高数8-4

合集下载

高数第八章

第25，26讲第八章重积分上一章把一元函数微分学推广到多元函数情形.现在要把一元函数定积分推广为多元函数的多重积分、曲线积分和曲面积分.定积分（特定构造的和式极限，“高级和”）所讨论的是分布在某区间上的几何量（曲边梯形面积）或物理量（变速直线运动路程）的积累问题.而多重积分，曲线、曲面积分则能求出分布在平面区域，平面曲线，空间曲面上的整体量，以扩大积分学的应用范围.第一节二重积分的概念和性质一、二重积分的概念 1.两个实例例1 求曲顶柱体的体积.曲顶柱体是指：以平面上的有界闭区域D 为底，以D 上方的曲面S 为顶，周围是母线平行于z 轴的柱面（见P.306图8-1）今设曲顶方程为(,),(,)z f x y x y D =∈，且设(,)f x y 连续，，(,)0f x y ≥，求该曲顶柱体的体积.V 解第一步：“分割”— 化整为零.用一组曲线网将区域D 分成n 个小区域：12,,,n σσσ∆∆∆ ，并用它们记各小区域的面积.，于是大体积相应被分割为n 个曲顶柱体，记体积为：12,,,n v v v ∆∆∆ （见P.306图8-2）.第二步：“近似代替”— 以平代曲.i σ∆上任意取一点（,)i i ξη，(,)f x y 在D 上连续，∴当分割充分细小时，可用小平顶柱体体积,()i i i f ξησ∆近似代替小曲顶柱体的体积(,)(1,2,,).i i i i v f i n ξησ∆≈∆= 第三步：“求和”— 积零为整. 11(,)nni i i i i i V v f ξησ===∆≈∆∑∑.第四步：“取极限”— 由近似到精确.1l i m (,)ni i i i V f λξησ→==∆∑，其中λ是n 个小区域i σ∆的直径最大者，即 1max ()i i nd λσ≤≤=∆.例2 求不均匀平面薄板的质量（薄即厚度可忽略不计）.设有一块质量分布不均匀的薄板，在xoy 平面上占有区域D （见P.307图8-3），面密度为ρ（,)x y ，求该薄板的质量M .解也分四步完成.“ 分割”: 在xoy 平面上将薄板D 分割为n 小块：12,,,n σσσ∆∆∆ .“近似代替”:在i σ∆上任取一点(,)i i ξη，将此小块近似看作是均匀的，则小块质量为： i M ∆≈ρ（,),(1,2,,)i i i i n ξησ∆= . “求和”: 11nni i i M M ===∆≈∑∑ρ(,)i i i ξησ∆.“取极限”:01lim ni M λ→==∑ρ(,)i i i ξησ∆.以上两例，虽内容不同，但解决问题的方法是一样的，都归结为求一种具有相同结构的“和式的极限”，我们把它抽象出来，得到2.二重积分的定义设二元函数(,)z f x y =在有界闭区域D 上有定义，用任意的曲线网分D 为n 个小区域 12,,,n σσσ∆∆∆ ，并用它们记小区域的面积. 又记 i σ∆的直径为()i d σ∆，并令1max ()i i nd λσ≤≤=∆，在i σ∆上任取一点(,)i i ξη，作乘积 (,),(1,2,,)i i i f i n ξησ∆= ，作和数（称为积分和，或Rimann 和）1(,)nn i i i i S f ξησ==∆∑，令0λ→，若积分和有极限 Ⅰ（它不依赖于区域D 的分法及中间点的取法），则称此极限值为函数(,)z f x y =在区域D 上的二重积分，记作：Ⅰ＝01lim (,)(,)ni i i i Df f x y d λξησσ→=∆=∑⎰⎰ （1）其中D 称为积分区域，(,)f x y 称为被积函数，(,)f x y d σ称为被积表达式，d σ称为面积元素.若二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰存在，则称(,)z f x y =在区域D 上可积.重要结论：二元连续函数是可积的.（不证）由二重积分的定义知：例1中取顶柱体的体积V 是曲顶柱体函数(,)f x y 在底面区域D 上的二重积分，即 (,)DV f x y d σ=⎰⎰.例2中平面薄板的质量M 是面密度函数ρ(,)x y 在所占区域D 上的二重积分，即 DM =⎰⎰ρ(,)x y d σ.3.二重积分的几何意义（1）当(,)0f x y ≥时，则(,)Df x y ⎰⎰d σ表示以(,)z f x y =为顶，以D 为底的曲顶柱体的体积.（2）当(,)0f x y ≤时，则(,)Df x y d σ⎰⎰表示曲顶柱体体积前面加了一个负号.（但不能说是负体积）（3）当(,)1f x y ≡时，(,)DDf x y d d σσσ==⎰⎰⎰⎰为D 的面积.二、二重积分的性质 (P.308)性质1 “常数因子提出来” 若(,)f x y 在区域D 上连续，则(,)(,),(DDkf x y d k f x y d k σσ=⎰⎰⎰⎰为常数）性质2 “一项一项分开积” 若(,),(,)f x y g x y 在D 上连续，则[](,)(,)(,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.性质3 设区域D 由1D 与2D 组成，且1D 与2D 除边界上点外无公共点，又(,)f x y 在D 上连续，则12(,)(,)(,).DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质4 若(,),(,)f x y g x y 在D 上连续，且 (,)(,)f x y g x y ≤，则有不等式(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰特殊地，由于(,)(,)(,)f x y f x y f x y -≤≤，又有不等式(,)(,).DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰性质5 设M ，m 分别是(,)f x y 在D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则有 (,)Dm f x y d M σσσ≤≤⎰⎰ （估值不等式）性质6 （二重积分的中值定理）设(,)f x y 在闭区域D 上连续，σ为D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⋅⎰⎰习题 8-14 （1）—（4）5 （1）—（4）4. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1) 2()d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线1x y +=所围成；(2) 2()d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰，其中积分区域D 是由圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；(3)ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0),(1,1),(2,0)；(4) ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰，其中{(,)35,01}D x y x y =≤≤≤≤.解 (1) 在积分区域D 上，01x y ≤+≤，故有32()()x y x y +≤+，根据二重积分的性质４，可得32()d ()d .DDx y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰(2) 由于积分区域D 位于半平面{(,)|1}x y x y +≥内，故在D 上有23()()x y x y +≤+．从而23()d ()d .DDx y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰(3) 由于积分区域D 位于条形区域{(,)|12}x y x y ≤+≤内，故知D 上的点满足0l n ()1x y ≤+≤，从而有2[ln()]ln()x y x y +≤+．因此2[ln()]d ln()d .DDx y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰ (4) 由于积分区域D 位于半平面{(,)|e}x y x y +≥内，故在D 上有ln()1x y +≥，从而有2[ln()]ln()x y x y +≥+．因此2[ln()]d ln()d .DDx y x y σσ+≥+⎰⎰⎰⎰5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1) ()d DI xy x y σ=+⎰⎰其中{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤；(2) 22sin sin d DI x y σ=⎰⎰其中{(,)0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；(3) (1)d DI x y σ=++⎰⎰其中{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤；(4) 22(49)d DI x y σ=++⎰⎰其中22{(,)4}D x y x y =+≤.解 (1) 在积分区域D 上，01x ≤≤，01y ≤≤，从而0()2xy x y ≤+≤，又D 的面积等于1，因此0()d 2.Dxy x y σ≤+≤⎰⎰(2) 在积分区域D 上，0sin 1x ≤≤，0sin 1y ≤≤，从而220sin sin 1x y ≤≤，又D 的面积等于2π，因此2220sin sin d π.Dx y σ≤≤⎰⎰(3) 在积分区域D 上，014x y ≤++≤，D 的面积等于2，因此2(1)d 8.Dx y σ≤++≤⎰⎰(4) 在积分区域D 上，2204x y ≤+≤，从而22229494()925,x y x y ≤++≤++≤，又D 的面积等于4π，因此2236π(49)d 100π.Dx y σ≤++≤⎰⎰第27，28讲第二节二重积分的计算方法— 化为两个定积分，即累次积分. 一、在直角坐标系下计算二重积分当(,)f x y 在区域D 上可积时，其积分值与分割方法无关，因此取特殊的分割法来计算二重积分1.用两组分别平行于x 轴，y 轴的直线分割区域D ，这时面积元素d dxdy σ=，从而(,)(,)DDf x y d f x y dxdy σ=⎰⎰⎰⎰.2.化二重积分为累次积分设(,)0f x y ≥，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰表示曲顶柱体的体积V ，用“切片法”求V（1）设区域D 由直线,x a x b == 及曲线12(),()y x y x ϕϕ==围成： 12()()x y x a x bϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩（这称x -型区域）回忆：已知平行截面面积，求立体体积公式 8-4 ()a ()baV A x dx =⎰， ()A x 是平行截面面积.现用平行于yoz 的平面0x x =去截曲顶柱体，得截面，其面积为A 0()x （图8-5）是一个曲边梯形，曲边方程为：0(,)z f x y =，因此，由定积分的几何意义，2010()00()()(,)x x A x f x y dy ϕϕ=⎰ (1)'让0x 取遍整个[],a b ，得到截面面积 21()()()(,)x x A x f x y dy ϕϕ=⎰ (1)''于是，由“已知平行截面面积求立体体积公式”⇒ 22111()()()()()(,)(,)bbx b x aax a x V A x dxf x y dy dx dx f x y dy ϕϕϕϕ''⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰（）代入（1）这叫累次积分.第一次对y 的积分，是求x 处的截面面积()A x ，将x 看作常数，第二次对x 积分，是沿x 轴加这些薄片的体积()A x dx ，这时x 是积分变量.注公式（1）成立的条件是“(,)f x y 在D 上连续”，并不要求(,)0.f x y ≥公式（1）是在x -型积分域下，将二重积分化为先对y 后对x 的两次定积分.如何确定两次的积分限呢？先用平行于y 轴的直线在[],a b 内一点x 处穿入D 的下边界，穿出上边界，其交点的坐标12(),()x x ϕϕ为第一次先对y 积的下限与上限，再将D 投影到x 轴上，得交点,a b 为第二次对x 积分的下限与上限.（称“穿口法”，定限口诀是：后积先定限（常数），限内画条线，先交下限写，后交上限见．）例1 化二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰为累次积分.其中；（1） D 由1,2,0,2x x y y =-===围成；（2）D 由2,y x =及2x y =围成. （3）D 由2,,2y x y x y x ==-=-围成. 解计算二重积分时，先画好积分区域的草图.（1）积分域是x -型的矩型域，由公式(1)⇒221(,)(,)Df x y d dx f x y dy σ-=⎰⎰⎰⎰.（2）解方程组求交点，画积分域草图2201,01x x y x y y x y ==⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎩这时x -型积分域，由公式（1）⇒（先对y 积分，将x 看作常数，积分限是x 的函数，第二次对x 积分，积分限为常数）21(,)(,).xDf x y d f x y d yσ=⎰⎰⎰（3）解方程组求交点，画积分区域草图1212y x x y x =-⎧⇒=-⎨=-⎩， 2212y xx y x =⎧⇒=⎨=-⎩如先对y 积分时，用平行y 轴的直线不能一次穿过区域D 时，需将D 分为1D 域2D ，然后由积分的可加性质3及公式（1），得到22122121(,)(,)(,).x x xxDD D f x y d dx f x y dy dx f x y dy σ----=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例2 求ⅠDxyd σ=⎰⎰，其中D 由,y x =与2y x =围成. 解解方程组求交点，画区域草图 1220,1y xx x y x=⎧⇒==⎨=⎩由公式（1）⇒222111350()211().224x x x xDy xyd xdx ydy x dxx x dx σ===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰例3 求Ⅰ(32),D x y d D σ=+⎰⎰由2x y +=及,x y 轴围成.解由积分区域草图及定理1 Ⅰ2222222020(32)(3)2(2).3xx dx x y dy xy y dx x x dx --=+=+=+-=⎰⎰⎰⎰（2）若积分区域D 是由,y c y d ==及12(),()x y x y ψψ==围成，这称y -型积分域. 二重积分化为累次积分时，应先对x 后对y 积分，这时积分公式为： 21()()(,)(,)dy cy Df x y d dy f x y dx ψψσ=⎰⎰⎰⎰（2）对y -型积分域，如何确定两次的积分限呢？图8-6 （)a 先用平行于x 轴的直线在[],c d 内一点y 处，穿入D 的左边界，穿出右边界，交点的坐标12(),()y y ψψ为第一次先对x 积分的下限与上限（是y 的函数），然后将D 投影到y 轴上得交点,c d 为第二次对y 积分的下限与上限（是常数）.例4 求Ⅰ22Dx d yσ=⎰⎰，其中D 由2,,1y y x xy ===围成.解解方程组求交点的坐标，画出积分域的草图11x yy xy =⎧⇒=⎨=⎩ 这是y -型积分域，先选择对x 后对y 积分，及公式（2）⇒Ⅰ224222235122111111111127().3332464yy yyy y dy x dx x dy y y dy y y --⎡⎤⎡⎤===-=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 注如若选择先对y 积分时，需把D 分块，则繁. 例5求ⅠDxyd σ=⎰⎰其中D 由抛物线2y x =及直线2y x =-围成. 解解方程组求交点，画积分域草图214,122x x y xy y y x ⎧===⎧⎧⇒⎨⎨⎨=-==-⎩⎩⎩ 强调积分次序的选择原则：① 考虑积分域的特点； ② 被积函数（下例说明）本题D 即是x -型域，又是y -型域，这时，根据D 的特点，应选择先对x 积分（因为平行x 轴直线可一次穿过D 的左，右边界，而先对y 积分时，D 应分块）. 故由公式（2）⇒ Ⅰ222222211145().28y y y y ydy xdx y x dy ++--===⎰⎰⎰例6 求Ⅰsin Dy d yσ⎰⎰，其中D 由2y x =及y x =围成.解解方程组求交点，画出积分区域草图 20,1y xy y y x=⎧⇒==⎨=⎩这时不能选择先对y 积分，因考虑到被积函数，积不出来，故应先对x 积分，由公式（2）⇒ Ⅰ2211sin sin 1y yy yy y dy dx dy dx yy==⋅⎰⎰⎰⎰11120sin ()sin sin y y y dy ydy y ydy y=-=-⎰⎰⎰110cos11cos cos y yydy =-++-⎰cos11cos1sin11sin10.1585.=-++-=⋅≈习题 8-21 （1）（3） 2（2）（4） 4（1）（3）（5）1. 计算下列二重积分：(1) 22()d D xy σ+⎰⎰，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；(2) (32)d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域； (3)323(3)d D xx y y σ++⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤；(4) cos()d Dx x y σ+⎰⎰其中D 是顶点分别为(0,0)，(π,0)和(π,π)的三角形闭区域．解 (1) 1311112222221111128()d d ()d d (2)d .333Dy x y x x y y x y x x x σ-----⎡⎤+=+=+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2) D 可用不等式表示为03,02y x x ≤≤-≤≤，于是2222200022(32)d d (32)d [3]d 20(422)d .3xxDx y x x y y xy y xx x x σ--+=+=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)11323323(3)d d (3)d Dx x y y y x x y y x σ++=++⎰⎰⎰⎰ 1411333001d ()d 1.44x x y y x y y y y ⎡⎤=++=++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰(4) D 可用不等式表示为0,0πy x x ≤≤≤≤，于是ππ00πcos()d d cos()d [sin()]d 3(sin 2sin )d π.2xxDx x y x x x y y x x y xx x x x σ+=+=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2. 画出积分区域，并计算下列二重积分：(1) Dσ⎰⎰，其中D是由两条抛物线y =，2y x =所围成的闭区域；(2)2d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由圆周224xy +=及y 轴所围成的右半闭区域；(3) e d x y Dσ+⎰⎰，其中{(,)|||||1}D x y x y =+≤； (4)22()d Dxy x σ+-⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域．解 (1) D可用不等式表示为201x y x ≤≤≤≤，于是237111424000226d d (-)d .3355Dx x x y x y x x x x σ⎡====⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰(2) D可用不等式表示为022x y ≤≤-≤≤，于是22222222164d d d (4)d .215Dxy y y x y y y σ--==-=⎰⎰⎰⎰(3) 12D D D = ，其中1{(,)|11,10}D x y x y x x =--≤≤+-≤≤，1{(,)|11,01}D x y x y x x =-≤≤-+≤≤，于是121111101012112111e d e d e d e d e d e d e d (e e )d (e e )d e e .x y x y x yD D D x x x y x y x x x x x y x y x x σσσ+++++----+----=+=+=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) D 可用不等式表示为,022y x y y ≤≤≤≤，于是22222023222232002()d d ()d 19313d d .322486yy Dyy x y x y x y x xx x y x y y y y σ+-=+-⎡⎤⎛⎫=+-=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 改换下列二次积分的积分次序：(1) 1d (,)d yy f x y x ⎰⎰ ； (2)2220d (,)d y y y f x y x ⎰⎰；(3) 10d (,)d y f x y x ⎰；(4)212d (,)d xx f x y y -⎰；(5)eln 1d (,)d xx f x y y ⎰⎰； (6)πsin 0sin2d (,)d xx x f x y y -⎰⎰．解 (1) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|0,01}D x y x y y =≤≤≤≤，D 可改写为{(,)|1,01}x y x y x ≤≤≤≤，于是原式11d (,)d .xx f x y y =⎰⎰(2) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中2{(,)|2,02}D x y y x y y =≤≤≤≤，D可改写为{(,)|04}2x x y y x ≤≤≤≤，于是原式42d (,)d .x x f x y y =⎰⎰(3) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|01}D x y x y =≤≤≤，D可改写为{(,)|011}x y y x ≤≤-≤≤，于是原式110d (,)d .x f x y y -=⎰(4) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|212}D x y x y x =-≤≤≤≤，D可改写为{(,)|2101}x y y x y -≤≤+≤≤，于是原式1102d (,)d .yy f x y x -=⎰⎰(5) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|0ln ,1e}D x y y x x =≤≤≤≤，D 可改写为{(,)|e e,01}y x y x y ≤≤≤≤，于是原式1ee d (,)d .yy f x y x =⎰⎰(6) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，将D 表示为12D D ，其中1{(,)|arcsin πarcsin ,01}D x y y x y y =≤≤-≤≤，2{(,)|2arcsin π,10}D x y y x y =-≤≤-≤≤，于是原式1πarcsin 0π0arcsin 12arcsin d (,)d d (,)d .yyyy f x y x y f x y x ---=+⎰⎰⎰⎰第29，30讲二、在极坐标系下计算二重积分复习：直角坐标与极坐标（参见教材P.476附录4）的关系： (,)x y (,)r θcos sin x r y r θθ==tan r y xθ==1 圆心在极点，半径为a 的圆周222x y a += ,02r a θπ=≤≤ 2 圆心在(,0)a ，半径为a 的圆周222()x a y a -+= 22cos r ar θ= 222x y ax += 2cos ,22r a ππθθ=-≤≤3 圆心在(0,)a ，半径为a 的圆周22222()2x y a a x y ay+-=+=22sin 2sin ,0r ar r a θθθπ==≤≤在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数(,)f x y ，积分域D 及面积元素d σ都用极坐标表示：(,)f x y 的极坐标形式为 (cos ,sin )f r r θθ，为了得到极坐标系下面积元素d σ，可用坐标曲线网去分割区域D ，即用 r =常数（一组同心圆） θ=常数（一束射线），去分割D 面积元素可近似看作小矩形：两边长分别为dr 和（弧长）＝rd θ（半径⨯圆心角）（见P.315图8-14）所以 ()d rd dr rdrd σθθ=⋅=，于是⇒ (,)(cos ,sin )DDf x y d f r r rdrd σθθθ=⎰⎰⎰⎰ （4）（ⅰ）当极点o 在D 的外部：一般先对r 后对θ积分，定限时，用从极点出发的射线穿入区域，入口的交线1()r θ，穿出区域出口的交线2()r θ为对r 积分的下限与上限，而θ的变范围则是后对θ积分的下限与上限. 图8-15（a ）21()()(,)(cos ,sin (cos ,sin )DDr r f x y d f r r rdrd d f r r rdrβθαθσθθθθθθ⇒==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（5）（ⅱ）当极点o 在D 的边界上，D 为曲边扇形()(cos ,sin ).r Dd f r r rdr βθαθθθ⇒=⎰⎰⎰⎰（6）图8-17（ⅲ）当极点o 在D 的内部2()(cos ,sin ).r Dd f r r rdr πθθθθ⇒=⎰⎰⎰⎰（7）例1 化二重积分为累次积图8-1822:,(0)D x y Rx R +=>解 222()()22RRx y -+= 这是圆心在(,0)2R ，半径为2R的圆，极坐标方程为：cos ,22r R ππθθ=-≤≤，这是极点在D 的边界上.由公式（6）⇒ cos 202(cos ,sin ).R Dd f r r rdr πθπθθθ-=⎰⎰⎰⎰例2 求Ⅰ＝2Dxy d σ⎰⎰其中D 为圆 221,x y +=和224x y +=之间在第一象限的部分（圆环）解这是极点在域D 外部的情形，由公式（5）⇒ Ⅰ＝2cos (sin )Dr r rdrd θθθ⎰⎰＝24221cos sin d r dr πθθθ⎰⎰＝22421sin cos d r drπθθθ⎰⎰=用凑微分31.15例3 求Ⅰ＝22x y De d σ--⎰⎰，其中D 是222,(0)x y a a +≤>在第一象限的部分. 解因为 22,x y ee --的原函数不是初等函数，故在直角坐标系下积不出来.但D 是圆域，故可采用极坐标系.由于极点在边界上，由公式（6），得到 Ⅰ＝2222(1).4ar r a oDe rdrd d e rdr e ππθθ--==-⎰⎰⎰⎰（这里用凑微分积）利用此结果，可计算无穷积分（广义积分）：2x e dx +∞-⎰（概率积分）.例4利用二重积分证明概率积分22x e dx +∞-=⎰.（求正态分布的方差时用）证明22limax x a edx e dx +∞--→+∞=⎰⎰‘考虑正方形区域D ，在D 上计算二重积分 2222a axy x y De dxdy e dx e dy ----=⎰⎰⎰⎰＝220a x e dx -⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 图8-19为了求出左端的二重积分，可以a （正方形对角线）为半径画圆，得到图中的区域12D D D ⊂⊂, 220xy e --> 22222212xy xy xy D DD e d e d e d σσσ------∴≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰由例3知：22222(1)(1)44a xy a De e dxdy e ππ-----≤≤-⎰⎰（＝22ax edx -⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰）令a →+∞，有 220lim 44a x a e dx ππ-→+∞⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦⎰，即22044x e dx ππ+∞-⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦⎰ 由极限的夹逼准则，所以 2204x e dx π+∞-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ ，202x e dx +∞-==⎰例5 求球体22224x y z a ++≤被圆柱面222,(0)x y ax a +=>所截得部分的体积. 解将圆柱面的方程化为：2222()x a y a -+= 被球面22224x y z a ++=所截，有对称性，只须求出图中第一卦限的体积1V ，再4倍，1V 的曲顶为z =11D V ⇒=其中 1D 如右图所示采用极坐标系111D D V θ⇒==⎰⎰⎰⎰ 图8-20（a ）（b ）2cos 202cos 122222200322222cos 3320233301(4)(4)2128(4)((1sin )233882(sin )().32323a a a d d a r d a r a r d a d a d a πθπθππθπθθθθθππθθ==---=--⋅=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以 13224().323V V π==- 递推公式：3n =为奇数 Ⅰ212!!,1(21)!!m m m m +==+小结：何时用极坐标系计算二重积分？ ① 积分区域是圆形或环形； ② 被积函数含22x y +.习题 8-28（1）（3） 9（1）（4） 10（1）8. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： (1) 11d (,)d x f x y y ⎰⎰ ；(2)2d (,)d xx f x y y ⎰；(3)11d (,)d xx f x y y -⎰ ； (4)21d (,)d x x f x y y ⎰⎰．解 (1) 用直线y x =将积分区域D 分成1D 、2D 两部分：1π{(,)|0sec ,0}4D ρθρθθ=≤≤≤≤，2ππ{(,)|0c ,}.42D cs ρθρθθ=≤≤≤≤，于是原式sec csc 4204d (cos ,sin )d d (cos ,sin )d .f f ππθθπθρθρθρρθρθρθρρ=+⎰⎰⎰⎰(2) 在极坐标中，直线2,x y x ==和y =的方程分别是π2sec ,4ρθθ==和3πθ=。

高数第九章习题答案

则
∂z ∂z ∂z ∂z , 仍旧是复合函数，即 = f u′ ( u, v ), = f v′( u, v ), 而u = ϕ ( x , y ), v = ψ ( x , y ), ∂u ∂v ∂u ∂v
x ). y
（ 2） z = f ( x ,
x (记(1))
z = f (或f ′ )
x (记( 2)) y
x→0 y = x→0
x2 y2 = 1. x 2 y 2 + ( x − y)2
若动点P ( x , y )沿y = 2 x趋于(0,0)，则： lim
x2 y2 不存在. x 2 y 2 + ( x − y)2
x→0 y = 2 x→0
4x4 x2 y2 = lim = 0. x 2 y 2 + ( x − y ) 2 x→0 4 x 4 + x 2
证法 1：利用复合函数、隐函数的求导公式。
由F ( x , y , t ) = 0可知，t是x , y的函数：t = t ( x , y ).
∂z ∂ y ln( 1+ xy ) x xy = e [ln(1 + xy ) + y ⋅ ] = (1 + xy ) y [ln(1 + xy ) + ]. ∂y ∂y 1 + xy 1 + xy
（8） u = arctan( x − y )
z
解:
∂u z ( x − y ) z −1 ∂u − z ( x − y ) z −1 ∂u ( x − y ) z ln( x − y ) ; ; ; = = = ∂x 1 + ( x − y ) 2 z ∂y 1 + ( x − y ) 2 z ∂z 1 + ( x − y)2z

高数下期末考试试题及答案解析讲解学习

2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．1．已知a 与b都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2.极限2222001lim()sinx y x y x y→→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是( ).（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),fx y x y c c =++为实数（C ）(,)f x y =（D ）(,)e x yf x y +=4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).（A ）驻点与极值点（B ）驻点，非极值点（C ）极值点，非驻点（D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰Ñ（）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 127．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（）.(A)该级数收敛 (B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（）. （A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散（B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a ∞=∑也发散（C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 .2．设(,)ln(),y f x y x x=+则(1,0)y f '=______ _____.3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 .4．设22:2D x y x +≤，二重积分()d Dx y σ-⎰⎰= .5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下的三次积分为 . 6.幂级数11(1)!nn n x n ∞-=-∑的收敛域是 . 7.将函数21,0()1,0x f x x x ππ--<≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛于 .三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名……………………．……答题不要超过密封线…………．………………………………三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．设(,)x u xf x y =，其中f 有连续的一阶偏导数，求ux∂∂，u y ∂∂．解： 2．求曲面e 3z z xy ++=在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程．解：3.交换积分次序，并计算二次积分0sin d d xyx y yππ⎰⎰．解：4．设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间闭区域，求23d d d I xy z x y z Ω=⎰⎰⎰. 解：5．求幂级数11n n nx∞-=∑的和函数()S x ，并求级数12nn n ∞=∑的和．解：三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名……………………．……答题不要超过密封线…………．………………………………四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解2．计算积分22()d Lx y s +⎰Ñ，其中L 为圆周22x y ax += (0a >)．解：3．利用格林公式，计算曲线积分22()d (2)d LI xy x x xy y =+++⎰Ñ，其中L 是由抛物线2y x =和2x y =所围成的区域D 的正向边界曲线．4．计算d x S ∑⎰⎰，∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分.解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分d d d d d d x y y z z x S++蝌，其中∑为圆锥面222z x y =+介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧. 解：三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名……………………．……答题不要超过密封线…………．………………………………2y x = 2x y =y2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（D ） (A)-=0a b ； (B)+=0a b ； (C)0⋅=a b ； (D)⨯=0a b ．2.极限2222001lim()sin x y x y x y→→+=+ ( A ) (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D)不存在. 3．下列函数中，d f f =∆的是( B )；（A ） (,)f x y xy =；（B ）00(,),f x y x y c c =++为实数；（C ）(,)f x y =（D ）(,)e x y f x y +=.4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( B ).（A ）驻点与极值点；（B ）驻点，非极值点；（C ）极值点，非驻点；（D ）非驻点，非极值点.5．设平面区域D ：22(1)(1)2x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ A ）（A ）123I I I <<；（B ）123I I I >>；（C ）213I I I <<；（D ）312I I I <<．6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰Ñ（D ）(A) l ； (B) l 3； (C) l 4； (D) l 12． 7．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ C ）(A)该级数收敛； (B)该级数发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D) 该级数绝对收敛． 8.下列四个命题中，正确的命题是（ D ）（A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散；（B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a∞=∑也发散；（C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛；（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛．二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 3 。

大一同济版高数知识点

大一同济版高数知识点1.函数与极限-函数：定义、有界性、单调性、反函数、复合函数、三角函数、指数函数、对数函数等。

-极限：极限的定义、极限的性质、极限的计算方法、无穷小量、无穷大量。

2.导数与微分-导数：导数的定义、导数的求法、高阶导数、隐函数求导、自变量变化求导等。

-微分：微分的定义、微分近似、形式无穷小、高阶微分、隐函数微分等。

3.微分中值定理与导数的应用-中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。

-导数的应用：极值与最优化问题、曲线的凹凸性与拐点、函数图形的性质。

4.积分与不定积分-积分的概念：定积分、不定积分、积分的性质。

-不定积分的计算：分部积分法、换元积分法、三角函数积分、分式积分等。

5.定积分与定积分的应用-定积分的计算：换元法、分部积分法、分式积分等积分方法。

-定积分的应用：定积分的几何与物理应用、平均值与均值定理、定积分的应用于求面积、弧长等问题。

6.无穷级数与级数收敛性-无穷级数的概念：数项级数、部分和的性质、级数的敛散性。

-级数收敛：正项级数、交错级数、绝对收敛、条件收敛等。

7.二重积分与二重积分的应用-二重积分：二重定积分、二重积分中值定理、二重积分的计算方法。

-二重积分的应用：质量、形心、转动惯量等。

8.三重积分与三重积分的应用-三重积分：三重积分的定义、计算方法、变量代换、球面坐标和柱面坐标。

-三重积分的应用：体积、质量、重心、转动惯量等。

9.多元函数微分学与隐函数与参数方程的微分学-多元函数的极限与连续性：极限的定义、连续性的定义、多元复合函数、多元反函数。

-隐函数与参数方程的微分学：偏导数的定义、全微分的定义、隐函数与参数方程的微分法。

以上仅为大一同济版高数的一部分知识点，这门课程内容丰富多样，还有很多其他的知识点需要学习和掌握。

通过掌握这些知识点，可以为后续学习更高级的数学课程打下坚实的基础。

数学强化班（武忠祥）-高数第八章向量代数与解析几何及多元微分在几何上应用

数学强化班（武忠祥）-⾼数第⼋章向量代数与解析⼏何及多元微分在⼏何上应⽤第⼋章向量代数与空间解析⼏何及多元微分学在⼏何上的应⽤第⼀节向量1．数量积1）⼏何表⽰：αcos ||||b a b a =?. 2) 代数表⽰: z z y y x x b a b a b a ++=?b a . 3) 运算规律:i) 交换律: a b b a ?=?ii) 分配律: .)(c a b a c b a ?+?=+? 4) ⼏何应⽤:i) 求模: a a a ?=||ii) 求夹⾓: ||||cos b a ba ?=α iii) 判定两向量垂直: 0=??⊥b a b a 2.向量积1) ⼏何表⽰ b a ?是⼀向量. 模: αsin ||||||b a b a =?. ⽅向: 右⼿法则.2) 代数表⽰: zyx z y xb b b a a a k j ib a =?. 3) 运算规律 i) b a ?= )(a b ?-ii) 分配律: ?a (c b +)=b a ?+c a ?. 4)⼏何应⽤:i) 求同时垂直于a 和b 的向量: b a ?.ii) 求以a 和b 为邻边的平⾏四边形⾯积:=S |b a ?|.iii)判定两向量平⾏: ?b a //0=?b a . 3.混合积: c b a abc ??=)()( 1) 代数表⽰:zyxz y xz y xc c c b b b a a a =)(abc . 2) 运算规律:i) 轮换对称性: )()()(cab bca abc ==. ii) 交换变号: )()(acb abc -=. 3) ⼏何应⽤i) 平⾏六⾯体V =|)(|abc .ii)判定三向量共⾯: c b a ,,共⾯?(abc )=0.题型⼀向量运算例8.1 设,2)(=??c b a 则=+?+?+)()]()[(a c c b b a .解 )()]()[(a c c b b a +?+?+)(][a c c b b b c a b a +??+?+?+?=a cbc c b a c a c c a a b a c b a ??+??+??+??+??+??=)()()()()()( a c b c b a ??+??=)()( 4)(2=??=c b a .例8.2 已知3||,2||==b a ,则=??+))(()()(b a b a b a b a .解 22)())(()()(b a b a b a b a b a b a ?+?=??+ ),(c o s ),(s i n 222222∧∧+=b a b a b a b a 3622==b a .例8.3 已知2||,2||==b a ,且2=?b a ,则=?||b a.A)2 B)22 C)22D)1 解由于2),cos(==?∧b a b a b a ，⽽2,2==b a ，则21),cos(=∧b a ，从⽽4),(π=∧b a .故 22122),s i n (=?==?∧b a b a b a题型⼆向量运算的应⽤及向量的位置关系例8.4 已知}4,4,2{-=a ,}2,2,1{--=b ,求a 与b 的⾓平分线向量且使其模为32。

高数一 8-3 直线与平面方程

首页上页返回下页结束铃
二、平面的点法式方程
法线向量如果一非零向量垂直于一平面 , 这向量就叫做该平面的法线向量.
平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直.
唯一确定平面的条件当平面上一点M0(x0, y0, z0)和它的一个法线向量n(A, B, C)为已知时, 平面的位置就完全确定了.
2.平面AxByCz0有什么特点？提示： D0, 平面过原点.
首页上页返回下页结束铃
ห้องสมุดไป่ตู้
平面的一般方程为AxByCzD0,其法线向量为n(A, B, C).
例2 求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.
解可设此平面的方程为 ByCz0. 又因为此平面通过点(4, -3, -1), 所以有 -3B-C0. 将C-3B代入所设方程, 得 By-3Bz0. 于是所求的平面方程为 y-3z0. 提示：平面通过 x 轴 , 表明 A0( 它的法线向量垂直于 x 轴 ) 且 D0(它通过原点).
首页上页返回下页结束铃
三、平面的一般方程
由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平面都可以用三元一次方程来表示. 反过来, 可以证明任一三元一次方程AxByCzD0的图形总是一个平面. 方程 AxByCzD0 称为平面的一般方程, 其法线向量为 n(A, B, C). 提示: A, B, C 不同时为零. 当 A 不为零时, AxByCzD0 可写成点法式方程
直线与平面方程
一、直线的点向式方程二、平面的点法式方程三、平面的一般方程
四、两平面的交线
首页
上页
返回
下页

高数笔记大一必备知识点

高数笔记大一必备知识点1. 函数与极限- 函数定义和性质- 极限的定义和性质- 常见函数的极限求解方法2. 微分学- 导数的定义和性质- 常见函数的导数求解方法- 高阶导数与导数的应用- 极值与最值的求解方法3. 积分学- 不定积分的定义和性质- 常见函数的积分求解方法- 定积分的定义和性质- 微积分基本定理的应用4. 函数的应用- 曲线图像的分析- 函数模型的建立与应用5. 常微分方程- 常微分方程的基本概念与分类- 一阶常微分方程的解法- 高阶常微分方程的解法6. 级数- 级数的定义和性质- 常见级数的求和方法- 级数收敛与发散的判别方法7. 二重积分- 二重积分的定义和性质- 坐标变换与极坐标法的应用8. 三重积分- 三重积分的定义和性质- 坐标变换与球坐标法的应用9. 偏导数与多元函数微分学- 偏导数的定义和性质- 多元函数的全微分与求导10. 曲线积分与曲面积分- 曲线积分的定义和性质- 曲面积分的定义和性质- 根据题目使用参数化与换元法解决具体问题以上是大一学习高等数学所必备的知识点，对于每个知识点，你需要深入理解其定义、性质和基本求解方法。

在学习过程中，可以结合教材和习题集进行实际练习，掌握每个知识点的应用技巧。

尽管高等数学是一门理论与实践相结合的学科，但通过积极参与课堂讨论、与同学组队解题、与教师进行交流等实践方式，你将能更好地理解与应用这些知识点。

最后，要善于总结和整理自己的思路，形成自己的高数笔记。

这将有助于加深对知识点的理解，并为以后的学习打下坚实基础。

祝愿你在大学的高数学习中取得好成绩！。

高数字母符号读法

高数字母符号读法0 - 零1 - 一2 - 二3 - 三4 - 四5 - 五6 - 六7 - 七8 - 八9 - 九10 - 十11 - 十一（1和1，即十一）12 - 十二（1和2，即十二）13 - 十三（1和3，即十三）14 - 十四（1和4，即十四）15 - 十五（1和5，即十五）16 - 十六（1和6，即十六）17 - 十七（1和7，即十七）18 - 十八（1和8，即十八）19 - 十九（1和9，即十九）20 - 二十（2和0，即二十）22 - 二十二（2和2，即二十二）23 - 二十三（2和3，即二十三）24 - 二十四（2和4，即二十四）25 - 二十五（2和5，即二十五）26 - 二十六（2和6，即二十六）27 - 二十七（2和7，即二十七）28 - 二十八（2和8，即二十八）29 - 二十九（2和9，即二十九）30 - 三十（3和0，即三十）31 - 三十一（3和1，即三十一）32 - 三十二（3和2，即三十二）33 - 三十三（3和3，即三十三）34 - 三十四（3和4，即三十四）35 - 三十五（3和5，即三十五）36 - 三十六（3和6，即三十六）37 - 三十七（3和7，即三十七）38 - 三十八（3和8，即三十八）39 - 三十九（3和9，即三十九）40 - 四十（4和0，即四十）41 - 四十一（4和1，即四十一）42 - 四十二（4和2，即四十二）44 - 四十四（4和4，即四十四）45 - 四十五（4和5，即四十五）46 - 四十六（4和6，即四十六）47 - 四十七（4和7，即四十七）48 - 四十八（4和8，即四十八）49 - 四十九（4和9，即四十九）50 - 五十（5和0，即五十）。

高数同济第六版下高等数学2第八章解答

习题8-1向量及其线性运算1.在yOz 平面上，求与三点(3,1,2)A 、(4,2,2)B --和(0,5,1)C 等距离的点。

2.设已知两点1M 和2(3,0,2)M ，计算向量12M M的模、方向余弦和方向角。

3. 设向量r的模是4，它与u 轴的夹角是3π，求r在u 轴上的投影。

4. 设358m i j k =++，247n i j k =-- 和54p i j k =+- ，求向量43a m n p =+- 在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量。

5. 从点()2,1,7A -沿向量8912a i j k =+-方向取长为34的线段AB ，求点B 的坐标。

解设点B 的坐标为(),,x y z ，则()2,1,7AB x y z =-+-，且AB a λ= ，即28,19,712x y z λλλ-=+=-=-，34AB ==从而2λ=，所以点B 的坐标为()18,17,17-习题8-2数量积向量积1. 设32a i j k =--，2b i j k =+- ，求（1）a b 及a b ⨯ ；（2）(2)3a b - 及2a b ⨯；（3）a 、b 的夹角的余弦。

2．已知1(1,1,2)M -、2(3,3,1)M 和3(3,1,3)M ，求与12M M 、23M M同时垂直的单位向量。

3.求向量(4,3,4)a =-在向量(2,2,1)b = 上的投影。

4. 已知3OA i k =+ 、3OB j k =+ ，求OAB ∆的面积。

5. 设()()3,5,2,2,1,4a b =-= ，问λ与μ有怎样的关系能使a b λμ+与z 轴垂直？解 ()32,5,24a b λμλμλμλμ+=++-+ ，在z 轴上取单位向量()0,0,1e =，要使它与a b λμ+互相垂直，只须()0a b e λμ+⋅=，即()()()320502410,240,2λμλμλμλμλμ+⨯++⨯+-+⨯=∴-+==，即为所求λ与μ的关系习题8-3曲面及其方程1.一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离，求这动点的轨迹方程。

高数课后习题答案及其解析

第一章习题习题1.11.判断下列函数是否相同: ①定义域不同;②定义域对应法则相同同;2.解 25.125.01)5.0(,2)5.0(=+=-=f f5.解 ① 10,1,1222≤≤-±=-=y y x y x② +∞<<-∞+=+=-=-=y be b c x e c bx c bx e c bx e ay ay a y a y ,,,),ln(ln 6.解 ① x v v u u y sin ,3,ln 2=+== ② 52,arctan 3+==x u u y 习题1.24.解:① 无穷大 ② 无穷小 ③ 负无穷大 ④ 负无穷大 ⑤ 无穷小 ⑥ 无穷小5.求极限：⑴ 21lim 2lim 3)123(lim 13131=+-=+-→→→x x x x x x x⑵ 51)12(lim )3(lim 123lim 22222=+-=+-→→→x x x x x x x⑶ 0tan lim=∞→xxa x⑷-∞=∞--=------=----=+--→→→→32)1)(4(1lim )1)(4()1(2lim )1)(4(122lim 4532lim 11121x x x x x x x x x x x x x x x⑸ 4123lim )2)(2()2)(3(lim 465lim 22222-=+-=-+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ⑹ )11)(11()11(lim 11lim22220220x x x x x x x x +++-++=+-→→2)11(lim )11(lim 202220-=++-=-++=→→x xx x x x ⑺ 311311lim 131lim 22=++=+++∞→+∞→xx x x x x⑻2132543232lim 25342332lim =⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⋅+⋅⋅+⋅+∞→+∞→x xx x x x x x ⑼ 133)1)(1()2)(1(lim 12lim 1311lim 2132131-=-=+-+-+=+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→-→-→x x x x x x x x x x x x x ⑽011lim )1()1)(1(lim)1(lim =++=++++-+=-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n n n⑾ 1lim 1231lim 22222==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→∞→n n n n n n x x ⑿221121211lim2121211lim 2=-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→n n n n 6.求极限 ⑴ 414tan lim0=→x x x⑵ 111sinlim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x⑶ 2sin 2lim sin sin 2lim sin 2cos 1lim0200===-→→→xxx x x x x x x x x ⑷ x x n nn =⋅∞→2sin 2lim⑸ 21sin lim 212arcsin lim00==→→y y x x y x ⑹111sinlim1sin lim 1sinlim 22222-=-=-=-∞→-∞→-∞→x x x x x x x x x ⑺ k k xx k xx xkx e x x x x ----→---→-→=--=-=-])1()1[(lim )1(lim )1(lim2)(12)(120⑻ 22211lim 1lim e x x x x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅∞→∞→⑼ 313tan 311cot 0])tan 31()tan 31[(lim )tan 31(lim e x x x xx x x =++=+→+→⑽ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→32321lim x x x 343)34(23])321()321[(lim ---∞→=-⋅-e xx xx ⑾ []1)31(lim )31(lim )31(lim 03133311==+=+=+⋅-+∞→⋅⋅-+∞→-+∞→--e xx x x x x x x x x xxx⑿ 1333111lim 1111lim 1lim -+∞→+∞→+∞→==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e ex x x x x x x x x x习题1.31、⑴ 因为函数在x=1点处无定义，)2)(1()1)(1()(--+-=x x x x x f ，但是2)(lim 1-=→x f x ，x=1点是函数的第一类间断点（可去）。

高数8-3

2 2 故旋转曲面方程为： f ( x y , z) 0
10
河南城建学院精品课程《高等数学》
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2
总之：旋转曲面的方程： yoz面上的曲线f(y,z)=0绕z轴旋转一周所成的旋转
练习 P31 10 : P31题 10题答案
17
河南城建学院精品课程《高等数学》
x2 y2 例5.椭球面S1是椭圆 1绕x轴旋转而成， 4 3 x2 y2 圆锥面S2 是由过点(4,0)且与椭圆 1相切的 4 3 直线绕x轴旋转而成. 09数学一 y
(1)求S1及S2的方程;
O
(2)求S1及S2 之间的立体体积. 3 x2 y2 z2 提示： (1)S1 : 1; S2 : 先求出切点(1, ), 2 4 3 1 1 2 2 再求出切线方程y ( x 4) y z ( x 4)2 . 2 4 2 1 3 2 (2)体积为V V1 V2 ( ) 3 y 2 dx
解: 设轨迹上动点为即依题意
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R
故所求方程为:
z
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R2
特别,当M0在原点时,球面方程为:
M0
o
M
y
7
x y z R
2 2 2
这条定曲线C 叫动柱面的准线，直线L 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: C
L
20
河南城建学院精品课程《高等数学》

高数Ⅱ 习题答案—8-3,8-4解答

习题8－323. 解：（1） ()13cos 12,cos =⨯⨯=⋅⋅=⋅πb a b a b a ；（2） ()4,cos 2==⋅⋅=⋅a a a a a a a ；()1,cos 2==⋅⋅=⋅b b b b b b b（3） ()()()28131746376332=⨯-⨯+⨯=⋅-⋅+⋅=-⋅+b b b a a a b a b a分配率。

24. 解：（1） ()()()22243264=⋅-+-⋅-+⋅=⋅b a（2） ()()364242222=-+-+==⋅a a a（3）()()()b b b a a a b a b a⋅-⋅+⋅=+⋅-673323分配率()()322366227363222-=+-+⨯-⨯+⨯=25. 解：（1） {}{}{}{}1,2,212,13,13;4,3,437,21,15=---=-=----=()()41434;6142324222=+-+==⋅+⋅-+⋅=⋅CD AB3122222=++=；由于AB CD AB =⋅，故()623CD AB CD AB AB CD CD⋅===表示向量在向量上的投影()4123416,cos =⋅==CD AB . 26. 解：位移向量{}{}6,3,282,14,3121--=---=M M ；重力{}100,0,0-=；故重力所做的功为()()()m kg M M G W ⋅=--=⋅=600100621=5880（J ）27. 证：()0619243=⋅+⋅-+⋅=⋅b a，所以它们相互垂直。

28. 解：设所求向量为{}0,,y x a = ，且22y x a += ；()50534222=+-+=b ，由已知200222=+⇒=y x b a ①；又由()005340=⋅+-+⇒=⋅⇒⊥y x b a b a ②由②43y x =代人①得20016252⋅=y ，得2628±=⇒±=x y ；故所求向量为： {}0,28,26±±=a。

高数常用极限公式大全

高数常用极限公式大全极限公式：1、e^x-1～x (x→0)2、e^(x^2)-1～x^2 (x→0)3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)5、sinx~x (x→0)6、tanx~x (x→0)7、arcsinx~x (x→0)8、arctanx~x (x→0)9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)10、a^x-1~xlna (x→0)11、e^x-1~x (x→0)12、ln(1+x)~x (x→0)13、(1+Bx)^a-1~aBx (x→0)14、[(1+x)^1/n]-1~1/nx (x→0)15、loga(1+x)~x/lna(x→0)扩展资料：高等数学极限中有“两个重要极限”的说法，指的是：sinX/x →1（x→0 ），与(1+1/x)^x→e^x（x→∞）。

另外，关于等价无穷小，有：sinx ~ tanx ~ arctanx ~ arcsinx ~ e^x-1 ~ ln(1+X)~ (a^x-1)/lna ~[(1+x)^a-1]/a ~x（x→0），1-cosx ~ x^2/2（x→0）。

你是说求极限的方法吧？求极限没有固定的方法，必须是具体问题具体分析，没有哪个方法是通用的，大学里用到的方法如下：1、四则运算法则（包括有理化、约分等简单运算）；2、两个重要极限（第二个重要极限是重点）；3、夹逼准则，单调有界准则；4、等价无穷小代换（重点）；5、利用导数定义；6、洛必达法则（重点）；7、泰勒公式（考研数学1需要，其它考试不需要这个方法）；8、定积分定义（考研）；9、利用收敛级数（考研）每个方法中可能都会有相应的公式，全总结就太多了，你自己去看吧。

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

等价无穷小代换罗必塔法则泰勒展开转化成定积分转化成求导夹逼定理。

小学一年级的数学知识点(通用13篇)

小学一年级的数学知识点（通用13篇）小学一年级的数学知识点第1篇【第三单元《加减法〈一〉》】(加法的认识)知识点：1、初步了解加法的含义，会读、写加法算式，感悟把两个数合并在一起求一共是多少，用加法计算;2、初步尝试选择恰当的方法进行5以内的加法口算。

3、第一次出现了图形应用题，要让学生学会看图形应用型题目，理解题目的意思。

(初步认识加法的交换律)知识点：1、初步感知从不同的观察角度出发，会列出不同的算式，从而形象直观的说明两个数相加，交换加数位置，得数不变。

2、鼓励学生根据图意提出问题。

解决问题时，可以出现两个不同的算式，并比较两个算式的异同。

(减法的认识)知识点：1、会读写减法算式，能说出减号的意义，理解减法的计算方法。

2、能正确理解图意，并根据图意写出减法算式，从而学会解决简单的数学问题，感悟从一个数里去掉一部分求另一部分用减法计算。

(得数是0的减法)知识点：1、进一步体会减法含义，理解得数是“0”的减法算式的意义。

2、提高5以内数减法的计算能力。

3、会把加法算式转化减法算式。

(6，7的加减法)知识点：1、学会“6”和“7”的加减法，感知并了解加减法之间的相互联系。

2、根据图意能列出“一加一减”两道算式。

3、正确口算“6”和“7”的加减法，并能表达算式的含义。

(8，9的加减法)知识点：1、在具体情境中有序地写出8、9的不同的加减法算式。

体会加减法之间的联系。

2、正确口算“8”和“9”的加减法。

(8，9加减法的综合练习)知识点：1、在理解图意的基础上分析数量关系并提出数学问题，正确选择计算方法解决问题。

2、认识“大括号”，理解图中“大括号”和“问号”表示的含义。

3、根据图中数量关系，联系加减法含义，能正确列式，学会“求整体”时用加法解决，“求部分”时用减法解决。

(10的加减法)知识点：1、从实际问题抽象并整理出10的加法和相应的减法。

2、正确熟练地口算10的加减法3、本课教学10的组成和分解虽然不再作为10的加减法的逻辑起点，但它仍是熟练地口算10的加减法的有效手段。

专升本高数考试题及答案

专升本高数考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数是（）。

A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C2. 极限lim(x→0) (sin x)/x等于（）。

A. 0B. 1C. πD. 2答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？（）A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x答案：B4. 曲线y=2x-x^2在点(1,1)处的切线斜率是（）。

A. 1B. -1C. 0D. 2答案：A5. 以下哪个级数是收敛的？（）A. 1+1/2+1/3+...B. 1-1/2+1/3-1/4+...C. 1+1/4+1/9+...D. 1/2+1/4+1/8+...答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 微分方程dy/dx=2x的通解是y=_________。

答案：x^2+C7. 函数f(x)=x^3-3x在x=1处的导数是_________。

答案：08. 定积分∫_0^1 x dx的值是_________。

答案：1/29. 曲线y=x^2与直线y=4x相切的切点坐标是_________。

答案：(4,16)10. 函数f(x)=e^x的原函数是_________。

答案：e^x+C三、计算题（每题10分，共20分）11. 计算定积分∫_0^π/2 sin x dx。

答案：112. 求函数f(x)=x^2-6x+8在区间[2,4]上的定积分。

答案：-4四、证明题（每题15分，共30分）13. 证明：函数f(x)=x^3在R上是增函数。

答案：略14. 证明：对于任意正实数a和b，有a^2+b^2≥2ab。

答案：略结束语：以上为本次专升本高数考试的试题及答案，希望同学们通过本次考试能够检验自己的学习成果，查漏补缺，为未来的学习打下坚实的基础。

高数题库——精选推荐

2014工科题库（下）一、选择题积分：1.定积分⎰ba dx x f )(是（）.A 、)(x f 的一个原函数B 、)(x f 的全体原函数C 、任意常数D 、确定常数2.)(x f y =在区间[a,b]上连续，则定积分⎰ba dx x f )(的值（）A 、只与积分区间有关B 、只与被积函数有关C 、与积分变量有关D 、与积分区间和被积函数有关 3.)(x f y =在[a,b]上连续，x 是(a,b)内一点，则变上限积分⎰xa dx x f )(是（）A 、)(x f y =的全体原函数B 、)(x f y =的一个原函数C 、)(x f y =D 、)(x f ' 4.定积分⎰ba dx x f )(的值（）A 、是一个常数B 、)(x f 的一个原函数C 、一个函数族D 、一个负常数 5.柱面02=+z x 的母线平行（）A ：y 轴B ：x 轴C z 轴D ： zox 面6.在空间直角坐标系中，点A （2，3，4）在（）A ：第一卦限B ：第二卦限C ：第三卦限D ：第四卦限 7.函数Z=lg(22y x +)的间断点为( )A:(0,0) B:22y x +＞0 C:2x +2y ＜0 D:22y x +≠0 8.设f(x,y)=42332y y x x +-,则/'x f (x,y)=( )A:xy x 432- B:y x x 2223- C:x x 43- D:343+-xy x 9.改变积分顺序:⎰⎰-111),(dy y x f dx =( )A:⎰⎰-1110),(dx y x f dy B:⎰⎰-1011),(dx y x f dyC:⎰⎰-1110),(dy y x f dx D:⎰⎰101),(dx y x f dy10.下面方程中，可分离变量的方程为（）A ：=dxdy2x e B ：dx dy =sin （xy ） C ：x y x y =-'2 D ：xy y x y =-'2211.矩阵 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01321001（）A ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3021B ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2130C ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1203D ：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-130212.设}1,1,1{},1,1,1{--=-=→→b a ，则有( )A: →a ∥→b B ： →a ⊥→bC:3),ˆ(π=→→b a D: 32),ˆ(π=→→b a 13.已知M1 (2,4,7),M2(-4,0,0)两点 ,则向量21M M 的坐标为( )A:｛-6,4,7｝ B:｛-6,-4,-7｝ C:｛6,4,-7｝ D:｛-4,4,7｝ 14.二元函数的几何图形一般是( )A:一条曲线 B:一张曲面 C:一个平面区域 D:一个空间区域 15.设Z=yxy x -2,则x z ∂∂=( )A:2xy+y x B:2xy+y C:2xy-2y x D:2xy-y116.设D 是圆环域1≤22y x +≤4,则⎰⎰Ddxdy =( )A:π B:2π C:3π D:15π17.下面方程中,一阶线性齐次方程为( )A:x y x dx dy =+2 B:x xy dxdy 32-= C:y x e y -=' D:2xy y 3='18.设A 为m ×s 矩阵,B 为s ×n 矩阵,那么下列算式有意义的是( )A: AB B: BA C:A z D:AB T 19.曲面2242y x z +=称为（）A:椭球面 B: 圆锥面 C: 旋转抛物面 D:椭圆抛物面 20.在空间直角坐标系中,平行于y 轴的平面是( )A:y+D=0 B:Ax+By+D=0 C:Ax+Cz+D=0 D:By+Cz+D=0 21.函数Z=2211yx --的定义域为( )A:圆周22y x +=1 B:圆周22y x +=1的内部 C:圆周22y x +=1及内部 D:圆周22y x +=1的外部 22.设f(x,y)=ln(xy),则y f ' (1,2)=( )A:21 B:23C:2 D:ln223.改变积分顺序,则⎰⎰-110),(x dy y x f dx =( )A:⎰⎰110),(dx y x f dy B:⎰⎰-111),(y dx y x f dyC:⎰⎰-1010),(Ydx y x f dy D:⎰⎰11),(ydx y x f dy24.下面方程中,一阶线性非齐次方程为( )A:03=+y dx dy x B:011=+-y xdx dy C:)sin(3xy xy y =+' D:x y y =+'225.下列等式成立的是( )A:A A T = B: AB=T T B A C:(AB)B A T T = D:T T T A B AB =)(26．设向量{}{}z b a ,4,2,3,2,1==→→，若使→→b a ,垂直，则z=（） A 、310- B 、310 C 、311- D 、31127．若函数),(y x f z =在点),(000y x P 处的两个偏导数yzx z ∂∂∂∂,存在，则它在0P 处（）A 、连续B 、可微C 、不一定连续D 、一定不连续28．设D 是由π≤≤≤≤y x 0,10所确定的闭区域，则σd xy y D)cos(⎰⎰=（）A 、2B 、2πC 、π+1D 、0 29、函数xe y 42=是86=+'-'y y y 的A 、通解B 、特解C 、不是解D 、是解，但既非特解，也非通解30、两个初等矩阵的乘积是（）A 、初等矩阵B 、单位矩阵C 、可逆矩阵D 、不可逆矩阵31、下列等式中错误的是（）A 、T T TB A AB =)( B 、A A T T =)(C 、11)()(--=T T A AD 、T T T A B AB =)(32、设向量→→→→-+=k j i m a 5和向量→→→→++=k n j i b 3共线，则m,n 是（）A 、m=15 n=-1/5B 、m=3 n=-1C 、m=-1/5 n=-15D 、m=-1 n=333、设D 是由1,2≤≤y x ，所围成的闭区域，则=⎰⎰Dd y x σ23（）A 、19/12B 、11/12C 、1/12D 、0 34、微分方程y y '=''的通解为（）A 、x e c x c y 21+=B 、x e c c y 21+=C 、x c c y 21+=D 、221x c x c y +=35、若A 、B 、C 皆为n 阶方阵，则下列关系式中（）非恒成立。

高数课本_同济六版

p40例2不用做p41定理2不用证p42习题1—4 1做2-5不全做6做7-8不用做第五节(注意运算法则得前提条件就是各自存在)P43定理仁2得证明要理解P44推论1、2、3得证明不用瞧P48定理6得证明不用瞧p49习题1・・51题只需做⑶⑹⑺⑻(10)(11)(13)(14)2、3要做4、5重点做6不做第六节极限存在准则(重要)两个重要极限(重要两个重要极限要会证明P50准则1得证明要理解P51重要极限一泄要会独立证明(经典重要极限)P53另一个重要极限得证明可以不用瞧P55-56M西极限存在准则不用瞧p56习题1大题只做(1)(4)(6) 2全做3不用做4全做，英中(2)(3)(5)重点做第七节(重要)P58-59左理1、2得证明要理解p59习题1-7全做第八节(基本必考小题)P60-64要重点瞧第八节基本必出考题p64 >J 题1 —8仁2、3、4、5要做其中4、5要重点做6・・8不用做第九节（了解）P66-67左理3、4得证明均不用瞧p69习题1・・91、2要做3大题只做（3）—（6）4大题只做（4）——（6）5、6均要重点做第十节（重要，不单独考大题，但考大题会用到）一、（重要）二、（重要）P72三、一致连续性（不用瞧）p74 习^1-101、2、3、5要做,要会用5得结论。

4、6、7不用做p74总习题一除了7、8、9（1）（3）（4）Z外均要做其中要重点做得就是3（1 ）（2）. 5、11. 14第二章（小题必考章节）第一节（重要）一、引例（数三可只瞧切线问题举例）二、导数得宦义（重难点，考得频率很高）三、导数得几何意义（重要）另:【数一数二要知道导数得物理意义，数三要知道导数得经济意义（边际与弹性）四、函数得可导性与连续性关系（要会证明,重要）p79导数得定义要重点掌握,基本必出考题P81-82例1 一例6认真做以便真正掌握导数得定义p85可导性与连续性得关系要会证明）p86习题2—1不用做得就是1、2、9（1）-（6）、10、12、13、14其余都要做次中重点做得就是6、7、8、16. 18、19第二章第二节（考小题）四、基本求导法则打求导公式（要非常熟）P88-89 （1）（2）（3）得证明均不用瞧p89例1不用做p90迫理2得证明要理解p91 — 92例6—8重点做p92定理3证明不用瞧p96例7不用做p97习题2・・22题（1）（5）（7）（10）. 3（1）. 4、12均不用做瓦余全做英中13、14要重点做第二章第三节（重要，考得可能性大）P100例3不用做p103 Al题2・・35、6、7、11均不用做，苴余全做！其中4、12要重点做第二章第四节（考小题）p107-110由参数方程所确定得函数得导数数三不用瞧phi三、相关变化率（不用瞧）p111习题1大题⑴⑷、3（1）（2）、9T2均不用做数三5-8也不用做K中4重点做第二章第五节（考小题）p119四、微分在近似计算中得应用（不用瞧，基本上只要有近似两个字，考纲均不作要求）习题2・・55・・12均不用做其她得全做p125总习题二4、10、15-18均不用做，其余全做！其中2、3、6、7、14要重点做!数三不用做12、13 第三章（考大题堆题经典章节，绝对重点章节）第一节（最重要，与中值世理应用有关得证明题）一、罗尔定理（要会证）二、拉格朗日中值;^理（要会证）三、（柯西中值崔理（要会证）另外，要会证明费马定理p128-133费马定理罗尔；^^理拉格朗日中值定理柯西中值定理一泄要会独立证明，极其重要p134 Al题3・・1除13、15不用做，其余全部【重点】做第三章第二节(重要，基本必然要考)p134-135洛必达法则要会证明习题3・・2习题全做其中仁(1)(5)(10)(12)(15)(16). 3、4要重点做第三章第三节(掌握其应用，可以不用证明公式其本身)p140-141泰勒公式得证明不用瞧p145习题3・・3 8、9不用做，其余全做，英中,10 (1)(2)(3)要重点做第三章第四节(考小题)p152习题3・・4 3(1)(2)(5). 5(1 )(2). 8(1 )(2)S 9(1)(3)(5). 10(2)不用做，其余全做, 重点做3(3)(6)(8)、4、5(3)(5)、6、13、15 第三章第五节(考小题为主)P160例5不用做P161例6不用做p162例7不用做p162习题3・・5 1(2)(3)(6)(9)、8-16均不用做，其余全做第三章第六节（重要基础章卩）p169习题3・・6 1不用做2・・5都要做第三章第七节（了解，只有数一数二考,数三不用瞧）一、弧微分（不用瞧）二（了解）三、（了解）P175四、（不用瞧）P177 习题3—7 数三均不用做数一数二只需做1一6 第三章第八节（只要有近似，考研不考，不用瞧）p182总习题三数一、数二全做数三可不用做（这个楼主有点疑问，楼主数一，所以数三考生有异议请私信）苴中,2（2）、3、7、8、9、10（3）（4）. 11（3）. 12、17. 18、20要重点做第三章第八节（只要有近似，考研不考，不用瞧）p182总习题三数一、数二全做数三15不用做其中,2（2）、3、7、8、9、10（3）（4）. 11（3）. 12、17、18、20要重点做第四章（重要、柑对于数一、数三，数二考大题得可能性更大）第一节（重要）一、（理解）二、（会背，且熟练准确）三、（理解）P186例4不用做p188-189基本积分表一左要记得熟练、准确p192 Al题4・・12⑴一⑷⑹⑺⑼（10）（11）（16）. 3、4、6均不用做其余全做第四章第二节（重要，其中第二类换元法更加重要）p207习题4・・21、2⑴⑵⑶⑻（9）（10）（13）（25）均不用做，其余全做第四章第三节（考研必考）p212习题4一3全做（分部积分法极尖重要）第四节（重要）p218习题4一4全做第五节（不用瞧）p221总习题四全做第五章（重要，考研必考）第一节（理解）一、是积分问题举例（了解，其中变速直线运动得路程，数三不用瞧）二、泄枳分楚义（理解）P228三、楚积分得近似il•算（不用瞧）P231-234四、左积分得性质（理解）性质1・・7要理解，且能熟练应用，次中性质7最重要，要会独立证明p234习题5・・11、2、3、6、8、9、W均不用做，其余全部做，且重点做5、11. 12第五章第二节（重要）一、变速宜线运动中得位置……得联系（了解，数三不用瞧）二、积分上限得函数极其导数（极其重要，要会证明）三、牛顿••莱布尼茨公式（重要、要会证明）P237定理1 ,要求会独立证明，极其重要P239定理3要求会独立证明P241例5不用做例6经典例题，极加重要，记住结论p243习题5・・2 6⑴（2）（4）・・⑺（9）.7、8均不用做虛余全做戻中【数三】2不用做需要重点做得为9（2）、10-13第五章第三节（重要，分部积分法更重要）P247-249例5、6、7经典例题，重点做,并记住英相应结论P252例12经典例题，记住结论P253习题5・・31 (1 )(2)(3)(6)(12)(14)(15)(16)(21 )(22). 7⑴⑶⑻⑼不用做，其余全部做，且重点做1⑷⑺(17)(18)(25)(26)、2、6、7(7)(10)(12)(13)第五章第四节（考小题）p260习题5・・4全做,重点做1（4）、3 ° 3题为经典公式，一楚发要熟记第五节（不用瞧）【注】考纲不做要求，最好记住F（伽马，打不出来那个）函数得部分性质，可能给解题带来方便, 可参考汤家凤视频）P268总习题五1（3）. 2（3）（4）（5）、15、16均不用做瓦余全部做次中,重点做得就是3、5、7、8、9、10（1）⑵⑶⑻⑼（10）、13、14、17 第六章（考小题）第一节（理解）第二节（而积最重要）一、平而图形得而积P276-277极坐标情形只有数一数二瞧数三不用喘二、体枳（数三只瞧旋转体得体积）P280-281平行截而面积为已知得立体体积只有数一数二瞧三、平而曲线得弧长（数三不用瞧，数一数二记住公式即可）习题6・・2数一全做数二21-30不用做数三5、6、7、8、15（4）、17、18、21-30不用做第三节（数三不用瞧，数一数二了解）P291-292 习题6、3 只有数一数二做数三不用做P292-293总习题六数一全做数二6不做数三只需做3、4、5 第七章(本章对于数二相对最重要) 第一节(了解)P294例2数三不用唯p298习题7・・1只需做1(3)(4). 2(2)(4)、3(2)、4(2)(3)、5第七章第二节(理解)P301-304例2、3、4只有数一数二瞧，数三不用瞧p304习题7・・2只做仁2 第七章第三节(理解) 二、可化为齐次得方程(不用瞧)P306例2-P309均不用瞧p309习题7・・3 1 只做(1)(5)(6) 2只做(2)3、4不用做第七章第四节(重要，熟记公式)P312例2不用瞧P314伯努利方程只有数一瞧p315习题7・・4 1 只做(3)(5)(8)(10). 2只做(2)(3). 3做4・・7均不用做、8只有数一做第七章第五节(只有数一数二考,理解)P317例2不用瞧p319例4不用做P321例6不用做P316-P323数三均不用瞧P323习题7-5(数三不用做) 数一数二只做1(3)(4)(5)(10). 2(1)(2)(6) 3、4不用做第七章第六节(理解) 一、(不用噬)二、(重要)三、(不用瞧)P323-324二阶线性微分方程举例不用瞧P325-328立理1、2、3、4重点瞧P328-330常数变易法不用瞧p331习题7・・6只做1⑶⑷⑹⑺(10)、3、4⑴⑸⑹ 第七章第七节、第八节•(最重要，考大题备选章节)P335例4不用做P336-338例5不用做习题7・・7只做1⑴⑷⑺⑼(10)、2⑴⑵⑷P346例5不用瞧p347习题7・・8只做1(2)(4)(5)(6)(9)(10)、2(3)(4)、6其中6重点做第七章第九节(只有数一考，理解)P348-349欧拉方程只有数一瞧p349习题7・・9 数一只做(5)(8) 第十节(不用瞧)2(2)、3(1)(3)(5)(7)(8). 4(3)(4)、5、7、8、102(2)、3(1)(3)(5)(7)(8)、4(3)(4)、5、72(2)、3(1)(3)(5)(7)(8). 4(3)(4)、5、7第八章(只有数一考，考小题,了解) (本章只有数一考，单独命题以考小题为主，但数一特有得绝对重要考点,曲线曲面积分要以本章为基础，建议数一同学好好复习本章) 本章需要数一多加注意得考点有:曲面方程与空间曲线方程。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第四节空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影四、小结习题
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
空间曲线的一般方程特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.
x2 z2 a2 1 在xoy平面上的投影为圆盘，即 4 y 0
[返回习题]
t
o
x A
M

x a cos t y a sin t z vt
y
M
螺旋线的参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
螺旋线的重要性质：
即 : 0 0 ,
x a cos y a sin v z b ( t , b )
[解答]
x2 y2 z2 3 将曲线方程化为参数方程. y x [解答]
4 求上半球0 z
和xoz面的投影.
a 2 x 2 y 2 与圆柱体
[解答]
x 2 y 2 ax(a 0)的公共部分在xoy面
习题解答
1、画出下列曲线在第一卦限内的图形
x 1 (1) y 2
消去 z 得投影柱面 x 2 y 2 1,
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x 2 y 2 1, z 0.
一个圆,
所求立体在 xoy 面上的投影为
x 2 y 2 1.
四、小结习题
空间曲线的一般方程、参数方程．
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
x 1 (1) ; y 2 z 4 x 2 y 2 ( 2) ; x y 0
x2 y2 a2 ( 3) 2 ; 2 2 x z a
[解答]
[解答]
2 分别求出曲线平行于x轴及y轴而且通过曲线
2 x 2 y 2 z 2 16 的柱面方程. 2 2 2 x z y 0
2 2
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空间立体
曲面
例6 设一个立体,由上半球面 z 4 x 2 y 2
和 z 3( x 2 y 2 )锥面所围成, 求它在 xoy 面上的投影.
解半球面和锥面的交线为
z 4 x2 y2 , C : z 3( x 2 y 2 ),
上升的高度与转过的角度成正比．
z : b 0 b 0 b ,
2,
上升的高度 h 2b 螺距
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) 0
消去变量z后得： H ( x , y ) 0 曲线关于 xoy 的投影柱面投影柱面的特征以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
1 3 z | x | ; 2, 2 y 0 （3）同理在 yoz 面上的投影也为线段. 1 z 2, x 0 3 | y | . 2
例5
求抛物面 y 2 z 2 x 与平面 x 2 y z 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.
习题解答
4 求上半球 0 z a 2 x 2 y 2 与圆柱体
x 2 y 2 ax(a 0)的公共部分在xoy面和xoz面的投影.
解在xoy面上的投影为圆盘 a 2 a 2 2 2 2 x y ax 0 即（x ) y ( ) 2 2 z0 z 0
z 4 x 2 y 2 ( 2 ) x y0
解 (1)
z
( 2)
z
o x
y
x
o
y
[返回习题]
习题解答
x2 y2 a2 ( 3 ) 2 2 2 x z a
( 3)
z
o x
y
[返回习题]
习题解答
2 分别求出母线平行于x轴及y轴而且通过曲线
2 x 2 y 2 z 2 16 的柱面方程. 2 2 2 x z y 0
解 z a x y
2 2 2
上半球面,
a 2 a2 ( x ) y2 圆柱面, 2 4
交线如图.
二、空间曲线的参数方程
x x(t ) y y( t ) 空间曲线的参数方程 z z(t )
当给定 t t1 时，就得到曲线上的一个点
( x1 , y1 , z1 ) ，随着参数的变化可得到曲线上
(1) 消去 x 得 3 y 2 z 2 16. 即为母线平行于 x 轴解
且过已知曲线的柱面方程.
2 2 ( 2) 消去 y 得 3 x 2 z 16. 即为母线平行于y 轴
且过已知曲面的柱面方程 .
[返回习题]
习题解答
x2 y2 z2 3 将曲线方程化为参数方程 yx
解Leabharlann 截线方程为y z x x 2y z 0
2 2
如图,
x 2 5 y 2 4 xy x 0 , （1）消去z 得投影 z 0 x 2 5 z 2 2 xz 4 x 0 （2）消去 y 得投影 , y 0 y z 2y z 0 . （3）消去 x 得投影 x 0
x2 y2 z2 1 例4 求曲线在坐标面上的投影. 1 z 2
解（1）消去变量z后得
3 x y , 4
2 2
在 xoy面上的投影为 3 2 2 x y 4, z 0
1 （2）因为曲线在平面 z 上， 2 所以在 xoz 面上的投影为线段.
z
S1
S2
o
x
C
y
x2 y2 1 例1 方程组表示怎样的曲线？ 2 x 3 y 3z 6
解
x y 1 表示圆柱面，
2 2
2 x 3 y 3 z 6 表示平面，
x y 1 2 x 3 y 3z 6
2 2
交线为椭圆.
z a2 x2 y2 例2 方程组 a 2 a 2 表示怎样的曲线？ ( x ) y2 2 4
将y x代入x 2 y 2 z 2 , 得2 x 2 z 2 9 解 x2 z 2 3 即 ( ) 1. 令 x cos , 则 z 3 sin 3 2 3 2 ( ) 2 3 cos x 2 3 故参数方程为 y cos , 0 2 2 z 3 sin [返回习题]
x x( t ) y y( t ) z z(t )
空间曲线在坐标面上的投影．
H ( x , y ) 0 R( y , z ) 0 z 0 x 0 T ( x , z ) 0 y 0
习题7-4
1 画出下列曲线在第一卦限内的图形 :
的全部点.
例 3 如果空间一点M 在圆柱面x 2 y 2 a 2 上以 z v 角速度绕z 轴旋转，同时又以线速度沿平行于 v 轴的正方向上升（其中、都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数，动点从A点出发，经过t时间，运动到M点 M 在 xoy 面的投影M ( x , y ,0)
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H ( x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线,
R( y , z ) 0 x 0
xoz面上的投影曲线,
T ( x , z ) 0 y 0