因式分解知识点归纳

精心整理
因式分解
知识点回顾
1、 因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。

因式分解和整式乘法互为逆运算
2、常用的因式分解方法：
（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++
（2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；
完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±
（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++
因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；
（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

（4）最后考虑用分组分解法
5、同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +=（n m ,都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：235()()()a b a b a b ++=+
6、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：10253)3(=-
幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(==
如：23326)4()4(4==
7、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）
积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=∙∙∙-
8、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m
同底数幂相除，底数不变，指数相减。

如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷
9、零指数和负指数；
10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。

p p a
a 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。

如：8
1)21(233==- 10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：=∙-xy z y x 3232
11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)
注意：
①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。

]
如：)(3)32(2y x y y x x +--
12、多项式与多项式相乘的法则；
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

如：)
6)(5()3)(23(-+-+x x b a b a 三、知识点分析：
1.同底数幂、幂的运算：
a m ·a n =a m+n (m ，n 都是正整数).
(a m )n =a mn (m ，n 都是正整数).
例题1.若6422=-a ，则a=；若8)3(327-=⨯n ，则n=
例题2.若125512=+x ，求x x +-2009)2(的值。

例题3.计算()
[]()[]m
n x y y x 2322-- 练习
1.若32=n a ，则n a 6=.
2.设4x =8y-1,且9y =27x-1,则x-y 等于。

2.积的乘方
(a b)n =a n b n (n 为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 例题1.计算：()
[]()()[]4
3p p m n n m m n -⋅-⋅- 3.乘法公式
平方差公式：()()22b a b a b a -=-+
完全平方和公式：()2222b ab a b a ++=+ 完全平方差公式：()222
2b ab a b a +-=- 例题1.利用平方差公式计算：2009×2007－20082
例题2.利用平方差公式计算：22007200720082006
-⨯． 3.（a －2b ＋3c －d ）（a ＋2b －3c －d ）
考点一、因式分解的概念
因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。

因式分解和整式乘法互为逆运算
1、下列从左到右是因式分解的是（）
A.x(a-b)=ax-bx
B.x 2-1+y 2=(x-1)(x+1)+y 2
C.x 2-1=(x+1)(x-1)
D.ax+bx+c=x(a+b)+c
2、若2249a kab b ++可以因式分解为2(23)a b -，则k 的值为______
3、已知a 为正整数，试判断2a a +是奇数还是偶数？
4、已知关于x 的二次三项式2x mx n ++有一个因式(5)x +，且m+n=17，试求m ，n 的值 考点二提取公因式法
提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++
公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式 找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数2、字母是相同字母
3、字母的次数-相同字母的最低次数
习题
1、将多项式3222012a b a bc -分解因式，应提取的公因式是（）
A 、ab
B 、24a b
C 、4ab
D 、24a bc
2、已知(1931)(1317)(1317)(1123)x x x x -----可因式分解为()(8)ax b x c ++，其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c 等于（）
A 、-12
B 、-32
C 、38
D 、72
3、分解因式
（1）6()4()a a b b a b +-+（2）3()6()a x y b y x ---
（3）12n n n x x x ---+（4）20112010(3)(3)-+-
4、先分解因式，在计算求值
（1）22(21)(32)(21)(32)(12)(32)x x x x x x x -+--+--+其中x=1.5
（2）22(2)(1)(1)(2)a a a a a -++---其中a=18
5、已知多项式42201220112012x x x +++有一个因式为21x ax ++，另一个因式为22012x bx ++，求a+b 的值
6、若210ab +=，用因式分解法求253()ab a b ab b ---的值
7、已知a ，b ，c 满足3ab a b bc b c ca c a ++=++=++=，求(1)(1)(1)a b c +++的值。

（a ，b ，c 都是正整数）
考点三、用乘法公式分解因式
平方差公式))((22b a b a b a -+=-
运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反 习题
1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A 、22x 4y +
B 、22x 2y 1-+
C 、224x y -+
D 、224x y --
2、分解下列因式
（1）2312x -（2）2(2)(4)4x x x +++-（3）22()()x y x y +--
（4）32x xy -（5）2()1a b --（6）22229()30()25()a b a b a b ---++
（7）22009201120101
⨯- 3、若n 为正整数，则22(21)(21)n n +--一定能被8整除
完全平方式222)(2b a b ab a ±=+±
运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍中间放的特点，其中首尾两项的符号必须相同，中间项的符号正负均可。

习题
1、在多项式①22x 2xy y +-②22x 2xy y -+-③22x xy+y +④24x 1+4x +中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）
A 、①②
B 、②③
C 、①④
D 、②④
2、下列因式分解中，正确的有（ ）
①32224a a b a(4a b )-=-②2x y 2xy xy xy(x 2)-+=-③a ab ac a(a b c)-+-=---④
29abc 6a b 3abc(32a)-=-⑤22222x y xy xy(x y)333
+=+ A 、0个B 、1个C 、2个D 、5个
3、如果22(3)16x m x +-+是一个完全平方式，那么m 应为（）
A 、-5
B 、3
C 、7
D 、7或-1
4、分解因式
(1)242mx mx m -+(2)22-42a a +(3)x x x -+-2
32
（4）22(23)(3)x x +--（5）2882x y xy y -+
（6）22224(x -2xy)+2y (x -2xy)+y （7）4x 2－12xy+9y 2－4x+6y-3
5、已知2a b +=，2ab =，求32231122a b a b ab ++
6、证明代数式2210845x y x y +-++的值总是正数
7、已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三边长，试比较2222()a b c +-与224a b 的大小 考点四、十字相乘法
（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式
a b 、的积，并且a b +等于一次项系数p 的值，那么它就可以把二次三项式2x px q ++分
解成
例题讲解1、分解因式：652++x x
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即
2+3=512
解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 13
=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例题讲解2、分解因式：672+-x x
解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1-1
=)6)(1(--x x 1-6
（-1）+（-6）=-7
练习
分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x
(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x
2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2
条件：（1）21a a a =1a 1c
（2）21c c c =2a 2c
（3）1221c a c a b +=1221c a c a b +=
分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++
例题讲解1、分解因式：101132+-x x
分析：1-2
3-5
（-6）+（-5）=-11
解：101132+-x x =)53)(2(--x x
分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x
（3）317102+-x x （4）101162++-y y
3、二次项系数为1的多项式
例题讲解、分解因式：221288b ab a --
分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

18b
1-16b
8b+(-16b)=-8b
解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++=)16)(8(b a b a -+
分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a --
4、二次项系数不为1的多项式
例题讲解22672y xy x +-2322+-xy y x
1-2y 把xy 看作一个整体1-1
2-3y1-2
(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3
解：原式=)32)(2(y x y x --解：原式=)2)(1(--xy xy
分解因式：（1）224715y xy x -+（2）8622+-ax x a
考点五、因式分解的应用
1、分解下列因式
（1）233x -（2）324x y x -
（3）32627x x x +-（4）2221a b b ---
2、计算下列各题
（1）2(441)(21)a a a -+÷-（2）222(2)()a b c ab a b c +--÷--
3、解方程
（1）2216(1)25(2)x x +=-（2）2(23)(23)x x +=+
4、如果实数a b ≠，且101101
a b a b a b ++=++，那么a+b 的值等于________ 5、222222222
1234562009201020112012 (1234562009201020112012)
-----++++++++++
6、若多项式212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的乘积，试确定符合条件的整数a 的值（写出3个）
7、先变形再求值
（1）已知1216
x y -=，4xy =，求43342x y x y -的值 （2）已知23820x x -+=，求21232x x -+的值
8、已知a 、b 、c 为三角形三边，且满足a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=0，试说明该三角形是等边三角形
9、两个正整数的平方差等于195，求出这两个正整数
10、阅读下列因式分解的过程，回答问题
（1） 上述分解因式的方式是_________，共用了______次。

（2） 若分解220121(1)(1)...(1)x x x x x x x ++++++++，则需上述方法______次，结果为
_______________________
（3） 分解因式21(1)(1)...(1)n x x x x x x x ++++++++（n 为正整数）。