名师导学高考数学一轮总复习同步测试卷十七圆锥曲线的综合问题课件文新人教A版

点共线时，|PQ|＋|PF|最小，所以
|PD|
＋
|PQ|
＝
|4×1－3×0＋6| 32＋42
－
1
＝1.
第十一页，共23页。
10.已知点 P 是椭圆x42＋y32＝1 上任一点，那点 P 85
到直线 l：x＋2y－12＝0 的距离的最小值为 5 .
【解析】过椭圆上任意点作 l 的平行线 l′，当 l′
sin
60°＝
3 2.
第十页，共23页。
9.已知直线 l1：4x－3y＋6＝0 和直线 l2：x＝0，
抛物线 y2＝4x 上一动点 P 到直线 l1 和1 直线 l2 的距离之 和的最小值是____.
【解析】如图，由抛物线定义知
|PD| ＝ |PF| － 1 ， 则 |PD| ＋ |PQ| ＝
|PQ|＋|PF|－1，故当 Q、P、F 三
2－ 4
6，x2＝
6＋ 4
2，x1＋x2＝ 22，x1x2
＝－14.
又 O 为△PAB 的重心，O→A＋O→B＋O→P＝0，
得 P(－(x1＋x2)，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(y1＋y2))，
∴P－ 22，－1， ∵－ 222＋（－21）2＝1，所以点 P 在椭圆 C1 上.
第十九页，共23页。
13.(14 分)设 M 为曲线 C 上任意一点，F(1，0)为 定点，已知点 M 到直线 x＝4 的距离等于 2|MF|.
2017’新课标·名师导学·新高考第一轮总复习同步测试卷 文科数学(十七)
(圆锥曲线的综合问题) 时间：60 分钟 总分：100 分
第一页，共23页。
一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36
分.每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要 求的.)
1.已知点 A(－2，3)在抛物线 C：y2＝2px 的准线
5或8
5
5 .
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三、解答题(本大题共 3 小题，共 40 分.解答应写 出文字说明，证明过程和演算步骤.)
11.(13 分)已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左右焦点 分别为 F1，F2，点 A2， 2在椭圆上，且 AF2 与 x 轴 垂直.
(1)求椭圆的方程； (2)过 A 作直线与椭圆交于另外一点 B，求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).
b)2＝12，即(4k2＋3)x2＋8kbx＋4b2－12＝0.
设点 A(x1，x2)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－4k82k＋b 3，x1x2＝44bk22－＋132.
所以O→A·O→B＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋b)(kx2＋
b)
＝
kb(x1
＋
x2)
＋
(k2
＋
1)x1x2
即 3x2＋4y2＝12，所以曲线 C 的方程是x42＋y32＝ 1.
(2)①当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y＝kx ＋b.
因为直线 l 与圆 x2＋y2＝2 相切， 则 1＋b k2＝ 2，即 b2＝2(k2＋1).
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将 y＝kx＋b 代入 3x2＋4y2＝12，得 3x2＋4(kx＋
上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为( C )
A.－43
B.－1 C.－34 D.－12
【解析】∵点 A(－2，3)在抛物线 C 的准线上，
∴p2＝2，∴p＝4. ∴抛物线的方程为 y2＝8x，则焦点 F 的坐标为(2，
0).又 A(－2，3)，根据斜率公式得 kAF＝02－ ＋32＝－34.
所以椭圆的焦点在 y 轴上，且 a2－b2＝4，故能排除 A，
B，C，故选 D.
第三页，共23页。
3.已知双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的两条渐近线
均与圆 C：x2＋y2－6x＋5＝0 相切，A 则该双曲线的离
心率等于(
)
A.3 5 5
B.
6 2
C.32
D.
5 5
【解析】∵圆的圆心为(3，0)，半径为 2，且与双
代入x42＋y32＝1，解得
y＝±
6 2.
此时O→A·O→B＝x1x2＋y1y2＝2－64＝12.
综上分析，不存在直线 l 满足条件.
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第七页，共23页。
6.若点 O 和点 F 分别为椭圆x42＋y32＝1 的中心和左 焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则C O→P·F→P的最大值 为( )
A.2 B.3 C.6 D.8 【解析】由题意，F(－1，0)，设点 P(x0，y0)，则 有x420＋y320＝1，解得 y20＝31－x420，因为F→P＝(x0＋1，y0)， O→P＝(x0，y0)，所以O→P·F→P＝x0(x0＋1)＋y20＝x0(x0＋1) ＋31－x420＝x420＋x0＋3，此二次函数的对称轴为 x0＝ －2，因为－2≤x0≤2，所以当 x0＝2 时，O→P·F→P取得 最大值242＋2＋3＝6，选 C.
第二页，共23页。
2.若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线
y＝3x＋7 与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为 1，则
这个椭圆的方程为( D )
A.1x22 ＋2y02 ＝1
B.x42＋1y22 ＝1
C.1x22 ＋y82＝1
D.x82＋1y22 ＝1
【解析】椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，
(1)求曲线 C 的方程； (2)设直线 l 是圆 x2＋y2＝2 的任意一条切线，且与 曲线 C 相交于 A、B 两点，O 为坐标原点.试推断是否 存在直线 l，使O→A·O→B＝1？若存在，求出直线 l 的方 程；若不存在，请说明理由.
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【解析】(1)设点 M(x，y)，由已知，|x－4|＝ 2 （x－1）2＋y2，则(x－4)2＝4[(x－1)2＋y2]，
2－2k） ，
得2k2＋1x2＋4 2－2kkx＋2 2－2k2－8＝0，
由
已
知
：
Δ
＝
16
2－2k 2 k2 － 8 2k2＋1
2－2k2－4＝82k＋
22>0，
即：k≠－ 22时，AB＝
1＋k2·2
2·2k＋ 2k2＋1
2，
第十五页，共23页。
O 到直线 AB 的距离：d＝
21－＋2kk2，
A.14 B.16 C.18 D.20
第六页，共23页。
【解析】如下图设 F 为椭圆 的左焦点，右焦点为 F2，根据 椭圆的对称性可知 FQ＝PF2， OP＝OQ，所以△PQF 的周长 为 |PF|＋ |FQ|＋ |PQ|＝ |PF|＋ |PF2|＋2|PO|＝2a＋2|PO|＝10 ＋2|PO|，易知 2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点 P，Q 为椭圆的上下顶点时，△PQF 的周长取得最小 值 10＋2×4＝18，故选 C.
第八页，共23页。
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24
分，将各小题的结果填在题中横线上.)
7.双曲线x22－y42＝1 的顶点到其渐近线的距离为
23
___ 3
_.
【解析】由双曲线x22－y42＝1，得其顶点坐标( 2，
0)，(－ 2，0)，渐近线方程 y＝± 2x，点( 2，0)到 y
∴c＝1， 又△F1MF2 的周长为 2＋2 2，∴2a＋2＝2＋2 2， ∴a＝ 2， ∴b＝1，因此 C1：y22＋x2＝1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l：y＝－ 2x＋1，
第十八页，共23页。
y＝－ 2x＋1 y22＋x2＝1 ⇒4x2－2 2x－1＝0，
∴x1＝
(1)求椭圆 C1 的方程； (2)已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C1 在 y 轴正半 轴上的焦点，过 F 且斜率为－ 2的直线 l 与 C1 交于 A， B 两点，若点 P 满足△PAB 的重心为原点.判断点 P 是否在椭圆 C1 上，并说明理由.
第十七页，共23页。
【解析】(1)由题意，C2：2y2－2x2＝1 的焦点坐标为 (0，1)，
A.12，34
B.38，34
C.12，1
D.34，1
【解析】设 Px，y，直线 PA1，PA2 的斜率分别
为 k1，k2，则
k1k2＝x＋y 2·x－y 2＝x2y－2 4＝3x－2－34x42＝－34，因为 k2
∈－2，－1，所以 k1∈第38五，页，共3423页。，故选 B.
C
5.过椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的中心任作一直线交椭圆于 P、Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的 最小值是( )
＝
2x 的距离为 d＝
|0－ 2× 1＋（－
22）| 2＝233，顶点到其
渐近线的距离为2 3 3.
第九页，共23页。
8.以 F1，F2 为焦点的椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的上顶
点为 P，当∠F1PF2＝120°时，则此椭圆离心率 e 的 3
大小为 2 __.
【解析】由对称性知，∠OPF2＝60°，∴e＝ac＝
曲线的两条渐近线都相切，故渐近线的斜率 k＝tan
α＝ 322－22＝ 25＝ba， ∴离心率 e＝ 1＋ba22＝
第四页，共23页。
1＋45＝3 5 5.
4.椭圆 C：x42＋y32＝1 的左、右顶点分别为 A1，
A2，点 P 在 C 上且直线 PA2 的斜率的取值范围是[－2，
－1]，那么直线 PA1 斜率的取值范围是( B )
与椭圆相切时，则点 P 到直线 l：x＋2y－12＝0 的距
离的最小值等于 l′到 l 的距离.设 l′的方程为 x＋2y＋c ＝0，联立x42＋y32＝1 ，将直线代入椭圆，得 4x2＋
x＋2y＋c＝0
2cx＋c2－12＝0，由Δ＝0，得 c＝±4；所以 l′到 l 的距
离
d＝－1122＋－2c2＝165
第十三页，共23页。
【解析】(1)由已知：c＝2，ba2＝ 2，∴a＝2 2， b2＝4，
故椭圆方程为x82＋y42＝1. (2)当 AB 斜率不存在时：S△AOB＝12×2 2×2＝ 2 2. 当 AB 斜率存在时：设其方程为：y－ 2＝k(x－ 2)k≠± 22，
第十四页，共23页。
由yx＝2＋k2xy＋2＝（8
＋
b2
＝
－
8k2b2 4k2＋3
＋
（k2＋1）（4b2－12） 4k2＋3
＋
b2
＝
7b2－12（k2＋1） 4k2＋3
＝
2（k2＋1） 4k2＋3 .
第二十二页，共23页。
令2（4kk22＋＋13）＝1，则 4k2＋3＝2k2＋2，即 2k2＋1
＝0，无解.
②当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x＝± 2，
∴S△ABC＝12ABd＝ 22－2k24＋1，
∵k≠±
2 2
，
∴
2k2
＋
1≠2
，
∴
2k2
＋
1∈
1，
2
∪2，＋∞，
∴2－2k24＋1∈－2， 0∪0，2，
此时 S△AOB∈(0，2 2]，
综上所求：当 AB 斜率不存在或斜率为零时，
△AOB 面积取最大值为 2 2.
第十六页，共23页。
12.(13 分)已知椭圆 C1 与双曲线 C2：2y2－2x2＝1 有公共焦点 F1，F2，M 为 C1，C2 的一个交点，△F1MF2 的周长为 2＋2 2.