概率强化教程解析考研
考研概率强化讲义(全题目)资料
考研概率与数理统计第一章 随机事件和概率第一节 基本概念例题例1．1：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问总共输的场次是多少？例1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．4：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。
例1．5：两线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2…，A 6，线段PQ 上有7 个点B 1，B 2，…，B 7。
若将每一个A i 和每一个B j 连成不作延长的线段A i B j (i=1,2,…6;j=1,2,…,7),则由这些线段 A i B j 相交而得到的交点最多有A ． 315个B ． 316个C ． 317个D ． 318个例1．6：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？例1．7：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。
例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序）151513=∙C C 2112121515=∙-∙C C C C例1．9：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序）121413=∙C C 1811121415=∙-∙C C C C例1．10：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序）121413=∙C C 92225=-C C 例1．11：化简 (A+B)(A+B )(A +B)例1．12：)()()(C B C A C B A = 成立的充分条件为： (1)C A ⊂ (2) C B ⊂例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？例1．15：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的概率？例1．16：袋中装有α个白球及β个黑球。
强化学习算法中的概率图模型方法详解(五)
在强化学习算法中，概率图模型是一种常用的方法之一。
概率图模型是指用图来表示随机变量之间的依赖关系的一种模型。
它将变量之间的关系用图的形式表示出来，并通过概率分布来描述这些变量之间的关系。
在强化学习中，概率图模型可以用来表示状态之间的依赖关系，并且可以通过这些关系来进行决策和预测。
在强化学习中，智能体需要根据环境的状态来做出决策，以获得最大的累积奖励。
概率图模型可以帮助智能体对环境的状态进行建模，并且可以通过这些模型来进行决策。
在概率图模型中，有两种常用的表示方法：贝叶斯网络和马尔可夫网络。
贝叶斯网络是一种有向图模型，它用有向边表示变量之间的依赖关系。
在贝叶斯网络中，每个节点表示一个随机变量，有向边表示这个节点依赖于其他节点。
通过这种方式，可以用贝叶斯网络来表示状态之间的依赖关系，并且可以通过这些关系来进行决策和预测。
马尔可夫网络是一种无向图模型，它用无向边表示变量之间的依赖关系。
在马尔可夫网络中，每个节点表示一个随机变量，无向边表示这些节点之间的相关性。
通过这种方式，可以用马尔可夫网络来表示状态之间的依赖关系，并且可以通过这些关系来进行决策和预测。
在强化学习中，概率图模型可以用来表示智能体与环境之间的状态转移关系。
这些状态转移关系可以通过贝叶斯网络或马尔可夫网络来表示，然后可以通过这些网络来进行决策和预测。
通过这种方式，智能体可以更好地理解环境的状态，并且可以更准确地做出决策。
除了表示状态之间的依赖关系，概率图模型还可以用来表示智能体对环境的观测。
在强化学习中，智能体通常不能直接观测环境的状态，而是通过观测来了解环境的状态。
概率图模型可以用来表示智能体观测到的信息，并且可以通过这些信息来进行决策和预测。
通过概率图模型，智能体可以更好地理解环境的状态和观测，并且可以更准确地做出决策。
通过这种方式，概率图模型可以帮助强化学习算法更好地适应不同的环境，并且可以更有效地学习和改进。
总的来说，概率图模型是强化学习算法中一种非常重要的方法。
方浩概率强化讲义
35
D x, y 0 x 1,| y | x 上 服 从 均 匀 分 布 ，
求随机变量Z 2X 1的方差D(Z ).
20
【 例 4.14 】 设 X 的 分 布 律 为
PX
k
2k 3k1
,k
0,1, 2
，求期望与方
差E X ,DX .
21
【例】设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分
布，则E X 2e2X ___
Xi
则(
)
25
(A)Cov
X1
,Y
2
n
(B)Cov X1,Y 2
(C)
D
X1
Y
n
n
2
2
(D)
D
X1
Y
n
n
1
2
26
【 例 】 设 随 机 变 量 X ,Y 的 概 率 密 度 为
f
x,
y
1,
0,
y x,0 x 1 其它
，
求
EX , EY ,Cov X ,Y
27
【例】随机变量 X ,Y 分别服从正态分布，
且 X 1,32 ，Y 0,42 ，且相关系数XY 0.5，
令Z X Y
32
（1）求E Z , D Z
（2）求 X , Z 的相关系数，别说明是否独立 （3）求Z 的分布 （4）随机变量2X Y 与 X Y 的相关系数
28
【例 4.12】设随机变量 X N 0,1,Y
且相关系数XY 1，则（ ）
EX ab
2
G p
D
X
(1
p) p2
U a,b
考研数学中的概率相关题解题技巧总结
考研数学中的概率相关题解题技巧总结概率是数学中的一门重要分支，也是考研数学中的一项重要内容。
在考研数学中，概率相关题目常常是考生们的难点和痛点，需要灵活运用一些解题技巧来应对。
本文将总结一些考研数学中概率题的解题技巧，希望对广大考生有所帮助。
首先，针对条件概率问题，我们需要注意条件概率的计算方法。
有些条件概率题目会给出一些特定条件，我们需要根据条件进行适当的转化，然后运用条件概率公式来计算概率。
在解题过程中，可以尝试使用树状图的方法来辅助计算，清晰地展示出条件和事件之间的关系，更容易理解和计算。
其次，对于互斥事件和相互独立事件的题目，我们需要明确它们的定义，并能够灵活运用这些概念。
互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，例如掷一颗骰子出现1和出现6就是互斥事件；相互独立事件指的是两个事件之间相互没有影响，例如掷一颗骰子出现1和掷一枚硬币正面朝上就是相互独立事件。
在解题过程中，需要根据题目的条件来判断事件之间的关系，并运用互斥事件和相互独立事件的性质来计算概率。
第三，对于排列组合问题，我们需要熟练掌握排列和组合的计算方法。
排列是指从若干个元素中取出一部分进行有序排列，组合是指从若干个元素中取出一部分进行无序组合。
在解题过程中，需要根据题目的条件判断是应用排列还是组合，然后运用相关计算公式进行计算。
接下来，针对条件概率的独立性问题，我们需要明确条件概率的独立性定义，并能够利用条件概率的性质进行推导。
在解题过程中，如果条件概率的独立性已经给出，并且能够推导出条件概率的乘法公式，那么我们可以直接运用该公式来计算概率；如果条件概率的独立性没有给出，但是可以通过题目的条件进行推导出来，那么我们就要运用相关条件和概率公式进行计算。
最后，对于随机变量的题目，我们需要对离散随机变量和连续随机变量有一定的了解，并能够根据随机变量的性质进行相关计算。
在解题过程中，需要根据题目给出的随机变量的分布情况，计算相关概率或期望。
清华大学考研数学强化班讲义-概率
1
2 2
n
1 1
n n 两种系统图
2 图 1.1
系统 b
二．选择题 例 1.5（类似 232）下列命题中不成立的是 ( (A) P{( A ∪ B)( A ∪ B)( A ∪ B )( A ∪ B )} = 0; (B) P{ AB ∪ A B ∪ AB ∪ A B } = 1 ; (C) P ( A ∪ BC ) = P ( A B C ) ; ).
例 1.3（230）两人相约于晚 7 点到 8 点间在某处会面，到达者等足 20 分钟 后便立即离去, 求两人能会面的概率 p =_______ 【 5/9】 （类似题补充） 在区间（0，1）中随机的取两个数，则这两个数之差的绝 1 对值小于 的概率为______。 【 3/4】 2 例 1.4 （231） 设某类元件的可靠度 （即元件能正常工作的概率） 均为 r ∈(0,1), 且各元件能否正常工作是相互独立的. 2 n 1 现在将 2n 个元件组成下面图示的两种 系统 a 系统，则系统 a 的可靠度 =_______ , 系统 b 的可靠度 =_______ . 【 r (2 − r ) , r (2 − r ) 】
【3/4】
3.（2007）（负二项分布）某人向统一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为
p (0 < p < 1) ，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为：(
(A) 3 p (1 − p )
2 2
) 。
(B) 6 p (1 − p )
2 2
2
(C) 3 p (1 − p )
(D) 6 p (1 − p )
注：与例 1.9 类似的例题: 设 A, B, C 是三个相互独立的随机事件, 且 0 < P(C ) < 1 。 则在下列给定的四 对事件中不相互独立的是 ( (A) A ∪ B 与 C ; ) (B) AC 与 C ;
2025年考研概率论知识点重点解析
2025年考研概率论知识点重点解析对于准备 2025 年考研的同学来说，概率论是数学考试中不可或缺的一部分。
掌握好概率论的知识点，不仅能够在考试中取得优异的成绩，也为后续的学习和研究打下坚实的基础。
下面，我们就来详细解析一下 2025 年考研概率论的重点知识点。
一、随机事件与概率这是概率论的基础部分。
首先要理解随机事件的概念，包括必然事件、不可能事件和随机事件。
对于概率的定义，要熟悉古典概型和几何概型的计算方法。
在计算概率时，要注意区分排列组合的运用。
互斥事件和对立事件是常考的知识点。
互斥事件指的是两个事件不能同时发生，而对立事件则是互斥事件的特殊情况，即除了这两个事件外，没有其他可能的结果。
条件概率也是重点之一，要掌握条件概率的计算公式以及乘法公式和全概率公式的应用。
二、随机变量及其分布随机变量是将随机试验的结果数值化，分为离散型随机变量和连续型随机变量。
对于离散型随机变量，要熟悉常见的分布，如二项分布、泊松分布等，掌握它们的概率质量函数、期望和方差的计算。
连续型随机变量则要重点掌握正态分布，理解正态分布的概率密度函数的性质，以及标准正态分布与一般正态分布的转换。
此外，均匀分布和指数分布也是常见的考点。
在求随机变量的函数的分布时，要掌握分布函数法和公式法。
三、多维随机变量及其分布这部分内容相对较难，需要理解多维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布的概念和关系。
对于二维正态分布，要掌握其性质和相关计算。
独立性是多维随机变量的重要概念，要能够判断两个随机变量是否独立，并利用独立性简化计算。
四、随机变量的数字特征期望和方差是最基本的数字特征，要熟练掌握它们的性质和计算方法。
对于常见分布的期望和方差，要能够直接运用公式计算。
协方差和相关系数用于描述两个随机变量之间的线性关系，要理解它们的定义和性质，以及与独立性的关系。
矩和中心矩也是可能考查的知识点，要了解它们的概念。
五、大数定律和中心极限定理大数定律说明了在大量重复试验中，随机变量的平均值趋近于期望值。
考研概率论知识点解析
考研概率论知识点解析在考研数学中，概率论是一个重要的组成部分。
对于许多考生来说，概率论的知识点可能会让人感到有些困惑和难以掌握。
接下来，咱们就一起来详细地梳理一下概率论中的关键知识点，帮助大家更好地理解和应对考试。
一、随机事件与概率随机事件是概率论中最基本的概念之一。
简单来说，随机事件就是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事情。
而概率则是用来衡量随机事件发生可能性大小的数值。
在计算概率时，我们需要掌握古典概型和几何概型。
古典概型是指试验中所有可能结果的个数是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。
例如，从一个装有5 个红球和3 个白球的袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率就可以用古典概型来计算。
几何概型则是当试验的可能结果是无限的，且每个结果出现的可能性相等时使用。
比如，在一个时间段内等待公交车，计算等待时间小于某个值的概率。
此外，还要了解条件概率和事件的独立性。
条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
而如果两个事件的发生互不影响，就称它们是相互独立的事件。
二、随机变量及其分布随机变量是用来描述随机现象结果的变量。
它可以是离散型的，也可以是连续型的。
离散型随机变量常见的分布有二项分布、泊松分布等。
二项分布通常用于描述 n 次独立重复试验中成功的次数。
例如，抛硬币 10 次，正面朝上的次数就服从二项分布。
泊松分布则常用于描述在一定时间或空间内稀有事件发生的次数。
连续型随机变量中，最重要的分布是正态分布。
正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，很多实际问题中的数据都近似服从正态分布。
其概率密度函数具有特殊的形式，并且具有对称性和集中性等特点。
掌握随机变量的分布函数和概率密度函数的性质和计算方法是非常重要的。
三、多维随机变量及其分布在实际问题中，往往需要同时考虑多个随机变量。
多维随机变量包括二维随机变量和多维随机变量。
对于二维随机变量，我们需要了解其联合分布函数、边缘分布函数、条件分布等概念。
考研数学概率知识点总结
考研数学概率知识点总结概率是数学中一个非常重要的概念，在考研数学中也是一个必考的知识点。
概率论是数学的一个分支，研究随机现象的规律性和统计规律性。
考研数学中的概率知识点主要包括基本概率公式、条件概率、随机变量和概率分布、大数定律和中心极限定理等内容。
本文将对这些知识点进行总结和梳理，帮助考生更好地理解和掌握这些知识。
一、基本概率公式1.1 基本概率公式的含义基本概率公式是描述事件发生概率的基本规律，通过公式可以计算事件发生的概率，是概率论中最常用的基本概念之一。
1.2 基本概率公式的公式设A为一个随机事件，P(A)表示事件A发生的概率，则基本概率公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，n(A)表示事件A发生的样本点个数，n(S)表示样本空间Ω的样本点个数。
1.3 基本概率公式的应用基本概率公式可以应用于各种随机事件的概率计算，如掷骰子、抽扑克牌等。
通过基本概率公式，可以准确地计算出事件发生的概率，为后续的概率计算提供基础。
二、条件概率2.1 条件概率的定义条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率可以表示为P(A|B)。
2.2 条件概率的公式条件概率的公式为：P(A|B) = P(AB) / P(B)其中，P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
2.3 条件概率的性质条件概率具有以下性质：（1）非负性：条件概率始终为非负数。
（2）规范性：如果事件A包含在事件B中，那么P(A|B) = 1。
（3）对称性：P(A|B) ≠ P(B|A)。
（4）加法规则：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB)。
三、随机变量和概率分布随机变量是指在一次试验中所观察到的随机现象的数值结果，它的取值依赖于试验的结果。
概率分布是描述随机变量取值概率的规律性。
在考研数学中，常见的随机变量包括离散型随机变量和连续型随机变量。
3.1 离散型随机变量离散型随机变量是指在一次试验中所观察到的结果有限且可数，其概率分布可以通过概率质量函数（PMF）来描述。
方浩概率强化讲义
(1)若随机变量 X ,Y 相互独立，且数学期望
EX , EY 都存在，证明 E XY E X E Y
(2) 若
f
x,
y
2e x2
y
,
0,
学期望E XY Y
x 0, y 0 ， 求 数
其它
19
【 例 】 设 二 维 随 机 变 量 (X ,Y ) 在 区 域
第四章 随机变量的数字特征
1
（一）期望与方差 1.[期望定义] 离散型（求和）
一维： E X xi pi i 1
二维：E Z E g( X ,Y ) g( xi , y j )pij i1 j1
2
连续型（积分）
一维：E X
x f ( x)dx
二维：
E Z E g(X ,Y )
（B）0.3
（C）0.7
（D）1
17
【例】设两个随机变量 X ,Y 相互独立，且都 服 从 均 值 为 0, 方 差 为 1 的 正 态 分 布 , 设
2 Z X Y
（1）求Z的概率密度 fZ z
(2) 求 EZ, DZ
18
【 例 】 随 机 变 量 (X ,Y ) 的 联 合 概 率 密 度 为
（A）PY 2X 1 1 （B）PY 2X 1 1 （C）PY 2X 1 1 （D）PY 2X 1 1
N 1,4，
29
【例】将一枚硬币重复掷n次，以 X 和Y 分别 表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和Y 的相关系数等于( )
A 1
B0
C 1
D1
2
30
【例】设将一颗骰子重复抛掷n次，随机变 量 X 表示点数小于 3 的次数，Y 表示点数不 小于 3 的次数 （1） X ,Y 是否独立，请说明理由 （2）说明 X Y 与 X Y 不相关 （3）求3X Y 与 X Y 的相关系数
专项突破海南省考研数学概率题型解析
专项突破海南省考研数学概率题型解析概率作为考研数学的一个重要考点，占据了很大的篇幅。
在海南省考研数学考试中，概率题型是必考的内容之一。
了解概率题的解题思路和常用方法，对于备考考生来说是至关重要的。
本文将针对海南省考研数学概率题型进行解析，为考生提供一些参考和指导。
一、基本概率问题的解决方法1.样本空间与事件的关系在解决概率问题时，首先要明确样本空间和事件的概念。
样本空间是指一个试验可能出现的所有结果的集合，而事件是样本空间的一个子集。
样本空间用Ω表示，事件用A，B等表示。
在解题过程中，我们需要通过对样本空间的分析，确定事件的概率。
2.计算概率的方式计算概率的方式有两种：经典概型和统计概型。
经典概型是指每个基本事件出现的可能性相等的概率模型，如掷硬币、掷骰子等。
统计概型是指直接通过统计实验的结果来计算概率的模型，如抽样调查、实验观测等。
在解决问题时，我们需要根据具体情况选择使用哪种概率模型。
3.常用概率计算公式在解决概率问题时，我们会经常用到以下几个常用的概率计算公式：（1）概率的定义公式：P(A) = n(A)/n(Ω)，其中n(A)表示事件A中有多少个基本事件，n(Ω)表示样本空间Ω中有多少个基本事件。
（2）加法公式：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
（3）乘法公式：P(A∩B) = P(A)×P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A 发生的条件下，事件B发生的概率。
二、常见概率题型解析1.排列组合问题在概率题型中，排列组合问题经常出现。
例如，从n个元素中取出k个元素的排列组合数，可以使用n!/(n-k)!或C(n,k)来计算。
2.独立事件问题独立事件是指事件A的发生与事件B的发生相互独立，互不影响。
在解决独立事件问题时，我们可以使用乘法公式来计算概率。
3.条件概率问题条件概率是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
张宇考研数学概率论与数理统计强化9讲
阅读感受
《张宇考研数学概率论与数理统计强化9讲》是一本备受推崇的数学考研辅 导书籍，它的作者张宇教授以其独特的授课风格和深入浅出的讲解方式赢得了广 大考生的信赖和喜爱。这本书是张宇教授根据多年的教学经验与研究成果精心编 写的，对于备考研究生数学考试的学生来说，它无疑是一本极为宝贵的参考书籍。
在内容方面，《张宇考研数学概率论与数理统计强化9讲》包含了概率论与 数理统计两个部分，每个部分都包含了基础概念、解题方法、经典例题以及练习 题等多个方面的内容。作者通过生动的语言和详细的解释，使得复杂的概念和解 题方法变得易于理解。书中还提供了大量的例题和练习题，这些题目既有针对性 又有代表性，可以帮助学生在实践中加深对概念和解题方法的理解和应用。
张宇考研数学概率论与数理统计强 化9讲
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
关键字分析思维导图
知识
作者
张宇
数学
内容
部分
掌握
强化
考研
概率论 学生
提高
数学
帮助
强化
讲解
辅导
考研
分布
内容摘要
《张宇考研数学概率论与数理统计强化9讲》是一本专门针对考研数学中概率论与数理统计部分 的辅导书籍，由著名考研数学辅导专家张宇老师编写。本书以强化和提高概率论与数理统计部分 的知识水平为目标，通过9个主题的讲解，帮助学生更好地理解和掌握这一部分的知识点。
本书的内容分为两个部分，分别是概率论和数理统计。
在概率论部分，作者首先对随机事件和概率的概念进行了详细的解释，然后深入讲解了离散型随 机变量和连续型随机变量的概念及其分布，以及大数定律和中心极限定理等重要的概率论原理。 这些知识点都是概率论的基础，对于理解和掌握概率论的知识点至关重要。
考研数学冲刺阶段概率核心考点及题型
考研数学冲刺阶段概率核心考点及题型考研数学冲刺阶段概率核心考点及题型考生们在进入考研数学的冲刺阶段时，需要把概率的核心考点和一些必考的题型了解清楚。
店铺为大家精心准备了考研数学冲刺概率核心的要点和题型，欢迎大家前来阅读。
考研数学冲刺概率核心的复习重点和题型一、核心考点及常考题型分析1、随机变量及其分布在考试中，该考点所占比重很大，每年分值在12分左右。
核心考点：I、分布函数、分布律、概率密度的相关性质;II、联合分布、边缘分布与条件分布的计算;III、随机变量函数的分布以及随机变量独立性的判断;IV、常见分布的相关性质;以上考点中，要重点掌握边缘分布以及条件分布的定义与相关的计算公式、随机变量函数的分布，在历年考研数学中考查力度还是相当大的。
求解过程中重在理解分布函数的定义，尤其涉及到随机变量范围的讨论时，避免失误，各位考研君一定要多加注意!常考题型：I、有关分布函数、分布律、概率密度的相关性质的考察;II、离散型或连续型随机变量边缘分布、条件分布的计算;III、求解随机变量函数的分布。
1、数字特征考研中对数字特征的考察，频率也是很高的，在考试中，此考点一般与随机变量结合出题，每年的平均分值大概也在8分左右，所以考研的小伙伴更是不能忽视呦!核心考点：I、随机变量以及随机变量函数的期望、方差相关计算公式;II、数字特征的常用性质、常见分布的数字特征及运用;III、二维随机变量协方差、相关系数的计算及其性质;IV、独立性与不相关性的讨论;常考题型：I、直接考察数字特征的计算;II、考察数字特征的常用性质;对于该高频考点，公式多，记忆量大，所以要把相关的公式以及性质进行有效记忆，避免出现公式错用、混用的情况。
在考研中该考点与考点1经常结合出题，构成考研数学概率中的一道大题，各位考研君一定要提高警惕!2、参数估计参数估计是数理统计的重要内容，也是考试的重点，考研中对此考点的考查方式多以大题为主。
核心考点：点估计。
方浩概率强化讲义
2015考研数学综合强化课概率论与数理统计主讲老师：方浩1第一章随机事件与概率2（一）随机试验和样本空间1.[随机试验]2.[样本空间]: 随机试验所有可能发生的结果组成的集合[样本点]: 随机试验的每个可能结果3.[基本事件]:样本空间中的一个样本点组成的单点集4.[随机事件]:样本空间 的子集35.[必然事件]：随机试验中必然发生的事件，记作Ω.6.[不可能事件]：每次试验中一定不发生，记为φ.45 (二) 事件的关系和运算 1.[事件间的关系] (1) 包含： A B ⊃ (2) 相等： A B = (3) 和： A B (4) 积： A B(5) 差: =A B AB -(6)互斥(互不相容)：AB φ=.(7)对立： A B =Ω，A B φ=.记为B A =.6 2.[运算律](1)交换律：;A B B A A B B A == (2)结合律：()()A B C AB C =()()A B C AB C = (3)分配律：()()()A B C A B A C =(4)对偶律(摩根律)：,A B A B A B A B ==7 (三)概率的定义与性质 1.[概率的定义](1)非负性： ()0P A ≥.(2)规范性： ()1P Ω=.(反之不成立) (3)可列可加性：12,,A A 两两互不相容 1212()()()P A A P A P A =++8 2.[概率的性质](1)非负性： 0()1P A ≤≤.(2)规范性： ()0,()1P P ∅=Ω=.(3)有限可加性：12,,,n A A A 两两互不相容1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++.(4) ()1()P A P A =-.9 3.[基本公式][加法公式]()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()31231231,j()i i j i i P A A A P A P A A P A A A ==-+∑∑[减法公式]()()()()P A B P A P AB P AB -=-=[逆事件] ()1()P A P A =-10 （四）三大概型 1.古典概型()AA n P A n=Ω中基本事件的中基本事件 2.几何概型()A P A =Ω的度（或面积、体积）的度（或面积、体积）11 3.伯努利概型[定义]：随机试验只有两个可能结果：A 和A ；每次试验A 发生概率相等()P A p =[结论]：n 重伯努利试验，事件A 发生k 次的概率：(,)(1)(0,1,2,,)k k n kk n B n p C p p k n -=-= .（五）条件概率，乘法公式，独立性1.条件概率：()0P A>，A发生条件下B发生的概率() ()()P AB P B AP A=1213 2.条件概率的性质(1) 非负性：0(|)1P B A ≤≤ (2) 规范性：(|)1P A Ω=(3) 逆事件：(|)1(|)P A B P A B =- (4) 加法公式：121212(|)(|)(|)(|)P A A B P A B P A B P A A B =+- 减法公式：12112(|)()(|)P A A B P A B P A A B -=-14 3.[乘法公式]()()()P AB P B A P A =12121211()()()()n n n P A A A P A A A A P A A P A -=4.两个事件的独立性定义：()()()=,称事件,A B相互独立.P AB P A P B推论：设0()1<<，P A,A B独立()(|)(|)⇔==P B P B A P B A性质：,A B独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立155.三个事件的独立性1)()()()=；P AB P A P B2)()()()P AC P A P C=；3)()()()=；P BC P B P C4)()()()()=；P ABC P A P B P CA B C两两独立. 满足1-3：称三个事件,,A B C相互独立. 满足1-4：称三个事件,,1617 (六)全概率公式与贝叶斯公式 1.完备事件组：若事件1,n A A =Ω,1i j A A i j n φ=≤≠≤，称事件1,,n A A 是一个完备事件组.18 2.全概率公式：1()()()ni i i P B P A P B A ==∑.3.贝叶斯公式：()1()()()()j jj niii P B A P A P A B P A P B A ==∑[题型一概率的基本计算]A B C=【例】()___()()A AB C()()B A B C()()()C A B A C()()()D A B A C19【例】事件,A B满足1 ()()2P A P B==和()1P A B =则有( ) （A）A B=Ω（B）ABφ=（C）()1P A B=（D）()0P A B-=20【例1.2】设事件,A B互不相容,则（）()()0A P AB=()()()()=B P AB P A P B()()()1=-C P A P B()()1D P A B=2122 【例】设,Y X 为2个随机变量，且{}30,Y 07P X ≥≥=,{}{}4007P X P Y ≥=≥=则(){}max ,0=___P X Y ≥23 【例 1.15】设,,A B C 是随机事件，且()()()14P A P B P C ===,()()16P AC P BC ==,()0P AB =,求,,A B C 都不发生的概率24 【例】()()()0.3,0.4,0.5P A P B P AB ===,则()___P B A B =【例1.28，Z】设相互独立的事件A,B都不发生的概率是1，且A发生B不发生的概率与B发生A9不发生的概率相等，求A发生的概率2526 【例】()()111(),,432P A P B A P A B ===,则()___P A B =27 [题型二 三大概型]【例1.19】在区间()-1,1之间任取两个数,X Y ，则二次方程20t Xt Y ++=有两个正根的概率为____【例】设一厂家生产的每台仪器以概率0.7可直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后，以概率0.8出厂，以概率0.2定为不合格，不能出厂，现该厂生产了(2)台仪器(设各台生产n n≥过程相互独立).求(I)所有机器都能出厂的概率α.(II)其中恰好有两件能出厂的概率β.(III)至少有两件不能出厂的概率θ.2829 [题型三 条件概率与独立性]【P17，2】已知()01P B <<,()()()1212P A A B P A B P A B ⎡⎤+=+⎣⎦,则下列选项中正确的是（ ）（A ）()()()1212P A A B P A B P A B ⎡⎤+=+⎣⎦（B ） ()()()1212P A B A B P A B P A B +=+30 (C) ()()()1212P A A P A B P A B +=+(D) ()()()()()1122P B P A P B A P A P B A =+31【例】设,A B 是两个随机事件,()()01,0P A P B <<> ()()P B A P B A =则下列选项中正确的是___ ()()() A A B A B =P P()()()B A B A B ≠P P()()()()C AB A P B =P P()()()()D AB P A P B ≠P32【P22，2】设(|)(|)1P A B P A B += 则( )（A ） A,B 互不相容（B ）A,B 互逆 （C ）A,B 相互独立 （D ）A,B 不独立33【例1.11】将一枚硬币连续投掷两次，定义事件1A ：第一次出现正面，2A ：第二次出现正面，3A ：正反面各出现一次，4A ：两次都是出现正面，则下列说法正确的是（ ）（A ）123,,A A A 相互独立（B ）234,,A A A 相互独立（C ）123,,A A A 两两独立（D ）234,,A A A 两两独立【例】设,,A B C是三个相互独立的随机事件，且<<，则下列给定的四对事件中不一定相互0()1P C独立的是 ( )()A A B与C()B A C与C-与CC A B()D AB与C()34【题型四全概率公式与贝叶斯公式】【例1.8】在1,2,3,4中任取1个数为X，再从1,X中任取一个数为Y，则{}2___P Y==35【例】设工厂A,B的产品的次品率分别为1%和2%，现在从由产品A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取1件（1）求该产品是次品的概率（2）已知取出为次品，求该次品属于A生产的概率36【例】设有甲、乙两个箱子，甲箱中有m只白球，n个红球，乙箱中有a个白球，b个红球，现从甲箱中任意取出一只放入乙箱，再从乙箱中任取出一球，求（1）从乙中取出的是白球的概率（2）已知从乙中取出的是白球，从甲放入乙中的是白球的概率（3）已知从乙中取出的是白球，从甲放入乙中的是红球的概率37【例】甲乙两名运动员进行打靶训练，每次打靶甲中靶的概率为0.5，乙中靶的概率为0.3，甲乙两人都中靶的概率为0.2，每次打靶中只要有一人中靶就称为此次打靶合格，第n次()3n>打靶α=合格恰好是第3次合格的概率___383963。
余丙森概率论强化课课时
余丙森概率论强化课课时摘要：一、余丙森概率论强化课简介二、如何寻找余丙森概率论强化课视频资源三、余丙森概率论强化课程适合的人群四、余丙森概率论强化课的优点五、如何提高概率论学习效果正文：一、余丙森概率论强化课简介余丙森概率论强化课是针对考研数学概率论部分的一门课程，由知名讲师余丙森授课。
课程内容涵盖了概率论的基本概念、公式、方法和技巧，旨在帮助学员巩固基础知识，提高解题能力，顺利应对考研数学考试。
二、如何寻找余丙森概率论强化课视频资源1.硕士研究生：可以在高校内部的考研交流群、学术论坛等平台上寻找余丙森概率论强化课的视频资源。
2.零基础学员：可以在B站、优酷等视频网站上搜索相关课程，如“余丙森概率论强化课”、“余丙森概率论基础课”等关键词。
3.历年考研资料：可以在淘宝、闲鱼等购物平台上购买历年考研资料，其中可能包含余丙森概率论强化课的讲义和视频。
三、余丙森概率论强化课程适合的人群1.学术硕士：适合学术硕士阶段需要提高概率论研究能力和学术素养的学员。
2.专业硕士：适合注重实际应用能力，需要掌握概率论知识和技巧的专业硕士学员。
3.考研学子：适合准备参加考研数学考试，需要提高概率论部分分数的学员。
四、余丙森概率论强化课的优点1.深入浅出：余丙森老师讲解通俗易懂，适合零基础学员入门。
2.系统全面：课程涵盖概率论所有知识点，帮助学员建立完整的知识体系。
3.注重实战：课程中附有大量例题和习题，培养学员解题能力。
五、如何提高概率论学习效果1.做好笔记：上课时认真听讲，及时记录重点知识点和解题技巧。
2.勤加练习：课后多做习题，巩固课堂所学内容，提高解题速度和正确率。
3.及时复习：定期回顾所学知识，避免遗忘。
4.交流讨论：与同学或老师交流学习心得，互相解答疑惑，共同进步。
通过以上建议，相信大家在余丙森概率论强化课的学习中能够取得良好的成果，为考研数学考试做好充分准备。
余丙森概率强化例题讲解
余丙森概率强化例题讲解
余丙森是一个概率强化的例题，说明了在概率问题中如何利用计
算概率的方法来求解问题。
例题：
在一副扑克牌中，随机抽取5张牌，求得一副牌中包含四张A的概率。
解答：
首先，我们需要确定总的样本空间。
由于是从一副扑克牌中随机抽取5张牌，所以样本空间的大小为C(52,5)，即从52张牌中选出5张牌的
组合数。
接下来，我们需要确定事件A的样本空间大小。
事件A表示一副
牌中包含四张A的情况。
牌中有4张A，还需要从48张其他牌中选出
1张牌，在总共的五张牌中，从这5张牌中选择4张A，所以事件A的
样本空间大小为C(4,4) * C(48,1)。
最后，我们可以计算概率P(A) = 事件A的样本空间大小 / 总的样本空间大小 = (C(4,4) * C(48,1)) / C(52,5)。
将以上计算式代入计算可得：
P(A) = (C(4,4) * C(48,1)) / C(52,5) = (1 * 48) / C(52,5) = 48 / C(52,5)
最终，我们可以用计算器得到C(52,5) ≈ 2598960，所以P(A)
≈ 48 / 2598960 ≈ 1.84e-5。
所以，从一副扑克牌中随机抽取5张牌中包含四张A的概率约为1.84e-5。
考研数学概率复习 强化阶段规划
考研数学概率复习：强化阶段规划1、随机事件与样本空间2、事件的关系与运算3、完备事件组4、概率的概念5、概率的基本性质6、古典型概率7、几何型概率8、条件概率9、概率的基本公式10、事件的独立性11、独立重复试验1、随机事件、集合二者的运算及运算律相似2、全概率公式结合具体的例子去理解3、贝叶斯公式结合条件概率和全概率公式即可得出，无需死记硬背。
1、随机变量2、随机变量分布函数的概念及其性质3、离散型随机变量的概率分布4、连续型随机变量的概率密度5、常见随机变量的分布6、随机变量函数的分布1、计算连续型随机变量函数的概率密度时常用的办法是，通过分布函数的定义，先求出随机变量函数的分布函数，然后再得出其概率密度。
课本上讲到得直接带公式计算随机变量函数概率密度的方法可作为了解。
2、第二章是学习第三章二维随机变量的基础，相关的知识点需重点学习。
1、多维随机变量及其分布函数2、二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布3、二维连续型随机变的概率密度、边缘概率密度和条件密度4、随机变量的独立性和不相关性5、常见二维随机变量的分布6、两个及两个以上随机变量简单函数的分布1、本章的重点在于熟练掌握二维离散型和连续型随机变量的联合、边缘和条件分布，尤其是连续型随机变量的边缘概率密度和条件概率密度在考研概率大题中出现的频率较高，需要考生引起足够的重视。
2、随机变量的独立性可从两个方向命题，可判断两随机变量是否独立，也可已知随机变量独立，考查独立的性质。
1、随机变量的数学期望（均值）方差、标准差及其性质2、随机变量函数的数学期望3、切比雪夫不等式4、矩、协方差、相关系数及其性质本章可以与数理统计部分结合，计算统计量的数字特征，要求熟练掌握常用数字特征的计算公式及其性质。
1、切比雪夫大数定律2、伯努利大数定律3、辛钦大数定律4、棣莫弗—拉普拉斯定理5、列维—林德伯格定理本章主要要求考生掌握以下几点：1、切比雪夫不等式的形式2、切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律各自成立的条件及区别3、能利用列维—林德伯格定理进行简单的计算1、总体2、个体3、简单随机样本4、统计量5、经验分布函数（数学三）6、样本均值、样本方差和样本矩7、分布、分布和分布8、分位数9、正态总体的常用抽样分布记住一些常用统计量的数字特征将有助于解题1、点估计的概念2、估计量和估计值3、矩估计法4、最大似然估计法5、估计量的评选标准（数学一）6、区间估计的概念（数学一）7、单个正态总体的均值和方差的区间估计（数学一）8、两个正态总体的均值差和方差比的区间估计（数学一）最大似然估计需了解其产生的背景，并总结求最大似然估计和矩估计的方法。
考研数学强化阶段重要题型攻略——概率论与数理统计(二)1
2012钻石卡考研数学强化阶段重要题型攻略—概率论与数理统计（二）万学海文利用全概率公式与贝叶斯公式解题时，判断概型、正确选择公式是关键.万学海文数学钻石卡考研辅导专家们提醒广大的2012年的考生要弄清楚，全概率公式是计算由若干“原因”引起的复杂事件的概率；贝叶斯公式是用来计算复杂事件已发生的条件下，是由某一种“原因”引起的条件概率.考生对此题型的学习还需掌握：(1) 利用全概率公式和贝叶斯公式求解的题目中一般分为两个阶段：○1全概率公式求解的是第二阶段某一结果的概率. ○2贝叶斯公式本质是条件概率，求解的是已知第二阶段发生某一结果，反求第一阶段某一结果的概率. (2) 用全概率公式解题的步骤：○1判断求解的问题是否为全概率类型. ○2若是全概率，需设出事件及完备事件组. A 12,n B B B ,,○3计算，. ○4将○3的结果代入公式，计算最后结果. 【例】 某厂家生产一批玻璃杯，这种玻璃杯的次品率是，现从这批玻璃杯中任取一件进行检验，由于检验技术存在缺陷，一件合格品被误判为次品的概率为，一件次品被误判为合格品的概率为.(1) 试求取出玻璃杯被检验认定是合格品的概率.(2) 试求若取出玻璃杯被判断为合格品，则该玻璃杯确定为合格品的概率.(3) 为谨慎起见，对取出的玻璃杯进行二次独立性检验，检验结果都认为是合格品，试求该玻璃杯确实为合格品的概率. 解 (1) 设=“取出的玻璃杯经检验是合格品”，它必然与取出的玻璃杯是合格品还是次品有关，设“取出的玻璃杯为合格品”，则“取出的玻璃杯为次品”.，，，.由全概率公式得()i P B (|)i P A B 1()()(|)ni i i P A P B P A B ==∑10%10%20%A B =B =09().P B =01().P B =09(|).P A B =02(|).P A B =.(2) 根据题意，在已知检验结果为合格品的条件下，求该玻璃杯确实为合格品的概率，即. 因为 .故 . (3) 根据题意，玻璃杯的检验分两次进行，经过第2次检验仍认为玻璃杯是正品，故设“对取出的玻璃杯经过第次独立检验被认为是合格品”，“取出的玻璃杯为合格品”，则在两次独立检验认为该玻璃杯都是合格品的条件下，该玻璃杯确实是合格品的概率为，为此要分别求，.由于，与独立，，，表示在取出合格品的条件下，第一次和第二次检验结果均为合格品的概率，因为各次均独立检验，故0909*******()()(|)()(|).....P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=()(|)()P AB P B A P A =0909081()()(|)...P AB P B P A B ==⨯=0810*******.(|)..P B A ===i A i 1,2i =（）B =121212()(|)()P AA B P B AA P AA =12()P A A 12()P A A B B B =Ω1A 2A 09(|).i P A B =02(|).i P A B =1,2i =（）12(|)P AA B，因此由全概率公式得，故. 评注 在利用全概率公式和贝叶斯公式进行解题时，全概率公式的关键在于正确判定概型并找出完备事件组，贝叶斯公式在多个条件下时会变得比较复杂，像本题的第三问，因此对贝叶斯公式要灵活应用，它是条件概率，当条件为多个时，分子变得复杂，除了要恰当表示事件外还要注意分子除了能用乘法公式展开外，如果将分子看做一个事件，还可以用全概率公式展开求解. 1212(|)(|)(|)0.90.90.81==⨯=P A A B P A B P A B 1212()()(|)0.90.810.729.==⨯=P A A B P B P A A B 121212()()(|)()(|)P A A P B P A A B P B P A A B =+=0.90.90.9+0.10.20.2= 0.733⨯⨯⨯⨯121212()0.729(|)0.9945()0.733P A A B P B A A P A A ==≈。
余丙森概率论强化课课时
余丙森概率论强化课课时
摘要：
1.余丙森概率论强化课程背景
2.课程资源获取途径
3.课程内容与适合对象
4.学习概率论的重要性
5.结论
正文：
余丙森概率论强化课程是一门针对硕士研究生阶段的学生所开设的课程。
硕士研究生分为学术硕士和专业硕士，不论哪一类型，概率论都是其学术研究或实际应用能力的重要组成部分。
然而，对于许多学生而言，概率论的学习并不容易，因此余丙森概率论强化课程应运而生，旨在帮助学生更好地理解和掌握概率论知识。
想要获取余丙森概率论强化课程资源的同学，可以通过以下途径：在B 站上搜索相关视频，或者加入考研相关的学习社群，在那里你可能会找到课程的资源。
此外，也有一些公众号会分享相关的学习资源，比如“77 考研”，只需要回复关键词，就能获取更新的课程信息。
余丙森概率论强化课程包括基础班、强化班和讲义PDF。
基础班适合零基础的学生，从概率论的基本概念和原理开始讲起，帮助学生建立起对概率论的初步认识。
强化班则更注重对概率论的深入理解和应用，适合已经有一定基础的学生。
课程的讲义PDF 详尽且系统，可以作为学生的学习指南和参考资料。
概率论是研究随机现象的理论，它在各个领域都有广泛的应用，包括自然科学、社会科学和工程技术等。
学习概率论不仅可以提高我们的学术研究能力，还可以增强我们解决实际问题的能力。
因此，对于准备考研或已经进入研究生阶段的学生来说，学习概率论是非常重要的。
总的来说，余丙森概率论强化课程是一个很好的学习资源，无论是从课程内容的设置，还是从资源的获取途径来看，都为学生提供了便利。
概率公式线代强化课程考研
则对任一事件B,有P ( B) = P ( Ai ) P ( B Ai ). i =1
注 : 如果某个事件B的发生总是与某些原因或前一阶段的某些结果Ai有关,
则总是使用全概率公式把各种导致B发生的可能性（概率）加起来求P ( B).
（7）贝叶斯公式 若A1 U A2 UL U An =, 且Ai I Aj = ,1 i j n,
b−a
6.指数分布
如果随机变量X的概率密度为f
(x)
=
e−x , 0,
x0 其他 ,
其中
0为参数;
则称X 服从参数为的指数分布,记为X
:
E
(
)
.X
的分布函数为F
(
x
)
=
1
−
e−
x
,
x
0
.
0, x 0
注 : 若X : E ( ),则
1o 对a 0,则PX a = e−a;
2o 对t, s 0,则PX t + s X s = PX t.
3.泊松分布
如果随机变量X的分布律为PX = k = ke− , k = 0,1, 2,L
k!
则称X 服从参数为（ 0）的泊松分布, 记为X : P ( ).
4.几何分布
如果随机变量X的分布律为PX = k = (1− )p k−1 p, k = 1, 2,L 则称X 服从参数为（ p 0 p 1）的几何分布, 记为X : G ( p).
（4）X ,Y独立 X ,Y不相关,即 = 0.
5.期望
（1）一维离散型
设离散型随机变量X的分布律为PX = xi = pi (i = 1, 2,L ),
2
4o若X ,Y分别服从正态分布,且相互独立,则aX + bY服从正态分布.