立体几何证明方法——证线面垂直 ppt

合集下载

高中数学人教A版必修第二册《空间直线、平面的垂直---直线与平面、平面与平面垂直的性质》名师课件

高中数学人教A版必修第二册《空间直线、平面的垂直---直线与平面、平面与平面垂直的性质》名师课件
掌握平面与平面垂直的性质定理.
核心素养
逻辑推理
逻辑推理
学习目标
课程目标
1.理解直线和平面、平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.
2.通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力.
数学学科素养
1.逻辑推理:探究归纳直线和平面、平面和平面垂直的性质定理,线线垂直、线面垂直、
变式训练
3.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB=60°,G为AD边
的中点,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.
证明
(1)因为在菱形ABCD中,G为AD的中点, ∠DAB=60° ,所以BG⊥AD.
复习引入
直线与平面垂直的定义:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直
线与平面互相垂直,记作 ⊥ .
直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直.
复习引入
平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.
求证:(1)DE=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明
(1)如图,取EC的中点F,连接DF.
因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EC⊥BC.
易知DF//BC,所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中

因为EF= EC,EC=2BD,所以EF=BD.

又FD=BC=AB所以Rt△EFD≌Rt△DBA ,故DE=DA.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BG⊥平面PAD.

直线、平面垂直的判定及性质课件

直线、平面垂直的判定及性质课件

⇒l⊥α
解 题 训




直线、平面垂直的判定及性质
3.直线与平面垂直的性质定理

文字语言 图形语言
础 知 识 要 打 牢
性 垂直于同一个
质 平面的两条直
定 线_平__行__



如果两条平行线中的
考 点
推 一条垂直于一个平面,
要 通
论 那么另一条直线也

该平垂面直
符号语言


a_⊥___α__
直线、平面垂直的判定及性质
基 2.直线与平面垂直的判定定理





识 要
文字语言
图形语言 符号语言
碍 要
打 判 一条直线与一个平面

定 内的两条相交直线都
高 定 垂直,则该直线与此

考 理 平面垂直
点 要 通 关
_a_,__b_⊂__α

__a_∩_b_=__O__

_l_⊥__a_ _l_⊥__b_
进行平移,将其转为相交垂直














直线、平面垂直的判定及性质





证明直线和平面垂直的常用方法有:




(1)利用判定定理.

打 牢
(2)利用线面垂直性质定理的推论(a∥b,a⊥α⇒b⊥α).
破 除
(3)利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β).

高一数学ppt课件 空间向量与立体几何课件4

高一数学ppt课件 空间向量与立体几何课件4

→ → 所以BD=(-3a,3b,0),EA=(0,-3b,-3c).
→ 1→ → 1→ 因为BM=3BD=(-a,b,0),NA=3EA=(0,-b,-c), → → → → 所以NM=NA+AB+BM
=(0,-b,-c)+(3a,0,0)+(-a,b,0)=(2a,0,-c).
→ 又平面 CDE 的一个法向量是AD=(0,3b,0), → → 由NM· AD=(2a,0,-c)· (0,3b,0)=0, → → 得到NM⊥AD.
AB=5,
∴AC、BC、C1C两两垂直.
如图,以C为坐标原点,CA、CB、CC1所在直线 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),
→ → ∵AC=(-3,0,0),BC1=(0,-4,4),
→ → → → ∴AC· BC1=0.∴AC⊥BC1,即 AC⊥BC1.
1 3 1 → → ∴MN=(-4, 4 ,4),AB1=(1,0,1),
1 1 → → ∴MN· AB1=-4+0+4=0.
→ → ∴MN⊥AB1,∴AB1⊥MN.
要点二 利用空间向量证明平行关系
例 2 如图所示,已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直,点 M,N 分别在对角线 BD, 1 1 AE 上,且 BM=3BD,AN=3AE.求证:MN∥平面 CDE.
c2),则l∥m⇔a∥b⇔
.
⇔ a=kb
a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2,
k∈R
(2)线面平行 设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α的法向量为u= (a2,b2,c2),则l∥α⇔a⊥u⇔ ⇔ . a· u=0 a1a2+b1b2+c1c2=0 (3)面面平行 设平面 α , β 的法向量分别为 u = (a1 , b1 , c1) , v = (a2 , b2 , c2),则α∥β⇔u∥v⇔ ⇔ u=kv a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2,

课件3:线面、面面垂直的判定与性质

课件3:线面、面面垂直的判定与性质

提示:(1)假命题,真命题.
(2)垂直.
第七章 第5讲
第12页
高三一轮总复习 ·新课标 ·数学
抓住2个必备考点 突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
考点 2 平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的判定定理
限时规范特训
第七章 第5讲
第13页
高三一轮总复习 ·新课标 ·数学
抓住2个必备考点 突破3个热点考向
B. 若 m∥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n
C. 若 α⊥β,m⊥α,则 m∥β
D. 若 α∥β,m⊄β,m∥α,则 m∥β
第七章 第5讲
第21页
高三一轮总复习 ·新课标 ·数学
抓住2个必备考点 突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
解析:对于 A,若 α⊥β,β⊥γ,则 α 与 γ 可以平行,也可以
第七章 第5讲
第6页
高三一轮总复习 ·新课标 ·数学
抓住2个必备考点 突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
(3)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第 三个平面.
第七章 第5讲
第7页
高三一轮总复习 ·新课标 ·数学
抓住2个必备考点 突破3个热点考向
破译5类高考密码
都和另一个平面垂直吗?
(3)如果两个平面都和第三个平面垂直,那么这两个平面平行
吗?
提示:(1)垂直 (2)不一定 (3)不一定
第七章 第5讲
第15页
高三一轮总复习 ·新课标 ·数学
抓住2个必备考点 突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟

67.立体几何讲义2:垂直问题 课件-广东省惠来县第一中学2021届高三数学一轮复习

67.立体几何讲义2:垂直问题 课件-广东省惠来县第一中学2021届高三数学一轮复习
思考:在问题10的等 腰梯形ABCD中,我们 找到了怎样的直角。
第四方面:基于代数运算下的垂直关系 ★基于代数运算下的垂直关系,经常涉及勾股 定理和余弦定理的运用。
第四方面:基于代数运算下的垂直关系
题目问题111:1:如图,在直三棱柱
ABC
A1B1C1
中,ACB
90
,AC
BC
1 2
AA1
1
,D

第二方面:基于菱形(正方形)的垂直关系+基于矩形(正方形)的垂直关系
第二方面:基于菱形(正方形)的垂直关系+基于矩形(正方形)的垂直关系
题目3:(选自2013年全国高考文科Ⅰ卷) 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1, ∠BAA1=60°, 证明:AB⊥A1C。
第二方面:基于菱形(正方形)的垂直关系+基于矩形(正方形)的垂直关系
7.全等三角形(相似三角形) 8.余弦定理
题目探讨:
第一方面:等腰三角形折叠模型+基于筝形的垂直关系
五、问题探讨:
第一方面:等腰三角形折叠模型+基于筝形的垂直关系 1.有着共底边的两个等腰三角形构成的立体图形,两个顶点的连线一定垂直于底边; 2.筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形,也可以说是两组邻边相等的四边形,它的形状就像一个风 筝,基于筝形可以设计许多垂直问题。
题目1:
D
C
E
B A
第一方面:等腰三角形折叠模型+基于筝形的垂直关系
题目2:
第二方面:基于菱形(正方形)的垂直关系+基于矩形(正方形)的垂直关系
第二方面:基于菱形(正方形)的垂直关系+基于矩形(正方形)的垂直关系

北师大版必修第二册第六章立体几何初步专题课:平面与平面垂直的证明技法课件

北师大版必修第二册第六章立体几何初步专题课:平面与平面垂直的证明技法课件
直:即在一个面内找一条线与另一个面垂直
证明:取BC的中点D,连接AD,SD。由题意知
, 为等边三角形,所以 = ,易证 ⊥

因为 ∆是等腰直角三角形,所以 =SD,可得
2
2
2
2
2
2
+ = + = = 。
在 ∆中,由勾股定理的逆定理知 ⊥SD.由 ∩
B.垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C.两个平面与第三个平面垂直,则这两个平面互相平行
D.两个平行平面中的一个平面与第三个平面垂直,则另一
个平面也与第三个平面垂直
分析:本题主要考查空间直线与直线,直线与平
面,平面与平面的位置关系。
解:对于A,平行于同一个平面的两条直线可能
的位置关系有相交、异面、平行,因此不一定是
互相平行。
对于B,垂直于同一条直线的两条直线的位置关
系有平行、相交、异面,因此不一定是互相平行。
对于C,如图3所示,平面ABC与平面ABE都垂直
平面BCE,但平面ABC与平面ABE相交 。D是正
确的。
说明
这种方法用的比较少,在理论中行得通,
在实践中,针对性的题比较少。
四、向量法
已知两个平面α,β,两个平面的法向量分别为
垂线在平面BDM内.
(1)如图所示,取EC的中点F,连接DF.
∵EC⊥平面ABC,
∴EC⊥BC,
又由已知,易得DF∥BC,
∴DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中,EF=EC=BD,
且由已知,易得FD=BC=AB,
∴Rt△DFE≌Rt△ABD,故ED=DA.
(2)取CA的中点N,连接MN,BN,
则MN∥EC,又BD∥CE,且MN=EC,又BD=CE

新高考数学直线、平面垂直的判定与性质精品课件

新高考数学直线、平面垂直的判定与性质精品课件
课前基础巩固
◈ 知识聚焦 ◈
任意一条直线
垂线
垂面
类别
语言表述
图形表示
符号语言
应用
判定
根据定义,证明一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线
b是平面α内任意一条直线, a⊥b⇒a⊥α
证明直线和平面垂直
如果一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
(2)直线与平面垂直的判定与性质
课堂考点探究
探究点一 垂直关系的基本问题
[思路点拨]画出图形,利用线面平行、线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理和性质定理逐一判断;
B
课堂考点探究
[解析] 对于A,如图①,平面α⊥平面β,α∩β=l,a⊂α,若a∥l,则由线面平行的判定定理可得a∥β,故A中说法正确;由A可知,B中说法错误;对于C,如图②,设α∩γ=a,β∩γ=b,在γ内直线a,b外任取一点O,作OA⊥a,因为
[解析]如图②,延长AO,BO,CO,分别交BC,AC,AB于点H,D,G.∵PC ⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,∴PC⊥平面PAB,又AB ⊂平面PAB,∴PC⊥AB,∵AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC⊂平面POC, ∴AB⊥平面POC,又CG⊂平面POC,∴AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,即O为△ABC的垂心.
例1 (1)下列说法中错误的是( ) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

高中数学课件-立体几何复习——平行、垂直证明

高中数学课件-立体几何复习——平行、垂直证明

(1) 证明 如图所示,取线段 BC 的中点 F, 连接 EF、FD.
在△PBC 中,E、F 分别为 PC、CB 的中点, ∴EF∥PB. 在直角梯形 ABCD 中,F 为 CB 的中点, ∴BF=12BC=1. 又∵AD∥BC,且 AD=1, ∴AD // BF. ∴四边形 ABFD 是平行四边形, ∴FD∥AB. 又∵EF∩FD=F,PB∩BA=B, ∴平面 EFD∥平面 PAB. 又∵DE⊂平面 EFD,∴DE∥平面 PAB.
F
构造平面法
(1) 证明 如图所示,取线段 PB 的中点 H, 连接 EH、AH.
在△PBC 中,E、H和分别为 PC、PB 的中点, ∴EH // BC. 在直角梯形 ABCD 中, ∵AD∥BC,且 AD=1,BC=2 ∴AD // 12BC. ∴AD // EH. ∴四边形 ABFD 是平行四边形, ∴ED∥AH.
β
a
αlHale Waihona Puke a all
a
☺ 简称:面面垂直,线面垂直.
归纳小结
1.垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若 这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.如有平面垂 直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转 化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线 垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.
➳性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交 ,那么它们的交线平行.
//
a
a // b
b
☺ 简称:面面平行,线线平行.
定理应用
空间中的平行
1.长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E, F分别是BA1,BC1的中点。 求证:EF // 平面ABCD

专题38 直线、平面垂直的判定与性质(PPT)-2020年新高考数学一轮复习之考点题型深度剖析

专题38 直线、平面垂直的判定与性质(PPT)-2020年新高考数学一轮复习之考点题型深度剖析
第1轮 ·数学
返回导航
第七章 立体几何
考向 2:平行、垂直关系中的探索性问题 (2018·全国卷Ⅲ)如图,矩形 ABCD 所在平面与半圆弧C︵D 所在平面垂直,
M 是C︵D 上异于 C,D 的点.
(1)证明:平面 AMD⊥平面 BMC; (2)在线段 AM 上是否存在点 P,使得 MC∥平面 PBD?说明理由.
两个平面垂直,则一个平面内
性质 定理
垂直于_交__线_____的直线与另
一个平面垂直
第1轮 ·数学
α⊥β lα⊂∩ββ=a⇒l⊥α l⊥a
返回导航
第七章 立体几何
重要结论 (1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明 线线垂直的一个重要方法). (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.
第1轮 ·数学
返回导航
第七章 立体几何
[变式探究] 在本例条件下,证明:平面PBC⊥平面PAB. 证明 由(1)知PA⊥BC,又BC⊥AB且PA∩AB=A, ∴BC⊥平面PAB, 又∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAB.
第1轮 ·数学
返回导航
第七章 立体几何
面面垂直的两种证明方法 (1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将 证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题. (2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的 一条垂线,把问题转化成证明线线垂直加以解决.
又 BP=DQ=23DA,所以 BP=2 2.
如图,过点 Q 作 QE⊥AC,垂足为 E,则 QE

高中数学立体几何初步8.6.2第1课时直线与平面垂直的判定定理课件

高中数学立体几何初步8.6.2第1课时直线与平面垂直的判定定理课件
计算.
【变式训练2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
解:(1)∵直线A1A⊥平面ABCD,
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角,

设 A1A=1,则 AC=√,∴tan∠A1CA= .
D1O⊂平面ACD1,AC⊂平面ACD1”,其余不变.
判定定理的条件中,“平面内两条相交直线”是关键性词语,此
处强调相交,若两条直线不相交(即平行),即使直线垂直于平
面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直.
【变式训练】 如图,已知PA⊥BC,AB是☉O的直径,C是☉O上
不同于点A,B的任意一点,过点A作AE⊥PC于点E.求证: AE⊥
图形
直线与
平面垂
直的判
定定理
文字
符号
m ⊂ α,
如果一条直线与
n ⊂ α,
一个平面内的
两条相交直线垂 m⋂n = P, ⇒l⊥α
l ⊥ m,
直,那么该直线与
l⊥n
此平面垂直
3.做一做:一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,不能
保证该直线与平面垂直的是
(填序号).
①平行四边形的两条对角线;②梯形的两条边;③圆的两条直
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,易证AE=CE.
因为AO=OC,
所以OE⊥AC.
在正方体中易求出:
D1O=

OE=√
D1E=
+
+



+
=

=



=

高中数学空间向量与立体几何1.41.4.1第3课时空间中直线平面的垂直课件

高中数学空间向量与立体几何1.41.4.1第3课时空间中直线平面的垂直课件

[跟进训练] 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中 点.求证:平面AED⊥平面A1FD1.
[证明] 以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x 轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为2, 则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0), A1(2,0,2),D1(0,0,2), ∴D→A=D→1A1=(2,0,0),D→E=(2,2,1), D→1F=(0,1,-2).
当堂达标·夯基础
1.已知直线l1的方向向量a=(1,2,-2),直线l2的方向向量b=
(-2,3,m).若l1⊥l2,则m=( )
A.1
B.2
C.12
D.3
B [由于l1⊥l2,所以a⊥b,故a·b=-2+6-2m=0,即m=2.]
1234 5
2.若平面α,β的法向量分别为a=(2,-1,0),b=(-1,-
易得B(0,0,0),A(0,-1, 3),
D( 3,-1,0),C(0,2,0),
因而E0,12, 23,F 23,12,0,
所以E→F=
23,0,-
23,B→C=(0,2,0),
因此E→F·B→C=0.从而E→F⊥B→C,
所以EF⊥BC.
用向量法证明直线与直线垂直的方法和步骤 (1)基底法:①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其 两两夹角为已知)为空间的一个基底;②把两直线的方向向量用基底 表示;③利用向量的数量积运算,计算出两直线的方向向量的数量 积为0;④由方向向量垂直得到两直线垂直.
(2)坐标法:①根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角 坐标系,正确地写出各点的坐标;②根据所求出点的坐标求出两直 线方向向量的坐标;③计算两直线方向向量的数量积为0;④由方向 向量垂直得到两直线垂直.
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
相关文档
最新文档