第六章++样本及抽样分布
合集下载
概率论与数理统计(06)第6章 统计量及其抽样分布
一个任意分 布的总体
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 11
µx = µ
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 的分布趋 于正态分布 的过程
6 - 12
6.4 正态总体 6.3.1 χ2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 13
χ2 分布
第六章 样本与统计量
6.1引言 6.1引言
数理统计学： 运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，研究如何合理地获得数据资料， 建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对 所关心的问题作出估计与检验。
6-1
§6.2总体与样本 6.2总体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的某个基本单元，称为个体。 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
6 - 16
χ2分布
(图示) 图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
6 - 17 不同容量样本的抽样分布
χ2
t 分布
6 - 18
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 (W. “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 Student”(学生)
X ~ N(µ,σ ) ，则
2
χ2分布
2. 3.
z=
X −µ
Y=z
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 11
µx = µ
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 的分布趋 于正态分布 的过程
6 - 12
6.4 正态总体 6.3.1 χ2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 13
χ2 分布
第六章 样本与统计量
6.1引言 6.1引言
数理统计学： 运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，研究如何合理地获得数据资料， 建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对 所关心的问题作出估计与检验。
6-1
§6.2总体与样本 6.2总体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的某个基本单元，称为个体。 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
6 - 16
χ2分布
(图示) 图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
6 - 17 不同容量样本的抽样分布
χ2
t 分布
6 - 18
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 (W. “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 Student”(学生)
X ~ N(µ,σ ) ，则
2
χ2分布
2. 3.
z=
X −µ
Y=z
统计学第6章统计量及其抽样分布
整理ppt
16
2. T统计量
设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N～ (μ,σ2 )
n
的一个样本，
X
1 n
n i 1
Xi
(Xi X )2 s 2 i1
n 1
则 T(X) ~t(n1)
S/ n
称为T统计量,它服从自由度为(n-1)的t分布。
整理ppt
17
F分布
定义：设随机变量Y与Z相互独立，且Y和Z分别服 从自由度为m和n的c2分布，随机变量X有如下表达式：
整理ppt
8
中心极限定理
设从均值为，方差为2的一个任意总 体中抽取容量为n的样本，当n充分大时， 样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、 方差为σ2/n的正态分布。
当样本容量足够大时
(n≥30)，样本均值的抽样
分布逐渐趋于正态分布
整理ppt
9
标准误差
标准误差：样本统计量与总体参数之间的平均差异
1. 所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本 均值的离散程度
因此，估计这100名患者治愈成功的比 例在85%至95%的概率为90.5%
整理ppt
22
6.5 两个样本平均值之差的分布
设
X
1
是独立地抽自总体
X1 ~N(1,12)
的一个容量
为n1的样本的均值。 X 2 是独立地抽自总体
X2 ~N(2,22)的一个容量为n2的样本的均值，则有
E (X 1X 2)E (X 1) E (X 2)12
2. 样本均值的标准误差小于总体标准差
3. 计算公式为
x
n
整理ppt
10
【例】设从一个均值μ=8、标准差σ=0.7的总 体中随机抽取容量为n=49的样本。要求：
第六章样本及样本函数的分布
∼ t(n −1). .
Sn
177
概率论与数理统计全程学习指导
∑ = ∑ 【评注】 10
1 统计量 σ 2
n
(X i
−
μ)2
和
i =1
(n −1)S2 σ2
1 σ2
n
(X i
−
X )2
的分布在自由度上是
i =1
∑ ∑ 1
有差别的，这是因为在 σ2
n
(X i
−
X )2
中有一个约束条件
X
i =1
=1 n
x(1) ≤ x(2) ≤
≤x (k)
，并假设
x( i )
出现的频数为
ni
，那么
x( i )
出现的频率为
i = 1, 2, , k, k ≤ n . 函数
fi
=
ni n
，
⎧ 0,
⎪
∑ Fn (x)
=
⎪ ⎨
i
fj,
⎪ j=1
⎪⎩ 1,
x < x(1),
x(i) ≤ x < x(i+1), i = 1, 2, , k −1, x ≥ x(k).
③ χ2 分布的性质
10 若 χ2 ∼ χ2 (n) ，则 E(χ2 ) = n ， D(χ2 ) = 2n ；
20
（可加性）若
χ
2
1
∼
χ2 (n1) ，
χ
2
2
∼
χ2 (n2 )
，且
χ
2
1
和
χ
2
2
相互独立，则
χ
2
1
+
χ
2
概率论 第六章 样本及抽样分布
函数Fn(x)为 Fn(x)=S(x)/n , -∞<x< +∞。
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
统计学第六章抽样和抽样分布
2021/3/4
统计学第六章抽样和抽样分布
4
一、总体与样本
▪ 把握两个问题： ▪ 1、总体和总体参数； ▪ 2、样本和样本统计量。
2021/3/4
统计学第六章抽样和抽样分布
5
1、总体与总体参数
（1）总体：指根据研究目的确定的所 要研究的同类事物的全体，是所要说 明其数量特征的研究对象。按所研究 标志性质不同，分为变量总体和属性 总体，分别研究总体的数量特征和品 质特征。 构成总体的个别事物（基本单元 ）就是总体单位，也称个体。总体单 位的总数称为总体容量，记作N。
缺点：受主观影响易产生倾向性误差； 不能计算、控制误差，无法说明调查结果 的可靠程度。
抽样一般都是指概率抽样。
2021/3/4
统计学第六章抽样和抽样分布
15
2、重复抽样和非重复抽样
（1）重复抽样：又称重置抽样，是指从总体 中抽出一个样本单位，记录其标志值后，又将 其放回总体中继续参加下一轮单位的抽取。特 点是：第一，n个单位的样本是由n次试验的结 果构成的。第二，每次试验是独立的，即其试 验的结果与前次、后次的结果无关。第三，每 次试验是在相同条件下进行的，每个单位在多 次试验中选中的机会(概率)是相同的。在重复 试验中，样本可能的个数是 N n ，N为总体单位 数，n为样本容量。
2021/3/4
统计学第六章抽样和抽样分布
16
2、重复抽样和非重复抽样
（2）非重复抽样：又称为不重置抽样，即每次从
总体抽取一个单位，登记后不放回原总体，不参加下
一轮抽样。下一次继续从总体中余下的单位抽取样本
。特点是：第一，n个单位的样本由 n 次试验结果构成
统计学第六章抽样和抽样分 布
第六章 抽样与抽样分布
概率论6-1,2,3
例如，考察某工厂10月份生产的灯泡的寿命所组 例如，考察某工厂 月份生产的灯泡的寿命所组 成的总体。 成的总体。灯泡寿命落在各个时间区间内有一定的 百分比，如灯泡寿命落在1000小时 小时~1300小时的占灯 百分比，如灯泡寿命落在 小时 小时的占灯 泡总数的85％，落在1300小时 ％，落在 小时~1800小时的占灯泡总 泡总数的 ％，落在 小时 小时的占灯泡总 数的5％， ％，…。 即灯泡寿命的取值有一定的分布。 数的 ％， 。 即灯泡寿命的取值有一定的分布。
就取位于 [ 是整数， x([ np ]+1) , 不是整数， 当np不是整数， x 综上， 综上， p = 1 [ x( np ) + x( np+1) ], 当np是整数 . 2
0 当 特别， 特别， p = 0.5时，.5分位数 x0 .5也记为Q2或
数据集的箱线图是由箱子和直线组成的图形， 数据集的箱线图是由箱子和直线组成的图形， 它是基于以下五个数的图形概括： 它是基于以下五个数的图形概括： 最小值 Min， 第一四分位数 Q1，中位数M，第三四分位数 Q3和 中位数 最大值 Max. 作法如下： 作法如下： (1) 画一水平数轴， 在轴上标上 Min，Q1， M， 画一水平数轴， Q3，Max. 在数轴上方画一个上、 下侧平行于数 在数轴上方画一个上、 Q 箱子的左右两侧分别位 于 Q1， 3 的上方. 轴的矩形箱子， 轴的矩形箱子， 在 M点的上方画一条垂直线 段 .线段位于箱子内部. ( 2)自箱子左侧引一条水平 线至 Min； 在同一水平 高度自箱子右侧引一条水平线直至最大值. 高度自箱子右侧引一条水平线直至最大值. 如图所示. 如图所示.
1.总体与个体 总体与个体
§1 随机样本
总体 试验的全部可能的观察值称为总体. 试验的全部可能的观察值称为总体. 个体 总体中的每个可能观察值称为个体. 总体中的每个可能观察值称为个体.
概率论与数理统计-第六章
大街上随机抽取200人，进行调查。记录了
这200人的年龄数据。
总体：北京市民的年龄 随机变量：年龄X
个体：张三28岁；李四5岁；
样本：{ 28；5；14；56；23；2；39；…；69} 样本容量：200
抽样：随机抽取200人进行调查的过程
6
例2：为了确定工厂生产的电池电量分布情况，在
产品中随机抽取500个，测量其电量。记录了
x
0
F n1 , n2
F分布的分位数
x
F分布的上α分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
F n1 , n2
f x; n1 , n2 dx 的点F n1 , n2
为F n1 , n2 分布的上 分位数。F n1 , n2 的值可查F 分布表
17
不易计算！
18
抽样分布 —— 任意统计量 Q = g (X1, X2, …, Xn ) 的分布函数 抽样分布的计算： 多维随机变量（独立、同分布）的函数的分布 函数的计算问题。
得到统计量 Q 的抽样分布，就可以用来解决
关于总体 X 的统计推断问题。
19
关于随机变量独立性的两个定理
解：(1)作变换 Yi
显然Y1 , Y2 ,
2 n i 1
Xi
, Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2,
Xi
i 1, 2,
,n
,n
于是 (
) Yi 2 2 n
2 i 1
28
n
(2)
2 ( X X ) X1 X 2 ~ N (0, 2 2 ), 1 2 2 ~ 2 (1) 2
这200人的年龄数据。
总体：北京市民的年龄 随机变量：年龄X
个体：张三28岁；李四5岁；
样本：{ 28；5；14；56；23；2；39；…；69} 样本容量：200
抽样：随机抽取200人进行调查的过程
6
例2：为了确定工厂生产的电池电量分布情况，在
产品中随机抽取500个，测量其电量。记录了
x
0
F n1 , n2
F分布的分位数
x
F分布的上α分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
F n1 , n2
f x; n1 , n2 dx 的点F n1 , n2
为F n1 , n2 分布的上 分位数。F n1 , n2 的值可查F 分布表
17
不易计算！
18
抽样分布 —— 任意统计量 Q = g (X1, X2, …, Xn ) 的分布函数 抽样分布的计算： 多维随机变量（独立、同分布）的函数的分布 函数的计算问题。
得到统计量 Q 的抽样分布，就可以用来解决
关于总体 X 的统计推断问题。
19
关于随机变量独立性的两个定理
解：(1)作变换 Yi
显然Y1 , Y2 ,
2 n i 1
Xi
, Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2,
Xi
i 1, 2,
,n
,n
于是 (
) Yi 2 2 n
2 i 1
28
n
(2)
2 ( X X ) X1 X 2 ~ N (0, 2 2 ), 1 2 2 ~ 2 (1) 2
《概率论与数理统计》第六章
所以，X是一个随机变量!
既然总体是随机变量X，自然就有其概率分布。
我们把X的分布称为总体分布。
总体的特性是由总体分布来刻画的。因此，常 把总体和总体分布视为同义语。
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
例2
在例1中，假定物体真实长度为(未知)。一般 说来，测量值X就是总体，取 附近值的概率要大一 些，而离 越远的值被取到的概率就越小。
k=1,2,…
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
它反映了总体k 阶矩的信息
样本k阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
统计量的观察值
1 n
x n i1 xi;
s2
1 n 1
n i1
(xi
x )2
s
1 n 1
n i1
(xi
x
)2
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
实际上，我们真正关心的并不一定是总体或个
体本身，而真正关心的是总体或个体的某项数量指 标。
如：某电子产品的使用寿命，某天的最高气温， 加工出来的某零件的长度等数量指标。因此，有时也
将总体理解为那些研究对象的某项数量指标的全
体。
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
为评价某种产品质量的好坏，通常的做法是： 从全部产品中随机(任意)地抽取一些样品进行观测(检
样本X1,X2,…,Xn 既被看成数值，又被看成随机变量， 这就是所谓的样本的二重性。
随机样本
例 4 (例2续） 在前面测量物体长度的例子中，如果我们 在完全相同的条件下，独立地测量了n 次，把这 n 次测 量结果，即样本记为
X1,X2,…,Xn .
既然总体是随机变量X，自然就有其概率分布。
我们把X的分布称为总体分布。
总体的特性是由总体分布来刻画的。因此，常 把总体和总体分布视为同义语。
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
例2
在例1中，假定物体真实长度为(未知)。一般 说来，测量值X就是总体，取 附近值的概率要大一 些，而离 越远的值被取到的概率就越小。
k=1,2,…
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
它反映了总体k 阶矩的信息
样本k阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
统计量的观察值
1 n
x n i1 xi;
s2
1 n 1
n i1
(xi
x )2
s
1 n 1
n i1
(xi
x
)2
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
实际上，我们真正关心的并不一定是总体或个
体本身，而真正关心的是总体或个体的某项数量指 标。
如：某电子产品的使用寿命，某天的最高气温， 加工出来的某零件的长度等数量指标。因此，有时也
将总体理解为那些研究对象的某项数量指标的全
体。
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
为评价某种产品质量的好坏，通常的做法是： 从全部产品中随机(任意)地抽取一些样品进行观测(检
样本X1,X2,…,Xn 既被看成数值，又被看成随机变量， 这就是所谓的样本的二重性。
随机样本
例 4 (例2续） 在前面测量物体长度的例子中，如果我们 在完全相同的条件下，独立地测量了n 次，把这 n 次测 量结果，即样本记为
X1,X2,…,Xn .
第六章样本及抽样分布
n
(
Xi
)2
,
i 1
max{ X i }
1i n
为什么要求统计量不含任何未知参数
试验前 g(X1, X2 ,是, 随Xn机) 变量 试验后 g(X1, X2 ,是, 具Xn体) 的数值
与均值和方差 有什么不同?
X
1
n
n
i 1
Xi
为什么不是
1 n
(下章说明)
S2
1
n1
n
(Xi
i 1
X
)2
S
S2
6, 故Q0.75
Q3
1 2
(123
132)
127.5
Min 102, Max 150,作出箱线图如图所示
102 113.5 120
120 150
分布的形状与箱线图
QL 中位数 QU
QL 中位数 QU
QL 中位数 QU
左偏分布
对称分布
不同分布的箱线图
右偏分布
箱线图适合比较两个或两个以上数据集的性质
一 直方图
为了研究总体分布的性质，人们通过实验得到许 多观测值，一般来说这些数据实杂乱无章的，为了利 用它们进行统计分析，将这些数据加以整理，还借助 于表格或图形对它们加以描述。
例1:下面列出了84个伊特拉斯坎（Etruscan）人男子的 头颅的最大宽度（mm）,现在来画这些数据的“频率直 方图”
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
76 90 97 71 70 93 86 83 78 85 81 65 95 51 74 78 63 91 82 75 71 55 93 81 76 88 66 79 83 92 78 86 78 74 87 85 69 90 80 77 84 91 74 70 68 75 70 84 73 60 76 81 88 68 75 70 73 92 65 78 87 90 70 66 79 68 55 91 68 73 84 81 70 69 94 62 71 85 78 81 95 70 67 82 72 80 81 77
概率论第六章样本及抽样分布
2 1 2 2
本相互独立，记
1 n1 X Xi n1 i 1 1 n2 Y Yi n2 i 1
则有 ⑴
2 1 2 2 2 1 2 2
1 n1 S12 ( X k X )2 n1 1 k 1 1 n2 2 S2 (Yk Y ) 2 n2 1 k 1
S / ~ F (n1 1, n2 1) S /
⑵ 当 时
2 1 2 2 2
X Y ( 1 2 ) ~ N (0,1) 1 1 n1 n2
(n1 1) S12
2 1
2 (n2 1) S2
2 2
~ 2 (n1 n2 2)
X Y ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
2
又因为
(n 1)S 2
2
~ (n 1)
2
X n1 X n
故 Y
(n 1) S 2
n n 1 ~ t (n 1) /(n 1)
2
X n1 X n Y S
n ~ t (n 1) n 1
例4
设总体X , Y 相互独立 X ~ N (0,32 ) , Y ~ N (0,32 ) ,
2
X n1 X n n X 1 , X 2 ,, X n , X n1 , 求 Y 的分布 . S n 1 1 n 1 n 2 2 其中 X n X i , S ( Xi X n ) n i 1 n 1 i 1
1 2 解 由已知得 X n1 ~ N ( , ) , X n ~ N ( , ) , n n 1 2 所以 X n1 X n ~ N (0, ) n n 标准化得 X n1 X n ~ N (0,1) n 1
本相互独立，记
1 n1 X Xi n1 i 1 1 n2 Y Yi n2 i 1
则有 ⑴
2 1 2 2 2 1 2 2
1 n1 S12 ( X k X )2 n1 1 k 1 1 n2 2 S2 (Yk Y ) 2 n2 1 k 1
S / ~ F (n1 1, n2 1) S /
⑵ 当 时
2 1 2 2 2
X Y ( 1 2 ) ~ N (0,1) 1 1 n1 n2
(n1 1) S12
2 1
2 (n2 1) S2
2 2
~ 2 (n1 n2 2)
X Y ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
2
又因为
(n 1)S 2
2
~ (n 1)
2
X n1 X n
故 Y
(n 1) S 2
n n 1 ~ t (n 1) /(n 1)
2
X n1 X n Y S
n ~ t (n 1) n 1
例4
设总体X , Y 相互独立 X ~ N (0,32 ) , Y ~ N (0,32 ) ,
2
X n1 X n n X 1 , X 2 ,, X n , X n1 , 求 Y 的分布 . S n 1 1 n 1 n 2 2 其中 X n X i , S ( Xi X n ) n i 1 n 1 i 1
1 2 解 由已知得 X n1 ~ N ( , ) , X n ~ N ( , ) , n n 1 2 所以 X n1 X n ~ N (0, ) n n 标准化得 X n1 X n ~ N (0,1) n 1
管理统计学第06章 抽样与抽样分布
抽样的基础概念
样本（sample）从总体中抽取的一部分元素的集合，构成样本的元素数目称为
样本容量，用n表示。
=<30
小样本
>30
大样本
抽样的基础概念
例：某党派想支持某一候选人参选美国某州议员，为了决定是否支持该候选人，该党派领导需要估 计支持该候选人的民众占全部登记投票人总数的比例。由于时间及财力的限制
当总体服从正态分布N ~ (μ,σ2 )时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从 正态分布，X 的数学期望为μ，方差为σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)
σ2 =10
n=2 σ2 =5
n =4 σ2 =2.5
= 50
X
总体分布
x 50
X
抽样分布
中心极限定理
中心极限定理（central limit theorem）设从均值为，方差为 2的一个任意总体中
均值和方差
N
Xi
i1 2.5
Nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
N
(Xi )2
2 i1
1.25
N
.3
.2
.1 0
1
总体分布
2
3
4
样本均值的分布
例：现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样 本。所有样本的结果如下表
所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第二个观察值
中心极限定理
样本均值的分布趋于正态分布的过程
正态分布 总体分布
样本均值分布
(n=2)
样本均值分布
(n=10)
样本均值分布
(n=30)
指数分布
均匀分布
样本及抽样分布范文
样本及抽样分布范文样本是从总体中抽取的一部分个体或观测值。
样本是对总体的一种估计，通过对样本进行分析和统计推断，可以得出关于总体的结论。
抽样是从总体中选择样本的过程。
抽样方法应该是随机的，以避免选择偏见和结果的错误推断。
抽样方法有很多种，常用的有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、群组抽样等。
抽样分布是样本统计量的分布。
当我们从总体中抽取不同的样本并计算出样本统计量时，这些统计量构成了抽样分布。
常见的样本统计量有样本均值、样本方差、样本比例等。
在统计推断中，我们通常使用样本统计量来估计总体参数。
样本统计量的抽样分布是用来描述这些统计量的变异情况的。
抽样分布的性质决定了我们对总体参数的估计的置信度。
中心极限定理是关于抽样分布的重要定理之一、中心极限定理指出，当样本容量足够大时，无论总体的形态如何，样本均值的抽样分布都近似服从正态分布。
这意味着当我们拥有一个具有较大样本容量的随机样本时，我们可以使用正态分布的性质来进行统计推断。
在使用抽样分布进行统计推断时，我们通常考虑置信区间和假设检验两个方面。
置信区间是对总体参数估计的一种方法。
通过计算样本统计量的抽样分布，我们可以构造一个区间，这个区间包含了总体参数的真实值的估计范围。
置信区间的计算通常使用样本统计量、抽样分布的分位数和置信水平来确定。
假设检验是用来检验总体参数的一些特定假设是否成立的方法。
在假设检验中，我们首先建立原假设和备择假设，然后根据样本统计量的抽样分布来计算一个检验统计量，并以此来判断原假设的可信性。
假设检验通常有三种结论：接受原假设、拒绝原假设或无法做出结论。
总之，样本及抽样分布是统计学中非常重要的概念。
通过对样本进行抽样分布的分析和推断，我们可以对总体的特征和参数进行估计，并进行统计推断。
中心极限定理、置信区间和假设检验是样本及抽样分布的重要理论和方法，为我们的研究和决策提供了有力的依据。
第6章-样本及抽样分布
X
k i
样本 k 阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k,
§２ 抽样分布
统计量旳分布称为抽样分布。数理统计中 常用到如下三个分布：
2分布、 t 分布和F分布。
一、 2分布
iid
n
1. 构造 设 X1,, X n ~ N (0,1), 则 2
X
2 i
~
2 (n).
i 1
称为自由度为n的 2 分布.
h(
y)
(
n1
2
n
2
)(n1
/
(
n1 2
)(
n2 2
)(1
0,
n2
n1 n2
) y n1 / 2
n1 1 2
,
y)(n1 n2 ) / 2
y0
y0
2. F分布旳分位点
对于：0<<1，
若存在F(n1, n2)>0 ，满足
P{FF(n1, n2)}=，
则称F(n1, n2)为
F(n1, n2)旳上侧分
位点；
P447附表5
F (n1, n2 )
注：
F1
(n1, n2 )
F
1 (n2 , n1)
证明:
设F~F(n1,n2), 则
1 F
~
F (n2 , n1)
P{F F1 (n1, n2 )} 1
P{ 1 1 } 1
F F1 (n1, n2 )
P{ 1 1 }
F F1 (n1, n2 )
4.性质：
(1)分布可加性 若X ~ 2(n1)，Y~ 2(n2 )，X，Y 独立，则X + Y ~ 2(n1+n2 ) (2)期望与方差 若X~ 2(n)，则
浙江大学《概率论与数理统计》(第4版)【名校笔记+课后习题+考研真题】第6章 样本及抽样分布【圣才出
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第 6 章 样本及抽样分布
6.1 复习笔记
一、抽样分布 1．样本统计量 （1）常用的统计量（见表 6-1-1）
表 6-1-1 常用统计量
2．经验分布函数 设 x1，x2，…， xn 是总体 F 的一个容量为 n 的样本值，将 x1，x2，…，xn 按从小到大的
1
4 / 5 4 / 5
0.2628
（2）记 M＝max{X1，X2，X3，X4，X5}，因 Xi X i 的分布函数为Φ（（x－12）/2），则
M 的分布函数为
FM（m）＝[Φ（（m－12）/2）]5
因而
P{max{X1，X2，X3，X4，X5}＞15}＝P{M＞15}＝1－P{M≤15}＝1－FM（15）＝1－[Φ （（15－12）/2）]5＝0.2923
①定理一
设 X1，X2，…，Xn 是来自正态总体 N (, 2 ) 的样本，其样本均值和样本方差为
X
1 n
n i 1
Xi,S2
1 n 1
n i 1
Xi X
2
a．
(n 1)S 2 2
~
2 (n 1)
b. X ~ N (, 2 ) n
c． X 与 S2 相互独立。
③定理二
设 X1，X2，…，Xn 是来自正态总体 N (, 2 ) 的样本， X ，S2 分别是该样本的均值和
且两者是相互独立，因此
X1 X 2 X3 ~ N 0，1 , X 4 X5 X 6 ~ N 0，1
3
3
又两者相互独立，按χ2 分布的定义
（X1＋X2＋X3）2/3＋（X4＋X5＋X6）2/3～χ2（2）
即 1/3Y～χ2（2），因此所求常数 C＝1/3。
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第 6 章 样本及抽样分布
6.1 复习笔记
一、抽样分布 1．样本统计量 （1）常用的统计量（见表 6-1-1）
表 6-1-1 常用统计量
2．经验分布函数 设 x1，x2，…， xn 是总体 F 的一个容量为 n 的样本值，将 x1，x2，…，xn 按从小到大的
1
4 / 5 4 / 5
0.2628
（2）记 M＝max{X1，X2，X3，X4，X5}，因 Xi X i 的分布函数为Φ（（x－12）/2），则
M 的分布函数为
FM（m）＝[Φ（（m－12）/2）]5
因而
P{max{X1，X2，X3，X4，X5}＞15}＝P{M＞15}＝1－P{M≤15}＝1－FM（15）＝1－[Φ （（15－12）/2）]5＝0.2923
①定理一
设 X1，X2，…，Xn 是来自正态总体 N (, 2 ) 的样本，其样本均值和样本方差为
X
1 n
n i 1
Xi,S2
1 n 1
n i 1
Xi X
2
a．
(n 1)S 2 2
~
2 (n 1)
b. X ~ N (, 2 ) n
c． X 与 S2 相互独立。
③定理二
设 X1，X2，…，Xn 是来自正态总体 N (, 2 ) 的样本， X ，S2 分别是该样本的均值和
且两者是相互独立，因此
X1 X 2 X3 ~ N 0，1 , X 4 X5 X 6 ~ N 0，1
3
3
又两者相互独立，按χ2 分布的定义
（X1＋X2＋X3）2/3＋（X4＋X5＋X6）2/3～χ2（2）
即 1/3Y～χ2（2），因此所求常数 C＝1/3。
概率论与数理统计6.第六章：样本及抽样分布
),
,
,
,
是来
Z=
(
－
证明统计量 Z 服从自由度为 2 的 t 分布。
14
),
,
,
,
是来 ， ．ຫໍສະໝຸດ 自 总 体 X 的 样 本 ， E( ) 则 ，D( )=
是来自总体 X ，D(X)= ． ，
，D( )=
11
3. 设 , 本 ,E(X)=
, , 为来自总体 X 的样 ,D(X)=9, 为样本均值 , 试用 ＜ ≥ ,
切比雪夫不等式估计 P{ P{ 4.设 , 则当 K= ＞ ≤ , , . 是总体 X
lim f (t ) (t )
n
1 e 2
t2 2
, x
3.分位点 设 T～t(n)， 若对 :0<<1,存在 t(n)>0，
4
满足 P{Tt(n)}=， 则称 t(n)为 t(n)的上侧分位点 注: t1 (n) t (n) 三、F—分布 1.构造 若 1 ~2(n1)， 2~2(n2)，1， 2 独立，则
y0
2. F—分布的分位点 对于 ：0<<1，若存在 F(n1, n2)>0， 满足 P{FF(n1, n2)}=， 则称 F(n1, n2)
5
为 F(n1, n2)的上侧 分位点； 注： F1 (n1 , n2 )
1 F (n2 , n1 )
§ 6.3 正态总体的抽样分布定理
X Y /n ~ t ( n)
t(n)称为自由度为 n 的 t—分布。 t(n) 的概率密度为
n 1 ) 1 t 2 n2 2 f (t ) (1 ) , t n n n ( ) 2 (
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1, X2, …, Xn).
一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数(x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察
值，简称样本值 .
10
4.简单随机样本
由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取 的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法.
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽 取的样本满足下面两点:
练习题：
A、独立但分布不同 B、分布相同但不相互独立 C、独立同分布 D、不能确定
三. 总体、样本、样本值的关系
事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值 。如我们从某班大学生中抽取10人测量身高，得到10个数 ，它们是样本取到的值而不是样本。我们只能观察到随机 变量取的值.
总体（理论分布） ？
总体X
采集数据 样本
加工处理 统计量
对总体X 作出推断
对统计量分析
第六章 样本及抽样分布 第七章 参数估计 第八章 假设检验
第六章 抽样及抽样分布
§6.1 总体与样本 §6.2 抽样分布
5
在数理统计中,将试验的全部可能的观察值称为总体， 每一个可能观察值称为个体．常以X表示总体.
总体
…
研究某批灯泡的质量
x
1 n
n i1
xi;
s 2
1 n1
n i1
(xi
x)2
1 n 1
n i1
xi2
nx
s
1
n1
n
(xi
i1Байду номын сангаас
x)2
a k
1 n
n i 1
x
k i
( k 1, 2 , ...)
b k
1 n
n
(xi
i 1
x )k
( k 2, 3, ...)
20
(1)写出总体、样本、样本值、样本容量； (2)求样本观测值的均值、方差及二阶原点矩(保留二位).
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有相同的分
布.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
(1) 样本X1, X2 ,…, Xn 相互独立,且与总体X 同分布;
(2) 样本X1, X2 ,…, Xn 可看成一个n 维随机向量,记为(X1, X2 ,…, Xn ); 样本值记为(x1,x2,…,xn);
16
例如 总体 X ~ N ( , 2 )，其中参数
为未知参数，
X 1 , X 2 , X n 是 X 的样本，则
n
n
Xi ,
X
2 i
等均为统计量，
而
1
2
n
X
2 i
i1
，
1 2 (X1
X2)
i1
i1
等都不是统计量，因为它们含
有未知参数 ,
从统计量的定义可知，统计量是不含任何未知参数的随 机变量．
数理统计概论
概率论是在（总体）X分布已知的情况下，研究X的性质及统计规律性． 是在（总体）X分布未已知（或部分未知）的情况下，对总体Ｘ
的分布作出推断和预测. 数理统计的研究方法
通过从总体抽取部分个体（样本），通过对样本的研究，对总体作出推 断或预测．是一种由部分推测整体的方法
1
数理统计研究方法流程图：
17
练习题：下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（ ） A、统计量为随机变量 B、统计量表达式中不含有参数 C、统计量是样本的函数 D、估计量是统计量
设X1, X2 ,…, Xn是来自总体X 的一个样本, (x1,x2,…,xn)是其观察值.
•样本均值 •样本方差
X
1 n
n
X i;
i1
S 2
u视频教学
1.样本 从总体X 中随机地抽取n 个个体X1, X2 ,…, Xn ,这样取得的 X1, X2 ,…, Xn 称为来自总体X 的一个样本;
2.样本容量 样本中个体的数目 n ;
3.样本值
X1, X2 ,…, Xn的一组观察值x1,x2,…,xn ;
样本是随机变量.
抽到哪5辆是随机的!
定义1 设X1, X2 ,…, Xn是来自总体 X 的一个样本, g(X1, X2 ,…, Xn)是X1, X2 ,…, Xn函数,若g 中不含任何未知参数， 则称g(X1, X2 ,…, Xn)是一个统计量． [注] (1) 统计量是一个随机变量;
(2) (x1,x2,…,xn)是样本X1, X2 ,…, Xn的观察值, 则称 g(x1,x2,…,xn) 是g(X1, X2 ,…, Xn)的观察值.
1 n1
n
(Xi
i 1
X
) 2
1 n 1
n i1
X i2
nX
2
•样本标准差
S
•样本k阶(原点)矩
•样本k阶中心矩
1
n 1
A k
n
(Xi X
i
1
1
n
n i 1
X
k i
)2
(k
1, 2 , ...)
B k
1 n
n
(Xi
i 1
X )k
( k 2, 3, ...)
19
其观察值: 样本均值 样本方差 样本标准差 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩
(3) 若总体X具有分布函数F(x),概率密度f(x), 则样本(X1, X2 ,…,
Xn )的分布函数及概率密度为:
n
F ( x 1 , x 2 , , x n )
F (xi)
i1
n
f ( x 1 , x 2 , , x n )
f (xi)
i1
(4) 获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样.
样本为X1, X2 ,…, X10
样本值: 24.2, 25.4, 24, 24, 25, 25, 24.4, 24.6, 25.2, 25.2.
样本容量: n=10;
(2)样本均值 样本方差
1
n
n i1
xi
1 10
样本
样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总体的情况---
总体分布F(x)的性质.
总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本 取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.
2020年9月20日星期日
15
样本是进行统计推断的依据.但在应用时,往往不是直接使用是样 本本身,而是针对不同的问题构造样本的适当函数,利用这些样本的函 数进行统计推断.
6
某批 灯泡的寿命
该批灯泡寿命的 全体就是总体
国产轿车每公里 的耗油量
国产轿车每公里耗油 量的全体就是总体
容 量:总体中所包含的个体的个数; 有限总体:容量为有限的总体; 无限总体:容量为无限的总体
注：当有限总体包含的个体的总数很大时, 可近似地将它看成是无限总体.
[说明]
(1) 一个总体对应一个随机变量X ; (2) X 的分布函数与数字特征分别称为总体 的分布函数与数字特征; (3) 今后将不区分总体和相应的随机变量，笼统称为总体X.