2019届高考数学一轮复习 第五篇 数列 第3节 等比数列训练 理 新人教版

第3节等比数列
解析:因为a3=,S3=,所以
两式相比,化简得2q2-q-1=0,解得q=1或-,
故选C.
2.(2017·广西钦州二模)已知数列{a n}满足:=,且a2=2,则a4等于( D )
(A)- (B)23 (C)12 (D)11
解析:因为数列{a n}满足:=,所以a n+1+1=2(a n+1),即数列{a n+1}是等比数列,公比为2.则a4+1=22(a2+1)=12,解得a4=11.
故选D.
3.(2017·郑州三模)已知等比数列{a n},且a6+a8=4,则a8(a4+2a6+a8)的值为( D )
(A)2 (B)4 (C)8 (D)16
解析:由题意知:a8(a4+2a6+a8)=a8a4+2a8a6+
=+2a6a8+=(a6+a8)2,
因为a6+a8=4,
所以a8a4+2a8a6+=(a6+a8)2=16.
故选D.
4.(2017·兰州二模)已知等差数列{a n}的公差d=2,若a1,a3,a4成等比数列,则a6等于( A )
(A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4
解析:a1,a3,a4成等比数列,可得=a1a4,
即(a1+2d)2=a1(a1+3d),
由等差数列{a n}的公差d=2,
即有(a1+4)2=a1(a1+6),
解得a1=-8,
则a6=a1+5d=-8+10=2.
故选A.
5.设各项都是正数的等比数列{a n},S n为前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40等于( A )
(A)150 (B)-200
(C)150或-200 (D)400或-50
解析:由题意得,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20).
即(S20-10)2=10(70-S20),
故S20=-20或S20=30,又S20>0,
因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,
故S40-S30=80,S40=150.
故选A.
6.(2017·陕西渭南二模)成等差数列的三个正数的和等于12,并且这三个数分别加上1,4,11后成为等比数列{b n}中的b2,b3,b4,则数列{b n}的通项公式为( A )
(A)b n=2n (B)b n=3n
(C)b n=2n-1(D)b n=3n-1
解析:设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d,
可得3a=12,解得a=4,
即成等差数列的三个正数分别为4-d,4,4+d,
这三个数分别加上1,4,11后成为等比数列{b n}中的b2,b3,b4,
可得(4+4)2=(1+4-d)(4+d+11),
解方程可得d=1(d=-11舍去),
则b2=4,b3=8,b4=16,即有b1=2,
则b n=2·2n-1=2n,
故选A.
7.(2017·湖北二模)若等差数列{a n}的公差为2,且a5是a2与a6的等比中项,则该数列的前n 项和S n取最小值时,n的值等于( C )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
解析:由a5是a2与a6的等比中项,可得=a2a6,
由等差数列{a n}的公差d为2,
得(a1+4d)2=(a1+d) (a1+5d),
即(a1+8)2=(a1+2)(a1+10),解得a1=-11,
a n=a1+(n-1)d=-11+2(n-1)=2n-13,
令a n≤0则2n-13≤0,
所以n≤,
因为n∈N+
可得该数列的前n项和S n取最小值时,n=6.
故选C.
8.(2016·安徽六校联考)在各项均为正数的等比数列{a n}中,a2,a4+2,a5成等差数列,a1=2,S n 是数列{a n}的前n项的和,则S10-S4等于( B )
(A)1 008 (B)2 016 (C)2 032 (D)4 032
解析:设等比数列{a n}的公比为q,
因为a2,a4+2,a5成等差数列,
所以2(a4+2)=a2+a5⇒2(2q3+2)=2q+2q4,
因为q>0,解得q=2,
所以S10==2 046,S4==30,S10-S4=2 046-30=2 016,故选B.
9.(2017·西城区二模)已知等差数列{a n}的公差d为2,且a1,a2,a4成等比数列,则a1= ;数列{a n}的前n项和S n= .
解析:因为数列{a n}是公差d为2的等差数列,且a1,a2,a4成等比数列,所以a1,a1+2,a1+6成等比数列,
所以(a1+d)2=a1·(a1+3d),
即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,
数列{a n}的前n项和S n=2n+×2=n2+n.
答案:2 n2+n
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·江西二模)在等比数列{a n}中,a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,则
的值为( A )
(A)2 (B)4 (C)±2 (D)±4
解析:因为a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,所以
所以a3=2,a15=4;或a3=4,a15=2.
可知a3=a1q2=2,a1>0.
所以a9==2,
同理a3=4,a15=2,得a9=2.
则==a9=2.
故选A.
11.(2017·福州一模)设等差数列{a n}的公差d≠0,且a2=-d,若a k是a6与a k+6的等比中项,则k等于( C )
(A)5 (B)6 (C)9 (D)11
解析:由等差数列{a n}的公差d≠0,且a2=-d,
可得a1=a2-d=-2d,则a n=a1+(n-1)d=(n-3)d,
若a k是a6与a k+6的等比中项,
则=a6a k+6,
即(k-3)2d2=3d·(k+3)d,
因为d≠0,得k2-9k=0,
解得k=9(k=0舍去).
故选C.
12.(2017·商丘三模)若数列{a n}是等比数列,公比q=2,S n为{a n}的前n项和,记
T n=(n∈N*),则数列{T n}最大项的值为.
解析:因为数列{a n}是等比数列,公比q=2,
S n为{a n}的前n项和,
T n=(n∈N*),
所以T n==9-2n-,
因为2n+≥2=4,
当且仅当2n=时取等号,
又n∈N*,n=1或2时,T n取最大值T1=9-2-4=3.
所以数列{T n}最大项的值为3.
答案:3
13.某市2017年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2017年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?(参考数据:1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)
解:(1)设中低价房的面积构成数列{a n},由题意可知
{a n}是等差数列,其中a1=250,d=50,
则S n=250n+×50=25n2+225n.
令25n2+225n≥4 750,
即n2+9n-190≥0,而n是正整数,
解得n≥10.
答:到2026年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.
(2)设新建住房的面积构成数列{b n},由题意可知,
{b n}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,
则b n=400×1.08n-1.
由题意可知a n>0.85b n,
有250+(n-1)×50>400×1.08n-1×0.85.
当n=5时,a5<0.85b5,当n=6时,a6>0.85b6,
即满足上述不等式的最小正整数n为6.
答:到2022年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 14.(2017·丰台区一模)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,a11=8,设b n=log2 a n,且b4=17.
(1)求证:数列{b n}是以-2为公差的等差数列;
(2)设数列{b n}的前n项和为S n,求S n的最大值.
(1)证明:设等比数列{a n}的公比为q,
则b n+1-b n=log2 a n+1-log2 a n=log2=log2 q(常数),
因此数列{b n}是等差数列.
又b11=log2 a11=3, b4=17,
所以等差数列{b n}的公差d==-2,
所以b n=b4+(n-4)d,
即b n=25-2n.即数列{b n}是以-2为公差的等差数列.
(2)解:等差数列{b n}的前n项和为S n,
则S n=n==(24-n)n=-(n-12)2+144,
所以当n=12时,S n有最大值,最大值为144.
15.已知在正项数列{a n}中,a1=2,点A n(,)在双曲线y2-x2=1上,数列{b n}中,点(b n,T n)
在直线y=-x+1上,其中T n是数列{b n}的前n 项和.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)求证:数列{b n}是等比数列.
(1)解:由点A n在y2-x2=1上知,a n+1-a n=1,
所以数列{a n}是以2为首项,1为公差的等差数列,
所以a n=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1.
(2)证明:因为点(b n,T n)在直线y=-x+1上,
所以T n=-b n+1,①
所以T n-1=-b n-1+1(n≥2),②
①②两式相减得b n=-b n+b n-1(n≥2),
所以b n=b n-1,所以b n=b n-1(n≥2).
令n=1,得b1=-b1+1,所以b1=,
所以{b n}是首项为,公比为的等比数列.。