江苏省2014届一轮复习数学试题选编35：几何证明(学生版)
2014届高考数学一轮复习 选考部分几何证明选讲教学案
选考部分选修4—1 几何证明选讲考纲要求1．了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理．2．会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理．3．会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的判定定理与性质定理、切割线定理．1．平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段____，那么在其他直线上截得的线段也____．推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必__________．推论2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线__________．2．平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的________成比例．推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的________成比例．3．相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定定义______相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定定理1 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的______对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．判定定理2 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应______，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应______且夹角相等，两三角形相似．引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段________，那么这条直线平行于三角形的第三边．判定定理3 对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应______，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应______，两三角形相似．(2)两个直角三角形相似的判定定理①如果两个直角三角形有一个锐角对应____，那么它们相似．②如果两个直角三角形的两条直角边对应______，那么它们相似．③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应______，那么这两个直角三角形相似．(3)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于______；②相似三角形周长的比等于______；③相似三角形面积的比等于________________；④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于______________．4．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的______；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的________．5．圆周角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的____．(2)圆心角定理圆心角的度数等于______________．推论1 同弧或等弧所对的圆周角____；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也____．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是____；90°的圆周角所对的弦是____．6．圆内接四边形的性质与判定定理性质定理1 圆的内接四边形的对角____．性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的____．判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点____．推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点____．7．圆的切线的性质及判定定理性质定理圆的切线垂直于经过切点的____．推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过____．推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过____．判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的____．8．弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的______．9.与圆有关的其他性质定理(1)相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的____相等．(2)割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的____相等．(3)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的________．(4)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的____．1．在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为__________．2．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，DB ＝5，则AD 的长为__________．3．如图，已知圆O 的两弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝PB ＝4，PC ＝14PD ，且∠APC ＝π3，则圆O 的半径为__________．(第3题图) (第4题图)4．如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点．已知PA＝2，点P到⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为__________．5．(2012陕西高考)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝__________.一、平行线分线段成比例定理的应用【例1】 如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，E 在CA 上且AE ＝2CE ，AD ，BE 相交于点F ，则AF FD ＝__________，BF FE＝__________.方法提炼1．在解答与比例问题有关的题目时，可通过构造平行线，结合平行线分线段成比例定理去证明．2．作平行线的方法：(1)利用中点作出中位线可得平行关系；(2)利用已知线段的比例关系，作相关线段的平行线．解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线，对解题可起到事半功倍的效果．注意：对于乘积式，有时需要转化为比例式，再借助于上述方法去解决．请做演练巩固提升3二、射影定理的应用【例2】如图，圆O的直径AB＝10，弦DE⊥AB，垂足为点H，且AH＜BH，DH＝4，则(1)AH＝__________；(2)延长ED至点P，过P作圆O的切线，切点为C，若PC＝25，则PD＝__________.方法提炼1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．通过作垂线构造直角三角形是解答与直角三角形有关问题的常用方法．请做演练巩固提升1三、相似三角形的性质与判定定理的应用【例3】如图，⊙O过点C，⊙C交⊙O于点A，延长⊙O的直径AB交⊙C于点D，若AB ＝4，BD ＝1，则⊙C 的半径AC 等于__________．方法提炼证明三角形相似时，应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考顺序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就需证明三边对应成比例．一般地，证明等积式成立时，可先将其化成比例式，再考虑利用平行线分线段成比例定理证明或相似三角形的性质证明其成立．要特别注意，三角形相似具有传递性．请做演练巩固提升4四、圆周角、弦切角和圆的切线问题【例4】 如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B ，C ，∠APC 的平分线分别交AB ，AC 于点D ，E .(1)∠ADE __________∠AED (填“＞”“＜”或“＝”)；(2)若AC ＝AP ，则PC PA＝__________. 方法提炼1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，进而可求得线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．请做演练巩固提升6五、相交弦定理、切割线定理的应用【例5】如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA ＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为__________．方法提炼1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住以下几个关键内容：线段成比例与相似三角形的性质、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到两条割线就要想到割线定理；见到切线和割线时就要想到切割线定理．请做演练巩固提升2六、四点共圆的判定【例6】如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M，则O，B，D，E______四点共圆．(填“是”或“不是”)方法提炼1．证明四点共圆的方法：(1)若一个四边形的对角互补，则四点共圆；(2)证明多点共圆时，若它们在一条线段的同侧，可证明它们对此线段的张角相等，也可证明它们与某一定点的距离相等．2．圆内接四边形的重要结论有：(1)内接于圆的平行四边形是矩形；(2)内接于圆的菱形是正方形；(3)内接于圆的梯形是等腰梯形．请做演练巩固提升5“四定理”(相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理)的应用【典例】 (10分)如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M.(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)求证：AM·MB＝DF·DA.规范解答：(1)连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.又∵CA是∠BAF的平分线，∴∠DAC＝∠OAC.∴∠DAC＝∠OCA.(3分)∴AD∥OC.又CD⊥AD，∴OC⊥CD，即DC是⊙O的切线．(5分)(2)∵CA是∠BAF的平分线，∠CDA＝∠CMA＝90°，∴CD＝CM.(8分)由(1)知DC2＝DF·DA，又CM2＝AM·MB，∴AM·MB＝DF·DA.(10分)答题指导：(1)由于“四定理”与圆有关，且其结论是线段的关系，因而在与圆有关的问题中，或在特殊的几何图形中，常结合三角形及其相似等知识来证明线段相等或等比例线段问题．(2)判定切线通常有三种方法：①和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；②和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．(3)已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．1．一直角三角形的两条直角边之比是1∶3，则它们在斜边上射影的比是__________．2．如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A ，B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝__________.3．如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过D 与BC 平行的直线交AB 于点E ，∠ACE ＝∠ABC ，则AB ·CE ________AC ·DE .(填“＞”“＜”或“＝”)4．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PB PA ＝12，PCPD＝13，则BCAD的值为__________．5．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分别在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK，则C，D，K，M__________四点共圆．(填“是”或“不是”)6．如图，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，若∠BAC＝60°，则∠ADB＝__________.参考答案知识梳理1．相等 相等 平分第三边 平分另一腰 2．对应线段 对应线段3．(1)对应角 两个角 成比例 成比例 成比例 成比例 成比例 (2)①相等 ②成比例 ③成比例 (3)①相似比 ②相似比 ③相似比的平方 ④相似比的平方4．比例中项 比例中项5．(1)一半 (2)它所对弧的度数 相等 相等 直角 直径 6．互补 内角的对角 共圆 共圆 7．半径 切点 圆心 切线 8．圆周角9．(1)积 (2)积 (3)比例中项 (4)夹角 基础自测1．1∶2 解析：△ADE ∽△ABC ，利用面积比等于相似比的平方可得答案． 2．4 解析：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴AC 2＝AB ·AD .设AD ＝x ，则AB ＝x ＋5，又AC ＝6， ∴62＝x (x ＋5)，即x 2＋5x －36＝0. 解得x ＝4(舍去负值)，∴AD ＝4.3．27 解析：如图所示，取CD 中点E ，连接AO ，OP ，OE ，由相交弦定理可得AP ×PB＝CP ×PD ＝4CP 2，可得CP ＝2，PD ＝8，则PE ＝3.又由∠APC ＝π3，可得∠OPE ＝π6.则OP ＝23，OA ＝OP 2＋PA 2＝27.4．6 解析：由切割线定理，得PT 2＝PA ·PB ， 所以PB ＝8.故AB ＝6.5．5 解析：由三角形相似可得DE 2＝DF ·DB ，连接AD ，则DE 2＝AE ·EB ＝1×5＝5， 所以DF ·DB ＝5. 考点探究突破【例1】 4 32解析：过点D 作DG ∥AC 且交BE 于点G ，因为点D 为BC 的中点， 所以EC ＝2DG . 因为AE ＝2CE ，所以AE DG ＝41.从而AF FD ＝AE DG ＝41，所以GF FE ＝14.因为BG ＝GE ，所以BF FE ＝32.【例2】 (1)2 (2)2 解析：(1)由于AB 为圆O 的直径，DE ⊥AB ，DH ＝4，故由射影定理DH 2＝AH ·BH ＝(AB －AH )·AH ，即16＝(10－AH )·AH ，∴AH 2－10AH ＋16＝0. ∴AH ＝2或AH ＝8. ∵AH ＜BH ，∴AH ＝2.(2)PC 切圆O 于点C ，PC 2＝PD ·PE ，(25)2＝PD ·(PD ＋8)，解得PD ＝2.【例3】 10 解析：延长AC 交⊙C 于点E ，连接BC ，DE ，则有∠ACB ＝∠ADE ＝90°，而∠A 是公共角，所以△ACB ∽△ADE ，所以AC AD ＝AB AE，即2AC 2＝AB ·AD ＝4×(4＋1)＝20，所以AC ＝10.【例4】 (1)＝ (2) 3 解析：(1)∵PA 是切线，AB 是弦，∴∠BAP ＝∠C .又∵∠APD ＝∠CPE ，∴∠BAP ＋∠APD ＝∠C ＋∠CPE .∵∠ADE ＝∠BAP ＋∠APD ，∠AED ＝∠C ＋∠CPE ，∴∠ADE ＝∠AED . (2)由(1)知∠BAP ＝∠C ， 又∵∠APC ＝∠BPA ，∴△APC ∽△BPA .∴PC PA ＝CA AB.∵AC ＝AP ，∴∠APC ＝∠C . ∴∠APC ＝∠C ＝∠BAP .由三角形内角和定理可知，∠APC ＋∠C ＋∠CAP ＝180°， ∵BC 是圆O 的直径，∴∠BAC ＝90°.∴∠APC ＋∠C ＋∠BAP ＝180°－90°＝90°.∴∠C ＝∠APC ＝∠BAP ＝13×90°＝30°.在Rt△ABC中，1tan C＝CAAB，即1tan 30°＝CAAB，∴CAAB＝3.∴PCPA＝CAAB＝ 3.【例5】 2 解析：设圆O的半径为R，由PA·PB＝PC·PD，得3×(3＋4)＝(5－R)(5＋R)，解得R＝2.【例6】是解析：连接BE，则BE⊥EC.又D是BC的中点，∴DE＝BD.又∵OE＝OB，OD＝OD，∴△ODE≌△ODB.∴∠OBD＝∠OED＝90°.∴O，B，D，E四点共圆．演练巩固提升1．1∶9解析：如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC∶AC＝1∶3，作CD⊥AB 于D，由射影定理得BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB，则BC2AC2＝BDAD＝19，故它们在斜边上的射影的比是1∶9.2．15 解析：由相交弦定理，得DC ·DT ＝DA ·DB ，则DT ＝9.由切割线定理，得PT 2＝PB ·PA ，即(PB ＋BD )2－DT 2＝PB (PB ＋AB )． 又BD ＝6，AB ＝AD ＋BD ＝9，∴(PB ＋6)2－92＝PB (PB ＋9)，得PB ＝15. 3．＝ 解析：∵AB ∥CD ，DE ∥BC ， ∴四边形BEDC 是平行四边形． ∴DE ＝BC .∵∠ACE ＝∠ABC ，∠EAC ＝∠BAC ， ∴△ACE ∽△ABC .∴BC CE ＝AB AC . ∴AB AC ＝DECE，即AB ·CE ＝AC ·DE . 4.66解析：因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠DAB ＝∠PCB ，∠CDA ＝∠PCB . 又因为∠P 为公共角，所以△PBC ∽△PDA ，所以PB PD ＝PC PA ＝BCAD. 设PB ＝x ，PC ＝y ，则有x 3y ＝y 2x x ＝6y 2，所以BC AD ＝x 3y ＝66.5．是 解析：在四边形ABMK 中， ∵∠DAM ＝∠CBK ，∴A ，B ，M ，K 四点共圆． 连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK ，∵∠DAB ＋∠ADC ＝180°， ∴∠CMK ＋∠KDC ＝180°. 故C ，D ，K ，M 四点共圆．6．120° 解析：在圆周上任取一点E ，连接AE ，BE ，由弦切角定理，得∠AEB ＝∠BAC ＝60°.因为ADBE 是圆内接四边形，所以∠E ＋∠ADB ＝180°，所以∠ADB ＝120°.。
2014年高考江苏数学试题及答案
2014 年一般高等学校招生全国一致考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题—第 14 题）、解答题（第15 题第20题）．本卷满分160 分，考试时间为120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务势必自己的姓名、准考据号用毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点．3．请在答题卡上依据次序在对应的答题地区内作答，在其余地点作答一律无效．作答一定用毫米黑色墨水的署名笔．请注意字体工整，字迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面洁净，不要折叠、损坏．一律禁止使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参照公式：圆柱的体积公式：V圆柱sh ，此中 s为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：S圆柱 =cl ，此中 c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，合计70 分．请把答案填写在答题卡相应地点上．．．．．．．．．（ 1）【 2014 年江苏， 1， 5 分】已知会合A{ 2 ， 1，3，4} ， B{1，2，3} ，则A I B _______ ．【答案】 {1，3}【分析】由题意得 A I B {1,3} ．（ 2）【 2014 年江苏， 2， 5 分】已知复数z(52i)2( i 为虚数单位)，则z的实部为_______．【答案】 21【分析】由题意z(52i) 225 2 52i(2i) 22120i，其实部为 21．（ 3）【 2014 年江苏， 3， 5 分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 _______．【答案】 5【分析】此题本质上就是求不等式2n20的最小整数解．2n20整数解为 n5，所以输出的 n 5．（ 4）【 2014 年江苏， 4， 5 分】从 1，2 ，3，6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 _______．【答案】132 个数共有 C42【分析】从1,2,3,6这 4 个数中任取6种取法，此中乘积为 6 的有1,6和2,3两种取法，所以所求概率为P2 1 ．63（ 5）【 2014年江苏， 5， 5 分】已知函数y cosx 与y sin(2 x)(0 ≤) ，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是 _______ ．3【答案】6【分析】由题意 cos sin(23) ，即 sin(2) 1 ， 2k( 1)k， (k Z ) ，因为 0，所33236以．6（ 6）【 2014 年江苏， 6， 5 分】为了认识一片经济林的生长状况，随机抽测了此中60 株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80 ，130] 上，其频次散布直方图如下图，则在抽测的 60 株树木中，有株树木的底部周长小于 100 cm．【答案】 24【分析】由题意在抽测的60 株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025) 10 6024 ．（ 7）【 2014 年江苏， 7，5 分】在各项均为正数的等比数列 { a n } 中，若 a 2 1 ，a 8 a 6 2a 4 ，则 a 6 的值是 ________．【答案】 4【分析】设公比为 q ，因为 a 21 ，则由 a 8a 6 2a 4 得 q 6 q 42a 2 ， q 4 q 2 2 0 ，解得 q 22 ，所以a 6 a 2 q 4 4 ．（ 8）【 2014 年江苏， 8，5 分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1 ，S 2 ，体积分别为 V 1 ，V 2 ，若它们的侧面积相等，且S 19，则V 1的值是 _______．S 24V 2【答案】32r2h r 2S9 【分析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r 1、h 1 ， r 2、h 2 ，则 2 r 1 h 12 r 2 h 2 ，1，又11，所h 2r 1S 22r 24以r 1 3V 1r 12 h 1r 12 h 1 r 12 r 2r 1 3r 22 ，则r 22 h 2 r 22 h 2 r 22 r 1 r 2 ．V 2 2（ 9）【 2014 年江苏， 9，5 分】在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x 2 y 3 0 被圆 ( x 2)2 ( y 1)2 4 截得的弦长为 ________．【答案】 2 555【分析】圆 (x2) 2 ( y 1)2 4 的圆心为 C (2, 1) ，半径为 r 2 ，点 C 到直线 x 2y 3 0 的距离为2 2 ( 1)3 3 ，所求弦长为 l 2 r 2 d 2 24 9 2 55 ． d12 2255 5 （ 10）【 2014 年江苏， 10， 5 分】已知函数 f ( x)x 2 mx 1 ，若对随意 x [ m ，m 1] ，都有 f (x) 0 成立，则实数 m 的取值范围是 ________．【答案】2 ，2【分析】据题意 f (m)m 2 m 2 1 0，解得2 m 0 ．f (m 1) (m1)2 m(m 1) 1 0 2（ 11）【 2014 年江苏， 11， 5 分】在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y ax 2bx ( a ，b 为常数 ) 过点 P(2 ， 5) ，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7 x 2 y 3 0 平行，则 a b 的值是 ________． 【答案】3【分析】曲线y ax 2b过点 P(2, 5) ，则 4ab 5 ①，又 y ' 2ax b 2 ，所以 4a b 7②，由①②解得x2x42a1，所以 ab2 ．b 1（ 12）【 2014 年江苏， 12， 5 分】如图，在平行四边形 ABCD 中，已知， AB 8，AD 5 ，uuur uuur uuur uuur uuur uuurCP 3PD ， BP 2 ，则 AB AD 的值是 ________．AP【答案】 22 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur 3 uuur uuur 3 uuur【分析】由题意， AP AD DP AD AB ，BP BC CP BC 4 CD AD AB ，4 3 uuur 1 uuur 4uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur 2 uuur 3 uuur 2所以 AP BP ( AD AB) (AD AB) AD AD AB AB ，4 4 2 16即 2 1 uuur uuur 3 uuur uuur25 AD AB 16 64 ，解得 AD AB 22．21（ 13）【 2014 年江苏， 13，5 分】已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数， 当 x [0 ，3) 时，2．2f ( x) x 2x若函数 y f ( x)a 在区间 [ 3 ，4] 上有 10 个零点 ( 互不同样 ) ，则实数 a 的取值范围是 ________．【答案】 10 ，2【分析】作出函数f ( x)x22x 1 , x [0,3) 的图象，可见 f (0)1，当 x 1时， f ( x)极大1 ，222f (3)7，方程 f (x) a 0 在 x [ 3,4] 上有 10 个零点，即函数y f ( x) 和图象与直线2ya 与函数ya 在 [ 3,4] 上有 10 个交点，因为函数f ( x) 的周期为 3，所以直线f ( x)x 2 2 x 1 , x [0,3) 的应当是4 个交点，则有 a (0, 1 ) ．22（ 14）【 2014 年江苏， 14， 5 分】若 ABC 的内角知足 sin A 2 sin B 2sin C ，则 cosC 的最小值是 _______ ．【答案】6 24a 2b 22a 2b 2( a2b )2【分析】由已知 sin A2sin B 2sin C 及正弦定理可得 a2b 2c ， cosCc 22ab2ab3a22b 22 2ab2 6ab 22ab6 2，当且仅当 3a 22b2，即 a2时等号成立， 所以 cosC8ab8ab4b3的最小值为6 2 ．4二、解答题：本大题共6 小题，合计 90 分．请在答题卡指定地区内 作答，解答时应写出必需的文字说明、证明．．．．．．．．过程或演算步骤．（ 15）【 2014 年江苏， 15， 14 分】已知， ， sin 5 ．25（ 1）求 sin4的值；（ 2）求 cos62的值．解：（ 1）∵2， ，sin 5，∴ cos1 sin 22 5 ，55sinsin coscos sin2(cos sin)10 ．444210（ 2）∵ sin 22sincos4，cos 2cos 2 sin 23 ，55∴cos62cos 6 cos2sinsin 233 14 3 3 4 ．6 25 2 5 10（ 16）【 2014 年江苏， 16， 14 分】如图，在三棱锥 PABC 中， D ，E ，F 分别为棱 PC ，AC ，AB 的中点．已知PA AC ，PA 6，BC 8，DF 5 ．（ 1）求证：直线 PA ∥平面 DEF ；（ 2）平面 BDE ⊥平面 ABC ．解：（ 1）∵ D ，E 为 PC ，AC 中点∴ DE ∥ PA ∵ PA平面 DEF ， DE 平面 DEF ∴PA ∥平面 DEF ．（ 2）∵ D ，E 为 PC ，AC 中点，∴ DE1PA3∵E ，F 为 AC ，AB 中点，∴EF1BC 4 ，2，∴ DE ⊥ EF ，∵2∴222，∴，，∴，DEEFDFDEF90°DE //PA PA ACDEAC∵ ACI EF E ，∴ DE ⊥平面 ABC ，∵ DE 平面 BDE ，∴平面 BDE ⊥平面 ABC ．（ 17）【 2014 年江苏， 17，14 分】如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 1 2 y 21(a b 0)的左、2分别是椭圆 x22F ，Fab右焦点，极点 B 的坐标为 (0 ，b) ，连结2C ，BF 并延伸交椭圆于点 A ，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点连结 FC 1 ．（ 1）若点 C 的坐标为4 1，且 BF 22 ，求椭圆的方程；3 ，3（ 2）若 FC 1AB ，求椭圆离心率 e 的值．4 1 16 1解：（ 1）∵ C9922 2 2 2( 2)2 22，，∴ a 2b 22b c a ，∴a，∴ b 1 ，3 39，∵ BF∴椭圆方程为x 2y 2 1 ．（ 2）设焦点 212A Cx 轴对称，∴A(xy)，∵ ， ，， 对于∵2b b y ，即 bx cy bc 0 ①B ，F ，A 三点共线，∴cx∵ 1AB ，∴ x yb1 ，即xc byc20 ②ccFCx ca 2a 2 c 2bc 2 ①②联立方程组，解得b 2c 2∴ C2bc 2b 2 2 ， 2 2yc b cb 2c 2a 2c22bc 22C 在椭圆上，∴b 2c 2b 2c 222c55a 2b 2 1 ，化简得 5c a ，∴ a 5 , 故离心率为 5 ．（ 18）【 2014 年江苏， 18，16 分】如图，为保护河上古桥 ，规划建一座新桥 ，同时建立一个圆形保护区．规OABC划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的界限为圆心M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两头 O和 A 到该圆上随意一点的距离均许多于 80m ．经丈量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处，点 C 位于点 O 正东方向170m 处 ( OC 为河岸 ) ， tan BCO 43 ．（ 1）求新桥 BC 的长；（ 2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？．解：解法一：（ 1）如图，以 O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴，成立平面直角坐标系xOy ．由条件知 A (0, 60) ， C (170, 0) ，直线 BC 的斜率 k BC－tan BCO4 ．3又因为⊥，所以直线 的斜率k AB3．设点 B 的坐标为 ( a , b ) ，AB BCAB4则 k BC = b 04， kAB =b603，解得 a =80， b=120．a 1703a 04所以 =22．所以新桥 的长是 ．BC(17080)(0120) 150 150 mBC（ 2）设保护区的界限圆M 的半径为 r m,OM =d m,(0 ≤ d ≤60) ．由条件知，直线BC 的方程为 y4( x 170) ，即 4 x 3y680 0，3| 3d 680 |680 3d ．因为圆 M 与直线 BC 相切，故点 M (0 ，d ) 到直线 BC 的距离是 r ，即 r因为 O 和 A 到圆 M 上随意一点的距离均许多于 80 m ，5 5rd ≥ 806803dd ≥ 805，解得 10≤ d ≤35．所以 ，即r (60 d ) ≥ 80 3d680 (60 d ) ≥ 805故当 d =10 时 , r 6803d最大，即圆面积最大． 所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大． 解法二： 5（ 1）如图，延伸 OA , CB 交于点 F ．因为 tan ∠ BCO = 4 ．所以 sin ∠ FCO = 4 ，cos ∠ FCO = 3．3 5 5 因为 OA =60, OC =170，所以 OF =OC tan ∠ FCO = 680． CF = OC 850 ，3 cos FCO 3进而500 ．因为 ⊥ ，所以 ∠ ∠4，又因为⊥ ，所以=AF OF OAcos AFB =sin AB BCBF AF3OA OC FCO = 5cos ∠ AFB ==400，进而 BC =CF －BF =150．所以新桥 BC 的长是 150 m ．3（ 2）设保护区的界限圆 M 与 BC 的切点为 D ，连结 MD ，则 MD ⊥BC ，且 MD 是圆 M 的半径，并设 MD =r m ，OM =d m(0≤ d ≤60) ．因为 OA ⊥ OC ，所以 sin ∠ CFO =cos ∠ FCO ，故由（ 1）知， sin ∠ CFO =MDMD r 3所以 r 680 3d ．MFOF OM680 d 553因为 O 和 A 到圆 M 上随意一点的距离均许多于80 m ，rd ≥ 80680 3dd ≥ 80510≤ d ≤ 35所以，即，解得 ，r (60 d ) ≥ 80 680 3d(60 d ) ≥ 805故当 d =10 时， r6805 3d最大，即圆面积最大．所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．f (x) e x e x 此中 e 是自然对数的底数．（ 19）【 2014 年江苏， 19， 16 分】已知函数（ 1）证明： f ( x) 是 R 上的偶函数；（ 2）若对于 x 的不等式 mf x ≤ e x m1在 (0 ，)上恒成立，务实数m( )的取值范围；（ 3）已知正数 a 知足：存在[1，a(x 3a 1 与a e 1的大小，并证明x) ，使得 f ( x )3x ) 成立．试比较 e你的结论．解：（ 1）xR ，f (x ) e xe xf ( )x ，∴ f (x) 是 R 上的偶函数．（ 2）由题意， xxxxxxxx(e e )≤e m 1，即m(ee 1)≤ e 1，∵x (0 ，) ，∴e e 1 0 ，m即 m ≤x e xx 1对 x(0 ， ) 恒成立．令te x ( 1)，则 m ≤21 t对随意 t (1，) 恒成立．ee1ttt 1∵t 21 t1 (t2t11) 1 11≥ 1，当且仅当 t 2 时等号成立，∴ m ≤ 1 ．t1)(tt 1t 11 33'( ) e xe x（ 3） f ，当时∴在 ，上单一增， 令 h( x)33x) ，，x 1f '( x)f (x)) a( x3ax( x 1)(1h'( x)∵ a0 ，x 1，∴ h '(x)0 ，即 h( x) 在 x (1，) 上单一减，∵存在 x 0e-1∵ lnaa 1ea1e2[1，ln a e 11e ．当 ) ，使得f ( x 0 ) a( x 0 33x 0 ) ，∴ f (1) e 1 2a ，即 a1 e 1 ． e2 eln e a 1 (e 1)ln a a 1 ， 设 m(a) (e 1)ln a a1 ， 则 m'(a)e1 1 e 1 a ，a a1 e 1a e1时， m'(a) 0 ， m(a ) 单一增；当 a e1 时， m'(a ) 0 ， m(a ) 单一2e减，所以 m(a) 至多有两个零点，而m(1) m(e) 0 ，∴当 a e 时， m(a) 0 ， a e 1 e a 1 ；当1e 1 a e 时， m(a) 0 ， a e 1 e a 1；当 a e 时， m(a) 0 ， a e 1 e a 1 ．2 e（ 20）【 2014 年江苏，20，16 分】设数列 { n} 的前 n nn ，总存在正整数nm，a 项和为 S ．若对随意的正整数m ，使得 Sa 则称 { a n } 是“ H 数列”．（ 1）若数列 { n }nnN )na 的前 n 项和 S 2 (n ，证明： { a } 是“ H 数列”；（ 2）设 a} 是等差数列，其首项 a1，公差 d．若 { a }是“ H 数列”，求 d 的值；{ n1n（ 3）证明：对随意的等差数列{ a n}nn，使得 a nnnN)成立．解：（ 1）当 n ≥ 2 时，，总存在两个“ H 数列” { b } 和 { c }bc (na nnn 12n2 n 12n 1 ，当n 1 时，11，S Sa S 2∴n 1 时，11na n 1，∴n} 是“ H 数列”．S a ，当 n ≥ 2 时， S{ a（ 2） n1n(n 1) d nn(n 1) dn N ， m N nmn n(n1)d 1 (m 1)dS na，对，22使 Sa ，即21取 n 2 得 1 d( m 1)d ， m 2 ，∵ d 0 ，∴ m 2 ，又 m N ，∴ m 1，∴ d1．d（ 3）设 ad ，令 b a (n 1)a (2 n) a ，对 n N， b b a c (n 1)(a d)，{ n} 的公差为 n111n 1n1， n1对 n N ， c c a d ，则 b c na 1(n 1)d a ，且 { b } ，{c } 为等差数列．n 1n1nnnnn的前 n 项和 T nna 1 n( n 1) ( a 1 ) ，令n1，则 mn(n 3)2 ．{ b }2T (2m)a2当 n 1时 m1；当 n 2 时 m 1；当 n ≥ 3 时，因为 n 与 n 3 奇偶性不一样， 即 n(n 3) 非负偶数， m N ．所以对n ，都可找到 m N T b {b } 为“ H 数列”．，使 n m 成立，即 n{c n } 的前ｎ项和 R nn(n1)(a 1d ) ，令 c n(m 1)(a 1 d ) R m ，则 m n(n 1) 1n22∵对N ， n(n 1) 是非负偶数，∴ mN，即对n N，都可找到 mN，使得Rcnm成立，即 {c n } 为“ H 数列”，所以命题得证．数学Ⅱ注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21 题有 A 、 B 、 C 、 D 4 个小题供选做，每位考生在4 个选做题中选答 2 题．若考生选做了 3 题或 4 题，则按选做题中的前 2 题计分．第 22、 23 题为必答题．每题10 分，共 40 分．考试时间30 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2． 答题前， 请您务势必自己的姓名、 准考据号用毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点． 3． 请在答题卡上依据次序在对应的答题地区内作答，在其余地点作答一律无效．作答一定用毫米黑色墨水的署名笔．请注意字体工整，字迹清楚． 4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．【选做】此题包含A 、B 、C 、D 四小题，请选定此中两题，并在相应的答题地区内作答 ，若多做，则按作答．．．．．． ．．．．．．．．．．．．的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（ 21-A ）【 2014 年江苏， 21-A ， 10 分】（选修 4-1 ：几何证明选讲）如图，AB 是圆 O 的直径， C 、 D是圆 O 上位于 AB 异侧的两点．证明：∠ OCB =∠ D ．解：因为 ， 是圆 O 上的两点，所以 = ．故∠ =∠ ．又因为 ,是圆 O 上位于 AB 异侧B COB OCOCBBC D的两点，故∠ B ，∠ D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠ D ．所以∠ OCB =∠ D ．（ 21-B ）【 2014 年江苏， 21-B ，10 分】（选修 4-2 ：矩阵与变换） 已知矩阵 A1 2112 1， B2，向量，x1yx ，y 为实数，若 A α= B α，求 x ，y 的值．解： A 2 y 2 ， B α 2 y ，由 A α= B α得2 y 2 2，1，y 4 ．y解得 x2 xy 4 y2 xy 4 y ， 2（ 21-C ）【 2014 年江苏， 21-C ， 10 分】（选修 4-4 ：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 lx1 2t ， 的参数方程为2 ( t 为参数 ) ，直线 l 与抛物线 y 2 4x 交于 A ，B 两点，求线段 AB 的长． y22 t2解：直线 l ：x y 3 代入抛物线方程 y 2 4x 并整理得 x 2 10x 9 0，∴交点 A(1，2) ，B(9， 6)，故| AB | 8 2 ．（ 21-D ）【 2014 年江苏，21-D ，10 分】（选修 4-5 ：不等式选讲）已知 x 0 ，y 0 ，证明： 1 x y 21 x2 y 9 xy ．解：因为 x >0, y >0, 所以 1+x +y 2≥ 3 3 xy 2 0 ，1+x 2+y ≥ 33 x 2 y0 ，所以 (1+ x +y 2)( 1+x 2+y ) ≥ 3 3 xy 2 33 x 2 y =9xy ． 【必做】第 22、 23 题，每题 10 分，计 20 分．请把答案写在答题 卡的指定地区内 ． ．．．． ．．．．．．． （ 22）【 2014 年江苏， 22，10 分】盒中共有 9 个球，此中有 4 个红球， 3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完整同样．（ 1）从盒中一次随机拿出 2 个球，求拿出的 2 个球颜色同样的概率 ；P（ 2）从盒中一次随机拿出 4 个球，此中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1 ，x 2 ，x 3 ，随机变量 X 表示 x 1 ，x 2 ，x 3中的最大数，求 X 的概率散布和数学希望 E ( X ) ．解：（ 1）一次取 2 个球共有 C 92 36 种可能状况， 2 个球颜色同样共有 C 42C 32 C 22 10种可能状况，∴拿出的 2 个球颜色同样的概率P10536 18 ．43131（ 2）X 的全部可能取值为 4 ，3，2 ，则 P( X4)C 4 1；P(X 3)C 4 C 5C 3C 613 ；43C 9126C 963P( X 2) 1 P( X3) P( X4)11 ．∴ X 的概率散布列为： X142 3 4P11 13114 63126故X 的数学希望E(X )2 113 134 1 20 ．14631269（ 23）【 2014 年江苏， 23， 10 分】已知函数 f 0 ( x)sin x (x 0) ，设 f n (x) 为 f n 1 ( x) 的导数， n N ．x（ 1）求2 f 1 2 2 f 2 2的值；（ 2）证明：对随意的 n N ，等式 nf n14f n 4 2成立．42解：（ 1）由已知，得 f (x)f (x) sin xcos x sin x ，1x x x 2于是 f 2 ( x)f 1 (x)cos xsin x sin x 2cos x2sin x，所以 f 1 () 4) 216 xx 2xx 2x 32 2 , f 2 (3 ，2故 2 f 1 ( ) f 2 ( ) 1 ．2 2 2 x 求导，得（ 2）由已知，得 xf (x) sin x, 等式两边分别对 f 0(x) xf ( x) cosx ，即 f 0( x) xf ( x) cos x sin( x 2 ) ，近似可得 2 f 1(x) xf (x) sin x sin(x ) ，123 f 2 ( x) xf 3 ( x)cos x sin( x3 ) ，4 f 3 ( x) xf 4 (x) sinx sin(x 2 ) ．2下边用数学概括法证明等式nf n 1 ( x) xf n ( x) sin( xn ) 对全部的 n N * 都成立． （ i ）当 n =1 时，由上可知等式成立．2（ ii ）假定当 n =k 时等式成立 ,即 kf k 1 ( x) xf k (x) sin( x k ) ．2因为 [kf k 1 ( x) xf k (x)] kf k 1 (x) f k ( x) xf k ( x)(k 1) f k ( x) f k 1 ( x),[sin( xk )]cos( x k ) ( xk ) sin[ x ( k 1) ]，所以22( k 1) 22( k 1) f k( x) f k 1( x) sin[ x ] ．2所以当 n=k +1时, 等式也成立．综合 (i),(ii)可知等式 nf n 1 ( x) xf n ( x) sin( x n ) 对全部的 n N * 都成立．2n *2*令 x 4 ，可得 nf n 1 ( 4 )4 f n ( 4 ) sin( 42 ) ( n N ) ．所以 nf n 1 ( 4 )4 f n ( 4 )2 ( n N ) ．。
2014年高考数学江苏卷及答案
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：圆柱的侧面积公式：S圆柱侧c l ，其中 c 是圆柱底面的周长，l为母线长.圆柱的体积公式：V圆柱Sh, 其中S 是圆柱的底面积, h为高.一、填空题：本大题共14 小题，每小题5分，共计70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．开始上．．n 01. 已知集合A={ 2, 1, 3,4 }，B { 1, 2,3} ，则A B .2. 已知复数z (52i)2 (i为虚数单位) ,则z的实部为.n n 13. 右图是一个算法流程图,则输出的n的值是.4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为6 的概率是.n2 20YN5. 已知函数y cosx与y sin( 2x ) (0≤),它们的图象有一个横坐标为输出n的交3 点,则的值是.6.设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130] 上,其频率分布直方图如图所示,则在抽结束（第3题）测的60 株树木中, 有株树木的底部周长小于频率100cm.组距7. 在各项均为正数的等比数列{ a n} 0.0300.025中,a2 1,a8 a6 2a4 ,则a6 的值是. 0.0200.0158.设甲、乙两个圆柱的底面分别为S1 ，S2 ，体积分别为0.010V V，，若它们的侧面积相等，且 21值是. S1S294V1，则V2的80 90 110 120 130100（第6题）底部周长/cm9. 在平面直角坐标系xOy 中, 直线x 2 y 3 0 被圆(x2)2 (y1)2 4 截得的弦长为.10. 已知函数 f (x) x2 mx 1,若对于任意x [ m,m 1],都有 f (x) 0 成立,则实数m 的取值范围是.11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ax 2 (a，b为常数)过点P(2, 5) ，且该曲线在bx点P处的切线与直线7x 2 y 3 0 平行，则a b 的值是.12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB 8 ，AD 5 ，PD CCP 3PD ，AP BP 2 ，则A B AD 的值是.A B（第12题）2x113. 已知 f (x) 是定义在 R 上且周期为3 的函数 ,当 x [ 0,3)时,|f ( x) | x2.若函数 2y f (x) a 在区间[ 3,4] 上有 10 个零点 (互不相同 ),则实数 a 的取值范围是.14. 若△ ABC 的内角满足 sin A2 sin B 2 sin C ,则c os C 的最小值是.二、解答题：本大题共 6 小题，共计90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域． 内 作 答 ， 解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.( 本小题满分 14 分)已知, ) ( , 25 sin . 55(1) 求)sin(的值；(2)求 cos(2 ) 的值.4616.( 本小题满分 14 分)如图，在三棱锥P ABC 中，D ，E ，F 分别为棱 PC, AC, A B 的中点 .已知 PAAC , PA 6, BC 8, DF 5.求证: (1) 直线P A // 平面 DEF ；(2) 平面 BDE 平面 ABC .PDA CEFB（第 16题）17. (本小题满分 14 分)如图, 在 平 面 直 角 坐标系 x O y 中 , F 1, F 2 分别是椭圆x a2 23 2 yb1( a b 0) 的 左 、 右 焦 点 ，顶点 B 的 坐标为 y BC(0,b)，连结BF 2 并延长交椭圆于点A ，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C .4 1(1) 若点C的坐标为)( , ,且BF 2 2 ,求椭圆的方程；3 3 F1 O F2 x(2) 若F1C AB, 求椭圆离心率 e 的值.A( 第17题)18. (本小题满分16 分)如图,为了保护河上古桥O A,规划建一座新桥B C,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥B C与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A 位于点O 正北方向60m处,点C 位于点O 正东方向170m处(OC为河岸),(1)求新桥B C的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？4tan BCO .3北BA17060 东MO C（第18题）19.( 本小题满分16 分)已知函数x xf (x) e e ,其中e 是自然对数的底数.(1)证明: f (x) 是R上的偶函数；(2) 若关于x 的不等式mf ( x) ≤e x m 1在( 0, ) 上恒成立，求实数m 的取值范围；3a 1与a e 1 (3)已知正数a满足：存在x [1, ) ，使得( ) ( 3 0 )f x 成立.试比较e00 a x x的大小，并证明你的结论.20.( 本小题满分16 分)设数列{a n} 的前n项和为S n .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n a m ，则称{ a n } 是“H 数列”.(1) 若数列{ a n } 的前n项和nS 2 ( n N),证明: {a n } 是“H 数列”;n(2)设{a n} 是等差数列,其首项a1 1,公差d 0 .若{ a n} 是“H 数列”,求d 的值；(3)证明：对任意的等差数列{ }a ，总存在两个“H 数列”{b n} 和{c n } ，使得a n b n c nn( n N)成立.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D 四小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10 分）如图，AB是圆O的直径，C，D 是圆O上位于AB异侧的两点．证明：OCB= D．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10 分）1 2 1 1A ,B，向量1 x2 -1已知矩阵a2y，x，y为实数．若Aa =Ba，求x+y 的值．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为2x 1 t22y 2 t2（t为参数），直线l与2 4抛物线y x 相交于A，B 两点，求线段AB 的长．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10 分）已知x>0，y>0，证明： 2 2(1 x y )(1 x y) 9xy．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）盒中共有9 个球，其中有 4 个红球、 3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同．(l) 从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率P；(2) 从盒中一次随机取出 4 个球其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3 ，随机变量X 表示x1,x2,x3 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E(X)．23．（本小题满分10 分）sin x已知函数0f (x) (x 0)x ，设f n (x)为f n 1(x) 的导数，n N ．(1)求 2 f1 f2 的值；2 2 2(2)证明：对任意的n N ，等式2nf f 都成立．n 1 n4 4 4 22014 年江苏高考数学试题参考答案数学Ⅰ试题一、填空题 1、 { 1，3} 2 、 21 3 、5 4 、 135、6、24 7 、4 8 、 6 3 2 9、 2 555 10、2 ，0 11、 312、2213、 0，114、 6 2224二、解答题15. 本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式， 考查运算求解能力.满分 14 分. （ 1）∵sin5， ，， 25∴22 5 cos 1 sin5210 sinsin coscos sin(cos sin )44 4 210； （ 2）∵4322sin 2 2sin cos ，cos2 cos sin 5 5∴ cos 2coscos2 sin sin 2 3 3 1 43 34 6 6 62 5 25 10．16. 本小题主要考查直线与直线、 直线与平面以及平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力和推理论证能力 .满分 14 分 . （ 1）∵ D ，E 为P C ，AC 中点 ∴DE ∥PA∵ PA平面 DEF ， DE 平面 DEF∴PA ∥平面 DEF （ 2）∵ D ，E 为P C ，AC 中点∴1 3 DEPA 2 ∵ E ，F 为A C ，AB 中点∴14 EF BC 2∴ 2 2 2DEEF DF ∴DEF 90°，∴ DE ⊥ EF∵ DE //PA ，PA AC ，∴ DE AC∵ ACEFE∴D E ⊥平面 ABC∵DE 平面 BDE ， ∴平面 BDE ⊥平面 ABC ．17. 本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力 .满分 14 分.16 1（1）∵4 1C ， ， ∴ 3 3 9 9 9ab22∵ BF 2 b 2c2a 2 ，∴2a2( 2)22 ，∴xy2b21 ∴椭圆方程为212（2）设焦点 F 1( c ，0)，F 2(c ，0) ，C (x ，y)∵ A ，C 关于 x 轴对称， ∴ A(x ， y)∵B，F ，A 三点共线，∴2b ybc x，即bx cy bc 0①∵y bFC AB ，∴ 11x c c，即x c by c2 0 ②①②联立方程组，解得xyca2b c2 22bc2b2 c2∴C2 2a c 2bc，2 2 2 2b c b c∵C 在椭圆上，∴2 2a c 2bc2 2b c b c2 2 2 2a b2 21 ，化简得5c a ，∴ 5c2 2a 5 ,故离心率为5518. 本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16 分.解法一：(1) 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，直线B C的斜率k B C=－tan∠BCO=－4 3 .又因为A B⊥B C，所以直线A B的斜率k AB= 3 4 .设点 B 的坐标为(a,b)，则k BC=ba0 4170 3,k AB= ba60 30 4,解得a=80，b=120. 所以BC= 2 2(170 80) (0 120) 150 . 因此新桥B C的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM =d m,(0≤d≤60).4由条件知，直线B C的方程为y(x 170) ，即4x 3y 680 03由于圆M与直线B C相切，故点M (0，d)到直线B C的距离是r，即|3d 680 | 680 3dr .5 5因为O和A 到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,所以r d 80≥即r (60 d) 80≥680 3d5680 3d5d 80≥(60 d)80≥解得10≤ d ≤35 680 3d故当d=10时,r 最大，即圆面积最大.5所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.解法二: (1)如图，延长O A, CB交于点F.因为t an∠BCO= 43.所以sin∠FCO=45，cos∠FCO=35.因为O A=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO= 680 3.C F=OC850cos FCO 3,从而500AF OF OA .3因为O A⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO== 45，又因为A B⊥B C，所以BF=AF c os∠AFB== 因此新桥B C的长是150 m. 4003，从而BC=CF－BF=150.(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则M D⊥BC，且MD 是圆M的半径，并设M D =r m，OM =d m(0≤d≤60).因为O A⊥OC，所以sin∠CFO=cos∠FCO，故由(1)知，sin∠CFO= MD MD r 3,680 5MF OF OM d3所以680 3dr .5因为O和A 到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,所以r d 80≥即r (60 d) 80≥680 3d5680 3d5d 80≥(60 d)80≥解得10≤ d ≤35 680 3d故当d=10时,r 最大，即圆面积最大.5所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.19. 本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.满分16 分.（1）x R，f ( x) e e f ( x) ，∴ f (x) 是R上的偶函数x x（2）由题意，(e e ) e 1 x x xm ≤m ，即m(e e 1)≤ e 1x x x∵x (0 ，)，∴ e e 1 0x x，即e 1xm≤对x(0 ，) 恒成立e e 1x x1 t令t e x (t 1) ，则≤对任意t (1，) 恒成立mt t 12∵ 1 t t 1 1 1≥，当且仅当t 2时等号成立t t 1 (t1) (t 1) 1 t 1 1 1 32 2t 1∴ 1m ≤3（3）'( ) e x e xf x ，当x 1时f '( x) 0 ，∴ f (x) 在(1，) 上单调增令h( x) a( x 3x) ，h'(x) 3ax( x 1)3∵a 0 ，x 1，∴h '(x) 0 ，即h( x) 在x (1，)上单调减∵存在x0 [1，) ，使得f x a x x ，∴ f (1) e 1 2a ，即 1 e 1 ( ) ( 3 ) a30 0 0e 2 e∵e-1 ae 1 a 1ln ln a ln e (e 1)ln a a 1ea 1设m(a )(e 1)ln a a 1，则'( ) e 1 1 e 1 1 e 1am a ，aa a 2 e 当1 e 1 e 1a时，m '(a) 0 ，m(a )单调增；2 e当a e 1时，m '(a) 0 ，m(a)单调减因此m(a) 至多有两个零点，而m(1) m(e) 0∴当a e时，m(a) 0 ， e 1 e 1aa ；当1 e 1 ea时，m(a) 0 ，2 ee 1 e a 1a ；当a e时，m(a) 0 ， e 1 e 1aa ．20. 本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16 分.（1）当n≥2时，a S S 1 2 2 2 当n 1时，a1 S1 2n n 1 n 1n n n∴n 1时，S a ，当n ≥2时，1 1 S a ∴{ a } 是“H 数列”n n 1 n（2）n(n 1) n(n 1)S na d n dn 12 2对n N，m N使S a ，即n(n 1) 1 ( 1)n d m dn m2取n 2 得1 d (m 1)d ，m 2 1d∵ d 0 ，∴m 2 ，又m N，∴m 1，∴ d 1（3）设{ a } 的公差为d令n b a1 (n 1)a1 (2 n)a1 ，对n N，nb b an 1 n 1c (n1)(a d) ，对n N，n 1 c c a dn 1 n 1则b c a1 (n 1)d a ，且{ b } ，{c }为等差数列n n n n nn(n 1) { b } 的前n项和T na ( a ) ，令n n 1 12 T (2 m)a ，则mn 1n(n 3)22当n 1时m1；当n 2时m1；当n≥3时，由于n 与n 3 奇偶性不同，即n(n 3)非负偶数，m N 因此对n，都可找到m N，使T b 成立，即{ b }为“H 数列”．n m n{c } 的前ｎ项和nn(n 1)R (a d ) ，令n 12c m ad R ，则n(n 1) 1( 1)( ) mn 1 m2∵对n N，n(n 1)是非负偶数，∴m N即对n N，都可找到m N，使得R c 成立，即{c }为“H 数列”n m n 因此命题得证.数学Ⅱ( 附加题)参考答案21. 【选做题】A.【选修4-1:几何证明选讲】本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10 分.证明：∵B,C是圆O上的两点，∴OB=OC.故∠OCB=∠B.又∵C, D 是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，∴∠B=∠D.∴∠OCB=∠D.B.【选修4-2:矩阵与变换】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10 分.2y 2 A，2 xy2 yBα，由Aα=Bα得4 y2y 2 2 y，解得 1 4x ，y22 xy 4 y，C.【选修4-4:坐标系与参数方程】满分10 分.本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力. 直线l：x y 3 代入抛物线方程y2 4x并整理得 2 10 9 0x x∴交点A(1，2) ，B(9 ，6) ，故| AB | 8 2D.【选修4-5:不等式选讲】本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10 分.证明：因为x>0, y>0, 所以1+x+y2≥2≥232+y≥3 xy 0 ，1+x233 x y 0 ，2)( 1+x2+y)≥所以(1+x+y2 23 33 xy 3 x y =9xy.22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10 分.（1）一次取 2 个球有C2 36种可能情况， 2 个球颜色相同共有9 C2 C2 C2 10 种可能情况4 3 2∴取出的 2 个球颜色相同的概率10 5P36 18（2）X 的所有可能取值为4 ，3，2 ，则P( X 4) C 14C 1C 12649 P( X 3) C C C C 134 5 3 6C 6339P( X 2) 1 P( X3) P(X 4) 1114∴X 的概率分布列为X 2 3 4P 111413631126故X 的数学期望( ) 2 11 3 13 4 1 20E X19 14 63 126 923.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10 分.sin x cos x sin x(1)解：由已知，得 1 0 2f (x) f (x) ,x x x于是cos x sin x sin x 2cos x 2sin xf (x) f ( x) ,2 1 2 2 3x x x x x所以4 2 16f ( ) , f ( ) , 故2 f1( ) f2 ( ) 1.1 2 2 32 2 2 2 2(2)证明：由已知，得xf0 (x) sin x, 等式两边分别对x 求导，得f0 ( x) xf0 ( x) cosx ，即f0 (x) xf1 (x) cos x sin( x ) ，类似可得2 2 f ( x) xf (x) sin x sin( x ) ，1 23 3 f (x) xf (x) cos x sin( x) ，2 32 4 f ( x) xf (x) sin x sin(x 2 ) .3 4下面用数学归纳法证明等式nnf 1 (x) xf ( x) sin( x)对所有的nn n2*N都成立.(i)当n=1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立, 即k kf 1 (x) xf (x) sin(x ) .k k2因为k f x xf x kf x f x xf x k f x f x [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ), k 1 k k 1 k k k k 1(k 1) kk k[sin( x )] cos(x ) (x) sin[ x] ，2 2 2 2所以(k 1) f (x) f (x)k k 1(k 1)sin[ x ] . 所以当n=k+1时,等式也成立.2综合(i),(ii) 可知等式nnf 1 (x) xf ( x) sin(x )对所有的nn n2*N都成立.令x ，可得4nnf 1 ( ) f ( ) sin( ) (nn n4 4 4 4 2N).*所以 2 nf f ( n( ) ( )n 1 n4 4 4 2 N).*。
江苏省2014届高三数学一轮复习 考试试题精选(1)分类汇编14 解析几何
江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编14：解析几何一、填空题1 ．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）已知实数0p >，直线3420x y p -+=与抛物线22x py =和圆222()24p p x y +-=从左到右的交点依次为,A B C D 、、、则AB CD的值为 ▲ ．【答案】1162 ．（江苏省淮安市车桥中学2014届高三9月期初测试数学试题）如果圆x 2+y 2-2ax-2ay+2a 2-4=0与圆x 2+y 2=4总相交,则a 的取值范围是___.【答案】220022a a -<<<<或3 ．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）若实数x 、y 满足()222x y x y +=+,则x y +的最大值是_________. 【答案】44 ．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）椭圆中有如下结论:椭圆22221x y a b+=上斜率为1的弦的中点在直线0by a x 22=+上,类比上述结论得到正确的结论为:双曲线22221x y a b -=上斜率为1的弦的中点在直线_______________上.【答案】22x y0a b -=5 ．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）设中心在原点的双曲线与椭圆+y 2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程是__________. 【答案】2x 2﹣2y 2=1 6 ．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）我们把形如()0,0b y a b x a=>>-的函数称为“莫言函数”,并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”,以“莫言点”为圆心,凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆,皆称之为“莫言圆”.当1=a ,1=b 时,在所有的“莫言圆”中,面积的最小值______. ) 【答案】π3.7 ．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）直线1y kx =+与圆22(3)(2)9x y -+-=相交于A B 、两点,若4AB >,则k 的取值范围是____________________. 【答案】1(,2)2-8 ．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）设F 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)右焦点,A 是其右准线与x 轴的交点.若在椭圆上存在一点P ,使线段PA 的垂直平分线恰好经过点F ,则椭圆离心率的取值范围是 ___________.]【答案】[12,1)9 ．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 (A)33 (B)23 (C)2 (D)3 【答案】A10．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率为2,则m 的值为 ______. 【答案】311．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为22,则实数k 的值是________. 【答案】812．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知双曲线22221(00)x y a b a b-=＞＞，的左、右焦点分别为12F F ，,以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P .若1230PF F ∠=,则该双曲线的离心率为______. 【答案】31+13．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知过点(25)，的直线l 被圆22240C x y x y +--=：截得的弦长为4,则直线l 的方程为______.【答案】20x -=或4370x y -+=14．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C ,离心率为2,且过点(2,3),则曲线C 的方程为________. 【答案】225x y -=15．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知P 是直线l :40(0)kx y k ++=>上一动点,PA ,PB 是圆C :2220x y y +-=的两条切线,切点分别为A ,B .若四边形PACB 的最小面积为2,则k =______.【答案】216．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）如图,已知过椭圆的左顶点A(-a,0)作直线1交y 轴于点P,交椭圆于点Q.,若△AOP 是等腰三角形,且,则椭圆的离心率为____【答案】25517．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）当且仅当m r n ≤≤时,两圆2249x y +=与22268250(0)x y x y r r +--+-=>有公共点,则n m -的值为______________.【答案】10 二、解答题18．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）已知椭圆C 的中心在坐标原点,右准线为32x =,离心率为63学科网.若直线y=t(t>o)与椭 圆C 交于不同的两点A,B,以线段AB 为直径作圆M. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若圆M 与x 轴相切,求圆M 被直线310x y -+=截得的线段长. 【答案】19．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）给定圆P :222x y x +=及抛物线S :24y x =,过圆心P 作直线l ,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A B C D 、、、,如果线段AB BC CD 、、的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l 的方程.【答案】解:圆P 的方程为()2211x y -+=,则其直径长2BC =,圆心为()1,0P ,设l 的方程为1ky x =-,即1x ky =+,代入抛物线方程得:244y ky =+,设()()1122,, ,A x y D x y ,有121244y y k y y +=⎧⎨=-⎩,则222121212()()416(1)y y y y y y k -=+-=+.故222222212121212||()()()()4y y AD y y x x y y -=-+-=-+ 22221212()[1()]16(1)4y y y y k +=-+=+,因此2||4(1)AD k =+ 据等差,2BC AB CD AD BC =+=-,所以36AD BC ==,即()2416k +=,22k =±, 即:l 方程为220x y --=或220x y +-=xyoABCDP20．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）已知椭圆:2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22,一条准线:2l x =. (1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,M 是l 上的点,F 为椭圆C 的右焦点,过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于P Q 、两点.①若6PQ =,求圆D 的方程;②若M 是l 上的动点,求证:P 在定圆上,并求该定圆的方程. 【答案】解:(1)由题设:2222c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,21a c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩,2221b a c ∴=-=,椭圆C 的方程为:2212x y +=(2)①由(1)知:(1,0)F ,设(2,)M t ,则圆D 的方程:222(1)()124t t x y -+-=+, 直线PQ 的方程:220x ty +-=,6PQ ∴=2222222(1)()644t t t +-∴+-=+,24t ∴=,2t ∴=±∴圆D 的方程:22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y -++=②解法(一):设00(,)P x y ,由①知:2220000(1)()124220t t x y x ty ⎧-+-=+⎪⎨⎪+-=⎩,即:2200000020220x y x ty x ty ⎧+--=⎪⎨+-=⎪⎩, 消去t 得:2200x y +=2,∴点P 在定圆22x y +=2上. 解法(二):设00(,)P x y ,则直线FP 的斜率为001FP y k x =-, ∵FP ⊥OM ,∴直线OM 的斜率为001OM x k y -=-, ∴直线OM 的方程为:001x y x y -=-,点M 的坐标为002(1)(2,)x M y --. ∵MP ⊥OP ,∴0OP MP ⋅=, ∴000002(1)(2)[]0x x x y y y ∂--++= ,∴2200x y +=2,∴点P 在定圆22x y +=2上. 21．（江苏省梁丰高级中学2014届第一学期阶段性检测一）如图:一个城市在城市改造中沿市内主干道国泰路修建的圆形广场圆心为O,半径为100m ,其与国泰路一边所在直线l 相切于点M,A 为上半圆弧上一点,过点A 作l 的垂线,垂足为 B.市园林局计划在ABM ∆内进行绿化,设ABM ∆的面积为S(单位:2m )(1)以θ=∠AON 为参数,将S 表示成θ的函数;(2)为绿化面积最大,试确定此时点A 的位置及面积的最大值.【答案】22．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一个动点,弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2,当AC 垂直于x 轴时,恰好有13||||21：：=AF AF .(Ⅰ)求椭圆离心率;(Ⅱ)设C F AF B F AF 222111,λλ==,试判断21λλ+是否为定值?若是定值,求出该定值并证明;若不是定值,请说明理由.O国 泰 路B M l AN【答案】解:(Ⅰ)当AC 垂直于x 轴时,a b AF 22||=,13||||21：：=AF AF ,∴a b AF 213||=∴a ab 242=,∴222b a =,∴22c b =,故22=e .(Ⅱ)由(Ⅰ)得椭圆的方程为22222b y x =+,焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -.①当弦AC 、AB 的斜率都存在时,设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ,则AC 所在的直线方程为)(00b x bx y y --=, 代入椭圆方程得0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b .∴02222023bx b y b y y --=,C F AF 222λ=,b x b y y 020223-=-=λ.同理bx b 0123+=λ,∴621=+λλ ②当AC 垂直于x 轴时,则bbb 23,112+==λλ,这时621=+λλ; 当AB 垂直于x 轴时,则5,121==λλ,这时621=+λλ. 综上可知21λλ+是定值 【D 】6．23．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴两端点分别为A ,B ,000(,)(0)P x y y >是椭圆上的动点,以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ,使(0)AD kb k =>,PD 交AB 于点E ,PC 交AB 于点F .(Ⅰ)如图(1),若k =1,且P 为椭圆上顶点时,PCD ∆的面积为12,点O 到直线PD 的距离为65,求椭圆的方程;(Ⅱ)如图(2),若k =2,试证明:AE ,EF ,FB 成等比数列.图(1) 图(2)【答案】解:(Ⅰ)如图,当k =1时,CD 过点(0,-b ),CD =2a ,∵PCD ∆的面积为12,∴122122a b ⨯⨯=,即6ab =.①此时D (-a ,-b ),∴直线PD 方程为20bx ay ab -+=.∴点O 到PD 的距离d =65. ② 由①②解得3,2a b ==∴所求椭圆方程为22194x y +=(Ⅱ)如图,当k =2时,(,2),(,2)C a b D a b ---,设12(,0),(,0)E x F x,由D ,E ,P 三点共线,及1(,2)DE x a b =+,00(,2)DP x a y b =++ (说明:也可通过求直线方程做) 得100()(2)2()x a y b b x a ++=⋅+,∴0102()2b x a x a y b ⋅++=+,即002()2b x a AE y b⋅+=+由C ,F ,P 三点共线,及2(,2)CF x a b =-,00(,2)CP x a y b =-+得200()(2)2()x a y b b x a -+=⋅-, ∴0202()2b a x a x y b ⋅--=+,即002()2b a x FB y b⋅-=+又2200221x y a b+=,∴222220022004()4(2)(2)b a x a y AE FB y b y b ⋅-⋅==++而00000002()2()242222222b x a b a x ay abEF a AE FB a a y b y b y b y b⋅+⋅-=--=--=-=++++ ∴2EF AE FB =⋅,即有AE ,EF ,FB 成等比数列24．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）如图，已知椭圆14:22=+y x C 的上、下顶点分别为B A 、，点P 在椭圆上，且异于点B A 、，直线BP AP 、与直线2:-=y l 分别交于点N M 、， （Ⅰ）设直线BP AP 、的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k ⋅为定值； （Ⅱ）求线段MN 的长的最小值；（Ⅲ）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．【答案】解（Ⅰ）)1,0(A ，)1,0(-B ，令),(00y x P ，则由题设可知00≠x ，∴ 直线AP 的斜率0011x y k -=，PB 的斜率0021x y k +=，又点P 在椭圆上，所以 142020=+y x ，（00≠x ），从而有411112020000021-=-=+⋅-=x y x y x y k k 。
2014年全国高考江苏省数学试卷及答案【精校版】
2014年江苏高考数学试题数学Ⅰ试题参考公式：圆柱的侧面积公式：S圆柱=cl，其中c是圆柱底面的周长,l为母线长。
圆柱的体积公式:V圆柱=Sh,其中S是圆柱的底面积,h为高。
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合，，则．【答案】2．已知复数（i为虚数单位)，则z的实部为．【答案】213．右图是一个算法流程图，则输出的n的值是．【答案】54．从这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是．【答案】5．已知函数与,它们的图象有一个横坐标为的交点,则的值是．【答案】6．为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位:cm），所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm．【答案】247．在各项均为正数的等比数列中，若,，则的值是．【答案】48．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为,若它们的侧面积相等，且，则的值是．【答案】9．在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为．【答案】10．已知函数，若对任意，都有成立,则实数m的取值范围是．【答案】11．在平面直角坐标系xOy中,若曲线（为常数)过点,且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是．【答案】12．如图,在平行四边形ABCD中,已知,，，则的值是．【答案】2213．已知是定义在R上且周期为3的函数，当时,．若函数在区间上有10个零点(互不相同）,则实数a的取值范围是．【答案】14．若的内角满足，则的最小值是．【答案】二、解答题:本大题共6小题，共计90 分。
请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(本小题满分14 分)已知，．(1）求的值;（2）求的值．【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕答案解析数 学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每一小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1、集合}4,3,1,2{A --=,}3,2,1{B -=,如此B A = ▲ ． 【答案】}3,1{-【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1和3，所以答案为}3,1{-【点评】此题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。
属于根底题，难度系数较小。
2、复数2)25(i z -=(i 为虚数单位〕，如此z 的实部为▲ ．【答案】21【解析】根据复数的乘法运算公式，i i i i z 2021)2(2525)25(222-=+⨯⨯-=-=，实部为21，虚部为-20。
【点评】此题重点考查的是复数的乘法运算公式，容易出错的地方是计算粗心，把12-=i 算为1。
属于根底题，难度系数较小。
〔第33、右图是一个算法流程图，如此输出的n 的值是▲ ． 【答案】5【解析】根据流程图的判断依据，此题202>n是否成立，假设不成立，如此n 从1开始每次判断完后循环时，n 赋值为1+n ；假设成立，如此输出n 的值。
此题经过4次循环，得到203222,55>===n n ，成立，如此输出的n 的值为5【点评】此题重点考查的是流程图的运算，容易出错的地方是判断循环几次时出错。
属于根底题，难度系数较小。
4、从6,3,2,1这4个数中一次随机地取2个数，如此所取2个数的乘积为6的概率是▲ ．【答案】31【解析】将随机选取2个数的所有情况“不重不漏〞的列举出来：〔1，2〕，〔1，3〕〔1，6〕，〔2，3〕，〔2，6〕，〔3，6〕，共6种情况，满足题目乘积为6的要求的是〔1，6〕和〔2，3〕，如此概率为31。
【点评】此题主要考查的知识是概率，题目很平稳，考生只需用列举法将所有情况列举出来，再将满足题目要求的情况选出来即可。
2014年江苏高考数学试题及详细答案(含附加题)
2014年江苏高考数学试题数学Ⅰ试题参考公式：圆柱的侧面积公式：S 圆柱=cl ， 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长。
圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积,h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。
1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B = ．【答案】{13}-，2．已知复数2(52)z i =+（i 为虚数单位），则z 的实部为 ． 【答案】213．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】54．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是 ． 【答案】135．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3π的交点,则ϕ的值是 ． 【答案】6π 6．为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位:cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】247．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+, 则6a 的值是 ． 【答案】48．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，,体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等,且1294S S =,则12V V 的值是 ． 【答案】329．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ． 25510．已知函数2()1f x x mx =+-,若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】20⎛⎫ ⎪⎝⎭11．在平面直角坐标系xOy 中,若曲线2by ax x=+（a b ，为常数）过点(25)P -，,且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ． 【答案】3-12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，,32CP PD AP BP =⋅=，,则AB AD ⋅的 值是 ． 【答案】2213．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时,21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()102，14．若ABC ∆的内角满足sin 22sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ．624- 二、解答题：本大题共6小题， 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2014届江苏高考数学一轮复习试题分类汇编：14《解析几何》(苏教版)
解析几何一、填空题1 ．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）已知实数0p >，直线3420x y p -+=与抛物线22x py =和圆222()24p p x y +-=从左到右的交点依次为,A B C D 、、、则ABCD的值为 ▲ ． 【答案】1162 ．（江苏省淮安市车桥中学2014届高三9月期初测试数学试题）如果圆x 2+y 2-2ax-2ay+2a 2-4=0与圆x 2+y 2=4总相交,则a 的取值范围是___.【答案】220022a a -<<<<或3 ．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）若实数x 、y 满足()222x y x y +=+,则x y +的最大值是_________.【答案】44 ．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）椭圆中有如下结论:椭圆22221x y a b +=上斜率为1的弦的中点在直线0by a x 22=+上,类比上述结论得到正确的结论为:双曲线22221x y a b-=上斜率为1的弦的中点在直线_______________上.【答案】22x y0a b -=5 ．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）设中心在原点的双曲线与椭圆+y 2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程是__________.【答案】2x 2﹣2y 2=16 ．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）我们把形如()0,0by a b x a=>>-的函数称为“莫言函数”,并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”,以“莫言点”为圆心,凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆,皆称之为“莫言圆”.当1=a ,1=b 时,在所有的“莫言圆”中,面积的最小值______. ) 【答案】π3.7 ．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）直线1y kx =+与圆22(3)(2)9x y -+-=相交于A B 、两点,若4AB >,则k 的取值范围是____________________.【答案】1(,2)2-8 ．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）设F 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)右焦点,A 是其右准线与x 轴的交点.若在椭圆上存在一点P ,使线段PA 的垂直平分线恰好经过点F ,则椭圆离心率的取值范围是 ___________.]【答案】[12,1)9 ．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）抛物线212yx=-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于(A)2【答案】A10．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率为2,则m 的值为 ______.【答案】311．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为则实数k 的值是________.【答案】812．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知双曲线22221(00)x y a b a b -=＞＞，的左、右焦点分别为12F F ，,以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P .若1230PF F ∠=,则该双曲线的离心率为______.113．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知过点(25)，的直线l 被圆22240C x y x y +--=：截得的弦长为4,则直线l 的方程为______. 【答案】20x -=或4370x y -+=14．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C ,离心率为2,且过点(2,3),则曲线C 的方程为________.【答案】225xy -=15．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知P 是直线l :40(0)kx y k ++=>上一动点,PA ,PB 是圆C :2220x y y +-=的两条切线,切点分别为A ,B .若四边形PACB 的最小面积为2,则k =______.【答案】216．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）如图,已知过椭圆的左顶点A(-a,0)作直线1交y 轴于点P,交椭圆于点Q.,若△AOP 是等腰三角形,且,则椭圆的离心率为____2517．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）当且仅当m r n ≤≤时,两圆2249x y +=与22268250(0)x y x y r r +--+-=>有公共点,则n m -的值为______________.【答案】10二、解答题18．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）已知椭圆C 的中心在坐标原点,右准线为32x =6.若直线y=t(t>o)与椭 圆C 交于不同的两点A,B,以线段AB 为直径作圆M. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若圆M 与x 轴相切,求圆M 被直线310x +=截得的线段长.【答案】19．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）给定圆P :222xy x +=及抛物线S :24y x =,过圆心P 作直线l ,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A B C D 、、、,如果线段AB BC CD 、、的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l 的方程.【答案】解:圆P 的方程为()2211x y -+=,则其直径长2B C =,圆心为()1,0P ,设l 的方程为1ky x =-,即1x ky =+,xyoABCDP代入抛物线方程得:244y ky =+,设()()1122,, ,A x y D x y ,有121244y y ky y +=⎧⎨=-⎩,则222121212()()416(1)y y y y y y k -=+-=+.故222222212121212||()()()()4y y AD y y x x y y -=-+-=-+22221212()[1()]16(1)4y y y y k +=-+=+,因此2||4(1)AD k =+ 据等差,2BC AB CD AD BC =+=-,所以36AD BC ==,即()2416k +=,k =即:l0y --=0y +-=20．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）已知椭圆:2222:1(0)x y C a b a b +=>>,一条准线:2l x =.(1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,M 是l 上的点,F 为椭圆C 的右焦点,过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于P Q 、两点.①若6PQ =,求圆D 的方程;②若M 是l 上的动点,求证:P 在定圆上,并求该定圆的方程. 【答案】解:(1)由题设:22c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1a c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩2221b a c ∴=-=, • 椭圆C 的方程为:2212x y +=•(2)①由(1)知:(1,0)F ,设(2,)M t ,则圆D 的方程:222(1)()124t t x y -+-=+, 直线PQ 的方程:220x ty +-=,PQ ∴=∴=,24t ∴=,2t ∴=±∴圆D 的方程:22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y -++=②解法(一):设00(,)P x y ,由①知:2220000(1)()124220t t x y x ty ⎧-+-=+⎪⎨⎪+-=⎩,即:2200000020220x y x ty x ty ⎧+--=⎪⎨+-=⎪⎩, 消去t 得:2200x y +=2,∴点P 在定圆22x y +=2上. 解法(二):设00(,)P x y ,则直线FP 的斜率为001FP y k x =-, ∵FP ⊥OM ,∴直线OM 的斜率为001OM x k y -=-, ∴直线OM 的方程为:001x y x y -=-, 点M 的坐标为002(1)(2,)x M y --. ∵MP ⊥OP ,∴0OP MP ⋅=, ∴000002(1)(2)[]0x x x y y y ∂--++= ,∴2200x y +=2,∴点P 在定圆22x y +=2上. 21．（江苏省梁丰高级中学2014届第一学期阶段性检测一）如图:一个城市在城市改造中沿市内主干道国泰路修建的圆形广场圆心为O,半径为100m ,其与国泰路一边所在直线l 相切于点M,A 为上半圆弧上一点,过点A 作l 的垂线,垂足为B.市园林局计划在ABM ∆内进行绿化,设ABM ∆的面积为S(单位:2m ) (1)以θ=∠AON 为参数,将S 表示成θ的函数;(2)为绿化面积最大,试确定此时点A 的位置及面积的最大值.【答案】O国 泰 路B M l AN22．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一个动点,弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2,当AC 垂直于x 轴时,恰好有13||||21：：=AF AF . (Ⅰ)求椭圆离心率;(Ⅱ)设C F AF B F AF 222111,λλ==,试判断21λλ+是否为定值?若是定值,求出该定值并证明;若不是定值,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)当AC 垂直于x 轴时,a b AF 22||=,13||||21：：=AF AF ,∴a b AF 213||=∴a a b 242=,∴222b a =,∴22c b =,故22=e . (Ⅱ)由(Ⅰ)得椭圆的方程为22222b y x =+,焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -.①当弦AC 、AB 的斜率都存在时,设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ,则AC 所在的直线方程为)(00b x bx y y --=, 代入椭圆方程得0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b .∴02222023bx b y b y y --=,C F AF 222λ=,b x b y y 020223-=-=λ.同理bx b 0123+=λ,∴621=+λλ ②当AC 垂直于x 轴时,则bbb 23,112+==λλ,这时621=+λλ; 当AB 垂直于x 轴时,则5,121==λλ,这时621=+λλ. 综上可知21λλ+是定值 【D 】6．23．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴两端点分别为A ,B ,000(,)(0)P x y y >是椭圆上的动点,以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ,使(0)AD kb k =>,PD 交AB 于点E ,PC 交AB 于点F .(Ⅰ)如图(1),若k =1,且P 为椭圆上顶点时,PCD ∆的面积为12,点O 到直线PD 的距离为65,求椭圆的方程; (Ⅱ)如图(2),若k =2,试证明:AE ,EF ,FB 成等比数列.FEyxOPD CBA图(1) 图(2)【答案】解:(Ⅰ)如图,当k =1时,CD 过点(0,-b ),CD =2a ,∵FEy xO P DCB APCD ∆的面积为12,∴122122a b ⨯⨯=,即6ab =.①此时D (-a ,-b ),∴直线PD 方程为20bx ay ab-+=.∴点O 到PD 的距离d =65. ② 由①②解得3,2a b ==∴所求椭圆方程为22194x y +=(Ⅱ)如图,当k =2时,(,2),(,2)C a b D a b ---,设12(,0),(,0)E x F x ,FEyxO P D CBA由D ,E ,P 三点共线,及1(,2)DE x a b =+,00(,2)DP x a y b =++ (说明:也可通过求直线方程做) 得100()(2)2()x a y b b x a ++=⋅+, ∴0102()2b x a x a y b ⋅++=+,即002()2b x a AE y b⋅+=+由C ,F ,P 三点共线,及2(,2)CF x a b =-,00(,2)CP x a y b =-+得200()(2)2()x a y b b x a -+=⋅-,∴0202()2b a x a x y b ⋅--=+,即002()2b a x FB y b⋅-=+又2200221x y a b+=,∴222220022004()4(2)(2)b a x a y AE FB y b y b ⋅-⋅==++ 而00000002()2()242222222b x a b a x ay abEF a AE FB a a y b y b y b y b⋅+⋅-=--=--=-=++++ ∴2EF AE FB =⋅,即有AE ,EF ,FB 成等比数列24．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）如图，已知椭圆14:22=+y x C 的上、下顶点分别为B A 、，点P 在椭圆上，且异于点B A 、，直线BP AP 、与直线2:-=y l 分别交于点N M 、，（Ⅰ）设直线BP AP 、的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k ⋅为定值； （Ⅱ）求线段MN 的长的最小值；（Ⅲ）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．【答案】解（Ⅰ）)1,0(A ，)1,0(-B ，令),(00y x P ，则由题设可知00≠x ，∴ 直线AP 的斜率0011x y k -=，PB 的斜率0021x y k +=，又点P 在椭圆上，所以 142020=+y x ，（00≠x ），从而有411112020000021-=-=+⋅-=x y x y x y k k 。
2014年高考江苏数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题—第14 题）、解答题（第15 题第20 题）．本卷满分160 分，考试时间为120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：圆柱的体积公式：V圆柱sh ，其中s为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：S圆柱=cl ，其中 c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．卡．相．应．位．置．上．．．（1）【2014 年江苏，1，5 分】已知集合 A { 2 ，1，3，4} ，B { 1，2，3} ，则 A B _______ ．【答案】{ 1，3}【解析】由题意得 A B { 1,3} ．（2）【2014 年江苏，2，5 分】已知复数【答案】21 z(5 2i) (i 为虚数单位)，则z的实部为_______． 22【解析】由题意 2 2z (5 2i) 25 2 5 2i (2i) 21 20i ，其实部为21．（3）【2014 年江苏，3，5 分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是_______．【答案】 5n 的最小整数解．2n 20 整数解为n 5，因此输出的n 5 ．【解析】本题实质上就是求不等式 2 20（4）【2014 年江苏，4，5 分】从1，2 ，3，6这4个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是_______．【答案】 13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取 2 个数共有 2C4 6 种取法，其中乘积为 6 的有1,6 和2,3 两种取法，因此所求概率为 2 1P ．6 3（5）【2014 年江苏，5，5 分】已知函数y cos x与y sin(2 x )(0 ≤) ，它们的图象有一个横坐标为的3 交点，则的值是_______．【答案】6【解析】由题意cos sin(2 )3 3 ，即2 1sin( )3 2，2kk ( 1) ，(k Z ) ，因为0 ，所3 6以．6（6）【2014 年江苏，6，5 分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60 株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80 ，130] 上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60 株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm．【答案】241【解析】由题意在抽测的60 株树木中，底部周长小于100 cm 的株数为(0.015 0.025) 10 60 24 ．（7）【2014 年江苏，7，5 分】在各项均为正数的等比数列{ }a 中，若na8 a6 2a4 ，则a2 1 ，a的值是________．6【答案】 4【解析】设公比为q ，因为a2 1，则由a8 a6 2a4 得 6 4 2 2 4 2 2 0q q a ，q q ，解得2 2q ，所以4a6 a2q 4 ．（8）【2014 年江苏，8，5 分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S，S ，体积分别为1 2 V ，V ，若它们的侧面积相1 2等，且S1S294，则V1V2的值是_______．【答案】 32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r 、h ，r2、h2 ，则2 r1h1 2 r2 h2 ，1 1 h r1 2h r2 1，又2S r1 12S r2 294，所以r1r232，则2 2 2V r h r h r r r1 1 1 1 1 12 12 2 2V r h r h r r r2 2 2 2 2 2 1 232．（9）【2014 年江苏，9，5 分】在平面直角坐标系xOy 中，直线x 2 y 3 0 被圆长为________．2 2(x2) (y1) 4 截得的弦【答案】 2 555【解析】圆 2 2(x 2) (y1) 4 的圆心为 C (2, 1) ，半径为r 2 ，点C 到直线x 2y 3 0 的距离为2 2 ( 1)3 3d ，所求弦长为2 251 22 2 9 2 55l 2 r d 2 4 ．5 5（10）【2014 年江苏，10，5 分】已知函数f (x) x mx 1，若对任意x [m，m 1]，都有 f (x) 0 成立，则实2数m 的取值范围是________．【答案】 2 0，2【解析】据题意2 2f (m) m m 1 02f (m 1) (m 1) m(m 1) 1 0，解得22m 0 ．（11）【2014 年江苏，11，5 分】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线 2 by axx( a，b 为常数)过点P(2 ，5) ，且该曲线在点P 处的切线与直线7x 2 y 3 0 平行，则 a b 的值是________．【答案】 3【解析】曲线y ax 2 bxb b过点P(2, 5) ，则4a 5 ①，又y'2ax 22 x，所以b 74a ②，由①②解得4 2ab11，所以 a b 2 ．（12）【2014 年江苏，12，5 分】如图，在平行四边形ABCD 中，已知，AB 8 ，AD 5 ，CP 3PD ，AP BP 2 ，则AB AD 的值是________．【答案】22【解析】由题意，1AP AD DP AD AB ，43 3BP BC CP BC CD AD AB ，4 4所以1 3AP BP (AD AB) (AD AB)4 42 13 2AD AD AB AB ，2 16即 1 32 25 64AD AB ，解得AD AB 22 ．2 16（13）【2014 年江苏，13，5 分】已知 f (x) 是定义在R上且周期为 3 的函数，当x [0 ，3) 时， 2 1f (x) x 2x ．2 若函数y f ( x) a 在区间[ 3，4] 上有10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是________．【答案】0 1，22【解析】作出函数21f(x)x2x,x[0,3)的图象，可见21f(0)，当x1时，21f(x)极大，27f，方程f(x)a0在x[3,4]上有10个零点，即函数y f(x)和图象与直线(3)2y a在[3,4]上有10个交点，由于函数f(x)的周期为3，因此直线y a与函数21f(x)x2x,x[0,3)的应该是4个交点，则有21a(0,)．2（14）【2014年江苏，14，5分】若ABC的内角满足sin A2sin B2sin C，则cos C的最小值是_______．【答案】624【解析】由已知sin A2sin B2sin C及正弦定理可得a2b2c，cosC222a b c2ab2ab223a2b22ab26ab22ab62 8ab8ab4，当且仅当223a2b，即ab23时等号成立，所以cos C的最小值为624．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知2，，sin55．（1）求sin的值；4（2）求cos26的值．解：（1）∵sin5，，，∴25225cos1sin5，210s i n s i n c o s c o s s i n(c o s s i n)．444210（2）∵43sin22sin cos cos2cos sin，，sin22sin cos cos2cos sin2255∴3314334 cos2cos cos2sin sin2666252510．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA AC，PA6，BC8，DF5．（1）求证：直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．解：（1）∵D，E为PC，AC中点∴DE∥PA∵PA平面DEF，DE平面DEF∴PA∥平面DEF．（2）∵D，E为PC，AC中点，∴DE1PA3∵E，F为AC，AB中点，∴1 4EF BC，22∴DE2EF2DF2，∴DEF90°，∴DE⊥EF，∵DE//PA，PA AC，∴DE AC，∵AC EF E，∴DE⊥平面ABC，∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy中，F，F分别是椭圆1222yx a b221(0)a b的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结B F并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，2连结F C．1（1）若点C的坐标为41，，且33B F22，求椭圆的方程；（2）若F C AB，求椭圆离心率e的值．1316 1解：（1）∵ 4 1C ，，∴3 3 9 9 9a b2 2，∵ 2 2 2 2BF b c a ，∴22 ( 2) 2 2a ，∴b，2 1∴椭圆方程为 2 x y ．2 12（2）设焦点F1( c，0) ，F2 (c，0) ，C(x，y) ，∵A，C 关于x 轴对称，∴A(x ，y) ，∵B，F ，A三点共线，∴2b ybc x，即bx cy bc 0①∵y b FC AB ，∴ 1 1x c c ，即 2 0xc by c ②①②联立方程组，解得xyca2b c2 22bc2b c2 2∴Ca c 2bc2 2，2 2 2 2b c b cC 在椭圆上，∴2 2a c 2bc2 2b c b c2 2 2 2a b2 21，化简得5c a ，∴c 52 2a 5, 故离心率为55．（18）【2014 年江苏，18，16 分】如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段O A 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点 A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，tan 4BCO ．3（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？．解：解法一：（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系x Oy．由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，直线BC 的斜率 4k －tan BCO ．BC3又因为AB⊥BC，所以直线AB 的斜率 3k ．设点 B 的坐标为(a,b)，AB4则k BC= b 0 4a 170 3 ，k AB= 60 3ba 0 4，解得a=80，b=120．所以BC= 2 2(170 80) (0 120) 150 ．因此新桥BC 的长是150 m．（2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d≤60．)由条件知，直线BC 的方程为 4 ( 170)y x ，即4x 3y 680 0 ，3由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d)到直线BC 的距离是r，即因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m，| 3d 680 | 680 3d r ．5 5所以r d≥80r (60 d )≥80，即680 3d5680 3d5d 80≥(60 d ) 80≥，解得10 ≤ d ≤35 ．故当d=10 时,680 3dr 最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．5解法二：（1）如图，延长OA, CB 交于点F．因为tan∠BCO = 43 ．所以sin∠FCO = 45，cos∠FCO = 35．因为OA =60,OC=170，所以OF= O C tan∠FCO =6803 ．CF=OC850cos FCO 3，4从而500AF OF OA ．因为O A⊥OC，所以cos∠AFB =sin∠FCO =3 45，又因为A B⊥BC，所以BF =AFcos∠AFB == 4003，从而BC= C F－BF=150．因此新桥B C 的长是150 m．（2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D，连接M D ，则MD ⊥BC，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m，OM =d m(0 ≤d≤60．) 因为O A⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，故由（1）知，sin∠CFO = MD MD r 3MF OF OM 680 5d3所以680 3dr ．5因为O和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m，所以r d≥80r (60 d )≥80，即680 3d5680 3d5d 80≥(60 d )≥80，解得10 ≤ d ≤35 ，故当d=10 时，680 3dr 最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．5（19）【2014 年江苏，19，16 分】已知函数( ) e ex xf x 其中e 是自然对数的底数．（1）证明： f (x) 是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf (x) ≤ e m 1在(0 ，) 上恒成立，求实数m 的取值范围；x（3）已知正数 a 满足：存在你的结论．x0 [1，) ，使得 3 ea 1 与f (x ) a( x 3x ) 成立．试比较0 0 0a e 1 的大小，并证明解：（1）x R， f ( x) e e f (x) ，∴ f (x) 是R上的偶函数．x x（2）由题意，(e e ) e 1x x x m ≤，∵x (0 ，) ，∴e x e x 1 0 ，x x xm ≤m ，即(e e 1) e 1即 e 1xm ≤对x (0 ，) 恒成立．令 e ( 1)t t ，则xe e 1x x m1 t≤对任意t (1，) 恒成立．t t 12∵ 1 1 1 1t t ≥，当且仅当t 2 时等号成立，∴ 1m ≤．2 2 3t t 1 (t 1) (t 1) 1 1 3t 1 1t 1（3）f '( x) e e ，当x 1 时 f '( x) 0 ∴ f (x) 在(1，) 上单调增，令x xh(x) a( x 3x) ，h '( x) 3ax( x 1) ，33∵a 0 ，x 1，∴h '(x) 0 ，即h( x) 在x (1，) 上单调减，∵存在x0 [1，) ，使得f x a x x ，∴ f (1) e 1 2a ，即 1 e 1 ( ) ( 3 ) a ．30 0 0e 2 e∵ a a a a ，设m(a) (e 1)ln a a 1 ，则m '(a ) e 1 1 e 1 a e-1ln ln ln e (e 1)ln 1e 1 a 1e a aa 1，1 1a e ．当2 e 1 1e a e 1时，m '(a) 0 ，m(a) 单调增；当 a e 1 时，m '(a) 0 ，m(a ) 单调2 e减，因此m( a) 至多有两个零点，而m(1) m(e) 0 ，∴当 a e 时，m(a) 0 ，a e 1 e a 1 ；当1 e 1 ea 时，m(a) 0 ，2 e a e 1 e 1 ；当a e 时，m(a) 0 ，aa e 1 e a 1 ．（20）【2014 年江苏，20，16 分】设数列{ }a 的前n 项和为S．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得n n S a ，n m则称{}a 是“H 数列”．nn（1）若数列{ a } 的前n 项和S 2 (n N) ，证明：{ a } 是“H 数列”；n n n（2）设{ a } 是等差数列，其首项n a1 1，公差 d 0 ．若{a } 是“H 数列”，求d 的值；n（3）证明：对任意的等差数列{ }a ，总存在两个“H数列”{b } 和{c } ，使得 a b c (n N) 成立．n n n n n n解：（1）当n ≥ 2 时，n n 1 n 1a S S 1 2 2 2 ，当n 1时，n n n a1 S1 2 ，∴n 1时，S a ，当n≥2时，1 1 S a ，∴{a } 是“H 数列”．n n 1 n（2）n(n 1) n(n 1)S na d n d ，对n N，m N使n 12 2S a ，即n mn(n 1)n d 1 (m 1)d ，25取n 2 得1 d (m1)d ，m 2 1d，∵d 0 ，∴m 2 ，又m N ，∴m 1，∴d 1．（3）设{}a 的公差为d，令n b a1 (n 1)a1 (2 n) a1 ，对n N ，nb b a ，n 1 n 1c (n 1)(a d) ，n 1对n N ，c c a d ，则n 1 n 1 b c a1 (n 1)d a ，且{ b } ，{c } 为等差数列．n n n n n{ b } 的前n 项和nn(n 1)T na ( a ) ，令n 1 12T (2 m)a ，则n 1n(n 3)m 2 ．2当n 1时m 1；当n 2 时m 1；当n≥3时，由于n 与n 3 奇偶性不同，即n(n 3) 非负偶数，m N ．因此对n ，都可找到m N ，使T b 成立，即{b } 为“H 数列”．n m n{c } 的前ｎ项和nn(n 1)R (a d ) ，令n 12c (m 1)(ad ) R ，则n 1 mmn(n 1)21∵对n N ，n(n 1) 是非负偶数，∴m N ，即对n N ，都可找到m N ，使得R c 成立，n m 即{ }c 为“H 数列”，因此命题得证．n数学Ⅱ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21 题有A、B、C、D 4 个小题供选做，每位考生在4 个选做题中选答 2 题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前 2 题计分．第22、23 题为必答题．每小题10 分，共40 分．考试时间30 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．【选做】本题包括A、B、C、D 四小题，请选．定．其．中．两．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（21-A ）【2014 年江苏，21-A，10 分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB =∠D．解：因为B，C 是圆O 上的两点，所以OB=OC．故∠OCB =∠B．又因为C, D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B=∠D．因此∠OCB =∠D．（21-B ）【2014 年江苏，21-B，10 分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1 2 1 1A ，B ，向量1 x2 12y，x，y为实数，若Aα= Bα，求x，y的值．解：2 y 2A ，2 xy2 yBα，由Aα= Bα得4 y2y 2 2 y，解得 1 4x ，y ．2 xy 4 y， 2（21-C）【2014 年江苏，21-C，10 分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为2x 1 t ，2(t 为参数)，直线l 与抛物线2y 2 t2y2 4x交于A，B 两点，求线段A B 的长．解：直线l：x y 3 代入抛物线方程 2 4y x 并整理得x2 10x 9 0 ，∴交点 A (1，2) ，B(9 ，6) ，故| AB| 8 2 ．（21-D ）【2014 年江苏，21-D，10 分】（选修4-5：不等式选讲）已知x 0 ，y 0 ，证明： 2 21 x y 1 x y 9xy ．解：因为x>0, y>0, 所以1+ x+y 2≥33 xy2 0 ，1+x2+y≥2 2 2 2 23 3 33 x y 0 ，所以(1+ x+y )( 1+x +y) ≥3 xy 3 x y =9 xy．2≥33 xy2 0 ，1+x2+y≥【必做】第22、23 题，每小题10 分，计20 分．请把答案写在．答．题．卡．的．指．定．区．域．内．．．（22）【2014 年江苏，22，10 分】盒中共有9 个球，其中有 4 个红球， 3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同．6（1）从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x，x ，x ，随机变量X 表示1 2 3 x ，x ，x 1 2 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E(X ) ．解：（1）一次取 2 个球共有 2C 36 种可能情况， 2 个球颜色相同共有92 2 2C C C 10 种可能情况，4 3 2∴取出的 2 个球颜色相同的概率10 5P ．36 18（2）X 的所有可能取值为4，3，2 ，则C 14P X ；( 4) 4C 12649C C C C 133 1 3 1P( X 3) 4 5 3 6 ；C 633911P( X 2) 1 P(X 3) P(X 4) ．∴X 的概率分布列为：14X 2 3 4P 1114 13631126故X 的数学期望( ) 2 11 3 13 4 1 20E X ．14 63 126 9（23）【2014 年江苏，23，10 分】已知函数sin xf (x) (x 0)x ，设 f (x) 为nf x 的导数，n N．n1 ( )（1）求2f f 的值；1 22 2 2（2）证明：对任意的n N，等式 2nf f 成立．n 1 n4 4 4 2解：（1）由已知，得sin x cosx sin xf (x) f (x)1 0 2x x x，于是cosx sin x sin x 2cos x 2sin xf (x) f (x)2 1 2 2 3x x x x x ，所以 4 2 16f ( ) , f ( ) ，1 2 2 32 2故2 f ( ) f ( ) 1 ．1 22 2 2（2）由已知，得xf0 (x) sin x, 等式两边分别对x 求导，得 f 0 (x) xf0 (x) cos x ，即f0 ( x) xf1 (x) cos x sin(x ) ，类似可得2 2 f (x) xf (x) sin x sin( x ) ，1 233 f (x) xf (x) cos x sin( x ) ，2 32 4 f (x) xf (x) sin x sin( x 2 ) ．3 4下面用数学归纳法证明等式nnf x xf x x 对所有的nn n1 ( ) ( ) sin( )2N*都成立．（i）当n=1 时，由上可知等式成立．（ii）假设当n=k 时等式成立, 即kkf 1 (x) xf (x) sin( x ) ．k k2因为[kf ( x) xf (x )] kf (x) f (x) xf (x) (k 1) f (x) f ( x),k 1 k k 1 k k k k 1(k1)k k k[sin( x )] cos(x ) (x) sin[ x ] ，所以2 2 2 2 (k 1) f ( x) f (x)k k 1(k 1)sin[ x ] ．2所以当n=k +1 时,等式也成立．综合(i),(ii) 可知等式nnf 1 ( x) xf (x) sin( x ) 对所有的nn n2 N都成立．*令x ，可得4nnf 1 ( ) f ( ) sin( ) ( nn n4 4 4 4 2N)．所以*2nf f ( nn 1 n( ) ( )4 4 4 2N)．*7。
2014年高考江苏卷试题及答案
南通数学网 初高中课件、教案、习题应有尽有 2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）解析版数学Ⅰ江苏苏州 何睦 江苏扬州 孟伟业 江苏南京 王刚 整理提供一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A I ▲ . 【答案】{1,3}-【解析】由题意得{1,3}A B =-I 【考点】交集、并集、补集 (B).2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ . 【答案】21【解析】由题意2(52i)=25+20i 42120i z =+-=+，其实部为21. 【考点】复数的概念 (B).3. 右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ▲ . 【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n>的最小整数解，220n>整数解为5n ≥，因此输出的5n =. 【考点】流程图 (A).4. 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ . 【答案】13【解析】从1，2，3，6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概念为2163P ==. 【考点】古典概型 (B).5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ▲ . 【答案】6π 【解析】由题意cos sin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=， 所以2236k ππϕπ+=+或252()36k k ππϕπ+=+∈Z ，即22k πϕπ=-或2()6k k πϕπ=+∈Z . 又0ϕπ≤<，所以6πϕ=.【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质 (B)，三角函数的概念(B). （三角函数图象的交点与已开始 0←n 1+←n n 202>n输出n 结束 （第3题）NY知三角函数值求角）6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.015+0.025)⨯10⨯60=24. 【考点】总体分布的估计 (A). （频率分布直方图）7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中，,12=a 4682a a a +=，则6a 的值是 ▲ .【答案】4【解析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q q =+，4220q q --=， 解得22q =或21q =-（舍），所以4624a a q ==. 【考点】等比数列 (C). （等比数列的通项公式）8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V 的值是 ▲ . 【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为1r 、1h ，2r 、2h ，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =， 又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==. 【考点】柱、锥、台、球的表面积与体积 (A).9. 在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长 为 ▲ . 255【解析】圆4)1()2(22=++-y x 的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为2222(1)3512d +⨯--==+，所求弦长为2292552245l r d =-=-【考点】直线与圆、圆与圆的位置关系 (B). （直线与圆相交的弦长问题）10. 已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是 ▲ .组距频率100 80 90 110 0.0100.015 0.020 0.025 0.030 底部周长/cm（第6题）【答案】2,0⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭【解析】画出二次函数的分析简图：由图象分析可得结论：开口向上的二次函数()f x在[],m n上恒小于0的充要条件为()0,()0.f mf n<⎧⎨<⎩开口向下的二次函数()f x在[],m n上恒大于0的充要条件为()0,()0.f mf n>⎧⎨>⎩22()0,2(1)0.230.2mf mmf mm⎧<<⎪⎛⎫<⎧⎪⇒⇒∈ ⎪⎨⎨ ⎪+<⎩⎝⎭⎪-<<⎪⎩. （江苏苏州何睦）【考点】一元二次不等式(C). （一元二次方程根的分布、二次函数的性质）【变式】变式1已知函数,1)(2-+=mxxxf若对于任意()1,+∈mmx，都有0)(<xf成立，则实数m的取值范围是__________ . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,22（江苏苏州何睦）变式 2 已知函数,1)(2-+=mxxxf若对于任意[)1,+∈mmx，都有0)(<xf成立，则实数m的取值范围是__________ .⎥⎦⎤⎝⎛-0,22（江苏苏州何睦）变式3 已知函数,1)(2-+=mxxxf若存在]1,[+∈mmx，使得0)(<xf成立，则实数m的取值范围是__________ . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,23（江苏苏州何睦）变式 4 已知函数12)(2++=xxxf，若存在实数t，当],1[mx∈时，xtxf≤+)(恒成立，则实数m的最大值是__________ . 4 （江苏苏州陈海锋）变式5 若关于x的不等式012≥-++mmxx恒成立，则实数=m________. 2（江苏苏州陈海锋）变式6 设)(xf是定义在R上的奇函数，且当0≥x时,2)(xxf=,若对任意的]2,[+∈t tx，不等式)(2)(xftxf≥+恒成立，则实数t的取值范围是________.[)+∞,2（江苏苏州陈海锋）11. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线xbaxy+=2(a，b为常数)过点)5,2(-P，且该曲线在点P处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ . 【答案】3-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452ba +=-①，又22b y ax x '=-，所以7442b a -=-②，由①、②解得1,2.a b =-⎧⎨=-⎩所以3a b +=-.【考点】导数的几何意义 (B).12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =u u u r u u u r ，2AP BP ⋅=u u ur u u u r ，则AB AD ⋅u u u r u u u r 的值是 ▲ . 【答案】22【解析】解法一：（基底法）考虑将条件中涉及的,AP BP u u u r u u u r向量用基底,AB AD u u u r u u u r表示，而后实施计算.14AP AD DP AD AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，34BP BC CP AD AB =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .则2213132()()44216AP BP AD AB AD AB AD AD AB AB ⋅==+⋅-=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .因为8,5AB AD ==，则3122564162AB AD =-⨯-⋅u u ur u u u r ，故22AB AD ⋅=u u u r u u u r . （江苏苏州 何睦）解法二：（坐标法）不妨以A 点为坐标原点，AB 所在直线作为x 轴建立平面直角坐标系，可设(0,0),(8,0),(.),(2,),(8,)A B D a t P a t C a t ++，则(2,)AP a t =+u u u r ，(6,)BP a t =-u u u r. 由2AP BP ⋅=u u u r u u u r，得22414a t a +-=，由5AD =，得2225a t +=，则411a =，所求822AB AD a ⋅==u u u r u u u r. （江苏苏州 何睦）【考点】平面向量的加法、减法及数乘运算 (B)，平面向量的数量积 (C).13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[∈x 时，21()22f x x x =-+. 若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ▲ .【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可知1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =的图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象有4个交点，则10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. A B DP（第12题）（江苏扬州 孟伟业）【考点】函数与方程 (A)，函数的基本性质 (B). （函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题）14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是 ▲ . 62-【解析】由正弦定理得22a b c =，由余弦定理结合基本不等式有： 2222222222231231(2242242cos 2222a b a b a b a b a b cC abab ab ab ++-+++-====2231226242a b -≥=，当且仅当6a =时等号成立. （江苏苏州 何睦） 【考点】正弦定理、余弦定理及其应用 (B)，基本不等式 (C). 变式1 △ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为________.21（江苏无锡 张芙华） 变式2 △ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A CB B AC C B A cos sin sin cos sin sin cos sin sin +=，若2ab c的最大值为_______. 23（江苏无锡 张芙华） 变式3 在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD = BC ，b ，c 分别表示角B ，C 所对的边长，则b cc b+的取值范围是________． []5,2 （江苏苏州 陈海锋）变式4 已知三角形ABC ∆的三边长c b a ,,成等差数列，且84222=++c b a ，则实数b 的取值范围是_________. (]72,62（江苏南通 丁勇）拓展 在△ABC 中，已知(),0,1m n ∈，且sin sin sin m A n B C +=，求cos C 的最小值. 解：由正弦定理得ma nb c +=，由余弦定理结合基本不等式有：222222222(1)(1)21cos [(1)(1)]222a b c m a n b mnab a bC m n mnab ab b a+--+--===-+--22(1)(1)m n mn --.（当且仅当2222(1)(1)m a n b -=-时等号成立）.（江苏常州 封中华）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)已知),2(ππα∈，55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.【解析】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力.满分14分.(1) 因为α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，sin α5，所以cos α＝2251sin α-.故sin π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin π4cos α＋cos π4sin α2252510⎛+= ⎝⎭. (2) 由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝525425⎛=- ⎝⎭， cos2α＝1－2sin 2α＝1－25325⨯=⎝⎭，所以cos 5π5π5π2cos cos 2sin sin 2666ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＝3314433525⎛+⎛⎫⨯+⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭【考点】同角三角函数的基本关系式 (B)，两角和（差）的正弦、余弦及正切 (C)，二倍角的正弦、余弦及正切 (B)，运算求解能力.16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥，6PA =，8BC =，5DF =.求证：(1) 直线//PA 平面DEF ；(2) 平面⊥BDE 平面ABC .【解析】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力. 满分14分.(1) 因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥PA .又因为PA ⊄ 平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线PA ∥平面DEF .(2) 因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点， PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4. 又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，（第16题）PDCEFBA所以∠DEF ＝90°，即DE 丄EF . 又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .【考点】直线与平面平行、垂直的判定及性质 (B)，两平面平行、垂直的判定及性质 (B)，空间想象能力和推理论证能力.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，21,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1) 若点C 的坐标为)31,34(，且22=BF ，求椭圆的方程；(2) 若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力. 满分14分.设椭圆的焦距为2c ，则1(,0)F c -，2(,0)F c .(1) 因为()0,B b ，所以222BF b c a =+=，又22BF =故2a =因为点41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以22161991a b +=，解得21b =.故所求椭圆的方程为2212x y +=.(2) 解法一（官方解答）：（垂直关系的最后表征）因为()0,B b ，2(,0)F c 在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为1x yc b+=. 解方程组22221,1,x y c b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得()2122221222,a c x a c b c a y a c ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， 220,.x y b =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标为22222222(),a c b c a a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为22222222(),a c b a c a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 因为直线1F C 的斜率为()()()22222222322023b a c b a c a c a c a c c c a c ---+=+--+，直线AB 的斜率为b c-，且1F C AB ⊥， 所以()222313b a c b a c c c -⎛⎫⋅-=- ⎪+⎝⎭，又222b a c =-，整理得225a c =. F 1 F 2Oxy BCA故215e =，因此5e =.解法二：（垂直关系的先行表征）设000012(,),(.),(,0),(,0)C x y A x y F c F c --， 由1,FC AB ⊥得001y b x c c ⋅=-+-，由A 在2BF 上，则001x y c b-+=； 联立20000,.cx by c bx cy bc ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩解得：20222022,2.ca x b c bc y b c ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩又00(,)C x y 在椭圆上，代入椭圆方程整理得2242224(2)c a c a c +=-，即225a c =， 所以椭圆的离心率为5e =【考点】中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质 (B)，直线的平行关系与垂直关系 (B)，直线方程 (C)，运算求解能力. （椭圆的标准方程、椭圆的离心率）18. (本小题满分16分)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆. 且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO . (1) 求新桥BC 的长；(2) 当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？【解析】本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力. 满分16分.解法一（官方解法一）：(1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴， 建立平面直角坐标系xOy . 由条件知()()0,60,170,0A C ， 直线BC 的斜率4tan 3BCk BCO =-∠=-.170 m60 m 东北OA BM C170 m60 m xyOA BM C（第18题）又因为AB BC ⊥，所以直线AB 的斜率34AB k =. 设点B 的坐标为(),a b ，则041703BC b k a -==--，60304AB b k a -==-解得80,120a b ==.所以22(17080)(0120)150BC -+-. 因此新桥BC 的长为150m.(2) 设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM d = m (060)d ≤≤. 由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=.由于圆M 与直线BC 相切，故点()0,M d 到直线BC 的距离是r ，即2236806803543d dr --==+. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ， 所以80(60)80r d r d -≥⎧⎨--≥⎩，，即68038056803(60)80.5dd d d -⎧-≥⎪⎪⎨-⎪--≥⎪⎩，解得1035d ≤≤.故当10d =时，68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.解法二（官方解法二）：(1) 如图，延长OA ，CB 于点F . 因为4tan 3FOC ∠=，所以4sin 5FOC ∠=，3cos 5FOC ∠=.因为OA = 60，OC = 170，所以680tan 3OF OC FOC =∠=，850cos 3OC CF FOC ==∠. 从而5003AF OF OA =-=.因为OA OC ⊥，所以4cos sin 5AFB FCO ∠=∠=.又因为AB BC ⊥，所以400cos 3BF AF AFB =∠=.从而150BC CF BF =-=.因此新桥BC 的长为150 m.(2) 设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD BC ⊥，且MD 是圆M 的半径，并设MD r = m ，OM d = m (060)d ≤≤. 因为OA OC ⊥，所以sin cos CFO FCO ∠=∠. 故由(1)知3sin 68053MD MD r CFO MF OF OM d ∠====--，所以68035dr -=. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，170 m60 m xyOA BM C（第18题）F D所以80(60)80,r d r d -≥⎧⎨--≥⎩, 即68038056803(60)80.5dd d d -⎧-≥⎪⎪⎨-⎪--≥⎪⎩,解得1035d ≤≤.故当10d =时，68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM =10 m 时，圆形保护区的面积最大.(1)的解法三：连结AC ，由题意知6tan 17ACO ∠=，则由两角差的正切公式可得： 2tan tan()3ACB BCO ACO ∠=∠-∠=，故cos 150BC ACB AC =∠⋅= m. 所以新桥BC 的长度为150m. （江苏苏州 何睦）(2)的解法三：设BC 与圆切于点N ，连接MN ，过点A 作//AH BC 交MN 于点H . 设OM a =，则60AM a =-，由古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ， 那么80(60)80r a r a -≥⎧⎨--≥⎩，解得1035a ≤≤. 由4tan tan 3AMH OCN ∠=∠=，可得3(60)5MH a =-，由(1)的解法二可得100AB =，所以33100(60)13655MN x x =+-=-+，故MN 即圆的半径的最大值为130，当且仅当10a =时取得半径的最大值.综上可知，当10OM = m 时，圆形保护区的面积最大. （江苏兴化 顾卫）【考点】直线方程 (C)，直线与圆、圆与圆的位置关系 (B)，解三角形 (B)，建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.19. (本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(，其中e 是自然对数的底数. (1) 证明：)(x f 是R 上的偶函数；(2) 若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立. 试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.【解析】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基本知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力. 满分16分.(1) 因为对任意x ∈R ，都有()()()e e e e xx x x f x f x -----=+=+=，所以()f x 是R 上的偶函数.(2) 解法一（官方解答）：由条件知()()e e 1e 10,x x x m --+-≤-+∞在上恒成立. 令e (0)x t x =>，则1t >，所以21111111t m t t t t -≤-=--+-++-对于任意1t >成立.因为()()1111211311t t t t -++≥-⋅=--，所以1113111t t -≥--++-， 当且仅当2t =，即ln2x =时等号成立.因此实数m 的取值范围是1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.解法二：考虑不等式两边同乘x e ，则不等式转化为2[(e )1]1(1)e x x m m +≤+-在(0,)+∞上恒成立. 令e (1)x t t =>，则问题可简化为：2(1)10mt m t m +-+-≤在()1,t ∈+∞上恒成立. 构造函数2()(1)1g t mt m t m =+-+-，由图象易得当0m ≥时不符合题意. 当0m <时，11,2(1)0.m m g -⎧≤⎪⎨⎪<⎩或11,21()0.2m m m g m-⎧≥⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩解得13m ≤-.综上可知，实数m 的取值范围为1(,]3-∞-. （江苏苏州 陈海锋）(3) 令函数()()31e 3e x x g x a x x =+--+，则()()21e 31e x x g x a x '=-+-.当1x ≥时，1e 0ex x ->，210x -≥，又0a >，故()0g x '>，所以()g x 是[)1,+∞上的单调增函数，因此()g x 在[)1,+∞上的最小值是()11e e 2g a -=+-.由于存在[)01,x ∈+∞，使0030e e (3)0x x a x x -+--+<成立，当且仅当最小值()10g <， 故1e e 20a -+-<，即1e e 2a -+>.令函数()(e 1)ln 1h x x x =---，则()e 11h x x-'=-，令()0h x '=，得e 1x =-. 当()0,e 1x ∈-时，()0h x '<，故()h x 是()0,e 1-上的单调减函数. 当()e 1,x ∈-+∞时，()0h x '>，故()h x 是()e 1,-+∞上的单调增函数. 所以()h x 在()0,+∞上的最小值时()e 1h -.注意到()()1e 0h h ==，所以当()()1,e 10,e 1x ∈-⊆-时，()()()e 110h h x h -≤<=. 当()()e 1,e e 1,x ∈-⊆-+∞时，()()e 0h x h <=，所以()0h x <对任意的()1,e x ∈成立. ①当()1e e ,e 1,e 2a -⎛⎫+∈⊆⎪⎝⎭时，()0h a <，即()1e 1ln a a -<-，从而1e 1e a a --<； ②当e a =时，1e 1e a a --=；③当()e,(e 1,)a ∈+∞⊆-+∞时，()()e 0h a h >=，即()1e 1ln a a ->-，故1e 1e a a -->.综上所述，当1e e ,e 2a -⎛⎫+∈⎪⎝⎭时，1e 1e a a --<，当e a =时，1e 1e a a --=，当()e,a ∈+∞时，1e 1e a a -->. (3)的民间思路：难题分解1：如何根据条件求出参数a 的取值范围？ 分解路径1：直接求函数的最值.解：令30000()()(3)g x f x a x x =--+，只要在0[1,)x ∈+∞上，0min ()0g x <即可. 002200()1'()3(1)x x e g x a x e-=+-. 当01x =时，0'()0g x =.； 当01x >时，2010x ->，02()10x e ->，则0'()0g x >.故在区间[1,)+∞上，0'()0g x ≥，即函数0()g x 为[1,)+∞的增函数，则1min 0()(1)20g x g e e a -==+-<，解得12e e a -+>.（江苏苏州 何睦）分解路径2：参数分离可以吗？解：欲使条件满足，则)03x ⎡∈⎣，此时3030x x -+>，则0300()3f x a x x >-+， 构造函数00300()()3f x g x x x =-+，即求此函数在03x ⎡∈⎣上的最小值. 0003200003200()(3)()(33)()(3)o x x x x e e x x e e x g x x x ----+-+-+'=-+. 因为03x ⎡∈⎣，000032000,30,0,330x x x x e e x x e e x --->-+>+>-+<， 则000032000()(3)()(33)0x x x x e e x x e e x ----+-+-+>. 则0()0g x '>在03x ⎡∈⎣上恒成立，故10min()(1)2e e g x g -+==， 故12e e a -+>（江苏苏州 何睦）难题分解2：如何根据求得的参数a 的取值范围比较1e -a 与1e -a 的大小？ 分解路径1：（取对数）1-a e 与1-e a 均为正数，同取自然底数的对数， 即比较(1)ln a e -与(1)ln e a -的大小，即比较ln 1e e -与ln 1aa -的大小. 构造函数ln ()(1)1xh x x x =>-，则211ln ()(1)x x h x x --'=-， 再设1()1ln m x x x =--，21()xm x x-'=，从而()m x 在(1,)+∞上单调递减， 此时()(1)0m x m <=，故()0h x '<在(1,)+∞上恒成立，则ln ()1xh x x =-在(1,)+∞上单调递减.当12e e a e -+<<时，11e a a e -->；当a e =时，11a e e a --=；当a e >时，11e a a e --<.（江苏苏州 何睦） 分解路径2：（变同底，构造函数比大小） 要比较1ea -与e 1a-的大小，由于e 1(1)ln e aae--=，那么1[(1)ln (1)]1e e a a a a e e-----=，故只要比较1a -与(1)ln e a -的大小.令()(1)ln (1)h x e x x =---，那么1'()1e h x x-=-. 当1x e >-时，'()0h x <；当01x e <<-时，'()0h x >.所以在区间(0,1)e -上，()h x 为增函数；在区间(1,)e -+∞上，()h x 为减函数.又()0h e =，(1)0h =，则(1)0h e ->，1()02e e h -+>；那么当12e e a e -+<<时，()0h a >，()1h a e >，11e a a e -->；a e >当a e ≥时，()0h a ≤，()01h a e <≤，11e a a e --≤.综上所述，当12e e a e -+<<时，11e a a e -->；当a e =时，11a e e a --=；当时，11e a a e --<. （江苏苏州 王耀）【考点】函数的基本性质 (B)，利用导数研究函数的单调性与极值 (B)，综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.20. (本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.(1) 若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *)，证明：}{n a 是“H 数列”；(2) 设}{n a 是等差数列，其首项11=a ，公差0<d . 若}{n a 是“H 数列”，求d 的值； (3) 证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a += (∈n N *)成立.【解析】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力. 满分16分.(1) 证明：由已知，当1n ≥时，111222n n n n n n a S S +++=-=-=，于是对任意的正整数n ，总存在正整数1m n =+，使得2n n m S a ==，所以{}n a 是“H 数列”.(2) 解法一（官方解答）：由已知，得2122S a d d =+=+，因为{}n a 是“H 数列”，所以存在正整 数m ，使得2m S a =，即()211d m d +=+-，于是()21m d -=.因为0d <，所以20m -<，故1m =，从而1d =-. 当1d =-时，2n a n =-，()32n n n S -=是小于2的整数，*n ∈Ν.于是对任意的正整数n ，总存在正整数()3222n n n m S -=-=-，使得2n m S m a =-=，所以{}n a 是“H 数列”，因此d 的值为1-.解法二：由{}n a 是首项为1的等差数列，则1(1)m a m d =+-，22n n n S n d -=+，又数列是“H 数列”，不妨取2n =时，存在满足条件的正整数m ，使得1(1)2m d d +-=+，即(2)1m d -=，（i ）当3m ≥时，此时0d >，不符合题意，应舍去； （ii ）当2m =时，不存在满足条件的d ；（iii ）当1m =时，1d =-. 此时数列{}n a 的通项公式为2n a n =-， 下面我们一起来验证{}n a 为“H 数列”:2n a n =-；232n n n S -=，此时2432n n m -+=，容易验证m 为正整数. （江苏苏州 何睦） 解法三：由题意设1(1)m a m d =+-；又等差数列{}n a 的前n 项和22n n nS n d -=+；由题意知对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，21(1)2n nm d n d -+-=+（*）；那么m 随着n 的变化而变化，可设满足函数关系式()m f n =.又0d <，那么要使（*）对任意自然数n 恒成立，则21()2m f n n Bn C ==++；代入得：221(1)(1)222d n n d Bnd d Cd n d ++-+=-+，即有1210d Bd d Cd ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩； 又当1n =时，1m n ==，即112B C ++=，由此可以解得3,22B C =-=,1d =-. 此时2n a n =-. （江苏苏州 王耀）解法四：,n m n N S a ∀∈=，所以1(2)n m S a n '-=≥，由题意得1n n S S -≤，所以m m a a '≤，即m m '≥. 对于任意的n ，存在,m m '使得n m m a a a '=-， 即1(1)1(1)[1(1)]n d m d m d '+-=+-=+-， 化简可得11n m m d'=--+.（*） 当1d <-时，此时1d不是整数，此时（*）式不满足； 当10d -<<时，此时11d ->，而0m m '-≥，所以113n m m d'=--+≥恒成立，不对n N ∀∈恒成立，所以1d =-. （江苏兴化 顾卫）解法五：由}{n a 是首项为1的等差数列，且数列}{n a 是“H 数列”，则2221S a a =+>，又0d <，所以22111S a a =+==，则20a =，从而211d a a =-=-，此时2n a n =-，21322n S n n =-+，由n m S a =得，2342n n m -+=为正整数，从而数列}{n a 是“H 数列”.（江苏常州 封中华） (3) 解法一（官方解答）：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()()()*11111()n a a n d na n d a n =+-=+--∈Ν. 令()()11,1n n b na c n d a ==--，则*()n n n a b c n =+∈Ν. 下证{}n b 是“H 数列”.设{}n b 的前n 项和为n T ，则()()*112n n n T a n +=∈Ν， 于是对任意的正整数n ，总存在正整数()12n n m +=，使得n m T b =，所以{}n b 是“H 数列”. 同理可证{}n c 也是“H 数列”.所以，对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列” {}n b 和{}n c ，使得*()n n n a b c n =+∈Ν成立.解法二：由(2)的解答过程可知：等差数列{}n b 中若111b d =-时, {}n b 是“H 数列”， 则1111(1)2n b b n d b b n =+-=-. 同理等差数列{}n c 中若121c d =时，{}n c 是“H 数列”，121(1)n c c n d c n =+-=. 任意的等差数列{}n a ，则可表示为n a An B =+. 令11b c A -+=，12b B =，此时12B b =，12B c A =+.所以对任意的等差数列{}n a ，总存在两个等差“H 数列”{}n b 和{}n c ， 使得*()n n n a b c n N =+∈成立.【考点】数列的概念 (A)、等差数列 (C)，探究能力及推理论证能力.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠ OCB ＝∠ D ．【解析】本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力. 本小题满分10分.证明：因为,B C 是圆O 上的两点，所以OB OC =. 故OCB B ∠=∠.又因为,C D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故,B D ∠∠为同弧所对的两个圆心角， 所以B D ∠=∠. 因此OCB D ∠=∠.B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x ，y 为实数．若=A αB α，求x ＋y 的值． 【解析】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力. 本小题满分10分.解：由已知，得1222212y x y xy --+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦A α，1122214y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦B α. 因为=A αB α，所以22224y y xy y -++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦，故222,24,y y xy y -+=+⎧⎨+=-⎩ 解得1,24.x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以72x y +=.(第21—A 题)C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程21,2)(2;x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，直线l 与抛物线24y x=相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．【解析】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力. 本小题满分10分.解法一（官方解答）：将直线l 的参数方程21,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入抛物线方程24y x =， 得222(2)4(1)22+=-. 解得120,2t t ==-所以1282AB t t =-=解法二：将直线l 的参数方程化为直角坐标方程为3x y +=，联立方程组23,4x y y x +=⎧⎨=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，或97.x y =⎧⎨=-⎩，即交点,A B 分别为()1,2和()9,6-，所以22(19)(26)8 2.AB =-++= （江苏镇江 陈桂明） 解法三：将直线l 的参数方程化为直角坐标方程为3x y +=，联立方程组23,4,x y y x +=⎧⎨=⎩ 消去y 有21090x x -+=，则121210,9x x x x +==.所以2212121()411100368 2.AB k x x x x =++-+-=（江苏镇江 陈桂明）D ．[选修4—4：不等式证明选讲]（本小题满分10分） 已知x ＞0，y ＞0，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥．【解析】本小题主要考查算术－几何平均不等式,考查推理论证能力.本小题满分10分.证明：因为0,0x y >>，所以223130x y xy ++≥， 故222233(1)(1)339x y x y xy x y xy ++++≥.【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. (本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． (1) 从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2) 从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1、x 2、x 3， 随机变量X 表示x 1、x 2、x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X )．【解析】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力. 满分10分.解：(1) 取出的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以222432296315.3618C C C P C ++++=== (2) 随机变量X 的所有可能的取值为2,3,4.{}4X =表示的随机事件是取到的4个球是4个红球，故44491(4)126C P X C ===；{}3X =表示的随机事件是取到的4个球是3个红球和1个其它颜色的球，或3个黄球和1个其它颜色的球，故313145364913(3)63C C C C P X C +===；于是13111(2)1(3)(4)1.6312614P X P X P X ==-=-==--= 所以随机变量X 的概率分布如下表：X 2 3 4 P111413631126因此随机变量X 的数学期望120()234.14631269E X =⨯+⨯+⨯=23. (本小题满分10分)已知函数sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 是1()n f x -的导数，n ∈*N ． (1) 求12πππ2()()222f f +的值；(2) 证明：对于任意n ∈*N ，等式1πππ2()()444n n nf f -+=都成立．【解析】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及应用数学归纳法的推理论证能力.(1) 解：由已知102sin cos sin ()()()x x x f x f x x x x''===-， 故21223cos sin sin 2cos 2sin ()()()x x x x x f x f x x x x x x '⎛⎫''==-=--+ ⎪⎝⎭，所以12234216(),()22f f πππππ=-=-+，即122f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2122f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2) 证明一（官方解法）：由已知得：0()sin xf x x =，等式两边分别对x 求导：00()()cos f x xf x x '+=， 即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得：122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+，2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+， 344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n *∈Ν都成立. (ⅰ) 当1n =时，由上可知等式成立；(ⅱ) 假设当n k =时等式成立，即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+. 因为[]111()()()()()(1)()()k k k k k k k kf x xf x kf x f x kf x k f x xf x --+'''+=++=++， (1)sin()cos()()sin 2222k k k k x x x x ππππ'+⎡⎤⎡⎤'+=++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以1(1)(1)()()sin 2k k k k f x xf x x π++⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦.因此当1n k =+时，等式成立.综合(ⅰ)，(ⅱ)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n *∈Ν都成立. 令4x π=，可得1()()sin()()44442n n n nf f x n πππππ*-+=+∈Ν.所以12)444n n nf f n πππ*-⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Ν. 解法二：令=)(x g n *1),()(N n x xf x nf n n ∈+-所以x x xf x f x g cos )()()(101=+=，又)()()()1()()()()(111x g x xf x f n x f x x f x f n x g n n n n n n n++-=++='++'=' 故ΛΛ,sin )(,cos )(,sin )()(4312x x g x x g x x g x g -=-=-='= 所以)()(4x g x g n n =+，即22)4(=πn g ，命题得证.（江苏南通陆王华）。
江苏省2014届一轮复习数学试题选编35：几何证明(教师版)
【答案】（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=300，∠DOC=600，
【答案】证明:(1)连 ,则 ,又 ,
所以△ABE∽△ADC,所以 .
∴
(2)连 ,∵ 是 的中点,∴ .
由(1),得 ,∴
．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）A.(几何证明选讲) 如图,已知 与圆 相切于点 ,直径 ,连接 交 于点
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求证: .
【答案】A.证明:(Ⅰ)解法一:
如图, 是⊙ 的直径, 是⊙ 上的两点, ⊥ ,
过点 作⊙ 的切线FD交 的延长线于点 .连结 交
于点 . 求证: .
【答案】选修4—1:几何证明选讲
证明:连结OF.
因为DF切⊙O于F,所以∠OFD=90°.
所以∠OFC+∠CFD=90°.
因为OC=OF,所以∠OCF=∠OFC.
因为CO⊥AB于O,所以∠OCF+∠CEO=90°.
【答案】【证明】连结OF．
因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．
所以∠OFC+∠CFD=90°．
因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．
因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．…………………………5分
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．
因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB·DA．所以DE2=DB·DA．………10分
2014届高三理科数学一轮复习试题选编31：几何证明(学生版)
实用文档2014届高三理科数学一轮复习试题选编31：几何证明一、选择题1 ．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是 Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B ．ACE ACP ∠=∠C ．2DE OE EP =⋅D ．2PC PA AB =⋅2 ．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））如图,AC AB ,分别与圆O 相切于点ADE C B ,,是⊙O 的割线,连接CE BE BD CD ,,,.则（ ）A ．DE AD AB ⋅=2 B ．CE AC DE CD ⋅=⋅ C ．CE BD CD BE ⋅=⋅ D ．CD BD AE AD ⋅=⋅3 ．（2012北京理）5.如图. ∠ACB=90º,CD ⊥AB 于点D,以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则（ ）E DABOC实用文档A ．CE·CB=AD·DB B ．CE·CB=AD·ABC ．AD·AB=CD ²D ．CE·EB=CD ²4 ．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）如图,直线AM 与圆相切于点M, ABC 与ADE是圆的两条割线,且BD⊥AD,连接MD ．EC ．则下面结论中,错误．．的结论是（ ）A ．∠ECA = 90oB ．∠CEM=∠DMA+∠DBAC ．AM 2 = AD·AED ．AD·DE= AB·BC5 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是（ ）A ．3B ．22C ．2D 26 ．（2011年高考（北京理））如图,,,AD AE BC 分别于圆O 切于点,,D E F ,延长AF 与圆O 交于点G ,给出下列三个结论:①AD AE AB BC CA +=++;ABCOP ECAB FD O •实用文档②AF AG AD AE ⋅=⋅; ③AFB ∆∽ADG ∆ 其中正确的结论的序号是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③7 ．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）如图,,,,A B C D 是⊙O 上的四个点,过点B 的切线与DC的延长线交于点E .若110BCD ︒∠=,则DBE ∠=（ ）A ．75︒B ．70︒C ．60︒D ．55︒二、填空题8 ．（2013届北京海滨一模理科）如图，AP 与O 切于点A ，交弦DB 的延长线于点P ，过点B 作圆O 的切线交AP 于点C . 若90ACB ∠=︒，3,4BC CP ==，则弦DB 的长为_______.D CB PA O9 ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）如图,已知⊙O 的弦AB 交半径OC 于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD 的长为______.实用文档10．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）如图，是圆O 的切线，切点为A ，D 点在圆内，DB 与圆相交于C ，若3BC DC ==，2=OD ，6AB =，则圆O 的半径为 .CA BOD11．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）如图，已知5AD =，8DB =，310AO =，则圆O 的半径OC 的长为 ．OEDCBA12．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P .若23aPD =，30OAP ∠=︒，则AB = ，CP = （用a 表示）. PBCDO实用文档13．（2013北京西城高三二模数学理科）如图,AB 是半圆O 的直径,P 在AB 的延长线上,PD 与半圆O相切于点C ,AD PD ⊥.若4PC =,2PB =,则CD =______.14．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））如图,已知PA 是圆O 的切线,切点为A ,PO交圆O 于,B C 两点,3,1PA PB ==,则____,____.AB ACB =∠=AB P CO15．（2013北京朝阳二模数学理科试题）如图,PC 切圆O 于点C ,割线PAB 经过圆心O ,4,8PC PB ==,则tan COP ∠=_________,△OBC 的面积是_________.16．（2013北京东城高三二模数学理科）如图,AB 为⊙O 的直径,AC 切⊙O 于点A ,且过点C 的割线CMN 交AB 的延长线于点D ,若CM MN ND ==,22AC =则CM =___,AD =___ .AB C DMNO17．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，实用文档3AC =，4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则BD = ；CD =______18．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点E F ,是AB延长线上一点,且BF AF CF DF 2,2===,若CE 与圆相切,且27=CE ,则=BE ________.19．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）如图,圆O 是ABC ∆的外接圆,过点C作圆O 的切线交BA 的延长线于点D .若CD =, 2AB AC ==,则线段AD 的长是_______;圆O 的半径是________.D20．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）如图，BC 是半径为2的圆O 的直径，点P 在BC 的延长线上，PA 是圆O 的切线，点A 在直径BC 上的射影是OC 的中点，则ABP ∠= ；PB PC ⋅= ．实用文档COPBA21．（2013届北京市延庆县一模数学理）如图所示，以直角三角形ABC 的直角边AC 为直径作⊙O ，交斜边AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交BC 边于点E .则=BCBE.22．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）如右图，从圆O 外一点P 引圆O 的割线PAB 和PCD ，PCD 过圆心O ，已知1,2,3PA AB PO ===，则圆O 的半径等于 ．23．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）如图,AB 切圆O 于点A ,AC 为圆O 的直径,BC 交圆O于点D ,E 为CD 的中点,且5,6,BD AC ==则CD =__________;AE =__________.（13题实用文档ODF E E D CBAO24．（2013届北京西城区一模理科）如图，已知AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PC 切圆O 于点C ，CD OP ⊥于D ．若6CD =，10CP =，则圆O 的半径长为______；BP =______．25．（2010年高考（北京理））如图,O 的弦ED ,CB的延长线交于点A ｡若BD ⊥AE ,AB =4, BC =2, AD =3,则DE =__________;CE =_________｡26．（2013届北京大兴区一模理科）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E （E 在A ,O之间），EFBC ,垂足为F ．若6AB ，5CF CB ，则AE 。
【创新设计】2014届高考数学(理)江苏专用一轮复习课件第十五章第1讲几何证明选择
[方法总结] (1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共 圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的 四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对 角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
【训练4】 如图所示，已知AP是⊙O的切线， P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、 C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC 的中点． (1)证明：A，P，O，M四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM的大小．
【助学·微博】 复习时仍以圆与三角形的综合为主，难度中等． (1)要掌握好基础知识，如相似三角形的判定与性质定理、 圆周角与弦切角定理、圆的内接四边形的判定与性质定理、 与圆有关的比例线段，这些定理是进行几何证明的依据． (2)高考试题多以圆为载体，和三角形、四边形相结合来 命题，这类试题往往要综合运用多个定理或添设一定的辅 助线才能解决，在解题时要注意总结一些添设辅助线的方 法技巧．
证明 如图，连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点， 所以OD∥AC， 于是∠ODB＝∠C. 因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B. 于是∠B＝∠C. 因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB 异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E ＝∠B.所以∠E＝∠C.
即 AE·BD＝AD·AB.
(8 分)
结合(1)的结论，AC＝AE.
(10 分)
[点评] 本题考查平面几何中的相似三角形知识及弦切角 知识，关键是要把握相似三角形的判定定理，分清各种情 况的符合条件，看两个三角形已经具备哪些条件，还差哪 个条件，再去考虑．
高考经典题组训练
1.(2012·江苏卷)如图，AB是圆O的直径，D， E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD 并延长至点C，使BD＝DC，连结AC， AE，DE. 求证：∠E＝∠C.
2014届一轮复习数学试题选编35几何证明(教师版)
【答案】A.选修4—1:几何证明选讲
证明:连结OC.设PAC=.
因为PC=AC,所以CPA=,COP= 2.
又因为PC与⊙O相切于点C,所以OCPC.
所以3= 90.所以= 30.
又设圆的半径为r,在Rt△POC中,
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以DF=DE.
因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB·DA.
所以DE2=DB·DA.
．（2009高考(江苏)）如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.
求证：AB∥CD.
【答案】[解析]本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力。满分10分。
所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。
（方法二）证明：连结OD、BD。
因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。
因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=900。
又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。
即2OB=OB+BC，得OB=BC。
(1)求证: ;
(2)若 的半径为 , ,求 长.
【答案】A.(1)连结ON.因为PN切⊙O于N,所以 ,
所以 .
因为 ,所以 .
因为 于O,所以 ,
所以 ,所以 .
所以
(2) , , .
因为 ,
所以
．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-1:几何证明选讲
如图,已知圆 ,圆 都经过点 , 是圆 的切线,圆 交 于点 ,连结 并延长交圆 于点 ,连结 .求证 .
2014届高考江苏专用(理)一轮复习第八章第6讲立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直
证明
如图建立空间直角坐标系A－xyz，
令AB＝AA1＝4， 则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，
B1(4,0,4)．
(1)取AB中点为N，连接CN， 则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)， → → ∴DE＝(－2,4,0)，NC＝(－2,4,0)，
→ → (2)依题意有 B(1,0,1)，CB＝(1,0,0)，BP＝(－1,2，－1)．
→ n· ＝0， CB 设 n＝(x，y，z)是平面 PBC 的法向量，则 → n· ＝0， BP
x＝0， 即 －x＋2y－z＝0.
因此可取 n＝(0，－1，－2)．
→ m· ＝0， BP 设 m 是平面 PBQ 的法向量，则 → m· ＝0. PQ
第6讲 立体几何中的向量方法(Ⅰ) ——证明平行与垂直
考点梳理
1．直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A，B 是直线 l → → 上任意两点，则称AB为直线 l 的方向向量，与AB平行
非零向量 的任意_________也是直线 l 的方向向量．
(2)平面的法向量：可利用方程组求出，设 a，b 是平面 α 内两不共线向量，n 为平面 α 的法向量，则求法向量
的中点．证明：
(1)AE⊥CD； (2)PD⊥平面ABE. 证明 AB、AD、AP两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝ AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．
(1)∵∠ABC＝60°，
△ABC为正三角形．
1 ∴C ， 2
1 3 3 1 ，0，E ， ， . 4 2 4 2
解
设平面 ABC 的法向量 n＝(x，y，z)．
高考真题几何证明选讲
2014年高考真题几何证明选讲1．[2014·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图11所示，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的周长△AEF 的周长＝________．图111．答案32．[2014·江苏卷] A ．[选修41：几何证明选讲]如图17所示，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠OCB ＝∠D .图17证明：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB ＝OC ， 所以∠OCB ＝∠B .又因为C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 所以∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B ＝∠D ，因此∠OCB ＝∠D .3．[2014·辽宁卷] 选修41：几何证明选讲图16如图16，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.3．证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA.又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PF A.因为AF⊥EP，所以∠PF A＝90°，所以∠BDA＝90°，故AB为圆的直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，所以∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.因为AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．所以ED为直径．又由(1)知AB为圆的直径，所以ED＝AB.4．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修41：几何证明选讲如图15，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.图154．证明：(1)连接AB，AC.由题设知P A＝PD，故∠P AD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠P AD＝∠BAD＋∠P AB，∠DCA＝∠P AB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得P A2＝PB·PC.因为P A＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.5．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－1：几何证明选讲如图15，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.图15(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．5．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故点O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．6．[2014·陕西卷]B.(几何证明选做题)如图13所示，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________．图136．37．[2014·天津卷] 如图11所示，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·F A；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是()A．①②B．③④C．①②③D．①②④7．D。
江苏省高三上册期末数学试题分类：选考选修4-1：几何证明【精选】.doc
一、几何证明选讲（一）试题细目表1.（南通泰州期末·21A ）如图，已知1O e 的半径为2，2O e 的半径为1，两圆外切于点T .点P 为1O e 上一点，PM 与2O e 切于点M .若3PM =，求PT 的长.【答案】延长PT 交2O e 与点C ，连结1O P ，2O C ，12O O ，则12O O 过点T ， 由切割线定理得：23PM PC PT =⨯=. 因为12O TP O TC ∠=∠，1O TP ∆与2O TC ∆均为等腰三角形，所以12O TP O TC ∆∆:，所以122PO PT TC CO ==， 所以23PT PC =，即32PC PT =.因为PC PT ⨯=332PT PT ⨯=，所以PT =2.（镇江期末·21）如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC ＝BD ，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ，延长CA 至F 。
求证：AE 是∠DAF 的角平分线。
【答案】证明：因为ABCD 是圆的内接四边形，所以∠DAE=∠BCD ，∠FAE=∠BAC=∠BDC. 因为BC=BD ．所以∠BCD=∠BDC, 所以∠DAE=∠FAE,所以AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线． 3.（常州期末·21A ）在ABC ∆中，N 是边AC 上一点，且2CN AN =，AB 与NBC ∆的外接圆相切，求BCBN的值． 【答案】解：记NBC ∆外接圆为圆O ，AB 、AC 分别是圆O 的切线和割线，所以2AB AN AC =⋅， 又A A ∠=∠，所以ABN ∆与ACB ∆相似，所以BC AB ACBN AN AB==，所以 23BC AB AC AC BN AN AB AN ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，3BC BN =． 4.（南京盐城期末·21A ）.如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．ABE DF O ·【答案】解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，①在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，②………………5分 由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠， 又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =， 即E 到直径AB 的距离为4.………………10分5.（苏州期末·21）如图，AB ，AC 与圆O 分别切于点B ，C ，点P 为圆O 上异于点B ，C 的任意一点，PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F . 求证：2PF PD PE =⋅.【答案】证明连PB ，PC ，因为,PCF PBD ∠∠分别为 同弧BP 上的圆周角和弦切角，所以PCF PBD ∠=∠. ································· 2分因为PD BD ⊥，PF FC ⊥， 所以△PDB ∽△PFC ，故PD PBPF PC=. ··············· 5分 同理，PBF PCE ∠=∠， 又PE EC ⊥，PF FB ⊥， 所以△PFB ∽△PEC ，故PF PBPE PC=. ······················································ 8分 ABE DF O ·第21(A)图DPFE O C B A所以PD PFPF PE=，即2PF PD PE =⋅. ······················································ 10分 6.（苏北四市期末·21）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅【答案】证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ， 所以AB ACAE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=．…………10分ABCDEF(第21－A 题)O. A BCDEF(第21－A 题)O. ABC DEF(第21－A 题)O.。
江苏省2014届高考数学(理)一轮复习限时规范训练_第十五章第1讲几何证明选讲
第十五章系列4选考部分第1讲 几何证明选讲分层训练A 级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：60分)1.(2012·镇江调研)如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ， 求∠BAC 的大小．(1)证明 由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD .因为∠AEB 与∠ACB 是同弧所对的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .(2)解 因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝AD AC ，即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝90°.2.(2011·江苏卷)如图，圆O 1与O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．证明 如图，连接AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D ，连接BD 、CE .∵圆O 1与圆O 2内切于点A ，∴点O 2在AD 上，故AD 、AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．从而∠ABD ＝∠ACE ＝90°.∴BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2，∴AB ∶AC 为定值． 3.如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F .求证：FD 2＝FB ·FC .证明 ∵E 是Rt △ACD 斜边AC 的中点，∴DE ＝EA ，∴∠A ＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A .∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠1＝90°＋∠1，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FDC ＝∠FBD .又∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ，∴FB FD ＝FD FC ，∴FD 2＝FB ·FC .4.(2012·苏州市调研(一))如图，在△ABC 中，CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆O 交BC 于点N .若AC ＝12AB ，求证：BN ＝2AM .证明 连结MN .因为CM 是∠ACB 的平分线，所以∠ACM ＝∠NCM ，所以AM ＝MN .因为∠B ＝∠B ，∠BMN ＝∠A ，所以△BMN ∽△BCA ，所以BN MN ＝AB AC ＝2，即BN ＝2MN ＝2AM .5.如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过点C 作⊙O 的切线，交BD 的延长线于点P ，交AD 的延长线于点E .(1)求证：AB 2＝DE ·BC ；(2)若BD ＝9，AB ＝6，BC ＝9，求切线PC 的长．(1)证明 ∵AD ∥BC ，∴AB ︵＝CD ︵.∴AB ＝CD ，∠EDC ＝∠BCD .又PC 与⊙O 相切，∴∠ECD ＝∠DBC .∴△CDE ∽△BCD .∴DC BC ＝DE DC .∴CD 2＝DE ·BC ，即AB 2＝DE ·BC .(2)解 由(1)知，DE ＝AB 2BC ＝629＝4，∵AD ∥BC ，∴△PDE ∽△PBC ，∴PD PB ＝DE BC ＝49.又∵PB －PD ＝9，∴PD ＝365，PB ＝815.∴PC 2＝PD ·PB ＝365·815＝54252.∴PC ＝545. 6.如图所示，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，过A 点作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .(1)求证：AD ∥EC ；(2)若AD 是⊙O 2的切线，且P A ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长．(1)证明 连接AB ，如图所示∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D .又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E .∴AD ∥EC .(2)解 设BP ＝x ，PE ＝y ，∵P A ＝6，PC ＝2，∴xy ＝12. ① ∵根据(1)，可得△ADP ∽△CEP ，∴DP EP ＝AP CP ，即9＋x y ＝62， ②由①②，可得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝－1(负值舍去)， ∴DE ＝9＋x ＋y ＝16.∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16.∴AD ＝12.分层训练B 级 创新能力提升1.(2012·常州市期末考试)如图，圆O 是△ABC 的外接圆，延长BC 边上的高AD 交圆O 于点E ，H 为△ABC 的垂心．求证：DH ＝DE .证明 连结CE ，CH .因为H 为△ABC 的垂心，所以∠ECD＝∠BAD ＝90°－∠ABC ，∠HCD ＝90°－∠ABC ，所以∠ECD ＝∠HCD .又因为CD ⊥HE ，CD 为公共边，所以△HDC ≌△EDC ，所以DH ＝DE .2.(2012·泰州调研一)已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC的外接圆于点F ，连接FB 、FC .(1)求证：FB ＝FC ；(2)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝33，求AD 的长．(1)证明 ∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC .∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC .∵∠EAD ＝∠F AB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC .(2)解 ∵AB 是圆的直径，∴∠ACD ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠D ＝30°.在Rt △ACB 中，∵BC ＝33，∠BAC ＝60°，∴AC ＝3，又在Rt △ACD 中，∠D ＝30°，AC ＝3，∴AD ＝6.3.(2013·宿迁联考)如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过点N的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝P A·PC；(2)若⊙O的半径为23，OA＝3OM，求MN的长．(1)证明连结ON.因为PN切⊙O于N，所以∠ONP＝90°.所以∠ONB＋∠BNP＝90°.因为OB＝ON，所以∠OBN＝∠ONB.因为BO⊥AC于O，所以∠OBN＋∠BMO＝90°.所以∠BNP＝∠BMO＝∠PMN.所以PM＝PN.所以PM2＝PN2＝P A·PC.(2)解OM＝2，BO＝23，BM＝4.因为BM·MN＝CM·MA＝(23＋2)(23－2)＝8，所以MN＝2.4. 如图，已知C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.(1)求证：点F是BD的中点；(2)求证：CG是⊙O的切线；(3)若FB＝FE＝2，求⊙O的半径．(1)证明∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF.∴EHBF＝AEAF＝CEFD.∵HE＝EC，∴BF＝FD.即点F是BD的中点．(2)证明连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∵F是BD的中点，∴∠CBF＝∠FCB.∵∠CBF＝∠BAC，∠BAC＝∠ACO，∴∠FCB＝∠ACO.∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠BCF＋∠OCB＝90°.∴∠OCF＝90°.∴CG是⊙O的切线．(3)解由FC＝FB＝FE，得∠FCE＝∠FEC.∵∠G＋∠GCH＝90°，∠F AG＋∠FEC＝90°，∴∠F AG＝∠G.∴F A＝FG，∵FB⊥AG，∴AB＝BG.由切割线定理，得(2＋FG)2＝BG·AG＝2BG2.①在Rt△BGF中，由勾股定理，得BG2＝FG2－BF2.②由①②，得FG2－4FG－12＝0.解得FG＝6或FG＝－2(舍去)．∴AB＝BG＝4 2.∴⊙O的半径为2 2.5.(2013·南京模拟)如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，点P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD ⊥l，垂足分别为C、D，且PC＝PD，求证：(1)l是⊙O的切线；(2)PB平分∠ABD.证明如图(1)连结OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD.又OA＝OB，PC＝PD，所以OP∥BD.从而OP⊥l.因为点P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．(2)连结AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD＝∠BAP.又∠BPD＋∠PBD＝90°，∠BAP＋∠PBA＝90°，所以∠PBA＝∠PBD，即PB平分∠ABD.6.(2012·常州一中期中)如图，从圆O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，求证：O、C、P、D四点共圆．证明∵P A、PB为圆O的两条切线，∴OP垂直平分弦AB，∴AM＝BM.在Rt△OAP中，OM·MP＝AM2，在圆O中，AM·BM＝CM·DM，∴OM·MP＝CM·DM，又弦CD不过圆心O，∴O、C、P、D四点共圆.。
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如图,圆 的直径 , 为圆周上一点, ,过 作圆的切线,过 作直线的垂线 , 为垂足, 与圆 交于点 ,求线段 的长.
．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）A.[选修4-1:几何证明选讲]如图, 的半径 垂直于直径 , 为 上一点, 的延长线交 于点 ,过 点的切线交 的延长线于点 .
所以DE2=DB·DA.
3.[解析]本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力。满分10分。
证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。
3.A.证明:设F为AD延长线上一点,
又∠CDE=∠P+∠PFD,∠AOC=∠P+∠OCP,
从而∠PFD=∠OCP在△PDF与△POC中,∠P=∠P,∠PFD=∠OCP,
故△PDF∽△POC
3.A、解:连结 ,则 .
∵ ,∴ ,即 为正三角形,
∴
又直线切⊙ 与 ,∴ ,
∵ ,∴
而 ,∴
在Rt△BAE中,∠EBA=30°,∴
3.A.(1)连结ON.因为PN切⊙O于N,所以 ,
如图,CP是圆O的切线,P为切点,直线CO交圆O于A,B两点,AD⊥CP,垂足为D.
求证:∠DAP=∠BAP.
．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）[选修4—1 :几何证明选讲]如图, 是⊙ 的一条切线,切点为 直线 , 都是⊙ 的割线,已知 求证:
．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）(选修4-1几何证明选讲)
过点 作⊙ 的切线FD交 的延长线于点 .连结 交
于点 .求证: .
．（2009高考(江苏)）如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.
求证：AB∥CD.
．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）
．（2011年高考（江苏卷））选修4-1:几何证明选讲如图,圆 与圆 内切于点A,其半径分别为 与 ,
填空题
1.
解答题
2.
3.
3.选修4—1:几何证明选讲
证明:连结OF.
因为DF切⊙O于F,所以∠OFD=90°.
所以∠OFC+∠CFD=90°.
因为OC=OF,所以∠∠OFC.
因为CO⊥AB于O,所以∠OCF+∠CEO=90°.
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以DF=DE.
因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB·DA.
(1)求证: ;
(2)若 的半径为 , ,求 长.
．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-1:几何证明选讲
如图,已知圆 ,圆 都经过点 , 是圆 的切线,圆 交 于点 ,连结 并延长交圆 于点 ,连结 .求证 .
．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）选修4—1:几何证明选讲
所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。
（方法二）证明：连结OD、BD。
因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。
因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=900。
又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。
即2OB=OB+BC，得OB=BC。
从而 ,所以BD∥CE.
于是 .
所以 为定值.
3.A证明:连结EF.∵ 四点共圆,∴ .∵ ∥ ,∴ 180°.
∴ 180°.∴ 四点共圆.
∵ 交 于点G,∴
3.证明:(1)连 ,则 ,又 ,
所以△ABE∽△ADC,所以 .
∴
(2)连 ,∵ 是 的中点,∴ .
由(1),得 ,∴
3.A.证明:(Ⅰ)解法一:
如图,设直线切⊙O于点 ,AB为⊙O的任一条不与垂直的直径, , ,垂足分别为点 , .求证: ,且 平分 .
．（2013江苏高考数学）A.[选修4-1:几何证明选讲]本小题满分10分.
如图, 和 分别与圆 相切于点 , 经过圆心 ,且
求证:
江苏省2014届一轮复习数学试题选编35：几何证明（学生版）参考答案
所以
3.
3.本题主要考察切线的有关相似三角形的判定与性质,考察推理论证能力.
证明:连接OD,∵AB与BC分别与圆O相切于点D与C
∴ ,又∵
∴ ~
∴ 又∵BC=2OC=2OD∴AC=2AD
∵PA与圆O相切于点A,∴
∵BC是圆O的直径,∴
∴ ∵ ,∴
又∵ ∴
∴PA=PD
解法二:
连接OA
3.【证明】连结OF．
因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．
所以∠OFC+∠CFD=90°．
因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．
因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．…………………………5分
∵ 是圆 的直径,∴ (直径所对的圆周角是直角).
∴ (垂直的定义).
又∵ ,∴ 是线段 的中垂线(线段的中垂线定义).
∴ (线段中垂线上的点到线段两端的距离相等).
∴ (等腰三角形等边对等角的性质).
又∵ 为圆上位于 异侧的两点,
∴ (同弧所对圆周角相等).
∴ (等量代换).
3.A.选修4—1:几何证明选讲
求证： .
．（2010年高考（江苏））AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,过点D作⊙O的切线交AB延长线于C,若DA=DC,求证AB=2BC
．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4-1几何证明选讲)
如图,已知 是⊙O的一条弦, 是⊙O上任意一点,过点 作⊙O的切线交直线 于点 , 为⊙O上一点,且 .
故AB=2BC。
3.
3.A.选修4—1:几何证明选讲
证明:连结OC.设PAC=.
因为PC=AC,所以CPA=,COP= 2.
又因为PC与⊙O相切于点C,所以OCPC.
所以3= 90.所以= 30.
又设圆的半径为r,在Rt△POC中,
r=CP·tAn30= 1× =
3.证明:因为 , 为圆 的两条切线,所以 垂直平分弦 ,
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．
因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB·DA．所以DE2=DB·DA．………10分
3.（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=300，∠DOC=600，
证明:因为CP与圆O相切,所以∠DPA=∠PBA
因为AB为圆O直径,所以∠APB=90°,
所以∠BAP=90°-∠PBA
因为AD⊥CP,所以∠DAP=90°-∠DPA,
所以∠DAP=∠BAP
3.A.因为 为切线, 为割线,所以 ,
又因为 ,所以
所以 ,又因为 ,所以 ∽ ,
所以 ,又因为 ,所以 ,
∵A、B、C、D四点共圆,
∴ABC=CDF,
又AB=AC,∴ABC=ACB,
且ADB=ACB,∴ADB=CDF,
对顶角EDF=ADB,故EDF=CDF,
即AD的延长线平分CDF
3.【命题立意】本小题主要考查两圆内切、相似比等基础知识,考查推理论证能力.
【解析】连结 ,并延长分别交两圆与点E和点D.连结BD,CE.因为圆 与圆 内切于点A,所以点 在AD上.故AD,AE分别为圆 ,圆 的直径.
圆 的弦AB交圆 于点C( 不在AB上)
求证: 为定值.
．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）[选修4 - 1:几何证明选讲]如图,在梯形 中, ∥BC,点 , 分别在边 , 上,设 与 相交于点 ,若 , , , 四点共圆,求证: .
．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）选修4-1:几何证明选讲
江苏省2014届一轮复习数学试题选编35：几何证明（学生版）
填空题
．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学））如图,已知正方形ABCD的边长为1,过正方形中心O的直线MN分别交正方形的边AB,CD于点M,N,则当 取最小值时,CN=______.
解答题
．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）选修4-1:几何证明选讲如图,AB是圆O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交圆O于点D,DE⊥AC且交AC的延长线于点E.
所以 .
因为 ,所以 .
因为 于O,所以 ,
所以 ,所以 .
所以
(2) , , .
因为 ,
所以
3.
A.由已知, ,因为 ,
, ,
所以 , ,
因为 ,所以 ,
所以
延长 交 于点 ,连结 ,则 , ,
所以 ,所以 ,所以 ∽ ,
所以 ,所以 ,因为 ,
所以
3.选修4—1:几何证明选讲
证明如图,延长PO交⊙O于D,连结AO,BO.AB交OP于点E.
如图,△ABC是⊙O的内接三角形,若AD是△ABC的高,AE是⊙O的直径,F是 的中点.求证:
(1) ; (2) .
．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）A.(几何证明选讲)如图,已知 与圆 相切于点 ,直径 ,连接 交 于点
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求证: .
．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）如图， 是⊙ 的直径， 是⊙ 上的两点， ⊥ ，过点 作⊙ 的切线FD交 的延长线于点 ．连结 交 于点 .