高考数学一轮复习 平面向量的应用02课件
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解 ： 夹求a 角s= in( 为2 c 4θo s 12 , 2 b, 的与2 s 值i cn 的.2 c 夹o s 角2 ) 为=2 θc 2o ,s且 2(θc1o -sθ 2 2,=sin 2),.
因b = 为(2 αs i ∈n 2 (2 0,,2 πs )in ,β2 ∈c o (s π2 ,) 2= π2 )s,in 2(sin 2,cos 2).
[12 分] [14 分]
批阅笔记
(1)用向量研究平面几何问题，是向量的一个重要应用，也是高考 的热点．本题难度不大，属中档题．(2)本题的错误非常典型．造 成错误的主要原因就是思维定势所致．第(1)问，三点不能构成三 角形，从构成三角形的条件直接否定，转化成求解不等式，从而 使问题变得复杂，无法进行下去．第(2)问，由于思维定势，误认 为∠A 一定为直角，从而使解答不完整．(3)考生书写格式不规范， 不完整，也是失分的一个重要因素．
＝n 1 ，即 4m＋n＝1.
4
4
而C→ M＝O→ M－O → C＝ (m－1 4)a＋nb，
C → B＝O → B－O → C＝b－1 4a＝－1 4a＋b，
b 1 a= 1 a + b . 因为
C，M，B
三点共线，所以m－4 1 －1 4
＝n，即
4 4 1
4m＋n＝1.
而C → M＝ O → M－O → C＝ (m－ 1 4)a＋ nb，
变式训练 4
△ABC 的三内角 A，B，C 所对边长分别是 a，b，c，设向量 m ＝(a＋b，sin C)，n＝( 3a＋c，sin B－sin A)，若 m∥n，则角 B 的大小为________．
∵m∥n，∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C( 3a＋c)＝0，又 ∵sina A＝sinb B＝sinc C，
失误与防范
1．向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别．例如：向 量A→B∥C→D并不能说明 AB∥CD.
2．构造向量解题，构造是关键，而向量的构造并不是惟一的， 要根据题目进行调整．
3．加强平面向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思 考问题．
例1. 设a=(1+cosα, sinα), b=(1-cosβ, sinβ), c=(1,0)，其中α∈(0,π),β∈(π,2π), a与cπ6 的
(0 ,π ), (π ,π ).
|a 2|=2c2 os22, |b2|=2sin2.
cos1
|
ac a||c|
2cos2
2
2cos
2cos
2
,
1
2
.
2
cos2
bc |b||c|
2sin2
2
2sin
sin
2
cos(2π 2),
02π 2π 2, 2
22
π. 2
又12 π 6, 22π 2π 6, 故2π 3.
4
1
1
＝n 1 ，即 4m＋n＝1.
4
由m4m＋＋2nn＝＝11，，
解得m＝17， n＝37，
所以O→由Mm4m＋＋2nn＝＝11，，
解得m＝17， n＝37，
所以O→M
O M 1a3b.
＝17a＋37b.
＝17a＋37b.
77
方法与技巧
1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和 函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些 函数问题．
2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等 式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运 算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题 的一般方法．
C → B＝O → B－ O → C＝ b－ 1 4a＝ －1 4a＋ b，
因为
C，M，B
三 点共 线，所以m － － 1 44 1
m 1 ＝n 1，即 4m＋n＝1. 4 n,
而C → M＝O → M－O → C＝ (m－1 4)a＋nb， C → B＝O → B－ O → C＝ b－ 1 4a＝ －1 4a ＋ b， 因为 C，M，B 三点共线，所以m － － 14 1
∴2k＋4＝0，解得 k＝－2； 当∠ABC 是直角时，A→B⊥B→C，即A→B·B→C＝0，
[8 分]
∴k2－2k－3＝0，解得 k＝3 或 k＝－1；
[10 分]
当∠ACB 是直角时，A→C⊥B→C，即A→C·B→C＝0， ∴16－2k＝0，解得 k＝8. 综上得 k∈{－2，－1,3,8}．
3．有关线段的长度或相等，可以用向量的线性运算与向量的模．
方法与技巧
4．用向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的 几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．
5．向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具， 在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性， 在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用 向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决．
＝1－cos 2B＋cos 2Bcos 60°＋sin 2Bsin 60°
＝1－12cos
2B＋
3 2 sin
2B
＝1＋sin(2B－30°)，
当 2B－30°＝90°，即 B＝60°时，函数取最大值 2.
探究提高
向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中条件通过向 量给出，通过向量的平行得到一个等式，这时向量的使命便告完 成．向量与其他知识的结合往往是这种简单组合，因此这种题目 往往较为简单．
A → D＝O → D－O → A＝1 2b－a＝－a＋1 2b. 因为 A，M，D 三点共线，所以m－ －11
＝n 1，即 m＋2n＝1. 2
【解】
2 2 设O → M＝ma＋nb(m，n∈R)，
则A → M＝ O → M－O → A＝ (m－ 1)a＋ nb，
A → D＝O → D－
O → A＝1 2b－
则A → M＝O → M－O → A＝ (m－ 1)a＋nb，
A → D＝O → D－
O → A＝1 2b－
a＝
－
a＋
1 2b.
= (m 1 )a + n b , 因为 A，M，D 三点共线，所以m － － 11
＝n 1 ，即 m＋2n＝1. 2
【解】 设O→ M＝ma＋nb(m，n∈R)，
1 b a= a + 1 b . 则A→ M＝O→ M－O → A＝(m－1)a＋nb，
s in s in ( π ) 1 .
4
62
例 2.
如图所示，在 △ ABC
中， OC
1 4
OA
,
OD
1 2
OB
,
AD
与
BC 交于点 M .设 OA a,Ob b , 以 a, b 为基底表示 OM .例Biblioteka 3.如图所示，在 △ ABC
中， OC
1 4
OA
, OD
1 2
OB
,
AD
与
BC 交于点 M .设 OA a,Ob b , 以 a, b 为基底表示 OM .
【解】
设 O → M＝ ma＋ nb (m，n∈ R)，
则A → M＝ O → M－O → A＝ (m－ 1 )a＋ nb，
A → D
＝O → D－
O → A
＝1 2
b
－
a＝
－
a＋
1 2b
.
因为
A， M，D
三 点 共线，所以m － － 11
＝n 2 1【 ， 解 】 即设m O → M ＋ ＝ m2 a＋ n n＝ b (m， 1n .∈ R)，
a＝
－
a＋
1 2b.
因 为 A， M，D 三 点 共线，所以m － － 11
＝n， 即 1
m＋ 2n＝ 1.
2
m1 1
n 1
,
【解】
设 O → M＝ ma＋ nb(m，n∈ R)，
则A → M＝ O → M－O → A＝ (m－ 1)a＋ nb，
A → D＝O → D－
O → A＝1 2
b－
a＝
－
a＋
审题视角
因B→C和A→C已知，则可得A→B(含 k 的式子)，若三点不能构成 三角形，则有三点共线；若△ABC 为直角三角形，则有一个 角为直角，即某两边构成的角成直角，转化为某两个向量垂 直，此时应根据直角顶点不同而进行分类讨论，求得符合条 件的 k 的值．
规范解答
解 (1)由三点 A、B、C 不能构成三角形，得 A、B、C 在同一条
则化简得 a2＋c2－b2＝－ 3ac， ∴cos B＝a2＋2ca2c－b2＝－ 23，∴B＝56π.
易错警示
无视对直角位置的讨论致误 (14 分)已知平面上三点 A、B、C，向量B→C＝(2－k,3)，A→C＝(2,4)． (1)若三点 A、B、C 不能构成三角形，求实数 k 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，求 k 的值． 学生解答展示
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(2)y＝2sin2B＋cosC－2 3B ＝2sin2B＋cos180°－B2－A－3B
＝2sin2B＋cos(2B－60°)
＝1－cos 2B＋cos(2B－60°)
直线上，即向量B→C与A→C平行，
∵(2B)→∵C∥B→CA→＝C，(2－∴k4,(32)－，k∴)－C→B2×＝3(k＝－02，，解－得3)k，＝12.
[4 分]
∴A→B＝A→C＋C→B＝(k,1)．
[6 分]
∵△ABC 为直角三角形， 则当∠BAC 是直角时，A→B⊥A→C，即A→B·A→C＝0，
1 2b
.
因 为 A， M，D 三 点 共线，所以m － － 11
＝n 1 ， 即 m＋ 2n＝ 1.
2
2
而C → M＝O → M－O → C＝ (m－1 4)a＋nb，
=(m 1)a+nb, C → B＝O → B－O → C＝b－1 4a＝－1 4a＋b，
因为 C，M，B 三点共线，所以m － － 14 1
因b = 为(2 αs i ∈n 2 (2 0,,2 πs )in ,β2 ∈c o (s π2 ,) 2= π2 )s,in 2(sin 2,cos 2).
[12 分] [14 分]
批阅笔记
(1)用向量研究平面几何问题，是向量的一个重要应用，也是高考 的热点．本题难度不大，属中档题．(2)本题的错误非常典型．造 成错误的主要原因就是思维定势所致．第(1)问，三点不能构成三 角形，从构成三角形的条件直接否定，转化成求解不等式，从而 使问题变得复杂，无法进行下去．第(2)问，由于思维定势，误认 为∠A 一定为直角，从而使解答不完整．(3)考生书写格式不规范， 不完整，也是失分的一个重要因素．
＝n 1 ，即 4m＋n＝1.
4
4
而C→ M＝O→ M－O → C＝ (m－1 4)a＋nb，
C → B＝O → B－O → C＝b－1 4a＝－1 4a＋b，
b 1 a= 1 a + b . 因为
C，M，B
三点共线，所以m－4 1 －1 4
＝n，即
4 4 1
4m＋n＝1.
而C → M＝ O → M－O → C＝ (m－ 1 4)a＋ nb，
变式训练 4
△ABC 的三内角 A，B，C 所对边长分别是 a，b，c，设向量 m ＝(a＋b，sin C)，n＝( 3a＋c，sin B－sin A)，若 m∥n，则角 B 的大小为________．
∵m∥n，∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C( 3a＋c)＝0，又 ∵sina A＝sinb B＝sinc C，
失误与防范
1．向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别．例如：向 量A→B∥C→D并不能说明 AB∥CD.
2．构造向量解题，构造是关键，而向量的构造并不是惟一的， 要根据题目进行调整．
3．加强平面向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思 考问题．
例1. 设a=(1+cosα, sinα), b=(1-cosβ, sinβ), c=(1,0)，其中α∈(0,π),β∈(π,2π), a与cπ6 的
(0 ,π ), (π ,π ).
|a 2|=2c2 os22, |b2|=2sin2.
cos1
|
ac a||c|
2cos2
2
2cos
2cos
2
,
1
2
.
2
cos2
bc |b||c|
2sin2
2
2sin
sin
2
cos(2π 2),
02π 2π 2, 2
22
π. 2
又12 π 6, 22π 2π 6, 故2π 3.
4
1
1
＝n 1 ，即 4m＋n＝1.
4
由m4m＋＋2nn＝＝11，，
解得m＝17， n＝37，
所以O→由Mm4m＋＋2nn＝＝11，，
解得m＝17， n＝37，
所以O→M
O M 1a3b.
＝17a＋37b.
＝17a＋37b.
77
方法与技巧
1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和 函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些 函数问题．
2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等 式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运 算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题 的一般方法．
C → B＝O → B－ O → C＝ b－ 1 4a＝ －1 4a＋ b，
因为
C，M，B
三 点共 线，所以m － － 1 44 1
m 1 ＝n 1，即 4m＋n＝1. 4 n,
而C → M＝O → M－O → C＝ (m－1 4)a＋nb， C → B＝O → B－ O → C＝ b－ 1 4a＝ －1 4a ＋ b， 因为 C，M，B 三点共线，所以m － － 14 1
∴2k＋4＝0，解得 k＝－2； 当∠ABC 是直角时，A→B⊥B→C，即A→B·B→C＝0，
[8 分]
∴k2－2k－3＝0，解得 k＝3 或 k＝－1；
[10 分]
当∠ACB 是直角时，A→C⊥B→C，即A→C·B→C＝0， ∴16－2k＝0，解得 k＝8. 综上得 k∈{－2，－1,3,8}．
3．有关线段的长度或相等，可以用向量的线性运算与向量的模．
方法与技巧
4．用向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的 几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．
5．向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具， 在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性， 在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用 向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决．
＝1－cos 2B＋cos 2Bcos 60°＋sin 2Bsin 60°
＝1－12cos
2B＋
3 2 sin
2B
＝1＋sin(2B－30°)，
当 2B－30°＝90°，即 B＝60°时，函数取最大值 2.
探究提高
向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中条件通过向 量给出，通过向量的平行得到一个等式，这时向量的使命便告完 成．向量与其他知识的结合往往是这种简单组合，因此这种题目 往往较为简单．
A → D＝O → D－O → A＝1 2b－a＝－a＋1 2b. 因为 A，M，D 三点共线，所以m－ －11
＝n 1，即 m＋2n＝1. 2
【解】
2 2 设O → M＝ma＋nb(m，n∈R)，
则A → M＝ O → M－O → A＝ (m－ 1)a＋ nb，
A → D＝O → D－
O → A＝1 2b－
则A → M＝O → M－O → A＝ (m－ 1)a＋nb，
A → D＝O → D－
O → A＝1 2b－
a＝
－
a＋
1 2b.
= (m 1 )a + n b , 因为 A，M，D 三点共线，所以m － － 11
＝n 1 ，即 m＋2n＝1. 2
【解】 设O→ M＝ma＋nb(m，n∈R)，
1 b a= a + 1 b . 则A→ M＝O→ M－O → A＝(m－1)a＋nb，
s in s in ( π ) 1 .
4
62
例 2.
如图所示，在 △ ABC
中， OC
1 4
OA
,
OD
1 2
OB
,
AD
与
BC 交于点 M .设 OA a,Ob b , 以 a, b 为基底表示 OM .例Biblioteka 3.如图所示，在 △ ABC
中， OC
1 4
OA
, OD
1 2
OB
,
AD
与
BC 交于点 M .设 OA a,Ob b , 以 a, b 为基底表示 OM .
【解】
设 O → M＝ ma＋ nb (m，n∈ R)，
则A → M＝ O → M－O → A＝ (m－ 1 )a＋ nb，
A → D
＝O → D－
O → A
＝1 2
b
－
a＝
－
a＋
1 2b
.
因为
A， M，D
三 点 共线，所以m － － 11
＝n 2 1【 ， 解 】 即设m O → M ＋ ＝ m2 a＋ n n＝ b (m， 1n .∈ R)，
a＝
－
a＋
1 2b.
因 为 A， M，D 三 点 共线，所以m － － 11
＝n， 即 1
m＋ 2n＝ 1.
2
m1 1
n 1
,
【解】
设 O → M＝ ma＋ nb(m，n∈ R)，
则A → M＝ O → M－O → A＝ (m－ 1)a＋ nb，
A → D＝O → D－
O → A＝1 2
b－
a＝
－
a＋
审题视角
因B→C和A→C已知，则可得A→B(含 k 的式子)，若三点不能构成 三角形，则有三点共线；若△ABC 为直角三角形，则有一个 角为直角，即某两边构成的角成直角，转化为某两个向量垂 直，此时应根据直角顶点不同而进行分类讨论，求得符合条 件的 k 的值．
规范解答
解 (1)由三点 A、B、C 不能构成三角形，得 A、B、C 在同一条
则化简得 a2＋c2－b2＝－ 3ac， ∴cos B＝a2＋2ca2c－b2＝－ 23，∴B＝56π.
易错警示
无视对直角位置的讨论致误 (14 分)已知平面上三点 A、B、C，向量B→C＝(2－k,3)，A→C＝(2,4)． (1)若三点 A、B、C 不能构成三角形，求实数 k 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，求 k 的值． 学生解答展示
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(2)y＝2sin2B＋cosC－2 3B ＝2sin2B＋cos180°－B2－A－3B
＝2sin2B＋cos(2B－60°)
＝1－cos 2B＋cos(2B－60°)
直线上，即向量B→C与A→C平行，
∵(2B)→∵C∥B→CA→＝C，(2－∴k4,(32)－，k∴)－C→B2×＝3(k＝－02，，解－得3)k，＝12.
[4 分]
∴A→B＝A→C＋C→B＝(k,1)．
[6 分]
∵△ABC 为直角三角形， 则当∠BAC 是直角时，A→B⊥A→C，即A→B·A→C＝0，
1 2b
.
因 为 A， M，D 三 点 共线，所以m － － 11
＝n 1 ， 即 m＋ 2n＝ 1.
2
2
而C → M＝O → M－O → C＝ (m－1 4)a＋nb，
=(m 1)a+nb, C → B＝O → B－O → C＝b－1 4a＝－1 4a＋b，
因为 C，M，B 三点共线，所以m － － 14 1