(新)安徽大学2013—2014学年第一学期《高等数学C(一)》 考试试卷 (A卷)及答案(张春杰)
2012-2013学年安徽大学《高等数学 C(二)》(A卷)考试试题及参考答案
安徽大学2012—2013学年第二学期 《高等数学C (二)》考试试卷(A 卷)(闭卷 时间120分钟)院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------考场登记表序号_______题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分阅卷人得分一、填空题(每小题3分,共15分)1、设,1224311A t−⎛⎞⎜⎟=⎜3⎜⎟−⎝⎠⎟B 为三阶非零矩阵,若0AB =,则__________. t =2、若A 为三阶矩阵,行列式 2A =,2B A =,B ∗为B 的伴随矩阵,则 B ∗=__________.3、若行列式 33 ij D a ×=满足111a =,122a =,130a =,且余子式,31 8M =−32M x =,,则3319M =x =__________.4、已知向量组,,,,若1(1, 0, 2)T α=2(1, 1, 3)T α=3(1,1, 2)T k α=−+(1, 2, 5)T β=β不.能.由12,,3ααα线性表示,则k =__________.5、若阶矩阵n A 的秩为,且1n −A 的各行元素之和均为,则齐次线性方程组00AX =的通解是__________.二、选择题(每小题3分,共15分)得分6、已知A ,B ,C 均为阶矩阵,则下列结论正确的是 ( )n A . 22()2A B A AB B +=++2m B .,其中为正整数 ()m m AB A B =m C .若AB AC =且,则0A ≠B C =D .若,则ABCE =BCA E =,其中E 为n 阶单位矩阵7、设1α,2α均为维向量,向量n 1β,2β,3β均可以由1α,2α线性表示,则下列结论正确的是 ( ) A .1β,2β,3β必线性无关 B .1β,2β,3β必线性相关C .仅当1α,2α线性无关时,1β,2β,3β线性无关D .仅当1α,2α线性相关时,1β,2β,3β线性相关8、设A 为矩阵,则下列结论正确的是 ( ) m n × A .若,则方程组m n <AX b =必有无穷多解B .若,则方程组m n <0AX =必有非零解,且基础解系含有个线性无关解向量 n m −C .若A 有阶子式不为零,则方程组n 0AX =仅有零解D .若A 有n 阶子式不为零,则方程组AX b =有唯一解9、下列选项中,哪个不是..“()ij n n A a ×=为正交矩阵”的充分条件 ( ) A .A 的行向量组与列向量组均为正交向量组 B .1A =,且对任意i j ,1,2,,n ",有ij ij a A = =C .为正交矩阵 T A D .1T A A −=10、若三阶矩阵A 有特征值122λλ==,E 为三阶单位矩阵,且|,则||A E −=0|A 为 ( )A .−B .C .224−D .4三、计算题(每小题9分,共54分)得分11、计算n 阶行列式1211111111n n a a D a ++=+"""""""1,其中.120n a a a ≠"答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------12、若三维向量123(,,)a a a α=,123(,,)b b b β=,且211211211T A αβ⎛⎞⎜⎟==−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠,求:(1)T βα;(2). 2A13、已知矩阵,判断021332121A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A 是否可逆.如果可逆,求;如果不可逆,请说明理由. 1A −14、求向量组,,,的秩和一个极大线性无关组,并把其余向量用该极大无关组线性表示. 1(1,0,2,0)T α=2(0,1,1,2)T α=−3(1,2,4,4)T α=−4(2,1,4,2)T α=−15、已知,,若20000101A a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠20003402B b ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟−⎝⎠⎟⎟A 与B 相似,求a ,b 的值.答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------16、已知方程组有无穷多个解,求123123123112x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=−⎩λ的值及方程组的通解.四、分析计算题(每小题10分,共10分)得分17、设二次型222123123121323(,,)4484f x x x x x x x x x x x x =++−−−,(1)判断二次型是否正定;(2)利用正交变换X QY =化二次型为标准形,并求出相应的正交矩阵. Q得分五、证明题(每小题6分,共6分)18、已知n 阶矩阵A 满足 32A E =,其中E 为阶单位矩阵,若n 2B A A =+,证明B 可逆,并求B 的逆矩阵.安徽大学2012—2013学年第二学期 《高等数学C (二)》考试试卷(A 卷)参考答案与评分标准一、填空题(每小题3分,共15分)1、;2、256;3、;4、3−4−1−;5、,其中为任意常数(1,1,,1)T k "k二、选择题(每小题3分,共15分)6、D ;7、B ;8、C ;9、A ; 10、D三、计算题(每小题9分,共54分)11、解:从第二行起,每行减去第一行,再从第二列起,第i 列的1ia a 倍加到第一列上,得(2,3,,i n =")111221311111110011111100n nna a a a a D a a a a ++−+==−+−""""""""""""""""10a ......(4分) 112212131111001(1)000000ni in n i ina a a a a a a a a a ==++==∑+∑"""""""""".......(9分) 12、解:(1)因为,()111121321232122233313233211211211T a a b a b a b a b b b a b a b a b a a b a ba b αβ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟===−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠−−+=所以. ()1123211223332(1)12T a b b b a a b a b a b a βα⎛⎞⎜⎟==++=+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠......(5分)(2)2422()22422422T T T A A αβαβαβ⎛⎞⎜⎟====−−−⎜⎜⎟⎝⎠⎟. ......(9分)13、解:利用初等变换法可以直接判断A 是否可逆,并求出1A −:()021100,332010121001A E ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠121001021100332010⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠10010102022613001322⎛⎞⎜⎟−⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠100101010113001326−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠,......(7分)故A 可逆,且1101113326A −−⎛⎞⎜=−−⎜⎜⎟⎟⎟−⎝⎠. ......(9分)(注:若先由02133210121A ==≠判断出A 可逆,则给3分;之后正确求出1A −,则给9分.)14、解:依题意,将向量组按列排成矩阵并作初等行变换()123410120121,, , 21440242αααα⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠1012012101200242⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠1012012100010000⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟→⎜⎟−⎜⎟⎝⎠1010012000010000⎛⎞⎜⎟⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠, ......(5分)故,()1234, , , 3r αααα=124,,ααα为向量组的一个极大无关组,且3122ααα=+. ......(9分)15、解:由相似矩阵的性质,一方面A B =,即381b +=−,得.3b =− ......(5分)另一方面,相似矩阵有相同的特征值,故()()tr A tr B =, 即2,得.5a +=+b 0a =......(9分)16、解:依题意,对方程组的增广矩阵作初等行变换111112111111112111A λλλλλλ−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠2112011301112λλλλλλ−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−−+⎝⎠ 112011300(1)(2)2(2)λλλλλλ−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−++⎝⎠, 故当2λ=−时,()()2r A r A ==,方程组有无穷多个解. ......(4分)此时对应的同解方程组为1232322333x x x x x +−=−⎧⎨−+=⎩,令自由未知量,得该方程组的一个特解.30x =(1,1,0)T η=−−其对应齐次方程组1232320330x x x x x +−=⎧⎨−+=⎩的基础解系为,(1,1,1)T ξ=因此原方程组的通解为,其中为任意常数. ......(9分)(1,1,1)(1,1,0)T x k k ξη=+=+−−T k四、分析计算题(每小题10分,共10分)17、解:(1)因为二次型的矩阵为124242421A −−⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠,2124242(5)(4)421E A λλλλλλ−−=−=−+=−0,所以A 的特征值为125λλ==,34λ=−.由于A 有一个特征值为负数,故A 不正定,该二次型不正定.......(4分)(2)对于方程组(5,)0E A x −=解得基础解系为11(,1,0)2T ξ=−,.2(1,0,1)T ξ=−先正交化,得111(,1,0)2T ηξ==−,2122111(,)42(,,1)(,)55T ξηηξηηη=−=−−,再单位化,得111(T )ηγη==,222(Tηγη==. 对于方程组(4,解得基础解系, )0E A x −−=3(2,1,2)T ξ=单位化得333212(,,333T ξγξ==. ......(6分) 故所求正交矩阵()123,,0Q γγγ⎛⎜⎜⎜==⎜⎜⎜⎜⎝, f 的标准形为221255423f y y y =+−. ......(10分)五、证明题(每小题6分,共6分)18、证明:一方面,由32A E =知,A 可逆且1212A A −=. 另一方面,由32A E =得,33A E E +=,即2()()3A E A A E E +−+=,所以A E +可逆,且121()(3)A E A A −E +=−+. ......(4分)由A ,A E +均可逆知,2()B A A A A E =+=+也可逆,且11(())()11B A A E A E A −−=+=+−−2243111()(3262)A A E A A A A =−+=−+. ......(6分)。
13级《高等数学I、II》(上)期末考试卷及答案
2013—2014学年第一学期《高等数学I 、II 》考试试卷(A 卷)一、填空题(每小题3分,共48分)1. 2()ln(1)f x x =-, 已知 000()(2)3lim2h f x f x h h →--=, =0x 13- .2. 2sin 10()0ax x e x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则a = 1- . 3. 函数32()391f x x x x =--+的既递减又上凸的区间是 (1,1)- .4. 21tx t y e ⎧=+⎨=⎩,则22d d y x 4t t. 5. 设)(x f 在0=x 点处连续,且0()lim12x f x x→=,那么(0)f '= 2 6. 222||2x x dx x -++⎰ ln3 .7.x y dye dx+=的通解为 y x e e c --=+ 8. 设3(1)f x x +=,则(1)f x '-= 23(2)x - .9. 方程2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =,则(0)y '= 0 。
10. 若函数)(x f 具有二阶连续导数,,0)()(21='='x f x f ),(0)( 21x f x f ''<<''则12(),().f x f x 的大小关系为 ).()(21x f x f >11. 变上限函数⎰21sin x tdt 的导数等于 2sin 2x x12. 设x ,x e ,x e -是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解,则该方程的通解为x x e C x e C y x x +-+-=-)()(21。
得 分13. 广义积分21(ln )edx x x +∞⎰= 1 。
14. 微分方程052=+'-''y y y 的通解为12(cos 2sin 2)x y e c x c x =+ 15. ⎰⎰'+=dx x f x c x dx x f )( ,sin )(2 2sin 2sin x x x C -+ .16. 函数x e x f -=)(的四阶麦克劳林公式是)(!!!443243211x o xx x x ++-+-二、计算题(满分24分,每小题6分)17.求020()lim (0,0)ln(1)xt t xx a b dt a b t dt→->>+⎰⎰)(b a ≠原式=-+→limln()x x x a b x 0212 3分=-+→lim ln ln x x x a a b b x 0412=14lna b 3分18、求曲线xex y 12-+=)(的渐近线。
2013-14-1高等数学试题参考答案及评分标准(A卷)
2013-14-1高等数学期末考试(试卷A )参考答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题,每小题4分,共20分)1、ln(dy x dx = 2、(0)f e = 3、(0,14]4、212x x C -+ 5、212()x y C C x e -=+ 二、选择题 (本大题共5小题,每小题4分,共20分)1、B2、C3、A4、D5、A三、解答下列各题(本大题共3小题,每小题7分,总计21分)1、解:原式=22111arctan arctan arctan 11xdx xdx xdx x x ⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰…………………2分 arctan arctan arctan arctan x x xd x xd x =--⎰⎰………………………………4分()()22211arctan arctan arctan ln arctan 122x x x dx x x x x C x =--=-++⎰…7分 2、解:令2sin x t =,则2cos dx tdt =,原式02sin 2cos 2cos t t tdt π=⋅⋅⎰………………3分2300888cos cos cos 33td t t ππ=-=-=⎰………每步2分 3、解:作图(略)。
所求22a a a V dx x π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰………………………………………………4分 2212aa a a x ππ=-=……………………………………………7分 四、解答下列各题(本大题共3小题,每小题7分,总计21分)1、解:原式=2420ln(1)lim cos sin x x x x x→++………………………………………………………3分 2420lim cos 1x x x x x→+==…………………………………………………………7分 2、解:由题意,0t =时,0,1x y ==;且有(1)t dx e t dt=+, 同时第二个方程两端同时对t 求导,有t tyt tydy ye ye dt e te +=-+………………………………4分 故0012(1)t ty t ty t t t dy ye ye dx e te e t ==+=-⋅=-++……………………………………………………7分 3、解:1()P x =,()x Q x =,于是所求通解为:()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰=⋅+⎰……………………………………………………3分 dx dx e x e dx C -⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰=⋅+⎰1x Ce x -+-=……………………………………………每步2分 五、证明下列各题(本大题共3小题,每小题6分,总计18分)1、证:因00()()()a a a a f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰, 而000()()()x t a a a f x dx f t dt f x dx =--=--=-⎰⎰⎰,故命题得证。
2008-2009学年安徽大学《高等数学 C(二)》(A卷)考试试题及参考答案
安徽大学2008—2009学年第二学期院/系 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------《高等数学C (二)》考试试卷(A 卷)(闭卷 时间120分钟)题 号 一 二 三 四 五 总 分得 分阅卷人得分一、填空题(每小题2分,共10分)1.已知两个4维向量与21(1,,1,0)t α=2(2,1,3,2)t α=−正交,则= t . 2.幂级数221212n nn n x ∞−=−∑的收敛半径为 . 3.设,100220345A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A ∗是A 的伴随矩阵,则1()A ∗−= .4.设平面区域:0,D 01x y y ≤≤≤≤(,),f x y 在上连续,则利用极坐标变换可将二重积分D (,)Df x y d σ∫∫ 化为 .5.二次型22212312224243x x x x x x ++++x 的秩为 .得分 二、单项选择题(每小题2分,共10分)6. 二元函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点处( ).(0,0)A. 连续,偏导数也存在 B. 连续,偏导数不存在C. 不连续,偏导数存在D. 不连续,偏导数也不存在7.若,A B 均为同阶可逆矩阵,则必有( ) . A. A 可经行初等变换变到B B. A B =C. 存在可逆矩阵,使得P 1P AP B −=D. A B +为可逆矩阵8.若阶矩阵n A 的一个特征值为2,则23A A E ++必有一个特征值为( ) .A. 0B. 1C. 11D. 不能确定9.若级数收敛,则( ) .1(n n n a b ∞=+∑)A. 、中至少有一个收敛 B. 1n n a ∞=∑1n n b ∞=∑1n n a ∞=∑、1n n b ∞=∑均收敛C. 1n n n a b ∞=+∑收敛 D. 1n n a ∞=∑、1n n b ∞=∑敛散性相同10. 差分方程的通解为 ( ) (其中为任意常数) .2132t t t y y y ++−+=02222C 1,C C A. B. C. 1C t C +12t C C +1(2)t C −+ D.12(1)t C C −+三、计算题得分(第11小题至第14小题每题8分,第15小题至第17小题每题10分,共62分)11. 已知sin y z x =,求(1) zx ∂∂、z y ∂∂; (2) ; (3) d z 2z x y ∂∂∂.12. 求二重积分cos Dxdxdy x∫∫,其中为直线D y x =与抛物线2y x =所围成的区域.院/系 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------13. 求微分方程32x y y y e −′′′−+=的通解.14. 将1()f x x=展开成的幂级数,并求该幂级数的收敛半径、收敛域. (3x −)⎟⎟15. 已知,. 若201030202A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠100010000B ⎛⎞⎜=−⎜⎜⎟⎝⎠X 满足22AX B BA X +=+,求X .16.求矩阵的特征值和特征向量;判断它是否可以对角化,并说明理由.110430102A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎜⎟⎝⎠⎟0,院/系 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------17.对于非齐次线性方程组1231231231,220.x x x x x x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪−+=⎩(1) a 为何值时,方程组无解;(2) a 为何值时,方程组有解,并求其解.得分 四、应用题(本题10分)18.在平面上求一点,使它到三条直线0x =、0y =、2160x y +−=距离的平方和最小.五、证明题(本题8分) 得分19.设A 为矩阵,其秩为,m n ×AX b =r β是非齐次线性方程组的一个解,0AX =12,,,n r ααα−"是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明:向量组12,,,,n r ααα−"β 线性无关.安徽大学2008-2009学年第二学期《高等数学 C(二)》考试试卷(A 卷)参考答案及评分细则一、填空题(每小题2分,共10分)1.1或; 3. 110A ; 4.csc 204(cos ,sin )d f r r r πθπθθ∫∫dr θ; 5. .2二、单项选择题(每小题2分,共10分)6. C;7. A;8. C;9. D; 10. B.三、计算题(第11小题至第14小题每题8分, 第15小题至第17小题每题10分,共62分)11. 已知sin yz x =,求(1) z x ∂∂、z y ∂∂; (2) ; (3) d z 2z x y ∂∂∂.解:2cos z y y x x x ∂=−∂,1cos z y y x x∂=∂ 21cos cos y y ydz dx dy x x x x=−+22(cos )z y y x y y x ∂∂=−∂∂∂x 231cos sin y y y x x x x =−+ 12. 求二重积分cos Dxdxdy x∫∫,其中为直线D y x =与抛物线2y x =所围成的区域. 解:cos Dxdxdy x ∫∫210cos x x x dx dy x=∫∫120cos ()xx x dx x=−∫1(cos cos )x x x d =−∫x=1cos1−13. 求微分方程32x y y y e −′′′−+=的通解.解:方程对应的齐次微分方程为:32y y y 0′′′−+= 0 其特征方程为,解得232λλ−+=121, 2λλ==.故齐次方程的通解为:212x x C e C e +. 设非齐次方程的一个特解为x y Ae ∗−=代入原方程得到32x x x x Ae Ae Ae e −−−++=−,故16A =这样原方程的通解为:21216x x x C e C e e −++.14. 将1()f x x =展开成的幂级数,并求该幂级数的收敛半径、收敛域.解:(3x −)1111()33331()3f x x x x ===⋅−+−+ 而01(1)1n n n x x ∞==−+∑,,(1,1)x ∈− 故11331()3x ⋅−+013(1)()33n n n x ∞=−=−∑=1(3)(1)3n n n n x ∞+=−−∑ 且313x −<,于是33x −<,收敛半径为3r =, 收敛区域为.(0,6)15.已知,.若201030202A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠100010000B ⎛⎞⎜⎟⎟=−⎜⎜⎟⎝⎠X 满足22AX B BA X +=+,求X . 解:由 22AX B BA X +=+得到:(2)(2)A E X B A E −=−,从而1(2)(2)X A E B A E −=−−又,001(2)010200A E ⎛⎞⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠11002(2)010100A E −⎛⎞⎜⎟⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠这样,1200100001010010010100000200X ⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎟⎠000010001⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎜=−⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎝⎜⎟⎝⎠⎟⎟16.求矩阵的特征值和特征向量;判断它是否可以对角化,并说明理由.110430102A −⎛⎞⎜=−⎜⎜⎟⎝⎠解:1104301022(1)(2λλE A λλλλ+−−=−−−)=−− 令0E A λ−=解得特征值为12λ=,231λλ== 对于12λ=,解方程组,得基础解系为:123(2)0x E A x x ⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠=1(0,0,1)T η=故属于12λ=的全部特征向量为1(0,0,1)T k 1(0k )≠ 对于231λλ==,解方程组,得基础解系为:123()x E A x x ⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠0=2(1,2,1)T η=−故属于231λλ==的全部特征向量为2(1,2,1)T k −2(0k )≠ 因A 只有两个线性无关的特征向量,故A 不能对角化.17.对于非齐次线性方程组1231231231,220.x x x x x x x x ax 0,++=⎧⎪++=⎨⎪−+=⎩(1) 为何值时,方程组无解;a (2) 为何值时,方程组有解,并求其解. a 解:方程组对应系数的增广矩阵为:11 1 112 2 011 0A a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠111 1011 102 1 1 a ⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠11 1 1011 100 13 a ⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟+−⎝⎠(1) 当时方程组无解;10a +=(2) 当即时,方程组有唯一解,其解为:10a +≠1a ≠− 123 23 113 1x x a x a ⎧⎪=⎪⎪=−⎨+⎪⎪=−⎪+⎩. 四、应用题(本题10分)18.在平面上求一点,使它到直线0x =,0y =及2160x y +−=的距离的平方和最小.解:设所求的点为(,)x y ,则它到0x =,0y =及2160x y +−=的距离分别为x ,y,于是由题意,距离的平方和为:221(216)5s x y x y =+++−2令22(216)0542(216)05s x x y x s y x y y∂⎧=++−=⎪∂⎪⎨∂⎪=++−=∂⎪⎩,解得唯一驻点816(,)55根据实际意义所求的点一点存在,即为816(,55.五、证明题(本题8分)设β是非齐次线性方程组AX b =的一个解,12,,,n r ααα−"是对应的齐次方程组的一个基础解系,证明:12,,,,n r ααα−"β线性无关.证明:设11220n r n r k k k k ααα−−++++="βr ,因为0,(1,2,,)i A i n α=="−,于是A 左乘上式两端得到0kA β=,而0A b β=≠,故0k =于是11220n r n rk k k ααα−−+++=",而12,,,n r ααα−"是0AX =的一个基础解系,从而线性无关,故,这样120n r k k k k −====="12,,,,n r ααα−"β线性无关.。
2013-2014第一学年期末考试高数C参考答案
2013—2014学年第一学期高等数学期末考试试题参考答案一、 选择题(每小题4分,共20分)D B D C A二、 填空题(每小题4分,共20分)1.(0,2)2. cos sin x dy xe dx =-3. (1)x e x C --++4.15.0 三、 计算题(每小题5分,共20分) 1. 31lim (2cos )1x x x x →∞++-解:由于2333111lim lim 0111x x x x x x x →∞→∞++==--或者3211lim lim 013x x x x x →∞→∞+==-―――(2分) 2cos x +为x →∞时的有界量,――――――――――――――(4分)所以原式极限为0. ―――――――――――――――――――(5分) 2.设0x >时,可导函数()f x 满足:13()2()f x f x x+=,求'()f x (0)x > 令1t x =,则原式变为:1()2()3f f t t t +=――――――――――――――――――――――(2分) 连立得13()2(),1()2()3f x f x x f f x x x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1()2f x x x =-―――――――――(4分) 所以21()2f x x '=+. ――――――――――――――――――――(5分) 3.设2cos xy e x =,求y '' 解:21(cos sin )2x y e x x '=-―――――――――――――――――(3分)23[cos sin ]4x y e x x ''=-+―――――――――――――――――――(5分)4.x 011lim()1x x e →-- 解:原式=x 01lim (1)x x e x x e →---――――――――――――――――――(1分) =01lim (1)1x x x e e x →-+-―――――――――――――――――(3分) =01lim 2x x →+=12――――――――――――――――――(5分) 四.计算题(每小题5分,共20分) 1.2arctan 1x x dx x ++⎰解:原式=22arctan 11x x dx dx x x +++⎰⎰――――――――――――――(1分) =2211(1)arctan arctan 21d x xd x x+++⎰⎰―――――――――――――(3分) =221[ln(1)(arctan )]2x x +++C ―――――――――――――――――(5分) 2.2156dx x x -+⎰ 解:原式=11()32dx x x ---⎰―――――――――――――――――(3分) =3ln2x C x -+-―――――――――――――――――――(5分) 3.3cos()3x dx πππ+⎰解:法一:原式=3cos()()33x d x ππππ++⎰―――――――――――(2分)=3sin()3x πππ+――――――――――――――――――(4分)=(5分)法二:原式=3cos()()33x d x ππππ++⎰――――――――――――――――(2分) 43323cos x tdt πππ+==⎰t=换元―――――――――――――――――――(4分)4323sin tππ=-=――――――――――――――――――(5分) 4.120arcsin xdx ⎰解:原式=1212001arcsin 2x x +⎰―――――――――――――(2分)=12π――――――――――――――――――(4分)=122π+――――――――――――――――――――(5分) 五.求由抛物线21y x =+与直线1y x =+所围成的面积.解:如图所示――――――――――――――――――――――(2分) 联立方程,解出交点:(0,1)(1,2)――――――――(6分) 积分:1122300111()()236x x dx x x -=-=⎰―――――――――――(10分) 六.某服装有限公司确定,为卖出x 套服装,其单价为1500.5p x =-.同时还确定,生产x 套服装的总成本为:2()40000.25C x x =+.(10分)(1)写出边际成本'()C x 的表达式;(2)求总利润()L x 以及边际利润'()L x ;(3)服装产量x 为多少时,利润达到最大,最大利润是多少?解:1.()0.5C x x '=――――――――――――――――――――(2分) 2.2()()()0.751504000L x R x C x x x =-=-+-―――――――(4分) () 1.5150L x x '=-+――――――――――――――――――――(6分)3.令()0L x '=得到唯一驻点100x =,由题设可知此唯一驻点即使总利润最大时的服装产量,则(100)3500L =――――――――――――――――(10分)。
安徽大学期末试卷MK08-09(1)高数C(三)答案.pdf
<
⎫ 1⎬
⎭
=
P⎨⎧− 1 < ⎩
X
− 10 4
< 1⎬⎫ ⎭
= Φ(1) − Φ(−1)
= Φ(1) − (1 − Φ(1))
= 2Φ(1) − 1
= 2 × 0.8413 −1 = 0.6826
(2)解法 1:
由正态分布的对称性知 c = 10.
解法 2:
因为 P ( X > c) = P ( X ≤ c)
4
4
故 X ,Y 相关。
15.(本小题 14 分)
∫ 解:
pX
(x)
=
⎪⎧
1
4xydy,0
⎨0
⎪⎩0, 其它
≤
x
≤
1
=
⎧2x,0 ≤ x ⎩⎨0, 其它
≤
1
同理有
pY
(
y)
=
⎧2 y,0 ≤ ⎩⎨0, 其它
y
≤
1
∫ EX =
1
x ⋅ 2xdx
=
2
0
3
同理,
∫ ∫ ∫ EY =
1 y ⋅ 2 ydy = 2
解:设 B = {取到的产品为次品}
10. (19.8728,20.1472)
A1 = {取到的产品来自于甲车间} A2 = {取到的产品来自于乙车间} A3 = {取到的产品来自于丙车间}
(1) 由全概率公式有
P(B) = P( A1 )P(B | A1 ) + P( A2 )P(B | A2 ) + P( A3 )P(B | A3 )
σn
1.1 6
1 − α = 0.95 ,故 z0.025 = 1.96
2013年安徽高考数学真题及解析
2013年安徽高考数学真题及解析数学(理科)本试卷分第【卷和第∏卷(非选择题)两部分,第【卷第1至第2页,第II 卷第3至第4页。
全卷满分 150分,考试时间为120分钟。
参考公式:如果事件A 与B 互斥,那么P(A + B) = P(A) +P(B)如果事件A 与B 相互独立,那么P(AB) = P(A)P(B)第I 卷(选择题共50分)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给岀的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。
(1)设是虚数单位,Z 是复数Z 的共辄复数,若∕=I Λ-∣∕(X )>0∣.^+2=2Z ,则Z =(A) I+/ (B) I-Z (C) -1+/(D) -1√【答案】A【解析】设 z = a + bi,贝IJZ = a - bi.z ・ zz + 2 = 2z => (a + bi)・(a - bi)i + 2 = (a 2+b 2)i + 2 = 2a + 2bi【解析】・.・$ = 0 +丄+丄+丄=6 + 3 + 2=q.. S = Ii 所以选 2 46 12 12 12(3) 在下列命题中,不是公理的是• •(A) 平行于同一个平而的两个平而相互平行(B) 过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平而(C) 如果一条直线上的两点在一个平而内,那么这条直线上所有的点都在此平而内 (D) 如果两个不重合的平而有一个公共点,那么他们有且只有一条过该点的公共直线a~ + b~ = 2ba = 1=> Z = 1 + /2 = 2ab = ∖ ■所以选A(2) 如图所示,程序框图(算法流程图)的输岀结果是1 25 (A)-(B)—6 24(C) 2(D)Il412【答案】D9(2)ASD【解析】B.CQ说法均不需证明,也无法址明,是公理:C选项可以推导证明,故是泄理。
(A) θ=O(p∈ /?)和PCOS=2 (B) θ=-{pe /?)和PCOS=2(4)''a < O" “是函数/(x)=∣(drl)x∣在区间(0,+S)内单调递增”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当沪O时,f(x)=∣Λ∣=>y = f(x)¢(0,+ 00)上单调递增;当GVo且x>0时,/(x) = (-OX+1)Λ,y = /(Λ∙)在(O, + =)上单调递增所以a ≤ 0⅛y =八力在(0, +CO)上单调递增的充分条件相反,÷⅛y = ∕(x)在(0, + s)上单调递增=>a≤0,=> a 5 O是y = /(;V)在(0, + CO)上单调递增的必要条件故前者是后者的充分必要条件。
高考数学试卷(2013安徽卷附详细答案)
本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分,考试时间为120分钟。
参考公式:如果事件A 与B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 与B 相互独立,那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷(选择题 共50分)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1) 设i 是虚数单位,_z 是复数z 的共轭复数,若|()>0I x f x =+2=2z zi ,则z = (A )1+i (B )1i - (C )1+i - (D )1-i -(2) 如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是(A ) 16 (B )2524 (C )34(D )1112(3)在下列命题中,不是公理..的是 (A )平行于同一个平面的两个平面相互平行(B )过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(C )如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内(D )如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线(4)"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的(A ) 充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件(5)某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 (A )这种抽样方法是一种分层抽样 (B )这种抽样方法是一种系统抽样(C )这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 (D )该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 (6)已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或,则(10)>0x f 的解集为(A ){}|<-1>lg2x x x 或 (B ){}|-1<<lg2x x(C ) {}|>-lg2x x (D ){}|<-lg2x x(7)在极坐标系中,圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 (A )=0()cos=2R θρρ∈和 (B )=()cos=22R πθρρ∈和(C ) =()cos=12R πθρρ∈和 (D )=0()cos=1R θρρ∈和(8)函数=()y f x 的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥ 个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是(A ){}3,4 (B ){}2,3,4 (C ) {}3,4,5 (D ){}2,3(9)在平面直角坐标系中,o 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集,1,,|P OP OA OB R λμλμλμ==++≤∈所表示的区域的面积是(A) (B)(C )(D)(10)若函数3()=+b +f x x x c 有极值点1x ,2x ,且11()=f x x ,则关于x 的方程213(())+2()+=0f x f x b 的不同实根个数是(A )3 (B )4 (C ) 5 (D )6二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
安徽大学高等数学期末试卷和答案
安徽大学2011—2012学年第一学期《高等数学A (三)》考试试卷(A 卷)院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------(闭卷 时间120分钟)考场登记表序号题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分阅卷人得分 一、选择题(每小题2分,共10分)1.设A 为阶可逆矩阵,则下列各式正确的是( )。
n (A); (B)1(2)2A −=1A −11(2)(2)T T A A −−=; (C); (D)。
1111(())(())T T A A −−−−=11(())(())T T T A A −−−=12.若向量组12,,,r αα α可由另一向量组12,,,s ββ β线性表示,则下列说法正确的是( )。
(A); (B)r ;r s ≤s ≥(C)秩(12,,,r ααα )≤秩(12,,,s ββ β); (D)秩(12,,,r ααα ≥)秩(12,,,s ββ β)。
3.设,A B 为阶矩阵,且n A 与B 相似,E 为阶单位矩阵,则下列说法正确的是( )。
n (A)E A E B λλ−=−;(B)A 与B 有相同的特征值和特征向量; (C)A 与B 都相似于一个对角矩阵;(D)对任意常数,与k kE A −kE B −相似。
4.设123,,ααα为3R 的一组基,则下列向量组中,( )可作为3R 的另一组基。
(A)11212,,3ααααα−−; (B)1212,,2αααα+; (C)12231,,3αααααα++−; (D)12231,,3αααααα+++。
安徽大学期末试卷MK10-11(1)高数C(三)答案.pdf
∫ ∫ fY
(
y)
=
+∞ −∞
f
(x,
y)dx
=
⎧ ⎪6 ⎨ ⎪⎩
y 0
xdx, 0,
0
<
y
< 1,
=
⎧3 y 2 , ⎨
其它 ⎩ 0,
0 < y < 1, . 其它
(4)因为在 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 内, f (x, y) ≠ fX (x) fY ( y) ,所以, X ,Y 不相互独立。
16. (本小题 14 分)【解】(1) f (x) = ⎧⎪⎨θ1 , 0 < x < θ, ⎪⎩ 0, 其他.
15. (本小题 12 分)【解】
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (1)因为1 =
+∞ +∞
f
−∞ −∞
(x, y)dxdy
=
1
A
0
1
xdx dy
x
=
1
A
0
x(1 −
x)dx
=
A[ x2 2
−
x3 3
]
|10
=
A; 6
所以 A = 6 。
1
1
1
∫∫ ∫ ∫ ∫ (2)
P ⎛⎜⎝Y
≤
1⎞ 2 ⎟⎠
=
y
≤
1 2
f
( x,
= C22 ⋅ 4 + C31 ⋅ C21 ⋅ 5 + C32 ⋅ 6 = 13 C52 10 C52 10 C52 10 25
C31 ⋅ C21 ⋅ 5
(2) P(B1
|
A)
=
P( AB1) P( A)
=
13-14 线代期末考试卷 A(1)(1)
安徽师范大学2013-2014学年第一学期化材学院专业基础课2013级《线性代数》课程期末考试试卷(A 卷 闭卷 120分钟)1. 设A , B , C 都是n 阶方阵,且ABC =E ,其中E 是n 阶单位阵,则必有⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ()(A) BCA =E (B) CBA =E (C) BAC =E (D) ACB =E2. 在下列五个矩阵中,①⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011 ②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1110 ③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 ④⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001 ⑤⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110 属于初等矩阵的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ()(A) ①③④⑤ (B) ①②③⑤ (C) ①②③ (D) ①③⑤3. 设A 是m ⨯n 矩阵,m <n ,且A 的行向量组线性无关. 对于线性方程组Ax =b ,下列结论中正确的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅( )(A) A 的列向量组线性无关 (B) 增广矩阵的行向量组线性无关 (C) 增广矩阵的列向量组的线性无关 (D) 方程组有唯一解4. 设向量组(I)α1, α2,…, αs 可以由向量组(II)β1, β2,…, βt 线性表示,则⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) s ≤t (B) t ≤s (C) 秩(I) ≤ 秩(II) (D) 秩(II) ≤ 秩(I)5. 设A ,B 为n 阶矩阵,且A 与B 相似,E 为n 阶单位矩阵,则⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) A 与B 有相同的特征值和特征向量 (B) A 与B 相似于同一个对角阵(C) 如果λ是A 的特征值,则A -λE = B -λE(D) 对任意常数t , A - t E 与B -t E 相似1. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010301,f (x )=x +2,则f (A -1) = .2. 设A 是3⨯4矩阵,B 是4⨯2矩阵, B 的每一列都是齐次线性方程组Ax =0的解,若R (A )=1,则R (B )最大值是 .3. 设 α1, α2, α3是 n 维列向量,记矩阵A =(α1,α2,α3),已知R (A )=2, α1=α2+α3,则齐次线性方程组Ax =0的通解为 .4. 设A 是3阶方阵,且032=+=+=+E A E A E A ,则=A .5. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=533242111A 和⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a 00020002B 相似,则a = .一、单项选择题(每小题4分,共20分)二、填空题(每小题4分,共20分)1. 设齐次线性方程组(I): ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛003131********x x x x ;(II):⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00125135114321x x x x k 已知方程组(I)和(II)有公共的非零解. 求参数k 的值.2. 设4维列向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12212α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02113α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41314α.求该向量组的秩,并写出一个最大无关组.3. 向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=143β能否由向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3211α, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=4322α, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8523α线性表示? 如果不能,说明理由;如果能,求出线性表示的表达式.三、计算题(每小题7分,共35分)4. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110011001,求 (A -2E )-1(A +2E )5. 用施密特正交化方法,将向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1322α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0483α规范正交化1. 已知A 是m ⨯n 矩阵,B 是n ⨯m 矩阵,m >n ,令矩阵C =AB , 证明: C 的列向量组和行向量组都是线性相关的.2. 设A 是正交矩阵,λ1=1, λ2= -1是A 的两个特征值,ξ1, ξ2是相应的特征向量. 证明:ξ1, ξ2正交.四、证明题(每小题6分,共12分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=112001001A .① 矩阵A 是可对角化的,试说明理由; ② 求可逆矩阵P和对角阵Λ,使得P -1AP =Λ; ③ 设k 是正的偶数,求A k .五、解答题(13分)。
安徽大学10-11(1)高数A(一)、B(一)答案
一、 填空题(本题共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分)
1 1. 2
2. y = x + e 2
π
3.
π
2
4.0
5.
2 (2 2 −,每小题 2 分,共 10 分) 6. C 7. C 8. D 9. B 10. A
+∞
+∞
2
dx x −1=t = x x −1
2
∫
+∞
1
2dt π +∞ = 2 arctan t |1 = ,收敛 2 (t + 1) 2
1
dx =π x x −1
四、综合分析题(本题共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分) x dy 18. = 1 + ∫ [t − y (t )]dt , y (0) = 1 0 dx 方程两边求导有: 对应齐次方程为 y " + y = 0
[‰Y'•Q~ÜNf^—
19. (1) 若 a = 0 时
A = ∫ ax + b dx = ∫ b dx = b ,
0 0 1 1
则 V = π A2 。 (2) 若 a ≠ 0 时,由几何对称性仅需讨论 a > 0 情形: 设直线与 x 截距为 t ,则直线可表为 y = a ( x − t ) , ⎧a( 1 2 − t ), t < 0 ⎪ 2 1 A = ∫ a x − t dx = ⎨a[(t − 1 2 ) + 4 ], 0 ≤ t ≤ 1 0 ⎪a (t − 1 ), t > 1 2 ⎩ 再由几何对称性, t < 0 与 t > 1 情形相同, i) 当 t < 0 时: 1 1 1 1 V = π a 2 ∫ ( x − t ) 2 dx = π a 2 [(t − ) 2 + ] = π A2 + π a 2 > π A2 0 2 12 12 ii) 当 0 ≤ t ≤ 1 时,可得 2 A ≤ a ≤ 4 A , 1 1 3 4 V = π a 2 ∫ ( x − t ) 2 dx = − π (a − 3 A) 2 + π A2 ≥ π A2 。 0 6 2 3
2011-2012学年安徽大学《高等数学 C(二)》(A卷)考试试题及参考答案
安徽大学2011—2012学年第二学期《高等数学C(二)》考试试卷(A 卷)院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------(闭卷 时间120分钟)考场登记表序号__________题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分阅卷人得分 一、填空题(每小题2分,共10分)1.设A 为矩阵,且||33×1A =,把A 按列分块为123(, , )A ααα=,那么行列式3123|, 4, 2|αααα−−==⎜⎜⎟⎝⎠A ___________.2.若矩阵,123045002A ⎛⎞⎜⎟⎟∗为其伴随矩阵,则1()A ∗−=____________.3.若向量组,1(1, 3, 6, 2)T α=2(2, 1, 2, 1)T α=−,线性相关,3(1, 1, , 2)T a α=−−则___________. a =4.若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定,则t 的取值范围是___________.5. 如果n 阶矩阵A 满足()()r A E r A E n ++−=,且A E ≠,其中E 为阶单位矩阵,n那么矩阵A 必有一个特征值为___________.得分 二、选择题(每小题2分,共10分)6.下列条件中,哪个不能..作为n 阶实矩阵A 可逆的充要条件 ( )A .A 的特征值全为非负实数B .A 可以表示为一些初等矩阵的乘积C .A 的列向量组线性无关D .当0x ≠时,0Ax ≠,其中12(,,,)T n x x x x ="7.设向量组12,,,s αα"α线性无关,则下列说法错误..的是 ( ) A .12,,,s αα"α都不是零向量B .12,,,s αα"α中至少有一个向量可由其余向量线性表示C .12,,,s αα"α中任意两个向量都不成比例D .12,,,s αα"α中任一部分向量组都线性无关8.设A 是矩阵,m n ×B 是n m ×矩阵,对线性方程组()AB x 0=,有 ( ) A .时,方程组仅有零解 n m >B .时,方程组必有非零解 n m >C .时,方程组仅有零解 m n >D .时,方程组必有非零解m n >9.如果两个n 阶矩阵A 与B 相似,那么下列结论一定正确的是 ( ) A .A 与B 都相似于同一个对角矩阵 B .A 与B 的秩可能不相等 C .A 与B 有相同的特征向量 D .A 与B 有相同的行列式10.若A 是矩阵,,,则43×()2r A =102020103B ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠()r AB = ( ) A . B .1 C . D . 023三、计算题(每小题10分,共60分)得分11.计算n 阶行列式12341110000022000003300000011n n n n−−−−−−"""""""" .12.设矩阵,求满足方程101210325A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟−−⎝⎠⎟X A AX −=的矩阵X .答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------13. 求向量组,,,,的秩和一个极大无关组,并把其余向量用此极大无关组线性表示. 1(1,1,2,4)T α=−2(0,3,1,2)T α=3(3,0,7,14)T α=4(1,2,2,0)T α=−−5(2,1,5,10)T α=14.求齐次线性方程组的基础解系.123412345023x x x x x x x x +−−=⎧⎨−++=⎩015.设1α,2α,3α是四元非齐次线性方程组Ax b =的三个解向量,且()3r A =,若,,求方程组1(1, 1, 1, 1)T α=23(2, 3, 4, 5)T αα+=Ax b =的通解.16.已知是矩阵111ξ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠212512A a b −⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟3⎟−−⎝⎠的一个特征向量,(1)求参数a ,b 及特征向量ξ所对应的特征值.答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------(2)问A 能否相似于对角矩阵?并说明理由.四、分析计算题(每小题12分,共12分) 得分17.已知二次型22212312312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =−+−+++的秩为2. (1) 求a 的值.(2) 利用正交变换求出f 的标准形,并写出相应的正交矩阵Q .得分五、证明题(每小题8分,共8分)18.设A ,B 均为n 阶方阵,(1)若,证明:0AB =()()r A r B n +≤.(2)若,且2A =A E 为阶单位矩阵,证明:n ()()r A r A E n +−=.安徽大学2011—2012学年第二学期 《高等数学C (二)》考试试卷(A 卷)参考答案与评分标准一、填空题(每小题2分,共10分)1.; 2.8−12388845882008⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜或⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠18A ; 3.2−; 4.(; 5.1− 二、选择题(每小题2分,共10分)6.A ; 7.B ; 8.; 9.D ; 10.C D三、计算题(每小题10分,共60分)11.从第二列起,每列都加到第一列去,再将行列式按第一列展开得原式=(1)23412010********* 003300000011n n n n n n+−−−−−−"""""""" .....................(5分)=1000022000(1)033002011n n n n−−+−−−"""""""=(1)(1)(2)(1)2n n n +×−×−××−" =1(1)(1)2n n −+−!. .....................(10分)12. 依题意有,()E A X A −=,且001200326E A −⎛⎞⎜⎟−=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠,因为00120040326−−=−−≠,故E A −可逆,且1()X E A −=−A .....................(4分)下求1()E A −−()001100,200010326001E A E −⎛⎞⎜⎟−=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠200010001100326001−⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠ 11000023026012001100⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠110000231010342001100⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠− 故1100231()342100E A −⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−=−−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠, .....................(8分)所以11001221013171321034242325100101X ⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−−−=−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠0−− (也可直接用初等变换法求X )......................(10分)13.依题意,将向量组按列排成矩阵并作初等行变换 ()123451031213021,, , , 217254214010ααααα−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠10312033330114102242−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠1031201111000500060−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠10302011010001000000⎛⎞⎜⎟⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠.....................(6分)故()12345, , , , 3r ααααα=,124,,ααα为向量组的一个极大无关组,且3132ααα=+,5122ααα=+......................(10分)14.依题意1511151112130724−−−−⎛⎞⎛→⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝⎞⎟⎠0,得同解的方程组123423450724x x x x x x x +−−=⎧⎨−++=⎩.....................(5分)取3x ,4x 为自由未知量,得基础解系1372710η⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠,21374701η⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠......................(10分)15.依题意,由1A b α=,2A b α=,3A b α=,得23()2A b αα+=,即23()2A b αα+=,故223αα+也是方程组Ax b =的解.于是231130, , 1, 22Tααα+⎛⎞−=⎜⎝⎠2⎟为导出组0Ax =的解. .....................(4分)又因为知,故方程组()3r A =Ax b =的导出组0Ax =的基础解系中含有个向量,所以非零向量1n r −=130, , 1, 22T⎛⎞⎜⎟⎝⎠即为0Ax =的一个基础解系. .....................(8分)由解的结构定理知的通解为Ax b =13(1, 1, 1, 1)0, , 1, 22TT k ⎛⎞+⎜⎟⎝⎠k ,为任意常数......................(10分)16.(1)设ξ是矩阵A 的对应特征值λ的特征向量,由特征值及特征向量的定义,A ξλξ=,即,21211531121a b λ−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠11−.....................(2分)得方程组2125312a b λλλ−−=⎧⎪+−=⎨⎪−++=−⎩,解得3a =−,0b =,1λ=−......................(5分)(2)由(1)知,由212533102A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠3212533(1)λ102E A λλλλ−−−=−+−=++0=得A 的特征值为1−(三重).由()2r E A −−=知,A 只有一个线性无关的特征向量,故三阶矩阵A 不能相似于对角矩阵......................(10分)四、分析计算题(每小题12分,共12分)17.(1)依题意,二次型的矩阵为,且r A110110002a a A a a −+⎛⎞⎜⎟⎟=+−⎜⎜⎟⎝⎠()2=于是11011002a a a a −++−=0,解得0a =......................(4分)(2)由(1)得,由110110002A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠2110110(2)002E A λλλλλλ−−0−=−−=−=−,得A 的特征值为10λ=,232λλ==......................(6分)对于10λ=,解线性方程组(0)0E A x −=,得线性无关的特征向量,()11, 1, 0Tα=−对于232λλ==,解线性方程组(2)0E A x −=,得线性无关的特征向量,,()21, 1, 0T α=()30, 0, 1Tα=显然1α,2α,3α正交,将1α,2α,3α单位化得1 0T η⎛⎞=⎜⎟⎝⎠,2 0Tη⎞=⎟⎠,. ()30, 0, 1T η=.....................(10分)故f 的标准形为212323(,,)222f x x x y y =+,所用正交变换的矩阵为正交矩阵00001Q ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠. .....................(12分)五、证明题(每小题8分,共8分) 18.(1)设矩阵B 按列分块可写作()12, , , n B αα="α,由0AB =,得()12,,,0n A ααα=",即0i A α=,1,2,,i n =" ,故i α是齐次方程组的解.0Ax =当时,仅有零解,故()r A n =0Ax =0i α=,1,2,,i n =",即0B = 当时,的基础解系中含有()r A n <0Ax =()n r A −个向量,故 ()()r B n r A ≤−于是.()()r A r B n +≤.....................(4分)(2)由2A A =,知,由(1)知()A A E −=0()()r A r A E n +−≤ )另一方面,由()(r A E r E A −=−,且()()()()r A r E A r A E A r E n +−≥+−==, 故.()()r A r A E n +−=.....................(8分)5。
高数c大一期末考试题及答案
高数c大一期末考试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4,求f(0)的值。
A. 0B. 4C. -4D. 8答案:B2. 求极限lim (x→0) (sin(x)/x)的值。
A. 0B. 1C. 2D. ∞答案:B3. 计算定积分∫(0 to 1) (3x^2 - 2x + 1)dx的值。
A. 1/3B. 1C. 2D. 3答案:B4. 已知序列{a_n}满足a_1 = 1, a_(n+1) = 2a_n + 1,求a_3的值。
A. 5B. 7C. 9D. 11答案:C二、填空题(每题5分,共20分)1. 设函数f(x) = ln(x),求f'(x)的值。
答案:1/x2. 求级数1 + 1/2 + 1/4 + ...的和。
答案:23. 已知向量a = (3, -4),b = (2, 1),求向量a与向量b的点积。
答案:-104. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]],求矩阵A的行列式值。
答案:-2三、解答题(每题15分,共30分)1. 求函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 15在x = 2处的导数。
解:首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9,代入x = 2得到f'(2) =3(2)^2 - 12(2) + 9 = 3。
2. 证明:若a > b > 0,则a^3 > b^3。
证明:由a > b > 0,得a^2 > b^2,两边同时乘以a,得a^3 > ab^2,又因为a > b,所以ab^2 > b^3,故a^3 > b^3。
四、证明题(每题15分,共15分)1. 证明:若函数f(x)在区间[a, b]上连续,则f(x)在[a, b]上可积。
证明:根据连续函数的性质,若f(x)在区间[a, b]上连续,则f(x)在[a, b]上满足黎曼可积的条件,即存在一个实数I,使得对于任意给定的正数ε,都存在一个正数δ,使得任意两个分划P1和P2,只要它们的最大子区间长度都小于δ,那么它们的黎曼和之差小于ε。
安徽师范大学《线性代数》13-14-1 期末考试卷A
《线性代数》试卷共8页第1页《线性代数》试卷共8页第2页安徽师范大学2013-2014学年第一学期化材学院专业基础课2013级《线性代数》课程期末考试试卷(A 卷闭卷120分钟)1.设A, B, C 都是n 阶方阵,且ABC =E ,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ()(A) BCA=E(B) CBA =E(C) BAC=E(D) ACB=E2. 在下列五个矩阵中,①1011②1110③101④001⑤110属于初等矩阵的是()(A) ①③④⑤(B)①②③⑤(C)①②③(D) ①③⑤3. 设A 是m n 矩阵,m<n ,且A 的行向量组线性无关.对于线性方程组Ax=b ,下列结论中正确的是( )(A) A 的列向量组线性无关(B) 增广矩阵的行向量组线性无关(C) 增广矩阵的列向量组的线性无关(D) 方程组有唯一解4. 设向量组(I)1, 2,…,s 可以由向量组(II)1, 2,…,t线性表示,则( )(A) s t(B) t s(C) 秩(I)秩(II)(D) 秩题号一二三四五得分得分得分评卷人复核人一、单项选择题(每小题4分,共20分)院:年级/班级:姓名:学号:装订线内不要答题《线性代数》试卷共8页第3页《线性代数》试卷共8页第4页(II)秩(I) 5. 设A,B 为n 阶矩阵,且A 与B 相似,E 为n 阶单位矩阵,则()(A) A 与B 有相同的特征值和特征向量(B) A 与B 相似于同一个对角阵(C) 如果是A 的特征值,则A-E = B-E (D) 对任意常数t ,A- tE 与B-tE 相似1.设矩阵A=1010301,f(x)=x+2,则f(A -1)=.2.设A 是34矩阵,B 是42矩阵,B 的每一列都是齐次线性方程组Ax=0的解,若R(A)=1,则R(B)最大值是.3. 设1, 2, 3是n 维列向量,记矩阵A=(1,2,3),已知R(A)=2,1=2+3,则齐次线性方程组Ax=0的通解为.4.设A 是3阶方阵,且032EAEAEA ,则A.5.已知矩阵533242111A 和a020002B 相似,则a=.得分评卷人复核人二、填空题(每小题4分,共20分)得分评卷人复核人三、计算题(每小题7分,共35分)《线性代数》试卷共8页第5页《线性代数》试卷共8页第6页1. 设齐次线性方程组(I):00313111114321x x x x ;(II):0125135114321x x x x k已知方程组(I)和(II)有公共的非零解. 求参数k 的值.2. 设4维列向量组12011α,12212α,02113α,41314α.求该向量组的秩,并写出一个最大无关组.3.向量143β能否由向量组3211α, 4322α, 8523α《线性代数》试卷共8页第7页《线性代数》试卷共8页第8页线性表示?如果不能,说明理由;如果能,求出线性表示的表达式.4. 设矩阵A=110011001,求(A-2E)-1(A+2E)5.用施密特正交化方法,将向量组1101α,1322α,0483α规范正交化装订线内不要答题2. 设A是正交矩阵,1=1,2= -1是A的两个特征值,1,2是相应的特征向量.证明:1,2正交.得分评卷人复核人四、证明题(每小题6分,共12分)1. 已知A是m n矩阵,B是n m矩阵,m>n,令矩阵C=AB,证明:C的列向量组和行向量组都是线性相关的.得分评卷人复核人五、解答题(13分)《线性代数》试卷共8页第9页《线性代数》试卷共8页第10页《线性代数》试卷共8页第11页《线性代数》试卷共8页第12页设矩阵112001001A. ①矩阵A 是可对角化的,试说明理由;②求可逆矩阵P 和对角阵,使得P -1AP=;③设k 是正的偶数,求A k .。
安徽大学历年组合数学试卷
12届一、求可重复排列,11个无区别的球,7个有区别的盒子。
1.无空盒,求排列数;C(11-1,7-1)2.允许空盒,但1号盒子最多只有一个球,求排列数。
C(6+11-1,11) + C(6+10-1,10)二、a(n)=a(n-1)+C(n-2,3)之类。
书上课后布置的题一样吧递推。
三、n个0、1的二进制的排列,求仅起始二位出现11的排列数。
bn = bn-1 + bn-2;an = bn-3=bn-4 + bn-5;即an = an-1 + an-2;a1 = 0; a2 =1;四、由1、2、3三个数字,组成的五位数的个数。
要求1和3出现偶次数,2出现奇次数。
(1+x2/2! + x4/4!)2 (x + x3/3! + x5/5!)五、n对夫妻排成一行,求每对夫妻不在一起的排列数。
六、3*3数格问题。
红蓝二种涂色,翻转和旋转结果一致的不重复计数。
1.求方案数(1)^9 一个;(1)^3 (2)^3 四个;(1)^1(2)^4 一个;(1)^1(4)^2 两个故总方案N = (2^9 + 4*2^6 + 2^5 + 2*2^3)/82.用2红7蓝涂色,方案数。
画出结果N = (r+b)^9 + 4*(r+b)^3(r^2 + b^2)^3 + (r+b)(r^2+b^2)^4 + 2*(r + b)(r^4+b^4)^23.不记得题目了。
2011-2012组合数学期末考试试题一.A={1,2,3,4,5,6,7},从A中取11个数组成非递减序列,1最多出现1次,求方案数。
二.a1=0,a2=2,从a3开始,a n是a n-1与a n-2连线的中点,求a nan = (an-1 + an-2)/2特征方程为2x^2 - x -1 =0解得x1 = -1/2 x2 = 1 ;令an = A(-1/2)^n + B(1)^n又a1 = 0 ,a2 = 2 代入求得A = 8/3B = 4/3故an = 8/3*(-1/2)^n + 4/3三.写出n个元素的错排公式,并给出证明(方法不限)。
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安徽大学2013—2014学年第一学期 《高等数学C (一)》 考试试卷 (A 卷)(闭卷 时间 120分钟) 考场登记表序号__________________一、填空题 (每小题3分,共15分)1. 0x →时,函数ln(1sin )x x +是x 的____________阶无穷小量.2. 设曲线()y f x =过点(0,0),且当自变量在0x =处取得增量x ∆时,相应的函数值增量3()(0)y x x x ο∆=∆+∆∆→,则1lim ()n nf n→∞=______________.3. 若函数()y y x =由方程2cos()1x y e xy e +-=-确定,则0x dydx ==_____________. 4. 曲线2y =(1)x >的渐近线方程是_________________________.5. 若二元方程ln x y z x =,则全微分dz =____________________.二、选择题(每小题3分,共15分)6. 设有两个数列{}n x 与{}n y ,以下结论一定正确是的是 ( ) A .若lim 0n n n x y →∞=,则必有lim n n x →∞或lim 0n n y →∞=B .若lim n n n x y →∞=∞,则必有lim n n x →∞=∞或lim n n y →∞=∞C .若{}n n x y 有界,则必有{}n x 与{}n y 都有界D .若{}n n x y 无界,则必有{}n x 无界或{}n y 无界7.若函数211()arctanx f x ex-=,则0x =是其 ( ) A.连续点 B.无穷间断点C.跳跃间断点D.可去间断点8.设()f x 在0x 处取得极值,下列说法一定错误..的是 ( ) A .0x 可能是区间端点 B.0x 可能是()f x 的驻点C .0x 可能是()f x 的间断点 D.00(,())x f x 可能是曲线()y f x =的拐点9.设()f x 是 cos x e x -+的一个原函数,则下列各式中可能是()f x 的原函数的是 ( )A.cos x e x -+B.sin x e x -+ C .cos x e x -- D .sin x e x --10.设(),()f x g x 均在区间 [0,2]上二阶可导,(0)(0)0,(2)(2)1f g f g ====,且对任意 [0,2]x ∈,()0f x ''>,()0g x ''<记210()S f x dx =⎰,220()S g x dx =⎰则 ( )A .121S S <<B .211S S <<C .121S S <<D .211S S <<三、计算题(每小题 6 分,共 42 分)11.求极限11(4)6lim 56n nn n n ++→∞-++.12. 求极限24sin limx x tdt x →⎰.13. 计算2123I dx x x =-+⎰. 14. 计算2ln (1)xI dx x =-⎰. 15. 计算31-⎰.16. 解方程32(1)1dy y x dx x -=++,并求满足初始条件1(0)2y =的特解.17.计算二重积分DI =,其中{(,)|01,1}D x y x y x =≤≤≤.四、综合题(每小题9分,共18分)18. 设D是曲线lny x=及其切线xye=与x轴所围的平面图形,(1)求D的面积;(2)求D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.19.设有幂级数11nn nx n∞=+∑(1)求其收敛域;(2)求常数项级数11 2nn n n∞=+⋅∑的和.五、证明题(每小题5 分,共10 分)20.证明0x >时,1arctan arctan 2x x π+=.21.设()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,(0)0f ≠,且10()0f x dx =⎰,证明:存在(0,1)ξ∈使得()()0f f ξξξ'+=.安徽大学 2013 —2014 学年第一学期《高等数学 C (一)》(A 卷)考试试题参考答案及评分标准一、填空题(每小题 3 分,共 15 分)1.2或高; 2. 3 ; 3.2-; 4.1y x =+; 5.ln ln ln y y x x dx dy x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二、选择题(每小题 3 分,共 15 分)6.D ; 7.D ; 8.A ; 9.C ; 10.C 三、计算题(每小题 6 分,共 42 分)11.解:11211(4)61366lim lim 566516nn nn n n n n ++→∞→∞⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭..............................................................6分 12. 解:2230433000sin 2sin 1limlim lim 422x x x x tdt x x x x x x →→→===⎰..................................................... 6分 13. 解:2222111123(1)22111I dx dx dxx x x d C ==-+-++==++⎰⎰⎰..................................................6分14.解:2ln 1ln (1)1x I dx xd x x ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭⎰⎰ 11111ln ln 1(1)11x dx x dx x x x x x x ⎛⎫=-+=-+- ⎪----⎝⎭⎰⎰ 11ln ln 1x x C x x-=-++- .............................................6分15.解:由定积分的性质知31112--==⎰⎰⎰ 令cos x t =,原式132122(2sin )2sin 3t dt t πππ==-=⎰⎰.........................................6分 16. 解:原方程可化为'32(1)1y y x x -=++,这是一个一阶线性非齐次方程,其 通解公式为()()(())p x dx p x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,即22344111((1))(1)(1)2dxdxx x y ex edx C x C x -++⎰⎰=++=+++⎰代入初始条件1(0)2y =,得0C =,故原方程的解为41(1)2y x =+ ......................6 分17. 解:令cos ,sin x r y r θθ==,则原式2sin 4012DI d rdr rπθθ==⋅=⎰⎰..............................................6分四、综合题(每小题9分,共18分)18.解: (1)依题意D 的面积为 10()1122y e eS e ey dy e =-=--=-⎰ ..................4分 (2)依题意,旋转体的体积为22211220011()()()2362y e e e V e dy ey dy πππππ-=-=-=-⎰⎰ ...................9分19.解:(1)依题意知,幂级数的收敛半径为2lim()111n n nR n n →∞+=⋅=++,而当1x =±时,幂级数11nn n x n ∞=+∑均发散, 故其收敛域为(1,1)- ........................................3 分(2)不难看出112nn n n ∞=+⋅∑是幂级数11n n n x +=∑在12x =时的常数项级数. 设幂级数的和函数为()S x ,(1,1)x ∈-,1111111()(1)n n n nn n n n n S x x x x x n n n∞∞∞∞====+==+=+∑∑∑∑, 而1100011111,()ln(1)11n x x x nn n n n n n x x x t dt t dt dt x x n t ∞∞∞∞--=========----∑∑∑∑⎰⎰⎰, 故 ()ln(1)1xS x x x=---, . 111()1ln 222nn n S n ∞=+==+⋅∑ ........ ............9 分 五、证明题(每小题5分,共10分)20.令1()arctan arctan F x x x=+则'222111()011F x x x x ⎛⎫=+⋅-= ⎪+⎝⎭+. 故 ()F x C =对 0x ∀>.令1x =,得2C π=,故1arctan arctan 2x x π+=. ......................5分 21.令()()F x xf x =,[0,1]x ∈. 由积分中值定理知,存在(0,1]c ∈,使得1()()0f x dx f c ==⎰.显然()F x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,(0)()0F F c ==.由罗尔定理知存在(0,1)ξ∈,使得'()0F ξ=,即()()0f f ξξξ'+= .......................5分。