，等号成立．证法二 （比值证明法）[2](12)P P -要证222111()n n ni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑只需证明2ni i a b ⎛⎫⎪∑1≤ （2.1）2ni ia b⎛⎫⎪∑=21ni=⎛⎫⎪⎝2222211112ni in nii ii ia ba b===⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎢⎥⎪≤+⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑∑=21(11)2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=1(2.1)式得证，故结论成立．证法三（差值法）[2](12)P P-222111()n n ni i i ii i ia b a b===-∑∑∑221111n n n ni j i j j ii j i ja b a b a b=====-∑∑∑∑22221111111(2)2n n n n n ni j j i i j j ii j i j i ja b a b a b a b=======+-∑∑∑∑∑∑2222111(2)2n ni j i j j i j ii ja b a b a b a b===-+∑∑2111()2n ni j j ii ja b a b===-∑∑≥．当且仅当i j j ia b a b=，即(1,2,)jii jaai nb b==时等式成立．证法四（利用Cauchy-schwarz不等式）[2](12)P P-在nR里，对任意两个向量1212(,,,),(,,,)n nx x x y y yξη==,ξη1122n nx y x y x y+++，因而n R对于上述定义的内积来说作成一个欧氏空间，则有不等式2,,,ηξηη≤令1212(,,),(,,)n na a ab b bξη==从而就有222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当且仅当ξ与η线性相关时等式成立．即(1,2,,)i i a kb i n ==等号成立．3 柯西不等式的几种变形变形一[3](1)P设,0(1,2,,)i i a R b i n ∈>=，则22111n i ni i ni iii a a b b===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑，当且仅当i i b a λ=时取等号．变形二[3](1)P设,i i a b ，同号且不为零（1,2,,i n =），则2111ni n i i ni ii ii a a b a b===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑，当且仅当12n b b b ===时取等号．变形三[3](1)P对任意数12,(1,2,,)i i a a R i n ∈=，有不等式2221212111n n n i i i i i i i a a a a ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑成立，当且仅当12(1,2,)i i a a i n λ==时等号成立．变形四[3](1)P对任意1212,,,;,,,n n a a a R b b b R ∈∈，则有112222111nnn i i i i i i i a b a b ===⎡⎤⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑．变形五[4](2)P对于任意两个正实数组i a ，(1,2,,)i b i n =，有不等式1122111()()nn ni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑成立，当且仅当i a 与i b 成比例时等号成立．4 柯西不等式的推广推广一[4](2)P设对于由任意正实数构成的m 个数组，12,,(1,2,,)i i mi a a a i n =，有不等式1112121111()()nnnnmmii mi i i mi i i i i aa a a a a ====⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅∑∑∑∑ (4.1)成立，当且仅当1i a :2i a ::mi a =1i b :2i b ::mi b 时等号成立．证明 根据算术－几何平均不等式，有下述几个不等式成立1112112111m nnniimii i i a a a aaa===+++∑∑∑11112112111mm n n ni imi i i i a a a m aa a ===⎛⎫⎪⎪≥⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑； 2122212111m nnniimii i i a a a aaa===+++∑∑∑12122212111mm n n ni imi i i i a a a m aa a ===⎛⎫ ⎪⎪≥⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑；1212111nnmnnnniimii i i a a a aaa===+++∑∑∑11212111mn n mn n n ni imi i i i a a a m aa a ===⎛⎫⎪⎪≥⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑． 将上述n 个不等式相加，整理后即得(4.1)式． 当上述n 个不等式等号成立时，(4.1)式等号才成立． 当且仅当各组数对应成比例时，(4.1)式等号成立．推广二[5](2)P 柯西不等式另一个很好的推广，即著名的Hölder 不等式设110,0(1,2,,),0,0,1,i i a b i n p q p q>>=>>+=则 11111nnnpqpq i i ii i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑， 当且仅当p qi i a b λ=时等号成立．证明 令11npp i i a M =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，11nqq i i b N =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑则有11,nnppq q ii i i aM b N ====∑∑．由于函数()ln (0)f x x x =>为凹函数 因此有1111ln ln ln ,(1,2,,)p qp q i i i i a b a b i n p M q N p M q N ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．从而有11ln ln p q i ii i a b a b MN p M q N ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因此11p qi i i i a b a b MN p M q N ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1,2,,)i n =所以11111p qnn n i i i i i i i a b a b MNp M q N ===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ =1111nnp qiii i Pqab p Mq N ==+∑∑=11p q+ =1．即1ni i i a b MN =≤∑当且仅当p i a 与qi b 成比例时等号成立．推广三[4](3)P已知,(1,2,,,1,2,,)ji j a R i n j m α+∈==，且11mj j α==∑则有12121mni i mi i a a a ααα=⋅⋅⋅∑1212111mn n n i i mi i i i a a a ααα===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑． 证明 对m 用数学归纳法 1） 当2m =时，命题成立． 2） 假设当m k =时，命题成立． 则当1m k =+时，因111k jj α+==∑，记12k j j s α+==∑，则11s α+=注意()23111k sααα++++=，有112121,1k ni i k i i a a a ααα++=⋅⋅⋅∑121121,1k sns si i k ii a a a ααα++=⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭∑ 121121,111sk n nns si i k ii i i a a a αα++===⎛⎫⎛⎫≤⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 121121,111k snn n s si i k i i i i a a a ααα++===⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ 121121,111k n n n i i k i i i i a a a ααα++===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑综上所述命题得证．5 柯西不等式的应用应用柯西不等式解一般题目的关键是将原问题变形使之适合柯西不等式的形式，而能否成功运 用柯西不等式的关键在于可否根据问题自身固有的特点对照柯西不等式的标准形式，构造出两组适当的数据演12,,,n a a a ；12,,,n b b b 的角色．例1 已知,x y R +∈，且44sin cos 1x y x y αα+=+，证明88333sin cos 1()x yx y αα+=+ 证明 由柯西不等式可得4422sin cos ()()1x y x y αα⎫++≥= 即44sin cos 1x y x yαα+≥+且当且仅当2α=时等号成立，即22sin cos x yαα= （5.1） 由已知44sin cos 1x y x yαα+=+ （5.2） 由（5.1）和（5.2）式解得22sin ,cos x yx y x yαα==++ 所以有8833sin cos x yαα+443311()()x y x x y y x y =+++ 31()x y =+． 例2 已知正数,,x y z 满足1x y z ++=，证明2223333x y z x y z ++++≥．证明 利用柯西不等式2222()x y z ++3131312222222()x x y y z z =++()333222222()()()x y z x y z ⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦=3332()()x y z x y z ++++(1x y z ++=)，又因为222x y z xy yz zx ++≥++在此不等式两边同乘以2， 再加上222x y z ++得2222()3()x y z x y z ++≤++，因为2222333()()x y z x y z ++≤++⨯2223()x y z ++故2223333x y z x y z ++++≥．例3 求函数11sin cos (,0,,(0,)2n ny a b a b n N πααα=+>∈∈的最大值．解 由[6](2)12121122()()()()n n n n n n n P n n n n a a a b b b a b a b a b +≤+++可得112(sin cos )nnna b αα+111111112212121212121(sin cos )n n n n nn n n naaabbbαα------=+（21n -）个 （21n -）个2221222121()(sin cos )n nn n n abαα---≤++=22212121()n nn n n ab---+所以11222121212sin cos ()n n n n n n n na b abαα---+≤+当且仅当11112121:sin :cos n n n na bαα--=，即21arc ()n n a tg bα-=时等号成立．所以222121212max ()n n n n n ny ab---=+．例4 已知2221,,,x y z x y z ++=是实数，求证：112xy yz zx -≤++≤． 证明 因为22()(111)x y z x y z ++=⨯+⨯+⨯所以由柯西不等式2222222()(111)()3x y z x y z ++≤++++=又由于22220()2()12()3x y z x y z xy yz zx xy yz zx ≤++=+++++=+++≤所以012()3xy yz zx ≤+++≤即112xy yz zx -≤++≤．例5 求证三角形三边上正方形的面积之和不小于该三角形面积的222a b c ++≥，其中,,,a b c 为三角形三边的长，∆为三角形的面积．证明 由三角形面积公式可得2()()()s s a s b s c ∆=---其中2a b cs ++=，于是 216()()()()a b c b c a c a b a b c ∆=+++-+-+-2222224442()b c c a a b a b c =++---由柯西不等式，有22222224444444442()()()()b c c a a b b c a c a b a b c ++≤++++=++即222222444b c c a a b a b c ++≤++当且仅当222222b c a c a b==，即a b c ==时等号成立．于是4442222224()4()a b c b c c a a b ++≥++变形为444222222222a b c b c c a a b +++++2222224443(222)b c c a a b a b c ≥++---即22222()316a b c ++≥⨯∆所以222a b c ++≥，当且仅当a b c ==时等式成立．例6 设P 为ABC ∆内的一点，M ，N ，H ，分别为P 到各边所引垂线的垂足，求所有BC CA AB PM PN PH++为最小值的点P ． AB MC图1解 如图1，设ABC ∆的面积为S ，则S 111222BC PM CA PN AB PH =⨯+⨯+⨯（5.3） 由柯西不等式可知222222⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦2≥ (5.4) 将（5.3）代入（5.4）得2()2BC CA AB BC CA AB PM PN PH S++++≥== 时等号成立， 即PM PN PH ==又S 和()AB BC CA ++分别是ABC ∆的面积和周长，故为定值， 即P 为ABC ∆内心时BC CA ABPM PN PH++为最小值．参考文献：[1] 鞠建恩．柯西不等式在初等数学中的应用[J]．南平师专学报，2002，02[2] 赵朋军．柯西不等式的多种证法推广及其应用[J]．商洛师范专科学校学报，2004，03 [3] 王晓凤．对柯西不等式探讨[J]．通化师范学院学报，2006，03 [4] 黄 毅．柯西不等式的一个变形及其推广[J]．数学教学通讯，2003，1 [5] 林银河．关于Minkowshi 不等式的讨论[J]．丽水师范专科学校学报，2003，10 [6] 徐幼明．柯西不等式的推广及其应用[J]．数学通讯，1996，12[7] T ．Damm ．A unified version of Cauchy-Schwarz and Wielandt inequality [J] ．School of Information and Mathematics ，2007，1111。
柯西不等式的一个推广
２
湖南 理 工学 院学报 （ 自然科 学 版）
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第 ２ 卷 ５
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第２ ５卷 第 １ 期
２１ ０ ２年 ３月
湖南理工学院学报（ 自然科学版）
Ｊｕｎ ｌｆ ｕ ａ ｓｔｔｏ Ｓ ｉ ｃ ｎ ｅｈｏｏｙｆ ａ ｒｌ ｃｅｃｓ ｏ ｒａ ｏ Ｈ ｎｎＩ ｔ ｅ ｆ ｃｅ ｅ ｄＴｃ ｎｌｇ ｔ ａＳ ｉ ｅ） ｎｉ ｕ ｎ ａ Ｎｕ ｎ
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（ １ ）
柯 西不 等式 （） １揭示 了两个实 数组 平方 和之 积 与对应元 素积之 和 的平方 的关 系，是一 个 应用非 常广 泛 的重要 不 等式 ． 文 旨在将柯 西 不等式 中的指数 拓 广到一 般 正整数 ，给 出它 的一个 指数 推广 ． 本
等 成 当仅 鲁 ＝ ・ 式 立 且 当 … 每
证明 分４ 为书 便， 步． 写简 证明中 符 求和 号∑ 有时 记为∑ ．
１ 设 Ｐ＞０ ｉ ｉ ， ） ，ｘ Ｙ＞０ 据加权算术一几何平均不等式， ， 有
＋ ≥Ｏ＋ｐ） （ ‘ ） （ ＋ｐ） ｉ １ ｘ，
对 ｉ 和，得 求
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｅｅ ｔ ｎ ｉ ｎ ｏ ｕ ｈ ｅ ｕ ｌ ｙｉ ｉ ｅ ｙ ｔ ｅａ ｐ ｉａ ｉ ｎ ｏ ｅｗｅｇ ｔ ｄ ａ ｅ ａ ｅｉ ｅ ｕ ｌ ｉ ｓ ｎ ｉ ｄ ｘ ｆ ｒ ｓ ｒ ｃ ： ｈ ｘ ｅ ｓｏ ｆ Ｃａ ｃ ｙ ｉ ｑ ａ ｉ ｇｖ ｎ ｂ ｐ ｌ ｔ ｆ ｈ ｉ ｈ ｅ ｖ ｒ ｇ ｑ ａｉ ｅ ｓｉ ｅ ｏ ｍ ｎ ｔ ｓ ｈ ｃ ｏ ｔ ｎ ｔ ｉ ｔ ｎ ａ ｄ ｍｕ ｔ ｌ ｅ ｕ ｎ ｅ ｆ ｒ ． ｎ ｌｉ ｅ ｓ ｑ ｅ ｃ ｍ ｐ ｏ
柯西不等式多维形式及其推论的证明
柯西不等式多维形式及其推论的证明柯西不等式是数学中一个重要的不等式，它可以表示为多维形式。
柯西不等式在很多领域都有广泛的应用，例如线性代数、凸优化、信息论等。
本文将介绍柯西不等式的多维形式，并且给出它的一些推论的证明。
1. 定义和形式化在数学中，柯西不等式是一个重要的不等式，它可以用来限制一个函数的行为。
柯西不等式的通用形式为：$$f(x\_1,x\_2,\dots,x\_n) \geqslant 0$$其中 $f$ 是一个实值函数，$x\_1,x\_2,\dots,x\_n$ 是 $n$ 个实数。
柯西不等式可以被用来限制一个多元函数的值域。
柯西不等式也可以表示为多维形式，即：$$f(\mathbf{x}) \geqslant 0$$其中 $\mathbf{x}$ 是一个 $n$ 维向量。
多维柯西不等式是柯西不等式的推广，它具有更广泛的应用。
在实际应用中，柯西不等式通常被用来限制一个函数的值域，使得该函数在某些条件下具有某些性质。
柯西不等式在很多领域都有广泛的应用，例如线性代数、凸优化、信息论等。
2. 多维柯西不等式的证明多维柯西不等式是柯西不等式的推广，它可以用来限制一个多元函数的值域。
多维柯西不等式的通用形式为：$$f(\mathbf{x}) \geqslant 0$$其中 $\mathbf{x}$ 是一个 $n$ 维向量，$f$ 是一个实值函数。
证明多维柯西不等式的方法有很多，具体方法取决于具体的函数 $f$ 以及所满足的条件。
在本文中，我们将介绍几种常见的证明方法。
首先，我们可以使用数学归纳法来证明多维柯西不等式。
这种方法适用于当 $f$ 满足一些递推关系时。
其次，我们可以使用数学归纳法的变形来证明多维柯西不等式。
这种方法适用于当$f$ 满足一些递推关系，但不能直接使用数学归纳法时。
第三，我们可以使用数学归纳法的变形来证明多维柯西不等式。
这种方法适用于当$f$ 满足一些递推关系，但不能直接使用数学归纳法时。
柯西—许瓦兹矩不等式的推广
柯西—许瓦兹矩不等式的推广
柯西—许瓦兹矩不等式的推广
柯西—许瓦兹矩不等式（Cauchy-Schwarz inequality）是一个非常重要的数学定理，它最初是由法国数学家柯西在1821年提出的，后来被德国数学家许瓦兹矩在1859年进行了扩展。
柯西—许瓦兹矩不等式给出了一种判断多个数字或多个向量之间的关系的方法。
基本定理是：对于任意两个实向量x和y，有|x·y| ≤ ||x||·||y||，其中|x·y|表示x和y的内积，而||x||和||y||分别表示x和y的范数。
柯西—许瓦兹矩不等式具有很强的普遍性和适用性，它在很多数学领域都有广泛的应用，如空间几何、凸优化等。
同时，它也可以推广到高维空间，这一推广可以用于更多的问题，如多维度空间中的凸优化等。
柯西—许瓦兹矩不等式的推广可以给出更复杂的不等式，这些不等式可以用于多维空间中的问题，比如凸优化的求解，有时也可以用于统计分析和机器学习等领域。
总之，柯西—许瓦兹矩不等式是一个非常重要的定理，它的推广可以用于解决多维空间中的复杂问题，因此在数学领域有着广泛的应用。
基本不等式的推广公式
基本不等式的推广公式
嘿，咱今天就来聊聊基本不等式的推广公式！你可别小瞧这些公式，它们那可真是厉害得很呐！
比如柯西不等式，
(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+anb n)^2。
这就好像是一群大力士，它们联合起来能发挥出超级巨大的力量！
比如说，a1=2，a2=3，b1=4，b2=1，那代入进去算算，不就能感受到它的奇妙之处啦！
还有赫尔德不等式，这也是个超棒的家伙！它就像是一把万能钥匙，能打开很多难题的大门呢！夸张点说，它能让一些复杂的问题瞬间变得清晰明了！比如说在一些函数的取值范围问题上，它就能大显身手呀！
这些推广公式，真的是数学世界里闪闪发光的宝贝呀！好好去研究它们，你会发现很多惊喜哦，还等什么呢！。
柯西不等式一个推论的应用
柯西不等式一个推论的应用
柯西不等式一个推论的应用是什么意思?就是说柯西不等式的一个推论,如果两边同时加上一个正数,那么这两边都会等于0。
如果两边同时减去一个正数,那么这两边都会等于-1.这个推论叫做柯西不等式的逆命题,我们也可以把它称为一个命题,或者是一个结论,或者是一个条件。
当然,柯西不等式的逆命题是不能够直接使用的,我们需要先证明柯西不等式成立。
柯西不等式逆命题的具体证明过程是:证明柯西不等式成立的一般方法有三种,第一种是分别求出柯西不等式两边的极限和(或)零点,然后利用柯西不等式的定义证明其成立;。
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柯西不等式的一个推广
柯西不等式是一个著名的数学不等式，它最初由英国数学家约翰柯西在1857年提出。
这个不等式给了数学家以一种强有力的表达“有趣”问题的方法，它在推动数学研究方面发挥了重要作用。
最初的柯西不等式表达的是这样一种思想：一个函数内的若干点的和的倒数不可能大于函数的最大值。
柯西不等式的一个推广是称为Carleman不等式，由瑞典数学家Torsten Carleman在1924年提出。
Carleman不等式的思想是：给定集合的函数的和的倒数不可能大于所有函数的最大值的和的倒数。
与柯西不等式相比，Carleman不等式把研究对象扩展到函数集合，而不仅仅是函数内的若干点，这让研究函数集合对于每一个点的关系变得更加容易。
为了证明Carleman不等式，Torsten Carleman提出了一种新的数学工具：偏微分方程组。
他通过推导不等式来表达他的思想：假设一个函数集合{f1，f2，…，fn}，那么我们可以构建一个函数f=f1+f2+…+fn，它的偏微分方程组为
f1x1+f2x2+…+fnxn≤M
其中，M表示函数集合{f1，f2，…，fn}的所有函数的最大值的和。
通过解决这个偏微分方程组，我们就可以得到满足它的解，从而得到Carleman不等式的证明：
f1/x1+f2/x2+…+fn/xn≤M/min(x1，x2，…，xn)
我们可以看出，当x1，x2…，xn趋近于零时，M/min(x1，
x2，…，xn)可以趋近于任意大的值，使得Carleman不等式成立。
柯西不等式和Carleman不等式的研究在现代数学中仍被广泛应用，它们的推广更是被纳入到各种数学研究领域中，诸如几何、拓扑、复变函数等等。
比如，在几何学中，柯西不等式更新了几何中点的定义，使得几何问题更加清晰明了。
在复变函数领域，Carleman不等式被应用到多复变函数的研究中，使得多复变函数的研究变得更加容易。
由于柯西不等式和Carleman不等式是数学中著名的不等式，它们可以帮助数学家完成各种复杂的数学问题，从而推动数学研究的发展。
例如，它们可以帮助数学家推导出各种数学定理，比如偏微分方程的解的最值定理，在几何学中有很多定理，比如椭圆的旋转定理，都是建立在柯西不等式和Carleman不等式的基础上的。
因此，柯西不等式和Carleman不等式在数学领域中都有着不可磨灭的贡献，它们提供了一种有效的分析思路，使得数学家们能够深入地探究和思考复杂的问题，把数学发展出今天这样一个完美的领域。
综上所述，柯西不等式和Carleman不等式对于数学研究起着重大的作用，它们提供了一种可行的分析思路，让数学家们能够深入探究复杂的问题，为数学的发展提供了坚强的支持。