w2011新的具有光滑二次函数混沌系统的构建与实现
复摆运动中的混沌现象及其计算机模拟
这是有阻尼的振动方程， 输入上述参量， 程序 运行后， 其相应的振动曲线和相轨迹如图 ３ 中（） （） （ ， 所示． ａ ｂ 从图中可见其振幅随时间而 衰减， 对应在相应空间的轨迹为一 向内收缩 的螺旋线 ， 这与其解析解的结果一致， 且可 以
万方数据
物理与工程 Ｖ ｌ１ ｏ． ｏ ｌ ０１ １ ． ２０ Ｎ 看到初始条件的改变对输出结果影响不大．
ｓ ｔ ｆ ａ ｑ幻＝（．５１６） ｔ ｉ ｌ ｔ ａｃ ［ ｏ １６，．０ ；
ｉｔ ｉ ｒ Ｄ Ｔ Ｃ ｇ ｏｅ ｎ ｇ ｒ ｅ＝ Ｅ Ｔ， ｄ ； ｄｖ Ｅ ｍ
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Ｘ＋ａ Ｘ＋ ＝ ０ ｂ Ｘ
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ｌ ｅ ０ １ ０ ２ ０ １ ０ ；ｎ （０ ６ ，０ １ ５ ； ｉ （ ，２ ，５ ，２ ） ｌ ｅ ７ ，５ ７ ，７ ） ｎ ５ ｉ ｌ ｅ ０ ，２ ，５ ，２ ） ｌ ｅ ４ ５ ６ ，２ ，７ ） ｉ （ ０ １０ ５ ０ １ ０ ；ｎ （ ２ ，５ ４ ５ １ ５ ； ｎ ３ ｉ
Ａ ｓ ａｔ ｈ ｓｌｔ ｎ ｏ ｔｅ ｕｔ ｎ ｍ ｔ ｎ ｔｅ ｏ ｎ ｐｎ ｕｕ ａｅ ｂｔ ｃ Ｔ ｅ ｕｉ ｓ ｈ ｅ ａｉ ｏ ｏｉ ｏ ｈ ｃｍｐ ｕｄ ｄ ｌｍ ｒ ｏ ｏ ｆ ｑ ｏ ｆ ｏ ｆ ｏ ｅ ｒ ｆｕ ｄ ｔ ａｃｍｐ ｔｒ Ｗｉ ｄｆ ｒｎ ｐｒｍ ｔｒ ｓｌ ｔｄ ａｉ ｓ ｉ ｌ ｅ ， ｏ ｎ ｗ ｈ ｕｅ． ｔ ｉｅｅｔ ａ ｅｅｓ ｅ ｅ ，ｖｒ ｕ ｔｐ ａ ｃｓｓ ｉ ｏ ｈ ｆ ａ ｅｃ ｏ ｙｃ ａ ｉ ｌ ｉｇ ｏ ， ｒ ａａ ｚｄ Ｔ ｅ ｐ ｓ ｔｅ ｔ ｎ ａｅ ｅ ｉ ｔ ｏ ｍ ． ｎ ｕ ｎ ｃａｓ ａｅ ｌ ｅ． ｇａｈ ｏ ｈ ｍ ｉ ｓ ｇ ｎ ｗ ｆ ｓ ｃｄ ｈ ｎｙ ｈ ｒ ｆ ｏ ｏ ｒ ｉ ｎ ｏ ｖ ｒ Ｋ ｙ ｒｓ ｏ ｐ ｕ ｄ ｄ ｌｍ； ｈ ｏ ； ｈｓ ｓａｅ ｄ ｃｍ ｏ ｎ ｐ ｎ ｕｕ ｃａｓ ｐ ａｅ ｃ ｅ Ｗｏ ｅ ｐ 转轴 Ｏ的转动惯量为 Ｉ质心到转轴的距离为 ；
混沌系统数学定义-概述说明以及解释
混沌系统数学定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容:引言部分的目的是介绍混沌系统的概念和其数学定义，并提供文章的结构和目的。
混沌系统是指一类表现出极其复杂、不可预测和无序行为的动态系统。
混沌系统的研究领域涉及物理、数学、生物学等多个学科，对于理解自然界和社会现象中的复杂性现象具有重要意义。
在本文中，我们将首先概述混沌系统的概念和特征。
混沌系统具有敏感依赖于初值条件、无周期性稳定状态、确定性演化以及具有范围性的特点。
这些特征使混沌系统成为一个有趣而复杂的研究对象。
接下来，我们将详细介绍混沌系统的数学定义。
混沌系统可以通过非线性动力学方程来描述，如著名的洛伦兹方程和Logistic映射等。
数学定义的建立为混沌系统的分析和模拟提供了重要的途径。
最后，我们将总结混沌系统的数学定义，并展望对混沌系统的应用和研究。
混沌系统在天气预报、信号处理、密码学等领域中有广泛的应用，并且对于深入理解自然界中的复杂现象具有重要的指导意义。
未来的研究可以进一步探索混沌系统的性质和应用，以及开发新的数学工具和方法。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解混沌系统的概念和特征，掌握混沌系统的数学定义，并认识到混沌系统在科学和工程领域中的重要性和应用前景。
接下来，我们将详细介绍混沌系统的概念和特征。
1.2文章结构文章结构的目的是为了让读者更好地理解和掌握本文的内容。
通过合理的文章结构，可以使得文章的逻辑性更强，内容更加清晰明了。
在本文中，为了系统地介绍混沌系统的数学定义，文章结构如下：2. 正文2.1 混沌系统的概念和特征2.2 混沌系统的数学定义通过这样的结构安排，读者可以先了解混沌系统的概念和特征，为后续的数学定义打下基础。
然后，读者将会逐步深入了解混沌系统的数学定义，包括其中的数学模型、方程和陈述。
这样的结构安排将使得读者能够全面了解混沌系统的数学定义及其相关知识。
文章结构要求内容之间的连接紧密，逻辑严谨。
在介绍混沌系统的概念和特征时，可以首先从混沌系统的起源和背景入手，引出混沌系统的定义，并详细解释混沌系统的特征，例如敏感依赖于初始条件和非周期性等。
混沌系统与控制的数学模型研究
混沌系统与控制的数学模型研究混沌系统作为一类特殊的动力学系统，在近几十年中非常受到关注。
混沌现象由于具有高度复杂性，不规则的运动模式，已被应用到许多领域，例如天气预报、金融市场分析以及电路控制等。
本文将会探讨混沌系统与控制的数学模型研究。
一、什么是混沌系统？混沌系统是指那些由一系列非线性方程组成的动力学系统。
这些方程没有精确的数学解，而是具有高度复杂、不规则、难以预测的运动模式。
混沌系统表现出的随机性和不可预测性是由于系统本质上是非线性的。
二、混沌系统的数学模型混沌系统的数学模型可以归纳为三种主要类型：一维离散映射、二维连续方程、三维连续方程。
其中最为知名的是一维离散映射，它是一种通过迭代得到的映射函数，可以用以下公式表示：$x_{n+1}=f(x_n)$其中n表示迭代步数，x表示状态向量，f是一个非线性的映射函数。
三、混沌系统的控制混沌系统在应用时需要通过控制来实现其稳定状态。
控制混沌系统的方法主要有两种：抑制和吸引。
抑制方法是指通过外界的控制手段，使混沌系统的状态从混沌态转化成稳定态。
吸引方法则是通过引导混沌系统的状态变化，使其最终达到稳定状态。
四、基于遗传算法的混沌系统控制随着算法的不断发展，基于遗传算法的混沌系统控制成为了一个热门研究领域。
遗传算法是一种模拟自然选择和遗传机制的优化算法，可以应用于求解高复杂度的问题。
以基于遗传算法的PID控制为例，首先需要建立混沌系统的数学模型，然后确定控制目标。
根据遗传算法的优化机制，利用控制器的调节参数求解出最优的控制方案，最后将优化参数应用于混沌系统的控制中，以实现系统的稳定控制。
五、结语混沌系统是一类具有高度复杂性、不规则运动模式的动力学系统。
其数学模型主要有一维离散映射、二维连续方程和三维连续方程。
对于混沌系统控制，抑制和吸引两种方法都是重要的策略，基于遗传算法的混沌系统控制方法也是一种热门的研究领域。
未来，混沌系统控制将继续发展，为各行各业的应用提供更多的可能性与机遇。
江南大学学报(自然科学版)2011年第10卷总目次
煤矿 井下 线天 线 的矩 量法 分析
计算 机辅 助 Ｎ Ｒ Ｓ曲面建模 技术 的研 究与 实现 … …… ……… …… …… ……… … 吴广领 ， ＵＢ 张秋 菊（ ．５ ） ２ １８ 基 于免疫 算法 与 ＧＳ技术 的农 产 品物 流配送 中心 选址 …… …… …… …… ……… … 钟聪 儿 ， 荣祖 （ ．６ ） Ｉ 邱 ２ １２ 基 于 ＳＦ 的二视 图运动 与结 构 的恢 复 … …… ……… …… ……… …… …… 郁 Ｉ Ｔ 钱， 孙 俊， 须文波 （ ．６ ） ２ １８ 基 于 ＭＣ ＳＲ Ｖ Ｔ —Ａ Ｅ的智 能博弈 ……一 “… …… ……… …… …… …… ……… …… …一 芮雄 星 ， 王一莉 （ ．７ ） ２ １５ 基 于混合 粒子 群 的多 目标 智能 排活 系统 的优化 ……… …… …… …… …… ……… … 马 丽丽 ， 晓红 （ ．７ ） 王 ２ １９ 基于 Ｓ Ｐ Ｏ Ｃ的混叠语 音 降噪方法 …… …… …… ……… …… ……… …… …… ……… …… …… 王 聪 （ ．８ ） ２ １３ 基 于 Ｇ Ｓ双天 线测量 的旋 偏角 自动 纠正 系统设计 … …… ……… …… …… ……… …… …… 张建 霞（ ．８ ） Ｐ ２ １８
一个新的混沌系统及其电路设计与实现
２ 三 维 二 次 混 沌 系 统
新 的 混沌 系 统 为
ｘ＝ 一ｘ＋ ｙ＋ ｙ ｚ
．
Байду номын сангаас
６
５ ４ ３ ２ ｌ ０ １ ２ ３
－
＝Ｙ一
三＝ ｘ —ｂ ｙ ｚ
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８ ． ． ． ０ ２ ４ ６ ８ ６ ４ ２
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．
当 ｂ ． ，系 统 （ ）存 在 一 ＝３ ４时 １ 个 混沌 吸 引 子 ，如 图 １ 示 。 所
Ｏｃ ｏ ｅｒ ２ ｔｂ ， ００８
一
个 新 的 混 沌 系统 及 其 电路 设 计 与 实 现
王光 义 ， 丘水 生 ２ ， 陈辉 ， 崔 佳冬
（ ．杭 卅 电 子 科技 大 学 电子 信 息 学 院 ， 浙江 杭 州 ３ ０ １ ；２ １ Ｉ １０ ８ ．华 南 理 工 大 学 电 信 学 院 ， 广 东 广 州 ５ ０ ４ ） １６ ０
１
引 言
自 Ｌ ｒｎ ｏｅ ｚ发 现 第 一 个 混 沌 吸 引子 以来 Ｉ ， ｏｅ ｚ系 统 作 为 混 沌 理 论 及 其 应用 的一 个 典 型模 型 得 到 ｌ Ｌ ｒｎ ｊ
了广 泛 、深入 的研 究 。２ ０世 纪 ７ ０至 ８ ０年 代 是 混 沌 理 论 的 发 展 时 期 ，９ ０年代 初 发 现 了混 沌 可 以控 制 和 同步 ， 由此 使 人 们 认 识 到 混沌 在保 密 通 信 、信 息加 密 等 工 程 领 域 有 着 巨大 的应 用 前 景 。在 Ｌ ｒｎ 统 ｏｅ ｚ系 的基 础 上 ， １ ９ ９ ９年 Ｃ ｅ ｈ ｎ利 用 混 沌 反 控 制 （ ｈ ｏｉ ｃｔ ｎ Ｃ ａ ｔ ａｉ ）方 法 成 功 实现 了 一 个 与 Ｌ ｒｎ ｉ ｆ ｏ ｏｅ ｚ系 统 相 似 但 非拓 扑共 轭 的新 混 沌 系 统 ｊ ，即 Ｃ ｅ ｈ ｎ系 统 ，由此 激 发 了人 们 对 混 沌 生 成 的研 究 兴 趣 ，这 是 因为 产 生 混 沌 是混 沌 应用 的关 键 ，并 且 在此 之 前还 没 有 系 统 的混 沌 生 成 方 法 。除 偶 然遇 到混 沌 外 ，有 目的地 产 生 混 沌似 有 两种 方 法 ，一 是 Ｓ ｒｔ ｐｏｔ的计 算 机 穷举 搜 索 法 Ｉ４，二 是 Ｃ ｅ ３】 ， ｈ ｎ的 混 沌 反 控 制法 ［ 。利 用 混 沌 反 ５ ］ 控 制 方 法 ， 文献 ［，］ Ｌ ｒｎ ６７ 在 ｏｅ ｚ系统 基 础 上 发 现 了一 个 Ｌ ｎ系 统 和 一 个 统 一 混沌 系统 。近 几 年 来 ，对 此 类 系 统 的研 究 已成 为 一 个 热 点 ［１ 。 ８２ －］ 本 文利 用 混 沌 反 控 制 方 法 构 造 了一个 新 的三 维 二 次 混 沌 系 统 ，系 统 代 数 结 构及 其 参 数 的确 定 基 于 混 沌 反控 制 的思 想 。该 系 统 与 Ｌ ｒｎ 、Ｒ ｓｌ 、Ｃ ｅ 、Ｌ ｉ系 统 不 同 ， 它 只含 一个 系 统 参 数 ，但 具 有 ｏｅ ｚ ６ ｓ ｒ ｈ ｎ ｔ ｅ 五 个 平 衡 点 ， 因而 其 吸 引子 的 拓 扑 结 构更 加 复 杂 ［ ，１ １１ ，呈 现 复 杂 的 动 力 学特 性 。文 中分 析 了新 混 沌 系 ４ ３ 统 的基 本动 力学 特 性 ，设 计 了系 统 的 实现 电路 ，理 论 分 析 、仿 真 和 电路 设 计 与 硬 件 电路 实 验 完全 符 合 。
混沌系统实验报告
混沌系统实验报告混沌系统实验报告引言：混沌系统是一种具有极其复杂行为的动力学系统，其特征是对初始条件极其敏感，微小的初始差异会导致系统的巨大变化。
混沌系统的研究对于理解自然界中的复杂现象和应用于实际问题具有重要意义。
本实验旨在通过构建一个简单的混沌系统模型，观察和分析其行为，并对其进行定性和定量的描述。
实验设计：在本实验中，我们选择了一个经典的混沌系统模型——Logistic映射模型。
该模型的迭代公式为：Xn+1 = r*Xn*(1-Xn)，其中Xn为第n次迭代的值，r为系统的参数，取值范围为0到4。
我们将通过改变参数r的值，观察系统的演化过程，并分析其混沌特性。
实验过程与结果：1. 参数r在0到1之间时，系统呈现简单的周期行为。
当初始条件在一定范围内变化时，系统会收敛到一个稳定的周期轨道上，如图1所示。
2. 当参数r在1到3之间时，系统开始表现出混沌行为。
初始条件的微小变化会导致系统轨迹的巨大差异，如图2所示。
此时系统的演化呈现出无规律的、看似随机的行为。
3. 参数r在3到3.57之间时，系统出现周期倍增的现象。
初始条件微小变化会导致系统周期的倍增，如图3所示。
这种倍增现象最终导致系统进入混沌状态。
4. 当参数r超过3.57时，系统进一步加剧了混沌行为。
此时系统的轨迹呈现出分形结构，即自相似的形态重复出现，如图4所示。
分形结构的出现是混沌系统的典型特征之一。
实验分析：通过实验观察和结果分析，我们可以得出以下结论：1. 混沌系统的行为对初始条件极其敏感，微小的差异会导致系统的巨大变化。
这种敏感性使得混沌系统的行为难以预测和控制。
2. 混沌系统的行为具有一定的规律性，如周期倍增和分形结构等。
这些规律性的出现使得我们可以对混沌系统进行定性和定量的描述。
3. 混沌系统的研究对于理解自然界中的复杂现象具有重要意义。
例如，气象学中的天气预测、经济学中的市场波动等都可以通过混沌系统的理论和方法进行分析和预测。
青岛版数学九年级下册《二次函数知识系统的建构》说课稿
青岛版数学九年级下册《二次函数知识系统的建构》说课稿一. 教材分析青岛版数学九年级下册《二次函数知识系统的建构》这一节的内容，主要让学生掌握二次函数的基本概念、性质和图像。
通过这一节的学习，使学生能理解二次函数在实际生活中的应用，提高学生解决实际问题的能力。
教材通过典型例题和练习题，引导学生掌握二次函数的知识，培养学生的数学思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，但对二次函数的图像和性质的理解还不够深入。
学生在学习过程中，可能对二次函数的图像变化、开口大小、对称轴等概念感到困惑。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数的基本概念、性质和图像，能运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，使学生掌握二次函数的图像和性质。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的基本概念、性质和图像。
2.教学难点：二次函数的图像变化、开口大小、对称轴等概念的理解。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学，直观展示二次函数的图像和性质。
六. 说教学过程1.导入新课：通过生活中的实例，引出二次函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.知识讲解：讲解二次函数的基本概念、性质和图像，引导学生观察、分析、归纳。
3.例题解析：分析典型例题，让学生掌握二次函数的解题方法。
4.练习巩固：让学生独立完成练习题，检验学生对知识点的掌握情况。
5.拓展延伸：引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，提高学生的解决问题的能力。
6.课堂小结：总结本节课的主要知识点，强调重点、难点。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出二次函数的基本概念、性质和图像。
具有恒李雅普诺夫指数的类Colpitts混沌系统及其同步
具有恒李雅普诺夫指数的类Colpitts混沌系统及其同步混沌作为一种复杂的非线性运动行为,在物理学、工程学、信息学、生物学和化学等领域得到了广泛的研究,围绕混沌而展开的应用研究越来越引起人们的重视,并成为混沌研究的前沿课题和发展方向之一。
由于混沌内在的随机性、连续宽谱和对初值的极端敏感性等特点,使其特别适用于保密通信、信号处理和图像处理等方面,因此,混沌系统的构造与实现、混沌同步已成为混沌应用的关键技术。
Colpitts系统存在混沌现象并具有特殊的结构。
本文在此基础上,提出了具有恒定的李雅普诺夫指数的类Colpitts混沌系统,建立了系统模型,分析了动力学特性。
基于类Colpitts混沌系统方程,推广得到一族恒李雅普诺夫指数谱混沌系统。
应用多种同步方法,对类Colpitts混沌系统展开同步研究,揭示了系统同步所具有的特殊性。
对混沌系统的动力学行为与同步特征进行了理论证明、数值仿真,并基于实验仿真给出了混沌系统及其同步的实现电路。
论文的主要创新点和贡献归纳如下:1.提出了具有恒李雅普诺夫指数的类Colpitts混沌系统,揭示了其特殊的信号演变规律,设计了实验电路在物理上实现了该混沌系统。
从混沌系统实现非线性作用的函数出发,将Colpitts混沌系统中的指数项用分段线性绝对值项来代替,发现了新的混沌吸引子。
将混沌系统中的常数项参数与系数参数分离,发现常数项参数能线性调整系统各个状态变量的幅值,系数参数能对系统输出的某个状态变量进行倒相,在前述参数作用下状态变量演变发生变化的同时,系统保持恒定的李雅普诺夫指数谱。
设计了模拟电路,在物理上实现了该混沌系统。
2.对具有恒李雅普诺夫指数的类Colpitts混沌系统进行了推广,提出了一族恒李雅普诺夫指数谱混沌系统,设计了可切换的实验电路实现了该族混沌系统。
在系统方程中添加线性项或者常数项,继而调整系统方程中的绝对值项,并引入新的绝对值项,对具有恒李雅普诺夫指数的类Colpitts混沌系统进行了推广研究。
非线性动力学中混沌系统的建模与控制
非线性动力学中混沌系统的建模与控制混沌系统是非线性动力学中一个重要的研究对象，具有极为复杂的动态行为。
混沌系统的建模与控制是现代科学研究及应用领域中的一个关键问题，它对于深入理解和利用混沌动力学现象具有重要意义。
本文将从混沌系统的概念入手，介绍混沌系统的建模方法以及常用的控制策略。
一、混沌系统的概念混沌系统是一类具有高度敏感依赖初值的非线性动力学系统，其特征是在确定性条件下表现出长期的不可预测性。
混沌系统的行为可用复杂的轨道、奇异吸引子、分形等数学概念来描述。
二、混沌系统的建模方法混沌系统的建模是研究混沌现象的基础，其主要目标是找到能够准确描述混沌系统行为的数学模型。
常用的混沌系统建模方法包括：映射法、微分方程法和神经网络法。
映射法是一种简单而直观的混沌系统建模方法，通过定义一个映射函数，将时间连续的系统转化为时间离散的系统。
典型的映射法建模方法有Logistic映射、Henon映射等。
微分方程法是一种常用的混沌系统建模方法，通过建立动力学微分方程来描述系统的运动规律。
其中，Van der Pol振荡器、Lorenz系统等是常用的混沌系统建模的微分方程模型。
神经网络法是一种基于神经网络理论的混沌系统建模方法，它利用神经网络的拟合能力和非线性特性来模拟混沌系统的行为。
神经网络法能够较准确地描述混沌现象，是建模混沌系统的有效方法之一。
三、混沌系统的控制策略由于混沌系统的高度敏感性和不可预测性，对混沌系统进行有效的控制成为研究的热点之一。
以下是常见的混沌系统控制策略：1.稳定子空间控制方法稳定子空间方法是一种常用的混沌系统控制方法，通过在混沌系统的相空间中选择一个适当的稳定子空间，将混沌系统引入该稳定子空间中，实现混沌系统的控制。
2.反馈控制方法反馈控制方法是一种有效的混沌系统控制方法，其基本思想是根据混沌系统的状态信息，通过构造合适的反馈控制器来调节系统的状态，实现对混沌系统的控制。
3.混沌同步控制方法混沌同步控制方法是一种特殊的控制方法，它通过构建合适的控制器和耦合方式，使得两个或多个混沌系统的状态同步，从而实现对混沌系统的控制。
分数阶Newton-Leipnik混沌系统r滑模同步的两种方法
分数阶Newton-Leipnik混沌系统r滑模同步的两种方法毛北行【摘要】Based on sliding mode control and proportional integral sliding mode control ,the author designed sliding mode functions and controller ,and gave sufficient conditions for synchronization of fractional-order Newton-Leipnik chaotic systems .The results show that the master-slave systems of fractional-order New ton-Leipnik systems obtain sliding mode synchronization and proportional integral sliding mode synchronization if proper control law and sliding mode surfaces are selected .%基于滑模控制及比例积分滑模控制,设计滑模函数和控制器,并给出分数阶New ton-Leipnik混沌系统取得同步的充分性条件.结果表明,若选取适当的控制律和滑模面,则分数阶New ton-Leipnik混沌系统的主从系统可取得滑模同步及比例积分滑模同步.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2018(056)003【总页数】5页(P708-712)【关键词】混沌同步;分数阶;Newton-Leipnik系统【作者】毛北行【作者单位】郑州航空工业管理学院理学院 ,郑州450015【正文语种】中文【中图分类】O482.4近年来, 对滑模同步问题的研究已引起人们广泛关注[1-10]. 文献[11]研究了一类分数阶Duffling-Van der pol系统的同步控制问题; 文献[12]研究了分数阶多涡卷系统的同步控制; 文献[13]基于滑模方法研究了一类不确定系统的同步问题; 文献[14]研究了一类具有二次项的Mavpd混沌系统的动力学分析问题, 并讨论了该系统的平衡点及稳定性；文献[15]研究了比例积分追踪制导方法, 得到了精确的追踪制导方法；文献[16]研究了一个新混沌系统的滑模控制问题. 在此基础上, 本文研究分数阶Newton-Leipnik混沌系统滑模同步, 并给出系统取得同步的充分性条件.定义1[17] Caputo分数阶导数定义为+.分数阶Newton-Leipnik混沌系统[4]为(1)当μ1=0.4, μ2=0.175, α∈[0.989,1]时, 系统(1)出现奇异吸引子. 以系统(1)作为驱动系统, 设计响应系统为(2)定义误差e1=x2-x1, e2=y2-y1, e3=z2-z1,将式(1)与式(2)相减可得(3)1 滑模同步假设条件：(H1) |e2+10(y2z2-y1z1)|<ε1|e1|, ε1<μ1;(H2) |-e1+5(x2z2-x1z1)|<ε2|e2|, ε2<0.4;(H3) x1,y2为有界变量, 即存在正常数M>0, 满足|x1|<M, |y2|<M.引理1[17] 对于一般的分数阶自治非线性微分方程当系统的阶数0<α≤1时, 若存在实对称正定矩阵P, 使得则分数阶系统(1)渐近稳定.引理2(Barbalat引理)[18] 若函数f(t)在[0,+∞)上一致连续, 且广义积分f(t)dt存在, 则定理1 若假设条件(H1)和(H2)成立, 设计滑模面设计控制器则分数阶Newton-Leipnik主从系统(1)和(2)取得滑模同步.证明：在滑模面上运动时, 根据误差系统方程(3)可得构造函数由(H1)可得从而易知该微分方程的解渐近稳定, 于是e1→0. 同理, 根据误差方程构造函数由(H2)可得再由可得又由于e1→0, e2→0, 且在滑模面上s=0, 因此可得误差方程由(H1)易得-ε1|e1|<e2+10(y2z2-y1z1)<ε1|e1| ⟹ -ε1|e1|-e2<10(y2z2-y1z1)<ε1|e1|-e2, 从而有-ε1|e1|+e2<-10(y2z2-y1z1)<ε1|e1|+e2.同理由(H2) 易得-ε2|e2|-e1<-5(x2z2-x1z1)<ε2|e2|-e1,从而可得-ε1|e1|+e2-ε2|e2|-e1<-5(x2z2-x1z1)-10(y2z2-y1z1)<ε1|e1|+e2+ε2|e2|-e1. 又由于e1→0, e2→0, 因此由两边加定理易得-5(x2z2-x1z1)-10(y2z2-y1z1)→0,从而变为显然e3→0.不在滑模面上运动时, 构造Lyapunov函数V(t)=s2/2, 求导可得由于积分可得因此s(t)是可积的且有界, 由引理2可知, s(t)→0.2 比例积分滑模同步定理2 在假设条件(H1)～(H3)成立下, 选取控制器u(t)=-(k+μ2)e3(t)-ηsgn(s(t)), k>0为常数, 则分数阶Newton-Leipnik系统的主从系统(1)和(2)可取得比例积分滑模同步.证明：将等效控制器代入式(3)可得理想滑模方程为(4)在滑模面上运动时, 根据误差系统方程(3)可得构造函数由(H1)可得从而e1→0.同理根据误差方程构造函数由(H2)可得再由滑模面上可得方程-5(x2y2-x1y1)=-5(x2-x1)y2-5x1(y2-y1)=-5e1y2-5x1e2.又由于e1→0, e2→0, 即e1,e2为无穷小量, 由(H3), x1,y2为有界变量, 故-5(x2y2-x1y1)为无穷小量, 即-5(x2y2-x1y1)→0, 因此显然e3→0.当不在滑模面上运动时, 选取Lyapunov函数V(t)=s2/2, 求导可得根据引理2可知, s(t)→0.3 数值仿真选取系统参数μ1=0.4, μ2=0.175, α=0.93, 设置系统初始值为(x1(0),y1(0),z1(0))=(2,1,3), (x2(0),y2(0),z2(0))=(1,2,2),分别采用定理1和定理2中的滑模面和控制器进行数值仿真, 定理1和定理2的系统误差曲线分别如图1和图2所示. 由图1和图2可见, 开始时误差相差较大, 随着时间的延长, 系统误差逐渐趋于一致. 定理1中当时间t>0.275 s后, 系统取得滑模同步, 定理2中当t>0.225 s后, 系统取得比例积分滑模同步. 显然, 定理2比定理1中的控制器简单且能在更短时间内达到同步.图1 定理1的系统误差曲线Fig.1 System error curves of theorem 1图2 定理2的系统误差曲线Fig.2 System error curves of theorem 2综上, 本文研究了分数阶Newton-Leipnik混沌系统的滑模同步问题, 设计了滑模面和控制器, 并给出了系统取得同步的充分性条件, 最后通过数值算例验证了该方法的可行性与有效性.参考文献【相关文献】[1] HE Jinman, CHEN Fangqi. 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Beijing: Tsinghua University Press, 2003.)。
混沌系统理论 ppt课件
一则西方寓言： 丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。
马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件 的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一 个帝国存与亡的根本差别。
这就是军事和政治领域中所谓的"蝴蝶效应"。
混沌理论是系统从有序突然变为无序状态的一种演化
理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成 的途径、机制的研讨。
混沌系统理论
典型系统
分形几何与奇怪吸引子
非周期定态
混
对初值的敏感依赖性
沌
的
确定性随机性
特 点
长期行为的不可预见性
混沌序：貌似无序的高级有序性
，一是能鲜明地表现出混沌的主要特 征，二是数学模型简单，容易处理。
这是混沌系统的典型特征。意思是说， 初始条件的微小差别会在最后的现象中 产生极大的差别，或者说，起初小的误 差可能会引起灾难性后果。 在生活中，人们知道一串事件往往具有一个临界点，那 里小小的变化会被放大.....
在天气这个系统中，对初始条件的敏感依赖性乃 是各种大小尺度的运动互相纠缠所不能逃避的后果。 因此，洛伦兹断言：长期预报注定要失败。因为信息 在传递的过程中，有一种放大作用。
此效应说明，事物发展的结果， 对初始条件具有极为敏感的依赖 性，初始条件的极小偏差，将会 引起结果的极大差异，甚至会呈 现一种混沌状态。
有科学家称之为混沌学。
混沌的定义
科学家给混沌下的定义
混沌 是指发生在确定性系统中的，貌似随机的不规则
运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不 确定性，不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌 是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在 的现象。
含有平方项的新混沌系统的研究及控制
第 ２ ６卷 第 ３ 期 ２０ ０ ７年 ６月
兰 州 交 通 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊｕ ｎｌｆａ ｚ ｏｔａ ｔｎ Ｕｎｖｒｉ （ ｔｒｌｃ ｎｅ） ｏ ｒａｏＬ ｎｈ ｔｉ ｏ ｇ ｉ ｓ ｙ Ｎａｕａ ｉ ｃｓ ｌｏ ｅ ｔ Ｓｅ
Ｖｏ ． ６ ． １ ２ Ｎｏ ３
Ｊｍ． ０ ７ Ｉ ２ ０
文章 编 号 ：０ １４ ７ （０ ７ ０ —１４０ １０ —３ ３ ２ ０ ） ３０ ５—４
含有 平方项 的新 混 沌 系统 的研 究 及控 制
张 莉 ， 俞建 宁， 李 阳， 彭建奎
（ 兰州交通大学 数理与软件工程学院 ， 甘肃 兰州 ７０ ７ ） ３０ ０
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其中： Ｘ一 （ ， ， ） ∈ Ｒ ｚ Ｙ ｚ 。为系 统 的状 态 ； ， ， ｎ ６ ｆ为
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维普资讯
第３ 期
张 莉等 ： 含有平方项 的新混沌系统 的研究及控 制
１５ ５
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其 中 ， １ ａ＋ １ ｂ ａ ｎ一 ＋ ，２一 ａ—ａ ＋ ａ ｂ ａ ｃ ｂ＋ ，３一
子如 图 １所示．
．
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青岛版九年级下册数学：二次函数知识系统的建构(共14张PPT)
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
混沌方程及其解法
混沌方程及其解法混沌现象是一种在数学和自然科学领域中出现的特殊现象。
混沌现象最早被科学家描述是在 19 世纪晚期，但是直到 20 世纪后期，混沌现象才被大众所熟知。
混沌现象具有非常复杂的特征，其规律性无法被简单的数学模型所描述，这导致了混沌现象在科学研究中的重要性。
混沌现象的出现是由一些小幅摆动及其微小变化而引起的。
这些小幅摆动产生的基础是能量，当该能量或力度达到某个阈值时，混沌现象就会发生。
混沌现象的复杂性会随着时间的增加而增加，在许多情况下，它们可能看起来是没有规律性或者是非常难以预测的。
混沌方程的概述混沌方程是研究混沌现象的一种数学工具，它们用于描述混沌系统中各个元素之间的相互作用。
混沌方程的形式很多，不同类型的混沌系统有不同的方程，这些方程是相互独立的，但它们具有相同的基本特征：非线性和高阶。
高阶非线性方程表示变化的速率是与其当前状态相关的，这种方式对于描述混沌系统的复杂性非常重要。
方程中的高阶项意味着系统具有非常强的复杂性，这种复杂性表现在系统之间的相互作用上。
混沌现象的本质是其高度复杂的动力学系统的结构和行为，这意味着混沌方程是一种用于描述不规则、无序行为的工具。
混沌方程的解法混沌方程的解法是通过对方程进行数值模拟来实现的。
数值解的计算相对简单，只需要解决计算机程序上的一系列方程即可。
数值模拟的过程中，需要使用不同的算法和方法来计算出想要的结果。
最常用的数值解法之一是欧拉法。
欧拉法本质上是运用简单数学公式来解决复杂问题的一种方法，如 f(x) = y。
欧拉法既可以用于解决线性方程，也可以用于解决非线性方程。
欧拉法的核心思路是将一个问题分解为数学模型和初始条件，并依次计算每一步的结果，直到实现提出要求的步骤。
另一种重要的数值解法是利用分形理论来解决混沌问题。
分形理论是一个描述自然现象的方法，它允许我们利用一组几何图形来表示非线性系统。
这些几何图形通常具有类似的分形特征，可以用来描述混沌系统中的各个部分，从而帮助我们更好地理解该系统的结构和行为。
应用数学方向动力系统第六章 溷沌性态-22页word资料
第六章 混沌性态上世纪70年代以来，科学技术的迅猛进步引起了非线性现象研究的蓬勃开展。
目前，非线性问题的研究已形成了许多新的学科分支，如混沌动力学、分形几何、孤立子理论和复杂性理论等。
本章研究混沌动力学作一个简要介绍。
6.1 一维映射的混沌性态任意给出闭区间同胚映射f （更一般地可假设f 只是连续的，未必有逆，则仅考虑由正向迭代n f ，0n ≥所生成的半动力系统），则由f 所生成的一维离散流却可以具有甚为复杂的动力性质—混沌性态。
这在许多一维应用模型中用数值方法较早地被发现，而严格地给出混沌（chaos ）的数学定义则是1975由Li 和Yorke 完成的，见[4]。
他们考虑闭区间I ，简单地，可取[0,1]I =上定义的连续函数f ，因1f -未必单值，故考虑由n f ，0n ≥所生成的半动力系统。
定义1.1 若f 满足以下三个条件：(i) 对任意自然数k ，有k x I ∈，使()k k k f x x =，且1k ≠时的周期点，()k k f x x ≠； (ii) 存在不可数集合N I ⊂，使得当,x y N ∈时，有(iii) 对任意周期点x 和y N ∈，有则称f 在I 上为混沌的。
由定义的条件可以看出，混沌性的要求实际上说明由f 在I 上所生成的运动具有很混乱的状态。
一方面其中有可数多个不同周期的周期运动，且条件(iii)说明其它运动都不渐近于这些周期运动；另一方面，除这些周期运动外，还有更多的不可数集上的运动，其中任意两个运动之间若即若离，(ii)说明了它们有时靠得很近，有时又保持一定距离，且随n 增大，一直如此。
即使两个运动的初始值靠得很近时也是如此，故称这种性质为对初始值的极端敏感性。
这两种周期与非周期的运动混杂在一起，就表现出I 上的运动的复杂的混沌性态。
定理1.1 若f 具有一个3-周期点，即存在x I ∈使3()f x x =，则f 在I 上为混沌的。
该定理的证明可以用初等分析方法完成，详情这里从略，可参见原文[]或[]。
一个新型指数混沌系统的设计与电路实现
一个新型指数混沌系统的设计与电路实现薛华【摘要】为了提高混沌系统的复杂性，用自然乘积指数函数替代一个3阶混沌系统中的非线性乘积项构造一个新型混沌系统。
分析该系统的耗散性、平衡点、稳定性、Laypunov指数、分岔图等基本动力学特性。
设计该混沌系统的硬件电路，并进行实验验证，电路实验结果和数值仿真一致。
该新型混沌系统通过了 NIST 标准测试，可作为随机信号源产生更为复杂、随机性更好的伪随机序列。
%In order to improve complexity of chaos,a novel chaotic system was constructed by replacing the nonlinear product term in the continuous three-dimensional chaotic system with a natural exponential function. Some basic properties of this chaotic system, including dissipativity,equilibriumpoint,stability,Lyapunov exponent spectrum,bifurcation,were analyzed in detail.Moreover,a hardware circuit of this chaotic system was designed and confirmed by experiment.Circuit experimental results were in accordance with experimental results.The novel chaotic system accorded with the test of NIST standard basically,and could be a random signal source to generate good pseudo-random sequences with more complex and better randomness.【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)006【总页数】7页(P66-72)【关键词】混沌系统;动力学特性;电路实现;指数函数【作者】薛华【作者单位】滨州学院光电工程系，山东滨州 256603【正文语种】中文【中图分类】TN914.42混沌可作为随机信号源用以产生保密通信中所需的伪随机序列.为了提高混沌伪随机序列的复杂性，近年来各种新型的混沌系统不断被提出，如超混沌系统［1－2］、分数阶混沌系统［3－4］、基于记忆电阻的混沌系统［5－6］、恒lyapunov指数混沌系统［7］等.非线性是系统产生混沌的必要条件之一，从某种意义上说非线性的强弱决定了混沌系统本身及其混沌吸引子的复杂性.迄今混沌系统中采用的非线性函数除乘积函数外，还有分段线性、绝对值及正弦等函数［8－10］.指数函数本身是一个非线性函数，如果把其指数变量用两个或两个以上的变量的乘积来表示，其将是一个强非线性项.另外，指数函数常作为人口成长模型，而PN结的数学模型也是一个自然指数函数.因此，如果自然指数函数能够构成混沌系统，其在实际应用中将比乘积项更有价值.但目前此类研究较少，因此作者拟提出用自然指数函数替代一个非线性乘积项来构建一种新型混沌系统，研究该系统的复杂动力学特性，同时还设计该混沌系统的硬件电路，通过数值仿真和电路实验验证该系统的混沌特性.1 混沌模型构造的新混沌系统为其中：a，b，c∈R＋ .令其中系统的5个平衡点为通过分析可知，当系统参数a，b，c∈R＋，x2 和y2 为复数时，只有S0，S1，S2 为系统的平衡点.当a＝10，b＝3，c＝4时，系统（1）存在一个混沌吸引子，如图1所示.图1 系统（1）的混沌吸引子相图Fig.1 The chaotic attractor phase diagramof system（1）2 基本动力学特性2.1 系统的耗散性系统（1）的散度为当a＝10，b＝3，c＝4，－（a＋b－c）＜0时，系统为耗散系统，该系统按照如下指数速率收敛系统被限制在一个体积为0的点集上，其渐进动力学行为被限制在一个吸引子上，说明该系统存在着吸引子.2.2 平衡点及稳定性先求系统（1）的平衡态（定常状态解），令，有当a＝10，b＝3，c＝4时，系统的3个平衡点为在S0处将方程线性化，可得Jacobian矩阵由其特征方程为｜J｜－λI＝0，得在S0处，当a＝10，b＝3，c＝4时，系统（1）的特征根为为使系统（1）产生混沌，特征方程的特征根要至少有一项大于零.当a＝3，b＝4，c＝10时，系统（1）的特征方程特征根λ2＝3.675 0＞0，由此可知平衡点S0不稳定.在平衡点S1，S2处将方程线性化，得到二者相同的特征多项式当a＝10，b＝3，c＝4时，线性化系统在S1，S2处的Jacobian矩阵具有相同的特征值且满足Shil Nikov定理，则系统（1）能产生混沌的鞍焦点.2.3 Lyapunov指数和分岔图为了研究参数变化对系统动力学特性的影响，固定参数a＝10，c＝4，使参数b在［0，6］这个区间内变化，Lyapunov指数随b变化的指数图谱和变量x随b变化的分岔图如图2～3所示.图2 Lyapunov指数谱Fig.2 Lyapunov index spectrum图3 分岔图Fig.3 Bifurcation diagram从图2可以看出，当a＝10，b＝1，c＝4时，LE1＝0，LE2＝LE3＜0，系统（1）处于周期状态.当b∈［2.3，3.2］，［3.5，6］，LE1＞0，LE2＝0，LE3＜0时，系统处于混沌状态，通过数值仿真可得到混沌吸引子相图（见图1）.3 混沌系统的电路设计与实现为了验证系统的混沌行为，基于模拟电子电路的设计原理，设计出了如图4所示的混沌电路［11］.该电路可实现加、减、反相、积分、指数运算，电路中的乘法器（AD633）可实现非线性乘积项，乘法器的增益为0.1［12］.图4 系统（1）的混沌电路Fig.4 Chaotic circuit of system（1）图4所示电路的状态方程为设R4＝R11＝R17＝R，C1＝C2＝C3＝C.作线性变换和时间线性变换得将上式改写为当a＝10，b＝3，c＝4时，将式（1）与（10）比对，得到令可解得根据图4所示的电路搭建硬件电路，通过示波器观察到的混沌吸引子如图5所示，此实验结果和Matlab仿真结果相同.图5 示波器中观测到的混沌吸引子相图Fig.5 The chaotic attractor phase diagram that is observed in oscillograph4 指数混沌序列随机性测试为了了解指数混沌系统所产生的伪随机序列的随机性，采用NIST测试标准和安装在Linux系统下的STS－2.0软件包对其进行随机性测试.根据测试要求，利用该文提出的指数混沌系统生成了109 bit的2进制序列，并将其分成1 000组进行测试，测试结果如表1所示.表1 指数混沌伪随机序列测试结果Tab.1 Test results of the index chaotic pseudo－random sequence测试项 P－VALUE值 PROPORTION 通过率0.800 005 0.989 0块内频率测试 0.915 317 0.990 0游程测试 0.431 754 0.988 0最长游程测试 0.034 031 0.991 0累积和测试 0.832 561 0.987 0二进制矩阵阶测试 0.657 933 0.987 0傅里叶变换测试 0.000 000 1.000 0非重叠模式匹配测试0.854 708 0.985 0重叠模块匹配测试 0.262 249 0.988 0通用统计测试 0.516 113 1.000 0近似熵测试 0.000 156 0.946 0随机偏离测试 0.002 043 1.000 0随机偏离变量测试 0.000 430 1 1.000 0串行测试 0.361 938 0.995 0线性复杂度测试频率测试0.010 252 6 0.980 0根据P－VALUE值计算公式可得，若P－VALUE≥0.000 1，则可认为被测试序列P－VALUE值是均匀分布的.观察表1中15项测试的P－VALUE值，除了傅里叶变换测试项外，其余14项都满足判定要求，在测试中表现为均匀分布.根据通过率可信区间的计算公式可知，当PROPORTION通过率的值落在（0.980 560 8，0.999 439 2）区间内时，就表明序列能通过此测试项.由表1中数据可知，只有一项测试的通过率落在可信区间外，其余14项测试全部通过.值得注意的是，虽然测试项在P－VALUE值和PROPORTION通过率中各有一项未通过，但一般情况下表1中前4项（基本测试项）通过即表明序列有良好的随机特性［13］，该测试中4个基本项在均匀分布和通过率方面都通过了测试，说明指数混沌有着良好的随机特性.5 结束语作者提出了一个新型的混沌系统，用指数函数替代原方程中的非线性项，该系统有复杂的动力学特性，理论上的动力学分析、数值仿真及实验都证明了系统具有混沌性，所设计的硬件电路选用的是反相输入运算放大器，使硬件电路的参数调节方便.指数运算电路是通过一个二极管实现，电路简单可行.该混沌系统通过了NIST测试，表明其有着良好的随机特性，因此可作为混沌信号源应用于混沌保密系统和混沌雷达系统之中.参考文献：［1］Lorenz E N.Deterministic non－perodic flows［J］.Atoms Sci，1963，20：130－136.［2］Chen G，Ueta T.Yet another chaotic attractor［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，1999，9（7）：1465－1466.［3］蔡国梁，谭振梅，周维怀，等.一个新的混沌系统的动力学分析及混沌控制［J］.物理学报，2007，56（11）：6230－6237.［4］禹思敏.混沌系统与混沌电路－原理、设计及其在通信中的应用［M］.西安：西安电子科技大学出版社，2011：22.［5］周小勇.一个新混沌系统及其电路仿真［J］.物理学报，2012，61（3）：030504.［6］Wang G Y，Bao X L，Wang Z L.Design and FPGA implementation ofa new hyperchaotic system［J］.Chinese Physics B，2008，17（10）：3596－3602.［7］Wang G Y，Qiu S S，Li H W，et al，A new chaotic system and itscircuit realization［J］.Chinese Physics，2006，15（12）：2872－2977. ［8］Stojanovski T，Kocarev L.Chaos－based random number generators－part I：analysis［J］.IEEE Trans Circuits Systems I，2001，48（3）：281－288.［9］Stojanovski T，Pihl J，Kocarev L.Chaos－based random number generators－part II：practical realization［J］.IEEE Trans Circuits Systems I，2001，48（3）：382－385.［10］Ding Q，Pang J，Fang J，et al.Designing of chaotic system output sequence circuit based on FPGA and its applications in network encryption card［J］.Int J of Innovative Computing，Information and Control，2007，3（2）：449－456.［11］王光义，丘水生，等.一个新的三维二次混沌系统及其电路实现［J］.物理学报，2006，55（7）：3295－3301.［12］韩春艳，薛华，吴新华.一个新的混沌模型及其数字伪随机信号的实现［J］.河北师范大学学报：自然科学版，2010，34（2）：165－169.［13］Yalcin M E，Suykens J A K，Vandewalle J.True random bit generation from a double－scroll attractor［J］.TEEE Trans Cir Syst I，2004，51：1395－1404.。
二次函数知识系统的建构
第二章 二次函数知识与技能1．能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理地进行思考和语言表达的能力，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系；2．能作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，并逐步积累研究一般函数性质的经验；3．能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
教学过程第一环节 知识要点和重要方法的回顾、总结教学内容：知识要点的回顾、总结提出下列问题：1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”?用语言或图来进行描述.2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题?与同伴交流.3.小结一下画二次函数图象的方法.4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方向,对称轴和顶点坐标?请用具体例子进行说明.5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地利用二次函数的表达式,表格和图象刻画变量之间的关系.6.用自己的语言描述二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与方程ax 2+bx+c=0的根之间的关系.第二环节 复习二次函数的图象和性质教学内容：1．二次函数的图象和性质要点（一）形如2y ax =(a ≠0) 的二次函数（二）形如2y ax k =+(a ≠0) 的二次函数（三）形如2()y a x h =-( a ≠0 ) 的二次函数(四) 形如2()y a x h k =-+(a ≠0) 的二次函数(五)二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象和性质2．二次函数的图象和性质练习（1）抛物线y = x 2的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,图象过第 象限 ；（2)已知y = - nx 2 (n ＞0) , 则图象 ( )（填“可能”或“不可能”）过点A （-2，3）。
（3）抛物线y =x 2+3的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,是由抛物线y =x 2向 平移 个单位得到的；（4）已知（如图）抛物线y = ax 2+k 的图象，则a 0，k 0；若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ，则a = ,k = ；函数关系式是y = 。
网格多翅膀超混沌系统的构造与生成_禹思敏
广东工业大学学报 Journal of Guangdong University of Technology
Vol． 31 No． 2 June 2014
doi：10． 3969 / j． issn． 1007-7162． 2014． 02． 001
网格多翅膀超混沌系统的构造与生成
2
广
东
工
业
大
学
学
报
第 31 卷
用符号函数切换控制方法构造和生成网格多翅膀分 主要特点体现在以下两 段线性超混沌 Lorenz 系统， 个方面： 1 ） 根据符号函数切换控制的方法构造和生成 网格多翅膀超混沌吸引子． 该方法特别适用于变换 （ x， y， z） →（ － x，－ y， z ） 下具有不变性、 平衡点形式 ，± y ， z ） 的一类三阶广义 Lorenz 为 S1 ， 2（ ± x y， z， u） → 系统族， 利用这种方法可得到在变换 （ x， （ － x， － y， z， u） 下具有不变性的四阶分段线性超混 Lorenz、 Chen 和 Lü 系统等三 沌 Lorenz 系统族． 例如， ， 维二次多项式混沌系统 都可以通过这种方法得到 对应的分段线性超混沌系统． 2 ） 利用该方法所得到分段线性超混沌系统存 在异宿环和 Smale 马蹄． 首先， 对三维二次多项式自 （ e） ， ± y （ e） ， z （ e） ） 处 治混沌系统， 在其平衡点 S1， 2（ ± x 作线性化处理， 并引入线性反馈控制器， 得到两个基 本的四阶线性系统． 其次， 根据切换控制方法， 寻找 连接两个基本四阶线性系统平衡点的异宿环 ． 该异 宿环由不稳定流形、 异宿点和稳定流形 3 个几何不 变集上形成的两条异宿轨道所构成， 在满足异宿环 所需的条件下， 构造具有 Smale 马蹄的分段线性超 混沌 Lorenz 系统， 并在此基础上进一步生成双翅膀 和多翅膀超混沌 Lorenz 吸引子．
一个新的R(o)ssler混沌系统
一个新的R(o)ssler混沌系统
王广宪
【期刊名称】《湖南文理学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(21)1
【摘要】为了对混沌现象以及本质从理论和实际有一个基本的认识,在Rossler系统的基础上,通过混沌反馈控制方法构造了一种新的Rossler混沌系统.利用理论分析、数值仿真和Lyapunov指数谱图对这个新的混沌系统进行了分析.并根据Lyapunov指数谱图对它的参数进行控制,可以让其分别工作在不同的状态,即周期状态,类周期状态,混沌态.
【总页数】3页(P9-10,26)
【作者】王广宪
【作者单位】湖南城市学院,后勤处,湖南,益阳,413000
【正文语种】中文
【中图分类】TP11
【相关文献】
1.一个新的超混沌耦合发电机系统及其超混沌控制 [J], 谢艳云;蔡文良
2.一类新3维连续混沌系统与Lorenz和R(o)ssler系统的异结构同步 [J], 宁娣;阿磊
3.一个比R(o)ssler系统代数结构更为简单的三阶混沌系统及其混沌抑制 [J], 金晓宏;刘文浩;黄浩
4.3个耦合R ssler系统的全局同步及其新的混沌加密方法 [J], 安新磊;张建刚;张
明旺
5.一个新混沌系统的混沌分析及混沌控制 [J], 彭建奎;俞建宁;张莉;张建刚
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新的具有光滑二次函数混沌系统的构建与实现∗刘扬正 林长圣† 李心朝(南京工程学院非线性物理研究所,南京 211167)(2010年8月20日收到;2010年9月16日收到修改稿) 拓展和改变Lorenz 混沌系统的非线性函数,构建一个新的具有光滑二次函数的自治混沌系统,系统包含3个系统变量乘积的非线性函数项和5个平衡点,详细讨论了平衡点的性质并计算了分形维数.利用分岔图和Lyapunov 指数谱对系统随参数变化的情况进行分析后得出,系统会发生倍周期分岔.用数字信号处理芯片对混沌系统进行硬件实现,实验结果表明理论分析的正确性以及系统具有较为复杂的动力学行为.关键词:混沌系统,分岔图,Lyapunov 指数,数字信号处理PACS :05.45.Pq,05.45.Ac∗国家自然科学基金(批准号:90405011)、江苏省高等学校自然科学基金(批准号:07KJD120081)和南京工程学院自然科学基金(批准号:KXJ07068)资助的课题.†通讯联系人.E⁃mail:cslin@1.引言Lorenz 系统[1]是混沌理论和应用研究的重要模型之一,在混沌学的建立和发展过程中起到了不可替代的重要作用,研究者不断提出以Lorenz 系统为基础的各种变形混沌系统.文献[2]用系统变量的绝对值函数和符号函数代替Lorenz 系统的二次非线性函数,使变形Lorenz 系统产生四翼奇异吸引子.文献[3]用变量代换方法对Lorenz 系统进行改造,构建能够产生三翼、四翼甚至n 翼的混沌系统.Liu 等[4]在Lorenz 系统基础上构建了具有光滑二次非线性函数的四翼混沌系统.Chen 等[5]引入一个可以变化的参数到Lorenz 系统而构建著名的Chen 系统,使系统的线性部分矩阵满足a 12a 21<0;Lü等构建的Lü系统[6](a 12a 21=0)则成为了沟通Lorenz 系统(a 12a 21>0)和Chen 系统之间的桥梁;统一混沌系统[7]通过引入可变化的系统参数将Lorenz 系统、Chen 系统、Lü系统融为一体,构成了一个随系统参数变化的混沌系统族.Qi 等[8]在Lorenz 系统基础上增加了一个非线性项构建了Qi 系统;文献[9—15]都是通过对Lorenz 系统进行改造构建起来的混沌系统.文献[16]通过拓展和改变Lorenz 混沌系统的多个非线性函数,构建一类包含多个子系统的切换混沌系统.这些混沌系统的建立极大地丰富了混沌学的研究内容和提高了混沌的工程应用能力.本文通过拓展和改变Lorenz 混沌系统的非线性函数,构建一个新的具有光滑二次非线性函数的自治混沌系统,能够产生复杂的奇异吸引子.详细分析了系统平衡点的性质,利用分岔图和Lyapunov 指数谱对系统随参数变化的情况进行分析,用数字信号处理(DSP)芯片对混沌系统进行硬件实现.2.系统的特性分析 参考文献[8,9]的构建模式,对Lorenz 系统进行改造,构建一个新的三维自治混沌系统x ·=a (y -x )-yz ,y ·=bx -y -xz ,z ·=-cz +y 2,(1)式中x ,y ,z 为系统变量,正常数a ,b ,c 为系统参量.系统包含的3项非线性函数都是系统变量的光滑二次函数.系统(1)与现有混沌系统的不同之处在于将系统变量交叉乘积yz 负反馈回系统,以及包含系统变量y 2非线性项.系统具有对称性,对系统作(x ,y ,z )→(-x ,-y ,z )变换,系统保持不变.系统关于z 轴对称,在x⁃y 平面系统轨迹关于原点对称.系统的Jacobi矩阵为允=-a a-z-yb-z-1-x02y-c⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥.(2) 系统有5个平衡点,分别为P0(0,0,0),P1(x1, y1,z1),P2(x2,-y1,z1),P3(x3,y2,z2),P4(x4,-y2, z2),其中x=y-y3/ac,y1=c2(a+b-(a-b)2-4a)()1/2,y2=c2(a+b+(a-b)2-4a)()1/2, z1,2=12(a+b±(a-b)2-4a). 为保证系统存在实平衡点,系统参数需同时满足(a-b)2-4a>0和a+b-(a-b)2-4a>0.系统在平衡点P0处的特征值λ1=-c,λ2,3= 12(-(a+1)±(a+1)2+4a(b-1))皆为实数,其中2个小于零,1个大于零,平衡点P0是不稳定的鞍点.当系统的参数取值为a=10,b=40,c=3时,非零平衡点P1(-0.1878,5.5688,10.3372),特征值λ1=1.6612+i10.2813,λ2=1.6612 -i10.2813,λ3=-17.3225;P2(-11.3254, -5.5688,10.3372),特征值λ1=0.7758+ i14.2361,λ2=0.7758-i14.2361,λ3=-15.5516.由于3个特征值中有2个实部大于零的复特征值,非零平衡点P1,P2都是不稳定的鞍焦点,且满足Shil’nikov定理[17],即对于3阶自治混沌系统平衡点的特征值γ1和σ1±iω1,如果满足σ1γ1<0和|γ1| >|σ1|,系统的矢量场满足产生混沌鞍焦点条件;当系统的参数取值适当时,则可满足形成奇异鞍环的条件,系统可以产生混沌振荡[18],存在Smale马蹄意义上的混沌.非零平衡点P3(-32.3569, 10.9082,39.6629),特征值λ1=24.3935,λ2=-9.9838,λ3=-28.4096,皆为实数,其中2个小于零,1个大于零,平衡点P3是不稳定的鞍点.P4(-54.1733,-10.9082,39.6629),特征值λ1=-10.0081,λ2=-1.9959+i34.5099,λ3=-1.9959 -i34.5099,非零平衡点P4的3个特征值中有1个特征值为负实数,2个特征值为负实部的复数,因而非零平衡点P4是稳定的鞍焦点.保持系统的参数取值a=10,c=3不变,得到系统变量y随参数b变化的分岔图和Lyapunov指数谱,如图1所示.图1 混沌系统的分岔图和Lyapunov指数谱 (a)分岔图, (b)Lyapunov指数谱对系统的分岔图和Lyapunov指数谱分析,系统参数b∈[33.75,59.85]时,系统有1个大于零的Lyapunov指数,系统处于混沌状态.当系统参数取值a=10,b=40,c=3时,Lyapunov指数L1= 1.7034,L2=0,L3=-15.4028,由分形维数的计算公式D L=j+1|L(j+1)|∑ji=1L i得到分形维数为2.1106.当系统参数b=30.23和b=31.84时,系统出现倍周期分岔现象.3.系统的DSP实现 为提高系统实现的精度和保证硬件实现的可靠性,利用DSP芯片对系统进行硬件实现,同时与数值仿真结果进行比较.图2为系统参数b=33时,系统处于稳定的2周期态二维相图.图3为系统参数b=31时系统处于稳定的4周期态相图,图4为系统参数b=40时系统处于混沌状态相图.系统的相图说明数值仿真和DSP硬件实图2 系统参数b =33时系统处于稳定的2周期态相图 (a),(b)和(c)为数值仿真结果,(d),(e)和(f)为对应的DSP仿真结果图3 系统参数b =31时系统处于稳定的4周期态相图 (a),(b),(c)为数值仿真结果;(d),(e),(f)为对应的DSP 仿真结果现的结果完全一致,同时表明系统具有与其他变形Lorenz 系统不同的特性.由于系统有4个非零平衡点,系统的二维相图具有自内到外的分层嵌套结构.从x⁃z 平面的二维相图可明显看出自内到外逐渐张开的双翼,体现了局部与整体的相似性,说明系统具有较为丰富的动力学演化行为.4.结论通过拓展和改变Lorenz 系统的非线性函数构建了一个新的自治混沌系统,系统有3个系统变量乘积的光滑二次非线性函数项和5个平衡点.随着图4 系统参数b=40时系统处于混沌状态相图 (a),(b),(c)为数值仿真结果;(d),(e),(f)为对应的DSP仿真结果系统变量的变化系统会发生倍周期分岔,系统具有比Lorenz系统及其各种变形系统更为复杂的动力学行为.[1]Lorenz E N1963J.Atmos.Sci.20130[2]Elwakil A S,Özguz S,Kennedy M P2002IEEE Trans.CircuitsSyst.Ⅰ49527[3]Miranda R,Stone E1993Phys.Lett.A178105[4]Liu W B,Chen G R2003Int.J.Bifur.Chaos13261[5]Chen G R,Ueta T1999Int.J.Bifur.Chaos91465[6]LüJ H,Chen G2002Int.J.Bifur.Chaos12659[7]LüJ H,Chen G,Cheng D2004Int.J.Bifur.Chaos141507[8]Qi G Y,Chen G R,Du S Z,Chen Z Q,Yuan Z Z2005PhysicaA352295[9]Liu C X,Liu T,Liu L,Liu K2004Chaos Solitons Fract.221031[10]Liu L,Su Y C,Liu C X2007Chin.Phys.161897[11]Wang F Z,Qi G Y,Chen Z Q,Zhang Y H,Yuan Z Z2006Acta Phys.Sin.554005(in Chinese)[王繁珍、齐国元、陈增强、张宇辉、袁著祉2006物理学报554005] [12]Wang G Y,Qiu S S,Xu Z Y2006Acta Phys.Sin.553295(inChinese)[王光义、丘水生、许志益2006物理学报553295] [13]Wang G Y,Qiu S S,Li H W,Li C F,Zheng Y2006Chin.Phys.152872[14]Wang F Z,Chen Z Q,Wu W J,Yuan Z Z2007Chin.Phys.163238[15]Cai G L,Tan Z H,Zhou W H,Tu W T2007Acta Phys.Sin.566230(in Chinese)[蔡国梁、谭振海、周维怀、涂文桃2007物理学报566230][16]Liu Y Z,Jiang C S,Lin C S2007Acta Phys.Sin.565131(inChinese)[刘扬正、姜长生、林长圣2007物理学报565131][17]Shil̓nikov L P1994Int.J.Bifur.Chaos4489[18]Long M,Qiu S S2007Chin.Phys.162254A new smooth quadratic chaotic system and its digital signalprocessing implementation∗Liu Yang⁃Zheng Lin Chang⁃Sheng† Li Xin⁃Chao(Institute of Nonlinear Physics,Nanjing Institute of Technology,Nanjing 211167,China)(Received20August2010;revised manuscript received16September2010)AbstractDeveloping and changing nonlinear function of Lorenz chaotic system,a new autonomous chaotic system is generated which contains three smooth quadratic terms of system variables and five equilibriums.The characteristics of five equilibriums are discussed and a fractal dimension is calculated.The features of chaotic system are analyzed in detail using bifurcation diagram and Lyapunov exponent.The period doubling bifurcation of the system can occus.The chaotic system is realized based on digital signal processing.Experimental result shows the effectiveness and feasibility of the theoretical analysis and verifies the behaviors of various attractors.Keywords:chaotic system,bifurcation diagram,Lyapunov exponents,digital signal processingPACS:05.45.Pq,05.45.Ac∗Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.90405011),the Natural Science Foundation of the Higher Education Institutions of Jiangsu Province,China(Grant No.07KJD120081),and the Natural Science Foundation of Nanjing Institute of Technology,China(Grant No.KXJ07068).†Corresponding author.E⁃mail:cslin@。