2015-2016年江苏省徐州市铜山区八年级上学期期中数学试卷及参考答案

2015-2016学年江苏省徐州市铜山区八年级（上）期中数学试卷一、精心选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，把所选答案填入下表．1．（3分）下列是我国四大银行的商标，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C． D．2．（3分）下列实数中，、、﹣3.14、、、、0.020020002…，其中无理数的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．（3分）等腰三角形的周长是16，一边长为4，则这个等腰三角形腰长为（）A．4 B．6 C．4或6 D．84．（3分）如果a、b、c是一个直角三角形的三边，则a：b：c可以等于（）A．2：2：4 B．3：4：5 C．3：5：7 D．1：3：95．（3分）已知a+2与2a﹣5都是m的平方根，则m的值是（）A．1 B．81或9 C．﹣3 D．36．（3分）如图所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是（）A．40°B．35°C．25°D．20°7．（3分）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS8．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC=20cm，AB=12cm，则△ABD的周长为（）A．20cm B．22cm C．26cm D．32cm9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9，BC=6，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于（）A．3 B．4 C．5 D．610．（3分）勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D、E、F、G、H、I 都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A．90 B．100 C．110 D．121二、细心填一填：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在横线上．11．（3分）25的算术平方根是．12．（3分）写出一组你喜欢的勾股数：．13．（3分）用四舍五入法，把1890mL（精确到1000mL）取近似值万，用科学记数法可表示为mL．14．（3分）在直角三角形中，已知两条直角边的长度分别为5cm和12cm，则斜边长为cm．15．（3分）已知等腰三角形的一个内角等于40°，则它的顶角是°．16．（3分）如图，已知AC=AE，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）．17．（3分）在等边△ABC中，AB=2cm，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BN⊥AC于点N，则DE+DF=cm．18．（3分）如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是．三、用心做一做：本大题共2小题，每小题8分，共16分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．19．（8分）求下列各式中x的值（1）（x﹣1）2﹣4=0（2）2x3+4=20．20．（8分）如图：A村和B村在公路l同侧，且AB=3千米，两村距离公路都是2千米．现决定在公路l上建立一个供水站P，要求使PA+PB最短．（1）用尺规作图，作出点P；（作图要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）求出PA+PB的最小值．四、耐心做一做：本大题共2小题，每小题7分，共14分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．21．（7分）如图：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C．22．（7分）如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，连接GF，求证：GF⊥DE．五、耐心做一做：本大题共2小题，每小题8分，共16分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．23．（8分）将长方形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF （如图①）；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；请你求出图②中∠BCB′的度数．24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4cm，若O是BC的中点，动点M在AB移动，动点N在AC上移动，且AN=BM．（1）证明：OM=ON；（2）四边形AMON面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形AMON的面积．六、耐心做一做：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．25．（10分）（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上且CE=CA，试求∠DAE的度数；（2）如果把第（1）题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？26．（10分）材料阅读：在小学，我们了解到正方形的每个角都是90°，每条边都相等；本学期，我们通过折纸得到定理：直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半；同时探讨得知，在直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．（1）如图1，在等边三角形△ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1．求∠BPC的度数和等边△ABC的边长．聪聪同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′．根据聪聪同学的思路，可以证明△BPP′为等边三角形，又可以证明△ABP′≌△CBP，所以AP′=PC=1，根据勾股定理逆定理可证出△APP′为直角三角形，故此∠BPC=°；同时，可以说明∠BPA=90°，在Rt△APB中，利用勾股定理，可以求出等边△ABC的边AB=．（2）请你参考聪聪同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．2015-2016学年江苏省徐州市铜山区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、精心选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，把所选答案填入下表．1．（3分）下列是我国四大银行的商标，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误；故选：A．2．（3分）下列实数中，、、﹣3.14、、、、0.020020002…，其中无理数的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：无理数有：，，，0.020020002…，共有4个．故选：C．3．（3分）等腰三角形的周长是16，一边长为4，则这个等腰三角形腰长为（）A．4 B．6 C．4或6 D．8【解答】解：若腰长为4，则底边长为：16﹣4﹣4=8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，舍去；若底边长为4，则腰长为：=6．∴这个等腰三角形腰长为6．故选：B．4．（3分）如果a、b、c是一个直角三角形的三边，则a：b：c可以等于（）A．2：2：4 B．3：4：5 C．3：5：7 D．1：3：9【解答】解：A、∵22+22≠42，∴2：2：4不是直角三角形的三条边；故本选项错误；B、∵42+32=52，∴3：4：5是直角三角形的三条边；故本选项正确；C、∵32+52≠72，∴3：5：7不是直角三角形的三条边；故本选项错误；D、∵12+32≠92，∴1：3：9不是直角三角形的三条边；故本选项错误．故选：B．5．（3分）已知a+2与2a﹣5都是m的平方根，则m的值是（）A．1 B．81或9 C．﹣3 D．3【解答】解①当a+2=2a﹣5时，解得a=7，a+2=7+2=9，2a﹣5=2×7﹣5=9，∴m=92=81；②当a+2与2a﹣5互为相反数时，a+2+2a﹣5=0，解得a=1，a+2=1+2=9，2a﹣5=2×1﹣5=﹣3，∴m=（±3）2=9；综上所述，m的值为81或9．故选：B．6．（3分）如图所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是（）A．40°B．35°C．25°D．20°【解答】解：∵AD=AC，∠DAC=80°，∴∠ADC==50°，又∵AD=BD，∴∠B=∠BAD，∵∠B+∠BAD=∠ADC，∴2∠B=∠ADC，∴∠B=∠ADC=25°，故选：C．7．（3分）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【解答】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD ≌△C'O'D'（SSS），则△COD≌△C'O'D'，即∠A'O'B'=∠AOB（全等三角形的对应角相等）．故选：D．8．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC=20cm，AB=12cm，则△ABD的周长为（）A．20cm B．22cm C．26cm D．32cm【解答】解：∵DE垂直平分AC，∴DA=DC，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=32．故选：D．9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9，BC=6，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9﹣x．∵D是BC的中点，∴BD==3．在Rt△BDN中，由勾股定理得：ND2=NB2+BD2，即x2=（9﹣x）2+33，解得：x=5．AN=5．故选：C．10．（3分）勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D、E、F、G、H、I 都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A．90 B．100 C．110 D．121【解答】解：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示：则四边形OALP是矩形．∵∠CBF=90°，∴∠ABC+∠OBF=90°，又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，∴∠OBF=∠ACB，在△OBF和△ACB中，，∴△OBF≌△ACB（AAS），∴AC=OB，同理：△ACB≌△PGC，∴PC=AB，∴OA=AP，∴矩形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，∴KL=3+7=10，LM=4+7=11，∴长方形KLMJ的面积为10×11=110．故选：C．二、细心填一填：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在横线上．11．（3分）25的算术平方根是5．【解答】解：∵52=25，∴25的算术平方根是5．故答案为：5．12．（3分）写出一组你喜欢的勾股数：12，16，20．【解答】解：∵122+162=202，且12，16，20都是正整数，∴一组勾股数可以是12，16，20．故答案为12，16，20．13．（3分）用四舍五入法，把1890mL（精确到1000mL）取近似值万，用科学记数法可表示为2×103mL．【解答】解：1890mL≈2×103mL（用四舍五入法精确到1000mL）．故答案为2×103．14．（3分）在直角三角形中，已知两条直角边的长度分别为5cm和12cm，则斜边长为13cm．【解答】解：在直角三角形中，由勾股定理得：斜边长==13（cm）．故答案为：13．15．（3分）已知等腰三角形的一个内角等于40°，则它的顶角是40°或100°°．【解答】解：此题要分情况考虑：①40°是它的顶角；②40°是它的底角，则顶角是180°﹣40°×2=100°．所以这个等腰三角形的顶角为40°或100°．故答案为：40°或100°．16．（3分）如图，已知AC=AE，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）AB=AD．【解答】解：AB=AD，理由是：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，∴∠BAC=∠DAE，在△ABC 和△ADE 中，，∴△ABC ≌△ADE （SAS ），故答案为：AB=AD ．17．（3分）在等边△ABC 中，AB=2cm ，点D 是BC 边上的任意一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，BN ⊥AC 于点N ，则DE +DF= cm ．【解答】解：作AG ⊥BC 于G ，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=60°，∴AG=AB=cm ，连接AD ，∵S △ABD +S △ACD =S △ABC ，∴AB•DE +AC•DF=BC•AG ，∵AB=AC=BC=2，∴DE +DF=AG=cm ，故答案为．18．（3分）如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是BC 边的中点，E 是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是．【解答】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=2，∵D是BC边的中点，∴BD=1，根据勾股定理可得DC′==．故答案为：．三、用心做一做：本大题共2小题，每小题8分，共16分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．19．（8分）求下列各式中x的值（1）（x﹣1）2﹣4=0（2）2x3+4=20．【解答】解：（1）（x﹣1）2=4，x﹣1=±2，x=﹣1或x=3．（2）2x3+4=20，2x3=16，x3=8，x=2．20．（8分）如图：A村和B村在公路l同侧，且AB=3千米，两村距离公路都是2千米．现决定在公路l上建立一个供水站P，要求使PA+PB最短．（1）用尺规作图，作出点P；（作图要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）求出PA+PB的最小值．【解答】解：（1）作图，如右图，作出A点的对称点A′，连接BA′，找到交点P点；（2）连接AB，由题意知AB=3km，A A′=4km，在Rt△A A′B中，根据勾股定理得：A′B2=42+32，∴A′B=5km，即PA+PB=A′B=5km，答：PA+PB的最小值是5km．四、耐心做一做：本大题共2小题，每小题7分，共14分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．21．（7分）如图：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C．【解答】证明：作中线AD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD，∴∠B=∠C．22．（7分）如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，连接GF，求证：GF⊥DE．【解答】证明：如图，连接EG并延长至H使EG=GH，∵点G是BC中点，∴BG=CG=BC，∴四边形BHCE是平行四边形，∵∠BEC=90°，∴平行四边形BHCE是矩形，∴EH=BC，∴EG=BC，连接DG，同理，DG=BC∴GE=GD=BC，∴△GED是等腰三角形，∵F是DE的中点，∴GF⊥DE．五、耐心做一做：本大题共2小题，每小题8分，共16分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．23．（8分）将长方形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF （如图①）；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；请你求出图②中∠BCB′的度数．【解答】解：连接BB′．∵EF是折痕，∴EF⊥BC，BF=FC．∴B′B=B′C．∵GC 是折痕，∴CB=CB′．∴CB=CB′=BB′．∴△B′BC 是等边三角形∴∠BCB′=60°．24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4cm，若O是BC的中点，动点M在AB移动，动点N在AC上移动，且AN=BM．（1）证明：OM=ON；（2）四边形AMON面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形AMON的面积．【解答】解：（1）连接OA，∵∠A=90°，AB=AC，又∵O是BC的中点，∴OA=OB=OC，（直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半）∴∠CAO=∠BAO=45°，在△ONA和△OMB中，，∴△ONAD≌△OMB（SAS），∴OM=ON（全等三角形的对应边相等）；（2）不变，理由如下：由上知△ONA ≌△OMB ，∴S △ONA =S △OMB ，∴S 四边形ANOM =S △ONA +S △OMA =S △OMB +S △OMA =S △OAB ，∴S 四边形ANOM ═S △OAB =S △ABC =4（cm 2）．六、耐心做一做：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．25．（10分）（1）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 在BC 上，且BD=BA ，点E 在BC 的延长线上且CE=CA ，试求∠DAE 的度数；（2）如果把第（1）题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC ＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE 与∠BAC 有怎样的数量关系？【解答】解：（1）∠DAE=45°．理由：∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴∠B=∠ACB=45°，∵AB=BD ，AC=CE ，∴∠BAD=∠BDA ，∠E=∠CAE ，∴∠BAD=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CAE=∠ACB=22.5°，∴∠DAC=∠BAC ﹣∠BAD=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠DAE=∠DAC +∠CAE=45°；（2）∠DAE=∠BAC．理由：设∠BAC=α，∵AB=AC，∴∠B=（180°﹣α），∵BA=BD，∴∠BAD=∠BDA=（180°﹣∠B），∴∠CAD=α﹣（180°﹣∠B）=α﹣90°+∠B，∵CA=CE，∴∠CAE=∠ACB=∠B，∴∠DAE=α﹣90°+∠B+∠B+∠B=α﹣90°+∠B，∴∠DAE═α﹣90°+（180°﹣α）=α，∴∠DAE=∠BAC．26．（10分）材料阅读：在小学，我们了解到正方形的每个角都是90°，每条边都相等；本学期，我们通过折纸得到定理：直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半；同时探讨得知，在直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．（1）如图1，在等边三角形△ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1．求∠BPC的度数和等边△ABC的边长．聪聪同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′．根据聪聪同学的思路，可以证明△BPP′为等边三角形，又可以证明△ABP′≌△CBP，所以AP′=PC=1，根据勾股定理逆定理可证出△APP′为直角三角形，故此∠BPC=150°°；同时，可以说明∠BPA=90°，在Rt△APB中，利用勾股定理，可以求出等边△ABC的边AB=．（2）请你参考聪聪同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°．由旋转的性质可知：AP′=CP=1，BP′=BP=，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC．∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°．∴△BPP′是等边三角形．∴PP′=，∠BP′P=60°．∵AP′=1，AP=2，∴AP′2+PP′2=AP2．∴∠AP′P=90°．∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°．在Rt△AP′P中，sin∠APP′=，∴∠APP′=30°．∴∠BPA=∠BPP′+∠APP′=60°+30°=90°．Rt△APB中，由勾股定理可知：AB===．故答案为：150°；．（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F．由旋转的性质可知：AE=PC=1，BE=BP=，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°．∴∠BEP=（180°﹣90°）=45°．由勾股定理得：EP==2．∵AE=1，AP=，EP=2，∴AE2+PE2=AP2．∴∠AEP=90°．∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°．∵PE⊥PA，BF⊥AF，∴∠EBF=∠BEP=45°．∴∠FEB=∠FBE=45°．∴FE=BF=1．∴AF=2．∴在Rt△ABF中，由勾股定理得AB=．∴∠BPC=135°，正方形边长为．∴∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的边长是．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。