4.4 一次函数的应用(第3课时) 教学设计

第四章一次函数
4. 一次函数的应用（第3课时）
枝阳中学禄文夫
一、学生起点分析
在前几节课，学生已经分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛．在此基础上，通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用．
二、教学任务分析
本节课是北师大版义务教育教科书八年级（上）第四章《一次函数》第四节的第3课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题．和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础．
教学目标
1.进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；
2.在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维；
3.在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识．
4.在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣．
教学重点
一次函数图象的应用
教学难点
从函数图象中正确读取信息
三、教法学法
1．教学方法：“问题情境—建立模型—应用与拓展”
2．课前准备：
教具：教材，课件，电脑
学具：教材，练习本，铅笔，直尺
四、教学过程：
本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三
环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置．
第一环节：情境引入
内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,
按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克
数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所
示,结合图象回答下列问题.
(1)农民自带的零钱是多少?
(2)试求降价前 y 与 x 之间的关系
(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多
少?
(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆?
活动目的：通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习。

活动效果：由于问题与上一课时问题相近，学生很快明确并解决了问题。

第二环节：问题解决
内容1：例1
小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见
面，上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，
沿景区公路去“飞瀑”，车速为 36km /h ，小慧
也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车
沿景区公路去“飞瀑”，车速为26km /h ．
（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草
甸”？
（2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”
还有多少千米？
分析：
当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析法？
解：设经过t 时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为1S 、2S ，
由题意得：t S 361=，10262+=t S 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得
⑴两条直线t S 361= ，10262+=t S 的交点坐标为（1，36）
这说明当小聪追上小慧时，1236km S S ==，即离“古刹”36km ，已超过35km ，也就是说，他们已经过了“草甸”
⑵当小聪到达“飞瀑”时，即145km S =，此时242.5km S = ．
所以小慧离“飞瀑”还有45－42.5=2.5（km ）
思考：用解析法如何求得这两个问题的结果？小聪、小慧运行时间与路程之间的关系式分别是什么（小聪的解析式为t S 361= ，小慧的解析式为10262+=t S )？
活动目的：培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识．通过问题串的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决这个问题．在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力．
说明：在这个环节的学习过程中，如果学生入手感到困难，可用以下问题串引导学生进行分析。

⑴两个人是否同时起步？
⑵在两个人到达之前所用时间是否相同？所行驶的路程是否相同？出发地点是否相同？两个人的速度各是多少？⑶这个问题中的两个变量是什么？它们之间是什么函数关系？⑷如果用S 表示路程，t 表示时间，那么他们的函数解析式是一样？他们各自的解析式分别是什么？
内容2：深入探究
例2 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A 正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇 B 追赶（如图），下图中1l ， 2l 分
别表示两船相对于海岸的距离s （海里）
与追赶时间t （分）之间的关系．
根据图象回答下列问题：
（1）哪条线表示B 到海岸的距离与时间之间的
关系？
解：观察图象，得当0=t 时，B 距海岸0
n mile ，即0=S ，故1l 表示B 到海岸的距离与追赶时间
之间的关系；
（2）A ，B 哪个速度快？ 解：从0增加到10时，2l 的纵坐标增加了2，而1l 的纵坐标增加了5，即10 min 内，A 行驶了2海里，B 行驶了5 n mile ，所以B 的速度快．
（3）15 min 内B 能否追上A ？
解：可以看出，当15=t 时，1l 上对应点在2l
上对应点的下方，
海 岸
公 海 A
B
（4）如果一直追下去，那么B 能否追上A ？
解：如图1l ，2l 相交于点P ．因此，如果一直追
下去，那么B 一定能追上A ．
（5）当A 逃到离海岸2l 海里的公海时，B 将无
法对其进行检查．照此速度，B 能否在A 逃到公
海前将其拦截？
解：从图中可以看出，1l 与2l 交点P 的纵坐标小
于2l ，这说明在A 逃入公海前，我边防快艇B 能
够追上A ．
活动目的：培养学生良好的识图能力，进一步体会数与形的关系，建立良好的知识联系．
说明：学生在教师的引导下，逐步形成了良好的识图能力．
第三环节：反馈练习
内容：观察甲、乙两图，解答下列问题
1．填空：两图中的（ ）图比较符合传统寓言故事《龟免赛跑》中所描述的情节．
3．根据1中所填答案的图象求：
（1）龟免赛跑过程中的函数关系式（要注明各函数的自变量的取值范围）；
（2）乌龟经过多长时间追上了免子，追及地距起点有多远的路程？
4．请你根据另一幅图表，充分发挥你的想象，自编一则新的“龟免赛跑”的寓言故事，要求如下：
（1）用简洁明快的语言概括大意，不能超过200字；
（2）图表中能确定的数值，在故事叙述中不得少于3个，且要分别涉及时间、路和速度这三个量．
意图：旨在检测学生的识图能力，可根据学生情况和上课情况适当调整。

说明：练习注意了问题的梯度，由浅入深，一步步引导学生从不同的图象中获取信息，对同学的回答，教师给予点评，对回答问题暂时有困难的同学，教师应帮助他们树立信心。

5. 如图，A l 与 B l 分别表示A 步行与B 骑车同一路上行驶的路程S 与时间t 的关系．
（1）B 出发时与A 相距多少千米？
（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是多少小时？
（3）B 出发后经过多少小时与A 相遇？ （4）若B 的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进， 那么经过多少时间与A 相遇？相遇点离B 的出发点多远？
你能用哪些方法解决这个问题？在图中表示出这个相遇点C ．
6.甲．乙两班参加植树活动．乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树．设甲班植树的总量为y 甲（棵），乙班植树的总量为
y 乙（棵），两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为x （时），
y 甲．y 乙分别与x 之间的部分函数图象如图所示．
（1）当06x ≤≤时，分别求y 甲．y 乙与x 之间的函数关系式．
（2）如果甲．乙两班均保持前6 h 的工作效率，通过计算说明，当8x =时，甲．乙两班植树的总量之和能否超过260棵．
（3）如果6 h 后，甲班保持前6 h 的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2小时，活动结束．当8
x =时，两班之间植树的总量相差20棵，求乙班增加
人数后平均每小时植树多少棵．
第四环节：课时小结
y )
内容：本节课我们学习了一次函数图象的应用，在运用一次函数解决实际问题时，可以直接从函数图象上获取信息解决问题，当然也可以设法得出各自对应的函数关系式，然后借助关系式完全通过计算解决问题。

通过列出关系式解决问题时，一般首先判断关系式的特征，如两个变量之间是不是一次函数关系？当确定是一次函数关系时，可求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果．
意图：引导学生自己小结运用一次函数解决实际问题的主要方法。

说明：让学生畅所欲言，相互进行补充，尽量用自己的语言进行归纳总结。

第五环节：作业布置
作业：习题6.7
六、教学设计反思
（1）设计理念
函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，是初中阶段数学学习的一个重要内容．在本节教学设计中，进一步体现了“问题情境——建立数学模型——应用与拓展”的模式．让学生从实际问题中抽象出函数及一次函数的概念、图象、性质，进而利用一次函数及其图象解决有关现实问题．
（2）突出重点、突破难点的策略
本节课是在学生已经掌握了一次函数的图象和有关性质的基础上，对有关知识进行应用和拓展．在教学过程中，教师应通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生进行探究活动．在师生互动、生生互动的探究活动中，提高学生解决实际问题的能力．
附：板书设计。