(完整版)数列章末检测卷(含答案)

数列章末检测卷
(时间：120 分钟满分：150 分)
一、选择题(本大题共12 小题，每题 5 分，共60 分)
1.{ a n} 是首项为1，公差为 3 的等差数列，假如a n＝ 2 014，则序号n 等于 ( )
答案 D
分析由 2 014＝ 1＋ 3(n－ 1)，解得n＝ 672.
2.等差数列{ a n} 中， a1＋ a5＝10， a4＝ 7，则数列{ a n} 的公差为( )
答案 B
分析∵ a1＋ a5＝ 2a3＝ 10，∴ a3＝ 5，
∴d＝ a4－ a3＝ 7－ 5＝ 2.
3.公比为 2 的等比数列 { a } 的各项都是正数，且 a ·a ＝ 16，则 a 等于()
n 3 11 5
答案 A
2
7 5 a7 4 ＝ 1.
分析∵ a3 11 7 ＝
·a ＝ a ＝ 16，∴ a ＝ 4，∴ a ＝q2 22
4.等差数列 { a n} 的公差为 d，前 n 项和为 S n，当首项 a1和 d 变化时， a2＋ a8＋ a11是一个定值，则以下各数也为定值的是( )
A. S7 8 13 D. S15
答案 C
分析∵ a2＋ a8＋ a11＝ (a1＋ d)＋ (a1＋ 7d) ＋ (a1＋ 10d)＝ 3a1＋ 18d＝3(a1＋6d)为常数，
∴a1＋ 6d 为常数 .
∴ S13 1 13× 12 1
＋6d)也为常数 .
＝ 13a ＋ 2 d＝ 13(a
5.在等差数列 { a } 中，已知 a ＋ a ＝ 16，则该数列前11项和 S 等于()
n 4 8 11
答案 B
分析S11＝11 a1＋ a11＝11 a4＋ a8 ＝11×16
＝ 88.
2 2 2
6.等比数列 { a } 中， a ＝ 9， a ＝ 243，则 { a } 的前 4 项和为 ( )
n 2 5 n
答案 B
分析由 a5＝ a2q3得 q＝ 3.
2 a1 1－ q4
＝
3 1－34
∴ a1＝a＝ 3， S4＝
1－ q ＝ 120.
q 1－ 3
7.数列 {( － 1)n·n} 的前 2 015 项的和 S2 015为 ( )
A.－2 013
B.－1 008
C.2 013
D.1 008
答案 B
分析S2 015＝－ 1＋ 2－ 3＋ 4－ 5＋＋ 2 014－ 2 015
＝(－ 1)＋ (2－ 3)＋(4－5)＋＋ (2 014－ 2 015)
＝(－ 1)＋ (－ 1)×1 007＝－ 1 008.
8.若 { a n} 是等比数列，其公比是q，且－a5，a4， a6成等差数列，则q 等于 ( )
或2 或－ 2
C.－1 或 2
D.－1或－2
答案 C
分析依题意有2a4＝ a6－ a5，
即 2a4＝a4q2－ a4q，而 a4≠ 0，∴
q2－ q－ 2＝ 0， (q－ 2)(q＋ 1) ＝0.
∴q＝－ 1 或 q＝2.
9.一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7 项开始为负数，则它的公差是()
A.－2
B.－3
C.－4
D.－6
答案 C
分析由题意，知a6≥ 0，a7<0.
a1＋5d＝ 23＋5d≥ 0，
∴
a1＋6d＝ 23＋6d<0，
2323
∴－5≤ d<－6 .
∵d∈ Z ，∴ d＝－ 4.
10.设 { a n} 是等差数列， S n是其前 n 项和，且S5<S6， S6＝ S7>S8，则以下结论错误的选项是()
A.d<0
B.a7＝0
9>S5
6与 S7均为 S n的最大值
答案 C
分析由S5 6 665 677
＝0，所以 d<0.
<S ，得 a ＝S － S >0. 又 S ＝ S ? a
由 S7>S8? a8<0，所以， S9－S5＝a6＋ a7＋ a8＋ a9
＝ 2(a7＋ a8)<0 即S9 <S5.
11.在等比数列
1
{ a n } 中， a1＝ 1,9S3＝ S6，则数列 {} 的前
a n
5 项和为( )
15和 5 A. 8 31
C.16
答案
C
分析 若 q ＝ 1，则 9S 31 6 ＝6a 1
＝ 27a ，S ， ∵ a 1
3 6
，矛盾，故 q ≠ 1.
≠0，∴9S ≠ S
由 9S 3＝S 6 得 9×a 1 1－ q 3 ＝a 1 1－ q 6
，
1－ q 1－ q
解得 q ＝ 2，故 a n ＝ a 1q n －1＝ 2n －
1.
31
B. 和 5
15
D. 8
∴ 1
＝
(1)
n －
1.
a n 2
1 5 ∴ {
1
5
1－
2 ＝31
a n } 的前 5 项和
S ＝
1
16.
1－ 2
12.某工厂月生产总值的均匀增加率为 q ，则该工厂的年均匀增加率为 ()
A. q
C.(1 ＋q)12
D.(1 ＋ q)12－ 1
答案 D
分析 设第一年第 1 个月的生产总值为 1，公比为 1＋ q ，该厂第一年的生产总值为
1
2
＋ ＋ (1＋ q)11
S ＝ 1＋ (1＋q)＋ (1＋ q)
. 则第 2 年第 1 个月的生产总值为
(1＋ q)12，
第 2 年整年生产总值
S 2＝ (1＋ q)12＋ (1＋ q)13＋ ＋ (1＋ q)23＝ (1＋ q)12S 1，
∴ 该厂生产总值的年均匀增加率为
S 2－ S 1 2 S 1
＝S －1
S 1
＝ (1＋ q)12－ 1.
二、填空题 (本大题共 4 小题，每题
5 分，共 20 分 )
13.{ a n } 是递加等差数列，前三项的和为
12，前三项的积为 48，则它的首项是 ________.
答案
2
分析
设前三项分别为
a － d ， a ， a ＋ d ，
则 a －d ＋ a ＋ a ＋ d ＝ 12 且 a(a － d)(a ＋ d)＝ 48，
解得 a ＝ 4 且 d ＝ ±2，
又 { a n } 递加， ∴ d>0 ，即 d ＝ 2，∴ a 1＝ 2.
14.已知等比数列 { a n } 是递加数列， S n 是{ a n } 的前 n 项和 .若 a 1，a 3 是方程 x 2－ 5x ＋4＝ 0 的两个根，则 S 6＝ ____________.
答案
63
分析
∵ a 1， a 3 是方程 x 2－ 5x ＋4＝ 0 的两根，且 q ＞ 1，
∴ a 1＝ 1， a 3＝ 4，则公比 q ＝ 2，所以 S 6＝1× 1－ 26
＝ 63.
1－ 2
15.假如数列 { a } 的前 n 项和 S ＝ 2a －1，则此数列的通项公式
a ＝ ________.
n
nn
n
答案
2
n －
1
分析 当 n ＝ 1 时， S 1＝ 2a 1－ 1，
∴ a 1＝ 2a 1 －1， ∴ a 1＝ 1.
当 n ≥2 时， a n ＝S n － S n －1＝ (2a n － 1)－ (2a n －1 －1)，
∴ a n ＝ 2a n －1，
经检测 n ＝ 1 也切合， ∴ { a n } 是等比数列，
∴ a n ＝ 2n －
1， n ∈ N * .
16.一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是
________.
5－1 答案
2
分析
设三边为 a ， aq ，aq 2(q>1) ，
则 (aq 2)2＝ (aq)2＋a 2， ∴ q 2
＝
5＋ 1. 2
较小锐角记为 θ，则 sin θ＝ 1
2
＝ 5－1 .
q 2 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分)
17.(10 分) 已知等差数列 { a n } 中， a 3a 7＝－ 16， a 4＋ a 6＝ 0，求 { a n } 的前 n 项和 S n .
解
设{ a n } 的公差为 d ，则
a 1＋ 2d a 1＋ 6d ＝－ 16， a 1＋ 3d ＋ a 1＋ 5d ＝ 0，
2 2
a 1 ＋8da 1＋ 12d ＝－ 16，
即
a ＝－ 4d.
1
解得
a 1＝－ 8， a 1＝ 8， d ＝ 2，
或
d ＝－ 2.
所以 S n ＝－ 8n ＋ n(n －1)＝ n(n － 9)，
或 S n ＝ 8n － n(n － 1)＝－ n(n － 9).
18.(12 分) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， n ∈N * ， a 3＝ 5，S 10＝ 100.
(1)求数列 { a n } 的通项公式；
(2)设 b n ＝ 2a n ＋ 2n ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .
解 (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，
a ＋ 2d ＝ 5，
1
a 1＝ 1，
由题意，得
10a 1＋ 10× 9 d ＝100， 解得
2 d ＝ 2，
所以 a n ＝2n － 1.
1
n
(2)由于 b n ＝ 2a n ＋2n ＝ 2× 4 ＋ 2n ，
所以 T n ＝ b 1＋ b 2＋ ＋ b n
＝ 1
(4＋ 42＋ ＋ 4n )＋ 2(1＋ 2＋ ＋ n) 2
＝
4n ＋
1－
4
＋ n 2＋
n ＝
2
× 4n ＋ n 2＋
n －2
.
633
19.(12 分) 已知数列 2
n *
)为等差数列，且
1
3
＝ 9. {log (a － 1)}( n ∈N a ＝3， a
(1) 求数列 { a } 的通项公式；
n
(2)
证明： 1
＋ 1 ＋ ＋ 1
<1.
－ a
a － a
a
1 2 a － a
2
3 n ＋ 1
n
(1)
解 设等差数列 {log 2 (a n － 1)} 的公差为 d.
由 a 1＝ 3， a 3＝ 9，
得 log 2(9－ 1)＝ log 2(3－ 1)＋ 2d ，则 d ＝ 1.
所以 log 2(a n － 1)＝ 1＋ (n －1)× 1＝ n ，
即 a n ＝ 2n ＋ 1.
(2)证明
由于
1
1
1
n ＋ 1
＝
n ＋
1
n ＝ n ，
a
n
2 － 2
2
－ a
所以 1 ＋
1 ＋ ＋ 1
a 3－ a 2 a n ＋ 1－ a n a 2－a 1
＝
1 ＋ 1 ＋ 1
＋ ＋ 1
n
2 1 2
3
2
2
2
1
－ 1n ×
1
1
2
2
2
＝
1 ＝ 1－2n <1.
1－ 2
20.(12 分) 某商铺采纳分期付款的方式促销一款价钱为每台 6 000 元的电脑 .商铺规定， 购置时
先支付货款的 1
，节余部分在三年内按每个月尾等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息
.
3
已知欠款的月利率为 0.5%，到第一个月尾， 货主在第一次还款以前，他欠商铺多少元？假定货主每个月还商铺 a 元，写出在第 i(i ＝ 1,2， ， 36)个月底还款后，货主对商铺欠款数的表达
式 .
2
解 (1) 由于购置电脑时，货主欠商铺
3的货款，
即 6 000× 2
＝ 4
000(元 )， 3
又按月利率 0.5%，到第一个月尾的欠款数应为
4 000(1 ＋0.5%)＝ 4 020(元 ).
(2)设第 i 个月尾还款后的欠款数为
y 1＝ 4 000(1 ＋0.5%) － a ，
y i ，则有
y 2＝ y 1(1＋ 0.5%) － a
＝ 4 000(1＋ 0.5 %) 2－ a(1＋ 0.5%) － a ，
y 3＝ y 2(1＋ 0.5%) － a
＝ 4 000(1＋ 0.5%) 3－ a(1＋ 0.5%) 2－ a(1＋ 0.5%) － a ，
y i ＝ y i －1(1＋ 0.5%)－ a ＝4 000(1 ＋ 0.5%) i －a(1＋ 0.5%) i －1 －a(1＋ 0.5%)i －
2 － － a ，
由等比数列的乞降公式，得
y i ＝ 4 000(1＋ 0.5%)i － a 1＋ 0.5% i － 1
0.5% (i ＝1,2， ， 36).
21.(12 分) 在数列 { a n } 中， a 1＝ 1， a n ＋ 1＝ 2a n ＋2n .
a n
(1)设 b n ＝ 2n －1 .证明：数列 { b n } 是等差数列；
(2)求数列 { a n } 的前 n 项和 S n . (1)证明
由已知 a n ＋1＝ 2a n ＋ 2n ，
n ＋ 1 n
n
a n
得 b n ＋ 1＝ a
＝
2a ＋ 2
＝ ＋ 1＝ b n ＋ 1. 2 n 2 n
n －
1
2
∴ b n ＋ 1－ b n ＝ 1，又 b 1＝ a 1＝ 1.
∴ { b n } 是首项为 1，公差为 1 的等差数列 .
a n 1
(2)解
由 (1)知， b n ＝ n ， n －
n － 1＝b n ＝n.∴ a n ＝ n ·2 .
2
∴ S 1 n －
1
＋3·2＋ ＋ n ·2 ，
n ＝ 1＋ 2·2 两边同时乘以 2 得：
n
1
n －
1
n
＋ 2·2＋ ＋( n － 1) ·2 ＋ n ·2，
2S ＝ 1·2
两式相减得：－ S n ＝ 1
2
n －
1
n
1＋ 2 ＋2 ＋ ＋2
－n ·2
n
n
n
＝ 2 － 1－ n ·2＝(1－ n)2 － 1，
∴ S n n
＋ 1.
＝ (n － 1) ·2
22.(12 分) 已知等比数列 { a } 知足： |a － a |＝ 10，a a a
＝125.
n
2
3
1 2 3
(1)求数列 { a n } 的通项公式；
1 ＋
1
＋ ＋ 1
≥1？若存在，求
m 的最小值；若不存在，请说
(2)能否存在正整数 m ，使得 a 1
a 2
a m
明原因 .
解 (1) 设等比数列 { a n } 的公比为 q ，
则由已知可得
a 3q 3＝ 125，
1
|a 1q － a 1q 2|＝ 10，
解得 a 1＝ 5
a 1 ＝－ 5， 3
，
或
q ＝ 3
q ＝－ 1.
5 n －
n
－
1
.
故 a n ＝ ·31 或 a n ＝－ 5·(－1)
3
5
n
－
1
1 3 1
n
－
1
(2)若 a n ＝ 3·3 ，则 a n ＝ 5(3
)
， 则数列 { 1 } 是首项为 3
，公比为 1
的等比数
列 .
a n 5 3
3 1 m
m 1 5[1－ 3
] 9 1 m 9
进而
＝
1
＝
]< 10<1. n ＝1 a n
1－ 10· [1－ (3)
3
若 a n ＝－ 5·(－1)
n －1
，则 1 ＝－ 1
(－1) n －
1，
a n 5
故数列 { 1 } 是首项为－
1
，公比为－ 1 的等比数列，
a n
5
m
－ 1
， m ＝ 2k － 1 k ∈N *
，
进而
1 ＝
5
n ＝
1 a n
0， m ＝ 2k k ∈ N * ，
m 1
故 a n <1.＝
n 1
综上，对任何正整数 m ，总有
m
1 <1. n ＝ 1a
n
故不存在正整数 m ，使得 1 ＋
1
＋ ＋
1
≥1建立.
a 1 a 2
a m。