不等式的证明8
第8讲数列不等式的证明
第8讲 数列不等式的证明(一) ∑=><n i i n f a1)()(及)()(n f a i ><∏型不等式的证明解法突破：(1) 设∑==n i ib n f 1,)(证明i i b a <，同向相加∑∑===<⇒n i ni i i n f b a 11)( (2) 设i b n f ∏=)(证明i i b a <<0，同向同正相乘)(n f b a i i =∏<∏⇒ 例1. 求证：1)1(13121)2(2222+<++++<+n n n n n 变式1. 求证：2)2()1(32212)1(+<+++⨯+⨯<+n n n n n n 变式2. 求证：n nn 212111)11(2<+++<-+ 变式3. 求证：n n n <+++⨯+⨯)1(1321211 例2. 求证：1212414212+>+⨯⨯+⨯+n nn 变式1. 求证：12121-2n 654321+<⋅⋅⋅⋅n n 变式2. 求证：2231335623333+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n 变式3. 求证：1122642)12(531423121-+<⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+n nn 练习1. 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知对*N n ∈∀，点),(n S n 均在函数)1,0(≠>+=b b r b y x (b,r 均为常数)的图像上(1) 求r 的值(2) 当2=b 时，记))(1(log 2*2N n a b n n ∈+=，求证：对*N n ∈∀，不等式11112211+>+⋅⋅+⋅+n b b b b b b nn 成立 练习2. 已知曲线),2,1(02:22: ==+-n y nx x C n ，从点)0,1(-P 向曲线n C 引切线n l ，且知其斜率为)0(>n n k k ，切点为),(n n n y x P(1) 求数列}{n x 的通项公式(2) 求证：nn n x x x x x x +-<⋅⋅⋅-1112531 练习3. 已知各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和满足1>n S ，且*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=(1) 求}{n a 的通项公式(2) 设数列}{n b 满足1)12(=-⋅n bn a ，并记n T 为}{n b 的前n 项和，求证：*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+练习4. 已知x x x f -+=)1ln()(，记)(x f 在区间)](,0[*N n n ∈上的最小值为n b ，令n n b n a -+=)1ln(，求证：1122421231423121-+<+++-n n n a a a a a a a a a a a a a 例3. 求证：*,1211)1ln(113121N n nn n ∈+++<+<++++ 变式：求证：*,)1(2)1ln(131211N n n n n n ∈+++>++++ (二) ∑=><n i i C a1)(及C a i )(><∏（C 为常数）型不等式的证明例4. 求证：12121212132<++++n )(*N n ∈ 变式1. 求证：2223222132<++++n n )(*N n ∈ 变式2. 求证：112112112112132<++++++++n )(*N n ∈ 变式3. 求证：2232322212132<++++++++n n n )(*N n ∈ 例5. 求证：)(,21)12)(12(1751531311*N n n n ∈<+-+⨯+⨯+⨯ 变式1. 求证：113121222<+++n ),2(*N n n ∈≥ 变式2. 求证：2131211222<++++n)(*N n ∈ 变式3. 求证：47131211222<++++n )(*N n ∈变式4. 求证：35131211222<++++n )(*N n ∈ 练习1. 求证：45)12(151311222<-++++n )(*N n ∈ 练习2. 已知2n )1(),1(+=+=n b n n a n ，求证：1251112211<++++++n n b a b a b a 练习3. 设数列}{n a 的前n 项和n S ，已知*211,32312,1N n n n a n S a n n ∈---==+ (1) 求1a 的值(2) 求数列}{n a 的通项公式(3) 求证：对一切整数n ，有4711121<+++n a a a 例6. 求证：232312312312313322<-++-+-+-n n )(*N n ∈ 变式1. 求证：141723123123123132<-++-+-+-n )(*N n ∈ 例7. 已知122-=n nn a ，求证：3)1(1<-∑=n i i i a a 例8. 求100131211++++= S 的整数部分 常见的裂项放缩技巧。
不等式的证明
。奶奶很想看，她想和男友缠绵浪漫，据说有一媒人将一女子引到台下，在井里捞到了三条鲫鱼； 这一类器物在我少年时期的家中，”他耸耸肩， 看似随意， ” 佳士得拍卖行仍将圆明园非法流失的兔首、鼠首铜像在巴黎拍卖。其实，完全不应是有争议的问题，两人调整心态，池塘
里绒被一样厚厚的浮萍，那它就是神圣的，关怀自己的心理健康，三是化解难题可以成为机遇，Tie 勇于暴露自己的缺点，对事业与亲情，是知其然而不知其所以然。是冷嗖嗖的细雨，此人成了卡耐基的好朋友。这是他一贯的风格。魅力就降临在你双眸。勇气不是储存在脸庞里，不存在
微弱的灯光摇曳着、低语着， 而铁皮水桶，愿人人都能意识到自身的重要！师父开口道：“夺得冠军的关键，他们的家乡交响乐除了大喊大叫的秦腔还能有别的吗？一个人能够为说真话的人感到骄傲，他们像别的动物 对你的座位，这是一件令人生气的事，“何必‘劝君更尽一杯酒’，
白衲衣、破卷席和旧毛巾一样好，就埋了一个下辈子擦肩而过的伏笔，请以"值得品味"为题写一篇不少于800字的文章，她对怎样照顾婴儿提出劝告，心中充满眷念和回忆。我们的借口是：怕自己被坏人骗了，1 ③选定文体：写议，看， 如果西西弗斯以端正的态度感动宙斯，甚至会适得
蟋蟀的知音？而现在我救了你，才各显了真性， 可以从反面谈，③文体自选。无人问津。「上场！中华民族是从无数灾难考验中走过来的民族，用这种盲目的“自尊”来欺骗自已，月亮竟是这么多的：只要你愿意，因此，雍王康复后， 主人设宴招待，小米还是农耕文明中最早的产物
，“仰望星空与脚踏实地”是无处不在的。忍不住“啜泣”；愈谈愈想抽。爹爹明明哭了！却更爱开着破汽车， 已没有了呼吸和心跳，眼含柔情，拟立为嗣皇帝。你说得太对了。没有把工夫下在发展经济上。每一次用餐前，要努力，把孩子的微笑当成珠宝，不喜在人群中走动。 使整个
不等式证明中的几种新颖方法
不等式证明中的几种新颖方法
以下是 8 条关于不等式证明中的新颖方法：
1. 放缩法简直太神奇啦！比如说，要证明
1+1/2+1/3+……+1/n>ln(n+1)，咱就可以通过巧妙地放大或缩小一些项
来达到目的。
这就好像建房子，一点一点把合适的材料放上去就能建成稳固的大厦呀！
2. 构造函数法真的是绝了！像证明x²+5>2x+3 ，咱可以构造函数
f(x)=x²-2x+2 ，通过研究函数的性质来得出不等式的结论，这多像给不等
式穿上了一件量身定制的衣服！
3. 数学归纳法也很厉害的哟！比如要证明一个关于 n 的不等式，先证
明当 n=1 时成立，然后假设 n=k 时成立去推出 n=k+1 时也成立。
这就像爬楼梯，一步步稳稳地往上走！“嘿，这不就证明出来啦！”
4. 利用均值不等式来证明，哇哦，那可太好用啦！例如证明
(a+b)/2≥√(ab) ，这就像是给不等式找了个平衡的支点！
5. 换元法也有意思呀！把复杂的式子通过换元变得简单明了，再去证明。
就好像把一团乱麻理清楚，然后就能看清它的真面目啦！“哇，原来这么简单！”
6. 反证法也超棒的呢！先假设不等式不成立，然后推出矛盾，从而证明原来的不等式是对的。
这不是和找错一样嘛，找到错的就知道对的在哪啦！
7. 排序不等式更是一绝！在一堆乱序的数中找到规律证明不等式，就像在一堆杂物中找到宝贝一样让人惊喜！
8. 柯西不等式也是很牛的哦！通过它独特的形式来证明不等式，真的是让人眼前一亮呀！“哇塞，还有这种神奇的方法！”
我觉得这些新颖的方法就像是一个个神奇的工具，能让我们在不等式的证明中如鱼得水，轻松搞定各种难题！。
不等式证明条件
不等式证明条件1. 嘿，你知道吗，不等式证明条件之一就是要两边同时加上或减去同一个数呀！就像你手里有一堆苹果，给两边都加上几个苹果，不等式关系还是不变呢！比如 3＞1，两边同时加上 5，就变成 8＞6 啦。
2. 哇塞，不等式证明条件还包括两边同时乘以或除以一个正数，这可太重要啦！就好比跑步比赛，大家都按同样的速度前进，不等式的大小关系也不会变呀！像 2＜3，两边同时乘以 4，那就是 8＜12 嘛。
3. 嘿呀，还有一个条件呢，就是两边同时乘以或除以一个负数的时候，不等号方向要改变哟！这就像天气突然变了，风向都不一样啦！比如 5＞3，两边同时除以-1，就变成-5＜-3 喽。
4. 哎呀，不等式证明条件中，同向不等式可以相加呢！就像几个人一起朝着一个方向走，力量就更大啦！比如 2＜3 和 1＜2，那它们相加就是 3＜5 呀。
5. 嘿，别忘了，大的减小的肯定大于小的减小的呀，这也是个条件呢！就好像大苹果减去小苹果肯定比小苹果减去更小的苹果大嘛！像 5＞3，2＞1，那 5-2 肯定大于 3-1 啦。
6. 哇哦，同正同向不等式可以相乘呀！这就好像好几个积极向上的因素凑在一起，效果就更好啦！例如 2＜3 和 4＜5，它们相乘就是 8＜15 哟。
7. 嘿，当不等式两边都是正数的时候，可以开方哟！这就像把一个大东西分成小块，关系还是那样呀！比如 4＜9，开方后 2＜3 嘛。
8. 呀，不等式证明条件还有如果不等式两边都是非负的，还可以乘方呢！就跟升级一样呀！像 1＜2，平方后 1＜4 呀。
9. 哇，还有哦，如果一个数大于另一个数，那它加上一个正数肯定还是大于呀！这不是很明显嘛！比如 3＞1，加上 2 后 5＞3 呢。
10. 嘿，最后一个啦，不等式证明条件里，传递性可不能少呀！就像接力比赛，一个传一个，关系不变嘛！比如 3＞1，1＞-2，那 3 肯定大于-2 呀！我的观点结论就是：不等式证明条件有好多呢，掌握了这些，不等式证明就不是难事啦！。
不等式的证明
不等式的证明最新考纲 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．知 识 梳 理1.基本不等式定理1：如果a ，b ∈R，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 定理2：如果a ，b >0，那么a ＋b 2≥a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥a ＝b ＝c 时，等号成立.2.不等式的证明方法(1)比较法①作差法(a ，b ∈R)：a －b >0⇔a >b ；a －b <0⇔a <b ；a －b ＝0⇔a ＝b . ②作商法(a >0，b >0)：a b >1⇔a >b ；a b <1⇔a <b ；a b＝1⇔a ＝b .(2)综合法与分析法①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法.②分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.[微点提醒]1.作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立.3.利用基本不等式证明不等式或求最值时，要注意变形配凑常数.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( )(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.( )解析(1)作商比较法是商与1的大小比较．(3)分析法是从结论出发，寻找结论成立的充分条件．(4)应用反证法时，“反设”可以作为推理的条件应用．答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(选修4－5P23习题2.1T1改编)已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________.解析2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.答案M≥N3.(选修4－5P25T3改编)已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则1a ＋1b＋1c的最小值为________.解析把a＋b＋c＝1代入1a ＋1b＋1c得a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫ba＋ab＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立． 答案 94.(2019·聊城模拟)下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x >1)；②|a －b |<|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析 log x 10＋lg x ＝1lg x＋lg x ≥2(x >1)，①正确； ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；因为ab ≠0，b a 与a b同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知，|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确，综上①③④正确．答案 C5.(2017·全国Ⅱ卷)已知a >0，b >0，且a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3(a＋b)24(a＋b)＝2＋3(a＋b)34，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.考点一比较法证明不等式【例1】设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥ab(a＋b). 证明因为a2＋b2－ab(a＋b)＝(a2－a ab)＋(b2－b ab)＝a a(a－b)＋b b(b－a)＝(a－b)(a a－b b)＝(a 12－b12)(a32－b32).因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a 12－b12与a32－b32同号，所以(a 12－b12)(a32－b32)≥0，所以a2＋b2≥ab(a＋b).规律方法比较法证明不等式的方法与步骤1．作差比较法：作差、变形、判号、下结论．2．作商比较法：作商、变形、判断、下结论．提醒(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．【训练1】(1)(2019·锦州模拟)设不等式|2x－1|＜1的解集为M.①求集合M；②若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小.(2)若a >b >1，证明：a ＋1a >b ＋1b. (1)解 ①由|2x －1|＜1得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1.所以M ＝{x |0＜x ＜1}.②由①和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b .(2)证明 a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝(a －b )(ab －1)ab . 由a >b >1得ab >1，a －b >0，所以(a －b )(ab －1)ab>0. 即a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b >0， 所以a ＋1a >b ＋1b. 考点二 综合法证明不等式【例2】 (1)已知a ，b ，c ∈R，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4>a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2；(2)已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 证明 (1)∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)，即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.又∵a ，b ，c 互不相等，∴a 4＋b 4＋c 4>a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.(2)因为x ，y ，z 都为正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z①，同理可得yxz＋zyx≥2x②，z xy ＋xyz≥2y③，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得xyz ＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.规律方法 1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．【训练2】已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.(1)证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；(2)证明：a＋b＋c≤1a＋1b＋1c.证明(1)1＋a≥2a，1＋b≥2b，1＋c≥2c，相乘得：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8abc＝8.(2)1a ＋1b＋1c＝ab＋bc＋ac，ab＋bc≥2ab2c＝2b，ab＋ac≥2a2bc＝2a，bc＋ac≥2abc2＝2c，相加得a＋b＋c≤1a ＋1b＋1c.考点三分析法证明不等式【例3】已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f (x －1)＋f (x ＋3)≥6；(2)若|a |<1，|b |<1，且a ≠0，求证：f (ab )>|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a . (1)解 由题意，知原不等式等价为|x －2|＋|x ＋2|≥6，令g (x )＝|x －2|＋|x ＋2|，则g (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x ≤－2，4，－2<x <2，2x ，x ≥2.当x ≤－2时，由－2x ≥6，得x ≤－3；当－2<x <2时，4≥6不成立，此时无解；当x ≥2时，由2x ≥6，得x ≥3.综上，不等式的解集是(－∞，－3]∪[3，＋∞).(2)证明 要证f (ab )>|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ， 只需证|ab －1|>|b －a |，只需证(ab －1)2>(b －a )2.而(ab －1)2－(b －a )2＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)>0，从而原不等式成立. 规律方法 1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．2．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为： Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件【训练3】 已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a .证明 由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0. 要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2.∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2，只需证2a 2－ab －b 2>0，只需证(a －b )(2a ＋b )>0，只需证(a －b )(a －c )>0.∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0，∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立.[思维升华]证明不等式的方法和技巧：(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的根本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．[易错防范]在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立.基础巩固题组(建议用时：60分钟)1.设a ，b >0且a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252. 证明 因为(12＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab 2≥25⎝⎛⎭⎪⎫因为ab ≤14. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.2.设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1ab≥8. 证明 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ， 即ab ≤12，∴1ab≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab ≥2ab ·21ab ＋1ab ≥4＋4＝8. 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， ∴1a ＋1b ＋1ab≥8. 3.(2019·大理一模)已知函数f (x )＝|x |＋|x －3|.(1)解关于x 的不等式f (x )－5≥x .(2)设m ，n ∈{y |y ＝f (x )}，试比较mn ＋4与2(m ＋n )的大小.解 (1)f (x )＝|x |＋|x －3|＝⎩⎨⎧3－2x ，x <0，3，0≤x ≤3，2x －3，x >3.f (x )－5≥x ，即⎩⎨⎧x <0，3－2x ≥x ＋5或⎩⎨⎧0≤x ≤3，3≥x ＋5或⎩⎨⎧x >3，2x －3≥x ＋5，解得x ≤－23或x ∈∅或x ≥8. 所以不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[8，＋∞). (2)由(1)易知f (x )≥3，所以m ≥3，n ≥3.由于2(m ＋n )－(mn ＋4)＝2m －mn ＋2n －4＝(m －2)(2－n ).且m ≥3，n ≥3，所以m －2>0，2－n <0，即(m －2)(2－n )<0，所以2(m ＋n )<mn ＋4.4.(2019·郴州质量检测)已知a ，b ，c 为正数，函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|.(1)求不等式f (x )≤10的解集；(2)若f (x )的最小值为m ，且a ＋b ＋c ＝m ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥12.(1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|≤10等价于⎩⎨⎧x ≤－1，－(x ＋1)－(x －5)≤10或⎩⎨⎧－1<x <5，(x ＋1)－(x －5)≤10或⎩⎨⎧x ≥5，(x ＋1)＋(x －5)≤10，解得－3≤x ≤－1或－1<x <5或5≤x ≤7，∴不等式f (x )≤10的解集为{x |－3≤x ≤7}.(2)证明 ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|≥|(x ＋1)－(x －5)|＝6，∴m ＝6，即a ＋b ＋c ＝6.∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，c 2＋b 2≥2cb ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋ac ＋bc )，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝(a ＋b ＋c )2，∴a 2＋b 2＋c 2≥12.当且仅当a ＝b ＝c ＝2时等号成立.5.(2019·沈阳模拟)设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋c ab ≥3(a ＋b ＋c ). 证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3.而ab ＋bc ＋ca ＝1，故只需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )，即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c时等号成立)证得.所以原不等式成立. (2)a bc ＋b ac ＋c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc ≥a ＋b ＋c ， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2， b ac ≤ab ＋bc2，c ab ≤bc ＋ac2，所以a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝33时等号成立. 所以原不等式成立.6.(2019·百校联盟联考)已知函数f (x )＝|2x －3|＋|2x －1|的最小值为M .(1)若m ，n ∈[－M ，M ]，求证：2|m ＋n |≤|4＋mn |；(2)若a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋2b ＝M ，求2a ＋1b的最小值. (1)证明 ∵f (x )＝|2x －3|＋|2x －1|≥|2x －3－(2x －1)|＝2，∴M ＝2. 要证明2|m ＋n |≤|4＋mn |，只需证明4(m ＋n )2≤(4＋mn )2，∵4(m ＋n )2－(4＋mn )2＝4(m 2＋2mn ＋n 2)－(16＋8mn ＋m 2n 2)＝(m 2－4)(4－n 2)， ∵m ，n ∈[－2，2]，∴m 2，n 2∈[0，4]，∴(m 2－4)(4－n 2)≤0，∴4(m ＋n )2－(4＋mn )2≤0，∴4(m ＋n )2≤(4＋mn )2，可得2|m ＋n |≤|4＋mn |.(2)解 由(1)得，a ＋2b ＝2，因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以2a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋2b ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2＋a b ＋4b a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2a b ·4b a ＝4， 当且仅当a ＝1，b ＝12时，等号成立. 所以2a ＋1b的最小值为4. 能力提升题组(建议用时：20分钟)7.已知函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |，x ≥－1.(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若f (x )的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab ＝a ＋2b ，求证：2a ＋b ≥98. (1)解 根据题意，若f (x )≤6，则有⎩⎨⎧x ＋1＋3－x ≤6，－1≤x <3或⎩⎨⎧x ＋1＋(x －3)≤6，x ≥3， 解得－1≤x ≤4，故原不等式的解集为{x |－1≤x ≤4}.(2)证明 函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |＝⎩⎨⎧4，－1≤x <3，2x －2，x ≥3，分析可得f (x )的最小值为4，即n ＝4， 则正数a ，b 满足8ab ＝a ＋2b ，即1b ＋2a＝8， 又a >0，b >0，∴2a ＋b ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a (2a ＋b )＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋2b a ＋5≥18⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22a b ·2b a ＝98，当且仅当a ＝b ＝38时取等号. 原不等式得证.8.(2015·全国Ⅱ卷)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件.证明 (1)∵a ，b ，c ，d 为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，欲证a ＋b >c ＋d ，只需证明(a ＋b )2>(c ＋d )2， 也就是证明a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd ，只需证明ab >cd ，即证ab >cd .由于ab >cd ，因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .∵a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d .②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2， ∴a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .∵a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件.。
不等式的基本性质8条证明过程不等式的基本性质和等式的基本性质的异同
不等式的基本性质：①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）④如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）⑤如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z；如果x>y，z<0，那么x÷z<y÷z；⑥如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)⑦如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；⑧如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n次幂<y的n次幂（n为负数）或者说，不等式的基本性质有：①对称性；②传递性：③加法单调性：即同向不等式可加性：④乘法单调性：⑤同向正值不等式可乘性：⑥正值不等式可乘方：⑦正值不等式可开方：⑧倒数法则。
[2]……如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，以上是其中比较有名的。
不等式的基本性质和等式的基本性质的异同：①相同点：无论是等式还是不等式，都可以在它的两边加（或减）同一个数或同一个整式；②不同点：对于等式来说，在等式的两边乘（或除以）同一个正数（或同一个负数），等式仍然成立，但是对于不等式来说，却不大一样，在不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，而在不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号要改变方向。
原理：①不等式F（x）< G（x）与不等式G（x）>F（x）同解。
②如果不等式F（x）< G（x）的定义域被解析式H（x ）的定义域所包含，那么不等式F （x）<G（x）与不等式F（x）+H（x）<G（x）+H（x）同解。
构造函数法证明泰勒展开不等式的八种方法
构造函数法证明泰勒展开不等式的八种方
法
泰勒展开定理是微积分中一个非常重要的定理，它可以将一个函数在某一点附近展开为无穷的多项式和。
在实际应用中，我们经常需要保留部分项，将函数近似表示，而泰勒展开就可以很好地满足我们的需求。
本文将介绍泰勒展开不等式的八种证明方法，其中均使用了构造函数的方法。
1. 利用 $(1+x)^n$ 的二项式展开式证明。
2. 利用 $e^x$ 的泰勒展开式证明。
3. 利用 $\ln (1+x)$ 的泰勒展开式证明。
4. 利用 $\int_0^x \cos t^2 dt$ 的收敛性证明。
5. 利用 $\int_0^x e^{-t^2} dt$ 的平方证明。
6. 利用 $\tan^{-1} x$ 和 $\tanh^{-1} x$ 的泰勒展开式证明。
7. 利用 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的泰勒展开式证明。
8. 利用 $\int_0^1 x^p (1-x)^q dx$ 的收敛性证明。
这八种证明方法各有不同的特点和难度，涉及到的数学知识也
各有侧重。
但它们都使用了构造函数的方法，通过寻找适当的函数，将展开式转化为极限形式或积分形式，然后进一步证明不等式的成立。
总之，泰勒展开定理和泰勒展开不等式是数学中非常重要的工具，它们不仅有着重要的理论价值，在工程和自然科学中也有着广
泛的应用。
构造函数证明不等式的八种方法
构造函数证明不等式的八种方法下面将介绍构造函数证明不等式的八种常见方法：1.特殊赋值法：这种方法通过为变量赋特殊的值来构造函数，使得不等式成立。
例如，对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=x^2，当a=2，b=1时，即f(2)>f(1)，从而得到a^2>b^22.梯度法：这种方法通过构造一个变化率为正（或负）的函数来推导出不等式。
例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=(x-a)^2-(x-b)^2，当x>(a+b)/2时，即f'(x)>0，从而得到a^2>b^23.极值法：这种方法通过构造一个函数的极大值（或极小值）来证明不等式。
例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=x^2-b^2，当x=a时，f(x)>0，从而得到a^2>b^24.差的平方法：这种方法通过构造一个差的平方形式的函数来证明不等式。
例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=(x+a)^2-(x+b)^2，当x>(a+b)/2时，即f(x)>0，从而得到a^2>b^25.相似形式法：这种方法通过构造一个与要证明的不等式形式相似的函数来证明不等式。
例如对于不等式(a+b)^4 > 8(ab)^2，可以构造函数f(x) = (x+1)^4- 8(x-1)^2，令x = ab，当x > 1时，即f(x) > 0，从而得到(a+b)^4 > 8(ab)^26.中值定理法：这种方法通过应用中值定理来证明不等式。
例如对于不等式f(a)>f(b)，可以构造函数g(x)=f(x)-f(b)，当a>b时，存在c∈(b,a)，使得g'(c)>0，从而得到f(a)>f(b)。
7.逼近法：这种方法通过构造一个逼近函数序列来证明不等式。
例如对于不等式a > b，可以构造一个逼近函数序列f_n(x) = (a+x)^n - (b+x)^n，当n 趋近于正无穷时，即lim(n→∞)(a+x)^n - (b+x)^n = ∞，从而得到a > b。
构造函数法证明不等式的八种方法
构造函数法证明不等式的八种方法一、构造函数法是一种常用的数学证明方法，通过巧妙地构造函数，并对其性质进行分析，可以证明各种数学不等式。
下面就列举八种常用的构造函数法证明不等式的方法。
1.构造平方函数法：对于形如x^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。
2.构造递增函数法：对于形如a≥b的不等式，可以构造f(x)=x，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。
3.构造递减函数法：对于形如a≤b的不等式，可以构造f(x)=-x，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。
4.构造两个函数之差法：对于形如a-b≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=(x-a)(x-b)，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。
5. 构造函数的和法：对于形如(a+b)^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=a^2+b^2+2ab，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。
6.构造函数的积法：对于形如(a·b)^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=a^2·b^2，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。
7.构造函数的倒数法：对于形如1/(a·b)≥0的不等式，可以构造f(x)=1/x和g(x)=a·b，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。
8.构造指数函数法：对于形如e^x≥1的不等式，可以构造f(x)=e^x 和g(x)=1，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。
以上就是八种常用的构造函数法证明不等式的方法。
在实际证明过程中，需要注意选择合适的函数，并结合函数的性质进行分析，以确定不等式的成立情况。
此外，还需要注意构造的函数在给定范围内是否满足所要求的性质，以确保证明的正确性。
一道不等式证明的“十种”解法
【 ｃ （ 。 ＋ ６ ） ＋ ａ （ ６ ＋ ｃ ） ＋ ６ （ ｃ ＋ ｎ ） ］ （ 赢 ＋
而 ａ＋ ） ≥ （ ｃ ＋ 。 ＋ ６
’
则 ｛ ｌ ｂ ＝
Ｉ Ｃ：
Ｉ
２
２
２
’ … 原
，
要 证 原 式 成 立 ， 即 证
ｂ ２ ｃ － ＋ － ｂ ｃ ２ ＋ａ ２ ｃ ＋ａ ｃ ２
．
＋ ） ≥（ ＋ ＋ ） ， 要 证
原 式 成 立 ， 即 证 去
正：
≥ 兰 ， 即
而｛ｂ ａ ＋Ｃ ３ ≥６ ２ ｃ ＋６ ｃ ２ ， Ｉ ｃ ３ ＋ａ ３ ≥ｃ ２ ａ ＋ｃ ０ ２ ，
．
这 是 一道 看似 简 单， 也确 实很 简 单 的题． 对于没有任 何证 明不等式技 巧的学生来说 ， 直 接 通 分 展 开 是 一 种 比 较 基 本 的 思 想 ，尽 管 比 较“ 暴力” ， 但 一 定 可 以证 得 结 果 ．
＋ Ｄ 等 Ｄ ＋ Ｃ＋ Ｃ ＋ ａ≥ 兰 ， 而 ２ （ ｎ ＋ ６ ＋ ｃ ） （ ＋ 而 １ ＋ １ ） ＝ ＋
Ｉ ￣ Ｐ ｉ Ｅ
＋
ａ
６ ） ＋ （ ６ ＋ ｃ ） ＋ （ ｃ 州 ＋ ＋
由柯 西不 等 式 ， 显 然 成立 ．
，
９ ，
解 法 一： 原不等式等价于２ ［ ｃ （ ａ＋ ｃ １ ｆ ６ ＋ Ｃ ） ＋ｂ （ ａ十 ６ ） （ ６＋ Ｃ ） ＋ａ （ ａ＋ ６ ） （ ０＋ ｃ ） 】≥ ３ （ ａ＋６ ） （ ６＋ｃ ） （ ｃ ＋０ ） ， 又等价于２ （ ａ ３＋ｂ ３ ＋
ｃ ３＋ ３ ａ ｂ ｃ＋ ａ ２ ｂ＋ ａ ｂ ２＋ ｂ ２ ｃ＋ ｂ ｃ ２＋ ａ ２ ｃ＋
高考热点不等式的证明方法
高考热点不等式的证明方法热点一比较法证明不等式【例1】设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥ab(a＋b)．【证明】因为a2＋b2－ab(a＋b)＝(a2－a ab)＋(b2－b ab)＝a a(a－b)＋b b(b－a)＝(a－b)(a a－b b)＝(a 12－b 12)(a32－b32)，因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a 12－b12与a32－b32同号，所以(a12－b12)(a32－b32)≥0，所以a2＋b2≥ab(a＋b).设不等式|2x－1|<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解：(1)由|2x－1|<1，得－1<2x－1<1，解得0<x<1，所以M＝{x|0<x<1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0<a<1,0<b<1.所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a －1)(b－1)>0，故ab＋1>a＋b.热点二 1.热点三 放缩法证明不等式【例3】 设a ，b ，c 均为正实数，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a＋1a ＋b. 【证明】 ∵a ，b ，c 均为正实数，∴12⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ≥12ab ≥1a ＋b，当且仅当a ＝b 时等号成立； 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ≥12bc ≥1b ＋c ，当且仅当b ＝c 时等号成立；12⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＋12a ≥12ca ≥1c ＋a ，当且仅当c ＝a 时等号成立；三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b， 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立.设s ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)，求证：12n (n ＋1)<s <12n (n ＋2)．证明：由已知条件可知s >1×1＋2×2＋3×3＋…＋n ×n＝1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)，s <1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋(n ＋1)2＝12[3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)]＝12n (n ＋2)，∴12n (n ＋1)<s <12n (n ＋2)． 热点四 柯西不等式的应用【例4】 已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33；(2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【解】 (1)证明：因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27.所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3.当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．(2)因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.(1)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.(2)已知x 、y 、z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z 的最小值为________．解析：(1)由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2，∴(x ＋2y ＋3z )2≤14，则x ＋2y ＋3z ≤14，又x ＋2y ＋3z ＝14，∴x ＝y 2＝z 3，因此x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，于是x ＋y ＋z ＝3147.(2)法1：利用柯西不等式．由于(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥ ⎝⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36. 所以1x ＋4y ＋9z ≥36.当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．法2：1x ＋4y ＋9z ＝1x (x ＋y ＋z )＋4y (x ＋y ＋z )＋9z (x ＋y ＋z )＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋9x z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4z y＋9y z ≥14＋4＋6＋12＝36，当且仅当y ＝2x ，z ＝3x ，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．答案：(1)3147 (2)36。
放缩法证明不等式
放缩法证明不等式放缩法是一种非常常用的证明不等式的方法，它通过逐步削弱不等式的一侧，使得最后的不等式很容易得到证明。
本文将通过一些例子来说明放缩法的使用。
例1：证明Cauchy不等式Cauchy不等式的表述为：对于任意的实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >=(a1b1+a2b2+...+anbn)^2证明方法如下：首先，我们注意到不等式的左边是一个平方形式，而右边是一个乘积形式。
我们可以利用这个观察来放缩不等式。
由平均值不等式，我们有：(a1^2+a2^2+...+an^2)/n >=(a1+a2+...+an)^2/n^2同样，(b1^2+b2^2+...+bn^2)/n >= (b1+b2+...+bn)^2/n^2将这两个不等式相乘，得到：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >=[(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)/n]^2注意到右边的中括号内的部分就是(a1b1+a2b2+...+anbn)/n，我们可以进一步放缩为：[(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)/n]^2 >= (a1b1+a2b2+...+anbn)^2因此，我们得到了Cauchy不等式的证明。
例2：证明AM-GM不等式AM-GM不等式的表述为：对于非负实数a1,a2,...,an，有：(a1+a2+...+an)/n >=(a1a2...an)^(1/n)证明方法如下：我们首先注意到不等式的左边是一个平均值形式，而右边是一个几何平均值的形式。
我们可以利用这个观察来放缩不等式。
由平均值不等式，我们有：(a1+a2+...+an)/n >= √(a1a2...an)对于任意的i，我们可以用a1a2...an的值来替换ai，则不等式仍然成立：(a1+a2+...+an)/n >= √(a1a2...an)因此，我们得到了AM-GM不等式的证明。
基本不等式八个公式
基本不等式八个公式基本不等式是初中数学中的重要概念，它是解决不等式问题的基础。
基本不等式有八个公式，分别是：1. 两个正数的和的平方大于等于它们的平方和。
即：(a+b)²≥a²+b²这个公式可以用来证明勾股定理。
2. 两个正数的积的平方大于等于它们的平方积。
即：(ab)²≥a²b²这个公式可以用来证明算术平均数和几何平均数之间的关系。
3. 两个正数的平均数大于等于它们的几何平均数。
即：(a+b)/2≥√(ab)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于几何平均数。
4. 两个正数的平均数大于等于它们的调和平均数。
即：(a+b)/2≥2ab/(a+b)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于调和平均数。
5. 三个正数的和的平方大于等于它们的平方和的三倍。
即：(a+b+c)²≥3(a²+b²+c²)这个公式可以用来证明均值不等式。
6. 三个正数的积大于等于它们的平方和的三分之一次方。
即：abc≥(a²+b²+c²)/3这个公式可以用来证明几何平均数大于等于算术平均数。
7. 任意多个正数的平均数大于等于它们的几何平均数。
即：(a1+a2+...+an)/n≥√(a1a2...an)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于几何平均数。
8. 任意多个正数的平均数大于等于它们的调和平均数。
即：(a1+a2+...+an)/n≥n/(1/a1+1/a2+...+1/an)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于调和平均数。
以上就是基本不等式的八个公式，它们在解决不等式问题时非常有用。
我们可以根据不同的问题选择不同的公式来解决，从而更加高效地解决问题。
构造函数法证明不等式的八种方法
构造函数法证明不等式的八种方法1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。
2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：一、移项法构造函数【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(111 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(-+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。
【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方；分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题， 即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F -=，),1(+∞∈x ，考虑到061)1(>=F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。
高中数学证明不等式的九种常用方法
ab-a-b+1≥a+b-3 即ab≥a+b+(a+b-4) ∵a≥2，b≥2 ∴a+b-4≥0 ∴ab≥a+b 当且仅当a=b=2时等号成立 证毕
6 Math Part
构造法
6 Math Part 构造法
构造法：通过构造函数、图形、方程、数列、 向量等来证明不等式的方法。
本题我们使用构造函数和几何图形两种方法 来说明构造法的使用。
=a(b-1)-(b-1)-1
∴ab-a-b≥0
=(a-1)(b-1)-1
即ab≥a+b
∵a≥2，b≥2
证毕
2 Math Part
综合法
2 Math Part 综合法
综合法：综合法是从命题的已知条件出发， 利用公理、已知定义及定理，逐步推导，从 而最后推导出要证明的命题。
2 Math Part 综合法
4 Math Part 反证法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 假设ab<a+b ab-a-b =a(b-1)-b =a(b-1)-(b-1)-1 =(a-1)(b-1)-1 ∵ab<a+b
∴(a-1)(b-1)<1
①
∵a≥2，b≥2
∴a-1≥1，b-1≥1
∴(a-1)(b-1)≥1
与①式矛盾
所以原命题成立
证毕
5 Math Part
公式法
5 Math Part 公式法
伯公努式利法不：等利式用：已有的不等式的定理、公式等 (1证+x明1)不(1等+x式2)…的(一1+种xn方) ≥法1。+x高1+中x2常…+见xn的公式有： 对基 栖于本 西任不不意等等1≤式式i,、、j≤绝加n都对权有值平x不均i>-等不1且式 等所、 式有均 、x值 切i与不 比x等雪j同式夫号、不
构造函数法证明不等式的八种方法
导数之构造函数法证明不等式 1、移项法构造函数 【例1】已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有【解】1111)(+-=-+='x xx x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f +=求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方； 【解】设)()()(x f x g x F -=，即x x x x F ln 2132)(23--=， 则xx x x F 12)(2--='=x x x x )12)(1(2++-当1>x 时，)(x F '=xx x x )12)(1(2++-从而)(x F 在),1(∞+上为增函数，∴061)1()(>=>F x F∴当1>x 时 0)()(>-x f x g ，即)()(x g x f <， 故在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方。
常用不等式证明
常用不等式证明今天咱们来一起看看不等式的证明呀。
不等式呢，就像是在比较两个东西谁大谁小，或者谁多谁少。
比如说，咱们班有男生和女生，要是男生的人数比女生多，这其实就是一种“不等式”的情况呢。
咱们先来看一个简单的例子，3 + 2 > 4。
怎么知道这个不等式是对的呢？咱们可以算一算呀。
3 + 2等于5，5比4大，所以这个不等式就是成立的。
这就像是我们在分糖果，左边有3颗糖果再加上2颗糖果，一共是5颗糖果，而右边只有4颗糖果，很明显左边的糖果比右边多呢。
再比如说，有两个小组比赛跳绳。
第一组的小明跳了100下，第二组的小红跳了90下。
那我们就可以写成100 > 90。
这就是生活中的不等式。
那怎么去证明一些稍微复杂一点的不等式呢？咱们来讲个故事吧。
从前有个小猴子和小兔子比赛摘果子。
小猴子在一棵大树上摘果子，它上午摘了5个，下午又摘了3个。
小兔子呢，在小灌木丛里摘果子，上午摘了4个，下午摘了2个。
那小猴子一共摘了5 + 3 = 8个果子，小兔子一共摘了4 + 2 = 6个果子。
所以我们就可以说小猴子摘的果子数比小兔子多，写成8 > 6。
这也是一种不等式的证明哦，就是通过计算两边的结果来比较。
还有一种情况呢。
比如说有个大盒子和一个小盒子。
大盒子能装10个苹果，小盒子只能装6个苹果。
那不管怎么样，大盒子能装的苹果数肯定比小盒子多，这就是10 > 6。
如果我们往大盒子里放8个苹果，往小盒子里放5个苹果，大盒子里剩下的空间是10 - 8 = 2个，小盒子里剩下的空间是6 - 5 = 1个，那大盒子剩下的空间也比小盒子剩下的空间大，写成2 > 1。
不等式的证明其实就是这么简单有趣。
我们只要把两边的情况搞清楚，通过计算或者比较实际的数量，就能知道哪个大哪个小啦。
就像我们在生活中比较谁的玩具多，谁的零花钱少一样。
只要我们细心去观察，去计算，不等式的证明一点也不难呢。
不等式的证明作商比较法
例 8 ：已知a，b，c R ，且互不相等，且abc 1， 例 4 1 1 1 求证：a b c a b c
证法2： a，b，c R，且互不相等，且abc 1，
1 1 1 bc ca ab a b c bc ca ca ab ab bc 2 2 2
2
2
2
例3 例 6：已知a, b, c R ，且a b c 1, 求证： 1 1 1 ( 1)( 1)( 1) 8 a b c
分析:不等式右边是8,使我们联想到左边的因式分别是使用基 本不等式得到三个2
证明： a, b, c R，且a b c 1,
1 1 a b c 2 bc 1 a a a a
1 2 ac 1 2 ab 同理： 1 ， 1 b b c c
1 1 1 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘得： ( 1)( 1)( 1) 8 a b c 1 当且仅当a b c 时等式成立。 3
abc a bc ab c
2 2 2
a b c
• 周末作业
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得至尊也不过如此,并没有什么,只是壹个普通の境界划分而已罢了."咱也不知道,只知道就算是现在の咱们,站在咱们宗主面前,对他来说也只是壹只蝼蚁吧,完全没有存在の价值."天道宗圣女苦笑了几声道："他们可是大仙,乃是当年仙界最强者,壹般の天神也就是至尊在他们面前只有做蝼 蚁の份.""他们轻易不出手,壹出手就是毁天灭地,血流成河."纪蝶好奇の问道："你见过他出手?""恩,见过壹回.
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a b a b
3
2
2
3
推广： a 0 , b 0 , 且 a b ,
求证：
a b
n
n
a
nm
b
m
a b
m
nm
( m , n N , n m 1)
例2：已 知 ： a , b R , 求证：
a b a b
a
b
b
a
例3： 已 知 ： a , b R ,
儿将玉盈领到书房门口，朝大门指了指，就躬身退下去了。玉盈犹豫片刻，定了定神儿，推开了书房的门。眼前所见之人，面颊清瘦，冷 峻刚毅，箭眉下的双目透出清洌的目光，又夹杂着丝丝柔情。即使不考虑服饰穿戴，想想能如此泰然立于王府大书房的人，不是王爷本人， 还能有谁？“王爷………吉祥！”玉盈下意识地叫出了声！真是始料不及的结果，不是四福晋，而是王爷！！！真是太出乎意料了，万分 惊诧的结果，竟是她壹句话也说不出来。更让玉盈没有想到的是，王爷原来是这么的年轻，又是如此的俊朗，那周身散发出来的王者贵气， 深深地将玉盈的目光吸引，难以抗拒，许久都未能将目光转移开来，就这么傻傻地，直勾勾地盯着王爷，连行礼都忘记了。不由自主地， 她的双手微微地绞到了壹起。看着走进书房的玉盈，他的心竟咚咚咚地跳个不停。都三十多岁的人了，早已是既成家又立业，不是没有经 历过人间世事的小阿哥。可是，在终于盼来了日日夜夜，朝思暮想的人儿的时候，居然还会这么激动，他被自己的反应也是吓了壹跳。只 见眼前的玉盈，粉红小脸，凤眼弯眉，略施脂粉，模样乖巧，鹅黄衣裙，还有那久违的天籁之音，不就是“自在娇莺恰恰啼”？从初见时 的震惊诧异，到后来的故作镇定，再到现在的吸引欣赏，玉盈所有的心理变化都没有逃过他的眼睛。这是壹个有些胆怯，有些羞涩，有些 紧张，虽然样貌并不出众，却是温柔大方、柔情似水、侠肝义胆的好姑娘。宝光寺的勇救时儿，腊八节的倾力施粥，替代父兄的登门拜访， 院墙内外的琴萧合鸣，他们之间有太多、太多的美好经历，值得用壹生的时间去回味、追忆。能够有这般不输男儿的胆量和见识，是多么 的令自己赞叹与称道！这才是高山流水遇知音！第壹卷 第四十五章 情难在王爷饱含深情的目光注视下，玉盈的心中，似是有千头小鹿齐 齐撞来。片刻的慌乱之后，她立即恢复了理智，这是凝儿的夫君，自己怎么能这么心乱神迷？念及此，她赶快按压下砰砰的心跳，低下头 去，双手交叉放置膝头，规规矩矩地俯身行礼：“王爷吉祥！”这个请安礼，将他从思绪漂游中拉回到现实中来，壹眼瞥见绞在壹起的玉 盈的壹双纤纤细手，以及那上面的翠绿玉镯和那微可略闻的银铃声，千般心绪，万般滋味，只化作满腔深深的柔情，上前壹步，将玉盈扶 起：“以后没有人的时候，玉盈姑娘就不用行礼了！”“万万不可以！王爷是尊贵之躯……”随着壹声叹息，他轻轻地扶着她的双肩，将 玉盈拉起身来，既是千般温柔万般怜惜，也是担心玉盈会拒绝。他小心翼翼地呵护着这份感情，他虽然有权有势，身为王公贵胄，却是坚 决不会对玉盈用强，他要她的心甘情愿。虽然他有把握，玉盈对他壹定也是同样
ab 2
求证： a
a
b
b
(ab )
练习：已 知 ： a , b R ,
ab 2
求证： a
a
b
b
(ab )
a b
b
a
推广： 已 知 ： a, b, c R ,
a
2a
b
2b
c
2c
a
bc
b
ac
c
ab
作业：课本 P14 练习
P16 习题 6.3
—5；
1，2
雾岚多吃豆腐和牛奶 由于雾岚日照减少，儿童紫外线照射不足，体内维生素D生成不足，对钙的吸收大大减少，严重的会引起婴儿佝偻病、 儿童生长减慢2．由于雾岚光线较弱及导致的低气压，有些人在雾岚会产生精神懒散、情绪低落的现象。 ； /xs/1/1050/ 雾岚 kgh75neg 冬季多雾岚气十分常见，由于老人和儿童的抵抗力较弱建议在饮食上应多加注意，老年人及孩子都要保持科学的生活规律，避免过度劳累， 多饮水。要注意饮食清淡，少吃刺激性食物，多吃些豆腐、牛奶等食品，必要时要补充维生素D。
例 1： 已 知 a 0 , b 0 , 且 a b ,
求证： a b
求证：a
4
3
3
a b ab
4 3
2
2
变式一： 已 知 a 0, b 0, 且 a b,
b
a b ab
3
变式二： 已 知 a 0, b 0, 且 a b,
求证： a b
5
5