蓉城名校联盟2019级高三第二次联考理科数学试题

蓉城名校联盟2019级高三第二次联考
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|39}x A x =<，2{|450}B x x x =--，则A B =
A ．{|13}x x
- B ．{|12}
x x -< C ．{|02}x x <
D ．{|15}x x
-<
2．若复数z 满足
i
22i 1i
z -=-+，则复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．若a ，b 是两条不同的直线，α是一个平面，a α⊥，则“b α∥”是“a b ⊥”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知y 与x 之间的线性回归方程为0.5.2ˆ2y
x =+，其样本点的中心为(3,)y ，样本数据中y 的取值依次为2.5，m ，3.4，4.2，5.4，则m =
A ．2
B ．2.8
C ．3
D ．3.2
5．已知函数0()(1)0x e x f x f x x ⎧=⎨->⎩
，，
，，则(ln 2)f =
A ．2e
B ．4
e
C ．2e
D ．4e
6．设x ，y 满足约束条件2805040x y x y x y -+⎧⎪
+-⎨⎪-+⎩
，，，则22x y +的最小值为
A 2
B ．22
C ．4
D ．8
7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足11
3
DP DD =，
则直线AP 与直线1D B 所成角的余弦值为
A ．
B
C D 8．已知数列{}n a 的首项1=1a ，且满足+1=4()n n a a n n *-∈N ，则5a =
A ．31
B ．41
C ．51
D ．61 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若
2cos 2cos a C b c A
+=，
c =，则A ∠=
A ．
π6 B ．π
4
C ．
π
3
D ．2π3
10．在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面
ABCD 上的射影H 是正方形
ABCD 的中心，4AB =，锥体的高为P ABCD -内切球的半径为
A
B
C ．2
D ．3 11．已知抛物线22(0)x py p =>上一点0(,2)A x ，F 为焦点，直线F A 交抛
物线的准线于点B ，满足2AB FA =,则0x =
A ．4±
B ．±
C ．±
D ．8±
12．若对任意的(1,)x ∈+∞，恒有1e ln e
ax x x ax --
-，则a 的取值范围为 A ．(,e]-∞
B ．1
(,]e
-∞
C ．[e,)+∞
D ．1
[,)
e
+∞
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知(2,3)=a ，(3,)x =b ，若⋅a b =0，则+|a b |=_______． 14．6(3)(1)x x +-展开式中5x 的系数是_______（用数字作答）． 15．全国新高考方案为“312++”模式，其中“3”为学生必考科目语文、
数学、外语，“1”为首选科目，学生须在物理、历史中选择一科，“2”为再选科目，学生可在化学、生物、政治、地理中选择两科。

若某位同学选择物理的概率为
2
3
，选择历史的概率为13，再选科目从
四科中随机选两科,则这个学生选择物理且化学和生物至少选一科的
概率为_______．
16．已知函数π
()2sin()cos sin (||)2
f x x x ϕϕϕ=+-<，且对于任意x ∈R ，
都有ππ
(+)()33
f x f x =--，其中所有真命题的序号有_______．
①
()f x 在区间ππ[,]66
-上单调递增；
②
(0)f ；
③
若0()2x f =，则0π1()123
f x -=-；
④
若实数m 使得方程()0f x m -=在4π
(0,)3
上恰有1x ，2x ，3123()x x x x <<三个实数根，则123102=
π3
x x x ++. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第
17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
已知数列{}n a 的通项公式为221n n n a n n +⎧=⎨+⎩
，为奇数，
，为偶数.
（1）求数列2{}n a 的前n 项和n S ；
（2）设21n n b a -=，求数列1{3}n n b -⋅的前n 项和n T ． 18．（12分）
下面是抽样调查得到的《2020年四川省分区域企业从业人员工资价位表》（单位：万元）：
表中的“分位值”指带有横线的每一个数，表示在左边区域内抽取的样本中工资不超过这个数字的人数所占的比例等于上方的百分数．例如，川南经济区右边第二个数3.61的上方是25%，则这个3.61表示在川南经济区的样本中工资不超过3.61万元的人数占25%．
（1）分别写出五个经济区的样本中工资价位的中位数，并求这五个中位数的平均数；
（2）把工资价位表中的样本数据作为2020年四川省企业从业人员的工资数据，若从四川省2020年的企业从业人员中随机抽取3人，设这3人中工资不超过8.00万元的人数为X ，求X 的均值和方差；
（3）假设右图是根据这次抽取的样本得到的四川省工资价位分布情况直方图的一部分，结合前面的工资价位表，求a 的值(保留三位小数)． 19．（12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，
AC BD E =，
过点E 的平面与棱PC ，PD ，AD 分别交于点F ，H ，G ，且平面PAB ∥平面EFHG ． （1）求证：EG ∥平面PDC ；
（2）若AD CD ⊥，PD CD ⊥，平面PDB ⊥平面ABCD ，6AD CD PD ===，3AB =，求二面角D PB C --的正弦值．
20．（12分）
已知圆C ：22(1)1x y -+=，椭圆
M ：22
184
x y +
=． （1）求证：圆C 在椭圆M 内；
（2）若圆C 的切线m 与椭圆M 交于P ，Q 两点，F 为椭圆M 的右焦点，求△FPQ 面积的最大值．
21．（12分）
已知函数32()34f x x x x =--． （1）若[0,2]x ∈，求()f x 的值域； （2）若122()2e ln ln 0x xf x a x x ax x
-+-+，求实数a 的取值集合．
（二）选考题：共10分。

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，
则按所做的第一题计分。

6
川西北生态经济
区
2.89
3.67 5.30 7.81 12.01
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
已知直线l 的参数方程为(1x t t y t =⎧⎨
=+⎩
，
，为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
2cos 2sin 2cos ρθθθ=+．
（1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）射线m 的极坐标方程为θα=，射线m 与曲线C 交于点A （不是原点），把射线m 绕点O 逆时针旋转π
4
得射线n ，射线n 与直线l 交于点B ．若
ππ
4
3
α
，求||||OA OB 的取值范围．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知函数()|2||23|f x x a x =-++，a ∈R ． （1）若1a =，解不等式()
35f x x +；
（2）设m ，n 均为正数，2m n a +=，求()f x 的最小值．。