牛顿第二定律的拓展公式及应用

牛顿第二定律的拓展公式及应用
广西宾阳中学(530400)　王爱明
在运用牛顿第二定律解题时,通常是在系统内的物体加速度相同时采用整体法,如果系统内的物体加速度不同时,则采用隔离法,笔者对牛顿第二定律作分析,导出其拓展公式,运用该拓展公式,则不论系统内各物体的加速度是否相同都能用整体法求解.
1.拓展公式的推导
设有两个质量为m1、m2的物体,分别受到外力F1、F2的作用,相互间的作用力为F21和F12,加速度为a1、a2,则:
对m1有F1+F21=m1a1
对m2有F2+F12=m2a2
∴F1+F2+F12+F21=m1a1+m2a2
式中F1+F2是两物体所受外力的矢量和,记为∑F.由牛顿第三定律得:F21=-
F12.
故有∑F=m1a1+m2a2,可以证明此式可以推广到有多个物体的情形,于是得出结论:∑F=m1a1+m2a2+…
其分量形式为∑F x=m1a1x+m2a2x+…
∑F y=m1a1y+m2a2y+…这就是牛顿第二定律的拓展公式.
2.拓展公式的应用
牛顿第二定律的拓展公式,由于不涉及系统的内力,因而可以很方便地用来处理不涉及内力的多个物体运动问题.
(1)求解物体的受力情况
【例1】　如图1所示,倾
角为θ的斜面体置于粗糙的
水平面上,已知斜面体的质
量为M,一质量为m的木块
正沿斜面加速下滑,且下滑
过程中斜面体保持静止,若
木块与斜面体间的动摩擦因数为μ,则木块下滑过程中,地面对斜面的支持力多大?斜面体受
地面的摩擦力多大?
分析与解:把M、m看
作一个整体,对它们进行受
力分析,如图2所示,由牛顿
第二定律的拓展公式得:
在水平方向f=m a x
在竖直方向
(M+m)g-N=ma y
而a x=a・cosθ　a y=a・sinθ　又a=
g sinθ-gμcosθ
∴N=(M+m)g-m sinθ(g sinθ-gμcosθ)
f=m cosθ(g sinθ-gμcosθ)
(2)求解物体的运动情况
【例2】　如图3,大圆环
质量为M.经过环心的竖直
钢丝上套有一个质量为m
的小球,将小球以初速v竖
直向上抛出,欲使大圆环对
地无压力,求小球上升的加
速度和上升所能达到的最大高度(设大环直径足够大).
分析与解:把小球和环
看作一个整体,其受力情况
如图4所示,由牛顿第二定
律的拓展公式得(M+m)g
-N=m a
当大圆环对地无压力
时,即N=0时,则a=
m+M
m
g,方向竖直向下.
小球上升所能达到的最大高度为H=v
2
2a =
v2m
2(m+M)g.
以上例题,若用隔离法,解题过程显得复杂且混乱、费时,容易出差错,但用整体法———牛顿第二定律的拓展公式,由于不必考虑物体间的相互作用,所以显得巧妙、简捷.
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疑难点击。