第一节复习及习题课(A层次用)
课改背景下如何上好复习课、习题课
课改背景下如何上好复习课、习题课、测试课、矫正课？复习课不是新授课的简单重复，在教学过程中起着与新授课同样重要的作用，但是又与新授课有着本质的区别和联系。
复习课更强调学生的自主学习、反馈矫正、展示交流等环节，因此教师应对复习课高度认识，切实将复习课上好，真正做到认真备课、选题、组题、批阅、矫正，高效率、高质量的上好每一节复习课。
下面就复习课具体实施步骤提几点建议：一、上好复习课的准备１、合理划分复习内容：要想上好复习课，同年级同学科教师必须统一进度，统一测试，统一批阅，统一反馈，首先要根据教材内容和复习时间，确定以单元复习或章节复习为主的复习内容，内容划分必须体现整体性、综合性的原则，内容既不要太多也不要太少，要以单元章节为主，时间分配得当。
2、根据复习内容确定复习课型：一般的复习课可分为以下几种类型：单元复习课、专题复习课、练习课、测试课、矫正课等。
复习内容确定后再跟据时间确定每单元需要的课型，做到内容明确、计划详实、时间合理。
单元复习课是必须的，专题复习课可根据教材内容需要设置，练习巩固、测试、矫正也是复习课所必须的。
二、复习课各种课型实施的步骤：1、单元复习课：单元复习课的目的：这一课型主要目的是让学生形成总体的知识结构、明确单元的重难点，掌握单元的基本知识和基本技能，弥补学生单元知识的缺陷，形成体系、明确目标。
单元复习课的步骤：提出复习问题，明确复习目标――个人自主复习，探究思考问题――交流问题疑点，组内检测目标――设计训练题组，小组展示提高。
单元复习课的要求：⑴切忌不要将复习课上成是新授课的简单重复，要体现复习课的综合性原则，把知识结构、内在联系、重点难点等用问题的形式呈现，复习问题设计应是单元知识的整合、重组、提炼的代表性问题，切记问题一点要有思考探究讨论的价值。
⑵个人自主学习探究环节应注重指导学生习惯的养成，学会探究、归纳、总结，善于在自学过程中自己提出针对本单元的疑难问题，这是复习课中学生自主学习很重的一点。
人教A版高中同步学考数学选修1精品课件 第三章 习题课——导数运算及几何意义的综合问题
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解:(1)由题意得f'(x)=3x2+1,∴曲线y=f(x)在点(3,14)处的切线的斜率
为f'(3)=28.
∴切线的方程为28x-y-70=0.
(2)法一:设切点为(x0,03 +x0-16),
则直线 l 的斜率为 f'(x0)=302 +1,
∴直线 l 的方程为 y=(302 +1)(x-x0)+03 +x0-16.
于
.
解析:因为 f'(x)=aex+ ,
e + = e,
= 1,
1
由已知得
解得
- = e ,
= 0.
e
所以 a,b 的值分别是 1 和 0.
答案:1和0
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
导数几何意义的综合应用
例1已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(3,14)处的切线方程;
=2lim
ℎ→0
答案:B
2ℎ
=2f'(x0).
)
课前篇自主预习
9
【做一做 3】 曲线 y= 在点 M(3,3)处的切线方程是
.
9
解析:∵y'=- 2 ,∴y'|x=3=-1,
∴过点(3,3)的斜率为-1 的切线方程为 y-3=-(x-3),即 x+y-6=0.
答案:x+y-6=0
1
【做一做 4】 设 f(x)=aex+bln x,且 f'(1)=e,f'(-1)=e ,则 a,b 的值分别等
人教版七年级数学第一章第一节讲义
环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义课 题 1.1.1 正数与负数课 型□ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课 教 学 内 容知识点一 正数与负数的概念注：1.判断一个数的正负，不能只看符号，如+（-3）不是正数而是负数，-（-1）不是负数而是正数。
2.一个数前面的“+”或“-”叫做它的性质符号。
例1．若规定收入为“＋”，那么支出-50元表示（ ）A ．收入了50元B ．支出了50元C ．没有收入也没有支出D ．收入了100元 例2．下列说法正确的是（ ）A ．一个数前面加上“－”号，这个数就是负数B ．零既不是正数也不是负数C ．零既是正数也是负数D ．若a 是正数，则-a 不一定就是负数例3．如果某股票第一天跌了3．01%，应表示为________，第二天涨了4．21%，•应表示为_________． 练习1.如果+5ºC 表示比零度高+5ºC ，那么比零度低7ºC 记作_______ºC.2.如果-60元表示支出60元，那么+100元表示______________.3.不具有相反意义的量是（ ）.A. 妈妈的月工资收入是1000元，每月生活所用500元B. 5000个产品中有20个不合格产品C. 新疆白天气温零上25ºC ，晚上的气温零下2ºCD. 商场运进雪碧100箱，卖出80箱4.下列各数-0.05 3127 -856 +120 -32 4.1 0 73 -8 -3 +2.3 -9 正数有 ；负数有_________________________；知识点二有理数概念有理数：正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
(整数和分数统称为有理数)注：因为有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，所以我们把有限小数、无限循环小数都看成分数。
例4．既是分数，又是正数的是（）A．+5 B．-514C．0 D．8310例5．下列说法不正确的是（）A．有最小的正整数，没有最小的负整数 B．一个整数不是奇数，就是偶数 C．如果a是有理数，2a就是偶数 D．正整数、负整数和零统称整数练习1.－a不是负数，那么（）.A．a是正数B．a不是负数C．a是负数D．a不是正数2. 下列说法中，正确的是（）Ａ．正数和负数统称有理数Ｂ．零是最小的有理数Ｃ．倒数等于它本身的有理数只有1Ｄ．整数和分数统称为有理数知识点三有理数的分类注：1.有理数的分类要按同一标准分类，不能把两类混在一起，否则结果会出错。
高等数学(理工类上册)教学进度安排
说明：１、本教学日历由主讲教师负责填写，于开学后第一周内送交教师所在系（室）主任审定、 签字后实施。
2、 第一章 第一节 函数：集合、区间、邻域；函数的概念；函数关系的建立；函数特性；
3、 第二节 初等函数：反函数 基本初等函数: 幂函数 指数函数与对数函数 三角函数与反三角函数；复合函数；初等函数；双曲函数与反双曲函数； 五周
9月25日
至
9月29日 6 6 1、 第三节 数列的极限：极限概念的引入；数列及其极限；收敛数列的的有界性；极限的唯一性；收敛数列的保号性；子数列的收敛性。
周 次
日 期 周
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学
时 其 中 教学内容摘要
（章节名称、讲述的内容提要，实验的名称，课堂讨论的题目等） 讲
课 实验课 习
题
课 课
堂
讨
论 其他环节 十二周
11月13日
至
11月 17日 6 6 1、 第六节 函数图形的描绘：渐近线；函数图形的描绘；利用导数描绘函数图形的一般步骤；函数作图举例；
采用教材名称 高等数学（理工类）立体化教材 总 计 90 课时
周 次
日 期 周
学
时 其 中 教学内容摘要
（章节名称、讲述的内容提要，实验的名称，课堂讨论的题目等） 讲
课 实验课 习
题
课 课
堂
讨
论 其他环节 一周
8月28日
至
2、 第四章 第一节 不定积分的概念与性质：原函数的概念；不定积分的概念与性质；基本积分表；直接积分法；计算举例
3、 第二节 换元积分法：第一类换元积分法；应用举例，并总结几类采用第一类换元积分法求积分的方法； 十四周
121模式“复习、评讲、习题课”课型结构及教学样式
导入新课； 链接延伸； 探究展评； 回归巩固； 提升意义。
课型核心：知识能力化，知识个性化； 课型重点：学生习题训练。
基本教学样式
第一环节：激趣激疑，导入新课。
这一环节，教师可将知识习题化、习题生活化、生 活问题化、问题激疑化，点燃兴趣，激发学生因疑而思， 因思而习。直接切入训练板块（课前准备好的习题）， 让学生定时训练习题，练后自我评改，生生评改，师生 纠错，梳理主要问题，促进知识回归。
第二环节：问题呈现，聚焦疑难。
这一环节，主要由教师将涉及的知识性问题、能 力性问题、思路性问题、方法与策略性问题等等的练 习题或考题呈现给学生，引导学生聚焦重点和难点。
第三环节：自学互学，展学探究。
这一环节是落实学生课堂主题地位的重点。教师 应有效组织引导学生自主学习、或互学、展学。其方 式或回归课本学习；或重新把习题或试题独立地重做 反思，体会其中的能力要求、解题思路、解题方法及 解题策略等；或互学研讨难题，提炼规律方法；或展 学思路方法；或讲解自己解答的思路、方法、体会及 上黑板演算或在讲台上讲解、展台上展示等。
第四环节：问题训练，达标拓展。
这一环节教师主要应通过学生独学、小组合作学，对典 型错题进行重做和探讨后，针对已解决的错题难题，重新进 行变式设计。且紧紧围绕错题难题，或改变题中的情景、数 据、条件；或拓展迁移加进相关内容；或将几个题综合成一 个题等设计成达标检测题；或另选与此类相同相近相关的练 习题或考题。由学生当堂独立完成，以检测学生是否真正弄 清弄懂，是否真正解决了本节评讲课所要解决的主要问题， 以达成学习目标。
第五环节：拓展延伸，提升意义。
这一环节，教师应有效引导学生及时完善知识，弥补缺 限，巩固消化，加深理解，积累经验、思路和方法；将问题 类型化或建模化，从问题特点、题型特点、解题思路等不同 方面归类梳理，力求使学生初步形成会一题、知一类、懂一 组、解一批习题的能力。
高中数学人教A版必修第一册 学案与练习 基本不等式的应用(习题课)
第2课时 基本不等式的应用(习题课)利用基本不等式求解实际问题中的最值[例1] 某公司建造一间背面靠墙的房屋(长方体型)，地面面积为48 m 2，房屋正面每平方米的造价为1 200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5 800元.如果墙高为3 m ，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少?解:设房屋地面相邻两边的边长分别为x m ，y m ，靠墙的边长为x m ，则xy=48.房屋正面面积为3x m 2;房屋侧面(两个)面积为2×3y=6y(m 2). 房屋总造价z=5 800+3x ×1 200+6y ×800 =5 800+1 200(3x+4y) ≥5 800+1 200×2√3x ·4y =5 800+4 800√3xy =5 800+4 800×12 =63 400，当且仅当{3x =4y ,xy =48,即{x =8,y =6时，取等号.综上，房屋地面相邻两边的边长分别为8 m ，6 m ，靠墙的边长为8 m ，此时房屋总造价最低.最低总造价是63 400元.建模基本不等式解决实际问题的解题思维流程(1)找到解题切入点;(2)字母表示相关量;(3)找出已知隐含的“和定值”或“积定值”;(4)根据目标量表达式的结构特点，观察目标量是否由对应的“积”或“和”决定，进而决定是否应用基本不等式(或变式)解决问题.针对训练1:某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m.(1)若设休闲区的长A1B1=x m，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计? 解:(1)由休闲区的长A1B1=x，知休闲区的宽B1C1=4000x，故ABCD的长与宽分别是x+20，4000x+8，故公园ABCD所占面积S=(x+20)(4000x +8)=4 160+8x+80000x(x>0).(2)整理(1)中解析式得，S=4 160+8x+80000x ≥4 160+2√8x·80000x=5760，当且仅当8x=80 000x，即x=100时取等号，此时宽B 1C 1=4 000x=40，答:要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100 m 、宽为40 m.利用基本不等式求条件最值类型一 “1”代换型[例2] 已知x>0，y>0且8x +1y =1，求x+2y 的最小值.解:因为x>0，y>0且8x +1y=1.所以x+2y=(8x +1y)(x+2y)=10+x y+16yx≥10+2√x y·16y x=18，当且仅当{8x+1y=1,xy=16y x,即{x =12,y =3时，等号成立， 故当x=12，y=3时，x+2y 取得最小值18.变式探究:(1)本例中，若把“8x +1y =1”改成“x+2y=1”，其他条件不变，求8x +1y的最小值;(2)将本例中的“8x +1y =1”改为“8x+1+1y=1”，求x+2y 的最小值;(3)将本例中的“8x +1y=1”改为“8y+x=2xy ”，求x+2y 的最小值. 解:(1)因为x>0，y>0，x+2y=1， 所以8x +1y=(x+2y)(8x +1y)=8+16y x+x y+2=10+16y x+x y≥10+2√16=18.当且仅当16y x=x y时取等号，结合x+2y=1，得x=23，y=16，所以当x=23，y=16时，8x +1y取到最小值18.(2)x+2y=(x+1)+2y-1=[(x+1)+2y](8x+1+1y)-1=(8+x+1y+16yx+1+2)-1≥(10+2√x+1y ×16yx+1)-1=18-1=17，当且仅当x+1y=16yx+1，即x+1=4y且8x+1+1y=1，也就是y=3，x=11时取等号.(3)因为8y+x=2xy，所以8yxy +xxy=2，所以8x +1y=2，所以82x +12y=1，所以x+2y=(x+2y)(82x +12y)=4+8yx+x2y+1≥5+2√8yx·x2y=9，当且仅当x=4y且8y+x=2xy，即x=6，y=32时取等号.常数代换法适用于求解条件最值问题，应用此种方法求解最值的基本步骤为(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式.(4)利用基本不等式求解最值.类型二整体代换型[例3] 已知正实数x，y满足2x+y+6=xy，求xy的最小值和2x+y的最小值.解:xy=2x+y+6≥2√2x·y+6=2√2·√xy+6，令t=√xy>0，可得t2≥2√2t+6，解得t≤-√2(舍去)或t≥3√2，所以xy≥18，当且仅当y=2x，即x=3，y=6时，取“=”，所以xy的最小值是18.又2x+y=xy-6，所以2x+y最小值为12.形如:已知axy+bx+cy+d=0，求xy或bx+cy的最值问题，当d=0时，可以通过同时除以xy化为“1”代换型，当d≠0时，可以利用整体代换，即先构建bx+cy的不等式，然后联立axy+bx+cy+d=0，可得关于bx+cy或√xy的一元二次不等式.提醒:若题目要求同时求出xy和bx+cy的最值，可以先求出一个最值，然后直接利用axy+bx+cy+d=0求出另一个的最值.针对训练2:已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值.解:因为x+2y+2xy=8，2xy=x·2y≤(x+2y)24，由上面两式得2xy=8-(x+2y)≤(x+2y)24，令x+2y=t>0，得8-t≤t 24，解得t≥4，当且仅当x=2y，即x=2，y=1时，取“=”，即x+2y的最小值为4.利用不等式求解含参数的不等式恒成立问题[例4] 若x>0时，x2-(k+1)x+2>0恒成立，求k的取值范围.解:因为x2-(k+1)x+2>0恒成立，所以(k+1)x<x2+2在x>0时恒成立，所以k+1<x+2x在x>0时恒成立，又x+2x≥2√2，当x=√2时等号成立，所以k+1<2√2，所以k<2√2-1，所以k的取值范围是{k|k<2√2-1}.含参数的不等式恒成立问题，若能分离参数，常分离参数后再求解.一般地，若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)的最大值(其中f(x)是关于变量x的关系式)，a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)的最小值.若a≥f(x)有解，则a≥f(x)的最小值，a≤f(x)有解，则a≤f(x)的最大值.针对训练3:若x>0时，不等式x2+mx+4≥0恒成立，求实数m的取值范围.解:因为x2+mx+4≥0恒成立，所以mx≥-x2-4，所以-m≤x+4x.又x+4x ≥2√x·4x=4，当且仅当x=4x即x=2时取等号.所以-m≤4，所以m≥-4，所以实数m的取值范围是{m|m≥-4}.1.已知正实数x，y满足1x +9y=1，则x+y的最小值为( B )A.14B.16C.18D.20解析:因为x>0，y>0，1x +9y=1，所以x+y=(x+y)(1x+9y)=10+yx+9xy≥10+2√yx ·9xy=16，当且仅当y=3x，即x=4，y=12时，等号成立，故x+y的最小值为16.故选B.2.若a>0，b>0，且ab=9，则1a +1b的最小值是.解析:因为a>0，b>0，所以1a +1b≥2√1ab=23，当a=b时取等号.答案:233.某公司一年购买某种货物600 t，每次购买x t，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是.解析:由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和为3600x+4x≥4×2×√900x·x=240(万元).当且仅当x=30时，取等号.答案:304.若x<0且不等式x2-ax+1≥0恒成立，则a的最小值是. 解析:因为x<0且x2-ax+1≥0恒成立，所以ax≤x2+1，所以a≥x+1x，又x<0时，(-x)+(-1x)≥2，所以x+1x≤-2，所以a≥-2.答案:-2[例1] 已知a 2+b 2=2，那么a+b 的最大值为( ) A.1 B.√2 C.2 D.2√2 解析:因为a 2+b 2=2， 所以(a+b)2=2+2ab ，2ab ≤2， 所以(a+b)2≤4， 所以-2≤a+b ≤2，所以a+b 的最大值为2.故选C.[例2] (多选题)已知正数a ，b 满足a 2+b 2=2a+2b ，若a+b ∈Z ，则a+b 的值可以是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:因为a+b 2≤√a 2+b 22，所以a 2+b 2≥(a+b )22，故a 2+b 2=2a+2b ≥(a+b )22，则(a+b)2-4(a+b)≤0，又a>0，b>0， 所以0<a+b ≤4，当a+b=1时，a 2+b 2=2，ab=-12，不符合题意;当a+b=2时，a 2+b 2=4，此时ab=0，不符合题意; 若a+b ∈Z ，则a+b 的值可以是3，4.故选BC. [例3] (多选题)设正实数a ，b 满足a+b=1，则( ) A.a 2b+b 2a ≥14 B.1a+2b +12a+b≥43C.a 2+b 2≥12D .a 3+b 3≥14解析:因为a+b=1， 所以a 2b+ab 2=ab(a+b)=ab ， 又ab ≤(a+b 2)2=14，当且仅当a=b=12时，取“=”，所以A 错误. 因为a+b=1，所以1a+2b +12a+b =1(a+b )+b +1a+(a+b )=11+b +11+a，(1+a)+(1+b)=3， 所以13[(1+a)+(1+b)]=1，所以11+a +11+b=13(11+a +11+b)[(1+a)+(1+b)] =13(2+1+b 1+a +1+a1+b) ≥13(2+2√1+a 1+b·1+b 1+a)=43，当且仅当a=b=12时，取“=”，故B 正确. 因为a+b=1，所以a 2+b 22≥(a+b 2)2=14，所以a 2+b 2≥12，当且仅当a=b=12时，取“=”，故C 正确. 因为a+b=1，所以a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 2-ab+b 2=(a+b)2-3ab=1-3ab ≥1-3(a+b 2)2=14，当且仅当a=b=12时，取“=”，故D 正确.故选BCD. [例4] (多选题)若x>0，y>0，且x+y=xy ，则( ) A.x+y ≥4 B.xy ≥2C.x+2y+xy ≥5+2√6D.2x x -1+4yy -1≥6+4√2解析:由x>0，y>0，且满足x+y=xy ，得1x +1y=1，对于A ，x+y=(x+y)(1x +1y)≥2+2√xy·yx=4，当且仅当x=y=2时，等号成立，故A 正确.对于B ，由x+y=xy ，故xy ≥4，故B 错误. 对于C ，因为x+y=xy ，所以x=y y -1，又x>0，y>0，所以y>1， 则x+2y+xy=yy -1+2y+y 2y -1=3(y-1)+2y -1+5≥2√3(y -1)·2y -1+5=5+2√6，当且仅当2y -1=3(y-1)，即y=1+√63时，取等号，所以x+2y+xy 的最小值为5+2√6，故C 正确. 对于D ，2x x -1+4y y -1=2x (y -1)+4y (x -1)(x -1)(y -1)=4x+2y=(4x+2y)(1x +1y)=6+2y x+4xy≥6+2√2yx ·4x y=6+4√2，当且仅当y=√2x 时，等号成立，故D 正确.故选ACD.[例5] 若x>0，y>0，且2x +1y=1，当且仅当x= ，y= 时，x+2y 取得最小值.解析:因为x>0，y>0，且2x +1y =1，所以x+2y=(x+2y)(2x +1y)=4+4y x+x y≥4+2√4y x·xy=8，当且仅当4y x=xy时，x+2y 取得最小值，由2x +1y=1，2y=x ，得x=4，y=2.答案:4 2选题明细表基础巩固1.已知x>0，y>0，xy=9，则x+3y的最小值为( D )A.8B.6C.8√3D.6√3解析:x+3y≥2√3xy=6√3，当且仅当x=3y=3√3时，等号成立.故选D.2.已知实数m，n满足2m+n=2，其中m>0，n>0，则1m +2n的最小值为( A )A.4B.6C.8D.12解析:由题意，实数m，n满足2m+n=2，其中m>0，n>0，则1m +2n=12×(1m+2n)(2m+n)=12×(4+nm+4mn)≥12×(4+2√nm×4mn)=4，当且仅当nm =4mn时，即m=12，n=1时，等号成立，所以1m +2n的最小值为4.故选A.3.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值为( D )A.2B.3C.4D.5解析:因为x+3y=5xy，x>0，y>0，所以15y +35x=1，所以3x+4y=(3x+4y)(1 5y +35x)=3x5y+95+45+12y5x≥135+2√3x5y·12y5x=5，当且仅当3x5y =12y5x，即x=2y=1时，取等号.故选D.4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x 的函数关系为y=-(x-6)2+11(x ∈N *)，则营运的年平均利润最大时，每辆客车的营运年数为( C ) A.3 B.4 C.5 D.6解析:由题意可知，yx=-(x+25x)+12≤-2√x ×25x+12=2，当且仅当x=25x时，等号成立，即x=5时，营运的年平均利润最大.故选C. 5.周长为√2+1的直角三角形面积的最大值为 . 解析:设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ，则√2+1=a+b+√a 2+b 2≥2√ab +√2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a=b=√22时取“=”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14.答案:146.对任意x>0，x x 2+3x+1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是 .解析:因为x>0，对于任意x 有x x 2+3x+1≤a 恒成立⇔a ≥(xx 2+3x+1)max ，因为x>0， 所以xx 2+3x+1=1x+1x+3≤2√x ·1x+3=15.当且仅当x=1时，取等号. 所以a ≥15.答案:a ≥15能力提升7.已知不等式(x+y)(1x +ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a的最小值为( B ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:因为a>0，所以(x+y)(1x +ay)=1+a+y x+xay≥1+a+2√a ，由条件知a+2√a +1≥9，所以a ≥4.故选B.8.(多选题)(2021·山东济宁期末)若a ，b 均为正数，且a+2b=1，则下列结论正确的是( ABD ) A.ab 的最大值为18B.1a +2b的最小值为9C.a 2-b 2的最小值为-13D.a 2+b 2的最小值为15解析:因为a ，b 均为正数，且a+2b=1，所以由基本不等式可得，1=a+2b ≥2√2ab ，解得ab ≤18，当且仅当a=2b=12，即a=12，b=14时，等号成立，故A 选项正确.(1a +2b)=(1a +2b)(a+2b)=1+2b a+2a b+4≥5+2√2b a·2a b=9，当且仅当2b a=2ab，即a=b=13时，等号成立，故B 选项正确. 因为{a =1-2b >0,b >0,所以0<b <12，结合二次函数的性质可知，a 2+b 2=(1-2b)2+b 2=5b 2-4b+1≥15，故D 选项正确.结合二次函数的性质，a 2-b 2=(1-2b)2-b 2=3b 2-4b+1>-14，故C 选项错误.故选ABD.9.(2022·天津高三期中)已知a ，b 均为正实数，且a+b=1，则8a 2+1ab的最小值为 ，此时a 的值为 . 解析:因为a ，b 均为正实数，且a+b=1，所以(a+b)2=1， 所以8a 2+1ab=8a 2+(a+b )2ab=8a 2+a 2+2ab+b 2ab =9a 2+b 2ab+2=9a b+b a+2≥2√9a b·ba+2=8，当且仅当9a b=ba，即a=14，b=34时取等号，所以8a 2+1ab的最小值为8.答案:8 1410.已知a ，b>0，且ab=a+b+3. (1)求ab 的取值范围;(2)求4a+b 的最小值，并求取得最小值时a ，b 的值.解:(1)ab=a+b+3≥2√ab +3，当且仅当a=b 时，取等号，解得√ab ≥3或√ab ≤-1(舍去)， 故ab ≥9.(2)因为a ，b>0，且ab=a+b+3， 所以b=a+3a -1>0，所以a>1，所以4a+b=4a+a+3a -1=4a+a -1+4a -1=1+4a+4a -1=5+4(a-1)+4a -1≥5+2√4(a -1)·4a -1=13，当且仅当4(a-1)=4a -1，即a=2，b=5时，取等号，此时4a+b 取得最小值13.11.设矩形ABCD(AB>CB)的周长为24 cm ，把△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P.设AB=x cm ，求△ADP 的最大面积及相应x 的值. 解:AB=x ，AD=12-x.设DP=y ，PC=x-y ，因为AP=PC ，所以AP=x-y. 对于Rt △ADP ，根据勾股定理，y 2+(12-x)2=(x-y)2， 整理，得y=12-72x .S △ADP =12(12-x)(12-72x)=6(12-x)(1-6x)=6[18-(x+72x)]≤6(18-2√x ·72x)=108-72√2，当且仅当x=72x ，即x=6√2时，取等号.综上，△ADP 的最大面积为108-72√2，相应x 的值为6√2.应用创新12.当0<x<12时，关于x 的不等式2x +11-2x≥m 2恒成立，求实数m 的取值范围.解:因为0<x<12，所以0<1-2x<1，所以2x +11-2x=(2x+1-2x)(42x +11-2x)=5+4(1-2x )2x+2x1-2x≥5+2√4(1-2x )2x·2x 1-2x=5+4=9. 当且仅当4(1-2x )2x=2x1-2x，即x=13时，等号成立，所以2x +11-2x的最小值为9.又关于x的不等式2x +11-2x≥m2恒成立，所以9≥m2，解得-3≤m≤3.。
2018学年数学人教A版选修2-3优化复习：第一章 排列与组合(习题课)
[课时作业][A 组 基础巩固]1．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种解析：分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有C 13×C 24＋C 23×C 14＝30种选法．答案：A2．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有( )A ．480B ．240C ．120D ．96解析：先把5本书中的两本捆起来，再分成4份即可，∴分法种数为C 25A 44＝240.答案：B3．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是 ( )A ．C 28A 23B ．C 28A 66 C ．C 28A 26D ．C 28A 25解析：从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是C 28A 26，故选C.答案：C4．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )A ．C 1214C 412C 48B ．C 1214A 412A 48 C.C 1214C 412C 48A 33D ．C 1214C 412C 48A 33解析：首先从14人中选出12人共C 1214种，然后将12人平均分为3组共C 412·C 48·C 44A 33种，然后这两步相乘，得C 1214·C 412·C 48A 33.将三组分配下去共C 1214·C 412·C 48种．故选A. 答案：A5．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女一定不是O 型，若某人的血型为O 型，则父母血型所有可能情况有________种．解析：父母应为A 或B 或O ，C 13·C 13＝9(种)．答案：96．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．解析：不同的获奖情况可分为以下两类：(1)有一个人获得两张有奖奖券，另外还有一个人获得一张有奖奖券，有C 23A 24＝36种获奖情况．(2)有三个人各获得一张有奖奖券，有A 34＝24种获奖情况．故不同的获奖情况有36＋24＝60种．答案：607．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．解析：两老一新时，有C 13×C 12A 22＝12种排法；两新一老时，有C 12×C 23A 33＝36种排法，故共有48种排法．答案：488．将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)解析：按C 的位置分类计算．①当C 在第一或第六位时，有A 55＝120(种)排法；②当C 在第二或第五位时，有A 24A 33＝72(种)排法；③当C 在第三或第四位时，有A 22A 33＋A 23A 33＝48(种)排法．所以共有2×(120＋72＋48)＝480(种)排法．答案：4809．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？解析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2，实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有C 14C 13C 22A 22种，然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，共有C 14C 13C 22A 22·A 44＝144种放法． 10．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3, 4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？解析：分三类：第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C 12·C 12·C 12·C 12·A 44种．第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C 22·C 22·A 44种．第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C 22·C 22·A 44种.故满足题意的所有不同的排法种数共有C 12·C 12·C 12·C 12·A 44＋2C 22·C 22·A 44＝432.[B 组 能力提升]1．已知圆上有9个点，每两点连一线段，则所有线段在圆内的交点有( )A ．36个B ．72个C．63个D．126个解析：此题可归为圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C49＝126(个)．答案：D2．将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法有()A．18种B．24种C．30种D．36种解析：将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其他2个小球对应3个盒子，共有C24A33＝36种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有A33＝6种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6＝30种．答案：C3．直角坐标系xOy平面上，平行于x轴和平行于y轴的直线各有6条，则由这12条直线组成的图形中，矩形共有________个．解析：从6条水平直线和6条竖直直线中各取2条，每一种取法对应一个矩形，因此矩形共有C26C26＝225个．答案：2254．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)________种．解析：分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局、输1局，第4局赢)，共有2C23＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局、输2局，第5局赢)，共有2C24＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．答案：205．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)(1)图中有多少个矩形？(2)从A点走向B点最短的走法有多少种？解析：(1)在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成的矩形有C27·C25＝210个．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C610＝C410＝210种走法．6．若对任意的x∈A，则1x∈A，就称A是“具有伙伴关系”的集合．求集合M＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数． 解析：具有伙伴关系的元素组成－1；1； 12，2；13，3；共4组，所以集合M 的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝15.。
新授课、复习课、习题课课型模式
历史讲评课一、目标与要求(一)目标1．合理评价，激发学生的学习热情和学习积极性。
2．错题自纠，通过自纠、小组互纠及教师讲评，找出错题症结，避免错题再错。
3。
典题讲评，及时引导学生进行反思训练，在反思中总结教训，积累经验，在训练中对易错点认识提高。
4．变式训练，发挥例题功能，提高运用学科知识解决问题的能力。
(二)要求1．发挥教师的主导作用。
教学过程中，教师对学生学习的指导要恰到好处，教师的作用重在找准错因，典型分析，提出方法，总结规律。
2．突出学生的主体地位。
学生是学习的主体。
学生应在教师指导下，发现自己的不足，形成正确的方法，避免错题重错。
3．课前准备：课前准备包括试卷统计、分析和优劣试卷、变式练习。
试卷统计主要包括知识点分布的统计，考查题型的统计，考试结果的统计。
试卷分析，包括分析试卷的内容、结构和答案以及分析犯错误的原因。
4．学生参与：鼓励学生全面参与，引导学生主动释疑和反思，帮助学生理解和把握问题，让学生学会对错题相近知识点的灵活应用。
5．教师讲评：教师对学生的疑点讲评要到位。
对学生解题方法和习惯的培养要到位。
要关注错题知识点当堂掌握的达标率。
二、操作流程课前定靶：选择题通过率筛选；二卷批改总结课上探讨：1、板书重点题目，提前准备，学生讲解；二卷学生对照添删2、总结选择、二卷规律；重点知识联系延伸；点拨做题方法（注意简化意群、找准关键词、排除突破点、答题思路草稿、标准概念使用）课后：精简习题，变式训练具体操作可参考：1．自查自纠，鼓舞士气(1)考试概述，鼓舞士气。
对试卷进行整体分析，让学生心中有数。
以小组为单位进行集体评价，以捆绑式评价来进一步激发学生互帮互助学习的热情和积极性。
(2)对选择题，教师要点出通过率低于70％的题目为重点突破的对象。
(3)发放答案，学生对照自查探究。
答案一定要课前发放。
学生自查课本，找清错因。
自查应包括题目类型、知识分布、思路、方法技巧、规范等方面。
提醒学生回顾当时答题的思路，分析问题的方法。
四年级上册英语复习计划【三篇】
四年级上册英语复习计划【三篇】本学期的四年级上年级英语教学工作已经进入了尾声阶段，对一个学期的知识该实行系统的巩固和复习。
教学效果的好坏，除了知识的传授外，复习也非常重要。
复习能让学生巩固所学知识，还能实行查漏补缺，使学生顺利完成本学期的学习任务，能在期末考试中取得好成绩，同时也为今后的学习打下良好的基础。
复习不是单单的读和背。
在复习过程中要避免把复习课变成背诵课堂，使复习失去真正的意义而变得枯燥乏味。
复习应从学生实际出发，要因地制宜，因材施教，有的放矢，下面就是我的一些复习计划。
一、复习目标1、认读四会单词，在学生原有的基础上增加一定的单词量，并且按照要求背诵四会单词。
2、掌握教材中出现的句型，和一些简单的与教材内容相关的语法知识。
能够区分教材中出现的句型。
二、复习内容及要点1、单词。
单词是英语的基础和复习的重点。
1）按词性归类复习单词。
2）按词汇表复习单词。
2、句子。
句子是学习英语的重点，也是本册教材的重点和难点。
1)指导学生在语境中复习句子。
2)根据句子类型指导学生在比较中复习句子。
3)指导学生在表演中使用句子，这样的复习课也不缺趣味性。
4、阅读。
阅读虽然对学生来说很困难，不过教材中已经出现了比较复杂的英语短文。
三、复习方法及原则1、增强单词的朗读与书写，给学生明确的任务，使他们也能尽自己水平过好单词关。
在复习过程中，要紧紧抓住教材中的对话，在较短时间内起到良好的教学效果。
把单词、句子作为一个有机整体，在复习过程中将它们紧密联系起来，合理安排复习内容，提升学生整体使用知识的水平。
2、以听说读写为主要途径，让学生多读，在复习中培养学生郎读英语的习惯，在学生多读多说的基础上持续提升听和写的水平。
听说读要有机结合，才能相辅相成。
学生基础差，见过的英语习题比较少，教师要从习题入手，让学生尽可能的做出比较多的习题，这样在考试中不至于束手无策。
3、注意因材施教，采用分层分类教育，协助不同层次的学生获得不同的提升和收获。
专题课的研究习题课与复习课
专题课的研究（习题课和复习课）数学习题课的设计探究一、数学习题课的类型数学习题课按教学阶段的不同课分为三类，第一类是新知识初学的阶段为巩固基础知识、形成熟练技能而设立的习题课，第二类是在一个单元结束的时候为查漏补缺、巩固提高而设立的习题课，第三类是针对某些重点知识，以排忧解难、提高认识为目的而设立的习题课。
数学习题课的设计要按照整体、有序和适度的原则，有目的，有层次，有实效地提高学生的问题解决能力。
二、数学习题课的一般结构1、检查复习：师生共同回忆已学过的基础知识，特别是本课内容所需的基础知识，同时也进行一些基本技能训练，包括口算训练和应用题基础训练等2、揭示课题：明确本节习题课的内容和要求3、例题探究：教师要选择和设计典型例题，引导学生分析题目中要应用的概念、法则、探索接替思路。
通过例题探究、板演、明确解题步骤、总结解题规律等。
4、课堂练习：要安排足够的时间让学生练习，练习要分及格层次，注意应用题组练习，加强练习题间的联系和配合，提高练习的整体效益。
课采用多种师生互动、生生互动的教学形式，引导学生主动参与解题思维活动，既要鼓励学生独立思考，又要在关键地方点拨、引导学生按照认知规律思考。
5、练习讲评：对练习中返现的普遍性问题进行讲评，评价解法的优势和不足，纠正存在的错误，使学生在应用中加深对本课题的理解。
6、课堂小结：课先让学生自己小结，然后师生共同总结解题规律，提炼解题思想方法。
7、布置作业：针对习题课的重点和学生存在的问题，布置家庭作业，应要求学生先复习后作业，再反思。
通过对习题课的一般结构，对于我来说有很大的收获，再一节习题课上知道从那些方面入手，同时也知道应该进行那里步骤。
了解习题课上的重点在那里，以及关注什么，让学生掌握什么，同时明白一节习题课所应该达到的要求是什么。
从这些看似基本的结构里掌握每个环节之间的联系，提高课堂的时效性。
同时能提高学生对知识的运用和掌握的能力。
三、教学习题的设计和选择习题课教学，关键是习题的设计和选择，习题课的教学设计内容必须要有层次性，要遵循认知规律和接受能力，使习题的配置由浅入深、由容易到难、由具体到抽象、由单一到综合。
早读课、自习课、复习课、习题课、试卷讲评课的46条禁忌
早读课、自习课、复习课、习题课、试卷讲评课的46条禁忌早读课禁忌1.黄金早读时间处理班务。
2.早读目标不明晰不具体。
3.一刀切让学生大声读。
4.背得快的学优生没事干，白白浪费时间。
5.缺少对学困生单独领读，学困生不会读，背诵无法进行。
6.早读快结束前缺少“背默”双过关。
7.对过关缺少考核意识，对未过关学生缺少追踪反馈。
8.墙上缺少语文、英语日、周、月背诵过关累积考核表。
自习课(延时服务做作业时段)禁忌1.只有学科自习，缺少学生可自由支配的公共自由自习。
2.学生把自习与做作业划等号，作业做完就没事干了。
3.学习顺序不合理，未按照整理笔记-做作-预习-课外阅读(写日记)进行。
4.未按照独立钻研、允许讨论、教师帮扶分区上自习，效率较低。
5.未依据学习方式、试题难度、题量多少让学生分层作业。
6.老师面批作业，学生排长队等待，白白浪费时间。
7.自习变成了教师讲课、讲练习册。
8.自习时学生不是裸做作业，而是把书上答案搬到练习册上。
复习课禁忌1.“抄冷饭”，教师快速把自认为重点的知识重讲一遍。
2.把复习课当练习课上。
教师讲题，学生做题，忽视了复习课要沟通知识内在联系、温故知新和融会贯通的本质定位。
3.教师替代学生对单元知识个性化梳理，直接呈现整理的结果，如图表、思维导图。
学生缺少自我查漏补缺、个性化建构知识体系过程。
4.综合能力提升、拔高不到位，选题缺少梯度。
5.缺少定位，看不出课堂侧重点是知识拓展深化、知识梳理，还是专题技能提升。
6.易错点、易混点、重难点、常见考点点拔不到位。
7.作业设计没有与复习目标照应。
8.缺少学生之间整理的单元思维导图分享交流及二次个人补充完善。
练习课禁忌1.练习课前半节对学过概念公式重新推导，而不是放在理解记忆上。
2.缺少练习题精选意识，拼奏练习的数量，轻练习题精选的质量。
练习课成了“习题开会”，课堂练习品质较低。
3.重习题答案的呈现，轻解题方法的提炼。
习题是孤立零散的，缺少题组训练、一题多解、多变、多题归一意识，没有达到概括、提炼方法的高阶设计。
第01课中华文明的起源与早期国家练习题
第01课中华文明的起源与早期国家练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．周公参酌殷礼，制定了田制、官制、禄制、乐制、法制、谥制、谶服制、嫡长子继承制等，称为“周礼”，以此为后人所称道.这反映了西周A．继承了商朝的礼乐制度B．形成了完备的典章制度C．建立了理性的礼制社会D．完善了官僚行政体制2．西周分封制在中国历史上影响深远。
下列省、自治区中，其简称源自西周封国国名的是A．河南、河北B．湖南、湖北C．山东、山西D．广东、广西3．分封制也叫封建制，即狭义的“封建”，由共主或中央王朝给王室成员、贵族和功臣分封领地。
下列选项与西周分封制没有内在联系的是A．“裂都会而为之郡邑”B．“诸侯朝于天子，曰述职”C．“周公…立七十一国”D．山东素有“齐鲁大地”之称4．周的政治体制中实权下放、虚权保留的模式，在彼此矛盾激化、亲情疏远的情况下，自然不再温情脉脉，春秋时代也便有且只有僭越频发的可能。
材料中评价的政治体制为A．分封制B．宗法制C．郡县制D．礼乐制度5．商朝信仰天帝的权威，《礼记》则有“君天下曰天子”的记载，唐代经学家孔颖达对此的注释“是上天之子，又为天所命子养下民”。
由此可见周朝“礼”的文化（）A．有效维护了分封制和宗法制B．为周取代商提供了社会基础C．为强化王权提供了理论依据D．使神权王权的结合更为密切6．国学大师钱穆认为，中国古代史“前一段落为秦以前的封建政治，后一段落为秦以后之郡县政治”。
以下对这两大“政治”的理解正确的是( )A．都是地方制度，加强了中央集权B．都顺应了历史潮流，维护了封建统治C．都以血缘为纽带，实现了权力的高度集中D．前者是贵族政治，后者是官僚政治7．“人们一说起中国发现的远古人类，没有不首先提到北京人的。
”下列关于北京人的叙述，错误的是A．是我国境内目前已确认的最早的古人类B．依然保留着某些猿的特征但能直立行走C．已经会用火烧烤食物和长时间保存火种D．能够使用粗糙的打制石器并过群居生活8．能够较典型地反映我国原始农耕生活的是①北京人②元谋人③河姆渡人④半坡人A．①②B．③④C．①④D．②③9．中国农业起源于距今（2021年）10000年左右的新石器时代早期，农业生产有着悠久的历史。
2024届新高考一轮总复习人教A版 1
第2节常用逻辑用语[课标解读] 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识1．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件，也可以说p⇔q.2．全称量词和存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”∀存在量词“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”∃3.全称量词命题和存在量词命题命题名称定义命题结构命题简记全称量词命题含有全称量词的命题对M中任意一个x，p(x)成立∀x∈M，p(x) 存在量词命题含有存在量词的命题存在M中的元素x，p(x)成立∃x∈M，p(x)4.全称量词命题与存在量词命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x∈M，¬p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，¬p(x)[必记结论]1．充分、必要条件与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．2．p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件．【小题热身】1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.()(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(3)“至少有一个三角形的内角和为π”是全称量词命题．()(4)“全等三角形的面积相等”是存在量词命题．()答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× 2．(多选)下列命题是真命题的有( ) A ．∃x ∈R ，log 2x ＝0 B ．∃x ∈R ，cos x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0 D ．∀x ∈R ，2x >0解析：选ABD ．因为log 21＝0，cos 0＝1，所以选项A 、B 均为真命题；02＝0，选项C 为假命题；2x >0，选项D 为真命题．3．(2022·浙江高考)设x ∈R ，则“sin x ＝1”是“cos x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．若sin x ＝1, 则x ＝π2＋2k π，k ∈Z ，此时cos x ＝0，故充分性成立；反之，若cos x ＝0，则x ＝π2＋k π，k ∈Z ，当x ＝3π2＋2m π，m ∈Z 时，sin x ＝－1，故必要性不成立．综上，“sin x ＝1”是“cos x ＝0”的充分不必要条件，故选A ．4．(必修第一册P29例3改编)命题“∀x ∈R ，x 2＋x ≥0”的否定是____________. 答案：∃x 0∈R ，x 20＋x 0<05．(2023·辽宁大连模拟)已知命题“∃x ∈R ，x 2－2ax ＋3a ≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________.解析：由题意知“∀x ∈R ，x 2－2ax ＋3a >0”为真命题，所以Δ＝4a 2－12a <0，解得0＜a ＜3.答案：()0，3备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1 充分、必要条件的判定【典例引领】[例1] (1)(2022·北京高考)设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在正整数N 0，当n >N 0时，a n >0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ．由题意知数列{a n }的公差d ≠0.充分性：若{a n }为递增数列，则d >0，故{a n }从某项开始均为正数；必要性：存在正整数N 0，当n >N 0时，a n >0，若d <0，则从某项开始a n <0，矛盾，故d >0，{a n }为递增数列．故选C ．(2) “m ∈(0，13)”是“函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3m －1)x ＋4m ，x <1，－mx ，x ≥1是定义在R 上的减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ．若函数f (x )是定义在R 上的减函数，则有⎩⎨⎧3m －1<0，－m <0，(3m －1)×1＋4m ≥－ m ，得⎩⎨⎧m <13，m >0，m ≥18即18≤m <13，因为[18，13)(0，13)所以“m ∈(0，13)”是“函数f (x )＝⎩⎨⎧(3m －1)x ＋4m ，x <1，－mx ，x ≥1是定义在R 上的减函数”的必要不充分条件，故选B ．【思维升华】 充分条件与必要条件的判断方法 (1)定义法①分清条件与结论(p 与q )②找推式：判断“若p ，则q ”及“若q ，则p ”的真假③下结论：根据p ⇒q 且p ⇐/q ，p ⇒/q 且p ⇐q ，p ⇒q 且p ⇐q ，p ⇒/q 且p ⇐/q 得到相应的结论 (2)集合法当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集有关，或所描述的对象可以用集合表示时，可以借助集合间的包含关系进行充分条件与必要条件的判断.【考点集训】1．(2023·四川凉山一诊)已知平面α，β，γ和直线l ，则“α∥β”的充分不必要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．l ⊥α且l ⊥βC ．γ⊥α且γ⊥βD ．α内的任意直线都与β平行解析：选B ．对于A ，α内有无数条直线与β平行，则α，β可能相交或平行，故不能推出α∥β；对于B ，l ⊥α且l ⊥β，则α∥β，反之不成立，满足题意；对于C ，γ⊥α且γ⊥β，则α，β可能相 交或平行，故不能推出α∥β；对于D ，“α内的任意直线都与β平行”是“α∥β”的充要条件．故选B ．2．设实数a >0，则“2a >2”是“log a (a ＋12)>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．由2a >2，得a >1；由log a (a ＋12)>0，可得log a (a ＋12)>log a 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ＋12>1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ＋12<1，解得a >1或0<a <12.因此“2a>2”是“log a (a ＋12)>0”的充分不必要条件．故选A ． 考点2 充分、必要条件的应用【典例引领】[例3] 已知p ：|1－x －13|≤2，q ：x 2 －2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________.解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，故p 对应的集合为N ＝{x |－2≤x ≤10}，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m ，故q 对应的集合为M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．因为q 是p 的必要不充分条件，所以NM ，所以⎩⎨⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，(1－m ＝－2与1＋m ＝10不会同时成立)解得m ≥9，所以实数m 的取值范围为[9，＋∞). 答案：[9，＋∞)[变式] 将本例中的“q 是p 的必要不充分条件”改为“q 是p 的充分条件”，则实数m 的取值范围为________.解析： 由上题的解析知p 对应的集合为N ＝{x |－2≤x ≤10}，q 对应的集合为M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．因为q 是p 的充分条件，所以M ⊆N ，则⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，m >0，解得0<m ≤3.答案：(0，3]【思维升华】 充分条件、必要条件求参数的两个注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．【考点集训】3．已知不等式|x －m |<1成立的一个充分不必要条件是13≤x ≤12，则实数m 的取值范围是( )A ．[－12，43]B ．(－12，43)C ．(－∞，－12)D ．[43，＋∞)解析：选B ．解不等式|x －m |<1，得m －1<x <m ＋1.因为不等式|x －m |<1成立的 一个充分不必要条件是13≤x ≤12，则⎩⎨⎧m －1<13，m ＋1>12，解得－12<m <43，即实数m 的取值范围是(－12，43).故选B ．考点3 全称(存在)量词命题【典例引领】全称量词与存在量词的否定[例3] 命题：∃x 0>0，sin (x 0－1)≥1的否定为( ) A ．∃x 0>0，sin (x 0－1)<1 B ．∃x 0≤0，sin (x 0－1)≥1 C ．∀x >0，sin (x －1)<1 D ．∀x ≤0，sin (x －1)<1解析：选C ．根据存在量词命题的否定为全称量词命题，得命题：∃x 0>0，sin (x 0－1)≥1的否定为“∀x >0，sin (x －1)<1”．故选C ．【思维升华】 全称(存在)量词命题否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．注意：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．全称量词命题与存在量词命题的真假判断[例4] (多选)下列命题是真命题的是( )A ．∃a ∈R ，使函数y ＝2x ＋a ·2－x 在R 上为偶函数 B ．∀x ∈R ，函数y ＝sin x ＋cos x ＋2的值恒为正数 C ．∀x ∈R ，x 4< x 5 D ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≤0解析：选AD ．当a ＝1时，y ＝2x ＋2－x 为偶函数，故A 为真命题；y ＝sin x ＋cos x ＋2＝2sin (x ＋π4)＋2，当sin (x ＋π4)＝－1时，y ＝0，故B 为假命题；当x ＝0时，x 4＝x 5，故C 为假命题；x 2－2x ＋1＝(x －1)2，当x ＝1时，x 2－2x ＋1＝0，故D 为真命题．【思维升华】 判定全称量词命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判定存在量词命题“∃x ∈M ，p (x )”是真命题，只要在限定集合内找到一个x ，使p (x )成立即可．根据命题的真假求参数的取值范围[例5] 若命题“∀x >0，ln x －12x 2 －a <0”为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，e]B ．(－∞，1]C ．(－∞，12]D ．(－∞，－12]解析：选D ．命题“∀x >0，ln x －12x 2－a <0”为假命题，则命题“∃x 0>0，ln x 0－12x 20－a ≥0”为真命题．由ln x 0－12x 20－a ≥0，得a ≤ln x 0－12x 20，设g (x )＝ln x －12x 2，则原问题可转化为a ≤g (x )max .g ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x .令g ′(x )>0，得0<x <1, 令g ′(x ) <0，得x >1，则g (x )在(0，1)上单调递增，在(1,＋∞)上单调递减，从而g (x )≤g (1)＝－12，故a ≤－12.故选D ．【思维升华】 (1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．【考点集训】4．(2023·西安模拟)命题“∀x >0，xx －1>0”的否定是( ) A ．∃x <0，x x －1≤0B ．∃x >0，0≤x ≤1C ．∀x >0，xx －1≤0D ．∀x <0，0≤x ≤1解析：选B ．因为x x －1>0，所以x <0或x >1，所以xx －1>0的否定是0≤x ≤1.所以命题的否定是∃x >0，0≤x ≤1，故选B ．5．(2023·广东佛山模拟)若“∃x ∈[4，6]，x 2－ax －1>0”为假命题，求实数a 的取值范围．解析：因为“∃x ∈[4，6]，x 2－ax －1>0”为假命题， 所以“∀x ∈[4，6]，x 2－ax －1≤0”为真命题， 即x －1x ≤a 对∀x ∈[4，6]恒成立，所以a ≥(x －1x )max 且x ∈[4，6]，又因为f (x )＝x －1x 在[4，6]上是增函数，所以f (x )max ＝f (6)＝6－16＝356，所以a ≥356.。
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能力提升 1．等体积、等物质的量浓度的硫酸、氢氧化钠溶液分别放在 甲、乙两烧杯中，各加等质量的铝，生成氢气的体积比为 5∶6，则甲、乙两烧杯中的反应情况可能分别是 A．甲、乙中都是铝过量 B．甲中铝过量，乙中碱过量 C．甲中酸过量，乙中铝过量 D．甲中酸过量，乙中碱过量 ( B )
解析
根据 2Al ＋ 3H2SO4===Al2(SO4)3 ＋ 3H2↑ 和 2Al ＋
2NaOH＋2H2O===2NaAlO2＋3H2↑，把等体积、等物质的 量浓度的硫酸、氢氧化钠溶液分别放在甲、乙两烧杯中， 各加等质量的铝，生成氢气的体积比为 5∶6，可推断得出 甲中铝过量、乙中碱过量的结论。
思维拓展 1．设计实验方案除去铁物投入足量的 NaOH 溶液中，充分反应后过
Δm －14＜0
Δm －56＜0
答案
A
C 项中： 2Na＋2H2O＋MgCl2===2NaCl＋Mg(OH)2↓＋H2↑ 46 D 项中： 2Na＋2H2O===2NaOH＋H2↑ 2NaOH＋Ca(HCO3)2===CaCO3↓＋Na2CO3＋2H2O 二者合并为 2Na＋Ca(HCO3)2===CaCO3↓＋Na2CO3＋H2↑ 46 100 2 58 2
写出铝与强碱反应的离子方程式：
2Al＋2NaOH＋2H2O===2NaAlO2＋3H2↑
离子方程式：
2Al＋2OH－＋2H2O===2AlO2－＋3H2↑
此反应的氧化剂和还原剂分别是什么？
如何用双线桥表示此氧化还原反应?
铝与氢氧化钠溶液的反应: (特 性) 反应历程：
2Al＋6H2 O＝2Al(OH)3＋3H2↑ ① Al(OH)3 ＋NaOH＝NaAlO2＋2H2O ②
( AB )
能含有大量 OH ，在酸性和碱性溶液中均不能共存的离子
2－ 中含有能与 H＋和 OH－反应的离子， B 项中 CO3 与 H＋反应，
－
Mg2 与 OH 反应。
＋ －
练习:
1.向一个铝制易拉罐充满CO2,然后往罐中注入足量 的NaOH溶液,立即用胶布严封罐口,不一会儿听到 罐内“咔咔”作响，发现易拉罐变瘪，再过一会 儿易拉罐又鼓起来 （1）易拉罐变瘪的原因是什么？写出（ 反应的离 子方程式； NaOH溶液吸收CO2 ，罐内压强减小，外界 压强将易拉罐压瘪。CO2 + 2OH- = CO32-+ H2O （2）易拉罐又鼓起来的原因是什么？写出反应的离 子方程式。 Al表面氧化膜溶解后，Al与NaOH溶液反应产生 H2，罐内压强又增大。2Al+2OH-+2H2O=2AlO2-+3H2 ↑
产生 0.1 mol 的氢氧化钠，铝箔又与产生的氢氧化钠溶液反 应生成氢气，故收集到的氢气应大于 0.05 mol。
3．若在加入铝粉能放出 H2 的溶液中分别加入下列各组离子， 肯定不能共存的是 A．Fe3 、NO3 、Cl 、Na
＋ － － ＋ － 2－ B．Na＋、Mg2＋、CO2 、 SO 3 4 － － C．NO3 、Na＋、K＋、CO2 3 － － － D．NO3 、K＋、CO2 、 OH 3 解析 能与铝反应产生氢气的溶液可能含有大量 H＋， 也可
2．将金属钠投入到下列物质的溶液中，溶液的质量不会减 轻的是 A．HCl C．MgCl2 B．CuSO4 D．Ca(HCO3)2 ( )
解析 溶液质量的变化取决于加入物质与逸出气体和 析出沉淀的质量之差。若此差值大于或等于零，则溶液 质量不会减轻。 A 项中： 2Na＋2HCl===2NaCl＋H2↑ Δm 44＞0 2×23 2 B 项中： 2Na＋2H2O＋CuSO4===Na2SO4＋Cu(OH)2↓＋H2↑ Δm －54＜0 2×23 98 2
滤、洗涤、晾干，即可除去铁粉中的铝粉。
2．用铝箔包裹 0.1 mol 金属钠，用针孔扎若干个小孔，放入 水中，完全反应后，放出的气体体积(标准状况)为 A．无法确定 C．大于 1.12 L B．1.12 L D．小于 1.12 L ( C )
解析
本题中钠与水反应， 生成氢气的物质的量为 0.05 mol，
偏铝酸钠
①＋②×2可得： 2Al＋6H2O＋2NaOH＝2NaAlO2 ＋4H2O＋3H2↑ 化简为： 2Al＋2H2O＋2NaOH＝2NaAlO2＋3H2↑
• (4)、两份等量的铝分别与等物质的量浓度、等体积的 盐酸和NaOH溶液反应，若产生的H2的体积比为：
则必定是铝与盐酸反应时，铝过量而盐酸不足；铝与 NaOH 溶液反应时，铝不足而NaOH过量。