56-5 乃奎斯特稳定性判据应用

-jω G(jω) -j∞
所以，该封闭曲线就是包围S右半平面的封闭曲线在F(s)平面上的映射， 所以，该封闭曲线就是包围S右半平面的封闭曲线在F(s)平面上的映射， F(s)平面上的映射 另外，该封闭曲线“包围F(s)的原点”=“包围G(jω 平面的（ F(s)的原点 包围G(j j0） 另外，该封闭曲线“包围F(s)的原点”=“包围G(jω)平面的（-1，j0）点”。 幅角原理修改为 变化， 顺时针方向包围 幅角原理修改为：奈氏曲线当ω从-∞→0→∞变化，按顺时针方向包围 氏曲线当ω j0）点的圈数等于F(s)的零点数目 与极点数目P之差， N=Z等于F(s)的零点数目Z （-1，j0）点的圈数等于F(s)的零点数目Z与极点数目P之差，即N=Z-P。 G(jω 图中，曲线没有包围 包围（ j0） N=0，可知F(s)的零、 F(s)的零 在G(jω)图中，曲线没有包围（-1，j0）点，N=0，可知F(s)的零、极 点在右半面上的个数相等。 点在右半面上的个数相等。
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§5 频率响应法
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6 §5.7 频率特性的基本概念 对数频率特性（Bode图） 对数频率特性（Bode图 幅相频率特性（Nyquist图 幅相频率特性（Nyquist图） 用频率法辨识系统的数学模型 频域稳定判据（奈奎斯特） 频域稳定判据（奈奎斯特） 相对稳定性分析 频率性能指标与时域性能指标的关系
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§5.5 辐角原理(1)
F(s) =1+ G(s)H(s) = K(S − Z1)(S − Z2)L S − Zn) ( (S − P )(S − P )L S − P ) ( 1 2 n
S = σ + jω
jw S
Γs
F(s) = U + jV
Im F
ΓF
S1 jω
F(s1)
F(s1)
σ σ
S2
F(s2)
Re
代入F(S) 代入F(S) F(S)得 Γs连续变化一周 连续变化一周（ S1代入F(S) 得F(S1)，S2代入F(S)得F(S2)；S沿Γs连续变化一周（不 穿过F(S)的极点）， F(S)沿封闭曲线 连续变化一周。 F(S)的极点），则 沿封闭曲线Γ 穿过F(S)的极点），则F(S)沿封闭曲线ΓF连续变化一周。
Z= N +P
F(s)的零点 F(s)的零点 闭环极点) (闭环极点) 由辐角 原理确定 F(s)的极点 F(s)的极点 开环极点) (开环极点)
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§5.5 奈奎斯特稳定判据(3)
包围整个右半平面的曲线映射在F(s)平面上形状如何？ 包围整个右半平面的曲线映射在F(s)平面上形状如何？ F(s)平面上形状如何 顺时针包围整个右半面曲线， j∞（正虚轴），然后顺时针 ），然后 顺时针包围整个右半面曲线，S从0→jω →j∞（正虚轴），然后顺时针 j∞（负虚轴） ω→0 绕过 π 到 -j∞（负虚轴）→-jω→0。
m
n
§5.5 辐角原理(2)
Im S S1
S1S1-zi
Im F
zi F(S1)
映射到原点
Re
zi
Re
包围一个F(s)的零点， F(s)的零点 Γs顺时针连续变化一周，(S顺时针连续变化一周 Γs包围一个F(s)的零点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，(S-Zi)的相角 积累- π,或者说 或者说， 顺时针绕 平面零点一周； 积累-2π,或者说，ΓF顺时针绕F平面零点一周； F(s)的零点 顺时针连续变化一周 连续变化一周， 不积累角度； 不包围F(s)的零点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，(S-Zi)不积累角度； 包围F(s)的零点， F(s)的零点 的零点， Γs顺时针连续变化一周， 顺时针连续变化一周 Γs包围 Z个F(s)的零点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，(S-Zi) 的相 角积累Z*( 2π)，或者说， 顺时针绕 平面零点Z Z*(角积累Z*(-2π)，或者说，ΓF顺时针绕F平面零点Z圈
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§5. Γs顺时针 顺时针连续变化 曲线Γs包围一个F(s)的极点，当S1沿Γs顺时针连续变化 Γs包围一个F(s)的极点 一周，因为Pi映射到F(s)上是在无穷远，因此Γ 逆时针绕 Pi映射到F(s)上是在无穷远 一周，因为Pi映射到F(s)上是在无穷远，因此ΓF逆时针绕F平 面零点一周， Pi)的相角积累是2 角度。 的相角积累是 面零点一周，(S-Pi)的相角积累是2π角度。 幅角原理： F(s)除平面上的有限个奇点外， 幅角原理：设F(s)除平面上的有限个奇点外，为单值解析 除平面上的有限个奇点外 包围F(s) 函数， 平面上任选一条封闭曲线C 以顺时针方向包围F(s)的 函数，若S平面上任选一条封闭曲线Cs以顺时针方向包围F(s)的 个零点和P个极点，且使它不通过F(s)的奇点，则其在F(s) F(s)的奇点 F(s)平 Z个零点和P个极点，且使它不通过F(s)的奇点，则其在F(s)平 面上的映射曲线C 将围绕着坐标原点旋转N 其中N=Z N=Z面上的映射曲线CF将围绕着坐标原点旋转N周，其中N=Z-P。 N>0，表示曲线C 以顺时针方向围绕； 当N>0，表示曲线CF以顺时针方向围绕； N<0，表示曲线C 以逆时针方向围绕。 当N<0，表示曲线CF以逆时针方向围绕。
F(s) =1+ G(s)
ω→j∞变化时， j∞变化时 S从0→jω→j∞变化时，F(s)|s=jω=F(jω)=1+G(jω)将奈氏曲线偏移一个单位； s=jω=F(jω)=1+G(jω 将奈氏曲线偏移一个单位； 它与F(j 共轭； F(jω S从-j∞→-jω→0变化时，F(s)|s=-jω=F(jω)=1+G(-jω)，它与F(jω)共轭； j∞→ ω→0变化时， s=- =F(jω)=1+G(点上。 S从j∞→-j∞变化时，G(jω)=G(-jω)=0，在F(jω)=1点上。 j∞→ j∞变化时，G(jω)=G(- )=0， F(jω)=1点上 变化时
jω G(-jω)
比如：上例中，若已知系统开环稳定（P=0） 比如：上例中，若已知系统开环稳定（P=0） 而频率特性不包围（ 1,j0 j0） N=0）， N=P），由 而频率特性不包围（-1,j0）点（N=0），由N=P-Z Z=0， 得Z=0，所以该系统闭环稳定 如果：提高系统增益，曲线就可能包围( 如果：提高系统增益，曲线就可能包围(-1, j0) N≠0)， N=PZ≠0， 点(N≠0)，由N=P-Z得Z≠0，系统闭环变成不稳定
K(S − Z1)(S − Z2 )L S − Zn ) ( F(s) =1+G(s)H(s) = (S − P)(S − P )L S − P ) ( 1 2 n
∠ (s) = ∑∠ − Zj −∑∠ − P F S S 《自动控制理论》 i
j= i= 1 网址： 1
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§5.5 频域稳定判据
系统稳定的充要条件 — 全部闭环极点均具有负的实部 Routh判据 代数稳定判据 — Routh判据 由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性 由闭环特征多项式系数（不解根） 不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及 性能的问题 Nyquist 判据 频域稳定判据 — 对数稳定判据 由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性 可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题
j∞ -1 -j∞ K
G(jω)
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§5.5 奈氏判据的应用(1)
例2：已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。 已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。 K G (s) = D(s) = Ts −1+ K = 0 Ts − 1 K G( jω) = ϕ(ω) = −180° + arctan Tω 解：依题有 2 2
1+T ω
G ( j 0) = K∠ − 180°
G ( j∞ ) = 0∠ − 90°
K1 < 1
N =0
N = −1
(不稳定) 不稳定)
K=
Z = P + N = 1+ 0 = 1
K2 > 1
(稳定) 稳定)
Z = P + N = 1−1 = 0
P185
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p184
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§5.5 奈奎斯特稳定判据(1)
(S − Z1)(S − Z2 )L S − Zm) ( G(s)H(s) = (S − P)(S − P )L S − P ) ( 1 2 n
∏ (S − P) + K∏ (S − Z j ) i
F(s) =1+ G(s)H(s) =
N = Z−P
Z= N +P
p184
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§5.5 奈奎斯特稳定判据(2)
奈奎斯特稳定性判据思路: 奈奎斯特稳定性判据思路: •根据系统闭环特征根的位置可以判定系统的稳定性： 根据系统闭环特征根的位置可以判定系统的稳定性： 根据系统闭环特征根的位置可以判定系统的稳定性 如果根平面的右半面有闭环根，则系统闭环不稳定(Z>0) (Z>0)； 如果根平面的右半面有闭环根，则系统闭环不稳定(Z>0)； 如果根平面的右半面没有闭环根，则系统闭环稳定(Z=0) (Z=0)。 如果根平面的右半面没有闭环根，则系统闭环稳定(Z=0)。
N =0 Z = P+ N = 0+0 = 0
(稳定) 稳定)
这表示对于K 的任意正值，该闭环系统总是稳定的。 这表示对于K、T1和T2的任意正值，该闭环系统总是稳定的。 P185
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§5.5 奈氏判据的应用(3)
例4：已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。 已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。 K G( s) = ( T1 s + 1)( T2 s + 1)( T3 s + 1)
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§5.5 奈奎斯特稳定判据(5)
奈奎斯特稳定性判据：当ω从- ∞到+∞变化时，系统的开环频率特性 奈奎斯特稳定性判据： +∞变化时， 变化时 按逆时针方向包围（ j0） G(j ω)H(j ω)按逆时针方向包围（-1，j0）点 P 圈。 若P=0（即系统开环稳定）时，上述条件简化为当ω从- ∞到+∞变化时， P=0（即系统开环稳定） 上述条件简化为当 +∞变化时 变化时， 系统的开环频率特性G(j )H(jω 不包围（ G(jω j0） 系统的开环频率特性G(jω)H(jω)不包围（-1，j0）点。
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§5.5 奈奎斯特稳定判据(4)
K 例1： G( jω) = ( jωT +1)( jωT +1)( jωT +1) 1 2 3
j∞ F(jω) S jω G(G(-jω) jω k -1 0 j∞ -j∞ G(jω)
画出奈氏曲线如右图
0
由于F(s)=1+G(s),所以映射在 由于F(s)=1+G(s),所以映射在 F(s)=1+G(s), F(s)平面上的曲线只要将水平坐标左 F(s)平面上的曲线只要将水平坐标左 移一个单位， 移一个单位，如图
§5.5 奈氏判据的应用(2)
例3：系统的开环传递函数如下
G(S ) H (S ) = K ，T1 > T2 > 0 (1 + T1S )(1 + T2 S )
试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。 试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。 解：依题有
G( j0) = K∠0°
G( j∞) = 0∠−180 °
=
n i
m j
(S − P )(S − P )L S − P ) ( 1 2 n
(S − Z1)(S − Z2 )L S − Zn ) ( (S − P)(S − P )L S − P ) ( 1 2 n
可见F(s)的零点就是闭环极点，F(s)的极点就是开环极点。 可见F(s)的零点就是闭环极点，F(s)的极点就是开环极点。 F(s)的零点就是闭环极点 的极点就是开环极点