2017-2018版高中数学第一章常用逻辑用语1命题(二)学案北师大版选修2_1
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题学案 北师大版选修2-1(2021年最新整理)
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1.1 命题1。
了解命题的概念.(重点)2.掌握四种命题的结构形式.会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题。
(难点) 3。
熟练判断命题的真假性。
(易混点)[基础·初探]教材整理1 命题及相关概念阅读教材P3“问题提出”以上的部分,完成下列问题.(1)定义:可以判断真假,用文字或符号表述的语句叫命题。
(2)分类错误!(3)形式:通常把命题表示为“若p则q”的形式,其中p是条件,q是结论.1。
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)“x>16”是命题.()(2)“一个实数不是正数就是负数”是真命题.( )(3)若两个命题为互否命题,则它们的真假性肯定不相同。
( )【解析】(1)×,因为没有给定变量x的值,无法确定其真假,故不是命题. (2)×,因为0既不是正数也不是负数,所以是假命题。
(3)√,互否命题的真假性相反。
【答案】(1)×(2)×(3)√2。
下列语句是命题的是( )A。
0.333不是无限不循环小数B.2x>5C.请同学们用好《非常学案》!D。
三角形是平面图形吗?【解析】B不能判断其真假,C、D分别是祈使句、疑问句不是命题。
高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件学案北师大版选修21
高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件学案北师大版选修211.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充分条件与判定定理1.2.3 必要条件与性质定理1.理解充分条件、必要条件的概念.(重点)2.掌握充分条件、必要条件的判断.(难点)[基础·初探]教材整理充分条件与必要条件阅读教材P6~P7的部分,完成下列问题.命题真假“若p,则q”为真命题“若p,则q”为假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了结论成立的充分条件性质定理给出了结论成立的必要条件1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件.( )(2)若p是q的充分条件,则﹁p是﹁q的充分条件.( )(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.( )【解析】(1)若p是q的必要条件,则p⇐q,∴q是p的充分条件,正确.(2)p⇒q﹁p⇒﹁q,错误.(3)两角不相等⇒两角不是对顶角,充分条件.【答案】(1)√(2)×(3)×2.“a>1”是“a>-1”的( )A.充分条件B.必要条件C.既不充分也不必要条件D.以上都不对【解析】a>1⇒a>-1,∴a>1是a>-1的充分条件.【答案】 A3.若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的________条件. 【解析】∵p⇒q,q⇒r,∴p⇒r.【答案】充分4.p:a<1,q:|a|<1,则p是q的________条件.【解析】∵a≤|a|<1,∴|a|<1⇒a<1,∴p是q的必要条件.【答案】必要[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问2:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问3:________________________________________________________ 解惑:_______________________________________________________[小组合作型]充分条件的判断(1)下列各题中,p是q的充分条件的是________.①p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0;②p:两个三角形相似,q:两个三角形全等;③p:m<-2,q:方程x2-x-m=0无实根.【自主解答】①∵(x-2)(x-3)=0,∴x=2或x=3,不能推出x-2=0.∴p不是q的充分条件.②∵两个三角形相似,不能推出两个三角形全等,∴p不是q的充分条件.③∵m<-2,∴12+4m<0,∴方程x2-x-m=0无实根,∴p是q的充分条件.【答案】③(2)“a>b,b>2”是“a+b>4,ab>4”的________条件.【自主解答】由a>b,b>2⇒a+b>4,ab>4,∴是充分条件.【答案】充分(3)设命题甲为0<x<5,命题乙为|x-2|<3,那么甲是乙的________条件.【自主解答】解不等式|x-2|<3得-1<x<5,∵0<x<5⇒-1<x<5,∴甲是乙的充分条件.【答案】充分1.判定p是q的充分条件要先分清什么是p,什么是q,即转化成p⇒q问题.2.除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断,若p构成的集合为A,q构成的集合为B,A⊆B,则p是q的充分条件.必要条件的判断在以下各题中,分析p与q的关系:(1)p:x>2且y>3,q:x+y>5;(2)p:y=x2,q:函数是偶函数;(3)p:一个四边形的四个角都相等,q:四边形是正方形.【精彩点拨】要判断p与q的关系,主要看是p⇒q,还是q⇒p.【自主解答】(1)由于p⇒q,故p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)由于p⇒q,故p是q的充分条件,q是p的必要条件.(3)由于q⇒p,故q是p的充分条件,p是q的必要条件.1.判断p是q的什么条件,主要判断若p成立时,能否推出q成立,反过来,若q成立时,能否推出p成立;若p⇒q为真,则p是q的充分条件,若q⇒p为真,则p是q的必要条件.2.也可利用集合的关系判断,如果条件甲“x∈A”.条件乙“x∈B”.若A⊇B,则甲是乙的必要条件.[再练一题]1.分析下列各项中p 与q 的关系. (1)p :α=π3,q :cos α=12;(2)p :(x +1)(x -2)=0,q :x +1=0.【解】 (1)由于p ⇒q ,故p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. (2)由于q ⇒p ,故q 是p 的充分条件,p 是q 的必要条件.充分条件与必要条件的应用是否存在实数p ,使“4x +p <0”是“x 2-x -2>0”的充分条件?如果存在,求出p 的取值范围;若不存在,请说明理由.【导学号:32550003】【精彩点拨】 分别求出不等式的解集A ,B ,再根据条件判断A 与B 的关系即可. 【自主解答】 由x 2-x -2>0⇒x >2或x <-1;4x +p <0⇒x <-p4,当-p 4≤-1,即p ≥4时,x <-p4≤-1⇒x <-1⇒x 2-x -2>0,故当p ≥4时,4x +p <0是x 2-x -2>0的充分条件.1.涉及求参数的取值范围与充分必要条件有关的问题,常借助集合的观点来处理.2.此类题的步骤为首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的关系,然后构建满足条件的不等式组,再进行求解.[再练一题]2.将本例中的“充分条件”改为“必要条件”,其他不变.【解】 由x 2-x -2>0/⇒4x +p <0,所以不存在实数p 使4x +p <0是x 2-x -2>0的必要条件.[探究共研型]充分条件和必要条件探究1 【提示】 充分、必要条件都具有传递性,具体如下:若p 是q 的充分条件,q 是s 的充分条件,即p ⇒q ,q ⇒s ,则有p ⇒s ,即p 是s 的充分条件;若p 是q 的必要条件,q 是s 的必要条件,即q ⇒p ,s ⇒q ,则有s ⇒p ,即p 是s 的必要条件.探究2 从集合的角度如何判断充分条件、必要条件?【提示】 设A ={x |p (x )},B ={x |q (x )},若x 具有性质p ,则x ∈A ;若x 具有性质q ,则x ∈B .若A ⊆B ,就是说x 具有性质p ,则x 必具有性质q ,即p ⇒q ,p 是q 的充分条件.同理,若B ⊆A ,即q ⇒p ,p 是q 的必要条件.从集合的角度判断条件,可加深我们对充分条件与必要条件的理解. 探究3 在寻求条件时,要注意什么?【提示】 在判断充分条件、必要条件时,要特别注意哪一个是“条件”,哪一个是“结论”,否则将犯“张冠李戴”的错误.需注意:若p 是q 的……条件,则p 是条件,q 是结论;若p 的……条件是q ,则p 是结论,q 是条件.“0<x <5”的一个必要条件是( )A.x >5B.x 2-5x >0 C.0<x <4D.x <5【精彩点拨】 “p 的必要条件是q ”分不清哪是条件哪是结论,易出现q ⇒p 的错误情况.【自主解答】 ∵0<x <5⇒x <5, ∴x <5是0<x <5的一个必要条件.故选D. 【答案】 D [再练一题]3.使不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个充分条件是( ) A.x <0 B.x ≥0 C.x ∈{-1,3,5} D.x ≤-12或x ≥2【解析】 因x ∈{-1,3,5}⇒2x 2-5x -3≥0, 故选C. 【答案】 C[构建·体系]1.已知:p :x >1;q :x >2;则p 是q 的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.即不充分也不必要条件D.以上答案均不正确【解析】 ∵x >2⇒x >1,∴p ⇐q . ∴p 是q 的必要条件. 【答案】 B2.下列p 是q 的必要条件的是( ) A.p :a =1,q :|a |=1 B.p :a <1,q :|a |<1 C.p :a <b ,q :a <b +1 D.p :a >b ,q :a >b -1 【解析】 ∵|a |<1,a ≤|a |, ∴a <1,即|a |<1⇒a <1. 【答案】 B3.“tan α=-1”是“α=3π4”的( ) A.充分条件B.必要条件C.既不充分也不必要条件D.以上都不对 【解析】 因α=3π4⇒tan α=-1,故选B.【答案】 B4.已知p :x 2-x <0,那么命题p 的一个充分条件是( )A.0<x <2B.-1<x <1C.12<x <23D.12<x <2 【解析】 ∵12<x <23⇒x 2-x <0,∴p 的充分条件是12<x <23.【答案】 C5.p :|x |=|y |,q :x =y ,则p 是q 的________条件. 【解析】 ∵x =y ⇒|x |=|y |,即q ⇒p , ∴p 是q 的必要条件. 【答案】 必要我还有这些不足:(1)________________________________________________(2)________________________________________________ 我的课下提升方案:(1)________________________________________________(2)________________________________________________。
2018版高中数学北师大版选修2-1学案:第一章 常用逻辑
[学习目标] 1.了解“且”“或”作为逻辑联结词的含义,掌握“p或q”“p且q”命题的真假规律.2.了解逻辑联结词“非”的含义,能写出简单命题的綈p命题.知识点一“且”(1)定义:一般地,用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来,就得到一个新命题,记作p 且q.(2)命题p且q的真假判定(3)A与B的交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B}.知识点二“或”(1)定义:一般地,用逻辑联结词“或”把命题p和q联结起来,就得到一个新命题,记作p 或q.(2)命题p或q的真假判定(3)A与B的并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B}.知识点三“非”(1)定义:一般地,对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作綈p,读作非p.(2)命题綈p的真假判定(3)A在全集U中的补集:∁U A={x|x∈U,且x∉A}.(4)命题“p且q”与“p或q”的否定命题:①綈(p且q)=綈p或綈q;②綈(p或q)=綈p且綈q.思考(1)逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同?(2)命题的否定与否命题有什么区别?答案(1)生活用语中的“或”表示不兼有,而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有.(2)命题的否定只否定命题的结论,而否命题既否定命题的条件,又否定命题的结论.题型一p且q命题及p或q命题例1分别写出下列命题构成的“p且q”“p或q”的形式,并判断它们的真假.(1)p:函数y=3x2是偶函数,q:函数y=3x2是增函数;(2)p:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,q:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角;(3)p:3是无理数,q:3是实数;(4)p:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根,q:方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等.解(1)p且q:函数y=3x2是偶函数且是增函数;∵p真,q假,∴p且q为假.p或q:函数y=3x2是偶函数或是增函数;∵p真,q假,∴p或q为真.(2)p且q:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角;∵p真,q真,∴p且q为真.p或q:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角;∵p真,q真,∴p或q为真.(3)p且q:3是无理数且是实数;∵p真,q真,∴p且q为真.p或q:3是无理数或是实数;∵p真,q真,∴p或q为真.(4)p且q:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等;∵p真,q真,∴p且q为真.p或q:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等;∵p真,q真,∴p或q为真.反思与感悟(1)判断“p且q”形式的命题的真假,首先判断命题p与命题q的真假,然后根据真值表“一假则假,全真则真”进行判断.(2)判断“p或q”形式的命题的真假,首先判断命题p与命题q的真假,只要有一个为真,即可判定“p或q”形式命题为真,而p与q均为假命题时,命题“p或q”为假命题,可简记为:有真则真,全假为假.跟踪训练1指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题:(1)李明是男生且是高一学生.(2)方程2x2+1=0没有实数根.(3)12能被3或4整除.解(1)是“p且q”形式.其中p:李明是男生;q:李明是高一学生.(2)是“非p”形式.其中p:方程2x2+1=0有实根.(3)是“p或q”形式.其中p:12能被3整除;q:12能被4整除.题型二綈p命题例2写出下列命题的否定形式.(1)面积相等的三角形都是全等三角形;(2)若m2+n2=0,则实数m、n全为零;(3)若xy=0,则x=0或y=0.解(1)面积相等的三角形不都是全等三角形.(2)若m2+n2=0,则实数m、n不全为零.(3)若xy=0,则x≠0且y≠0.反思与感悟綈p是对命题p的全盘否定,对一些词语的正确否定是写綈p的关键,如“都”的否定是“不都”,“至多两个”的反面是“至少三个”、“p且q”的否定是“綈p或綈q”等.跟踪训练2写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p:y=sin x是周期函数;(2)p:3<2;(3)p :空集是集合A 的子集; (4)p :5不是75的约数.解 (1) 綈p :y =sin x 不是周期函数.命题p 是真命题,綈p 是假命题; (2) 綈p :3≥2.命题p 是假命题,綈p 是真命题;(3) 綈p :空集不是集合A 的子集.命题p 是真命题,綈p 是假命题; (4) 綈p :5是75的约数.命题p 是假命题,綈p 是真命题. 题型三 p 或q 、p 且q 、綈p 命题的综合应用例3 已知命题p :方程x 2+2ax +1=0有两个大于-1的实数根,命题q :关于x 的不等式ax 2-ax +1>0的解集为R ,若“p 或q ”与“綈q ”同时为真命题,求实数a 的取值范围. 解 命题p :方程x 2+2ax +1=0有两个大于-1的实数根,等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ=4a 2-4≥0,x 1+x 2>-2,(x 1+1)(x 2+1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1≥0,-2a >-22-2a >0,,解得a ≤-1.命题q :关于x 的不等式ax 2-ax +1>0的解集为R ,等价于a =0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ<0.由于⎩⎪⎨⎪⎧ a >0,Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0,a 2-4a <0,解得0<a <4, 所以0≤a <4.因为“p 或q ”与“綈q ”同时为真命题,即p 真且q 假,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-1,a <0或a ≥4,解得a ≤-1.故实数a 的取值范围是(-∞,-1].反思与感悟 由真值表可判断p 或q 、p 且q 、綈p 命题的真假,反之,由p 或q ,p 且q ,綈p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况.一般求满足p 假成立的参数范围,应先求p 真成立的参数的范围,再求其补集.跟踪训练3 已知命题p :方程x 2+ax +1=0有两个不等的实根;命题q :方程4x 2+2(a -4)x +1=0无实根,若“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,求实数a 的取值范围. 解 ∵“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,∴p 与q 一真一假, 由a 2-4>0得a >2或a <-2. 由4(a -4)2-4×4<0得2<a <6.①若p 真q 假,则有⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <-2,a ≤2或a ≥6,∴a <-2或a ≥6;②若p 假q 真,则有⎩⎪⎨⎪⎧-2≤a ≤2,2<a <6,通过分析可知不存在这样的a .综上,a <-2或a ≥6.1.命题p :“x >0”是“x 2>0”的必要不充分条件,命题q :△ABC 中,“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件,则( ) A.p 真q 假 B.p 且q 为真 C.p 或q 为假 D.p 假q 真答案 D解析 命题p 假,命题q 真. 2.给出下列命题: ①2>1或1>3;②方程x 2-2x -4=0的判别式大于或等于0; ③25是6或5的倍数;④集合A ∩B 是A 的子集,且是A ∪B 的子集. 其中真命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 答案 D解析 ①由于2>1是真命题,所以“2>1或1>3”是真命题;②由于方程x 2-2x -4=0的Δ=4+16>0,所以“方程x 2-2x -4=0的判别式大于或等于0”是真命题;③由于25是5的倍数,所以命题“25是6或5的倍数”是真命题;④由于A ∩B ⊆A ,A ∩B ⊆A ∪B ,所以命题“集合A ∩B 是A 的子集,且是A ∪B 的子集”是真命题.3.已知命题p 1:函数y =2x -2-x 在R 上为增函数,p 2:函数y =2x +2-x 在R 上为减函数.则在命题q 1:p 1或p 2,q 2:p 1且p 2,q 3:(綈p 1)或p 2和q 4:p 1且(綈p 2)中,为真命题的是( ) A.q 1,q 3 B.q 2,q 3 C.q 1,q 4 D.q 2,q 4答案 C解析 p 1是真命题,则綈p 1为假命题;p 2是假命题,则綈p 2为真命题; ∴q 1:p 1或p 2是真命题,q 2:p 1且p 2是假命题, ∴q 3:(綈p 1)或p 2为假命题,q 4:p 1且(綈p 2)为真命题.∴为真命题的是q1,q4.4.已知命题p:1∈{x|(x+2)(x-3)<0},命题q:∅={0},则下列判断正确的是()A.p假q真B.“p或q”为真C.“p且q”为真D.“綈p”为真答案 B解析由(x+2)(x-3)<0得-2<x<3,∵1∈(-2,3),∴p真.∵∅≠{0},∴q为假,∴“p或q”为真.5.若p是真命题,q是假命题,则()A.p且q是真命题B.p或q是假命题C.綈p是真命题D.綈q是真命题答案 D解析根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确.1.正确理解逻辑联结词是解题的关键,日常用语中的“或”是两个中任选一个,不能都选,而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤:(1)逐一判断命题p,q的真假.(2)根据“且”“或”的含义判断“p且q”,“p或q”的真假.p且q为真⇔p和q同时为真,p或q为真⇔p和q中至少一个为真.3.若命题p为真,则“綈p”为假;若p为假,则“綈p”为真,类比集合知识,“綈p”就相当于集合p在全集U中的补集∁U p.因此(綈p)且p为假,(綈p)或p为真.4.命题的否定只否定结论,否命题既否定结论又否定条件,要注意区别.。
【小初高学习]2017-2018学年高中数学 第一章 常用逻辑用语章末分层突破学案 北师大版选修2-
第一章常用逻辑用语[自我校对]①互逆②逆否命题假.四种命题之间的基本关系如图11所示.图11其中,原命题与其逆否命题是同真同假的,原命题的逆命题与原命题的否命题是同真同假的,通常我们说互为逆否的两个命题是等价的.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假:(1)若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根;(2)若x2+y2=0,则x、y全为零.【精彩点拨】根据四种命题的构成形式给出其他三种形式.同时注意:(1)“否定”即“取其补集”(2)互为逆否的两个命题同真或同假.【规范解答】(1)逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1,为假命题.否命题:若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根,为假命题.逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1,为真命题.(2)逆命题:若x、y全为零,则x2+y2=0,为真命题.否命题:若x2+y2≠0,则x、y不全为零,为真命题.逆否命题:若x、y不全为零,则x2+y2≠0,为真命题.[再练一题]1.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是( )A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数【解析】原命题的否命题是既否定题设又否定结论,故“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是B选项.【答案】 B(1)能够保证一个事件一定发生的条件,叫做这个事件发生的充分条件;一个事件要发生必须具备的条件叫做这个事件发生的必要条件;一个条件既能保证某个事件发生,同时又是这个事件发生必须具备的条件,就叫做这个事件发生的充要条件.在实际应用中,体现充要条件的文字还有“当且仅当”“有且仅有”“必须且只需”等.用逻辑符号表示为:①若p ⇒q ,且q p ,则p 是q 的充分不必要条件,q 是p 的必要不充分条件; ②若q ⇒p ,且pq ,则p 是q 的必要不充分条件,q 是p 的充分不必要条件;③若p ⇒q ,且q ⇒p (或﹁p ⇒﹁q ),则p 是q 的充要条件,此时q 也是p 的充要条件; ④若pq ,且q p ,则p 是q 的既不充分也不必要条件(2)利用集合的关系判断充分条件、必要条件、充要条件①A ⊆B ,就是若x ∈A ,则x ∈B ,即A 是B 的充分条件,B 是A 的必要条件; ②AB ,就是若x ∈A ,则x ∈B ,且B 中至少有一个元素不属于A ,即A 是B 的充分不必要条件,B 是A 的必要不充分条件;③A =B ,就是A ⊆B 且A ⊇B ,则A 是B 的充分条件,同时A 是B 的必要条件,即A 是B 的充要条件;④若AB ,A ⊉B ,则A 是B 的既不充分也不必要条件.若p :|3x -4|>2,q :1x 2-x -2>0,则﹁p 是﹁q 的什么条件?【精彩点拨】 先化简p ,q .再求出﹁p ,﹁q .再由﹁p 与﹁q 的推出关系下结论.【规范解答】 解不等式|3x -4|>2,得p :⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2或x <23, ∴﹁p :⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23≤x ≤2. 解不等式1x 2-x -2>0,得q :{x |x <-1或x >2}.∴﹁q :{x |-1≤x ≤2}. ∴﹁p 是﹁q 的充分不必要条件. [再练一题]2.设{a n }是等比数列,则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 {a n }为等比数列,a n =a 1qn -1,由a 1<a 2<a 3,得a 1<a 1q <a 1q 2即a 1>0,q >1或a 1<0,0<q <1则数列{a n }为递增数列,反之也成立故选C.【答案】 C含有逻辑联结词的复合命题的真假判断以及含有量词的命题的真假判断的不同方法和技巧.(1)简单命题的真假判断:判断简单命题的真假,通常用直接法判断,当不易判断时,还可用间接法(转化为等价命题或举反例).用直接法判断时,应先分清条件和结论,运用命题所涉及知识进行推理论证.用转化法判断时,需正确写出等价命题,再判断.(2)复合命题的真假判断:判断复合命题的真假,应先确定复合命题的形式,然后根据简单命题的真假,利用真值表判断其真假.(3)含有量词的命题的真假判断:判断含有量词的命题的真假,根据题目信息,应该先判断命题中的量词特征,再利用全称命题和特称命题真假的判断方法判断.全称命题与特称命题的判断方法如图14所示.指出下列命题的真假.(1)命题:“不等式|x+2|≤0没有实数解”;(2)命题:“-1是偶数或奇数”;(3)命题:“2属于集合Q,也属于集合R”;(4)命题:“A(A∪B)”.【精彩点拨】先判断命题所含的逻辑联结词,然后再判断命题的真假.【规范解答】(1)此命题为“﹁p”的形式,其中p:不等式|x+2|≤0有实数解,因为x=-2是该不等式的一个解,所以p是真命题,即﹁p为假命题,故原命题为假命题;(2)此命题为“p或q”的形式,其中p:“-1是偶数”,q:“-1是奇数”.因为p 是假命题,q为真命题,所以“p或q”为真命题,故原命题为真命题;(3)此命题为“p且q”的形式,其中p:2属于Q,q:2属于R.因为p为假命题,q 为真命题,所以p且q为假命题,故原命题为假命题;(4)此命题为“﹁p”的形式,其中p:A⊆(A∪B),因为p为真命题,所以“﹁p”为假命题,故原命题为假命题.[再练一题]3.下列命题中是真命题的是________.(写出所有真命题的序号)(1)任意x∈R,x2≥x;(2)存在x∈R,x2≥x;(3)若“x≠1,则x2-3x+2≠0”的逆否命题.【解析】(1)(2)分别是全称命题与特称命题,易知(1)为假,(2)为真;(3)的逆否命题是“若x2-3x+2=0,则x=1”,由于当x=2时,x2-3x+2=0,故可知(3)为假命题.【答案】(2)(1)转化意识①由于互为逆否的两个命题同真假,因此,当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时,可以转化为判断其逆否命题的真假或证明其逆否命题.②将给定p,q条件的判断转化为集合间关系的判断,即通过构造相应集合求解.(2)简化意识判断命题真假的关键:一是识别命题的构成形式;二是分别将各命题简化,对等价的简化命题进行判断.(3)反例意识在“逻辑”中,经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断,若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行,这时可以通过举出恰当的反例来说明,这是一个简单有效的方法.已知命题p:函数y=log0.5(x2+2x+a)的值域为R,命题q:函数y=-(5-2a)x 是R上的减函数.若p或q为真命题,p且q为假命题,则实数a的取值范围是________.【自主解答】函数y=log0.5(x2+2x+a)的值域为R,即y=x2+2x+a的值域包含(0,+∞),即在方程x2+2x+a=0中,Δ=4-4a≥0⇔a≤1,即p真⇔a≤1;函数y=-(5-2a)x是减函数⇔5-2a>1⇔a<2,即q真⇔a<2.由p或q为真命题,p且q为假命题,知命题p,q中必有一真一假.若p真q假,则无解;若p假q真,则1<a<2.故满足题意的实数a的取值范围是(1,2).【答案】(1,2)[再练一题]4.设A,B为两个非空集合,则下列四个命题中真命题的序号是________.综上可知,真命题的序号是④.图13图14【答案】④1.设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0【解析】分别否定命题的条件和结论,并互换位置可得逆否命题.根据逆否命题的定义,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.故选D.【答案】 D2.设{a n}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的( )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】设数列的首项为a1,则a2n-1+a2n=a1q2n-2+a1q2n-1=a1q2n-2(1+q)<0,即q<-1,故q <0是q <-1的必要而不充分条件.故选C. 【答案】 C3.命题“∀x ∈R ,∃n ∈N *,使得n ≥x 2”的否定形式是( )A.∀x ∈R ,∃n ∈N *,使得n <x 2B.∀x ∈R ,∀n ∈N *,使得n <x 2C.∃x ∈R ,∃n ∈N *,使得n <x 2D.∃x ∈R ,∀n ∈N *,使得n <x 2【解析】 由于特称命题的否定形式是全称命题,全称命题的否定形式是特称命题,所以“∀x ∈R ,∃n ∈N *,使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ,∀n ∈N *,使得n <x 2”.【答案】 D4.已知命题p :∀x >0,总有(x +1)e x>1,则﹁p 为( ) A.∃x 0≤0,使得(x 0+1)e x 0≤1 B.∃x 0>0,使得(x 0+1)e x 0≤1 C.∀x >0,总有(x +1)e x≤1 D.∀x ≤0,总有(x +1)e x ≤1【解析】 利用全称命题的否定是特称(存在性)命题求解.“∀x >0,总有(x +1)e x >1”的否定是“∃x 0>0,使得(x 0+1)e x 0≤1”.故选B. 【答案】 B5.若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4,tan x ≤m ”是真命题,则实数m 的最小值为________.【解析】 利用正切函数的值域及不等式恒成立的条件求解.由题意,原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4上恒成立,即y =tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4上的最大值小于或等于m ,又y =tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4上的最大值为1,所以m ≥1,即m 的最小值为1.【答案】 1。
2018版高中数学北师大版选修2-1学案:第一章 常用逻辑
1.要注意全称命题、特称命题的自然语言之间的转换.2.正确理解“或”的意义,日常用语中的“或”有两类用法:其一是“不可兼”的“或”;其二是“可兼”的“或”,我们这里仅研究“可兼”的“或”.3.有的命题中省略了“且”“或”,要正确区分.4.常用“都是”表示全称肯定,它的特称否定为“不都是”,两者互为否定;用“都不是”表示全称否定,它的特称肯定可用“至少有一个是”来表示.5.在判定充分条件、必要条件时,要注意既要看由p能否推出q,又要看由q能否推出p,不能顾此失彼.证明题一般是要求就充要条件进行论证,证明时要分两个方面,防止将充分条件和必要条件的证明弄混.6.否命题与命题的否定的区别.对于命题“若p,则q”,其否命题形式为“若綈p,则綈q”,其命题的否定为“若p,则綈q”,即否命题是将条件、结论同时否定,而命题的否定是只否定结论.有时一个命题的叙述方式是简略式,此时应先分清条件p,结论q,改写成“若p,则q”的形式再判断.1.转化与化归思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化,使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等.通过转化,使复杂问题简单化,抽象问题具体化. 例1 判断下列命题的真假.(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形; (2)若x ∉A ∩B ,则x ∉A 且x ∉B ; (3)若x ≠y 或x ≠-y ,则|x |≠|y |.解 (1)该命题的逆否命题:“若一个四边形是等腰梯形,则它的对角线相等”,它为真命题,故原命题为真.(2)该命题的逆否命题:“若x ∈A 或x ∈B ,则x ∈A ∩B ”,它为假命题,故原命题为假. (3)该命题的逆否命题:“若|x |=|y |,则x =y 且x =-y ”,它为假命题,故原命题为假. 跟踪训练1 下列各题中,p 是q 的什么条件?(1)p :圆x 2+y 2=r 2与直线ax +by +c =0相切,q :c 2=(a 2+b 2)r 2(其中r >0); (2)p :x +y ≠-2,q :x ,y 不都是-1.解 (1)若圆x 2+y 2=r 2与直线ax +by +c =0相切,圆心到直线ax +by +c =0的距离等于r ,即r =|c |a 2+b 2,所以c 2=(a 2+b 2)r 2;反过来,若c 2=(a 2+b 2)r 2,则|c |a 2+b 2=r 成立,说明圆x 2+y 2=r 2与直线ax +by +c =0相切,故p 是q 的充要条件. (2) 綈q :x =-1且y =-1,綈p :x +y =-2.∵綈q ⇒綈p ,而綈p ⇏綈q ,∴綈q 是綈p 的充分不必要条件,从而,p 是q 的充分不必要条件.例2 设命题p :实数x 满足x 2-4ax +3a 2<0,其中a >0,命题q :实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x -6≤0,x 2+2x -8>0. (1)若a =1,且p 且q 为真,求实数x 的取值范围; (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 解 (1)由x 2-4ax +3a 2<0得(x -3a )(x -a )<0. 又a >0,所以a <x <3a , 当a =1时,1<x <3,即p 为真命题时,实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-x -6≤0,x 2+2x -8>0,解得⎩⎪⎨⎪⎧-2≤x ≤3,x <-4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时,实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p 且q 为真,则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3,2<x ≤3⇔2<x <3,所以实数x 的取值范围是(2,3). (2) 綈p 是綈q 的充分不必要条件, 即綈p ⇒綈q 且綈q ⇏綈p .设A ={x |x ≤a 或x ≥3a },B ={x |x ≤2或x >3}, 则A B .所以0<a ≤2且3a >3,即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2].跟踪训练2 命题p :任意x ∈R ,x 2+1>a ,命题q :a 2-4>0,若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数a 的取值范围. 解 若p 为真命题,则a <1;若q 为真命题,则a 2>4,即a >2或a <-2. 由已知条件知:p 与q 一真一假,当p 为真,q 为假时有:⎩⎪⎨⎪⎧a <1,-2≤a ≤2,所以-2≤a <1,当q 为真,p 为假时有:⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1,a >2或a <-2,所以a >2,综上所述,-2≤a <1或a >2. 2.分类讨论思想分类讨论又称逻辑划分,是中学数学常用思想方法之一,分类讨论的关键是逻辑划分标准要准确,从而对问题进行分类求解,常用逻辑用语一章所涉及的不等式大多是含有字母参数的,对这类含参数的问题要进行分类讨论,讨论时要做到不重复、不遗漏.例3 已知a >0,a ≠1,设p :函数y =log a (x +1)在x ∈(0,+∞)内单调递减;q :曲线y =x 2+(2a -3)x +1与x 轴交于不同的两点,如果p 或q 为真,p 且q 为假,求a 的取值范围. 解 方法一 由题意知,p 和q 有且只有一个为真.p 为真时,0<a <1;∵y =x 2+(2a -3)x +1与x 轴有两个不同交点,∴Δ=(2a -3)2-4>0,得a <12或a >52,即q 为真时,0<a <12或a >52.(1)当p 为真,且q 为假时,a ∈(0,1)∩([12,1)∪(1,52]),即a ∈[12,1).(2)当p 为假,且q 为真时,a ∈(1,+∞)∩[(0,12)∪(52,+∞)],即a ∈(52,+∞).综上,a 的取值范围为[12,1)∪(52,+∞).方法二 ∵A ={a |p (a )}={a |0<a <1},B ={a |q (a )}={a |0<a <12或a >52},∴p 和q 有且只有一个为真⇔a ∈A ∪B 且a ∉A ∩B , 故a 的取值范围为[12,1)∪(52,+∞).跟踪训练3 命题p :函数f (x )=lg(ax 2+2x +1)的定义域为R ;命题q :函数g (x )=x +ax -2在(2,+∞)上是增函数.如果p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,求实数a 的取值范围. 解 当p 为真命题时,ax 2+2x +1>0恒成立,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0,Δ<0,即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0,4-4a <0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a >0,a >1,∴a >1. 当q 为真命题时,g (x )=x -2+2+a x -2=1+a +2x -2在(2,+∞)上是增函数,∴a +2<0,即a <-2.∵p 或q 为真命题,p 且q 为假命题, ∴p 与q 一真一假,∴a 的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞). 3.数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时,能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索,促使抽象思维和形象思维的和谐复合,通过对规范图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直观为精确,从而使问题得到解决.本章中数形结合主要体现在命题真假的判断、充要条件的判定上.例4 设函数f (x )=|log 2x |,则f (x )在区间(m,2m +1)(m >0)上不是单调函数的充要条件是________. 答案 0<m <1解析 作出函数f (x )=|log 2x |的图象如图所示,可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1,2m +1>1,故0<m <1即为f (x )在区间(m,2m +1)(m >0)上不是单调函数的充要条件.故填0<m <1.跟踪训练4 设a ,b ,c 是非零向量.已知命题p :若a ·b =0,b ·c =0,则a ·c =0;命题q :若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .则下列命题中真命题是( ) A.p 或qB.p 且qC.(綈p )且(綈q )D.p 或(綈q )答案 A解析 由于a ,b ,c 都是非零向量, ∵a ·b =0,∴a ⊥b .∵b ·c =0,∴b ⊥c .如图,则可能a ∥c ,∴a ·c ≠0, ∴命题p 是假命题,∴綈p 是真命题. 命题q 中,a ∥b ,则a 与b 方向相同或相反; b ∥c ,则b 与c 方向相同或相反. 故a 与c 方向相同或相反,∴a ∥c ,即q 是真命题,则綈q 是假命题,故p 或q 是真命题,p 且q ,(綈p )且(綈q ),p 或(綈q )都是假命题. 4.反证法反证法是一种间接证法,它回避了从正面直接证明命题,它从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而肯定命题的结论.从逻辑角度看,命题“若p ,则q ”的否定是“若p ,则綈q ”,由此进行推理,如果产生矛盾,那么就说明“若p ,则綈q ”为假,从而可以得出“若p ,则q ”为真,达到证明的目的.反证法是高中数学解题的一种基本方法.例5 如果a ,b ,c ,d 为实数,a +b =1,c +d =1,且ac +bd >1,求证a ,b ,c ,d 中至少有一个负数.证明 假设a ,b ,c ,d 中至少有一个负数不成立,则a ,b ,c ,d 都为非负数,即a ≥0,b ≥0,c ≥0,d ≥0.因为a +b =1,c +d =1, 所以(a +b )(c +d )=1, 即(ac +bd )+(bc +ad )=1.因为a ,b ,c ,d 均为非负数,于是bc +ad ≥0, 故由上式可以知道ac +bd ≤1, 这与已知条件的ac +bd >1矛盾,所以假设不成立,故a ,b ,c ,d 中至少有一个负数.跟踪训练5 用反证法证明:钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半. 已知:在△ABC 中,∠BAC >90°,D 是BC 边上的中点, 求证:AD <12BC (如图所示).证明 假设AD ≥12BC .①若AD =12BC ,由平面几何知识“如果三角形一边上的中线等于该边长的一半,那么这条边所对的角为直角”知∠BAC =90°,与题设矛盾. 所以AD ≠12BC .②若AD >12BC ,因为BD =DC =12BC ,所以在△ABD 中,AD >BD , 从而∠B >∠BAD ,同理∠C >∠CAD . 所以∠B +∠C >∠BAD +∠CAD , 即∠B +∠C >∠BAC .因为∠B +∠C =180°-∠BAC , 所以180°-∠BAC >∠BAC . 故∠BAC <90°,与题设矛盾. 由①②知AD <12BC .1.对于命题的判断问题,在考试中往往涉及多个知识点综合进行考查.考查知识点涉及逻辑联结词、三角函数、不等式、立体几何等诸多内容,得到命题者的青睐.该部分的考查重点有两个:(1)是综合其他知识,考查一些简单命题真假的判断;(2)是考查命题四种形式之间的关系.体现了考纲对“命题、充分条件、三角函数的有界性、不等式的性质以及空间线面关系等”的要求.解决此类问题的关键是灵活根据题干和选项进行判断,主要是选出错误的命题,所以可以利用特例法确定选项,即只需举出一个反例即可说明命题是假命题,对于较难判断的问题,可以转化为它的逆否命题来解决.2.充分条件、必要条件和充要条件是对命题进行研究和考查的重要途径.通过对命题条件和结论的分析,考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解.3.正确理解逻辑联结词的含义,准确把握含有三个逻辑联结词的命题的判断方法,熟记规律:已知命题p 、q ,只要有一个命题为假,p 且q 就为假;只要有一个为真,p 或q 就为真,綈p 与p 真假相对.另外注意命题的否定与命题的否命题的区别,这是两个很容易混淆的概念,要准确把握它们的基本形式,不能混淆.4.解决全称量词与存在量词问题需要注意两个方面:一是准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式,这两类命题的否定形式有严格的格式,不要和一般命题的否命题的形式混淆;二是要掌握判断全称命题与特称命题的真假的特例法,即只要找出一个反例就可说明全称命题为假,只要找到一个正例就可以说明特称命题为真. [考情分析]。
高中数学 第一章《常用逻辑用语》全部教案 北师大版1-2
北师大版高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》全部教案1.1命题及其关系第一课时1.1.1 命题一、教学目标:1、知识与技能:理解命题的概念和命题的构成,能判断给定陈述句是否为命题,能判断命题的真假;能把命题改写成“若p,则q”的形式;2、过程与方法:多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和解决问题的能力;3、情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点:重点:命题的概念、命题的构成;难点:分清命题的条件、结论和判断命题的真假。
三、教学方法:探析归纳,讲练结合三、教学过程(一)、复习回顾:初中已学过命题的知识,请同学们回顾:什么叫做命题?(二)、探析新课1、思考、分析:下列语句的表述形式有什么特点?你能判断他们的真假吗?(1)若直线a∥b,则直线a与直线b没有公共点.(2)2+4=7.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)若x2=1,则x=1.(5)两个全等三角形的面积相等.(6)3能被2整除.2、讨论、判断:学生通过讨论,总结:所有句子的表述都是陈述句的形式,每句话都判断什么事情。
其中(1)(3)(5)的判断为真,(2)(4)(6)的判断为假。
教师的引导分析:所谓判断,就是肯定一个事物是什么或不是什么,不能含混不清。
3、抽象、归纳:定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.命题的定义的要点:能判断真假的陈述句.在数学课中,只研究数学命题,请学生举几个数学命题的例子.教师再与学生共同从命题的定义,判断学生所举例子是否是命题,从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解.4、练习、深化:判断下列语句是否为命题?(1)空集是任何集合的子集.(2)若整数a是素数,则是a奇数.(3)指数函数是增函数吗?(4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行.(5)2)2(=-2.(6)x>15.让学生思考、辨析、讨论解决,且通过练习,引导学生总结:判断一个语句是不是命题,关键看两点:第一是“陈述句”,第二是“可以判断真假”,这两个条件缺一不可.疑问句、祈使句、感叹句均不是命题.解略。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题导学案(无答案)北师大版选修2-1
1.1命题学习目标1.知识与技能(1)理解命题的概念及命题的构成,会判断一个命题的真假.(2)理解四种命题及其关系,掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断.2.过程与方法通过对命题本质的分析,理解命题的概念.3.情感、态度与价值观通过了解命题的基本知识,认识命题的相互关系,对于学生掌握具体的数学学科知识很有帮助.学习重点:命题的概念和四种命题的关系学习难点:四种命题的关系学习方法:以讲学稿为依托的探究式教学方法.学习过程(一)课前预习任务:(阅读教材3—4页完成下面问题)1. 命题可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作.其中判断为真的叫作.判断为假的叫作.2.数学中,通常把命题表示为“”的形式,其中是命题的条件,是命题的结论.3.四种命题原命题、逆命题、、.(二)预习检测1、给出下列语句:(1) 若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点;(2) 2+4=7;(3) 垂直于同一条直线的两个平面平行; (4) 3能被2整除.请你找出上述语句的特点.2、判断下列语句中哪些是命题?(1)末位是0的整数能被5整除;(2)平行四边形的对角线相等且互相平分;(3)两直线平行则斜率相等;(4)余弦函数是周期函数吗?二、新课学习:探究任务一:命题的概念命题有哪些表达形式,疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题?学后检测1 下列语句:①垂直于同一条直线的两条直线平行吗?②一个数不是正数就是负数;③x,y都是无理数,则x+y是无理数;④请把门关上;⑤若直线l不在平面α内,则直线l与平面α平行.其中是命题的是________.(填序号)探究任务二:四种命题问题1:给出下列四个命题:(1)同位角相等,两直线平行;(2)两直线平行,同位角相等;(3)同位角不相等,两直线不平行;(4)两直线不平行,同位角不相等.请你说出这些命题中命题(1)与其它命题的条件和结论之间的关系.学后检测2 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题.(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于平面;(2)如果x>10,那么x>0.探究任务三四种命题间的相互关系观察下面四个命题:(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数.问题1命题(1)与命题(2)(3)(4)分别是什么关系?问题2 命题(2)与命题(3),命题(2)与命题(4),命题(3)与命题(4)分别是什么关系?问题3 四种命题中,真命题的个数可能为多少?例1、写出命题“对顶角相等”的逆命题、否命题和逆否命题,并判断这四个命题的真假.例2、设原命题是“若a=0,则ab=0”.(1)写出它的逆命题、否命题及逆否命题;(2)并判断这四个命题是真命题还是假命题.三、当堂检测1.下列语句为命题的是 ( )A.对角线相等的四边形 B.同位角相等 C.x≥2 D.x2-2x-3<02.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是( )A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数3.下列命题中正确的是 ( )①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;②“正三角形都相似”的逆命题;③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;④“若x-2是有理数,则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④ B.①③④ C.②③④ D.①④4.下列命题:①面积相等的三角形是全等三角形;②若xy=0,则|x|+|y|=0;③若a>b,则ac2>bc2;④矩形的对角线互相垂直.其中假命题的个数是________.四、课堂小结五、课后作业。
2017_2018学年高中数学第一章经常使用逻辑用语1_1命题教学案北师大版选修2_1
逆否命题:假设x,y不全为零,那么x2+y2≠0,真命题.
(4)逆命题:已知a,b,c为实数,假设ac=bc,那么a=b,假命题.
否命题:已知a,b,c为实数,假设a≠b,那么ac≠bc,假命题.
逆否命题:已知a,b,c为实数,假设ac≠bc,那么a≠b,真命题.
否命题:假设q≥1,那么方程x2+2x+q=0无实根,假命题.
逆否命题:假设方程x2+2x+q=0无实根.那么q≥1,真命题.
(2)逆命题:假设a=0,那么ab=0,真命题.
否命题:假设ab≠0,那么a≠0,真命题.
逆否命题:假设a≠0,那么ab≠0,假命题.
(3)逆命题:假设x,y全为零,那么x2+y2=0,真命题.
(4)四种命题的条件、结论之间的关系如表所示:
命题
条件
结论
原命题
p
q
逆命题
q
p
否命题
p的否定
q的否定
逆否命题
q的否定
p的否定
2.四种命题间的关系
原命题和其逆否命题为互为逆否命题,否命题与逆命题为互为逆否命题,互为逆否的两个命题真假性相同.
1.判定一个语句是不是为命题关键看它是不是符合两个条件:一是能够判定真假,二是用文字或符号表述的语句.祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.
(2)a,b,c,d∈R,假设a=c,b=d,那么ab=cd.
解:(1)逆命题:假设sinα=cosβ,那么α+β= ;
否命题:假设α+β≠ ,那么sinα≠cosβ;
逆否命题:假设sinα≠cosβ,那么α+β≠ .
(2)逆命题:a,b,c,d∈R,假设ab=cd,那么a=c,b=d;
2017-2018版高中数学 第一章 常用逻辑用语疑难规律方法学案 北师大版选修2-1
第一章常用逻辑用语1 怎样解逻辑用语问题1.利用集合理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念,并且是理解上的一个难点.要解决这个难点,将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来,看得见、想得通,才是最好的方法.本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释,实践证明效果较好.集合模型解释如下:(1)A是B的充分条件,即A⊆B.(2)A是B的必要条件,即B⊆A.(3)A是B的充要条件,即A=B.(4)A是B的既不充分又不必要条件,即A∩B=∅或A、B既有公共元素也有非公共元素.或例1 设集合S={0,a},T={x∈Z|x2<2},则“a=1”是“S⊆T”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)解析T={x∈Z|x2<2}={-1,0,1},a=1时,S={0,1},所以S⊆T;反之,若S⊆T,则S ={0,1}或S={0,-1}.所以“a=1”是“S⊆T”的充分不必要条件.答案充分不必要2.抓住量词,对症下药全称命题与特称命题是两类特殊的命题,这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念,解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词,理解其相应的含义,从而对症下药.例2 (1)已知命题p:“任意x∈[1,2],x2-a≥0”与命题q:“存在x∈R,x2+2ax+2+a=0”都是真命题,则实数a 的取值范围为______________.(2)已知命题p :“存在x ∈[1,2],x 2-a ≥0”与命题q :“存在x ∈R ,x 2+2ax +2+a =0”都是真命题,则实数a 的取值范围为__________________.解析 (1)将命题p 转化为当x ∈[1,2]时,(x 2-a )min ≥0,即1-a ≥0,即a ≤1.命题q :即方程有解,Δ=(2a )2-4×(2+a )≥0,解得a ≤-1或a ≥2.综上所述,a 的取值范围为(-∞,-1].(2)命题p 转化为当x ∈[1,2]时,(x 2-a )max ≥0,即4-a ≥0,即a ≤4.命题q 同(1).综上所述,a 的取值范围为(-∞,-1]∪[2,4].答案 (1)(-∞,-1] (2)(-∞,-1]∪[2,4]点评 认真比较两题就会发现,两题形似而神异,所谓失之毫厘,谬之千里,需要我们抓住这类问题的本质——量词,有的放矢.3.挖掘等价转化思想,提高解题速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中,时时刻刻渗透着等价转化思想,例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假,它们就是等价的;但原命题与逆命题不等价,即原命题为真,其逆命题不一定为真.例3 设p :⎩⎪⎨⎪⎧ 3x +4y -12>0,2x -y -8≤0,x -2y +6≥0,q :x 2+y 2≤r 2 (r >0),若q 是綈p 的充分不必要条件,求r 的取值范围.分析 “q 是綈p 的充分不必要条件”等价于“p 是綈q 的充分不必要条件”.设p 、q 对应的集合分别为A 、B ,则可由A ∁R B 出发解题.解 设p 、q 对应的集合分别为A 、B ,将本题背景放到直角坐标系中,则点集A 表示平面区域,点集∁R B 表示到原点距离大于r 的点的集合,也即是圆x 2+y 2=r 2外的点的集合. ∵A ∁R B 表示区域A 内的点到原点的最近距离大于r ,∴直线3x +4y -12=0上的点到原点的最近距离大于等于r ,∵原点O 到直线3x +4y -12=0的距离 d =|-12|32+42=125,∴r 的取值范围为(0,125]. 点评 若直接解的话,q 是綈p 的充分不必要条件即为x 2+y 2≤r 2 (r >0)在p :⎩⎪⎨⎪⎧ 3x +4y -12>0,2x -y -8≤0,x -2y +6≥0所对应的区域的外部,也是可以解决的.但以上解法将“q 是綈p 的充分不必要条件”等价转化为“p 是綈q 的充分不必要条件”,更好地体现了相应的数学思想方法.2 辨析命题的否定与否命题否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点,但又有着本质的区别,应注意弄清它们的区别和正确表述,下面从以下两个方面来看一下它们的区别.1.否命题与命题的否定的概念设命题“若A ,则B ”为原命题,那么“若綈A ,则綈B ”为原命题的否命题,“若A ,则綈B ”为原命题的否定.所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题,而且否定的条件仍为条件,否定的结论仍为结论.“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定,即“命题的否定”与原命题的条件相同,结论相反.例1 写出下列命题的否命题及否定:(1)若|x |+|y |=0,则x ,y 全为0;(2)函数y =x +b 的值随x 的增加而增加.分析 问题(1)直接依据格式写出相应的命题;问题(2)先改写成“若A ,则B ”的形式,然后再写出相应的命题.解 (1)原命题的条件为“|x |+|y |=0”,结论为“x ,y 全为0”.写原命题的否命题需同时否定条件和结论,所以原命题的否命题为“若|x |+|y |≠0,则x ,y 不全为0”.写原命题的否定只需否定结论,所以原命题的否定为“若|x |+|y |=0,则x ,y 不全为0”.(2)原命题可以改写为“若x 增加,则函数y =x +b 的值也随之增加”.否命题为“若x 不增加,则函数y =x +b 的值也不增加”;命题的否定为“若x 增加,则函数y =x +b 的值不增加”.点评 如果所给命题是“若A ,则B ”的形式,则可以依据否命题和命题的否定的定义,直接写出相应的命题.如果不是“若A ,则B ”的形式,则需要先将其改写成“若A ,则B ”的形式,便于写出命题的否定形式及其否命题.2.否命题与命题的否定的真假从命题的真假上看,原命题与其否命题的真假没有必然的关系,原命题为真,其否命题可能为真,也可能为假;原命题为假,其否命题可能为真,也可能为假.但是原命题与其否定的真假必相反,原命题为真,则其否定为假;原命题为假,则其否定为真.这也可以作为检验写出的命题是否正确的标准.例2 写出下列命题的否命题与命题的否定,并判断原命题、否命题和命题的否定的真假:(1)若x2<4,则-2<x<2;(2)若m>0且n>0,则m+n>0.分析依据定义分别写出否命题与命题的否定.根据不等式及方程的性质逐个判断其真假. 解(1)否命题:“若x2≥4,则x≥2或x≤-2”.命题的否定:“若x2<4,则x≥2或x≤-2”.通过解不等式可以知道,原命题为真,否命题为真,命题的否定为假.(2)否命题:“若m≤0或n≤0,则m+n≤0”.命题的否定:“若m>0且n>0,则m+n≤0”.由不等式的性质可以知道,原命题为真,否命题为假,命题的否定为假.3 判断条件四策略1.应用定义如果p⇒q,那么称p是q的充分条件,同时称q是p的必要条件.判断时的关键是分清条件与结论.例1 设集合M={x|x>2},P={x|x<3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析条件p:x∈M或x∈P;结论q:x∈P∩M.若x∈M,则x不一定属于P,即x不一定属于P∩M,所以pD/⇒q;若x∈P∩M,则x∈M且x∈P,所以q⇒p.综上知,“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分条件.答案必要不充分2.利用传递性充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性,即:若p⇒q,q⇒r,则p⇒r.例2 如果A是B的必要不充分条件,B是C的充要条件,D是C的充分不必要条件,那么A 是D的______条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析依题意,有A⇐B⇔C⇐D且A⇏B⇔C⇏D,由命题的传递性可知D⇒A,但A⇏D.于是A是D 的必要不充分条件.答案必要不充分3.利用集合运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法.若p以非空集合A的形式出现,q以非空集合B的形式出现,则①若A⊆B,则p是q的充分条件;②若B⊆A,则p是q 的必要条件;③若A B,则p是q的充分不必要条件;④若B A,则p是q的必要不充分条件;⑤若A =B ,则p 是q 的充要条件.例3 已知p :x 2-8x -20≤0,q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),若p 是q 的充分不必要条件,则m 的取值范围是________.解析 设p ,q 分别对应集合P ,Q ,则P ={x |-2≤x ≤10},Q ={x |1-m ≤x ≤1+m },由题意知,p ⇒q ,但q ⇏p ,故P Q ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m <-2,1+m ≥10,m >0或⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m ≤-2,1+m >10,m >0,解得m ≥9.即m 的取值范围是[9,+∞).答案 [9,+∞)4.等价转化由于互为逆否命题的两个命题同真同假,所以当由p ⇒q 较困难时,可利用等价转化,先判断由綈q ⇒綈p ,从而得到p ⇒q .例4 已知p :x +y ≠2,q :x ,y 不都是1,则p 是q 的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析 因为p :x +y ≠2,q :x ≠1或y ≠1,所以綈p :x +y =2,綈q :x =1且y =1.因为綈p ⇏綈q ,但綈q ⇒綈p ,所以綈q 是綈p 的充分不必要条件,即p 是q 的充分不必要条件.答案 充分不必要4 例析逻辑用语中的常见误区误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题例1 判断下列语句是不是命题,若是命题,判断其真假.(1)x +2>0;(2)x 2+2>0;(3)A ∩B =A ∪B ;(4)A ⊆(A ∪B ).错解 (1)(2)(3)(4)都不是命题.剖析 (1)中含有未知数x ,且x 不确定,所以x +2的值也不确定,故无法判断x +2>0是否成立,不能判断其真假,故(1)不是命题.(2)x虽为未知数,但x2≥0,所以x2+2≥2,故可判断x2+2>0成立,故(2)为真命题.(3)若A=B,则A∩B=A∪B=A=B;若A B,则A∩B=A A∪B)=B.由于A,B的关系未知,所以不能判断其真假,故(3)不是命题.(4)A为A∪B的子集,故A⊆(A∪B)成立,故(4)为真命题.正解(2)(4)是命题,且都为真命题.误区2 原命题为真,其否命题必为假例2 判断下列命题的否命题的真假:(1)若a=0,则ab=0;(2)若a2>b2,则a>b.错解(1)因为原命题为真命题,故其否命题是假命题;(2)因为原命题为假命题,故其否命题为真命题.剖析否命题的真假与原命题的真假没有关系,否命题的真假不能根据原命题的真假来判断,应先写出原命题的否命题,再判断.正解(1)否命题为:若a≠0,则ab≠0,是假命题;(2)否命题为:若a2≤b2,则a≤b,是假命题.误区3 搞不清谁是谁的条件例3 使不等式x-3>0成立的一个充分不必要条件是( )A.x>3B.x>4C.x>2D.x∈{1,2,3}错解由不等式x-3>0成立,得x>3,显然x>3⇒x>2,又x>2⇏x>3,因此选C.剖析若p的一个充分不必要条件是q,则q⇒p,p⇏q.本题要求使不等式x-3>0成立的一个充分不必要条件,又x>4⇒x-3>0,而x-3>0⇏x>4,所以使不等式x-3>0成立的一个充分不必要条件为x>4.正解 B误区4 考虑问题不周例4 如果a,b,c∈R,那么“b2>4ac”是“方程ax2+bx+c=0有两个不等实根”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件错解判别式Δ=b2-4ac>0,即方程ax2+bx+c=0有两个不等实根;若方程ax2+bx+c =0有两个不等实根,则判别式Δ=b2-4ac>0,即b2>4ac.综上可知“b2>4ac”是“方程ax2+bx+c=0有两个不等实根”的充要条件,故选C.剖析判别式Δ=b2-4ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断.对于方程ax2+bx+c=0,当a=0时,原方程为一次方程bx+c=0(b≠0),一次方程不存在判别式,所以当b2>4ac时不能推出方程ax2+bx+c=0有两个不等实根;若方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,则它的判别式Δ=b2-4ac>0,即b2>4ac.由上可知,“b2>4ac”是“方程ax2+bx +c=0有两个不等实根”的必要不充分条件.正解 B误区5 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论例5 (1)已知p:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11;q:方程(x-11)(x-2)=0的根是x =2,试写出“p或q”.(2)p:四条边相等的四边形是正方形;q:四个角相等的四边形是正方形,试写出“p且q”.错解(1)p或q:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11或x=2.(2)p且q:四条边相等且四个角相等的四边形是正方形.剖析(1)(2)两题中p,q都是假命题,所以“p或q”,“p且q”也都应是假命题.而上述解答中写出的两命题却都是真命题.错误原因是:(1)只联结了两个命题的结论;(2)只联结了两个命题的条件.正解(1)p或q:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11或方程(x-11)(x-2)=0的根是x=2.(2)p且q:四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形.误区6 不能正确否定结论例6 p:方程x2-5x+6=0有两个相等的实数根,试写出“綈p”.错解綈p:方程x2-5x+6=0有两个不相等的实数根.剖析命题p的结论为“有两个相等的实数根”,所以“綈p”应否定“有”,而不能否定“相等”.正解綈p:方程x2-5x+6=0没有两个相等的实数根.误区7 对含有一个量词的命题否定不完全例7 已知命题p:存在一个实数x,使得x2-x-2<0,写出綈p.错解一綈p:存在一个实数x,使得x2-x-2≥0.错解二綈p:对任意的实数x,都有x2-x-2<0.剖析该命题是特称命题,其否定是全称命题,但错解一中得到的綈p仍是特称命题,显然只对结论进行了否定,而没有对存在量词进行否定;错解二中只对存在量词进行了否定,而没有对结论进行否定.正解綈p:对任意的实数x,都有x2-x-2≥0.误区8 忽略了隐含的量词例8 写出下列命题的否定:(1)不相交的两条直线是平行直线;(2)奇函数的图像关于y 轴对称.错解 (1)不相交的两条直线不是平行直线;(2)奇函数的图像不关于y 轴对称.剖析 以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题.对于一些量词不明显或不含有量词,但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题,要特别引起注意.正解 (1)存在不相交的两条直线不是平行直线;(2)存在一个奇函数的图像不关于y 轴对称.5 解“逻辑”问题的三意识1.转化意识由于互为逆否的两个命题同真假,因此,当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时,可以转化为逆否命题来判断或证明.例1 证明:若a 2-b 2+2a -4b -3≠0,则a -b ≠1.分析 本题直接证明原命题是真命题,显然不太容易,可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题.证明 命题“若a 2-b 2+2a -4b -3≠0,则a -b ≠1”的逆否命题是“若a -b =1,则a 2-b2+2a -4b -3=0”.由a -b =1得a 2-b 2+2a -4b -3=(a +b )(a -b )+2(a -b )-2b -3=a-b -1=0.∵原命题的逆否命题是真命题,∴原命题也是真命题.故若a 2-b 2+2a -4b -3≠0,则a -b ≠1.例2 命题p :实数x 满足x 2-4ax +3a 2<0,其中a <0,命题q :实数x 满足x 2-x -6≤0或x 2+2x -8>0,且q 是p 的必要不充分条件,求a 的取值范围.分析 将充分、必要条件转化为集合之间的关系,进而转化为集合运算问题.解 设A ={x |x 2-4ax +3a 2<0(a <0)}={x |3a <x <a }, B ={x |x 2-x -6≤0或x 2+2x -8>0}={x |x 2-x -6≤0}∪{x |x 2+2x -8>0}={x |-2≤x ≤3}∪{x |x <-4或x >2}={x |x <-4或x ≥-2}.因为q 是p 的必要不充分条件,所以p ⇒q ,qD ⇒/p ,由A B 得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥-2a <0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤-4a <0即a ≤-4或-23≤a <0.所以实数a 的取值范围是(-∞,-4]∪[-23,0). 2.简化意识判断命题真假的关键:一是识别命题的构成形式;二是分别将各命题简化,对等价的简化命题进行判断.例3 已知命题p :函数y =log 0.5(x 2+2x +a )的值域为R ,命题q :函数y =-(5-2a )x在R 上是减少的.若p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,则实数a 的取值范围是________.分析 先将命题p ,q 等价转化,再根据题意构建关于a 的关系式,从而得到a 的取值范围. 解析 函数y =log 0.5(x 2+2x +a )的值域为R ,即y =x 2+2x +a 的值域是(0,+∞),即在方程x 2+2x +a =0中,Δ=4-4a ≥0⇔a ≤1,即p 真⇔a ≤1;函数y =-(5-2a )x 是减函数⇔5-2a >1⇔a <2,即q 真⇔a <2.由p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,知命题p ,q 中必有一真一假.若p 真q 假,则无解;若p 假q 真,则1<a <2.故满足题意的实数a 的取值范围是(1,2).答案 (1,2)点评 若命题“p 或q ”“p 且q ”中含有参数,求解时,可以先等价转化命题p ,q ,直至求出这两个命题为真时参数的取值范围,再依据“p 或q ”“p 且q ”的真假情况确定参数的取值范围.3.反例意识在“逻辑”中,经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断,若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行,这时可以通过举出恰当的反例来说明,这是一个简单有效的办法. 例4 设A ,B 为两个集合,则下列四个命题中真命题的序号是________.①A B ⇔对任意x ∈A ,都有x ∉B ;②A B ⇔A ∩B =∅;③A B ⇔B A ;④A B ⇔存在x ∈A ,使得x ∉B .分析 画出表示A B 的Venn 图进行判断.解析 画出Venn 图,如图1所示,则A B ⇔存在x ∈A ,使得x ∉B ,故①②是假命题,④是真命题.A B ⇒B A 不成立的反例如图2所示.同理可得B A ⇒A B 不成立.故③是假命题.综上知,真命题的序号是④.答案④。
2017_2018版高中数学第一章经常使用逻辑用语章末温习课学案北师大版选修2_1
命题角度1 充分条件与必要条件的再探讨
例1 设甲、乙、丙三个命题,假设①甲是乙的充要条件;②丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么( )
A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
知识点一 命题及其关系
1.判定一个语句是不是为命题,关键是:
(1)为__________;
(2)能__________.
2.互为逆否关系的两个命题的真假性________.
3.四种命题之间的关系如下图.
知识点二 充分条件、必要条件和充要条件
1.概念
“假设p,那么q”形式的命题为真命题是指:由条件p能够取得结论q,通常记作:p⇒q,读作“p推出q”.现在咱们称p是q的充分条件,同时咱们称q是p的必要条件.
4.对任意x∈[-1,2],x2-a≥0恒成立,那么实数a的取值范围是________.
5.(1)假设p:两条直线的斜率互为负倒数,q:两条直线相互垂直,那么p是q的什么条件?
(2)假设p:|3x-4|>2,q: >0,那么綈p是綈q的什么条件?
1.判定含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确明白得“或”“且”“非”的含义,应依照命题中所显现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判定.
∵cn-cnbn+1+3bn+2=-2d2,③
同理有bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2.④
④-③得
(bn+1-bn)+2(bn+2-bn+1)+3(bn+3-bn+2)=0.⑤
∵bn+1-bn≥0,bn+2-bn+1≥0,bn+3-bn+2≥0,
高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件教学案北师大版选修2-1(2021学年)
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§2充分条件与必要条件错误!充分条件与必要条件古时候有个卖油郎叫洛孝,一天他在卖油回家的路上捡到30两银子,回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主.当洛孝把银子还给失主时,失主却说自己丢了50两银子,叫洛孝拿出自己私留的20两银子.两人为此争执不休,告到县衙,县官听了两人的供述后,把银子判给洛孝,失主含羞离去.设:A:洛孝主动归还所拾银两.B:洛孝无赖银之情.C:洛孝拾到30两银子,失主丢失50两银子.D:洛孝所拾银子不是失主所丢.问题1:县官得到结论B的依据是什么?它是B的什么条件?提示:A,充分条件.问题2:县官由C得出什么结论?它是C的什么条件?提示:D,必要条件.充分条件和必要条件如果“若p,则q”形式的命题为真命题,即p⇒q,称p是q的充分条件,同时称q是p的必要条件.充要条件已知:p:前年在伦敦举行第30届夏季奥运会.q:前年是2012年.问题1:“若p,则q”为真命题吗?p是q的什么条件?提示:是真命题,充分条件.问题2:“若q,则p”是真命题吗?p是q的什么条件?提示:是真命题,必要条件.问题3:p是q的什么条件?q是p的什么条件?提示:充要条件,充要条件.充要条件(1)如果既有p⇒q,又有q⇒p,通常记作p⇔q,则称p是q的充分必要条件,简称充要条件.(2)p是q的充要条件也可以说成:p成立当且仅当q成立.(3)如果p,q分别表示两个命题,且它们互为充要条件,我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题.(4)若p⇒q,但q⇒/ p,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.(5)若p⇒/ q,且q⇒/ p,则p是q的既不充分也不必要条件.充分条件与必要条件的判断,即对命题“若p,则q"与“若q,则p"进行真假判断,若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件;若是两真则p是q的充要条件;若是两假则p是q的即不充分又不必要条件.错误!充分条件、必要条件的判断[例1](1)p:a,b,c三数成等比数列,q:b=\r(ac);(2)p:y+x〉4,q:x〉1,y>3;(3)p:a>b,q:2a>2b;(4)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC为等腰三角形.[思路点拨] 可先看p成立时,q是否成立,再反过来若q成立时,p是否成立,从而判定p,q间的关系.[精解详析] (1)若a,b,c成等比数列,则b2=ac,b=±错误!,则p⇒/q;若b=错误!,当a=0,b=0时,a,b,c不成等比数列,即q⇒/ p,故p是q的既不充分也不必要条件.(2)y+x〉4不能得出x〉1,y〉3,即p⇒/ q,而x>1,y>3可得x+y〉4,即q⇒p,故p是q的必要不充分条件.(3)当a〉b时,有2a〉2b,即p⇒q,当2a>2b时,可得a>b,即q⇒p,故p是q的充要条件.(4)法一:若△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形,即p⇒/ q;若△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形,即q⇒/ p,故p是q的既不充分也不必要条件.法二:如图所示:p,q对应集合间无包含关系,故p是q的既不充分也不必要条件.[一点通]充分必要条件判断的常用方法:(1)定义法:分清条件和结论,利用定义判断.(2)等价法:将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断.(3)集合法:设A={x|p(x)},B={x|q(x)},若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.2 充要条件教案 北师大版选修2 1 教案
充要条件一、教学目标1.知识与技能目标:(1)、正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义.(2)、正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.(3)、通过学习,使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,.2.过程与方法目标:在观察和思考中,在解题和证明题中,培养学生思维能力的严密性品质.3. 情感、态度与价值观:激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极进取的精神.二、教学重点与难点重点:1、正确区分充要条件;2、正确运用“条件”的定义解题难点:正确区分充要条件.三、教学过程(一)、复习提问1.什么叫充分条件?什么叫必要条件?说出“⇒”的含义2.指出下列各组命题中,“p⇒q”及“q⇒p”是否成立(1)p:内错角相等 q:两直线平行(2)p:三角形三边相等 q:三角形三个角相等(二)、探析新课1、(通过复习提问直接引入课题)充要条件定义:一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作:p⇔q。
这时,p既是q的充分条件,又是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称充要条件点明思路:判断p是q的什么条件,不仅要考查p⇒q是否成立,即若p则q形式命题是否正确,还得考察q⇒p是否成立,即若q则p形式命题是否正确。
2、辨析题:(学生讨论并解答,教师引导并归纳)思考:下列各组命题中,p是q的什么条件:1)p: x是6的倍数。
q:x是2的倍数2)p: x是2的倍数。
q:x是6的倍数3)p: x是2的倍数,也是3的倍数。
q:x是6的倍数4)p: x是4的倍数 q:x是6的倍数总结:1) p⇒q 且q≠> p 则 p是q的充分而不必要条件2) q⇒p 且p≠>q 则p 是q 的必要而不充分条件3) p⇒q 且q⇒p 则q 是p的充要条件4) p≠>q 且q≠>p则 p是 q的既不充分也不必要条件强调:判断p是q的什么条件,不仅要考虑p⇒q是否成立,同时还要考虑q⇒p是否成立。
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1 命题(二)学习目标 1.了解四种命题的概念,会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题.知识点一 四种命题的概念思考 初中已学过命题与逆命题的知识,什么叫作命题的逆命题? 梳理知识点二 四种命题间的相互关系思考 原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系?梳理 (1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系:①两个命题互为逆否命题,它们有______的真假性;②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性____关系.知识点三逆否证法与反证法1.逆否证法由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性,所以在直接证明某一命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接证明原命题为真命题.2.反证法(1)反证法的步骤:①假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;③由矛盾判定假设不成立,从而肯定命题的结论成立.(2)反证法导出结果的几种情况:①导出命题p的否定为真,即与原命题的条件矛盾;②导出q为真,即与假设“命题q的否定为真”矛盾;③导出一个恒假命题,即与定义、公理、定理矛盾;④导出自相矛盾的命题.3.反证法与逆否证法的联系(1)依据相同:都是利用原命题与其逆否命题的等价性.(2)起步相同:都是从否定结论出发(入手);(3)思想相同:都是“正难则反”思想的具体体现.4.反证法与逆否证法的区别(1)目的不同:反证法否定结论的目的是推出矛盾,而逆否证法否定结论的目的是推出否定条件;(2)本质不同:逆否证法实质是证明一个新命题(逆否命题)成立,而反证法是把否定的结论作为新的条件连同原有的条件进行逻辑推理,直至推出矛盾,从而肯定原命题的结论.类型一四种命题的关系及真假判断命题角度1 四种命题的写法例1 把下列命题写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.(1)正数的平方根不等于0;(2)当x=2时,x2+x-6=0;(3)对顶角相等.反思与感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论,根据其他三种命题的定义,确定所写命题的条件和结论.跟踪训练1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.(1)实数的平方是非负数;(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.命题角度2 四种命题的真假判断例2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.(1)若a>b,则ac2>bc2;(2)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形.反思与感悟 若原命题为真命题,则它的逆命题、否命题可能为真命题,也可能为假命题. 原命题与逆否命题互为逆否命题,否命题与逆命题互为逆否命题.互为逆否命题的两个命题的真假性相同.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数要么是0,要么是2,要么是4. 跟踪训练2 下列命题中为真命题的是( ) ①“若x 2+y 2≠0,则x ,y 不全为零”的否命题; ②“正三角形都相似”的逆命题;③“若m >0,则x 2+x -m =0有实根”的逆否命题; ④“若x -2是有理数,则x 是无理数”的逆否命题. A.①②③④ B.①③④ C.②③④D.①④类型二 等价命题的应用例3 证明:已知函数f (x )在(-∞,+∞)上是增加的,a ,b ∈R ,若f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b ),则a +b ≥0.反思与感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的,可以证明一个命题的逆否命题成立,从而证明原命题也是成立的.正确写出原命题的逆否命题是证题的关键,同时注意这种证明方法与反证法的区别.跟踪训练3 证明:若a 2-4b 2-2a +1≠0,则a ≠2b +1.类型三 反证法的应用例4 若a ,b ,c 均为实数,且a =x 2-2y +π2,b =y 2-2z +π3,c =z 2-2x +π6.求证:a ,b ,c 中至少有一个大于0.反思与感悟 (1)求解此类含有“至少”“至多”等命题,常利用反证法来证明.用反证法证明命题的一般步骤:①假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;③由矛盾得出假设不正确,从而肯定命题的结论正确. (2)常见的一些词语和它们的否定词语对照如下:跟踪训练4 设a ,b ,c ∈Z ,且a 2+b 2=c 2,求证:a ,b ,c 不可能都是奇数.1.命题“若綈p ,则q ”的逆否命题为( ) A.若p ,则綈q B.若綈q ,则綈p C.若綈q ,则pD.若q ,则p2.下列命题为真命题的是( ) A.命题“若x >y ,则x >|y |”的逆命题 B.命题“若x =1,则x 2>1”的否命题 C.命题“若x =1,则x 2+x -2=0”的否命题 D.命题“若x 2>1,则x >1”的逆否命题3.命题“若x >1,则x >0”的逆命题是________________,逆否命题是__________________.4.在原命题“若A ∪B ≠B ,则A ∩B ≠A ”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为________.5.已知命题p :“若ac ≥0,则二次不等式ax 2+bx +c >0无解”. (1)写出命题p 的否命题; (2)判断命题p 的否命题的真假.写一个命题的否命题时,要对命题的条件和结论都进行否定,避免出现不否定条件,而只否定结论的错误.若由p经逻辑推理得出q,则命题“若p,则q”为真;确定“若p,则q”为假时,则只需举一个反例说明即可.提醒:完成作业第一章§1(二)答案精析问题导学知识点一思考在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互为逆命题.梳理结论和条件逆命题否定否定否命题结论的否定和条件的否定逆否命题知识点二思考原命题与其逆命题是互逆关系;原命题与其否命题是互否关系;原命题与其逆否命题是互为逆否关系.梳理(2)真真假真真假假假①相同②没有题型探究例1 解(1)原命题:若a是正数,则a的平方根不等于0.逆命题:若a的平方根不等于0,则a是正数.否命题:若a不是正数,则a的平方根等于0.逆否命题:若a的平方根等于0,则a不是正数.(2)原命题:若x=2,则x2+x-6=0.逆命题:若x2+x-6=0,则x=2.否命题:若x≠2,则x2+x-6≠0.逆否命题:若x2+x-6≠0,则x≠2.(3)原命题:若两个角是对顶角,则它们相等.逆命题:若两个角相等,则它们是对顶角.否命题:若两个角不是对顶角,则它们不相等.逆否命题:若两个角不相等,则它们不是对顶角.跟踪训练1 解(1)逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负数.逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.(2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高.否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等.逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高.例2 解 (1)逆命题:若ac 2>bc 2,则a >b .真命题. 否命题:若a ≤b ,则ac 2≤bc 2.真命题. 逆否命题:若ac 2≤bc 2,则a ≤b .假命题.(2)逆命题:若四边形是圆的内接四边形,则该四边形的对角互补.真命题. 否命题:若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆的内接四边形.真命题. 逆否命题:若四边形不是圆的内接四边形,则该四边形的对角不互补.真命题. 跟踪训练2 B例3 证明 原命题的逆否命题为“已知函数f (x )在(-∞,+∞)上是增加的,a ,b ∈R ,若a +b <0,则f (a )+f (b )<f (-a )+f (-b )”. 若a +b <0,则a <-b ,b <-a . 又∵f (x )在(-∞,+∞)上是增加的, ∴f (a )<f (-b ),f (b )<f (-a ), ∴f (a )+f (b )<f (-a )+f (-b ). 即原命题的逆否命题为真命题. ∴原命题为真命题.跟踪训练3 证明 “若a 2-4b 2-2a +1≠0,则a ≠2b +1”的逆否命题为“若a =2b +1,则a 2-4b 2-2a +1=0”. ∵a =2b +1, ∴a 2-4b 2-2a +1=(2b +1)2-4b 2-2(2b +1)+1 =4b 2+1+4b -4b 2-4b -2+1=0.∴命题“若a =2b +1,则a 2-4b 2-2a +1=0”为真命题. 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,原命题得证. 例4 证明 假设a ,b ,c 都不大于0, 即a ≤0,b ≤0,c ≤0,则a +b +c ≤0. 而a +b +c=x 2-2y +π2+y 2-2z +π3+z 2-2x +π6=(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2+π-3. ∵π-3>0,且(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2≥0, ∴a +b +c >0,这与a +b +c ≤0矛盾, 因此a ,b ,c 中至少有一个大于0.跟踪训练4 证明 假设a ,b ,c 都是奇数,则a 2,b 2,c 2都是奇数.∴a2+b2为偶数,而c2为奇数,∴a2+b2≠c2与a2+b2=c2矛盾.∴假设不成立,原命题成立.当堂训练1.C2.A3.若x>0,则x>1 若x≤0,则x≤14.45.解(1)命题p的否命题为:“若ac<0,则二次不等式ax2+bx+c>0有解”.(2)命题p的否命题是真命题.判断如下:因为ac<0,所以-ac>0⇒Δ=b2-4ac>0⇒二次方程ax2+bx+c=0有实根⇒ax2+bx+c>0有解,所以该命题是真命题.。