高一年级期末复习专题 立体几何大题综合原卷版

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期末专题立体几何大题综合
1．（梅州·高一统考期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，6AB =，6
ABC π
∠=
，5PA =，点E 、F 分别为棱PD 、AB
的中点．(1)证明：AE //平面PCF ；(2)求三棱锥E PCF -的体积．
2．（高一统考期末）如图，已知三棱锥-P ABC ，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠= ，60BAC ∠= ，2PA AC ==，M 、N 分别是PB 、AB
的中点．
(1)求证：MN //平面PAC ；
(2)求直线CM 与平面ABC 所成角的正弦值．
3．
（珠海·高一统考期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1,BC AC BC CC ⊥⊥，点D 是AB 的中点
.
(1)求证：1//AC 平面1CDB ；
(2)若侧面11AAC C 为菱形，求证：1AC ⊥平面1A BC .
4．
（韶关·高一统考期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别是AB ，1AA
的中点．
(1)求直线1B E 与直线11C D 所成角的正切值；(2)求三棱锥1D B EF -的体积．
5．（湛江·高一统考期末）四棱锥A BCDE -的侧面ABC 是等边三角形，EB ⊥平面
ABC ，DC ⊥平面ABC ，1BE =，2BC CD ==，F 是棱AD 的中点
.
(1)证明：EF ∥平面ABC ；(2)求四棱锥A BCDE -的体积.
6．（韶关·高一校考期末）如图，PA 垂直于⊙O 所在的平面，AC 为⊙O 的直径，
3AB =，4BC =
，PA =AE PB ⊥，点F 为线段BC
上一动点．
(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)当点F 与C 点重合，求PB 与平面AEF 所成角的正弦值．
7．
（江门·高一统考期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1DD
的中点．(1)求证：1//BD 平面ACE ；
(2)若2AB =，从正方体中截去三棱锥D ACE -后，求剩下的几何体的体积．8．（肇庆·高一统考期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C 为菱形，
160A AC ∠=︒，且1AB AA ⊥，11BC A C ^．
(1)证明：平面ABC ⊥平面11A ACC ；(2)若AB AC =，求二面角1A BC A --的余弦值．9．（肇庆·高一统考期末）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，E
，F ，M 分别为边PD ，PB ，PC 的中点，N 为BF 的中点．
(1)证明：MN ∥平面AEF ；(2)若PA PD =，11PC ，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60°
，求三棱锥P FEA -的体积．
10．
（揭阳·高一统考期末）如图在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，2BC =，
14CC =，E 是1BB 上的一点，且11EB =，D 、F 、G 分别是1CC 、11B C 、11AC 的中
点，EF 与1B D 相交于H ．
(1)求证：1B D ⊥平面ABD ；(2)求平面EGF 与平面ABD 的距离．
11．（高一统考期末）如图，在三棱锥S—ABC 中，SC ⊥平面ABC ，点P 、M 分别是SC 和SB 的中点，设PM=AC =1，∠ACB =90°，直线AM 与直线SC 所成的角为60°.
(1)求证：平面MAP ⊥平面SAC .(2)求二面角M—AC—B 的平面角的正切值；12．（韶关·高一学校考期末）如图，直三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '中，D 是AB 的中点．
(1)求证：直线BC ′∥平面A 'CD ；
(2)若AC ＝CB ，求异面直线AB '与CD 所成角的大小．
13．（广州·高一华南师大附中校考期末）已知平面四边形ABCD ，2AB AD ==，
60BAD ∠=︒，30BCD ∠=︒，现将ABD △沿BD 边折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，
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此时AD CD ⊥，点P 为线段AD 的中点
.
(1)求证：BP ⊥平面ACD ；
(2)若M 为CD 的中点，求MP 与平面BPC 所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，求二面角P BM D --的平面角的余弦值.
14．（广州·高一校联考期末）如图，把正方形纸片ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，点E ，F 分别为AD ，BC 的中点，点O 是原正方形ABCD 的中心
.
(1)求证：AB 平面EOF ；(2)求直线CD 与平面DOF 所成角的大小.
15．（广州·高一统考期末）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知13AB AA ==，且D 为11AC
的中点．
(1)求证：1//A B 平面1B CD ；(2)求1A B 与平面11BCC B 所成角的余弦值．
16．（广州·高一统考期末）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，1
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AB BC AD ==
=，90BAD ABC ∠=∠=︒，O 是AD
的中点．(1)求证：平面PAC ⊥平面POB ；
(2)点M 在棱PC 上，满足(01)PM PC λλ=<>，且三棱锥P ABM -
的体积为3
，求λ的值及二面角M AB D --的正切值．
17．（东莞·高一统考期末）如图，在圆柱12O O 中，AB 是圆2O 的直径，CD 和EF 分别是圆柱轴截面上的母线
.
(1)证明：1//O D 平面ABF ；
(2)若4DE EF ==，AF BF =，
证明AB ⊥平面CDEF ，求点D 到平面ABF 的距离.18．（惠州·高一统考期末）如图，在Rt ABC △中．90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且//DE BC ，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位
置，使1A D CD ⊥
，如图．
(1)求证：BC ⊥平面1A DC ；
(2)若2CD =，F 为1A D 的中点，作出过F 且与平面1A BC 平行的截面，并给出证明；19．
（清远·高一统考期末）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1DD 、1CC
的中点．
(1)证明：平面1//AEC 平面BDF ；(2)求异面直线1AC 与BF 所成角的余弦值．20．（佛山·高一统考期末）如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，90BAD ∠=︒，1
2
PA AD AB CD ===，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PC
的中点．
(1)求证：BE ⊥平面PCD ；(2)若PA PD =，求二面角P BC D --的余弦值．
21．（汕尾·高一统考期末）在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是1AA ，11B C 的中点，12AA =，1AC BC ==
，AB =1DC BD ⊥
.
(1)求证：1//A E 平面1C BD ；(2)求点1A 到平面1C BD 的距离.
22．（韶关·高一统考期末）如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，
AD BC ∥，AB BC ⊥，侧面SAB ⊥底面ABCD ，3BC =，1AD =，M 是棱SB 上
靠近点S
的一个三等分点．
(1)求证：平面SBC ⊥平面SAB ；(2)求证：//AM 平面SCD ；
(3)若△SAB 是边长为2的等边三角形，求直线SC 与平面ABCD 所成角的正弦值．23．
（广州·高一校联考期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面,ABCD BC ∥平面1
,2
PAD BC AD =
，90ABC ∠=︒，E 是PD
的中点．(1)求证：BC AD ∥；
(2)求证：平面PAB ⊥平面PAD ；
(3)若M 是线段CE 上任意一点，试判断线段AD 上是否存在点N ，使得MN ∥平面
PAB ？请说明理由．。