基于APOS理论的高等数学概念教学模式
基于APOS理论的高等数学概念教学模式
的教学 ， 其不 足之处是忽视 了概念形成过程 的 内部 的认 知分 析 。在认知科学 、 建构 主义等 理论 指导 下 ， 学概 念学 习 的 数 现代研究认为 ： 数学概念 的学 习是一 个学生 主体主动建 构 的 过程 ， 而且在建构 的实践 中， 主体 已有 的认知 结构 发挥 了特 别重要的作用 ， 并且 学生 主体 的建 构处 于不断 的发 展之 中 ； 对数学概念的研究 ， 需要 深入 到概念 形成 过程 的 内部 ， 数 对 学概念本身独有 的基 本发 展特 征作 细致 的认知 分析 。后 来
（ 型 阶 段 ） 形 成 包 含 上 述 三 个 过 程 的综 合 心理 图式 。 模 ，
、
高等数学概念教学模式从传统 向现代转变
数学概念探究 大体存 在两种倾 向， 一种是 只注重知识 来 龙 去脉 的完整探究 ， 而不关注学生认 知发 展 ， 探究过 程太 “ 原 始 ” “ 琐” 另一种是 “ 数学化 ” 而 烦 ； 去 的探究 ， 注重学 生动 手、 讨论 、 景设 置等 外部 探究 活动 ， 略 了数学本 身 的 内在 本 情 忽
高等数学的教学一直以来都特别强调“ 三基” 即基本概念、 ， 基本理论和基本方法的教学 。其 中基 本概念 的教学是基础 ， 是
掌握基本理论和运用基本方 法解决实 际问题 的关键。当前 ， 有 些高校 由于教学时数的限制 ， 多数依据“ 以应用为 目的 ， 以必须 、 够用为度” 的原则， 注重学生基本运算能力 和分析 问题 、 解决 问 题能力的培养 ， 强调数学 的应用 ， 对基本概念 的教学有些弱化 ， 把高等数学的教学变成 了讲例题 、 做习题 、 答考题 的应试 教学模 式。笔者认为 ， 高等数学教学中基本概念 的教学是根本 ， 是提炼 数学思想方法 ， 培养学生创新精神 的平台。只有重视基本概念 ， 学生才能够更深刻地理解数学 ， 运用数学。
APOS 案例教学法在高等数学教学中的初探
APOS 案例教学法在高等数学教学中的初探
APOS模型是一种用于描述学习过程的数学模型，它包含四个阶段：观察（Action）、感知（Perception）、组织（Organization）、解析（Reflection）。
APOS模型因其在数学教
育中的应用而闻名。
目前，在高等数学教学中，教师们已经开始尝
试使用APOS案例教学法。
对于APOS案例教学法的应用，教师通常会通过案例分析的方式，引导学生从具体形象的例子中，逐渐抽象出数学概念和规律。
这种
教学方法可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念，同时也可以帮
助他们更好地掌握数学运算方法。
例如，在微积分教学中，教师可以通过思考不同的函数曲线，
引导学生慢慢理解导数的概念、求导的方法和应用。
在线性代数教
学中，教师可以通过研究矩阵的具体变换案例，让学生理解矩阵的
基础概念、线性变换和矩阵乘法等。
总之，APOS案例教学法在高等数学教学中有广泛的应用前景。
它可以帮助学生更好地理解数学概念和规律，促进他们的数学思维
能力的发展，提高数学学习的效果。
基于APOS理论视角下的数学定理教学
基于APOS理论视角下的数学定理教学APOS理论是由美国数学教育学家David Tall提出的，它是一种用来分析和解释学生对数学概念理解的理论。
APOS理论关注学生是如何从感知到操作再到抽象和形式化的过程中逐步建立数学概念的。
在APOS理论的框架下，数学教学不再是简单地传授定理和公式，而是帮助学生发展他们的数学思维和解决问题的能力。
本文将从APOS理论的视角出发，探讨数学定理教学的方法和策略。
APOS理论认为，学生对数学概念的理解是通过4个过程逐步建立起来的：感知(action)，操作 (process)，抽象 (concept)，形式化 (schema)。
这个过程可以用APOS 理论的四元组来描述：A表示学生对数学概念的感知，P表示学生对数学概念进行操作和操作的过程，O表示学生对数学概念进行抽象，S表示学生对数学概念进行形式化。
在APOS 理论的框架下，教师应该根据学生的认知发展阶段，设计针对性的教学策略，帮助学生逐步建立数学概念的理解。
在数学定理教学中，教师可以运用APOS理论的思想，设计一些有针对性的教学方法和策略。
教师应该注重激发学生的感知。
提供丰富的实例和图形，让学生能够直观地感受数学定理的内涵。
在教学三角函数的定理时，可以通过实际的三角形和角度的变化来展示三角函数的性质，让学生通过观察和操作去感知这些数学定理。
在教学过程中，教师应该引导学生进行操作和探究。
通过探索性的学习活动，让学生自己去发现、实验和验证数学定理，从而深化对定理的理解。
在教学直线方程的定理时，可以设计一些让学生自己推导直线方程的活动，让他们通过探究和操作来理解直线方程的性质和特点。
教师应该帮助学生进行数学概念的抽象和概括。
通过引导学生总结定理的共性和规律性，帮助他们将感知和操作抽象为数学概念。
在教学函数的性质时，可以让学生通过比较和总结，发现函数的基本性质和定义。
教师要引导学生将数学概念进行形式化和应用。
通过练习和解决问题，让学生熟练地运用数学定理，从而提高他们的数学解决问题的能力。
基于APOS理论的数学概念教学设计_记一堂_基本不等式_公开课_张敏
（ 2011 年第 12 期·高中版）
57
基于 APOS 理论的数学概念教学设计
— — — 记一堂《基本不等式 》 公开课
215400
1 何谓 APOS 理论？ APOS 理论是由美国数学教育学家杜宾斯基 （ EdDubinsky） 在 20 世纪 80 年代提出的一种关于数学概念学 习的新理论 ， 是一种具有数学学科特色的建构主义学习 被誉为近年来数学教育界最大的理论成果之一 ． 理论， process（ 过程 ） 、 object （ 对 它分别是由英文 action（ 操作 ） 、 象 ） 和 schema（ 图式 ） 的第一个字母所组合而成 ． 这种理 论认为 ， 学生学习数学概念必须要进行心理建构 ， 这一 建构过程要经历四个阶段 ： （ 1 ） 活动阶段 ： 数学教学是数学活动的教学 ， 操作运 算行为是数学认知的基础性行为 ． 学生与数学家一样 ， 要亲自投入， 通过实际经验来获得知识 ． （ 2 ） 过程阶段 ： 不断重复这种操作 ， 学生从中得到不 于是就会在大脑中进行一种内部的心理建构 ， 断反思 ， 即形成一种过程模式 ． 这种过程模式使得操作呈现出自 而不再借助于外部的不断刺激 ． 动化的表现形式 ， （ 3 ） 对象阶段 ： 当学生意识到可以把这个过程看作 是一个整体 ， 并意识到可以对这个整体进行转换和操作 的时候， 其实已经把这个过程 作 为 一 个 一 般 的 数 学 对 ． 这时不但可以具体地去指明它所 形成一个“实体 ” 象， 具有的各种性质 ， 也可以此为对象具体地去实施各种特 定的数学演算． （ 4 ） 图式阶段 ： 个体对操作 、 过程、 对象以及他自己 头脑中的原有的相关方面的问题图式进行相应的整合 、 精选就会产生出新的问题图式 ， 这种图式的作用和特点 就是可以决定某些问题或某类问题是否属于这个图式 ， 从而就会作出不同的反应 ． 显然 ， 个体的思维和认识状 况在这种持续建构中已经上升到更高的层次 ． 即对有关 概念进行了更高层次的加工和心理表征 ． 2 2． 1 APOS 理论下的基本不等式教学策略 基于 APOS 理论的基本不等式的教学策略 教材中 ， 对基本不等式内容的编排符合 APOS 理论 对于数学概念学习的心理建构过程 ， 因此运用此理论能
基于APOS理论视角下的数学概念教学——对一节“对数”课的评析
基于 ＡＰＯＳ理论视角下的数学概念教学
———对一节“对数”课的评析
万 赢 银 （江 苏 省 江 阴 市 南 菁 高 级 中 学 ２１４４００）
１ 问题提出
概念是 反 映 事 物 本 质 属 性 的 思 维 形 式，是 数
与变式２，向学生展 示 了 圆 中 知 识 及 问 题 的 演 变 过程．引例中因点 Ｐ（－２，０）是 定 点，根 据 条 件 可 求出确定的目标 值，但 变式 １ 中 因点 Ｐ 是 定 直 线
学生因没发现所求 目 标 值 为 正 数 而 踌 躇，有 些 学 上的动点，则可设计出一系列最值问题，而这些问
因有：（１）对 概 念 教 学 定 位 不 准，只 注 重 解 题 应 用 ，淡 化 概 念 生 成 ，追 求 概 念 教 学 最 小 化 与 习 题 讲
学的基石．数 学 中 的 公 式、法 则、定 理 都 是 建 立 在 数学概念基 础 之 上 的．《普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 （实验）》指出：教 学 中 应 强 调 对 基 本 概 念 和 基 本
檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪
应对解析几何的信心和能力．
本 节 课 通 过 引 例 、变 式１（及 变 式１的 自 编 题 ）
２ 课堂实况与课后反思
２１ 精选习题，让“好题”展示解题注意点 出 示 引 例 后 ，所 有 学 生 都 是 急 于 作 图 ，但 有 些
生因没发现所给圆 犆 与狓 轴相切而作图不准，也 有学生对数字观察 不 够 而 没 发 现 直 线 的 斜 率．所 有这些“没发现”都影响了解题 效 率，所 以 课 堂 上
题又主要围 绕 着 长 度、角 度、面 积、长 度 与 角 度 的 结合（向量）．变式 ２ 则 是 向 学 生 展 示 了 圆 上 有 两 个动点，这是在变 式 １ 的 一 个 动 点 的 基 础 上 又 往
“APOS理论”指导下的高中数学概念教学
我们认为，对杜宾斯基的“概念学习四阶段”要辩证地加以理解.首先，A—P—O—S的顺序不是一成不变的，例如，对于有些概念的教学也可以按O—A—P—S的顺序进行教学.其次，操作阶段往往与其它阶段有交叉，并贯穿于概念学习的始终，例如，“过程”阶段与“操作阶段” 并没有明显的界限，在“操作”发生的同时，也进行着“过程”； 作为“对象”的概念，它既操作别的对象，又被高层次的运算来操作；相应的操作是图式形成的必要基础，等.最后，四个阶段的呈现不是线性的，而是逐层渐进的，图式的形成往往不能一蹴而就，需要多次A—P—O—S的循环上升，是一种螺旋式的建构过程.也就是说，如果学生对数学概念的理解在某一阶段出现问题，这时会回到前一阶段，甚至，概念的理解往往也不是一节课就能完成的，需要在学习中不断地积累才能实现量变到质变.这也反映了概念学习与教学的复杂性.
基于上述背景，笔者所在课题组对指导概念教学的重要理论—APOS理论进行了专题研析，研析分为四个环节：一是理解APOS理论的内涵及其背景；二是分析立足APOS理论进行概念教学的策略；三是通过典型案例尝试APOS理论的具体应用；四是在实践的基础上对APOS理论进行再思考.
1APOS理论概述
1.1APOS理论的内涵
基于对APOS理论的理解，结合数学概念学习的一般规律，我们分别提出每个阶段的教学策略，作为以APOS理论为指导实施概念教学的具体建议.
基于APOS理论下的高中数学概念教学——以“等差数列”的概念教学为例
ＡＰＯ￥理 论 的过 程 阶段 ．目的 在于 让 学 生 自主 探 索 规律 ，
并进行概 括总结 ，形成概念。概念教 学 中引导学生对 以上 ３
规律：情境 ２让学生 自主探索规律 ，并利用规律计算所求；情
景 ３由游戏活动 出发 ，促使学 生在玩 中意识到游戏特征 （每
隔 ３位 同学就要拍掌）。 总之 ，学生通过情境 活动环节 的体
验 。可深入 了解等差数 列特点 ，为概念的形成做好铺垫。
（２）过 程 （Ｐ ｒＯＣｅ Ｓ Ｓ）阶段— — 探 索规律 ，形 成概 念
用 。
２．４基于 ＡＰ０Ｓ理论下的教学过程
（１）活动（Ａｃｔ１ ｏｎ）阶段——情境引入 ，激发兴趣
ＡＰＯ￥理论 的活动阶段 ．目的在于让 学生切实体验 活动
过程 。构建概念框架 。概念教学中教 师可＆”以 ＂引 导¨ 倡学 生筋 复口 习上
口＊ ¨ ３ ｜
一 节课所学 的数 列定 义 、通项公 式、递 推公２１ 式，９１随。 后６２ 导入情
且在对概念 的认识还处于蒙 昧无知 的情形下就把 学生 当成
解题 的奴隶 ，以此来加深学生对概念的记 忆与理解。然而．该
做法常常欲速不达 ，最终学生还是对概念 一知半解 。因此。探
索高效的数学概念教 学方法 已是大势所趋 ，同时是高 中数学
教 师的急切 需求 。本文基于 ＡＰ０５理论 下，以“等差数列”的
２．２教学 目标 知识 与技 能：理 解等差数列 的概念 、公差 、等差 中项 ，掌
握等差数列的通项公式 。能运用通项公式解决 实际生活 中的 简单 问题。
过程与方法：通过对等差数列概 念的归纳概括且经历通 项公式 的推导过程 ，体验从特殊到 一般 的认 知规律 ，培养学 生的观察、归纳、推理、分析能力 ，渗透 归纳与化归思想。
基于APOS理论的数学概念教学设计
基于APOS理论的数学概念教学设计400715 西南师大数学与财经学院 唐 艳 摘要:APOS理论是近年来美国数学教育家杜宾斯基(Dubinsky)提出的一种建构主义学说.他将数学概念的建立分为四个阶段: Action,Process,Object,Scheme,并用于指导教学实践.本文主要对该理论的认识及其在数学概念教学实践中应该注意的几个问题作了一点尝试,并就如何进行数学概念教学设计作了一些探索.关键词:APOS、活动阶段、过程阶段、对象阶段、图式阶段建构主义教育理论表明,在数学概念教学中,我们应当更多地关注学生面对一个新数学概念时的所思、所想.这与课程标准倡导的“过程与方法”、“情感、态度与价值观”的课程目标也是一致的.一、关于APOS理论学生的学习是一个不断建构的过程,只有学生主动建构,调整自己的认知结构或是改造外部的认知结构,使得主客观彼此一致,才能建立新的认知结构.近年来,美国数学教育家杜宾斯基(Dubin2 sky)等人发展了一种APOS理论,也是建构主义的一种,其大概意思是:每个数学概念的建立都要经过以下4个阶段(以函数概念为例): Action(活动)阶段:理解函数需要活动或操作,例如理解具体的函数y=x2,需要从活动开始: 2→4;3→9;4→16;5→25;通过操作活动,理解函数的意义.Process(过程)阶段:将上述的操作阶段综合一个函数过程:x →x2;其它的具体函数也分别记为一个过程:x →f(x);Object(对象)阶段:然后把函数过程当作一个完整的对象来认识、处理,比如进行函数的加减乘除、复合运算等,在表达式f(x)+g(x),f(x)-g(x)中,函数f(x)和g(x)都是作为一个整体的对象出现的.Scheme(图式)阶段:这时的函数概念,以一种综合的心理图式存在于脑海里,在数学知识体系中占有特定的地位.这一心理图式含有具体的函数实例性质、抽象的过程、完整的定义,甚至与其他概念(如方程、图象、曲线等)的区别与联系.取这4个阶段英文单词的首字母,称其为APOS理论.这个理论不仅指出学生的学习是建构的过程,还指明了建构的层次:如何从具体发展到抽象,对数学概念的建立步骤提供了新的界定.同时,也为概念教学提供了新的理论支持.笔者认为,APOS理论可以认为是一种新型的概念教学理论.APOS理论将数学概念的建立分为活动———过程———对象———概念四个阶段,如果数学教学停留在活动(操作)层面,那不是真正的理想的数学概念学习.数学概念学习还应上升到抽象层面,使概念的形成的“活动、过程”向对象阶段转化,从而达到“图式”阶段.例如,比和比例的教学、平面直角坐标系的建立、函数概念等,最后仍要上升到抽象的层面,才能掌握数学知识的本质与内在.二、基于APOS理论的数学概念教学设计笔者认为,APOS理论当中的活动阶段相当于观察、呈现数学概念的具体实体阶段;过程阶段则是对具体实体进行思维概括得出数学概念的阶段.但这还没有结束,要对概念有真正的理解,要使数学概念真正在学生头脑中建立起来,还必须上升到对象、图式阶段.对象阶段即是将概念作为一个已知对象应用到它生存的土壤或背景中,并将它作为一个工具,一个新的对象来看待,即达到了对象阶段.对象阶段过后,概念建立还要进入图式阶段;能够区分、评价此概念与彼概念,这时概念以一种完整的心理图式储存于大脑当中,其中包括具体的实例、抽象的过程,完整的定义及与其他概念的区分与联系等等.同时,还必须注意,APOS理论的四个阶段(步骤)一般不能逾越,应当循序渐进.同时,又不可只停留在具体、直观、视觉化的阶段,必须22上海中学数学・2005年第12期 升华、逐级地抽象,不断地形式化,最后完成数学概念的建立.下面仅以《平面直角坐标系》的教学设计为例来说明.《平面直角坐标系》选自北师大版八年级(上)的内容.考虑到八年级学生思维还处于由形象思维向抽象思维的过渡阶段,从一维的数轴向二维的平面直角坐标系是学生认识上的一次跨越,因此可以如下设计教学,力图突破这种跨越.(一)活动阶段———创设问题情景,在活动中思考问题师:同学们,你们走进教室以后,都怎样找到自己的座位的?生1:我的座位就在第3行第5列,我很容易找到.师:刚刚这位同学说自己的位置是第3行第5列那个位置,他已经找到了.那其他同学还有什么想法?生2:我从教室前门先横走、再竖走,也能找到.师:可行的!先横走,再竖走,前后沿两个方向走了.那好,下面我发给每一位同学一张地图,请大家仔细观察地图并回答问题:(1)向你的同桌描述建筑物A (动物园)、B (青少年宫)、C (电影院)的位置;(2)假设你在另一处D (学校),你将怎样找到A 、B 、C ?[结合学生的生活经验,创造学生展开思考与想象的环境,给予学生充分表达自己看法的机会,让在他们自主思考、自由交流中,在与同学观点交锋中,撞击出思维的火花!](二)过程阶段———体验直角坐标系中的过程老师广泛听取学生意见看法后,因势利导,总结、概括大家的意见,引导学生得出确定平面某一位置(即要找到某一地点)的方法,以及这些方法的共同之处.接下来,老师与学生共同回顾之前学过的有关数轴的内容———数轴上的每一个点都对应着一个实数值,也即找到那一点,以此诱发学生思考平面上一个点的位置确定.结合先前活动的经验(有关横走、竖走的经验),抽象得出平面上的确定位置的过程,也是寻找、设置两条数轴(两个方向)的过程.而两条互相垂直的数轴也是其中的一种过程,也就构成平面直角坐标系.而这一过程也就是形成平面直角坐标系的过程.[将平面直角坐标系这一概念的形成过程归结于两条数轴的出现过程,这应该是一种全新的视角.](三)对象阶段———对直角坐标系形式化、工具性的表达将平面直角坐标系作为一个新的对象来认识,对其进行形式化、工具性地表达,这是对象阶段应该达到的目标.运用直角坐标系的性质来解决这一问题,可以达到逐步认识新概念的目的.因此,这一阶段老师可以继续引导学生探讨平面直角坐标系的特点、存在意义(平面内的每一个点与两个数相对应,即一个数对)等.课堂练习:1.请你在先前地图中,建立平面直角坐标系.2.写出各点的坐标.3.写出与B 点关于坐标轴相对称的点的坐标.4.现有点(4,5)和点(-1,7),请你在自己建立的直角坐标系中描写这些点.[1小题用于加固平面直角坐标系的概念;2、3题皆在联系通过点写坐标;4小题解决据坐标描点.而这一切都将学生的动手尝试放在教师讲解之前,也是考虑到知识内容本身的难易程序和学生已有的知识背景的.](四)图式阶段———建立综合心理图式通过以上三个阶段的教学,学生在头脑中应该建立如下的心理图式:现实生活中直角坐标系思想的应用(例如进电影院找座位、到公园找景点等)、直角坐标系的作用(刻画平面上点的位置)、在直角坐标系中确定点的过程及其与数轴的区别和联系等等.老师带领学生订正课堂练习,并在其中尝试区分平面直角坐标系与数轴的不同,认识它们的优越性.师:同学们,请大家在自己的平面直角坐标系中找出(0,3)这个点,以及(0,-5)这个点.生:……32教坛弦柱师:你们观察一下这两个点有什么关系呢?生:……师:平面直角坐标系当中点的坐标也可表示在一条数轴上的点!这样看来,它既表示平面的点,也可表示平面当中的直线上的点![老师引导学生思考平面直角坐标系与数轴的关系,对学生拓宽思考问题的方式大有裨益.明确此事物和它事物的区别与联系,也是认识事物的一种方法.]三、需要注意的几个问题数学以抽象作为一个重要特点,形式化的表述方式使数学更加抽象,教师和学生都在经受“抽象”的考验,如果不能过“抽象”这一关,是不能说理解数学的.但是,如果我们以“抽象”为由,抹去数学生动、鲜活的现实背景,那也是认识上的误区.一方面,我们教师有责任尽可能为学生营造体验数学发生,发展过程的平台.另一方面,我们也不可为了创造学习的情境,只停留在活动层面,而放弃对数学“抽象”之美的追求.1.数学对象的建立需经多次反复,不能一蹴而就.应该注意到,一个数学概念由“过程”到“对象”的建立,有时既困难又漫长,需要经过多次反复,循序渐进,螺旋上升,直至学生真正理解,“对象”的建立要注意简练的文字形式和符号表示,使学生在头脑中建立起数学知识的直观结构形象.教师在往后的教学中也要注意学生对知识的图式的建立,即加强知识间的联系和应用,帮助学生在头脑中建立起完整的数学知识的心理图式.一句话,APOS理论的四个阶段并非一定体现在一堂数学课当中,也不是每一课都必须遍历四个阶段,它适用于数学概念在学生头脑中建立的一段时期,并不局限于某一堂课.2.A—P—O—S四阶段是一个相对连续的过程.四个阶段也可认为代表着概念在学生脑海中建立起来的四个必经路段,并且他们是相对连续的过程.如果忽略P阶段直接由A阶段跳跃到O阶段,或是跨越O阶段直至S阶段都是不现实的.概念在学生大脑建立期间,任一阶段都是不可缺少的.或缺其中任一阶段建立起来的数学概念要么现实根基不牢,要么缺乏抽象、提升或是成熟应用.3.创设情境不是数学概念教学的最终目的.我们说要形成概念,需要寻找它生存的现实土壤,需要活动让学生亲身感知问题,也需要学生积极展开思考、从现实情境中去发现数学.但是,概念教学也不能仅仅停留于活动(操作)层面,对A阶段花大力气、多时间,而对其他阶段草草收场,这也是不符合理论的,甚至是舍本逐末的.4.认识过程阶段在概念建立中的价值十分有意义.杜宾斯基等人认为,学生建立概念不能跨越“过程”这一阶段.对“过程”,我们可以有三种理解:①将数学概念从现实生活中抽象出来本身需要一段过程;②将思考的结果,再以“过程”的形式呈现,这就有利于学生分析问题、解决问题;③APOS理论最大的创新在于,将数学概念视为从一个实例到另一个实例的某种过程.这样的认识可以使学生对数学概念也有一个新的认识,从而改变对整个数学的看法.教师在过程阶段诱导学生对过程的理解也是有益于学生成长过程中价值观的形成的.5.对象、图式阶段是数学概念在学生头脑中建立的长远之计,二者可以循环上升.这两个阶段在揭示概念之后,对象阶段是由概念衍生开来的性质探求、运算、证明等;图式阶段是对前面三个阶段的一个总体把握.但这并不等同于说一定在历经前面所有阶段之后,才进入图式阶段.对象阶段与图式阶段可以是往复序进、循环上升的.在教学过程中,这两个阶段可交替进行,在学生进行概念认识、处理的同时,老师可以引导学生尝试评价概念.从这个角度来看,体验对象阶段和图式阶段是可以同时存在于一个时期的.可以认为,APOS理论是一种数学概念教学论.如果我们抱着学习、认同的态度去接纳它,一定会汲取到其中营养.参考文献[1]张奠宙,李士,李俊.数学教育学导论.北京:高等教育出版社,2003,4.[2]濮安山.中学数学教学论.哈尔滨:哈尔滨工业大学,2002,6.[3]曹才翰,章建跃.数学教育心理学.北京:北京师范大学出版社,1999,12.[4]ED.Dubinshy,Michael A.Mcdonald..A POS:A Constructivist Theory of Leaning in Undergradu2 cation.Researcher.[R/OL]. http:2～edd2ⅠCMIPaper. pdf.[5]刘兼,黄翔,张丹.数学课程设计.北京:高等教育出版社,2003,8.42上海中学数学・2005年第12期。
基于APOS理论视角下的数学定理教学
基于APOS理论视角下的数学定理教学APOS理论是一种用于研究数学思维发展、数学概念习得及数学教学设计的理论框架。
该理论认为，数学学习是由动作（Action）、过程（Process）、对象（Object）和情境（Situation）四个要素所组成的，称为APOS。
在APOS理论的视角下，数学教学应该按照学生思维的发展来设计，以帮助学生构建教材内容，从而深入理解学习的数学定理。
动作是指学生通过实际行动认识数学概念，如用加减法计算出物品数量等。
因此，在教学中要让学生明确动作的意义，设计与动作相应的情境，让学生直接体验数学概念的实际应用。
例如，在教学三角函数时，可以让学生通过观察、测量和比较三角形的边长和角度，来理解三角函数的定义，这样可以帮助学生更加深入的理解三角函数的概念。
过程是指学生在实际行动中形成的数学思维模式，如利用数轴对数值大小进行比较、运用公式进行推导等。
在教学中，教师应该引导学生形成正确的数学思维模式，让他们在整个学习过程中掌握正确的思维方法。
例如，当教学比例时，教师应该让学生学会按照比例两端量相等的特点进行计算和应用，同时注意比例的转化，从而掌握正确的数学思维模式。
对象是指学生所认识的数学概念，如三角函数、平面直角坐标系等。
教学中要让学生了解对象的基本概念以及其实际应用，让学生逐步认知和理解这些概念。
例如，在教学平面直角坐标系时，教师应该让学生理解平面直角坐标系的基本概念和特点，并通过实际例子帮助学生感受其应用场景，最终理解其深层次的原理。
情境是指学生在学习过程中所处的情境和环境，如教室、实验室等。
在教学中，要将情境与对象、动作、过程形成融洽的整体，让学生在真实情境中学习并运用数学知识，从而提高学习效果。
例如，在教学三角函数时，可以通过实验室中的三角形测量、借助计算器进行计算等方式来形成真实的情境，帮助学生深入理解并运用三角函数的概念。
总之，通过APOS理论视角下的数学定理教学，教师可以更加清晰地认识学生认知与学习的四个要素，帮助学生更好地理解数学定理，从而使得学生的数学学习更加深入有效。
基于APOS理论视角下的数学定理教学
基于APOS理论视角下的数学定理教学随着数学教育的不断发展，教学理论也在不断深化和创新。
APOS理论是一种针对数学认知发展的教学理论，它将学习者的认知发展分为四个阶段：行动（Action）、形象（Image）、符号（Symbol）、操作（Operations），并认为数学学习是从具体到抽象的过程。
在这种理论视角下，数学定理教学也需要根据学生认知发展的特点来进行。
一、行动阶段行动阶段是学生通过真实的物体或动作来认知数学概念。
在数学定理教学中，教师可以通过示范或实际操作来引导学生感知定理的内涵。
比如在教学直角三角形的勾股定理时，教师可以让学生在教室里模拟出一个真实的直角三角形，然后利用尺子测量两条直角边的长度，最后通过计算来验证勾股定理成立。
通过这样的实际操作，学生可以深刻理解勾股定理的含义，同时也激发了学生对数学定理的好奇心和兴趣。
二、形象阶段形象阶段是学生通过形象、图像等视觉化的方式来认知数学概念。
在数学定理教学中，教师可以通过图形、图片等形象化的方式来呈现数学定理，帮助学生建立数学概念的形象化意义。
比如在教学平行线的性质时，教师可以通过绘制图形来展示平行线的性质，并通过观察和比较不同角度的平行线来让学生感知和理解平行线的性质。
这样的形象化教学能够帮助学生更好地理解数学定理，并将抽象的概念转化为形象的图像，从而提高学生对数学定理的认知水平。
三、符号阶段四、操作阶段操作阶段是学生通过操作、推演等方式来运用数学概念。
在数学定理教学中，教师可以设计问题和案例，让学生通过操作和推演来运用数学定理，从而加深对数学定理的理解和掌握。
比如在教学数列的收敛性时，教师可以设计一些收敛性的案例和问题，让学生通过实际运算和推演来验证数列的收敛性，从而加深对数列收敛性定理的理解。
这样的操作性教学能够培养学生的问题解决能力和数学推理能力，提高学生对数学定理的应用水平。
在APOS理论的指导下，数学定理教学需要充分考虑学生的认知发展特点，引导学生从具体到抽象、从形象到符号的认知过程，促进学生对数学定理的深入理解和应用。
基于APOS理论的指数函数概念教学设计
基于APOS理论的指数函数概念教学设计一、引言指数函数是高中数学中重要的概念之一，它涉及到指数、幂函数、对数等多个数学知识点，对学生的数学学习能力具有一定的挑战性。
在这样的背景下，如何设计一种符合学生认知发展规律和教学要求的指数函数概念教学，成为了老师们亟需解决的问题。
APOS理论为我们提供了一种新的教学思路，它通过分析学生对数学概念的认知发展规律，为我们提供了指导学生学习指数函数的方法。
本文将从APOS理论出发，结合指数函数的特点，设计一份基于APOS理论的指数函数概念教学设计，希望能够为教师们在教学实践中提供一些参考和借鉴。
二、APOS理论概述APOS理论是由Harel和Dubinsky等学者于1992年提出的一种数学学习理论，该理论主要解释了学生在数学学习过程中的认知发展规律。
APOS理论认为，学生对于数学概念的认识经历了四个阶段，分别是行动（Action）、过程（Process）、对象（Object）和模式（Schema）。
在学习指数函数的过程中，学生需要逐渐建立起指数函数的概念模式，并将其应用到实际问题中。
三、教学设计1. 行动阶段在教学的初始阶段，学生对于指数函数的概念可能还较模糊，因此需要通过一些具体的行动来引导学生初步认识指数函数。
在教学中，可以通过一些日常生活中的例子，如细菌的繁殖、利息的计算等，引出指数函数的概念，并让学生进行简单的实际操作或观察。
教师可以用一组数字进行示范：“2的0次方等于1，2的1次方等于2，2的2次方等于4，2的3次方等于8……”然后让学生跟随教师一起写下这些数字，并尝试总结规律。
在这个过程中，学生能够通过具体的数字操作来初步认识指数函数，以行动为起点建立起对指数函数的直观感受。
2. 过程阶段在行动阶段，学生初步认识了指数函数的概念，而在过程阶段，教师需要引导学生逐步形成对指数函数变化规律的认识。
在这个阶段，教师可以通过图形展示的方式引导学生对于指数函数的变化规律进行探究和总结。
基于APOS理论视角下的数学定理教学
基于APOS理论视角下的数学定理教学1. 引言1.1 研究背景数学定理在数学教学中占据着重要地位，它们是数学知识的核心和基础。
传统的数学定理教学往往侧重于机械记忆和运用定理的过程，而缺乏对学生认知发展和数学思维的深入理解。
如何更有效地教授数学定理成为了当前数学教育研究中的一个重要课题。
本研究旨在探讨基于APOS理论视角下的数学定理教学模式，旨在提高学生对数学定理的理解和运用能力。
通过深入研究和实践，期望能够为数学教育领域提供一种新的教学理念和方法，促进学生数学思维的发展和提升数学教学效果。
1.2 研究目的研究目的是探究基于APOS理论的数学定理教学对学生数学学习的影响。
通过对APOS理论的深入理解和应用，我们希望能够设计出更有效的数学定理教学策略，帮助学生更好地理解和掌握数学定理的概念和应用方法。
我们也希望通过本研究，可以为教育实践和教学改革提供有益的借鉴和参考，促进学生在数学学习中的发展和进步。
通过深入研究和探讨，我们希望能够揭示出基于APOS理论的数学定理教学的优势和特点，为教学实践和教育改革提供更加科学和有效的指导，从而促进学生数学学习水平的提高，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，为学生的终身学习和发展打下坚实的基础。
1.3 意义数要求、格式要求等。
感谢理解与配合！在教学实践中，基于APOS理论视角下的数学定理教学具有重要的意义。
这种教学方法可以更好地激发学生的数学兴趣和学习动力，提高他们对数学定理的理解和应用能力。
通过引导学生从感性认识到形式认识再到抽象认识的过程，帮助他们建立深厚的数学思维基础，培养解决问题的能力。
基于APOS理论的数学定理教学可以促进学生的认知发展，帮助他们建立起积极的认知结构，更好地理解和掌握数学定理的本质和内在联系。
这种教学方法还可以提高教学效果，促进学生的自主学习和思维能力的培养，使学生在数学学习过程中能够更深入地思考和探究，达到更好的学习效果。
基于APOS理论的数学定理教学具有重要的意义，对于提高学生的数学学习兴趣、促进认知发展和提高教学效果具有积极的推动作用。
基于APOS理论视角下的数学定理教学
基于APOS理论视角下的数学定理教学【摘要】本文以APOS理论为视角，探讨了基于该理论的数学定理教学设计。
首先介绍了APOS理论的概念和在数学教育中的应用，然后详细阐述了如何在教学中运用APOS理论来设计数学定理的教学内容。
通过案例分析，展示了基于APOS理论的数学定理教学在实际教学中的应用效果。
评价部分对这种教学方法进行了总结和展望，指出了其重要性和未来研究方向。
总结了基于APOS理论视角下的数学定理教学在提高学生理解和应用数学定理能力方面的重要性。
未来研究应该进一步探讨如何更好地结合实际教学情境，推动数学教育的创新发展。
【关键词】APOS理论，数学定理教学，教育研究，数学教育，案例分析，教学设计，重要性评价，未来研究方向，结论总结1. 引言1.1 研究背景数学定理在数学教育中扮演着重要的角色，它们是数学知识的基石，是推动数学发展的动力。
传统的数学定理教学往往注重学生对定理的记忆和应用，忽略了学生对定理背后深刻理解的建构过程。
这导致了学生对数学定理的理解存在局限性，难以灵活应用所学知识解决实际问题。
基于APOS理论视角下的数学定理教学成为了当前数学教育领域的热点问题，为今后的教学实践提供了新的思路和方法。
本文旨在探讨基于APOS理论的数学定理教学设计，为促进学生对数学定理的深层理解提供有益的借鉴。
1.2 研究意义数要求、格式要求等等。
以下是关于研究意义的内容：基于APOS理论视角下的数学定理教学有着重要的实践意义和理论意义。
在实践层面上，数学定理是数学领域中的重要内容，具有严密性和逻辑性，对于培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力至关重要。
通过基于APOS理论的教学方法，可以更好地引导学生建构数学概念，加深对数学定理的理解，并提升解题能力。
通过对学生认知发展过程的分析和引导，可以有效提升数学定理教学的效果，使学生更好地掌握数学知识。
2. 正文2.1 APOS理论概述APOS理论是由法国数学教育学家戴维德·塞努斯基（David Tall）于1982年提出的一种认知学习理论。
基于APOS理论视角下的数学定理教学
基于APOS理论视角下的数学定理教学【摘要】本文基于APOS理论视角探讨了数学定理教学的方法和效果。
对APOS理论进行了概述，介绍了其中的A(Actions)、P(Procedures)、O(Objects)、S(Schemes)四个阶段。
随后详细讨论了在数学定理教学中如何运用APOS理论，分别从Actions、Procedures、Objects、Schemes四个阶段入手进行分析。
通过对APOS理论视角下的数学定理教学进行效果分析，得出了一些结论和展望未来研究方向。
本研究的意义在于为数学教育领域提供了一种新的教学方法，能够更好地促进学生对数学定理的理解和运用，有望提高数学教学的效果和质量。
【关键词】APOS理论、数学定理教学、理论概述、A阶段、P阶段、O阶段、S阶段、教学效果分析、未来研究展望1. 引言1.1 研究背景数要求等。
谢谢配合！随着教育技术的不断发展和应用，传统的数学教学方式面临着挑战和改革的压力。
传统的数学教学往往注重学生对数学定理的机械记忆和应用，而忽视了数学概念的深入理解和数学思维能力的培养。
这导致了学生对数学的兴趣下降和数学学习效果不佳的问题。
在这样的背景下，越来越多的教育研究者开始关注基于APOS理论的数学教学方法。
APOS理论是由Tower、Tall等数学教育领域的专家提出的，它强调数学学习应该从对提出的观点（Objects）进行行动（Actions），进而形成过程（Procedures），最终形成一系列的模式（Schemes）来帮助学生建立起对数学概念的深入理解。
基于APOS理论的数学定理教学可以帮助学生逐步建立起对数学定理的概念理解，促进学生的数学思维发展，并提高学生的数学学习兴趣和学习效果。
深入研究基于APOS理论的数学定理教学方法对于提升数学教学质量和培养学生的数学素养具有重要的意义。
1.2 研究目的本研究的目的是通过基于APOS理论的视角探讨数学定理教学的有效性和可行性，深入分析APOS理论在数学教学中的应用价值，并探讨如何将APOS理论融入数学教学实践中，以提高学生的数学学习效果和提升数学教师的教学水平。
基于APOS理论的指数函数概念教学设计
基于APOS理论的指数函数概念教学设计指数函数是高中数学中的一个重要概念，也是数学中常用的一种函数类型。
为了帮助学生理解和掌握指数函数的概念，可以依据APOS（行为、过程、对象和情境）理论进行教学设计。
以下是一个基于APOS理论的指数函数概念教学设计。
一、行为阶段：1. 呈现问题情境：为了激发学生对指数函数的兴趣，可以先呈现一个问题情境。
假设有一座高楼，一颗花朵从楼顶上落下，每秒钟向下移动的距离是原来的一半。
请问经过多少秒，花朵距离地面只剩下一米？2. 引导学生思考：通过给出问题情境，引导学生思考和探索。
让学生先猜测答案，并讨论并解释他们的猜测。
3. 观察行为：引导学生进行实验观察。
可以使用电子设备记录花朵的下降距离和时间，让学生观察数据的变化情况，从中寻找规律。
4. 行为总结：引导学生总结观察到的规律。
学生可以发现花朵每秒下降的距离形成一个等比数列，并猜测与指数函数有关系。
二、过程阶段：1. 导出指数函数的定义：通过引导学生观察和总结，引导他们导出指数函数的定义。
学生可以总结出指数函数的特点是底数不变，指数递增或递减。
2. 引导学生继续观察：引导学生通过给定不同的底数和指数，观察和记录函数值的变化情况。
让学生探索底数和指数对函数图像的影响，进一步理解指数函数的特点。
四、情境阶段：1. 应用指数函数：通过实际问题情境进行指数函数的应用。
假设有一个细菌种群，每小时繁殖的数量是前一小时的两倍，让学生求解给定时间后细菌数量的问题。
2. 引导学生思考和讨论：在应用问题情境中，引导学生思考和讨论指数函数的应用，并与他们的生活经验进行联系。
让学生分享其他应用指数函数的实际问题，并分析解决方法。
数学概念的理论分析以及基于APOS理论的教学设计.doc
1 •提交某个数学概念的理论分析以及基于APOS理论的教学设计数轴指具有原点、正方向、单位长度一条直线。
第一阶段：活动阶段通过让学生观察生活屮的温度计，去了解刻度线的构成，去读数, 看看不同位置的数分别表示什么含义。
第二阶段程序阶段通过之前的观察，读数体验，分析出数周构成的耍素，总结出数周的定义。
第三阶段对象阶段如何在数轴上表示一个数，明确相反数在数轴上的位置特点第四阶段图式阶段如何利用借助数轴比较两个数的大小教学过程教学环节教师活动预设学生行为设计意图砌情月课题一设境入问题1:温度计是我们日常生活屮用来测量温度的重要工具，你会读温度计吗？请你尝试读出课本43页图小三个温度计所表示的温度？问题2：在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3m和7. 5m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站西3m和4. 8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境.四人小组为单位讨论并回答教师的问题创设问题情境，激发学生学习热情，发现生活中的数学•通过问题1和问题2的解决，学生感受到点与数之间的关系，从而山点表示数的感性认识上升到理性认识.合交探新刃二作流索知由上述两问题得到什么启发？你能用一条直线上的点表示有理数吗？在讨论的基础上动学生在开放的环境下，大胆的发表自己的见解.有的学生提出用射线上的点表示有理归纳：先画一条水平直线，在水平直线上取一手操作，在操作的基础丄归纳出：可数，但有人反驳，射线是向一方延伸，而有理数是无限的，应该采用直点表示0（叫做原点），选取某一•长度作为单位长度，以表示有同时学生还探索规定向右的方向为正方向这就是数轴. 理数的直出,为了区分正有1 1 1 1 1 1 1 »线必须满理数和负有理数，-3-2-10123 '足什么条必须在直线上先件？确定零点，即原点.同时还需要正方向以及像温度计刻度一样的单位长度.问题1:+3, -4,丄，-1.5, 0分别在数轴的什4通过练习，得出结论。
基于APOS理论视角下的数学定理教学
基于APOS理论视角下的数学定理教学
APOS理论是一种简单而有效的教学方法，它注重学生的思维转变和理解深度，可以帮助学生在数学学习中更好地掌握知识。
在APOS理论的视角下，数学定理的教学应该是一个由抽象到具体的过程，通过重复实例化的方式让学生理解定理的本质含义及其应用。
在教学定理的过程中，教师可以引入一些具体的例子来说明抽象的概念。
例如，在教学三角形中的中线定理时，教师可以将各种类型的三角形投影到黑板上，使学生能够直观地感受到中线的线段相等这一概念。
这样一来，学生就能对抽象概念建立更深入的理解。
例如，学生可能会使用APOS理论中的A（行动）和S（语言）来表达中线定理的意义和规律。
在APOS理论的框架下，教师还应该注重教学策略的设计，帮助学生更好地掌握知识。
例如，在教学“一元三次方程组的解法”时，教师可以引导学生分析解题的关键点，如变量抵消，系数化简等。
这样就可以激发学生的思维，促进他们高效、有效地掌握知识。
在教学数学定理时，APOS理论也能够帮助学生学习方法的建立和提高，使他们能够更好地理解和掌握数学知识。
例如，在教学平行公理定理时，教师可以提供一些贴近生活实际的例子，如“铁路双线”，使学生可以更好地理解和运用到实际中去。
另外，教师还可以通过自主学习等活动，让学生在尝试中不断掌握新的数学知识。
【高中数学】基于APOS理论的函数概念教学设计
【高中数学】基于APOS理论的函数概念教学设计摘要：函数概念教学是高中教学的难点，基于apos理论的教学设计有利于学生形成函数概念，并在同化和顺应基础上形成函数概念图式。
关键词：载脂蛋白；作用概念一、概念同化教学与apos理论高中新课程实施已经四年多了。
然而，目前仍有相当一部分教师采用传统的概念同化教学方法，其教学步骤有[1]：（1）揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号；（2）对概念进行特殊分类，以揭示概念的外延；（3）通过使用概念的定义，巩固概念并进行简单的识别活动；（4）应用和连接概念，用概念解决问题，并在所学概念和其他概念之间建立联系。
这种教学方式有其精妙之处，但是过快的抽象过程只能有一少部分学生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生理解不了数学概念，只能靠死记硬背。
事实上，概念的同化教学对帮助学生构建良好的概念图式、原理图式，作用十分有限。
因为心理意义是不能传授的，必需由学生自我构建，不能由教师代替学生操作、思考、体验。
美国数学教育家Ed.Dubinsky认为，一个人不可能直接学习数学概念。
更具体地说，人们通过心理结构使所学的数学概念变得有意义。
如果一个人对给予的数学概念有一个合适的心理结构，他几乎会自然而然地学会它。
相反，如果他不能建立适当的心理结构，他几乎不可能学习数学概念。
因此，埃杜宾斯基认为，学生学习数学概念是为了建构心理结构。
该施工过程需要经历以下四个阶段[2]：二、基于apos理论的函数教学设计从数学教育的研究内容来看，代数的内容逐渐从解方程转向学习函数[3]。
函数的概念已经成为中学数学中最重要的概念之一。
函数本身的概念并不容易理解。
国外关于函数教学的研究表明，这项研究对60名16岁和18岁的学生进行了调查。
结论是，大多数学生认为函数的概念是一个过程，而不是一个静态结构。
中国学者也进行了相关研究，见文献[4]可见，函数确实成了中学数学中最难教、最难学的概念之一。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2008年7月第16卷 第3期 山西警官高等专科学校学报Journa l of Shan Xi Po lice Academ y J u l.,2008 Vo l.16 No.3【教育教学研究】基于AP OS理论的高等数学概念教学模式□田慧琴(山西警官高等专科学校,山西太原030021)摘 要:高等数学教学中基本概念的教学是基础。
基于AP OS理论的高等数学概念教学模式分为四个阶段:Acti on(操作或活动阶段),Pr ocess(过程阶段),Object(对象阶段),Sche me(模型阶段)。
这种教学模式既注重了数学概念的逻辑结构分析,又重视概念形成过程的思维过程分析,可以帮助学生形成较稳定的数学概念心理图式。
关键词:AP理论;高等数学;概念教学;模式分析中图分类号:G642.21 文献标识码:A 文章编号:1671-685X(2008)03-0089-03 高等数学的教学一直以来都特别强调“三基”,即基本概念、基本理论和基本方法的教学。
其中基本概念的教学是基础,是掌握基本理论和运用基本方法解决实际问题的关键。
当前,有些高校由于教学时数的限制,多数依据“以应用为目的,以必须、够用为度”的原则,注重学生基本运算能力和分析问题、解决问题能力的培养,强调数学的应用,对基本概念的教学有些弱化,把高等数学的教学变成了讲例题、做习题、答考题的应试教学模式。
笔者认为,高等数学教学中基本概念的教学是根本,是提炼数学思想方法,培养学生创新精神的平台。
只有重视基本概念,学生才能够更深刻地理解数学,运用数学。
一、高等数学概念教学模式从传统向现代转变传统的数学概念教学模式是建立在一般学习理论基础之上,认为数学概念教学应该注重概念产生的背景、提出过程;概念的本质属性;概念之间的联系和概念的体系;概念的巩固,包括符号、名称;概念的实际运用。
这种被称为“概念同化教学方式”的数学概念教学理论偏重于概念的逻辑结构的教学,其不足之处是忽视了概念形成过程的内部的认知分析。
在认知科学、建构主义等理论指导下,数学概念学习的现代研究认为:数学概念的学习是一个学生主体主动建构的过程,而且在建构的实践中,主体已有的认知结构发挥了特别重要的作用,并且学生主体的建构处于不断的发展之中;对数学概念的研究,需要深入到概念形成过程的内部,对数学概念本身独有的基本发展特征作细致的认知分析。
后来经过Thomp s on、Greeno、H iebert和Sfard等人的不断研究,揭示了数学概念的二重性———“过程”与“对象”,并指出,数学概念的“过程”与“对象”这两个侧面有着紧密的依赖关系。
形成一个数学概念往往要经历由“过程”开始,然后转变为“对象”的认知过程,而且最终结果是两者在认知结构中共存,并且在适当的时机分别发挥作用。
美国数学教育家杜宾斯基(Dubinsky)等发展起来的AP OS理论,正是一种基于认知科学、建构主义理论的数学概念教学模式。
该理论认为学生学习数学概念是要进行心理建构的,这一建构过程要经历四个阶段:Acti on(操作或活动阶段),为了引出数学概念需要进行的活动或操作;Pr ocess (过程阶段),把上述操作活动综合成数学概念;Object(对象阶段),把数学概念上升为一个独立的对象来处理;Scheme (模型阶段),形成包含上述三个过程的综合心理图式。
[1]数学概念探究大体存在两种倾向,一种是只注重知识来龙去脉的完整探究,而不关注学生认知发展,探究过程太“原始”而“烦琐”;另一种是“去数学化”的探究,注重学生动手、讨论、情景设置等外部探究活动,忽略了数学本身的内在本质特点。
结果探究归探究,数学归数学,二者相背离。
怎样将数学知识和探究活动有效结合?笔者以为,运用数学概念学习的AP OS理论,深入数学概念形成过程的内部本质,体现“过程”和“对象”的双重性,并从数学学习心理学的角度,揭示学生学习数学概念过程中真实的思维活动,是设计数学概念教学的一个有益尝试。
在具体教学实践中将传统的数学概念教学模式与AP OS理论辩证地统一起来,既注重数学概念的逻辑结构分析,又重视概念形成过程的思维过程分析,才能做到数学概念的逻辑形式与概念形成的历史发展过程相统一,其本质就是数学的内容与思想方法的统一。
二、基于AP OS理论的高等数学概念教学模式分析收稿日期:2008-04-12作者简介:田慧琴(1972-),女,山西五台人,工学硕士,山西警官高等专科学校讲师。
—98— (一)操作或活动(Acti on )阶段:引入概念概念的引入阶段应充分考虑学生的认知规律,体现直观性、可接受性原则。
从认知科学的角度分析,此时学生对数学概念的学习处于“操作或活动(Acti on )阶段”。
在教学中,应针对不同的数学概念选取几何、物理等应用背景或纯数学背景引入概念,通过“活动”让学生亲身体验、感受概念的直观背景,并通过学生对接触到的实例进行组织整理、分析归纳来直观地帮助学生形成定义,也即从具体到抽象。
因此,引例的选取很重要。
在高等数学中有一些引例是很经典的,例如极限概念可用“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,刘徽的“割圆术”,分形几何中Koch 雪花周长引入;导数概念有两个经典引例:曲线的切线斜率,变速质点的瞬时速度;微分概念可用矩形边长的改变引起面积的改变量是多少作为引例;定积分概念也有两个经典引例:曲边梯形的面积,变速质点的位移;常微分方程概念用已知切线斜率求曲线方程和求上抛物体的运动方程作为引例;二重积分概念用曲顶柱体的体积和平面薄片的质量作为引例;无穷级数概念可以纯数学问题作为引例,如2=1+0.4+0.01+0.004+…,进而提出问题:如何理解无穷多个数相加(这是“不可完成”的)却得出一个数?也可用历史上的芝诺悖论作为引例。
通过分析引例,让学生亲身体验这些引例的数学或物理背景,引导学生进行组织整理、分析归纳,抽象出所举几个引例的共性,直观地帮助学生形成定义,实现从具体到抽象,为下一步概念表述做准备。
另外教师也可结合学生的专业背景,改编传统引例或挖掘适合特定学习对象的新的引例。
总之,通过“活动”阶段,可以激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲及创造力,更激发出学生努力超越旧理论的局限,去构建新理论的信心和内在驱动力。
(二)过程(Pr ocess )阶段:概括表述概念概念的概括,也就是数学概念的定义,是通过已知概念明确另一个概念内涵的逻辑方法。
在教学中应充分发挥学生主体能动性,给学生营造一个“创造、发现”的心境,再造心智活动过程,贯彻发现法的教育原则。
从认知角度分析,学生经过对“活动”进行思考,经历思维的内化、压缩过程,在头脑中对“活动”进行描述和反思,抽象出特定概念所特有的性质,即概括出数学概念的定义。
概念的表述可以借鉴美国微积分教学的“四原则”,即对数学对象尽可能地用图像、数值、符号和语言四个方面加以阐明。
[2]这里的语言既包括自然的描述性语言,也包括形式化的数学语言。
从几何、代数、数值和语言的多元表征方式展现数学概念,既符合个体认知规律,又有利于个体理解。
不同的表征能够传达不同的信息,从整合的表征中获取的信息量比从单一的表征中获取的信息量要多得多。
比如极限概念的表述可以用自然的定性描述语言,也要用数学语言描述,还要用数学符号描述,最好再用数值化列表作图逼近的方法,形象地体现自变量趋于一个值时,函数值逼近某一具体值的趋近过程,学生可以直观感受。
数学概念的表述要特别注重其精确性,为了增强表述的准确性,要特别注意概念产生和成立的条件,培养学生尽量用标准的数学语言来表述概念。
(三)对象(Object )阶段:分析解剖概念“对象”阶段是通过前面的活动和抽象,认识了概念的本质,对其赋予形式化的定义和符号,使其达到精致化,成为一个具体的对象,并在以后的学习中以此对象去进行新的活动,此对象就转变为即将被操作的“实体”。
当概念进入对象状态时,便呈现出一种静态的结构关系,因而有利于从整体把握其性质。
因此,在教学实践中要特别注重分析解剖数学概念的表达形式中精炼的语言和所使用的符号的涵义,从多角度、全方位分析概念所适用的条件和范围。
对概念内涵、外延的进一步说明就是对数学概念的含义作更深入的分析解剖,比如与其他概念的联系与比较等,努力揭示抽象概念的“本原”意义,阐明隐藏在形式符合后的数学思想方法。
正确把握概念的内涵和外延,并有意识地引导学生发现数学思维过程中数学概念的矛盾运动和发展变化,从而揭示出数学概念间的关系。
只有在这个时候,一个完整的数学概念才真正成型。
所有教科书上的数学思想都是经过多年的锤炼形成的,一个问题被解决以后就发展成一个形式化的技巧,数学教师就是帮助学生发现隐藏在“冰冷的形式”后面的“火热的思考”过程。
[3]比如讲多元函数微积分时要与一元函数微积分相应的概念进行归纳比较,展示它们之间内在的相同的思想方法和区别。
事实上,对数学概念的分析解剖要贯穿整个高等数学的学习过程,不断强化补充,从而建立起内在统一的数学概念网络,进一步形成并发展为学生主体的数学思维能力。
(四)模型(Scheme )阶段:形成稳定的心理图式此时的数学概念已经以一种含有具体实例、抽象过程、完整定义乃至和其他概念的区别与联系的综合心理图式在头脑中形成。
教学中要在概念的应用中加深对所学概念的理解和把握,从而形成数学意识以及分析解决实际问题的能力。
要努力揭示概念的客观背景和在解决实际问题中的意义,尽可能给出几何解释、物理解释和其他联系实际意义的解释。
既要阐释概念的实际应用又要阐释数学应用,举一些和实际生活相关的例子,也要把所讲概念运用于解决数学问题。
比如要强调导数作为变化率的实际意义:物理、化学、生物、经济等众多领域的变化率如经济增长率、边际函数、化学反应速度、血流梯度等,也要强调概念的数学应用如从变化率角度解释复合函数求导公式、反函数求导公式、参数方程求导公式;从变化率角度解释微分中值定理;从变化率角度解释导数的符号决定函数增减性、凹凸性。
讲微分概念在近似计算和积分学中的运用,既讲定积分在物理学中求变力做功求液体静压力,在经济学中已知边际函数求总量求资金流量等运用,又把定积分运用于求平面图形的面积和空间立体的体积。
“模型”阶段的形成要经过长期的学习活动来完善,教师应深刻地揭示数学概念的这种矛盾运动和辩证发展,长期反复,循序渐进,螺旋上升直至建立和形成较稳定的数学概念心理图式,进而发展为个体进行数学理论研究和运用数学解决实际问题的能力。
—09—山西警官高等专科学校学报 2008年第3期 三、几点教学建议在高等数学教学中教师要在一个具体数学概念的教学中实践以上四个步骤,除此之外还应注意:首先,要阶段性地做好相似、相近或相关概念的归纳比较,以突出它们相互之间的区别与联系。