第八章 第六节

则 PQ x2 (y 2)2
2(y 1)2 3b2 6 b y b.
若b＜1，则-b＞-1，
当y=-b时,| PQ |max 2b 12又b3b＞2 06，得3,b=1(舍
去),
若b≥1，则-b≤-1，
当y=-1时，PQ max
程为 x2 y2 1.
3
2112 得 3bb=2 16,∴椭3, 圆C的方
∴|PF1||PF2|=2b2,
∴
S = VPF1F2 |P12F1||PF2|=
×21b2=b2=9.
2
∴b=3.
答案:3
【互动探究】将本例题(2)中条件“
uuur PF1
uuur PF2
”“△PF1F2的面
积为9”分别改为“∠F1PF2=60°”“ SVPF1F2 ”3 ,则3 结果如
何?
【解析】由题意得|PF1|+|PF2|=2a,
SVOAB
1 2
AB
d
再mm根22据nn2M21(m, ,n)在椭圆上，
m2 n2 1,即n因2 而1 m2 .
3
3
2 m2
SVOAB
3 1 2
m2
3
2
2 m2 3 1 2 m2
3
1， 2
从而确定出m，n的值.问题得解.
【规范解答】(1)由几何性质知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,
【提醒】当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时，可设为
(m＞x2 0,ny2＞01,m≠n)，也可设为Ax2+By2=1(A＞0,B
mn
＞0且A≠B).
2.利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)注意椭圆几何性质中的不等关系. 在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经 常用到椭圆标准方程中x,y的范围，离心率的范围等不等关系. (2)利用椭圆几何性质的技巧. 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当 涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们 之间的内在联系.
轨迹方程为________.
(2)(2013·镇江模拟)已知F1,F2是椭圆C:
x2 a2
y2 b2
1
(a＞b＞0)
的两个焦点,P为椭圆C上的一点，且
uur uuur PF1 PF2.
若△PF1F2的面
积为9,则b=_________.
【思路点拨】(1)先寻找到△ABC的重心与两定点B,C的关系， 再根据椭圆的定义求出轨迹方程. (2)关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而依据定义有|PF1| +|PF2|=2a,再利用PuuFur1 Pu求uFur2 出|PF1||PF2|，即得b值.
5
5
5
当焦点在y轴上时,m＞5，a2=m,b2=5，c2=m-5,
又 e 10 ， m 解5得 10 ,
5
m5
综上可知m=3或25 .
3
答案: 3或 25
3
m 25 . 3
5.已知椭圆的短轴长为6，离心率为 4， 则椭圆的一个焦点到
5
长轴端点的距离为________.
【解析】因为椭圆的短轴长为6，所以b=3.
5 m m 3,
故方程 x2 y表2 示椭1 圆,可得-3＜m＜5成立，但
5m m3
-3＜m＜5时,如m=1却不表示椭圆,故选B.
4.已知椭圆
x2 y2
1
的离心率 e
10 ，则m的值为_______.
5m
5
【解析】当焦点在x轴上时,0＜m＜5，a2=5,b2=m,c2=5-m,
又e 10 , 5 解m 得 m1=0 ,3.
169 144
a2 c2
132 52 12.
3.“-3＜m＜5”是“方程 x2 y2 1表示椭圆”的( )
5m m3
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
【解析】选B.方程 x2 y表2 示椭1 圆，
5m m3
5 m＞0,
则 m 3＞0, 3＜m＜5且m 1.
第六节 椭 圆
1.椭圆的定义
设F1,F2，M分别为平面内的两个定点与动点，若___________=2a， 且|M2Fa1＞|+||FM1FF22||，则点M的轨迹为椭圆,_________叫做椭圆的焦点， 两焦两点个间定的点距离|F1F2| 叫做椭圆的_焦__距__.
2.椭圆的标准方程和几何性质 图形
又∠F1PF2=60°,
∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2,
∴(PF1+PF2)2-3|PF1||PF2|=4c2,
∴3|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2,
∴|PF1||PF2|=
4 b2, 3
SVPF1F2
1 2
PF1
PF2
sin60
1 2
4 3
①
又因为离心率为 4，所以 c 4 .
②
5
a5
又因为a2=b2+c2,
③
解①②③组成的方程组得：a=5,c=4.
所以，焦点到长轴端点的距离为：a+c=9或a-c=1.
答案:9或1
考向 1 椭圆的定义及应用
【典例1】(1)(2013·石家庄模拟)在△ABC中，点B(-12,0),
C(12,0),且AC,AB边上的中线长之和等于39,则△ABC的重心的
2 1 2 m2 3
2
当且仅当 1 2m2 ,即m2 3 , n2 1 ,亦即m 6 , n 2
3
22
2
2
时,(S△OAB)max=1 .
2
M( 6 , 2 )或M( 6 , 2 ).
22
22
显然存在这样的点 M( 6 , 2 )或M( 6 , 或2 )或M( 6 , 2 )
22
②假设存在点M(m,n)满足题意,则m2 n2 1,
即 n2 1 m2 .
3
3
设原点到直线l:mx+ny=1的距离为d,
则d 1 . m2 n2
AB 2 1 d2 2
m2 n2 1 m2 n2 .
SVOAB
1 2
AB
d
m2 n2 1 m2 n2
2 m2 3
2 m2 3
1.
1 2 m2 3
1(a＞b＞0)的左、
右顶点分别是A,B，左、右焦点分别是F1，F2，若|AF1|,|F1F2|,
|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_______.
(2)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:
x2 a2
y2 b2
1(a＞b＞0)的离心率
e
2，且椭圆C上的点到Q(0，2)
22
22
M( 6 , 使2S)△，AOB最大，最大值为
1.
22
2
【拓展提升】 1.用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤 (1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上， 还是两个坐标轴都有可能. (2)设方程：根据上述判断设出方程. (3)找关系：根据已知条件，建立关于a,b,c的方程组. (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
2.椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距
离和是26,则椭圆的方程为( )
A x2 y2 1
169 144
B x2 y2 1
144 169
C x2 y2 1
169 25
D x2 y2 1
144 25
【解析】选A.已知c=5,2a=26.∴a=13b,
又焦点在x轴上，故方程为 x2 y2 1.
其中心坐标为(0,0)，长轴长为 2 3焦距1，为2,
故 a 3,c 1, 所以离心率 e c 3 .
a 3
因为λ≥1,所以 e (0, 3 ］，
3
即点P轨迹的离心率的取值范围为(0, 3 ］.
3
考向 2 椭圆的标准方程与几何性质
【典例2】(1)(2012·江西高考)椭圆
x2 a2
y2 b2
3
的距离的最大值为3.
①求椭圆C的方程；
②在椭圆C上，是否存在点M(m,n)使得直线l:mx+ny=1与圆
O:x2+y2＝１相交于不同的两点A,B，且△OAB的面积最大？若
存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请
说明理由.
【思路点拨】(1)根据椭圆的几何性质，利用数形结合的思想,
a
a
a
b a
椭圆就越扁.
(4)正确.由椭圆的对称性知,其关于原点中心对称,也关于两坐标 轴对称. 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√
1.已知椭圆 x2 y2 1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3,则
25 16
P到另一个焦点F2的距离为( )
(A)2
(B)3
(C)5
(D)7
【解析】选D.∵a=5,且|PF1|=3,|PF1|+|PF2|=10,∴|PF2|=103=7.
169 25
答案: x2 (yy2 ≠01 )
169 25
uur uuur
(2)由题意知|PF1|+|PF2|=2a,PF1 PF2,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,
∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2,
∴2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2.
标准 方程
___xa_22 __by_22___1_(a＞b＞0)
__ay_22 __xb_22___1_(a＞b＞0)
范围
_-_a_≤x≤_a_ _-_b_≤y≤_b_
_-_b_≤x≤_b_ _-_a_≤y≤_a_
对称性
对称轴：_坐__标__轴__ 对称中心：_原__点__
顶点
AB11_((__-0__a，__，__-__0b__))__，，BA22
|F1B|=a+c,又三者成等比数列,
所以|F1F2|2=|AF1||F1B|,
即4c2=a2-c2,a2=5c2,所以e2 1 ,
5 e 5 .
5
答案: 5
5
(2)①由 e c
a
a2 b2 a2
2， 3
得 a ∴3b椭，圆C:
x2 3b2
y2 b2
1，
即x2+3y2=3b2.
设P(x,y)为椭圆C上任意一点,
将|AF1|,|F1F2|,|F1B|用含a,c的代数式表示，再由其成等比数 列构建a,c的方程,转化为关于离心率e的方程，得e. (2)①先根据 e 将2，待定系数a用b表示，再根据椭圆C上任
3
意一点P(x,y)满足椭圆C的方程，将|PQ|表示为y的函数，求其
最大值，从而求出b,得C的方程;
②可求出原点到直线l的距离,进而求出|AB|的长，即可求出
_(_a_，__0_)_ _(_0_，__b_)_
A1 _(_0_，__-_a_)_，A2 _(_0_，__a_)_ B1 _(_-_b_，__0_)_，B2 _(_b_，__0_)_
性 质轴
长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|=2c
离心 率
e= c ∈_(_0_，__1_)_ a
b2
3 2
3 b2 3 3
3,b 3.
【拓展提升】 (1)
(2)焦点三角形的应用 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三 角形”，利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求 |PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等. 【提醒】利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a＞ |F1F2|这一条件.
【规范解答】(1)如图,设M是△ABC
的重心，BD是AC边上的中线，CE是
AB边上的中线,
由重心的性质知 BM 2 BD ,
3
CM 2 CE . 3
于是 MB MC 2 BD 2 | CE |
3
3
2 BD | CE | 2 39 26.
3
3
又26＞|BC|=24,
根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为焦点的椭圆. ∵2a=|MB|+|MC|=26,∴a=13. 又2c=|BC|=24,∴c=12. ∴b2=a2-c2=132-122=25. 故所求的轨迹方程为 x2 y(y2 ≠ 10).
【解析】(1)错误.由椭圆的定义知,当该常数大于|F1F2|时，
其轨迹才是椭圆,而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2,常
数小于|F1F2|时,不存在图形.
(2)正确.由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a,
又|F1F2|=2c,∴|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c.
(3)错误.因为 e c a2 b2所以1,c 的关系
a2=_b_2_+_c_2
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是 椭圆.( ) (2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其 中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).( ) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( ) (4)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.( )
【变式备选】已知动点P到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离
之和为 2 3 1，则点P轨迹的离心率的取值范围为( )
A［ 3 ,1)
3
C(0, 3 ］
3
B( 3 , 3］
32
D( 3 ,1)
2
【解析】选C.由已知，到两定点F1(-1,0)，F2(1,0)的距离之和
为 2 3的(点的1) 轨迹是一个椭圆,