河北省青龙满族自治县中考数学复习 一元二次方程的根与系数关系教案 新人教版-新人教版初中九年级全册数
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培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学 生勇于探索的精神. 一元二次方程的根与系数关系
教学难点
对根与系数关系的理解和推导
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习引入
导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在 16 世纪 教师出示问题，引 创设问题情
学生独自完成 后面继续研究
3. 方程 2x2-3x+1=0 的两根的和、积与系数之间有类似的关系 巩固上诉知识
做铺垫
吗？
教师出示探究问
分析：这个方程的二次项系数等于 2，与上面情形有所不同，求 题，学生通过特殊 让学生通过
1/3
word
出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否 例子入手，再通过 探究问题，体
○3 由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；
○4 判断两个根的符号；○5 不解方程求含有方程的两根的式子的
值.
五、作业设 计 必做：P43：7 选做：补充作业：已知一元二次方程 x2+3x+1=0 的两个根是 、 ，求 的值.
教 学 反思
3/3
的一次项系数和常数项.
○4 两个根均为负数的一元二次方程是( )
x22-13x-5=0 C.7x22+15x-8=0
○5 .两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ） x22+5x-4=0 Cx22+ 3 5 x- 6 =0
学生独立完成，教 师巡回检查，师生
○6 .若关于 x 的一元二次方程 2x2-3x+m=0,当 m 时方程有两个正 集体订正
学生通过去括号、 通过思考问 合 并 得 到 一 般 形 题，让学生知 式 的 一 元 二 次 方 道二次项系数 程 ， 教 师 适 时 点 为 1 的一元二
拨，分析总结得到 次方程的根与
求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积.
结论.
系数关系，为
x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0
解题的感受与
p=; 若两个根互为倒数，则 q= .
学生尝试归纳，师 经验，感受数
生总结 分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另
学的严谨性和
一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的
数学结论的确
两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是 1 时，若方程的
定性.
两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程
学生归纳，总结阐 述，体会，反思. 并做出笔记.
通过归纳，进 一步理解韦 达定理及其 应用
各式的值：○1
1 x1
1 x2
； ○2 x2 x12
x1x22 ○3 x12
x22 ；
○4 x1
x2 2 ；
○5 x2 x1 x1 x2
四、小结归纳
本节课应掌握：
1. 韦达定理二次项系数不是 1 的方程根与系数的关系
积，得到方程的两个根 x1 、x2 和系数 a，b，c 的关系，即韦达 发现结论
定性
定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两
根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积
等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导
得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元
根；当 m 时方程有两个负根；当 m 时方程有一个正根一个负根，
进一步加强3
word
分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方
程各项系数的符号，○6 中还需考虑 m 的值还得受根的判别式的
限制. 三、课堂训练
2.补充练习： x1 ，x2 是方程 3x2-2x-4=0 的两根，利用根与系数的关系求下列
法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？
出课题学生初步了 境，激发学生
二、探究新知
解本课所要研究的 好奇心，求知
问题
欲
分析：将（x- x1）（x-x2）=0 化为一般形式 x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0 与 x2+px+ q=0 对比,易知 p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系 数是 1 的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根 和的相反数，常数项等于两根之积.
先观察，尝试选用
○1 已 知 一 元 二 次 方 程 2x2+bx+c=0 的 两 个 根 是 -1 ， 3 ， 则 合适方法解题，之
b= ,c= .
后交流，比较解法
○2 已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1，则另一个根是,k
的值是 .
通过学生亲自
○3 若关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根互为相反数，则
2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为 0，△≥0；
加强教学反 思，帮助学生 养成系统整 理知识的学 习习惯，加深 认识，深化提 高，形成学生 自己的知识
3.韦达定理的应用常见题型：
体系.
○1 不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根；
○2 已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；
成立，若不成立，新的结论是什么？
一 般 形 式 推 导 证 会从特殊到
ax2+bx+c=0（a≠0）中的 a 不一定是 1，它的两根的和、积与系 明，教师引导学生 一般的认知
数之间有第 3 题中的关系吗？
根据求根公式进行 过程，体会数
分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、 探究、交流，尝试 学结论的确
word
一元二次方程的根与系数关系
教学时间
课 题
一元二次方程的根与系数关系
教学媒体
教 知识 技能
学
根与系数关系.
多媒体
根与系数关系解决实际问题.
3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.
新 课型
授
过程 目
方法
标 情感 态度
教学重点
学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明.
二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.
学生独立解决，并 加深对韦达定
交流
理的理解，培
求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积. ○1 3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0； ○2 5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x
养学生的应用 意识和能力
教学难点
对根与系数关系的理解和推导
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习引入
导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在 16 世纪 教师出示问题，引 创设问题情
学生独自完成 后面继续研究
3. 方程 2x2-3x+1=0 的两根的和、积与系数之间有类似的关系 巩固上诉知识
做铺垫
吗？
教师出示探究问
分析：这个方程的二次项系数等于 2，与上面情形有所不同，求 题，学生通过特殊 让学生通过
1/3
word
出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否 例子入手，再通过 探究问题，体
○3 由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；
○4 判断两个根的符号；○5 不解方程求含有方程的两根的式子的
值.
五、作业设 计 必做：P43：7 选做：补充作业：已知一元二次方程 x2+3x+1=0 的两个根是 、 ，求 的值.
教 学 反思
3/3
的一次项系数和常数项.
○4 两个根均为负数的一元二次方程是( )
x22-13x-5=0 C.7x22+15x-8=0
○5 .两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ） x22+5x-4=0 Cx22+ 3 5 x- 6 =0
学生独立完成，教 师巡回检查，师生
○6 .若关于 x 的一元二次方程 2x2-3x+m=0,当 m 时方程有两个正 集体订正
学生通过去括号、 通过思考问 合 并 得 到 一 般 形 题，让学生知 式 的 一 元 二 次 方 道二次项系数 程 ， 教 师 适 时 点 为 1 的一元二
拨，分析总结得到 次方程的根与
求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积.
结论.
系数关系，为
x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0
解题的感受与
p=; 若两个根互为倒数，则 q= .
学生尝试归纳，师 经验，感受数
生总结 分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另
学的严谨性和
一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的
数学结论的确
两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是 1 时，若方程的
定性.
两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程
学生归纳，总结阐 述，体会，反思. 并做出笔记.
通过归纳，进 一步理解韦 达定理及其 应用
各式的值：○1
1 x1
1 x2
； ○2 x2 x12
x1x22 ○3 x12
x22 ；
○4 x1
x2 2 ；
○5 x2 x1 x1 x2
四、小结归纳
本节课应掌握：
1. 韦达定理二次项系数不是 1 的方程根与系数的关系
积，得到方程的两个根 x1 、x2 和系数 a，b，c 的关系，即韦达 发现结论
定性
定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两
根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积
等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导
得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元
根；当 m 时方程有两个负根；当 m 时方程有一个正根一个负根，
进一步加强3
word
分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方
程各项系数的符号，○6 中还需考虑 m 的值还得受根的判别式的
限制. 三、课堂训练
2.补充练习： x1 ，x2 是方程 3x2-2x-4=0 的两根，利用根与系数的关系求下列
法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？
出课题学生初步了 境，激发学生
二、探究新知
解本课所要研究的 好奇心，求知
问题
欲
分析：将（x- x1）（x-x2）=0 化为一般形式 x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0 与 x2+px+ q=0 对比,易知 p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系 数是 1 的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根 和的相反数，常数项等于两根之积.
先观察，尝试选用
○1 已 知 一 元 二 次 方 程 2x2+bx+c=0 的 两 个 根 是 -1 ， 3 ， 则 合适方法解题，之
b= ,c= .
后交流，比较解法
○2 已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1，则另一个根是,k
的值是 .
通过学生亲自
○3 若关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根互为相反数，则
2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为 0，△≥0；
加强教学反 思，帮助学生 养成系统整 理知识的学 习习惯，加深 认识，深化提 高，形成学生 自己的知识
3.韦达定理的应用常见题型：
体系.
○1 不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根；
○2 已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；
成立，若不成立，新的结论是什么？
一 般 形 式 推 导 证 会从特殊到
ax2+bx+c=0（a≠0）中的 a 不一定是 1，它的两根的和、积与系 明，教师引导学生 一般的认知
数之间有第 3 题中的关系吗？
根据求根公式进行 过程，体会数
分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、 探究、交流，尝试 学结论的确
word
一元二次方程的根与系数关系
教学时间
课 题
一元二次方程的根与系数关系
教学媒体
教 知识 技能
学
根与系数关系.
多媒体
根与系数关系解决实际问题.
3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.
新 课型
授
过程 目
方法
标 情感 态度
教学重点
学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明.
二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.
学生独立解决，并 加深对韦达定
交流
理的理解，培
求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积. ○1 3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0； ○2 5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x
养学生的应用 意识和能力