3-4函数单调性与曲线的凹凸性
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求单调区间的步骤:
1：确定函数的定义域D，判断函数f (x)在D上连续，可导； 2：求出f (x) 0的点及 f (x)不存在的点； 3：用f (x) 0的点及 f (x)不存在的点来划分函数 f (x)的 定义区间； 4：判断各个区间内导数的符号，得出它的单调性.
例2 解
确定函数 f ( x) 2x3 9x2 12x 3的单调区间.
在[2 a, a]上单调减少； 3
3、在[k , k ]上单调增加, 22 3
在[k , k ]上单调减少,(k 0,1,2,) . 2 32 2
四、(1)a 1 时没有实根； e
(2)0 a 1 时有两个实根； e
(3)a 1时只有 x e一个实根. e
3、函数 y x 2 ln x 2 的单调区间为____________，
单减区间为_____________.
二、 确定下列函数的单调区间：
1、 y
10
；
4x3 9x2 6x
2、 y 3 (2 x a)(a x)2 (a 0)；
3、 y x sin 2x .
三、证明下列不等式： 1、当 x 0时，1 x ln( x 1 x 2 ) 2、当 x 4时，2 x x 2 ； 3、若 x 0，则sin x x 1 x 3. 6
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)(x 2) 解方程f ( x) 0 得， x1 1, x2 2. 当 x 1时， f ( x) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加； 单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
充分小的邻域内单调递增？
思考题解答
不能断定.
例
f
(x)
x 2 x2 sin1, xx00,
x0
f
(0)
lim (1
x0
2
x
sin
1 x
)
1
0
但 f ( x) 1 4x sin 1 2cos 1 , x 0
x
x
当
x
(2k
1
1)
时，
f
(
x
)
1
(2k
4
1)
0
2
2
当 x 1 时， f ( x) 1 0 2k
单调区间为 (,0]， [0,).
还可以利用函数的单调性来证明不等式：
例4 当x 0时,试证x ln(1 x)成立. 证：设f ( x) x ln(1 x), 则 f ( x) x .
1 x f ( x)在[0,)上连续,且(0,)可导，f ( x) 0,
在[0,)上单调增加； f (0) 0,
注意 k可以任意大，故在 x0 0 点的任何邻 域内，f ( x) 都不单调递增．
练习题
一、填空题：
1、函数 y 2x 3 6x 2 18x 7 单调区间为________
_____________.
2、函数
y
1
2x x
2
在区间[-1,1]上单调________，
在_________上单调减.
利用泰勒公式]
练习题答案
一、1、(,1],[3,)单调增加,[1,3] 单调减少； 2、增加,(,1],[1,) 3、(,1],[1,) ；[1,0),(0,1];(,1],(0,1].
二、1、在(,0),(0, 1],[1,) 内单调减少, 2
在[1 ,1]上单调增加； 2
2、在(, 2 a],[a,)内单调增加, 3
解 函数y在(-,+)上连续可导，且y ex 1.
在(, 0)内, y 0, 函数在(,0]上单调减少；
在(0, )内, y 0, 函数在[0, )上单调增加.
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
二、单调区间求法
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
例1 讨论函数y e x x 1的单调性.
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (, ).函数f (x)在D上连续，可导且
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
y 3 x2
当x 0时,导数不存在.
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
当x 0时， x ln(1 x) 0, 即 x ln(1 x).
三、小结
单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的 重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间， 结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式.
思考题
若 f (0) 0，是否能断定 f ( x) 在原点的
1 x2 ；
四、方程 ln x ax (a 0)有几个实根.
五、设 f ( x)在[a, b ]上连续，在(a, b )内 f ( x) ,试证
明：对于[a, b ]上任意两x1 ，x2 有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) [提示：方法（1）
2
2
f ( x) 0， f ( x) 单增；方法（2） f ( x) 0，
一、单调性的判别法
y
y f (x) B
A
oa
bx
f ( x) 0
定理
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
证 x1, x2 (a,b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
x2 x1 0,
1：确定函数的定义域D，判断函数f (x)在D上连续，可导； 2：求出f (x) 0的点及 f (x)不存在的点； 3：用f (x) 0的点及 f (x)不存在的点来划分函数 f (x)的 定义区间； 4：判断各个区间内导数的符号，得出它的单调性.
例2 解
确定函数 f ( x) 2x3 9x2 12x 3的单调区间.
在[2 a, a]上单调减少； 3
3、在[k , k ]上单调增加, 22 3
在[k , k ]上单调减少,(k 0,1,2,) . 2 32 2
四、(1)a 1 时没有实根； e
(2)0 a 1 时有两个实根； e
(3)a 1时只有 x e一个实根. e
3、函数 y x 2 ln x 2 的单调区间为____________，
单减区间为_____________.
二、 确定下列函数的单调区间：
1、 y
10
；
4x3 9x2 6x
2、 y 3 (2 x a)(a x)2 (a 0)；
3、 y x sin 2x .
三、证明下列不等式： 1、当 x 0时，1 x ln( x 1 x 2 ) 2、当 x 4时，2 x x 2 ； 3、若 x 0，则sin x x 1 x 3. 6
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)(x 2) 解方程f ( x) 0 得， x1 1, x2 2. 当 x 1时， f ( x) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加； 单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
充分小的邻域内单调递增？
思考题解答
不能断定.
例
f
(x)
x 2 x2 sin1, xx00,
x0
f
(0)
lim (1
x0
2
x
sin
1 x
)
1
0
但 f ( x) 1 4x sin 1 2cos 1 , x 0
x
x
当
x
(2k
1
1)
时，
f
(
x
)
1
(2k
4
1)
0
2
2
当 x 1 时， f ( x) 1 0 2k
单调区间为 (,0]， [0,).
还可以利用函数的单调性来证明不等式：
例4 当x 0时,试证x ln(1 x)成立. 证：设f ( x) x ln(1 x), 则 f ( x) x .
1 x f ( x)在[0,)上连续,且(0,)可导，f ( x) 0,
在[0,)上单调增加； f (0) 0,
注意 k可以任意大，故在 x0 0 点的任何邻 域内，f ( x) 都不单调递增．
练习题
一、填空题：
1、函数 y 2x 3 6x 2 18x 7 单调区间为________
_____________.
2、函数
y
1
2x x
2
在区间[-1,1]上单调________，
在_________上单调减.
利用泰勒公式]
练习题答案
一、1、(,1],[3,)单调增加,[1,3] 单调减少； 2、增加,(,1],[1,) 3、(,1],[1,) ；[1,0),(0,1];(,1],(0,1].
二、1、在(,0),(0, 1],[1,) 内单调减少, 2
在[1 ,1]上单调增加； 2
2、在(, 2 a],[a,)内单调增加, 3
解 函数y在(-,+)上连续可导，且y ex 1.
在(, 0)内, y 0, 函数在(,0]上单调减少；
在(0, )内, y 0, 函数在[0, )上单调增加.
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
二、单调区间求法
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
例1 讨论函数y e x x 1的单调性.
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (, ).函数f (x)在D上连续，可导且
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
y 3 x2
当x 0时,导数不存在.
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
当x 0时， x ln(1 x) 0, 即 x ln(1 x).
三、小结
单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的 重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间， 结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式.
思考题
若 f (0) 0，是否能断定 f ( x) 在原点的
1 x2 ；
四、方程 ln x ax (a 0)有几个实根.
五、设 f ( x)在[a, b ]上连续，在(a, b )内 f ( x) ,试证
明：对于[a, b ]上任意两x1 ，x2 有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) [提示：方法（1）
2
2
f ( x) 0， f ( x) 单增；方法（2） f ( x) 0，
一、单调性的判别法
y
y f (x) B
A
oa
bx
f ( x) 0
定理
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
证 x1, x2 (a,b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
x2 x1 0,