优化建模实例1
数学建模优化类问题例子
数学建模优化类问题例子数学建模是一种解决实际问题的方法，通过数学模型对问题进行描述，运用数学方法进行分析和求解。
在优化类问题中，数学建模的目标是通过最小化或最大化某个指标来找到问题的最优解。
在以下的例子中，我将介绍几个典型的优化问题。
1.生产计划优化假设一个公司生产两种不同的产品，每个产品的成本、销售价格和市场需求都不同。
公司希望通过合理调整两种产品的生产量，以最大化利润。
为了达到这个目标，我们可以建立一个数学模型，考虑到每种产品的成本、销售价格和市场需求，以及公司能够生产的总产量限制。
然后，可以使用线性规划等数学方法，求解出最优的生产计划，使得公司利润最大化。
2.路线规划优化考虑一个物流公司要在不同的城市之间进行货物运输，每个城市之间的距离不同，同时还考虑到交通拥堵情况。
公司希望通过合理规划运输路线，以最小化整体运输成本和时间。
为了达到这个目标，我们可以建立一个数学模型，考虑到每个城市之间的距离、交通拥堵情况以及运输成本。
然后，可以使用图论等数学工具，求解出最优的路线规划，使得运输成本和时间最小化。
3.资源分配优化考虑一个学校要为不同的课程安排教师以及教学资源，每个课程的需求和教学资源的供应不同。
学校希望通过合理分配教师和教学资源，以最大化学生的学习效果。
为了达到这个目标，我们可以建立一个数学模型，考虑到每个课程的需求和教学资源的供应，以及教师的专业能力。
然后，可以使用线性规划等数学方法，求解出最优的资源分配方案，使得学生的学习效果最大化。
4.物资库存优化考虑一个零售商要管理不同种类的商品库存，每个商品的销售量和订货周期不同，同时还考虑到库存成本和仓储空间的限制。
零售商希望通过合理管理库存，以最小化库存成本和避免缺货。
为了达到这个目标，我们可以建立一个数学模型，考虑到每个商品的销售量、订货周期以及库存成本和仓储空间的限制。
然后，可以使用动态规划等数学方法，求解出最优的库存管理方案，使得库存成本最小化同时避免缺货。
lingo优化模型例题
lingo优化模型例题
例题：假设我们有一个优化模型，我们要最小化一个目标函数
f(x) = 3x^2 - 5x + 2，其中 x 是决策变量。
我们的决策变量 x 的取值范围是 [-10, 10]。
我们要求 x 的取值使得目标函数 f(x) 最小化。
可以使用LINGO 语言来编写这个优化模型，以下是一个例子：```
SETS:
x /-10..10/;
MIN = f(x);
MODEL:
VARIABLE x;
OBJECTIVE = 3 * x^2 - 5 * x + 2;
x >= -10;
x <= 10;
END
```
在这个例子中，我们首先定义了一个集合 x，表示决策变量 x
的取值范围。
然后，我们定义了一个目标函数 MIN，表示要
最小化的目标函数。
在 MODEL 部分，我们定义了一个决策变量 x，并且在OBJECTIVE 部分定义了要最小化的目标函数。
最后，在 x 的
取值范围上添加了约束条件。
LINGO 编程语言可以通过求解器来求解这个优化模型，求解
器可以通过给定的约束条件和目标函数找到使目标函数最小化的决策变量取值。
以上是一个基本的LINGO 优化模型的例子，根据具体的问题，你可以根据需要修改约束条件和目标函数来适应不同的优化问题。
数学建模中的优化算法应用实例
数学建模中的优化算法应用实例数学建模是一种有效的解决实际问题的方法，而优化算法则是数学建模中不可或缺的工具之一。
优化算法能够寻找最优解，最大化或最小化某个目标函数，有着广泛的应用领域。
本文将介绍数学建模中的几个优化算法应用实例，以展示其在实际问题中的作用和价值。
一、车辆路径规划优化在实际的物流配送领域中，如何合理地规划车辆路径，使得总运输成本最小、配送效率最高，是一个关键问题。
优化算法在车辆路径规划中起到了至关重要的作用。
通过建立数学模型，基于某个目标函数（如最小化总运输成本），可以采用遗传算法、模拟退火算法等优化算法，快速找到最优解，从而提高物流配送的效率和效益。
二、资源分配优化在资源分配问题中，常常需要考虑到各种限制条件，如最大化利润、最小化生产成本等。
优化算法能够帮助决策者在有限的资源下做出最优的分配决策。
例如，对于生产调度问题，可以利用线性规划等优化算法，将生产计划与订单需求进行匹配，使得生产成本最小化、交货期最短化。
三、供应链优化供应链管理中的优化问题也是实际应用中的重点关注点之一。
通过数学建模和优化算法，可以实现供应链中物流、库存、订单等多个环节的优化。
例如，在供应链网络设计中，可以使用整数规划算法来寻找最优仓储和配送中心的位置，从而降低总运输成本；在需求预测和库存管理中，可以利用模拟退火算法等优化算法，提高供应链的响应速度和利润率。
四、机器学习模型参数优化在机器学习领域，模型参数的选择对模型的性能和准确性有着重要的影响。
通过建立数学模型，可以将模型参数优化问题转化为参数寻优问题，进而采用优化算法求得最优参数。
例如，在神经网络的训练过程中，可以利用遗传算法、粒子群优化算法等进行参数调整，提高模型的预测准确性和泛化能力。
五、能源系统优化能源系统的优化是实现可持续发展的重要方向之一。
通过优化算法，可以针对能源系统进行容量规划、发电机组简化和能源分配等问题的优化。
例如，在微电网系统优化中，可以利用整数规划等算法，实现可再生能源与传统能源的协同供电，最大化清洁能源的利用率。
优化模型举例
2019/12/4
99年A题：“自动化车床管理”，双参数规划模型。 99年B题：“钻井布局”，非线性混合整数规划模 型。 00年B题：“钢管订购和运输”，二次规划模型。 01年B题：“公交车调度”，双目标规划模型。 02年A题：“车灯线光源的优化设计”，规划模型。
2019/12/4
03年B题：“露天矿生产的车辆安排”，非线性 规划模型。 04年B题：“电力市场的输电阻塞管理”，双目
建立数学模型的方法
机理分析法 定性理论法 变分法 差分法 优化法
统计分析法 最小二乘法 回归分析法 聚类分析法 主成分分析法 马尔科夫预测法
系统分析法 层次分析法 模糊数学法 灰色系统法
2019/12/4
2019/12/4
优化模型是中国大学生建模竞赛常见的类型， 占很大的比重。 92 年以来，优化模型有： 94年A题：“逢山开路”设计最短路径。 95年A题：“一个飞行管理问题”，线性规划
f (x)
n
ci xi
i 1
1n
2
i
,
j
bij
1
xi
x
j
s.t.
n j 1
aij x j
bi , i
1,2,...,n.
xi
0.i
1,2,...,n.
2019/12/4
4. 根据设计变量的允许值
整数规划（0-1规划）和实数规划。
5. 根据变量具有确定值还是随机值
xij 0 or 1
保证连通性。
其中 xij (0 i,j n), 表示若该旅行商在访问城 i 后接着访问城 j ，则令 xij 1 ，否则令 xij 0
3.数学建模之优化模型实例
3.数学建模之优化模型实例3.优化模型实例数学建模资料优化建模例1 钢管下料问题某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。
从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19米长。
1) 现有一客户需要50根4米长、20根6米长和15根8米长的钢管。
应如何下料最节省？2) 零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。
此外，该客户除需要1)中的三种钢管外，还需要10根5米长的钢管。
应如何下料最节省？数学建模资料优化建模问题1)的求解问题分析首先，应当确定哪些切割模式是可行的。
所谓一个切割模式，是指按照客户需要在原料钢管上安排切割的一种组合。
例如，我们可以将19米长的钢管切割成3根4米长的钢管，余料为7米显然，可行的切割模式是很多的。
其次，应当确定哪些切割模式是合理的。
通常假设一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于客户需要的钢管的最小尺寸。
在这种合理性假设下，切割模式一共有7种，如表1所示。
数学建模资料优化建模表1 钢管下料的合理切割模式4米钢管根数6米钢管根数8米钢管根数余料(米) 4 0 0 3 3 1 0 1 2 0 1 3模式1 模式2 模式3 模式4 模式5 模式6 模式71 1 0 02 13 00 1 0 23 1 1 3数学建模资料优化建模问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些种合理的模式，切割多少根原料钢管，最为节省。
而所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。
下面将对这两个目标分别讨论。
数学建模资料优化建模模型建立决策变量用xi 表示按照第i种模式(i=1, 2, 。
, 7) 切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。
决策目标以切割后剩余的总余料量最小为目标，则由表1可得Min Z13x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7(32)以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有Min Z 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7(33)下面分别在这两种目标下求解。
优化模型举例
一单位实物 行走时间(分钟) 捕获时间(分钟) 热量(焦耳)
X
2
2
25
Y
3
1
30
假设捕食者每天能得到 x 单位的食物 X 和
y 单位的食物 Y ，则每天获得的热量值为
max u 25x 30 y 2x 3y 120
s.t 2x y 80 x 0, y 0.
2020/7/1
2020/7/1
收点
发点
B1
B2
…. Bn
A1X11 X12….. X1na1
A2
X21 X22
…. X2n
a2
….. …..
Am
Xm1
Xm2 ….. Xmn
am
b1 b2
….
bn
2020/7/1
A1的总费用
A1 ~ B j
n
C11x11 C12 x12 ... C1n x1n C1 j x1 j j 1
2020/7/1
03年B题：“露天矿生产的车辆安排”，非线性 规划模型。 04年B题：“电力市场的输电阻塞管理”，双目
标线性规划模型。 05年B题：“DVD在现租赁”，0-1规划模型。 06年A题：“出版社的资源优化配置”，线性规 划模型。
2020/7/1
（一）优化模型的数学描述
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
2.根据设计变量的性质 静态问题和动态问题。
3.根据目标函数和约束条件表达式的性质 线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。
2020/7/1
（1）非线性规划
目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
min u f (x) x
s. t. hi ( x) 0,i 1,2,..., m. gi ( x) 0(gi ( x) 0), i 1,2,..., p.
数学建模之优化模型
数学建模之优化模型在我们的日常生活和工作中，优化问题无处不在。
从如何规划一条最短的送货路线，到如何安排生产以最小化成本并最大化利润，从如何分配资源以满足不同的需求，到如何设计一个系统以达到最佳的性能，这些都涉及到优化的概念。
而数学建模中的优化模型，就是帮助我们解决这些复杂问题的有力工具。
优化模型，简单来说，就是在一定的约束条件下，寻求一个最优的解决方案。
这个最优解可以是最大值，比如利润的最大化；也可以是最小值，比如成本的最小化；或者是满足特定目标的最佳组合。
为了更好地理解优化模型，让我们先来看一个简单的例子。
假设你有一家小工厂，生产两种产品 A 和 B。
生产一个 A 产品需要 2 小时的加工时间和 1 个单位的原材料，生产一个 B 产品需要 3 小时的加工时间和 2 个单位的原材料。
每天你的工厂有 10 小时的加工时间和 8 个单位的原材料可用。
A 产品每个能带来 5 元的利润，B 产品每个能带来 8 元的利润。
那么，为了使每天的利润最大化，你应该分别生产多少个A 产品和 B 产品呢？这就是一个典型的优化问题。
我们可以用数学语言来描述它。
设生产 A 产品的数量为 x，生产 B 产品的数量为 y。
那么我们的目标就是最大化利润函数 P ＝ 5x ＋ 8y。
同时，我们有加工时间的约束条件 2x ＋3y ≤ 10，原材料的约束条件 x ＋2y ≤ 8，以及 x 和 y 都必须是非负整数的约束条件。
接下来，我们就可以使用各种优化方法来求解这个模型。
常见的优化方法有线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等等。
对于上面这个简单的例子，我们可以使用线性规划的方法来求解。
线性规划是一种用于求解线性目标函数在线性约束条件下的最优解的方法。
通过将约束条件转化为等式，并引入松弛变量，我们可以将问题转化为一个标准的线性规划形式。
然后，使用单纯形法或者图解法等方法，就可以求出最优解。
在这个例子中，通过求解线性规划问题，我们可以得到最优的生产方案是生产 2 个 A 产品和 2 个 B 产品，此时的最大利润为 26 元。
数学建模优化建模实例【精选】
x1=80，x2= 150，x3=0，最优值z=610 8
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
方法2：引入0-1变量，化为整数规划
x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80
x1 My1, x1 80 y1, y1 {0,1} M为大的正数，
x2 My2, x2 80 y2, y2 {0,1} 可取1000
4
25
20
合计
100
135
成本(千元/千箱)
5.0 5.1 5.4 5.5
• 剩余产品需要支付贮存费，每周0.2千元/千箱；
应如何安排计划，在满足每周市场需求的条件下，使 四周的总费用最小 ？
11
问题分析
周次 1 2 3 4
合计
需求 15 25 35 25 100
能力 30 40 45 20 135
现有量 600 60000
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大。
• 由于各种条件限制，如果生产某一类型汽车，则至少 要生产80辆，那么最优的生产计划应作如何改变。
6
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
成本 5.0 5.1 5.4 5.5
• 除第4周外每周的生产 能力超过每周的需求； • 生产成本逐周上升； •前几周应多生产一些。
模 • 饮料厂在第1周开始时没有库存；
型 • 从费用最小考虑, 第4周末不能有库存；
假 设
• 周末有库存时需支出一周的存贮费；
3500
2850
如何装运， 使本次飞行 获利最大？
数学建模优化建模实例
数学建模优化建模实例数学建模是将现实问题抽象为数学问题，并利用数学方法解决问题的过程。
优化建模是数学建模中的一种常见方法，其主要目标是寻找一个最优解，在给定的约束条件下最大化或最小化一些指标。
下面将以一个实际问题为例，介绍数学建模和优化建模的过程。
假设公司生产和销售苹果汁。
为了提高生产效率和降低成本，该公司希望确定每个生产周期的最佳生产数量和销售价格。
同时，公司还面临一个供应约束：每个生产周期公司最多能购买苹果的数量是固定的，且销售数量必须小于或等于生产数量。
首先，我们需要将问题进行数学建模。
定义变量：-总生产数量：X（每个生产周期生产的苹果汁的数量）-销售数量：Y（每个生产周期销售的苹果汁的数量）-单位生产成本：C（每单位苹果汁的生产成本）-单位销售价格：P（每单位苹果汁的销售价格）-每个生产周期苹果的供应限制数量：S（每个生产周期可以购买的苹果的数量）问题的目标是最大化利润，即最大化销售收入减去生产成本。
因此，我们的目标函数可以定义为：Profit = P * Y - C * X公司面临的约束条件包括：1.生产数量必须小于或等于供应限制数量：X<=S2.销售数量必须小于或等于生产数量：Y<=X接下来，我们可以通过数学优化建模的方法来求解这个问题。
我们可以构建一个数学模型来描述问题，并使用相关的数学工具和算法来求解最优解。
在这个例子中，我们可以使用线性规划的方法来求解。
线性规划是一种常用于解决优化问题的数学方法，它通过确定一组决策变量的值，使得目标函数最大化或最小化，同时满足一组约束条件。
在我们的例子中，我们可以将问题表示为线性规划模型：最大化 Profit = P * Y - C * X约束条件：1.X<=S2.Y<=X通过求解这个线性规划模型，我们可以得到最优的生产数量X和销售数量Y，以及对应的利润Profit。
解决这个问题的方法有很多种，如单纯形法、内点法等。
我们可以通过使用线性规划软件工具来求解这个问题，比如MATLAB、Gurobi等。
数学建模优化建模实例
模 4米 6米 8米 余 式 根数 根数 根数 料
14
0
03
23
1
01
32
0
13
41
2
03
51
1
11
60
3
01
70
0
23
需 50 20 15 求
约束 满足需求
4x1 3x2 2x3 x4 x5 50 x2 2x4 x5 3x6 20
x3 x5 2x7 15
整数约束： xi 为整数 最优解：x2=12, x5=15,
其余为0； 最优值：27。
按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米
20
钢管下料问题1
目标2（总根数） Min Z2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
约束条 4x1 3x2 2x3 x4 x5 50 最优解：x2=15,
x1 0, x2 0, x3 80 x1 0, x2 80, x3 0
x1 0, x2 80, x3 80
x1 80, x2 0, x3 0 x1 80, x2 80, x3 0 x1 80, x2 0, x3 80
x1 80, x2 80, x3 80 x1 , x2 , x3 0
余料1米
4米1根 6米1根
6米1根
余料3米
8米1根
8米1根
余料3米
合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸
18
钢管下料问题1
合理切割模式
模式 1 2 3 4 5 6 7
4米钢管根数 4 3 2 1 1 0 0
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0
数学建模优化类问题例子
数学建模优化类问题例子
1.最佳生产计划：有一家汽车零部件制造公司，需要决定该如何安排生产计划以最大化利润。
该公司需要考虑每个零部件的生产成本、供应链的延迟和运输成本等因素，以确定最佳的生产数量和交付时间。
2.最优投资组合：一位投资者有一定资金，希望通过合理的资产配置来最大化投资回报。
该投资者需要考虑不同资产类别的风险和回报率，并使用数学建模优化方法来确定最佳的资产配置比例。
3.旅行销售员问题：一位旅行销售员需要在多个城市之间进行访问，并希望以最小的总行驶距离完成所有访问任务。
通过使用数学建模和优化算法，销售员可以确定最佳的访问顺序，从而减少总行驶距离和时间。
4.最佳路径规划：在一个迷宫中，有一只小老鼠需要找到从起点到终点的最短路径。
通过将迷宫与数学模型相关联，可以使用图论和最短路径算法来确定小老鼠应该采取的最佳行动策略。
以上只是一些例子中的几个，实际上数学建模和优化方法可以应用于各种不同的问题领域，包括金融、物流、能源管理、医疗决策等。
通过数学建模和优化，可以帮助人们做出更明智的决策，提高效率和效果。
数学建模案例分析最优化方法建模动态规划模型举例
§6 动态规划模型举例以上讨论的优化问题属于静态的，即不必考虑时间的变化，建立的模型——线性规划、非线性规划、整数规划等，都属于静态规划。
多阶段决策属于动态优化问题，即在每个阶段（通常以时间或空间为标志）根据过程的演变情况确定一个决策，使全过程的某个指标达到最优。
例如：（1）化工生产过程中包含一系列的过程设备，如反应器、蒸馏塔、吸收器等，前一设备的输出为后一设备的输入。
因此，应该如何控制生产过程中各个设备的输入和输出，使总产量最大。
（2）发射一枚导弹去击中运动的目标，由于目标的行动是不断改变的，因此应当如何根据目标运动的情况，不断地决定导弹飞行的方向和速度，使之最快地命中目标。
（3）汽车刚买来时故障少、耗油低，出车时间长，处理价值和经济效益高。
随着使用时间的增加则变得故障多，油耗高，维修费用增加，经济效益差。
使用时间俞长，处理价值也俞低。
另外，每次更新都要付出更新费用。
因此，应当如何决定它每年的使用时间，使总的效益最佳。
动态规划模型是解决这类问题的有力工具，下面介绍相关的基本概念及其数学描述。
（1）阶段 整个问题的解决可分为若干个相互联系的阶段依次进行。
通常按时间或空间划分阶段，描述阶段的变量称为阶段变量，记为k 。
（2）状态 状态表示每个阶段开始时所处的自然状况或客观条件，它描述了研究过程的状况。
各阶段的状态通常用状态变量描述。
常用k x 表示第k 阶段的状态变量。
n 个阶段的决策过程有1+n 个状态。
用动态规划方法解决多阶段决策问题时，要求整个过程具有无后效性。
即：如果某阶段的状态给定，则此阶段以后过程的发展不受以前状态的影响，未来状态只依赖于当前状态。
（3）决策 某一阶段的状态确定后，可以作出各种选择从而演变到下一阶段某一状态，这种选择手段称为决策。
描述决策的变量称为决策变量。
决策变量限制的取值范围称为允许决策集合。
用)(k k x u 表示第k 阶段处于状态k x 时的决策变量，它是k x 的函数，用)(k k x D 表示k x 的允许决策集合。
优化建模实例1
10x c( x ) 1000 8 x 3000 6 x
(0 x 500) (500 x 1000) (1000 x 1500)
(1)
设原油A用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为x11和x12（吨）， 原油B用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为x21和x22（吨）， 则总的收入为4.8(x11+x21)+5.6(x12+x22)（千元）。 于是本例的目标函数（利润）为
(12)
此外，x1，x2，x3的取值范围是
0 x1 , x2 , x3 500
(13)
由于有非线性约束(11),(12)，(3)~(13)构成非线性 规划模型。LINGO程序：
Model: Max= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3; x11+x12 < x + 500; x21+x22 < 1000; 0.5*x11 - 0.5*x21 > 0; 0.4*x12 - 0.6*x22 > 0; x=x1+x2+x3; (x1 - 500) * x2=0; (x2 - 500) * x3=0; @bnd(0,x1, 500); @bnd(0,x2, 500); @bnd(0,x3,500); end
第2种解法 直接处理分段线性函数c(x)。 （1）式表示的函数c(x)如图5-1。
c( x)
12000 9000 5000
0
500
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1000
1500
x
分段线性函数c(x)图形 可以用@if函数来解决
数学建模案例分析--最优化方法建模1消防设施安置
第七章 图与网络方法建模瑞士数学家欧拉（E.Euler ）在研究哥尼斯堡七桥问题的同时开创了图论研究的先河。
经过两百多年的发展，尤其是在20世纪中叶以后，伴随着计算机科学的发展，图论也得到迅速发展和广泛应用，内容及其丰富。
这里仅介绍图论中的几个最常见问题，主要目的是通过一些例子来阐述它们的应用价值。
§1 消防设施安置一、 图的几个基本概念1、图图是由顶点集),,,(21n v v v V =，边集),,,(21m e e e E =以及各顶点和各边之间确定的关联关系组成的一种结构，记作),(E V G =。
例如： 2v1e 2e 5e1v 3v 6e 5v4e 3e 7e4v2、 图的矩阵表示（1）关联矩阵m n ij r R ⨯=)( （n 为顶点数，m 为边数），其中⎩⎨⎧=∈=否则使存在0,1i j k k ij v v e V v r例如：上图的关联矩阵为5432111100001001100010011000100110001001v v v v v R ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 1e 2e 3e 4e 5e 6e 7e（2）邻接矩阵()n n ij a A ⨯=，其中⎩⎨⎧=∈=否则使存在0,1i k j k ij v v e E e a 例如：上图的邻接矩阵为543210111010101110101*********v v v v v A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 1v 2v 3v 4v 5v3、图的最小复盖K 是V 的一个子集，若图G 的每条边都至少有一个顶点在K 中，则称K 是G 的一个复盖，含顶点数最少的复盖称为最小复盖。
最小复盖不一定唯一。
K 是图G 的复盖↔G 的关联矩阵R 中K 的各顶点所对应的行内，每列至少存在一个元素1。
从关联矩阵R 中找最小复盖的方法是：每次取1个数最多的一行，所在K v i ∈，划去该行及该行中1所在的列，直至结束。
数学建模案例之多变量无约束最优化
数学建模案例之多变量无约束最优化多变量无约束最优化问题是指在变量间没有限制条件的情况下，求解目标函数的最优值。
这类问题在数学建模中非常常见，实际应用非常广泛。
下面以一个实际案例说明多变量无约束最优化的建模过程。
假设地有几个旅游景点，现在需要制定一个旅游路线，使得游客的游玩时间最长，同时经济成本最低。
已知每个旅游景点之间的距离和游玩时间，以及游客每次游玩每公里所需的成本。
目标是找到一条旅游路线，使得游客在游览所有景点后，花费的经济成本最少。
首先，我们需要定义问题的数学模型。
假设有n个旅游景点，用x1, x2, ..., xn表示每个景点的游玩时间（单位：小时），用dij表示第i个景点和第j个景点之间的距离（单位：公里），用c表示游客游玩每公里所需的成本。
为了定义问题的数学模型，我们需要明确如下几个关键部分：1. 决策变量：定义一个n维向量X，其中每一个分量xi表示游客在第i个景点的游玩时间。
2. 目标函数：定义一个目标函数f(X)，表示游客花费的经济成本。
在本例中，目标函数可以定义为：f(X) = ∑dij * xi * c。
3.约束条件：由于是无约束最优化问题，这里没有额外的约束条件。
有了以上几个关键部分，我们可以将问题的数学模型表达为如下形式：最小化：f(X) = ∑dij * xi * c其中，i=1,2,...,n下一步是求解这个最优化问题。
可以使用各种数值优化算法，比如梯度下降法、牛顿法、遗传算法等。
具体的求解过程会涉及到算法的具体细节，这里不再详述。
最后，根据求解结果，我们可以得到游玩时间最长且经济成本最低的旅游路线。
这条路线就是我们需要制定的旅游路线。
总结起来，多变量无约束最优化问题在数学建模中的应用非常广泛。
通过定义合适的决策变量、目标函数和约束条件，可以将实际问题转化为数学模型，并通过数值优化算法求解这个模型，得到最优解。
在实际应用中，对于复杂的问题，可能需要结合多种算法和技巧来求解。
数学建模最优化模型例题
数学建模最优化模型例题好，咱们今天来聊聊数学建模和最优化模型这块儿。
数学建模，这名字听起来就挺高大上的，实际上，咱们日常生活中处处都是它的身影。
想象一下，早上起床，看到窗外阳光明媚，心里琢磨着今天去不去公园，顺便锻炼锻炼。
于是，你心里开始盘算，公园离家有多远，走路要多久，还是骑个单车比较快？这就是在用数学建模，算一算，看看哪个更划算。
再说说最优化模型，这就像是在挑选午饭一样。
你有一大堆选择，米饭、面条、快餐还是外卖，真是眼花缭乱。
你心里想，要是不吃太油腻的，又想吃得饱，还得好吃。
于是开始分析：今天外卖不如自己做，自己做的话，买啥材料比较好，怎么搭配更营养呢？这时候，你的脑子就像一个小计算机，开始进行各种选择。
想想，如果能把所有的选择变成一个数学问题，肯定能算出最优解，嘿，生活简直就像在解题一样，乐趣多多。
再说说商场里打折的那种，真是让人心痒痒的。
假如你打算买新鞋，满心期待。
可是一进商场，各种颜色、各种款式扑面而来，心里顿时就犯了选择困难症。
想要买的那双鞋打折了，可是另外一双颜色也不错，怎么办呢？这时候，最优化模型就可以帮你了。
想一想，你最看重什么，舒适、样式还是价格？用数学的眼光来审视，看看哪双鞋的性价比最高，没准儿就能找到那个最适合自己的了。
有些小伙伴可能会问了，数学建模到底有什么用呢？你知道吗，很多企业在决策的时候都离不开这些模型。
就拿快递公司来说，他们每天都要处理成千上万的包裹，怎么能保证包裹及时送到呢？他们需要用到最优化模型来安排路线，减少运输成本。
想象一下，如果没有这些模型，快递员可能跑了一大圈，最后才发现原来只需要直走就到了。
那可真是得不偿失，没准儿包裹还会晚到，这可就麻烦了。
数学建模的魅力就在于它能把复杂的问题简单化。
我们生活中遇到的各种难题，最终都可以转化为一个个数学问题。
你说这是不是挺神奇的？比如你要规划一次旅行，想去多少个地方，怎么安排最合适，住哪儿能便宜又舒服，这些全都可以用建模来解决。
优化问题建模举例
优化问题建模举例例1：组合投资问题：总金额1000万美圆的资金，用于投资四种债券。
已知债券年收益率期望值/%债券113债券28债券312债券414年收益率最低值/%持续期/年6 38 410 79 9希望年收益率期望值达到最大，并且满足下列要求：1）组合投资的年收益率最低值至少为8%;2）组合投资的平均持续期至多为6年（各债券的投资百分比乘持续期，之和）；3）任一债券的投资百分比至多为40% .怎样投资？解:四种债券的投资金额是待定的决策变量，分别记为为公2山3,& ；目标是年收益率期望值最大；题中的三条要求是约束条件。
得下面优化模型：max 0.13x-i 0.08x2 0.12x3 0.14x4 .s.t. x1 x2 x3 x4 = 1000,2x1 - 2x3 - X4 — 0,-3为一2X2 x3 3x4乞0,0 辽x“ x2, x3, x4咗400 .（在这个模型中，决策变量都是线性的，故称为线性规划）例2：某学校游泳队要从5名队员中选4名参加4乘100米混合泳接力赛。
5名队员4种泳姿的百米成绩（单位：秒）李王张刘赵蝶泳66.857.2787067.4仰泳75.66667.874.271蛙泳8766.484.669.683.8自由泳58.65359.457.262.4如何选拔？（1）请建立“ 0----1规划”模型;（2）用Lin go求解。
解：若第i名队员参加第j种泳姿比赛，则令为=1 ;否则令为=0 ；共有20个决策变量X j。
第i 名队员的第j种泳姿成绩记为q，则5 4目标函数为：mi n C j X ijy 2约束条件有：每名队员顶多能参加一种泳姿比赛4、x— 1, i =1,2,3,4,5 ；j丄5每种泳姿有且仅有一人参加' X ij "j =123,4i丄这样就能建立如下“0----1 规划”模型：5 4min 二二cij Nji 4 j4s.t. ' x ij乞1, i =1,2,3,4,5j」5' X j = 1 , j 二1,2,3,4 .i 4例3：某帆船制造公司要决定下两年八个季度的帆船生产量。
几个优化问题的数学建模
⼏个优化问题的数学建模⼏个优化问题的数学建模⼀、⼀个开放式基⾦投资问题6、模型的评价模型的主要优点是采⽤较为成熟的数学理论建⽴模型，利⽤数学软件计算，可信度⽐较⾼，便于推⼴。
主要缺点是建⽴的模型是确定的⽽不是更符合实际情况的随机型模型。
⼆、结合⼈员分配的⽣产规划问题1、问题某公司要对四种产品（P1，P2，P3，P4）在五条⽣产线（L1到L5）上的⽣产进⾏规划。
产品P1和P4的单位纯利润为7元，产品P2的单位纯利润为8元，产品P3的单位纯利润为9元。
在规划期内这五条⽣产线各⾃可以进⾏⽣产的时间长度各不相同。
L1到L5的最⼤可⽤⽣产时间分别为4500⼩时，5000⼩时，4500⼩时，1500⼩时和2500⼩时。
表1列出了在每条⽣产线上⽣产每种产品⼀个单位所需要的时间。
（1）、假设⽣产是流⽔线作业，产品P1到P4各应⽣产多少才能使总利润最⼤？（2）、如果在⽣产过程中允许在⽣产线之间进⾏⼈员转移（从⽽使⼯时也相应转移），如表2所⽰，则最⼤利润是多少？应转移多少个⼯时，如何转移？（3）、如果⽣产不是流⽔线作业，模型应如何修改？表1 单位⽣产时间表2 可以进⾏的⼈员转移2、假设（1）每条⽣产线可⽣产各种产品；（2）每个⽣产⼈员的⼯作效率相同，且熟练各条⽣产线的操作，可在各条⽣产线之间转移。
3、建模3.1、问题(1) 设每种产品必须经过5条⽣产线才能⽣产出来，产品P i 的产量为x i ,单位纯利润为r i ,在⽣产线L j 上的单位⽣产时间为d ij 。
⽣产线L j 的可⽤总⼯时数为c j ,则可得模型1：max 41i =∑r i x is.t.41i =∑d ij x i ≤c j ，j=1，2，3，4，5x i ≥0，i=1，2，3，43.2、问题(2) 设y jk 为从⽣产线L j 转移到⽣产线L k 的⼯时数，⽣产线L j 的最⼤可转移总⼯时数为b j ,j,k=1,2,3,4,5,j ≠k ，则可得模型2：max 4s.t.3.3、问题(3) 设每种产品只需在任意⼀条⽣产线上即可⽣产出来，产品P i在⽣产线L j 上的产量为x ij , i=1，2，3，4；j=1，2，3，4，5，则只需在上述两个模型中，将⽬标函数修改为max 41i =∑51j =∑r i x ij ,将41i =∑d ij x i 修改为41i =∑d ij x ij ,其余不变。
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模型建立：设原油A的购买量为x 模型建立：设原油A的购买量为x（吨），根据题目所给数据， ），根据题目所给数据， 根据题目所给数据 采购的支出c(x)可表为如下的分段线性函数（ c(x)可表为如下的分段线性函数 采购的支出c(x)可表为如下的分段线性函数（以下价格以 千元/吨为单位）： 千元/吨为单位）：
Variable X11 X21 X12 X22 X1 X2 X3 X
Value 0.0 1000.000 500.0000 499.9990 0.9536707E-03 1000.000
Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
此时LINGO得到的结果是一个全局最优解 此时LINGO得到的结果是一个全局最优解 LINGO得到的结果是一个 solution）：购买1000吨原油A ）：购买1000吨原油 （Global optimal solution）：购买1000吨原油A， 与库存的500吨原油A 1000吨原油 一起， 500吨原油 吨原油B 与库存的500吨原油A和1000吨原油B一起，共生产 2500吨汽油乙 利润为5000 千元）， 吨汽油乙， 5000（ ），高于刚刚得 2500吨汽油乙，利润为5000（千元），高于刚刚得 到的局部最优解对应的利润4800 千元）。 4800（ 到的局部最优解对应的利润4800（千元）。
第2种解法 直接处理分段线性函数c(x)。 （1）式表示的函数c(x)如图5-1。
c(x)
12000 9000 5000
0
500
1000
1500
x
分段线性函数c(x)图形 可以用@if函数来解决 可以用@if函数来解决 @if
输入的LINGO模型如下： Model: Max= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 -c; x11+x12 < x + 500; x21+x22 < 1000; 0.5*x11 - 0.5*x21 > 0; 0.4*x12 - 0.6*x22 > 0; C=@if(x#le#500,10*x,@if(x#le#1000,1000+8*x,3000+6*x)); end
§5.1.3 求解模型
2种解法
的采购量x分解为三个量 第1种解法 将原油 的采购量 分解为三个量，即用 1， 种解法 将原油A的采购量 分解为三个量，即用x x2，x3分别表示以价格 、8、6千元 吨采购的原油 的吨 分别表示以价格10、 、 千元 吨采购的原油A的吨 千元/吨采购的原油 总支出为c(x) = 10x1+8x2+6x3，且 数，总支出为 x = x1 + x2 + x3 (9) 这时目标函数（2）变为线性函数： 这时目标函数（ ）变为线性函数：
最优解: 用库存的500吨原油A 500吨原油 生产1000 500吨原油 吨原油B 最优解: 用库存的500吨原油A、500吨原油B生产1000 吨汽油甲，不购买新的原油A 利润为4800 千元） 4800（ 吨汽油甲，不购买新的原油A，利润为4800（千元） 但是此时LINGO得到的结果只是一个局部最优解 但是此时LINGO得到的结果只是一个局部最优解 LINGO得到的结果只是一个 可以用菜单命令“LINGO|Options”在 可以用菜单命令“LINGO|Options”在“Global Solver”选项卡上启动全局优化 选项卡上启动全局优化（ Solver”选项卡上启动全局优化（Use Global Solver）选项，然后重新执行菜单命令 Solver）选项， 得到： “LINGO|Solve” , 得到： Global optimal solution found. Objective value: Extended solver steps: Total solver iterations: 5000.002 3 187
Max
z = 4.8( x11 + x21 ) + 5.6( x12 + x22 ) c( x )
(2)
约束条件包括加工两种汽油用的原油A 原油B库存量的限制， 约束条件包括加工两种汽油用的原油A、原油B库存量的限制， 和原油A购买量的限制，以及两种汽油含原油A的比例限制， 和原油A购买量的限制，以及两种汽油含原油A的比例限制， 它们表示为 x11 + x12 ≤ 500 + x （3） x 21 + x 22 ≤ 1000 （4） x ≤ 1500 （5） x11 （6） ≥ 0.5 x11 + x 21 x12 （7） ≥ 0 .6 x12 + x 22 x11 , x12 , x 21 , x 22 , x ≥ 0 （8） 由于（ 不是线性函数，（ ，（1 由于（1）式中的c(x)不是线性函数，（1）~（8）给出的是 一个非线性规划。而且， 一个非线性规划。而且，对于这样用分段函数定义的c(x)， 一般的非线性规划软件也难以输入和求解。 一般的非线性规划软件也难以输入和求解。能不能想办法 将该模型化简，从而用现成的软件求解呢？ 将该模型化简，从而用现成的软件求解呢？
将文件存储并命名为exam1.lg4， 将文件存储并命名为exam1.lg4， exam1.lg4 执行菜单命令“LINGO|Solve”，运行该程序得到： 执行菜单命令“LINGO|Solve”，运行该程序得到：
Local optimal solution found. Objective value: 4800.000 Total solver iterations:
26
Variable X11 X21 X12 X22 X1 X2 X3 X
Value Reduced Cost 500.0000 0.000000 500.0000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
优化问题实例
例 某公司用两种原油（A和B）混合加工成两种汽 某公司用两种原油（ 甲和乙）。 ）。甲 乙两种汽油含原油A 油（甲和乙）。甲、乙两种汽油含原油A的最低比 例分别为50% 60%，每吨售价分别为4800 50%和 4800元和 例分别为50%和60%，每吨售价分别为4800元和 5600元 该公司现有原油A 的库存量分别为500 5600元。该公司现有原油A和B的库存量分别为500 吨和1000 1000吨 还可以从市场上买到不超过1500 1500吨 吨和1000吨，还可以从市场上买到不超过1500吨 的原油A 原油A的市场价为：购买量不超过500 500吨 的原油A。原油A的市场价为：购买量不超过500吨 时的单价为10000 10000元 购买量超过500 500吨但不超 时的单价为10000元/吨；购买量超过500吨但不超 1000吨时 超过500吨的部分8000 吨时， 500吨的部分8000元 过1000吨时，超过500吨的部分8000元/吨；购买 量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000 1000吨时 1000吨的部分6000元 量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。 该公司应如何安排原油的采购和加工。 该公司应如何安排原油的采购和加工。
( x1 500) x 2 = 0
(11)
同理，只有当以8千元/ =500（ 同理，只有当以8千元/吨的价格购买x2=500（吨）时， >0）， ），于是 才能以6千元/ 才能以6千元/吨的价格购买x3（>0），于是
( x 2 500) x3 = 0
(12)
此外， 此外，x1，x2，x3的取值范围是
0 ≤ x1 , x 2 , x3 ≤ 500
(13)
由于有非线性约束(11),(12)，(3)~(13)构成非线性 由于有非线性约束(11),(12)，(3)~(13)构成非线性 (11),(12) 规划模型。LINGO程序 程序： 规划模型。LINGO程序：
Model: Max= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3; x11+x12 < x + 500; x21+x22 < 1000; 0.5*x11 - 0.5*x21 > 0; 0.4*x12 - 0.6*x22 > 0; x=x1+x2+x3; (x1 - 500) * x2=0; (x2 - 500) * x3=0; @bnd(0,x1, 500); @bnd(0,x2, 500); @bnd(0,x3,500); end
§5.1.2建立模型 5.1.2建立模型
问题分析 安排原油采购、加工的目标是利润最大， 安排原油采购、加工的目标是利润最大，题目中给 出的是两种汽油的售价和原油A的采购价， 出的是两种汽油的售价和原油A的采购价，利润为 销售汽油的收入与购买原油A的支出之差。 销售汽油的收入与购买原油A的支出之差。这里的 难点在于原油A的采购价与购买量的关系比较复杂， 难点在于原油A的采购价与购买量的关系比较复杂， 是分段函数关系，能否及如何用线性规划、 是分段函数关系，能否及如何用线性规划、整数规 划模型加以处理是关键所在。 划模型加以处理是关键所在。
Max z = 4.8( x11 + x21 ) + 5.6( x12 + x22 ) (10 x1 + 8 x2 + 6 x3 )
(10)
应该注意到，只有当以 千元 千元/吨的价格购买 应该注意到，只有当以10千元 吨的价格购买 x1=500（吨）时，才能以8千元 吨的价格购买x2 （ 才能以 千元/吨的价格购买 千元 吨的价格购买 ），这个条件可以表示为 （>0），这个条件可以表示为 ），