1.数学选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质综合测试（含答案）（打印）.doc

1.数学选修4-1第⼀讲相似三⾓形的判定及有关性质综合测试（含答案）（打印）.doc
⼀、选择题（每⼩题6分，共48分）
1．在△ABC 中，D 、F 是AB 上的点，E 、H 是AC 上的点，直线DE//FH//BC ，且DE 、FH 将△ABC 分成⾯积相等的三部分，若线段FH=65，则BC 的长为（） A ．15
B ．10
C.
62
15
D ．
153
2
2．在△ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，且S △ADE ：S 四边形DBCE =1：2，则梯形的⾼与三⾓形的边BC 上的⾼的⽐为（）
A ．1：2
B ．1：)12(-
C ．1：)13(-
D ．)13(-：3
3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的⾼，AC=5，BC=8，则S △ACD ：S △CBD
为（） A ．
8
5 B ．
64
25 C ．
39
25 D ．
89
25 4．如图1—5—1，D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的⾯积为4，
△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的⾯积分别是（）
A.
29
，16 B. 9，4 C. 2
9，8
D.
4
9
，16
5．如图1—5—2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：
（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC ；（3）
AB
AC
AD CD =；（4）AB 2=BD ·BC 。

其中⼀定能够判定△ABC 是直⾓三⾓形的共有（） A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
6．如图1—5—3，在正三⾓形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且
3
1
AC AD =，AE=BE ，则有（） A. △AED ∽△BED B ．△AED ∽△CBD C. △AED ∽△ABD
D ．△BAD ∽△BCD
7．如图1—5—4，PQ//RS//AC ，RS=6，PQ=9，SC 3
1
QC =，则AB 等于（）
A. 4
15
B. 4
36
C. 2
17
D. 5
8．如图1—5—5，平⾏四边形ABCD 中，O 1、O 2、O 3是BD 的四等分点，连接AO 1，并延长交BC 于E ，连接EO 2，并延长交AD 于F ，则FD
AD
等于（）
A ．3：1
B ．3：1
C ．3：2
D. 7：3
9．如果⼀个三⾓形的⼀条⾼分这个三⾓形为两个相似三⾓形，那么这个三⾓形必是（）
A ．等腰三⾓形 B. 任意三⾓形 C ．直⾓三⾓形
D ．直⾓三⾓形或等腰三⾓形
10．在△ABC 和△A'B'C'中，AB ： AC=A'B'：A'C'，∠B=∠B'，则这两个三⾓形（） A ．相似，但不全等 B ．全等
C ．⼀定相似
D ．⽆法判断是否相似
11．如图1—6—1，正⽅形ABCD 中，E 是AB 上的任⼀点，作EF ⊥BD 于
F ，则
BE
EF
为（） A ．2
2
B ．21
C ．
3
6
D ．2
12．如图1—6—2，把△ABC 沿边AB 平移到△A'B'C'的位置，它们的
重叠部分（图中阴影部分）的⾯积是△ABC 的⾯积的⼀半，若2AB =
，
则此三⾓形移动的距离AA'是（）
A ．12-
B ．
2
2
C ．1 D
2
1
13．如图1—6—3，在四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=32，
AD=2，则四边形ABCD 的⾯积是（）
A ．24
B ．34
C ．4
D ．6
14．如图1—6—4，平⾏四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上⼀点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三⾓形共有（）
A ．3对
B ．4对
C ．5对
D ．6
对
15．在直⾓三⾓形中，斜边上的⾼为6cm ，且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（）
A.
2
6
5cm B ．64cm C ．65cm
D ．
32
5
cm
16．AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的⾼，作DE ⊥AC 于E ，
45AC AB =，则EA
CE
=（） A ．
25
16 B ．
5
4 C ．
4
5
D ．16
25
17．如图1—6—5，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，已
知AB=m ，BC=n ，求CD 的长。

甲同学求得CD=m －n ，⼄同学求得m
n CD 2
=,
下列判断正确的是（） A ．甲、⼄都正确 B ．甲正确、⼄不正确 C ．甲不正确、⼄正确
D ．甲、⼄都不正确
18．如图1—6—6，在直⾓梯形ABCD 中，AB=7，AD=2，BC=3。

如果边AB 上的点P 使得以P 、A 、D 为顶点的三⾓形和以P 、B 、C 为顶点的三⾓形相似，那么这样的点P 有（）
A ．1个
B ．2个
C. 3个
D ．4个
⼆、填空题（每⼩题4分，共16分）
20．如图1—5—6，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=6，AD=3.6，
则BC=_______________。

21．等腰三⾓形底边上的⾼为8，周长为32，则此三⾓形的⾯积是____________________。

22．在△ABC 中，BD ，CE 分别为AC 、AB 边上的中线，M 、N 分别是BD ，
CE 的中点，则MN ：BC=_______________________。

23．在△ABC 中，DE//BC ，D 、E 分别在AB 、AC 边上，若AD=1，DB=2，那么
DE
BC
DE +=_______________________。

24．平⾏于△ABC 的边AB 的直线交CA 于E ，交CB 于F ，若直线EF 把△ABC 分成⾯积相等的两部分，则CE ：
CA=__________________。

25．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的⾼，该图中共有x 个三⾓形与△ABC 相似，则x=________________________。

26．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC=∠ADC ，AC=8，BC=16，则CD=_______________________。

三、计算题（本⼤题共86分） 27．如图1—5—7，△ABC 为直⾓三⾓形，∠ABC=90°，以AB 为边向外作正⽅形ABDE ，连接EC 交AB 于P 点，过P 作PQ//BC 交AC 于点Q 。

证明PQ=PB 。

28．如图1—5—8，已知DE//AB ，EF//BC 。

求证：△DEF ∽△ABC 。

29．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，S 2△BCD =S △ABC ·S
△ADC 。

求证：BD=AC 。

30．如图1—5—9，在平⾏四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，在AD 上取⼀点F ，使
21FD AF =，连接FE 交CB 的延长线于H ，交AC 于G ，求证AC 5
1
AG =。

34．如图1—5—10，已知AD 是△ABC 的中线，过△ABC 的顶点C 任作⼀直线分别交AB 、AD 于点F 和点E ，证明：AE ·FB=2AF ·ED 。

32．如图1—5—11，在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c 。

点P 是AB 上⼀个动点（P 与A 、B 不重合）。

连接PC ，过P 作PQ//AC 交BC 于Q 点。

33．如图1—6—7，在△ABC 中，BD 是AC 边上的中线，BE=AB,且AE 与BD 交于F 点，求证：
AF
EF
BC AB 。

34．如图1—6—8，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD ，找出图中两个相似的三⾓形，并给出证明。

35．如图1—6—9，AD、BE是△ABC的⾼，DF⊥AB于F，DF交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H，求证
DF2=FG·FH。

36．如图1—6—10，AP是△ABC的⾼，点D、G分别在AB、AC上，点E、F在BC上，四边形DEFG是矩形，AP=h，BC=a，（1）设DG=x，S矩形DEFG=y，试⽤a、h、x表⽰y；（2）按题设要求得到的⽆数个矩形中是否能找到两个不同的矩形，使它们的⾯积和等于△ABC 的⾯积？
选修4-1第⼀讲相似三⾓形的判定及有关性质综合测试
【试题答案】
⼀、选择题（每⼩题6分，共60分） 1. A 2. D 3. B 4. A 解析：如图D —1—24所⽰，
∵D 、E 、F 分别为△ABC 三边中点∴BC 2
1
//EF ，∴ABC AEF ?~?
且
2
1
BC EF = ∴
9l ,2
1
BC EF l l ABC ABC DEF ===
∴2
9l DEF =
⼜4S ,4
1BC EF S S DEF 2
2ABC DEF === ∴16S ABC =? 故16S ,2
9
l ABC DEF ==??
∴选A
5. A
解析：验证法：（1）不能判定△ABC 为直⾓三⾓形∵∠B+∠DAC=90°，⽽∠B+∠DAB=90°，∴∠BAD=∠DAC 同理∠B=∠C ，不能判定∠BAD+∠DAC 等于90°；
（2）中∠B=∠DAC ，∠C 为公共⾓，∴△ABC ∽△DAC 。

∵△DAC 为直⾓三⾓形，∴△ABC 为直⾓三⾓形；
在（3）中，
AB
AC
AD CD =可得△ACD ∽△BAD ，∴∠BAD=∠C ，∠B=∠DAC ，
∴∠BAD+∠DAC=90°；（4）中AB 2=BD ·BC ，即
BC
AB
AB BD =，∠B 为公共⾓，∴△ABC ∽△DBA ，即△ABC 为直⾓三⾓形。

∴正确命题有3个选A 。

6. B
解析：直接法。

注意到∠A=∠C=60°
可设AD=a ，则AC=3a ，⽽AB=AC=BC=3a
所以AE=BE=
a 2
3，所以3
2a 2
3a AE AD ==。

⼜
32
a 3a 2BC CD ==，所以CB
CD
AE AD =，∠A=∠C=60°，故△AED ∽△CBD ，选B 。

7. A 8. B 9. D 10. D 11. A 12. C
13. C 解析：由∠B=∠D=90°，于是设想构造直⾓三⾓形，
延长BA 与CD ，它们的延长线交于E ，则得到Rt △BCE 和Rt △ADE 由题⽬条件知，△ADE 为等腰直⾓三⾓形，∴DE=AD=2，∴S △ADE =
2
1
×2×2=2. ⼜可证Rt △EBC ∽Rt △EDA ，
4
S S S S 3S 3232AD BC S S ADE EBC ABCD EDA
EBC 2
2
EDA EBC =-=∴=∴=
= =∴四边形选C
14. D
解析：由AB//CD ，可得△CGF ∽△BGA ，△ABE ∽△FDE ⼜由AD//BC ，
可得△CGF ∽△DAF ，△AED ∽△GEB
还可得△DAF ∽△BGA ，△ABD ∽△CDB ，故共有6对。

15. A 16. A 17. A 18. C
解析：直接法。

假设有⼀点P ，连接PD 、PC 设AP=x ，则PB=7－x
图D —1—26
（1）若△PAD ∽△PBC ，则BC PB AD PA =，即3
x
72x -= 得75
14
x <=
符合条件。

（2）若△PAD ∽△CBP ，
即
06x 7x ,x
732x 2=+--=，解得6x ,1x 21==也符合条件故满⾜条件的点P 有3个。

⼆、填空题（每⼩题4分，16分） 19.
5
3 解析：设三边长a －d ，a ，a+d （d>0），则（a+d ）2=a 2+（a －d ）2，∴a=4d ．∴三边之⽐为3：4：5． 20. 8 21. 48 22. 1：
4 23. 4
24.
2
2
25. 2
解析：△ACD ∽△ABC ，△CBD ∽△ABC 26. 4
解析：由△BAC ∽△ADC 可知
CD
AC
AC BC = 三、解答题（本⼤题共74分）
27. 证明：∵PQ//BC ，BC//AE ，∴PQ//AE ∴∠CPQ=∠CEA ，∠CQP=∠CAE ．∴△CPQ ∽△CEA ．∴
CE
CP
EA PQ = 同理可得CE CP ED PB =，ED
PB
AE PQ =
⽽AE=DE ，∴PQ=PB ． 28. 证明：∵DE//AB ，∴
OB
OE
OA OD AB DE == ①
⼜∵EF//BC ，
∴
OC OF
OB OE BC EF == ②∴BC
EF
AB DE = 由①②知OC
OF
OA OD =，⽽∠FOD=∠COA ，∴△FOD ∽△COA ，∴OA
OD
AC DF = ∴在△ABC 和△DEF 中，有AC
DF
BC EF AB DE == ∴△ABC ∽△DEF
29. 证明：如图D —1—
25
AD AB BD ,AD
BD BD AB CD AD CD
BD CD AD CD AB S S S S 2ADC
BDC
BDC ABC ?=∴=??=??∴
=
即
由射影定理得，AB AD AC 2
=
∴AC 2=BD 2，即AC=BD ． 30. 证明：∵
21FD AF =，∴31AD AF =，即3
1
BC AF = ∵AE=EB ，∠AEF=∠HEB ，∠FAE=∠EBH
∴△AFE ≌△BHE ，∴AF=BH ，∴
4
1
CH AF = ∵△AGF ∽△CGH ，∴
4
1
CG AG CH AF ==
∴
51AC AG =，即AC 5
1
AG = 31. 证明：过D 作DH//CF 交AB 于点H ，
则∠BDH=∠BCF ，∠B=∠B ，∴△BDH ∽△BCF ⼜D 为BC 的中点∴2
1
BF BH BC BD == ∴BF 21BH =，即BF 2
1
FH =
同理可证△AEF ∽△ADH
∴
BF 2
1AF
FH
AF ED AE ==
∴BF
AF
2ED AE =，即ED AF 2BF AE ?=? 32. 解：（1）0100b 16a 12b a 2 2
=+--+ 即0)8b ()6a (22=-+-
∴a=6，b=8
解不等式组
+<+->-21x 63x 24x 3
1
x 2
解得
11x 2
5
<< ∴c=10，∴2
2
2
c b a =+ ∴△ABC 是直⾓三⾓形
（2）由（1），得24ab 2
1
S ABC ==
33. 证明：过E 作EK//BD ，则△BCD ∽△ECK ∴
DC DK
BC BE = ∵EK//BD ∴
AD
DK
AF EF = ∵BD 为AC 边上的中线，∴AD=DC ，∴
AF EF BC BE =，∵BE=AB ，∴AF
EF
BC AB = 34. 解：∵∠APB=90°，AP=PB=BC=CD ，∴AB=2AP 。

在△ABC 和△DBA 中，∠ABC=∠ABD ，
2
1
AP 2AP 2BD AB ,21AB BC =
== DBA ABC ,BD
AB
AB BC ??∴=∴
∽ 35. 证明：∵BE ⊥AC ，∴∠ABE+∠BAE=90° 同理，∠H+∠HAF=90°，
∴∠ABE=∠H ，⼜∠BFG=∠HFA ，
∴△BFG ∽△HFA ，∴BF ：HF=FG ：AF. ∴BF ·AF=FG ·FH. Rt △ADB 中，DF 2=BF ·AF ，∴DF 2=FG ·FH. 36. 解：（1）∵四边形DEFG 为矩形，∴DG//EF.
∴△ADG ∽△ABC ，∴
BC DG
AP AM = ∵AM=AP －MP ，MP=DE=x
y
)
a x 0(x a h
hx y a
x h x y h 2<<-=∴=-
∴
（2）假设存在这样两个不同的矩形，设它们的⾯积分别是y 1、y 2，对应的DG 的长分别是x 1、x 2（x 1≠x 2），则S △ABC =S 矩形1+S 矩形2。

2
22211x a
h hx x a h hx ah 21-+-=∴ 02a x 2a x 2
221=??? ??-+??? ?
-∴
2
a
x x 21=
=∴这与x 1≠x 2⽭盾，故不存在满⾜条件的矩形
x
5
12
x 256S S S 24
x 5
24
x 256)x 10(10024S 10x 1024S AB P B S S ABC P BQ ,AC //P Q x 5
1224)x 10(512S AB
:P B S :S 2PBQ PBC PCQ 22PBQ 2
PBQ
2
ABC PBQ PBC ABC PBC +-=-=∴+-=-=∴?
-=?
=∴
∴-=-=
∴=即∽即)10x 0(x 5
12
x 256y 2<<+-
=。