初中数学八年级第11章-07-三角形的边与角(含答案)
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人教版八年级数学上册第11 章§11． 2三角形全等的条件§11． 2．1三角形全等的条件（一）§11． 2．1三角形全等的条件（二）§11． 2．3三角形全等的条件（三）§11． 2．3三角形全等的条件---直角三角形全等的判定（四）§11． 3角的平分线的性质（一）§11． 3．2角的平分线的性质（二）§ 11．1全等三角形教学目标1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．教学重点全等三角形的性质．教学难点找全等三角形的对应边、对应角．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？A A1B C B1C1这两个三角形是完全重合的．2．学生自己动手（同桌两名同学配合）取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样．3．获取概念让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号．形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形．要是把两个图形放在一起，能够完全重合， ?就可以说明这两个图形的形状、大小相同．概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义．仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求．Ⅱ．导入新课利用投影片演示将△ ABC沿直线 BC平移得△ DEF；将△ ABC沿 BC翻折 180°得到△ DBC；将△ABC 旋转 180°得△ AED．AA DBD E CAB C E F D B C甲乙丙议一议：各图中的两个三角形全等吗？不难得出：△ABC≌△ DEF，△ ABC≌△ DBC，△ ABC≌△ AED．（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．观察与思考：寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．全等三角形的对应角相等．[ 例 1] 如图，△ OCA≌△ OBD，C 和 B，A 和 D 是对应顶点， ?说出这两个三角形中相等的边和角．C BOA D问题：△ OCA≌△ OBD，说明这两个三角形可以重合， ?思考通过怎样变换可以使两三角形重合？将△ OCA翻折可以使△ OCA与△ OBD重合．因为 C和 B、A 和 D是对应顶点，?所以 C 和 B 重合， A 和 D重合．∠C=∠B；∠ A=∠ D；∠ AOC=∠DOB．AC=DB；OA=OD；OC=OB．总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法．[ 例 2] 如图，已知△ ABE≌△ ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，?指出其他的对应边和对应角．AB D E C分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ ABE和△ ACD从复杂的图形中分离出来．根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素， ?然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．常用方法有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．解：对应角为∠ BAE和∠ CAD．对应边为 AB与 AC、AE与 AD、BE与 CD．[ 例 3] 已知如图△ ABC≌△ ADE，试找出对应边、对应角．（由学生讨论完成）ACEOB D借鉴例 2 的方法，可以发现∠ A=∠A，?在两个三角形中∠ A 的对边分别是 BC和DE，所以 BC和 DE是一组对应边．而 AB与 AE显然不重合，所以 AB?与 AD是一组对应边，剩下的 AC与 AE自然是一组对应边了．再根据对应边所对的角是对应角可得∠ B 与∠ D 是对应角，∠ ACB与∠ AED是对应角．所以说对应边为AB与AD、AC与 AE、BC与 DE．对应角为∠ A 与∠ A、∠ B 与∠ D、∠ ACB与∠ AED．做法二：沿 A 与 BC、DE交点 O的连线将△ ABC?翻折 180°后，它正好和△ ADE 重合．这时就可找到对应边为： AB与 AD、 AC与 AE、 BC与 DE．对应角为∠ A 与∠A、∠ B 与∠ D、∠ ACB与∠ AED．Ⅲ．课堂练习课本 P90 练习 1．课本 P90 习题 14． 1 复习巩固1．Ⅳ．课时小结通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质， ?并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课大家要重点掌握的．找对应元素的常用方法有两种：（一）从运动角度看1．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．3．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．（二）根据位置元素来推理4 / 281．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．Ⅴ．作业课本 P90习题 14．1、复习巩固 2、综合运用 3．课后作业 : ＜＜三级训练＞＞板书设计§11．1 全等三角形一、概念二、全等三角形的性质三、性质应用例1：（运动角度看问题）例2：（根据位置来推理）例3：（根据位置和运动角度两种办法来推理）四、小结：找对应元素的方法运动法：翻折、旋转、平移．位置法：对应角→对应边，对应边→对应角．§11．2 三角形全等的条件§11．2．1 三角形全等的条件（一）教学目标1．三角形全等的“边边边”的条件．2．了解三角形的稳定性．3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、 ?归纳获得数学结论的过程．教学重点三角形全等的条件．教学难点寻求三角形全等的条件．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形．已知△ ABC≌△ A′B′C′，找出其中相等的边与角．A A'B C B'C'图中相等的边是： AB=A′ B、 BC=B′ C′、 AC=A′C．相等的角是：∠ A=∠ A′、∠ B=∠B′、∠ C=∠C′．展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．Ⅱ．导入新课出示投影片1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）， ?画出的两个三角形一定全等吗？2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．①三角形一内角为30°，一条边为 3cm．②三角形两内角分别为30°和 50°．③三角形两条边分别为4cm、 6cm．学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流．结果展示：1．只给定一条边时：只给定一个角时：2．给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边．①3030303cm3cm3cm3050②3050③4cm4cm6cm6cm可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？归纳：有四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边．在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？1．作图方法：先画一线段 AB，使得 AB=6cm，再分别以 A、B 为圆心， 8cm、10cm为半径画弧， ?两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为 AB=6cm，AC=8cm， BC=10cm．2 ．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．?这说明这些三角形都是全等的．3 ．特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个三角形A′B′C′，使AB=A′B′、 AC=A′C′、 BC=B′C′．将△ A′B′C′剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．请看例题．[ 例] 如图，△ ABC是一个钢架， AB=AC， AD是连结点 A 与 BC中点 D 的支架．求证：△ ABD≌△ ACD．AB D C[ 师生共析 ] 要证△ ABD≌△ ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．证明：因为 D 是 BC的中点所以 BD=DC在△ ABD和△ ACD中AB ACBD CDAD AD (公共边)所以△ ABD≌△ ACD（ SSS）．生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的， ?而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性． ?例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．Ⅲ．随堂练习如图，已知 AC=FE、BC=DE，点 A、D、B、F 在一条直线上， AD=FB．要用“边边边”证明△ ABC≌△ FDE，除了已知中的 AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？A CDBE F2．课本 P94 练习．Ⅳ．课时小结本节课我们探索得到了三角形全等的条件， ?发现了证明三角形全等的一个规律 SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．Ⅴ．作业1 ．习题 14．2 复习巩固 1、 2．习题14．2综合运用9．课后作业：《课堂感悟与探究》Ⅵ．活动与探索如图，一个六边形钢架ABCDEF由 6 条钢管连结而成，为使这一钢架稳固，请你用三条钢管连接使它不能活动，你能找出几种方法？A BF CE D本题的目的是让学生能够进一步理解三角形的稳定性在现实生活中的应用．结果：（1）可从这六个顶点中的任意一个作对角线，?把这个六边形划分成四个三角形．如图（ 1）为其中的一种．（ 2）也可以把这个六边形划分成四个三角形．如图（ 2）．(2)(1)板书设计§11．2．1 三角形全等的条件（一）一、三角形全等的条件三边对应相等的两三角形全等（ SSS）二、例三、课堂练习四、小结§11．2．1 三角形全等的条件（二）教学目标1．三角形全等的“边角边”的条件．2 ．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、?归纳获得数学结论的过程．3．掌握三角形全等的“ SＡS”条件，了解三角形的稳定性．4．能运用“ SＡS”证明简单的三角形全等问题．教学重点三角形全等的条件．教学难点寻求三角形全等的条件．教学过程一、创设情境，复习提问1．怎样的两个三角形是全等三角形？2．全等三角形的性质？3．指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过怎样的变换能使它们完全重合：图(1)中：△ ABD ≌△ ACE ，AB 与AC 是对应边；图(2)中：△ ABC ≌△ AED ，AD 与 AC是对应边．４．三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？二、导入新课1．三角形全等的判定（二）(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质．那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：如图 2，AC 、BD相交于 O，AO、BO 、CO、 DO的长度如图所标，△ ABO 和△ CDO是否能完全重合呢？不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：AO ＝CO，∠AOB ＝∠ COD，BO＝DO．如果把△ OAB绕着 O点顺时针方向旋转，因为 OA ＝OC，所以可以使 OA 与OC 重合；又因为∠ AOB ＝∠ COD， OB＝OD ，所以点 B与点 D重合．这样△ ABO 与△ CDO就完全重合．(此外，还可以图 1(1)中的△ ACE 绕着点 A 逆时针方向旋转∠ CAB 的度数，也将与△ ABD 重合．图 1( 2)中的△ ABC 绕着点 A 旋转，使 AB 与 AE重合，再把△ ADE沿着 AE(AB) 翻折 180°．两个三角形也可重合 )由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．2．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：(1)读句画图：①画∠ DAE ＝45°，②在 AD 、 AE 上分别取B、C，使 AB ＝3.1cm，AC＝ 2.8cm．③连结 BC，得△ ABC ．④按上述画法再画一个△A ＇B＇C＇．(2)把△ A ＇B＇C＇剪下来放到△ ABC 上，观察△ A ＇B＇C＇与△ ABC 是否能够完全重合？3．边角边公理．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边” 或“ SAS”)三、例题与练习1．填空：(1)如图 3，已知 AD ∥ BC，AD ＝ CB，要用边角边公理证明△ABC ≌△ CDA ，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD ＝ CB(已知 )，二是___________；还需要一个条件 _____________(这个条件可以证得吗？ )．(2)如图 4，已知 AB ＝AC ，AD ＝AE，∠ 1＝∠ 2，要用边角边公理证明△ABD ≌ ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________这(个条件可以证得吗？ )．2、例 1已知：AD ∥BC，AD ＝ CB(图3)．求证：△ ADC ≌△ CBA ．问题：如果把图 3中的△ ADC 沿着 CA 方向平移到△ ADF的位置 (如图 5)，那么要证明△ ADF ≌ △CEB，除了 AD ∥ BC、AD ＝CB的条件外，还需要一个什么条件 (AF＝ CE或AE ＝ CF)？怎样证明呢？例2 已知： AB ＝ AC、 AD ＝AE、∠ 1＝∠ 2(图4)．求证：△ ABD ≌△ ACE ．四、小结：1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等 )，并要善于运用学过的定义、公理、定理．五、作业：1．已知：如图， AB ＝AC ，F、E分别是 AB 、AC 的中点．求证：△ ABE ≌△ACF．2．已知：点 A、 F、 E、C在同一条直线上，AF ＝CE，BE∥ DF， BE＝DF．求证：△ ABE≌△ CDF．课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞§ 11．2．3三角形全等的条件（三）教学目标1．三角形全等的条件：角边角、角角边．2．三角形全等条件小结．3．掌握三角形全等的“角边角” “角角边”条件．4．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．教学重点已知两角一边的三角形全等探究．教学难点灵活运用三角形全等条件证明．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境1．复习：（ 1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边．（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？三种：①定义；② SSS；③ SAS．2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？Ⅱ．导入新课问题 1：三角形中已知两角一边有几种可能？1．两角和它们的夹边．2．两角和其中一角的对边．问题2：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，?你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．提炼规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ ASA”）．问题 3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，?能不能作一个△ A′B′C′，使∠ A=∠A′、∠ B=∠B′、 AB=A′B′呢？①先用量角器量出∠ A 与∠ B 的度数，再用直尺量出AB的边长．②画线段 A′B′，使 A′B′=AB．③分别以 A′、 B′为顶点， A′B′为一边作∠ DA′B′、∠ EB′A，使∠ D′AB=∠ CAB，∠ EB′A′ =∠ CBA．④射线 A′D 与 B′ E 交于一点，记为 C′即可得到△ A′B′C′．将△ A′ B′ C′与△ ABC重叠，发现两三角形全等．EDC C'A B A'B'两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ ASA”）．思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？探究问题 4：如图，在△ ABC和△ DEF中，∠ A=∠D，∠ B=∠E，BC=EF，△ ABC与△ DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？A DB C EF证明：∵∠ A+∠B+∠ C=∠D+∠E+∠ F=180°∠A=∠D，∠ B=∠E∴∠ A+∠B=∠D+∠ E∴∠ C=∠F在△ ABC和△ DEF中B EBC EFC F∴△ ABC≌△ DEF（ ASA）．两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“ AAS”）．[ 例] 如下图， D在 AB上， E 在 AC上， AB=AC，∠ B=∠C．求证： AD=AE．[ 分析 ]AD 和 AE分别在△ ADC和△ AEB中，所以要证AD=AE，只需证明△ ADC ≌△ AEB即可．证明：在△ ADC和△ AEB中A AAC ABC B所以△ ADC≌△ AEB（ASA）所以 AD=AE．Ⅲ．随堂练习（一）课本 P99 练习 1、2．（二）补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由．DDA 4550CE45502929B AC B(1)(2)答案：图（ 1）中由“ ASA”可证得△ ACD≌△ ACB．图（ 2）由“AAS”可证得△ACE≌△ BDC．Ⅳ．课时小结至此，我们有五种判定三角形全等的方法：1．全等三角形的定义2．判定定理：边边边（ SSS）边角边（ SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．Ⅴ．作业1．课本习题 14．2─5、6、14 题．课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞板书设计11． 2． 3 三角形全等的条件（三）两角及其夹边一、两角一边两角和其中一角的对边二、三角形全等的条件1 ．两角及其夹边对应相等的两三角形全等（ASA）2．两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等（AAS）§11．2．3 三角形全等的条件 ---直角三角形全等的判定（四）教学目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
《常考题》初中八年级数学上册第十一章《三角形》经典练习题(含答案解析)
一、选择题1．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合DFB ∠的度数为（ ）A ．145︒B ．155︒C ．165︒D ．175︒C解析：C【分析】 根据三角形的内角和定理可求45E ∠=︒，利用补角的定义可求120FBE ∠=︒，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出DFB ∠的度数【详解】解：在DEC ∆中∵90C ∠=︒，45CDE ∠=︒∴45E ∠=︒又∵60ABC ∠=︒∴120FBE ∠=︒由三角形的外角性质得DFB E FBE ∠=∠+∠45120=︒+︒165=︒故选：C【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，互为补角的定义及三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的外角性质2．如图，AD 是ABC 的外角CAE ∠的平分线，35B ∠=︒，60=︒∠DAC ，则ACD ∠的度数为（ ）A ．25︒B ．85︒C ．60︒D ．95︒D解析：D【分析】根据角平分线的定义可得∠DAC ＝∠DAE ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠D ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：∵AD 是∠CAE 的平分线，60=︒∠DAC ，∴∠DAC ＝∠DAE ＝60°，又∵35B ∠=︒由三角形的外角性质得，∠D ＝∠DAE−∠B ＝60°−35°＝25°，∴在△ACD 中，∠ACD ＝180°−∠DAC －∠D ＝180°−60°−25°＝95°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．3．下列长度的线段能组成三角形的是（ ）A ．2，3，5B ．4，6，11C ．5，8，10D ．4，8，4C解析：C【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：A 、2+3=5，不能组成三角形，不符合题意；B 、4+6＜11，不能组成三角形，不符合题意；C 、5+8>10，能组成三角形，符合题意；D 、4+4=8，不能够组成三角形，不符合题意．故选：C ．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．4．若多边形的边数由3增加到n （n 为大于3的正整数），则其外角和的度数（ ） A ．不变B ．减少C ．增加D ．不能确定A 解析：A【分析】利用多边形的外角和特征即可解决问题．【详解】解：因为多边形外角和固定为360°，所以外角和的度数是不变的．故选：A ．【点睛】此题考查多边形内角与外角的性质，容易受误导，注意多边形外角和等于360°． 5．已知直线//a b ，含30角的直角三角板按如图所示放置，顶点A 在直线a 上，斜边BC与直线b交于点D，若135∠=︒，则2∠的度数为（）A．35︒B．45︒C．65︒D．75︒C解析：C【分析】如图，根据三角形外角的性质可得出∠3，再根据平行线的性质可得出∠2．【详解】解：如图，∠=︒，∠B=30°∵135∴∠3=∠1+∠B=35°+30°=65°a b∵//∴∠2=∠3=65°故选：C【点睛】此题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质．解题时注意掌握平行线的性质以及三角形外角的性质的应用．6．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成三角形的是（）A．4、5、6 B．3、4、5 C．2、3、4 D．1、2、3D解析：D【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．【详解】D、4＋5>6，能组成三角形，故此选项错误；B、3＋4＞5，能组成三角形，故此选项错误；A、2＋3>4，能组成三角形，故此选项错误；D、1＋2＝3，不能组成三角形，故此选项正确；故选：D．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．7．下列四个图形中，线段CE 是ABC 的高的是（ ）A ．B ．C ．D ． B解析：B【分析】利用三角形高的定义逐一判断选项，可得答案．【详解】A ．CE 不垂直AB ，故CE 不是ABC 的高，不符合题意，B ．CE 是ABC 中AB 边上的高，符合题意，C ．CE 不是ABC 的高，不符合题意，D ．CE 不是ABC 的高，不符合题意．故选B ．【点睛】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．8．设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是（ ）． A ．a b =B ．180a b =+°C ．180b a =+︒D ．360b a =+︒A 解析：A【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．【详解】∵四边形的内角和等于a ，∴a=(4-2)•180°=360°；∵五边形的外角和等于b ，∴b=360°，∴a=b ．故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键． 9．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8D 解析：D【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．【详解】解：根据题意，得：（n-2）×180=360×3，解得n=8．故选：D ．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数．10．如图，在ABC 中，70B ∠=，D 为BC 上的一点，若ADC x ∠=，则x 的度数可能为（ ）A ．30°B ．60°C ．70°D ．80°D解析：D【分析】 根据三角形的外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD ，得到x ＞70°，根据平角的概念得到x ＜180°，计算后进行判断得到答案．【详解】解：∵∠ADC=∠B+∠BAD ，∴x ＞70°，又x ＜180°，∴x 的度数可能为80°，故选：D ．【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．二、填空题11．如图，点D ，E ，F 分别是边BC ，AD ，AC 上的中点，若图中阴影部分的面积为3，则ABC 的面积是________．8【分析】利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分S △ABD=S △ACD=S △ABCS △BDE=S △ABDS △ADF=S △ADC 再得到S △BDE=S △ABCS △DEF=S △ABC 所以S △ABC=解析：8【分析】利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，S △ABD =S △ACD =12S △ABC ，S △BDE =12S △ABD ，S △ADF =12S △ADC ，再得到S △BDE =14S △ABC ，S △DEF =18S △ABC ，所以S △ABC =83S 阴影部分．【详解】解：∵D 为BC 的中点，∴12ABD ACD ABC S S S ==△△△， ∵E ，F 分别是边,AD AC 上的中点， ∴111,,222BDE ABD ADF ADC DEF ADF SS S S S S ===， ∴111,448BDE ABC DEF ADC ABC S S S S S ===， ∵113488BDE DEF ABC ABC ABC S SS S S S =+=+=阴影部分， ∴888333ABC S S ⨯===阴影部分， 故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S △=12×底×高．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．12．已知三角形三边长分别为m ，n ，k ，且m 、n 满足2|9|(5)0n m -+-=，则这个三角形最长边k 的取值范围是________．【分析】根据求出mn 的长根据三角形三边关系求出k 的取值范围再根据k 为最长边进一步即可确定k 的取值【详解】解：由题意得n-9=0m-5=0解得m=5n=9∵mnk 为三角形的三边长∴∵k 为三角形的最长边解析：914k ≤<【分析】根据2|9|(5)0n m -+-=求出m 、n 的长，根据三角形三边关系求出k 的取值范围，再根据k 为最长边进一步即可确定k 的取值．【详解】解：由题意得n-9=0，m-5=0，解得 m=5，n=9，∵m ，n ，k ，为三角形的三边长，∴414k ≤<，∵k 为三角形的最长边，∴914k ≤<．故答案为：914k ≤<【点睛】本题考查了绝对值、偶次方的非负性，三角形的三边关系，根据题意求出m 、n 的长是解题关键，确定k 的取值范围时要注意k 为最长边这一条件．13．如果一个多边形所有内角和与外角和共为2520°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有_________条对角线11【分析】先根据题意求出多边形的边数再根据从n 边形一个顶点出发共有（n-3）条对角线即可解答【详解】设多边形的边数为n 则有(n-2)•180＋360=2520解得：n=1414-3=11即从这个多解析：11【分析】先根据题意求出多边形的边数，再根据从n 边形一个顶点出发共有（n-3）条对角线即可解答．【详解】设多边形的边数为n ，则有(n -2)•180＋360=2520，解得：n =14，14-3=11，即从这个多边形的一个顶点出发共有11条对角线，故答案为11．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、多边形的对角线，得到多边形的边数是解本题的关键．14．一个三角形的三条高的长都是整数，若其中两条高的长分别为4和12，则第三条高的长为_____．5或4【分析】先设长度为412的高分别是ab 边上的边c 上的高为h △ABC 的面积是S 根据三角形面积公式可求结合三角形三边的不等关系可得关于h 的不等式组解即可【详解】解：设长度为412的高分别是ab 边上 解析：5或4．【分析】先设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，根据三角形面积公式，可求222,,412S S S a b c h===，结合三角形三边的不等关系，可得关于h 的不等式组，解即可．【详解】解：设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，那么 222,,412S S S a b c h===， 又∵a-b ＜c ＜a+b ， ∴2222412412S S S S c -<<+， 即2233S S S h <<，解得3＜h＜6，∴h=4或h=5，故答案为：5或4．【点睛】本题考查了三角形面积、三角形三边之间的关系、解不等式组．求出整数值后，能根据三边关系列出不等式组是解题关键．15．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数为___________．360°【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和以及多边形的内角和即可求解【详解】解：∵∠1=∠A+∠B∠2=∠C+∠D∠3=∠E+∠F∠4=∠G+∠H∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F+解析：360°【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，以及多边形的内角和即可求解．【详解】解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，∠4=∠G+∠H，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=∠1+∠2+∠3+∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°．故选：D．．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和定理，正确转化为多边形的外角和是关键．16．如图，△ABC 的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB ，BC ，CA 得到△A 1B 1C 1，再分别倍长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1得到△A 2B 2C 2．…按此规律，倍长2020次后得到的△A 2020B 2020C 2020的面积为_____．72020【分析】连接AB1BC1CA1根据等底等高的三角形面积相等可得＝7S △ABC 由此即可解题【详解】连接AB1BC1CA1根据等底等高的三角形面积相等△A1BC △A1B1C △AB1C △AB1C解析：72020【分析】连接AB 1、BC 1、CA 1，根据等底等高的三角形面积相等，可得111A B C S △＝7S △ABC ，由此即可解题．【详解】连接AB 1、BC 1、CA 1，根据等底等高的三角形面积相等，△A 1BC 、△A 1B 1C 、△AB 1C 、△AB 1C 1、△ABC 1、△A 1BC 1、△ABC 的面积都相等，所以，111A B C S △＝7S △ABC ，同理222A B C S △＝7111A B C S △＝72S △ABC ，依此类推，△A 2020B 2020C 2020的面积为＝72020S △ABC ，∵△ABC 的面积为1，∴202020202020A S B C ∆＝72020．故答案为：72020．【点睛】本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．17．ABC 中，,AB AC 边上的高,CE BD 相交于点F ，,ABC ACB ∠∠的角平分线交于点G ，若=125CGB ∠︒，则CFB ∠=______．110°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠GBC ＋∠GCB 根据角平分线的定义求出∠ABC ＋∠ACB 从而求出∠A 根据三角形高的定义可得∠AEC=∠FDC=90°然后根据三角形的内角和定理求出∠ACE 解析：110°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠GBC ＋∠GCB ，根据角平分线的定义求出∠ABC ＋∠ACB ，从而求出∠A ，根据三角形高的定义可得∠AEC=∠FDC=90°，然后根据三角形的内角和定理求出∠ACE ，最后利用三角形外角的性质即可求出结论．【详解】解：∵=125CGB ∠︒∴∠GBC ＋∠GCB=180°－∠CGB=55°∵,ABC ACB ∠∠的角平分线交于点G ，∴∠ABC=2∠GBC ，∠ACB=2∠GCB∴∠ABC ＋∠ACB=2∠GBC ＋2∠GCB=2（∠GBC ＋∠GCB ）=110°∴∠A=180°－（∠ABC ＋∠ACB ）=70°∵,AB AC 边上的高,CE BD 相交于点F ，∴∠AEC=∠FDC=90°，∴∠ACE=180°－∠AEC－∠A=20°∠=∠FDC＋∠ACE=110°∴CFB故答案为：110°．【点睛】此题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高的定义和角平分线的定义是解题关键．18．已知等腰三角形的一边长等于11cm，一边长等于5cm，它的周长为______．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为11和5而没有明确腰底分别是多少所以要进行讨论还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形【详解】分两种情况：当腰为11时11＋11>511-11<5所以能构成三解析：27cm【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为11和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】分两种情况：当腰为11时，11＋11>5，11-11<5，所以能构成三角形，周长是：11＋11＋5＝27cm；当腰为5时，5＋5<11，所以不能构成三角形，故答案为：27cm．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．19．如图，把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠=︒∠=︒，则3150,222∠=_______．30°【分析】通过正三角形正四边形正五边形的内角度数结合三角形内角和定理进行计算即可；【详解】等边三角形的内角的度数是60°正方形的内角度数是90°正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝10解析：30°【分析】通过正三角形、正四边形、正五边形的内角度数，结合三角形内角和定理进行计算即可；【详解】等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：15（5﹣2）×180°＝108°，则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣50°﹣22°=30°． 故答案是：30°．【点睛】本题主要考查了多边形内角和与外角定理的应用，准确分析图形中角的关系式解题的关键．20．如图，ABC ∆的面积是2，AD 是BC 边上的中线，13AE AD =，12BF EF =．则DEF ∆的面积为_________．【分析】直接根据高相等的三角形面积之比等于底之比【详解】解：∵是边上的中线∴BD=DC 又∵的面积是2和的高相等∴∵和的高相等∴∴又∴同理：故答案为：【点睛】此题主要考查根据高相等的三角形面积之比等于解析：49【分析】直接根据高相等的三角形，面积之比等于底之比．【详解】解：∵AD 是BC 边上的中线∴BD=DC又∵ABC ∆的面积是2，D AB ∆和D A C ∆的高相等∴D DC S =S =1AB A ∆∆∵13AE AD = E AB ∆和BDE ∆的高相等∴E BDE ABD 11S =S =S 23AB ∆∆∆ ∴BDE 2S =3∆ 又12BF EF =，∴1B 3BF E =，同理： DEF BFD BDE 24S =2S =S =39∆∆∆ 故答案为：49． 【点睛】此题主要考查根据高相等的三角形，面积之比等于底之比求三角形的面积，解题的关键是正确理解高相等的三角形之间的关系．三、解答题21．△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE 是△ABC 的高．（1）如图1，若∠B ＝40°，∠C=60°，求∠DAE 的度数；（2）如图2，∠B ＜∠C ，则DAE 、∠B ，∠C 之间的数量关系为___________；（3）如图3，延长AC 到点F ，∠CAE 和∠BCF 的角平分线交于点G ，求∠G 的度数．解析：（1）10°；（2）∠DAE ＝12(∠C−∠B)；（3）45°． 【分析】 （1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC ＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD 的度数，利用三角形的高线可求∠CAE 得度数，进而求解即可得出结论；（2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE 、∠B 、∠C 的数量关系；（3）设∠ACB ＝α，根据角平分线的定义得∠CAG ＝12∠EAC ＝12（90°−α）＝45°−12α，∠FCG ＝12∠BCF ＝12（180°−α）＝90°−12α，再利用三角形外角的性质即可求得结果．【详解】解：（1）∵∠B ＝40°，∠C ＝60°，∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠BAC ＝80°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD＝∠BAD＝12∠BAC＝40°，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝90°−60°＝30°，∴∠DAE＝∠CAD−∠CAE＝10°；（2）∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴∠BAC＝180°−∠B−∠C，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝12∠BAC，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°−∠C，∴∠DAE＝∠CAD−∠CAE＝12∠BAC−（90°−∠C）＝12（180°−∠B−∠C）−90°＋∠C＝1 2∠C−12∠B，即∠DAE＝12(∠C−∠B)．故答案为：∠DAE＝12(∠C−∠B)．（3）设∠ACB＝α，∵AE⊥BC，∴∠EAC＝90°−α，∠BCF＝180°−α，∵∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，∴∠CAG＝12∠EAC＝12（90°−α）＝45°−12α，∠FCG＝12∠BCF＝12（180°−α）＝90°−12α，∵∠FCG＝∠G＋∠CAG，∴∠G＝∠FCG −∠CAG＝90°−12α−（45°−12α）＝45°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的高及角平分线等知识，熟练掌握三角形内角和定理并能灵活运用三角形的高、角平分线这些知识解决问题是关键．22．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=310°，CF平分∠DCB，FC的延长线与五边形ABCDE外角平分线相交于点P，求∠P的度数解析：∠P=25°．【分析】延长ED ，BC 相交于点G ．由四边形内角和可求∠G=50°，由三角形外角性质可求∠P 度数．【详解】解：延长ED ，BC 相交于点G ．在四边形ABGE 中，∵∠G=360°-（∠A+∠B+∠E ）=50°，∴∠P=∠FCD-∠CDP=12（∠DCB-∠CDG ） =12∠G=12×50°=25°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线性质，外角的性质，熟练运用外角的性质是本题的关键．23．在ABC ∆中，已知3,7AB AC ==，若第三边BC 的长为偶数，求ABC ∆的周长． 解析：周长为16或18．【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边BC 的长为偶数求出符合条件的BC 值，即可求出周长．【详解】 解：在ABC ∆中，3,7AB AC ==，∴第三边BC 的取值范围是：410,BC <<∴符合条件的偶数是6或8，∴当6BC =时，ABC ∆的周长为：36716++=；当8BC =时，ABC ∆的周长为：37818++=．ABC ∆∴的周长为16或18．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．24．如图，在ABC 中，30A ∠=︒，80ACB ∠=︒，ABC 的外角CBD ∠的平分线BE 交AC 的延长线于点E ．（1）求CBE ∠的度数；（2）过点D 作//DF BE ，交AC 的延长线于点F ，求F ∠的度数．解析：（1）55CBE ∠=︒；（2）25F ∠=︒．【分析】(1)利用三角形的外角性质和角的平分线性质求解即可；(2)根据三角形外角的性质和两直线平行，同位角相等求解.【详解】（1）在ABC 中，30A ∠=︒，80ACB ∠=︒，3080110CBD A ACB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒， BE 是CBD ∠的平分线， 111105522CBE CBD ∴∠=∠=⨯︒=︒；（2）80ACB ∠=︒，55CBE ∠=︒，805525CEB ACB CBE ∴∠=∠--︒∠=︒=︒，//DF BE ，25F CEB ∴∠=∠=︒.【点睛】本题考查了运用三角形外角性质，角平分线性质，平行线的性质求角的度数，熟练并灵活运用这些性质是解题的关键.25．已知，a，b，c为ABC的三边，化简|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|．解析：﹣2a+4b﹣2c【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．【详解】解：∵a，b，c为ABC的三边，∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b∴|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|=|a-(b+c)|-2|b-(c+a)|+ |a+b﹣c|＝﹣[a﹣（b+c）]+2[b﹣（c+a）]+（a+b﹣c）=-a+(b+c)+2b-2(c+a)+a+b-c＝﹣a+b+c+2b﹣2c﹣2a+a+b﹣c＝﹣2a+4b﹣2c．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理．26．如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝20°，求∠COD的度数．解析：∠COD＝70°【分析】利用对顶角相等可得∠AOM的度数，再利用角平分线的定义和垂线定义进行计算即可．【详解】解：∵∠BON＝20°，∴∠AOM＝20°，∵OA平分∠MOD，∴∠AOD＝∠MOA＝20°，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠COD＝90°﹣20°＝70°．【点睛】本题考查了垂线，关键是掌握对顶角相等，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．27．如图，已知：点P 是ABC ∆内一点．（1）求证：BPC A ∠>∠；（2）若PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，40A ︒∠=，求P ∠的度数．解析：（1）证明见解析；（2）110°【分析】（1）延长BP 交AC 于D ，根据△PDC 外角的性质知∠BPC ＞∠1；根据△ABD 外角的性质知∠1＞∠A ，所以易证∠BPC ＞∠A ．（2）由三角形内角和定理求出∠ABC ＋∠ACB ＝140°，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．【详解】（1）延长BP 交AC 于D ，如图所示：∵∠BPC 是△CDP 的一个外角，∠1是△ABD 的一个外角，∴∠BPC ＞∠1，∠1＞∠A ，∴∠BPC ＞∠A ；（2）在△ABC 中，∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣40°=140°，∵PB 平分∠ABC ，PC 平分∠ACB ，∴∠PBC=12∠ABC ，∠PCB=12∠ACB ， 在△PBC 中，∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB ） =180°﹣（12∠ABC+12∠ACB ） =180°﹣12（∠ABC+∠ACB ） =180°﹣12×140° =110°．【点睛】此题主要考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、三角形的角平分线定义；熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理是解决问题的关键．28．观察探究及应用．（1）如图，观察图形并填空：一个四边形有_______条对角线；一个五边形有_______条对角线；一个六边形有_______条对角线；（2）分析探究：由凸n边形的一个顶点出发，可作_______条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作_______条对角线；（3）结论：一个凸n边形有_______条对角线；（4）应用：一个凸十二边形有多少条对角线？解析：（1）2；5；9；（2）(n-3)；n(n-3)；（3）(3)2n n-；（4）54【分析】（1）根据图形数出对角线条数即可；（2）根据所画图形可推导出凸n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，进而可得共可作n(n-3)条对角线；（3）由（2）可知，任意凸n边形的对角线有条(3)2n n-，即可解答；（4）把n=12代入（3）计算即可．【详解】解：（1）根据图形数出对角线条数，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9对角线；故答案为：2；5；9；（2）∵从凸4边形的一个顶点出发，可作1条对角线，从凸5边形的一个顶点出发，可作2条对角线，从凸6边形的一个顶点出发，可作3条对角线，从凸7边形的一个顶点出发，可作4条对角线，…∴从凸n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，若允许重复计数，共可作n(n-3)条对角线；故答案为：(n-3)；n(n-3)．（3）由（2）可知，任意凸n边形的对角线有条(3)2n n-，故答案为：(3)2n n-．（4）把n=12代入(3)2n n-计算得：1292⨯=54．故一个凸十二边形有54条对角线．【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题关键是n边形从一个顶点出发的对角线有(n-3)条．。
人教版八年级上数学说课稿《第11章三角形》
人教版八年级上数学说课稿《第11章三角形》一. 教材分析《人教版八年级上数学》第11章《三角形》是学生在学习了平面几何基本概念和性质之后的内容，本章主要介绍三角形的概念、性质和分类。
通过本章的学习，学生能够掌握三角形的的基本知识，理解三角形的分类，以及应用三角形知识解决实际问题。
本章内容在初中数学中占有重要地位，为后续学习多边形、几何证明等知识打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了平面几何基本概念和性质，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但学生在学习过程中，对三角形的性质和分类的理解还有待提高，需要通过具体例题和实践活动来加深对知识点的理解和应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握三角形的基本概念，了解三角形的性质和分类，能够运用三角形知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习三角形的兴趣，培养学生的合作精神和探索精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的基本概念，三角形的性质和分类。
2.教学难点：三角形性质的证明，三角形的分类及应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究，培养学生的思维能力和创新能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、教具模型等教学手段，直观展示三角形的相关概念和性质，帮助学生形象理解。
六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾平面几何基本概念和性质，引出三角形的定义，让学生初步感知三角形。
2.自主学习：学生通过阅读教材，了解三角形的基本概念和性质，总结三角形的分类。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的学习心得，共同探讨三角形的性质和分类。
4.课堂讲解：教师针对学生的讨论结果，进行讲解和梳理，重点讲解三角形的性质证明和分类应用。
5.实践活动：学生动手操作，利用教具模型直观展示三角形的性质，加深对知识点的理解。
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第11章三角形11.1.1 三角形的边教学课件 (3)
探究新知 遮 阳 棚
探究新知
想一想 四边形没有稳定性，怎样使它稳定呢?
做一做 将四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点
连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变 吗?
探究新知
帮帮忙
1. 牧民阿其木家用于圈羊的木栅门，由于年久失修 已经变成如图甲，为什么会变形？
2. 为了恢复成原样图乙，而且要保持形状不变，他该 怎么做呢？
A.稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的 B.稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值 C.稳定性和不稳定性均有利用价值 D.以上说法都不对
课堂检测
基础巩固题
3. 如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，
使其不变形，这种做法的根据是（ D ）
A.两点之间线段最短
A
B.三角形两边之和大于第三边
课堂小结
三角形 独有性质
稳定 性
四边形具有不 稳定性
应用
素养目标
2. 了解三角形的稳定性和四边形不稳定性的 应用. 1. 了解三角形的稳定性和四边形的不稳定性.
探究新知 知识点 1 三角形的稳定性
动手做一做
1. 将三根木条用钉子钉成一个三角形木架. 2. 将四根木条用钉子钉成一个四边形木架.
探究新知 请同学们看看:三角形和四边形的模型，扭一扭模
型，它们的形状会改变吗?
具有稳定性 不具有稳定性 不具有稳定性
具有稳定性 不具有稳定性 具有稳定性
探究新知
知识点 2 四边形不稳定性的应用
四边形的不稳定性是我们常常需要克服的， 那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？ 如果有，你能举出实例吗？
探究新知
四边形的不稳定性有广泛的应用
活 动 晾 衣 架
人教版初中八年级数学上册第十一章《三角形》习题(含答案解析)
一、选择题1．一个多边形的外角和是360°，这个多边形是（ ） A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．不确定2．如图，//,40,50,AB CD B C ∠=︒∠=︒则E ∠的度数为（ ）A ．70︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒3．下列四组线段中，不可以构成三角形的是（ ） A ．4，5，6B ．1.5，2，2.5C ．13，14，15D ．1，2，34．下列说法正确的是（ ） A ．射线AB 和射线BA 是同一条射线 B ．连接两点的线段叫两点间的距离 C ．两点之间，直线最短 D ．七边形的对角线一共有14条5．如图，在ABC 中，55A ∠=︒，65C =︒∠，BD 平分ABC ∠，//DE BC ，则BDE∠的度数是（ ）A ．50°B ．25°C ．30°D ．35° 6．若一个多边形的每个内角都等于160°，则这个多边形的边数是（ ） A ．18 B ．19 C ．20 D ．21 7．下列长度（单位：cm ）的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．13，11，12 B ．3，2，1 C ．5，12，7 D ．5，13，5 8．用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ） A ．2,2,4 B ．3,4,5 C ．1,2,3 D ．2,3,6 9．在ABC 中，若B 与C ∠互余，则ABC 是（ ）三角形 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 10．三角形的两条边长为3和7，那么第三边长可能是（ ）A ．1B ．4C ．7D ．1011．长度分别为2，3，4，5的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ） A ．8B ．5C ．6D ．712．已知直线//a b ，含30角的直角三角板按如图所示放置，顶点A 在直线a 上，斜边BC 与直线b 交于点D ，若135∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．65︒D ．75︒ 13．下列长度的四根木棒，能与3cm ，7cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A ．3cmB ．10cmC ．4cmD ．6cm14．如图，已知,,90,//AD BC FG BC BAC DE AC ⊥⊥∠=︒．则结论①//FG AD ；②DE 平分ADB ；③B ADE ∠=∠；④CFG BDE∠+∠90=︒．正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④15．如图，直线//,65,30AB CD A E ∠=︒∠=︒，则C ∠等于（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°二、填空题16．如图，BF 平分∠ABD ，CE 平分∠ACD ，BF 与CE 交于G ，若130,90BDC BGC ∠=︒∠=︒，则∠A 的度数为_________．17．如图，点D 在ABC 的边BA 的延长线上，点E 在BC 边上，连接DE 交AC 于点F ，若3117DFC B ∠∠==︒，C D ∠=∠，则BED ∠=________．18．2016年2月6日凌晨，宝岛高雄发生6.7级地震，得知消息后，中国派出武警部队探测队，探测队探测出某建筑物下面有生命迹象，他们在生命迹象上方建筑物的一侧地面上的,A B 两处，用仪器探测生命迹象C ，已知探测线与地面的夹角分别是30︒和60︒（如图)，则C ∠的度数是_________．19．如图，BD 是ABC 的中线，点E 、F 分别为BD 、CE 的中点，若AEF 的面积为23cm ，则ABC 的面积是______2cm ．20．一个三角形的三条高的长都是整数，若其中两条高的长分别为4和12，则第三条高的长为_____．21．对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．22．如图，飞机P 在目标A 的正上方，飞行员测得目标B 的俯角为30°，那么APB ∠的度数为______°．23．如图，△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，如果S△ABG＝2，那么S△ABC＝_____．24．如图，△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2．…按此规律，倍长2020次后得到的△A2020B2020C2020的面积为_____．25．如图，∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＋∠MGN＋∠H＋∠K＝________．26．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中90∠，90C=∠=，F∠+∠等于___________度．∠=，则12AD30∠=，45三、解答题27．图①、图②、图③都是5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．（1）在图①中边AB 上找到格点D ，并连接CD ，使CD 将△ABC 面积两等分； （2）在图②中△ABC 的内部找到格点E ，并连接BE 、CE ，使△BCE 是△ABC 面积的14． （3）在图③中△外部画一条直线l ，使直线l 上任意一点与B 、C 构成的三角形的面积是△ABC 的18．28．在ABC 中，,20A B C A B ∠+∠=∠∠-∠=︒， （1）求A ∠，B ，C ∠的度数；（2）ABC 按角分类，属于什么三角形ABC 按边分类，属于什么三角形？ 29．如图，A 、O 、B 三点在同一直线上，OE ，OF 分别是∠BOC 与∠AOC 的平分线．求：（1）当∠BOC=30°时，∠EOF 的度数； （2）当∠BOC=60°时，∠EOF 等于多少度？（3）当∠BOC=n°时，∠EOF等于多少度？（4）观察图形特点，你能发现什么规律？30．观察探究及应用．（1）如图，观察图形并填空：一个四边形有_______条对角线；一个五边形有_______条对角线；一个六边形有_______条对角线；（2）分析探究：由凸n边形的一个顶点出发，可作_______条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作_______条对角线；（3）结论：一个凸n边形有_______条对角线；（4）应用：一个凸十二边形有多少条对角线？。
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第11章三角形11.1.1 三角形的边教学课件 (5)
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
B
C
D
巩固练习
1.说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
80 °
60 °
50 °
1
B
(1)
2
C
1
D
∠1=40 °， ∠2=140 °
A
2
32 °(
C
B
(2)
∠1=18 °， ∠2=130 °
探究新知
素养考点 1
利用三角形外角的性质求角的度数
从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红
太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已来自∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰
太狼从C处要转多少度角才能直达B处？
D
C
●
？
●70 °●
B
O
40 °
●
A
探究新知
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
D
C
●
？
●70 °●
B
O
40 °
三角形的外角
A
C
相邻的内角
D
∠BCD与∠ACB互补.
探究新知
如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，
∠B)有什么关系？
B
不相邻的内角
你能用作平行线的
方法证明此结论吗？
三角形的外角
A
C
D
相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
探究新知
人教版 数学 八年级 上册
11.2 与三角形有关的角
初中数学人教版八年级上册 第十一章 三角形单元测试(含简单答案)
第十一章三角形一、单选题1．以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（）A．3,5,9B．5,6,13C．4,4,8D．5,6,102．在直角△ABC中，∠B是直角，∠C＝22°，则∠A等于（ ）．A．22°B．68°C．78°D．112°3．过多边形的一个顶点可以引出6条对角线，则多边形的边数是（ ）A．7B．8C．9D．104．如图，线段AD，AE，AF分别是△ABC的高线，角平分线，中线，比较线段AC，AD，AE，AF的长短，其中最短的是（）A．AF B．AE C．AC D．AD5．如图是一个缺损的三角形纸片，小鹿测得∠A=48°，∠B=68°，则这个三角形缺损的顶角∠C的度数为（）A．60°B．64°C．74°D．80°6．下面各角能成为某多边形的内角和是（）A．4300°B．4343°C．4320°D．4360°7．已知AD为△ABC的中线，且AB=10cm，AC=8cm，则△ABD和△ACD的周长之差为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．18cm8．用直角三角板作△ABC的边AB上的高，下列直角三角板位置摆放正确的是（ ）A．B．C．D．9．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为12，BD=3，则△BDE中BD边上的高为（ ）A．1B．4C．3D．2二、填空题10．椅子是一种日常生活家具，现代的椅子追求美观时尚，在如图所示的椅子的设计中，将椅子脚设计成三角形，椅子非常稳固，其所利用的数学原理是．11．在△ABC中，∠A=35°，∠B=45°，则∠C为．12．如图，∠BCD是△ABC的外角，∠BCD=100°，∠A=70°，那么∠B=°．13．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=．14．如图，AD是△ABC的中线，E为线段AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F．若S△ABC=16，BD=3，则EF长为．15．将两块分别含有30°和45°角的直角三角板按如图所示叠放，若∠1＝∠2，则∠3＝°．16．已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是边形．17．如图，△ABC中，E为AD与CF的交点，AE=ED，已知△ABC的面积是36，△BEF的面积是3.6，则△AEF的面积是．18．如图，在△ABC中，点D、E分别为边BC、AC上的点，连接DE，将△CDE沿DE翻折得到△C′DE，使C′D∥AB．若∠A=75°，∠B=60°，则∠C′EA的大小为．19．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；④∠ADB＝45°−1∠CDB，其中正确的结论有．2三、解答题20．已知和多边形一个内角相邻的外角与其余各内角度数总和为600°，求该多边形的边数．21．已知：a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足|2a−b+2|+(a+b−8)2=0．(1)求c的取值范围；(2)在（1）的条件下，若2x−c=1，求x的取值范围．22．一个零件的形状如图所示，按规定∠A=90°，∠B、∠D分别是32°和21°，要测量这个零件是否合格，检验工人测量∠BCD的度数，如果∠BCD=150°，就判定这个零件不合格，你知道这是为什么吗？请说明原因．23．在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A=20°，∠B=60°；求：(1)求∠ACB的度数．(2)∠BCD的度数；(3)∠ECD的度数．24．综合与探究 小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，∠MON =90°，点A ，B 分别在OM ，ON 上运动（不与点O 重合）．探究与发现：若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠BAO 的平分线交于点D ．(1)①若∠BAO =70°，则∠D =________°；②猜想：∠D 的度数是否随A ，B 的运动而发生变化？并说明理由；(2)拓展延伸：如图2，若∠ABC =13∠ABN ，∠BAD =13∠BAO ，求∠D 的度数．(3)在图1的基础上，如果∠MON =α，其余条件不变，随着点A 、B 的运动（如图3），∠D =________（用含α的代数式表示）参考答案：1．D2．B3．C4．D5．B6．C7．A8．D9．D10．三角形的稳定性11．100°12．3013．180度/180°14．83/22315．67.516．五或六或七17．2.418．30°/30度19．①②③④20．边数为5或6．21．(1)4<c <8(2)52<x <9222．这个零件合格23．(1)100°(2)30°(3)20°24．(1)①45②∠D 的度数不发生变化(2)30°(3)12α。
人教版八年级数学上册第11章
人教版八年级数学上册第11章§11．2 三角形全等的条件 §11．2．1 三角形全等的条件（一） §11．2．1 三角形全等的条件（二） §11．2．3 三角形全等的条件（三） §11．2．3 三角形全等的条件---直角三角形全等的判定（四） §11．3 角的平分线的性质（一） §11．3．2 角的平分线的性质（二）§11．1 全等三角形教学目标1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边． 教学重点全等三角形的性质． 教学难点找全等三角形的对应边、对应角． 教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？C 1B 1CABA 1这两个三角形是完全重合的．2．学生自己动手（同桌两名同学配合）取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样． 3．获取概念让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号．形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形．要是把两个图形放在一起，能够完全重合，•就可以说明这两个图形的形状、大小相同．概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义．仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求． Ⅱ．导入新课 利用投影片演示将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC ；将△ABC 旋转180°得△AED ．甲DCABFE 乙DCAB丙DCABE议一议：各图中的两个三角形全等吗？不难得出： △ABC ≌△DEF ，△ABC ≌△DBC ，△ABC ≌△AED ． （注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，•但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 观察与思考：寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ （引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等． 全等三角形的对应角相等．[例1]如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，•说出这两个三角形中相等的边和角．D CABO问题：△OCA ≌△OBD ，说明这两个三角形可以重合，•思考通过怎样变换可以使两三角形重合？将△OCA 翻折可以使△OCA 与△OBD 重合．因为C 和B 、A 和D 是对应顶点，•所以C 和B 重合，A 和D 重合．∠C=∠B ；∠A=∠D ；∠AOC=∠DOB ．AC=DB ；OA=OD ；OC=OB ．总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法．[例2]如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，•指出其他的对应边和对应角．DCABE分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE 和△ACD 从复杂的图形中分离出来．根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，•然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．常用方法有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角． 解：对应角为∠BAE 和∠CAD ．对应边为AB 与AC 、AE 与AD 、BE 与CD ．[例3]已知如图△ABC ≌△ADE ，试找出对应边、对应角．（由学生讨论完成）C ABEO借鉴例2的方法，可以发现∠A=∠A ，•在两个三角形中∠A 的对边分别是BC 和DE ，所以BC 和DE 是一组对应边．而AB 与AE 显然不重合，所以AB•与AD 是一组对应边，剩下的AC 与AE 自然是一组对应边了．再根据对应边所对的角是对应角可得∠B 与∠D 是对应角，∠ACB 与∠AED 是对应角．所以说对应边为AB 与AD 、AC 与AE 、BC 与DE ．对应角为∠A 与∠A 、∠B 与∠D 、∠ACB 与∠AED ． 做法二：沿A 与BC 、DE 交点O 的连线将△ABC•翻折180°后，它正好和△ADE 重合．这时就可找到对应边为：AB 与AD 、AC 与AE 、BC 与DE ．对应角为∠A 与∠A 、∠B 与∠D 、∠ACB 与∠AED ． Ⅲ．课堂练习 课本P90练习1．课本P90习题14．1复习巩固1． Ⅳ．课时小结通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，•并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课大家要重点掌握的．找对应元素的常用方法有两种： （一）从运动角度看1．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素． 2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．3．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素． （二）根据位置元素来推理1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边． 2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．Ⅴ．作业课本P90习题14．1、复习巩固2、综合运用3．课后作业:＜＜三级训练＞＞板书设计§11．2 三角形全等的条件§11．2．1 三角形全等的条件（一）教学目标1．三角形全等的“边边边”的条件．2．了解三角形的稳定性．3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程． 教学重点三角形全等的条件． 教学难点寻求三角形全等的条件． 教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形． 已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，找出其中相等的边与角．C 'B 'A 'C B A图中相等的边是：AB=A ′B 、BC=B ′C ′、AC=A ′C ． 相等的角是：∠A=∠A ′、∠B=∠B ′、∠C=∠C ′．展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题． Ⅱ．导入新课 出示投影片1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），•画出的两个三角形一定全等吗？2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．①三角形一内角为30°，一条边为3cm．②三角形两内角分别为30°和50°．③三角形两条边分别为4cm、6cm．学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流．结果展示：1．只给定一条边时：只给定一个角时：2．给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边．①3cm3cm3cm30︒30︒30︒②50︒50︒30︒30︒③6cm4cm4cm6cm可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？归纳：有四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边．在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．已知一个三角形的三条边长分别为6cm 、8cm 、10cm ．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？ 1．作图方法：先画一线段AB ，使得AB=6cm ，再分别以A 、B 为圆心，8cm 、10cm 为半径画弧，•两弧交点记作C ，连结线段AC 、BC ，就可以得到三角形ABC ，使得它们的边长分别为AB=6cm ，AC=8cm ，BC=10cm ．2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．•这说明这些三角形都是全等的．3．特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC ，根据前面作法，同样可以作出一个三角形A ′B ′C ′，使AB=A ′B ′、AC=A ′C ′、BC=B ′C ′．将△A ′B ′C ′剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律： 三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ”．用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS ”是证明三角形全等的一个依据．请看例题． [例]如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．[师生共析]要证△ABD ≌△ACD ，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．证明：因为D 是BC 的中点 所以BD=DC 在△ABD 和△ACD 中(AB ACBD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩公共边)所以△ABD ≌△ACD （SSS ）．生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，•而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．•例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等． Ⅲ．随堂练习如图，已知AC=FE 、BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AD=FB ．要用“边边边”证明△ABC ≌△FDE ，除了已知中的AC=FE ，BC=DE 以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？F DCBEA2．课本P94练习． Ⅳ．课时小结本节课我们探索得到了三角形全等的条件，•发现了证明三角形全等的一个规律SSS ．并利用它可以证明简单的三角形全等问题． Ⅴ．作业1．习题14．2复习巩固1、2． 习题14．2综合运用9． 课后作业：《课堂感悟与探究》 Ⅵ．活动与探索如图，一个六边形钢架ABCDEF 由6条钢管连结而成，为使这一钢架稳固，请你用三条钢管连接使它不能活动，你能找出几种方法？C本题的目的是让学生能够进一步理解三角形的稳定性在现实生活中的应用． 结果：（1）可从这六个顶点中的任意一个作对角线，•把这个六边形划分成四个三角形．如图（1）为其中的一种．（2）也可以把这个六边形划分成四个三角形．如图（2）．板书设计(1)(2)§11．2．1 三角形全等的条件（二）教学目标1．三角形全等的“边角边”的条件．2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程．3．掌握三角形全等的“SＡS”条件，了解三角形的稳定性．4．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．教学重点三角形全等的条件．教学难点寻求三角形全等的条件．教学过程一、创设情境，复习提问1．怎样的两个三角形是全等三角形？2．全等三角形的性质？3．指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过怎样的变换能使它们完全重合：图(1)中：△ABD≌△ACE，AB与AC是对应边；图(2)中：△ABC≌△AED，AD与AC是对应边．４．三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？二、导入新课1．三角形全等的判定（二）(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质．那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：AO＝CO，∠AOB＝∠COD，BO＝DO．如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC 重合；又因为∠AOB ＝∠COD，OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．(此外，还可以图1(1)中的△ACE绕着点A逆时针方向旋转∠CAB的度数，也将与△ABD重合．图1( 2)中的△ABC绕着点A旋转，使AB与AE重合，再把△ADE沿着AE(AB)翻折180°．两个三角形也可重合)由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．2．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：(1)读句画图：①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取B、C，使AB＝3.1cm，AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．(2)把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？3．边角边公理．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)三、例题与练习1．填空：(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD ≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)．2、例1 已知：AD∥BC，AD＝CB(图3)．求证：△ADC≌△CBA．问题：如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5)，那么要证明△ADF≌△CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件(AF＝CE或AE ＝CF)？怎样证明呢？例2已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)．求证：△ABD≌△ACE．四、小结：1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理．五、作业：1．已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．求证：△ABE≌△ACF．2．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞§11．2．3 三角形全等的条件（三）教学目标1．三角形全等的条件：角边角、角角边．2．三角形全等条件小结．3．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．4．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．教学重点已知两角一边的三角形全等探究．教学难点灵活运用三角形全等条件证明．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境1．复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边．（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？三种：①定义；②SSS；③SAS．2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？Ⅱ．导入新课问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？1．两角和它们的夹边．2．两角和其中一角的对边．问题2：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，•你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．提炼规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．问题3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，•能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？①先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长．②画线段A′B′，使A′B′=AB．③分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A，使∠D′AB=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA．④射线A′D与B′E交于一点，记为C′即可得到△A′B′C′．将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等．C 'A 'B 'D C A E两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）．思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA ”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？ 探究问题4：如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，∠B=∠E ，BC=EF ，△ABC 与△DEF 全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？D C AB F E证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°∠A=∠D ，∠B=∠E∴∠A+∠B=∠D+∠E∴∠C=∠F在△ABC 和△DEF 中B E BC EF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）．[例]如下图，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ．求证：AD=AE ．[分析]AD 和AE 分别在△ADC 和△AEB 中，所以要证AD=AE ，只需证明△ADC ≌△AEB 即可．证明：在△ADC 和△AEB 中A A AC ABC B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以△ADC ≌△AEB （ASA ）所以AD=AE ．Ⅲ．随堂练习（一）课本P99练习1、2．（二）补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由．50︒50︒45︒45︒DC A B (1)29︒29︒DC A B (2)E答案：图（1）中由“ASA ”可证得△ACD ≌△ACB ．图（2）由“AAS ”可证得△ACE ≌△BDC ．Ⅳ．课时小结至此，我们有五种判定三角形全等的方法：1．全等三角形的定义2．判定定理：边边边（SSS ） 边角边（SAS ） 角边角（ASA ） 角角边（AAS ） 推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．Ⅴ．作业1．课本习题14．2─5、6、14题．课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞板书设计§11．2．3 三角形全等的条件---直角三角形全等的判定（四）教学目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
第11章《三角形》人教版八年级上册数学课时练基础篇(含答案)
19．已知，如图，△ ABC 中，∠ ABC＝66°，∠ ACB＝54°，BE、CF 是两边 AC、AB 上的高， 它们交于点 H．求∠ ABE 和∠ BHC 的度数．
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20．如图，∠ ECF＝90°，线段 AB 的端点分别在 CE 和 CF 上，BD 平分∠ CBA，并与∠ CAB 的外角平分线 AG 所在的直线交于一点 D， （1）∠ D 与∠ C 有怎样的数量关系？（直接写出关系及大小） （2）点 A 在射线 CE 上运动，（不与点 C 重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成 立吗？说说你的理由．
（n﹣2）•180°＝360°， n﹣2＝2， n＝4．
故答案为：四． 12．解：如图，连接 AO 并延长，
∵ ∠ A＝80°，∠ 1＝15°，∠ 2＝40°， ∴ ∠ BOC＝∠ A+∠ 1+∠ 2， ＝80°+15°+40°， ＝135°． 故答案为：135°．
13．解：木工师傅做完房门后，为防止变形钉上两条斜拉的木条这样做的根据是：三角形的 稳定性． 故填：三角形的稳定性．
为什么？（必须写推理过程）
（2）如图 2，如果点 B 向右移动到 AC 上，那么还能求出∠ A+∠ DBE+∠ C+∠ D+∠ E 的
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大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程） （3）如图，当点 B 向右移动到 AC 的另一侧时，上面的结论还成立吗？ （4）如图 4，当点 B、E 移动到∠ CAD 的内部时，结论又如何？根据图 3 或图 4，说明 你计算的理由．
夹角∠ BCD 为
度．
15．数一数图中共有
个三角形．
16．如图所示，已知 O 是四边形 ABCD 内一点，OB＝OC＝OD，∠ BCD＝∠ BAD＝75°，则
部编数学八年级上册11.2与三角形有关的角同步练习及答案含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第11章《三角形》同步练习（§11.2 与三角形有关的角）班级学号姓名得分1．填空：(1)三角形的内角和性质是____________________________________________________.(2)三角形的内角和性质是利用平行线的______与______的定义，通过推理得到的．它的推理过程如下：已知：△ABC，求证：∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝______．证明：过A点作______∥______，则∠EAB＝______，∠FAC＝______．(___________，___________)∵∠EAF是平角，∴∠EAB＋______＋______＝180°．( )∴∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝∠EAB＋∠______＋∠______．( )即∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝______．2．填空：(1)三角形的一边与_________________________________________叫做三角形的外角．因此，三角形的任意一个外角与和它相邻的三角形的一个内角互为______．(2)利用“三角形内角和”性质，可以得到三角形的外角性质?如图，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD与∠ACB互为______，即∠ACD＝180°－∠ACB．①又∵∠A＋∠B＋∠ACB＝______，∴∠A＋∠B＝______．②由①、②，得∠ACD＝______＋______．∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B由上述(2)的说理，可以得到三角形外角的性质如下：三角形的一个外角等于____________________________________________________.三角形的一个外角大于____________________________________________________. 3．(1)已知：如图，∠1、∠2、∠3分别是△ABC的外角，求：∠1＋∠2＋∠3．(2)结论：三角形的外角和等于______．4．已知：如图，BE与CF相交于A点，试确定∠B＋∠C与∠E＋∠F之间的大小关系，并说明你的理由．5．已知：如图，CE⊥AB于E，AD⊥BC于D，∠A＝30°，求∠C的度数．6．依据题设，写出结论，想一想，为什么?已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，则：(1)∠A＋∠B＝______．即∠A与∠B互为______；(2)若作CD⊥AB于点D，可得∠BCD＝∠______，∠ACD＝∠______．7．填空：(1)△ABC中，若∠A＋∠C＝2∠B，则∠B＝______．(2)△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．(3)△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则它们的相应邻补角的比为______．(4)如图，直线a∥b，则∠A＝______度．(5)已知：如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，则∠ACB＝______．(6)已知：如图，∠DAC＝∠B，∠ADC＝115°，则∠BAC＝______．(7)已知：如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，则∠A＝______(8)在△ABC中，若∠B－∠A＝15°，∠C－∠B＝60°，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．8．已知：如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，在B处测得灯塔C位于北偏东25°，求∠ACB．9．已知：如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线．(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．(2)试问∠DAE与∠C－∠B有怎样的数量关系?说明理由．10．已知：如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB．(1)若∠A＝46°，求∠BOC；(2)若∠A＝n°，求∠BOC；(3)若∠BOC＝148°，利用第(2)题的结论求∠A．11．已知：如图，O是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点．(1)若∠A＝46°，求∠BOC；(2)若∠A＝n°，用n的代数式表示∠BOC的度数．12．类比第10、11题，若O是△ABC外一点，OB、OC分别平分△ABC的外角∠CBE、∠BCF ，若∠A＝n°，画出图形并用n的代数表示∠BOC．13．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，如果∠CMB；∠CNB＝3∶2求∠CAB的度数．14．如图，已知线段AD、BC相交于点Q，DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M ＝33°，求∠C的度数．参考答案1．(1)三角形的内角和等于180°，(2)性质、平角，说理过程(略)2．略．3．∠1＋∠2＋∠3＝360°，360°．4．∠B ＋∠C ＝∠E ＋∠F ．(此图中的结论为常用结论) 5．30°6．(1)90°，余角，(2)∠A ，∠B7．(1)60°．(2)36°，54°，90°．(3)5∶4∶3．(4)39°．(5)110°．(6)115°．(7)36°．(8)30°，45°，105°．8．35°． 9．(1)10°；(2)10．(1)113°，(2) (3)116°．11．(1)23°．(2)证明：∵OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACE ，∴∴12．13．36°．14．39°．由本练习中第4题结论可知：∠C ＋∠CDM ＝∠M ＋∠MBC ，即).(21B C DAE ∠-∠=∠,2190o n +.21 n BOC =∠.21,21ABC OBC ACE OCE ∠=∠∠=∠.2121)(21 n A ABC ACE OBC OCF BOC =∠=∠-∠=∠-∠=∠)(21180)32(180FCB EBC BOC ∠+∠-=∠+∠-=∠ )]()[(21180o ABC A ACB A ∠+∠+∠+∠-=)180(21180o o A ∠+-=A ∠-=2190 .2190o n -=①．2121ABC M ADC C ∠+∠=∠+∠同理，由①、②得因此∠C ＝39°．②．2121ABC A ADC M ∠+∠=∠+∠),(21C A M ∠+∠=∠。
人教版初中新教材八年上数学详细目录
人教版初中新教材八年上数学详细目录（62）第11章三角形（8）11.1 与三角形有关的线段（2）11.1.1 三角形的边 11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性信息技术应用画图找规律11.2 与三角形有关的角（3）11.2.1 三角形的内角7.2.2 三角形的外角阅读与思考为什么要证明11.3 多边形及其内角和（2）11.3.1 多边形11.3.2 多边形的内角和数学活动小结（1）第12章全等三角形（11）12.1 全等三角形（1）12.2 三角形全等的判定（6）信息技术应用探究三角形全等的条件12.3 角的平分线的性质（2）数学活动小结（2）第13章轴对称（14）13.1 轴对称（3）13.1.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质13.2 画轴对称图形（2）信息技术应用用轴对称进行图案设计13.3 等腰三角形（5）13.3.1 等腰三角形13.3.2 等边三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系13.4 课题学习最短路径问题（2）数学活动小结（2）第14章整式的乘法与因式分解（14）14.1整式的乘法（6）14.1.1 同底数幂的乘法14.1.2 幂的乘方14.1.3 积的乘方14.1.4 整式的乘法14.2 乘法公式（3）14.2.1 平方差公式14.2.2 完全平方公式阅读与思考杨辉三角14.3 因式分解（3）14.3.1 提公因式法14.3.2 公式法阅读与思考型式子的分解数学活动小结（2）第15章分式（15）15.1 分式（4）15.1.1 从分数到分式 15.1.2 分式的基本性质15.2 分式的运算（6）15.2.1 分式的乘除15.2.2 分式的加减15.2.3 整数指数幂阅读与思考容器中的水能倒完吗？15.3 分式方程（3）数学活动小结（2）。
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第11章三角形11.3.1 多边形教学课件
……
三角形 四边形 五边形 六边形 八边形
多边形
三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 n边形
从同一顶点引出
的对角线的条数 0
1
2
3
5 n-3
分割出的三角形
的个数
1
2
3
4
6 n-2
探究新知
11.3 多边形及其内角和/
归纳总结
从n(n≥3)Leabharlann 形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线. 将多边形分成(n-2)个三角形.
n(n≥3)边形共有对角线 n(n 3) 条.
2
探究新知
11.3 多边形及其内角和/
素养考点 2 利用多边形的对角线相关公式求边数
例2 过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对 角线分该多边形所得三角形的个数的和为21，求这个多 边形的边数．
解：设这个多边形为n边形，则有(n-3)条对角线，所 分得的三角形个数为n-2，
组成的图形叫做三角形.
问题2： 观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你 能说出什么是多边形吗？
在平面内，由一些线段首尾 顺次相接组成的封闭图形叫 做多边形.
探究新知
11.3 多边形及其内角和/
【思考】 比较多边形的定义与三角形的定义，为什 么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？
这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内， 而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.
H
如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线， 整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多 边形.
探究新知
11.3 多边形及其内角和/
素养考点 1 多边形的截角问题
例1 凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边
新人教版八年级数学上册第十一章《三角形》教材解析
四 说重难点
• 重点：
• 三角形三边关系、内角和，多边形的外角 和与内角和公式。
• 难点：
• 三角形内角和等于180°的证明，根据三条 线段的长度判断它们能否构成三角形及与 简单的平面镶嵌设计。
五 说整体设计思路
三角形的内角 和定理
三角形三边之间 的关系
三角形的定义 三角形的表示方法
知识内容 概三 念角 形 的 有 关
与三角形有关的线段
六、说教学建议
1、与三角形有关的概念有的需要理解；有的 只需要知道，如理解角平分线平分一角，知道 三条交于一点。
2、证明三角形的内角和等于180°有一定难度，只 要学生了解得出结论的过程，不要在辅助线上花太 多的精力，以免影响对内容本身的理解和掌握，对 推理的要求应循序渐进。
二 说知识体系
掌握两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
掌握两角及其夹边分别等的两个三角形全等； 掌握三边分别相等的两个三角形全等；
理解全等三角形的概念； 能识别全等三角形中的对应边、 对应角
探索并掌握判断 直角三角形全等 的“斜边、直角 边”定理
三角形概念
理解三角形及其内角、中线、高、 角平分线等概念,了解三角形 的稳定性；
（2011四川内江，2，3分）如图，把一块直角三角板的直角顶点
放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是
A．32° B．58°
C．68°
D．60°
2
1
• （2011湖南怀化，2，3分）如图1所示，∠A、 ∠1、∠2的大小关系是
• A. ∠A>∠1>∠2 B. ∠2>∠1>∠A
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第11章三角形11.2.2 三角形的外角教学课件
∴∠ADB＝180°–∠B–∠BAD ＝180°–36°–34°
B
DC
＝110°.
巩固练习
11.1 与三角形有关的线段/
4. 如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，则：
∠1 = ∠2 ；
1
∠3 = 2 ∠ABC ；
∠ACB = 2∠4.
A
1
2
12 E F
3
B
3
D
44
C
探究新知
三角形的 重要线段
解得x=4.
探究新知
11.1 与三角形有关的线段/
知识点 2 三角形中线的概念
我们学习了三角形的高，我们已经知道了三 角形的面积公式，你能经过三角形的一个顶点画 一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三 角形吗？
探究新知
11.1 与三角形有关的线段/
三角形的中线的定义
在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做 三角形的中线．
巩固练习
11.1 与三角形有关的线段/
2.如图，(1)写出以AE为高的三角形;(2)当BC=8，AE=3， AB=6时，求AB边上的高的长度.
解：(1)△ABE，△ABD，△ABC，
△AED，△AEC，△ADC.
(2)设AB边上的高为x，
∵S△ABC=
1
2 BC·AE=
1
2AB·x
∴BC·AE=AB·x，8×3=6x
3条高，锐角三角 形：形内；钝角 三角形：形外； 直角三角形：直 角顶点
∵ AD是△ABC的BC上
的中线. ∴ BD=CD= 12BC.
3条，交点叫作三 角形的重心.形内
∵AD是△ABC的∠BAC
的平分线 ∴ ∠1=∠2= 12∠BAC
2020年秋人教版八年级数学上册第11章《与角有关的辅助线》(讲义、随堂练习、习题及答案)
人教版八年级数学上册第11章与角有关的辅助线（讲义）➢ 课前预习1. 如图，∠AOB =130°，OC ⊥OB 于点O ，求∠AOC 的度数．OAB C解：如图， ∵OC ⊥OB （已知）∴____________（垂直的定义） ∵∠AOB =130°（已知） ∴∠AOC =______-______=______-______ =______（等式的性质）➢ 知识点睛1. 为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成________．2. 辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立______和______之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况． 3. 辅助线的作用：①________________________________________________； ②________________________________________________． 4. 添加辅助线的注意事项：____________________________．➢ 精讲精练1. 如图，AB ∥CD ，∠E =27°，∠C =52°，则∠EAB 的度数为______________．EDB A2. 如图，∠BAF =46°，∠ACE =136°，CD ⊥CE ．求证：AB ∥CD ．FEDCBA3. 已知：如图，直线AB ∥CD ，∠EFG =130°，∠DGH =40°．你认为EF ⊥AB 吗？请说明理由．F HGE D CBA4. 已知：如图，AB ∥CD ，E ，F 分别是AB ，CD 上的点．求证：∠EPF =∠AEP +∠CFP ．PF E DCBA5. 如图，l 1∥l 2，∠1=105°，∠2=40°，则∠3=___________．321l 2l 16. 已知：如图，AB ∥EF ，∠B =25°，∠D =30°，∠E =10°，则∠BCD =________．FEDCBA7. 已知：如图，AB ∥ED ，α=∠A +∠E ，β=∠B +∠C +∠D ．求证：β=2α．ECDBA8. 已知：如图，CD ∥EF ，∠1+∠2=∠ABC ．求证：AB ∥GF ．21GEDCB A9. 已知：如图，在四边形ABDC 中．求证：∠BDC =∠A +∠B +∠C ．ADB【参考答案】➢课前预习1.∠COB=90°∠AOB -∠COB 130°-90° 40°➢ 知识点睛1. 虚线2. 已知，未知3. ①把分散的条件转为集中②把复杂的图形转化为基本图形 4. 明确目的，多次尝试➢ 精讲精练1. 79°2. 证明：如图，延长DC 到点G ．G ABCD EF∵CD ⊥CE （已知）∴∠ECG =90°（垂直的定义） ∵∠ACE =136°（已知） ∴∠ACG =∠ACE -∠ECG=136°-90°=46°（等式的性质）∵∠BAF =46°（已知） ∴∠ACG =∠BAF （等量代换）∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行） 3. 解：EF ⊥AB ，理由如下：如图，延长EF 交CD 于点M ．F AB CDE MN GH∵∠DGH =40°（已知）∠DGH =∠FGM （对顶角相等） ∴∠FGM =40°（等量代换）∵∠EFG 是△FGM 的一个外角（外角的定义）∴∠EFG =∠FGM +∠FMG （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠EFG =130°（已知） ∴∠FMG =∠EFG -∠FGM =130°-40°=90°（等式的性质）∵AB ∥CD （已知）∴∠BNE =∠FMG =90°（两直线平行，同位角相等） ∴EF ⊥AB （垂直的定义） 4. 证明：如图，过点P 作MN ∥AB ．N M 4321P FE DCBA∵CD ∥AB （已知）∴AB ∥MN ∥CD （平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1=∠2，∠3=∠4（两直线平行，内错角相等） ∴∠2+∠4=∠1+∠3（等式的性质） 即∠EPF =∠AEP +∠CFP 5. 115° 6. 45°7. 证明：如图，过点C 作MN ∥ED ．21E DM CNAB∵AB ∥ED （已知）∴MN ∥AB ∥ED （平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1+∠D =180°， ∠2+∠B =180°，∠A +∠E =180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵α=∠A +∠E （已知） ∴α=180°（等量代换） ∵β=∠B +∠C +∠D （已知） ∴β=∠B +∠1+∠2+∠D =180°+180° =360°（等式的性质） ∴β=2α（等式的性质） 8. 证明：NMAB C DE F G 12如图，延长CB 交FG 于点M ，延长FE 交CM 于点N ． ∵CD ∥EF （已知）∴∠2=∠FNM （两直线平行，同位角相等） ∵∠BMG 是△FMN 的一个外角（外角的定义） ∴∠BMG =∠1+∠FNM=∠1+∠2（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠1+∠2=∠ABC （已知） ∴∠BMG =∠ABC （等量代换）∴AB ∥GF （同位角相等，两直线平行） 9. 证明：如图，延长BD 交AC 于点E ．1EABC D∵∠1是△ABE 的一个外角（外角的定义）∴∠1=∠A +∠B （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠BDC 是△CDE 的一个外角（外角的定义）∴∠BDC =∠1+∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BDC =∠A +∠B +∠C （等量代换）与角有关的辅助线（随堂测试）2. 已知：如图，AB ⊥EF 于点O ，BD 与MN 相交于点C ，∠1=35°，∠B =125°． 求证：EF ∥MN ．N MFA B C D E1O【参考答案】1. 解：EF ∥MN理由如下：如图，延长AB 交MN 于点G ．∵∠1=35°（已知）∴∠BCG =35°（对顶角相等）∵∠ABC 是△BCG 的一个外角（外角的定义）∴∠ABC =∠BGC +∠BCG （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠ABC =125°（已知） ∴∠BGC =∠ABC -∠BCG =125°-35°=90°（等式的性质）∵AB ⊥EF （已知）∴∠AOF =90°（垂直的定义） ∴∠AOF =∠BGC （等量代换）∴EF ∥MN （同位角相等，两直线平行）NMFEGO 1DC B A与角有关的辅助线（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，∠BED =∠B +∠D ． 求证：AB ∥CD ．①读题标注：②梳理思路：要证AB ∥CD ，我们需要找相关的同位角、内错角或同旁内角．观察图形发现，AB ，CD 没有截线，故需要构造截线，然后证明．可尝试延长BE 交CD 于点G ．③过程书写：证明：如图，延长BE 交CD 于点G ． ∵∠BED 是△DEG 的一个外角 ∴∠BED =∠DGE +∠D ∵∠BED =∠B +∠D ∴∠DGE =∠B ∴AB ∥CD➢ 巩固练习EDBA CEDBA CGCABDE3.已知：如图，a∥b，则∠1+∠2-∠3=_________．4.已知：如图，∠B+∠E+∠D=360°．求证：AB∥CD．5.已知：如图，AB∥CD，∠1=∠2．求证：∠3=∠4．6.已知：如图，AB∥CD．求证：∠1+∠3 ∠2=180°．ba132CA BDE4F123C DEBA7.已知：如图，∠3=∠1+∠2．求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．➢思考小结已知：如图，在四边形ABDC中．求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C．A BC D123EF GEDC BA321（1）请根据图下方的描述在图上作出辅助线，并进行证明（不需要写过程）；延长BD 交AC 于点E 延长CD 交AB 于点E连接AD 并延长AD 到点E 连接BC过点D 作EF ∥AB 交AC 于点E 过点D 作EF ∥AC 交AB 于点E （2）根据上面的证明方法可以总结出辅助线的作用： ①_____________________________________； ②_____________________________________．【参考答案】 ➢ 巩固练习1. 180°2. 证明：如图，过点E 作EF ∥AB ．DBA DC BADBADC BADBADC BA∴∠B +∠BEF =180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠B +∠BED +∠D =360°（已知）∴∠B +∠BEF +∠FED +∠D =180°（等量代换） ∴∠FED +∠D =180°（等式的性质） ∴EF ∥CD （同旁内角互补，两直线平行） ∴AB ∥CD （平行于同一条直线的两条直线平行） 3. 证明：如图，延长BE 交CD 于点G ．∵AB ∥CD （已知） ∴∠1=∠5（两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2（已知） ∴∠2=∠5（等量代换）∴BG ∥CF （同位角相等，两直线平行） ∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等） 4. 证明：如图，延长EA 交CD 于点F ．∵AB ∥CD （已知）∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等） ∵∠4是△CEF 的一个外角（外角的定义）∴∠4=∠2+∠ECF （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠3+∠ECF =180°（平角的定义） ∴∠ECF =180°-∠3（等式的性质）FED BA C 5GAB EDC 321F44FE321D C BA∴∠4=∠2+180°-∠3（等量代换）∴∠4+∠3-∠2=180°（等式的性质）∴∠1+∠3-∠2=180°（等量代换）（方法不只一种）5.证明：如图，延长EG交CF于点H．∵∠3是△GFH的一个外角（外角的定义）∴∠3=∠2+∠GHF（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠3=∠1+∠2（已知）∴∠GHF=∠1（等式的性质）∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）∴∠BMD+∠MNC=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BMD是△ABM的一个外角（外角的定义）∴∠BMD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠MNC是△CDN的一个外角（外角的定义）∴∠MNC=∠C+∠D（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BMD+∠MNC=∠A+∠B+∠C+∠D（等式的性质）∴∠A+∠B+∠C+∠D=180°（等量代换）（方法不只一种）➢思考小结（1）作辅助线，证明略；（2）①把分散的条件转为集中；②把复杂的图形转化为基本图形．。
(初二数学课件)人教版初中八年级数学上册第11章三角形11.2.2三角形的内角教学课件
＝130°.
巩固练习
11.2 与三角形有关的角/
3.如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分
∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则
∠ADE的大小是( C )
A．45°
B．54°
C．40°
D．50°
探究新知
11.2 与三角形有关的角/
1
∴∠ACE＝ 2 ×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD–∠ACE＝60°–45°＝15°.
巩固练习
11.2 与三角形有关的角/
5.完成下列各题.
①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= 102°
.
②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是
_________三角形
探究新知
11.2 与三角形有关的角/
变 式 题 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，
∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
1
2
∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠ACB=180°–54°–48°=78°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCB= × 78°=39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB=39°．
课堂检测
11.2 与三角形有关的角/
基 础 巩 固 题
1.求出下列各图中的x值．
70
40
x
x°
x=70
人教版初中数学八上第十一章 三角形 11.2.2 三角形的外角 (2)
A.90°
B.80°
C.60°
D.40°
4.如图，图中x的值为（ C ）
第3题图
A.40
B.50
C.60
D.70
第4题图
5.如图，已知AC∥ED，∠C＝26°，∠B＝37°，则∠E的度数是（ A ）
A.63°
B.83°
C.73°
D.53°
6.将一副三角板按如图所示摆放，则∠1的度数为（ C ）
（2）求∠EDF的度数.
解：（2）由折叠的性质，得∠E＝∠B＝50°. 由（1）知∠AFC＝110°， ∴∠AFB＝180°－∠AFC＝70°， ∴∠EDF＝∠AFB－∠E＝20°.
15.一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别是21°和 32°.检验工人量得∠BDC＝148°，就断定这个零件不合格，这是为什么？
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角 11.2.2 三角形的外角
知识点一 认识三角形的外角
1.下列各图中，∠1是△ABC的外角的是（ D ）
ABCD源自2.如图，∠AEB是△ ACE 的一个外角.
第2题图
知识点二 三角形外角的性质
3.如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，则∠C的度数是
∵∠3是△ABO的外角， ∴∠1＋∠B＝∠3①. ∵∠4是△AOC的外角， ∴∠2＋∠C＝∠4②. ①＋②，得∠1＋∠B＋∠2＋∠C＝∠3＋∠4， 即∠BOC＝∠BAC＋∠B＋∠C.
17.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线相交于点D.
（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，则∠A的度数为 80° ，∠D的度数
第11题图
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一、选择题 1. （2011 福建福州，10，4 分）如图 3,在长方形网格中,每个小长方形的长为 2 ,宽为 1 , A 、
B 两点在网格格点上,若点 C 也在网格格点上,以 A 、 B 、 C 为顶点的三角形面积为 2 ,
则满足条件的点 C 个数是（
）
A．2 B．3
C．4
D．
B A
- 2 -
9. （2011 江苏苏州， 2,3 分）△ ABC 的内角和为 A.180° B.360° C.540° D.720°
10．（2011 四川内江，2，3 分）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上， 如果∠1=32°，那么∠2 的度数是 A．32° B．58° C．68° D．60°
- 9 -
A
80o
150o
C
13题图
D
B
18. （2011 湖北鄂州，6，3 分）如图，在△ABC 中 E 是 BC 上的一点，EC=2BE，点 D 是 AC 的中点， 设△ ABC、 △ ADF、 △ BEF 的面积分别为 S△ABC， S△ADF， S△BEF， 且 S△ABC=12， 则 S△ADF－S△BEF=_________． A
- 12 -
- 1 -
A D B E C
A．2cm
B．1.5cm
C．1.2cm
D．1cm
6. （2011 台湾台北，23）如图(八)，三边均不等长的 ABC ，若在此三角形内找一点 O，
使得 OAB 、 OBC 、 OCA 的面积均相等。判断下列作法何者正确？
A． 作中线 AD ，再取 AD 的中点 O B． 分别作中线 AD 、 BE ，再取此两中线的交点 O C． 分别作 AB 、 BC 的中垂线，再取此两中垂线的交点 O D． 分别作 A 、 B 的角平分线，再取此两角平分线的交点 O
7. （2011 台湾全区，20）图(五)为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两
网格线的交点上，若灰色三角形面积为 分？
21 平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公 4
A． 11
B． 12
C． 13
D． 14
8. （2011 江苏连云港，5，3 分）小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是 4， 9，12，如何求这个三角形的面积？小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解. ”小 华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）
5. （2011 浙江丽水，12，4 分）已知三角形的两边长为 4，8，则第三边的长度可以是 (写出一个即可).
6. （2011 江西， 13， 3 分） 如图， 在△ABC 中， 点 P 是△ABC 的内心， 则∠PBC+∠PCA +∠PAB = 度.
7. （2011 福建泉州，15，4 分）如图，在四边形 ABCD 中， P 是对角线 BD 的中点， E，F 分别是 AB，CD 的中点 AD BC，PEF 18 ，则 PFE 的度数是 ．
）
- 4 -
17. （2011 河北，10，3 分）已知三角形三边长分别为 2，x，13，若 x 为正整数，则这样的 三角形个数为（ A．2 ） B．3 C．5 D．13
18. （2010 湖北孝感，8，3 分）如图，在△ABC 中， BD、CE 是△ ABC 的中线， BD 与 CE 相交 于点 O,点 F、G 分别是 BO、 CO 的中点，连结 AO. 若 AO=6cm，BC=8cm，则四边形 DEFG 的 周长是( )
- 8 -
A
D F B E 第 6 题图 C
14. （2011 湖北黄冈，8，3 分）如图，△ABC 的外角∠ ACD 的平分线 CP 的内角∠ABC 平 分线 BP 交于点 P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________． A P
B
第 8 题图
C
D
15. （2011 湖南衡阳，17，3 分）如图所示，在△ABC 中，∠B =90°，AB =3，AC=5，将△ ABC 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 DE ，则△ABE 的周长为 ．
2 1
11. （2011 湖南怀化，2，3 分）如图 1 所示，∠A、∠1、∠2 的大小关系是 A. ∠A>∠1>∠2 C. ∠A>∠2>∠1 B. ∠2>∠1>∠A D. ∠2>∠A>∠1
12. （2011 江苏南通， 4，3 分）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是 A. 3，8，4 B. 4，9，6 C. 15，2 （2011 山东滨州，5，3 分）若某三角形的两边长分别为 3 和 4, 则下列长度的线段能作为 其第三边的是( A. 1 ) B. 5 C. 7 D.9
3. （2011 山东菏泽，3，3 分）一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则 ∠ 等于 A．30° B．45° C．60° D．75°
- 6 -
D
F
C
P B A E （第 15 题）
8. （2011 四川成都， 13,4 分）如图，在△ABC 中，D、E 分别是边 AC、BC 的中点，若 DE =4, 则 AB = .
C
D A
E B
9. （2011 四川内江，加试 2，6 分）如图，在△ABC 中，点 D、 E 分别是边 AB、 AC 的中 点 DF 过 EC 的中点 G 并与 BC 的延长线交于点 F，BE 与 DF 交于点 O。若△ADE 的面 积为 S，则四边形 BOGC 的面积= A ．
A
E
B
C
D
12. （2011 江苏无锡，17，2 分）如图，在△ABC 中，AB = 5cm，AC = 3cm，BC 的垂直平 分线分别交 AB 、BC 于 D、E ，则△ACD 的周长为______________cm．
A D
B
E
C
13. （2011 湖北黄冈，6，3 分）如图，在△ABC 中 E 是 BC 上的一点，EC=2BE，点 D 是 AC 的中点， 设△ ABC、 △ ADF、 △ BEF 的面积分别为 S△ABC， S△ADF， S△BEF， 且 S△ABC=12， 则 S△ADF－S△BEF=_________．
16. （2011 江苏盐城，16，3 分）如图 ，在△ AB C 中，A B =A C，A D⊥ B C ，垂足为 D ，E 是 A C 的中点．若 DE =5， 则 AB 的长为
A E
▲
．
B
D
C
17. （2011 重庆市潼南 ,13,4 分） 如图， 在△ ABC 中， ∠ A=80°,点 D 是 BC 延长线上一点， ∠ACD=150°，则∠ B= .
B
A
C
（第 14 题）
D
- 5 -
3. （2011 湖北鄂州，8，3 分）如图，△ABC 的外角∠ ACD 的平分线 CP 的内角∠ ABC 平 分线 BP 交于点 P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________． A P
B
第 8 题图
C
D
4. （2011 宁波市，17，3 分）如图，在 ABC 中，AB＝ AC，D、E 是 ABC 内两点，AD 平分∠BAC，∠EBC＝∠E ＝60°，若 BE ＝6cm，DE ＝2cm，则 BC＝ cm
13. （2011 四川绵阳 5，3）将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为
- 3 -
B O A
A．75° B．95° C．105° D．120°
14. （2011 四川绵阳 6，3）王师傅用 4 根木条钉成一个四边形木架，如图. 要使这个木架不 变形，他至少要再钉上几根木条?
D O B
E G C F
10． （2011 江苏淮安， 10， 3 分） 如图， 在△ ABC 中， D、 E 分别是边 AB 、 AC 的中点， BC=8， 则 DE= .
- 7 -
A D B E C
11. （2011 上海，16，4 分）如图， 点 B 、C、D 在同一条直线上，CE //AB ，∠ACB ＝90°， 如果∠ECD＝36°，那么∠A ＝_________．
D F B E 第 6 题图 C
19. （2011 江苏扬州，16,3 分）如图，DE 是△ABC 的中位线，M 、N 分别是 BD 、CE 的中 点，MN=6，则 BC=
20．（2011 湖南湘潭市，15，3 分）如下图，已知：△ABC 中， DE∥BC，AD＝3，DB＝6，AE ＝2，则 EC＝_______. A D B E C
四边形 P 2Q2Q3P3
四边形 ABCD
=1，
.
- 11 -
问题 4：如图 4，P1 ，P2,P3 四等分边 AB，Q1 ，Q2 ,Q3 四等分边 DC，P1 Q1 ，P2 Q2,P3 Q3 将 四边形 ABCD 分成四个部分，面积分别为 S1 ，S2 ，S3 ,S4. 请直接写出含有 S1 ，S2 ，S3,S4 的一 个等式.
45°
30°
4. （2011 山东济宁，3，3 分）若一个三角形三个内角度数的比为 2︰7︰4，那么这个三角 形是（ ） B. 锐角三角形 D. 等边三角形
A. 直角三角形 C. 钝角三角形
5. （2011 浙江义乌，2，3 分）如图，DE 是△ABC 的中位线，若 BC 的长是 3cm，则 DE 的长是（ ）
四边形 P 1R1R2R2
=
1 S△ABC，请证明. 3
问题 2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题 1 中的△ABC 拼合成四边形 ABCD， 如图 2，Q1 ，Q2 三等分边 DC. 请探究 S
四边形 P1Q1Q2P 2
与S
四边形 ABCD
之间的数量关系.
问题 3：如图 3，P1 ，P2 ,P3 ,P4 五等分边 AB，Q1 ，Q2 ,Q3 ，Q4 五等分边 DC. 若 S 求S