重庆版2016届高三数学第五次月考试题文

第五次月考数学文试题【重庆版】
数学试题（文史类），满分150分，考试时间120分钟 注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是
符合题目要求的
（1）设集合}032|{2
<--=x x x M ,{}
22<=x x N ，则N C M R 等于
（A ）[]1,1- （B ）)0,1(- （C ）[)3,1 （D ）)1,0( （2）已知{}n a 为等差数列，3822a a +=，67a =，则5a =
（A ）11 （B ）15 （C ）29 （D ）30 （3）命题：“存在0,x R ∈使得200x <”的否定为 （A ）对任意的R x ∈都有02<x （B ）存在0x R ∈使得2
00x >
（C ）存在R x ∈0使得02
0≥x （D ）对任意的R x ∈都有02≥x
（4）5000辆汽车经过某一雷达测速区， 其速度频率分布直方图如图所示，则时速超过70km/h 的汽车数量为
（A ）50 （B ）500 （C ）1000 （D ）4500 （5）函数)(2
2R ∈-=x x y x
的图象大致为
（6）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是
（A ）2
3
（B ）
27+ （C ）227+ （D ）
210+
（7）已知函数：c bx x x f ++=2
)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记
时速30 80 70
60 50 40
组距
频率
0.039
0.028 0.018 0.010 0.005
函数)(x f 满足条件：⎩
⎨⎧≤-≤3)1(12
)2(f f 的事件为A ，则事件A 发生的概率为
（A ）
85
（B ）16
5 （C ）83 （D ）21 （8）阅读右面的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是
（A ）2500，2500 （B ）2550，2550 （C ）2500，2550 （D ）2550，2500
（9）已知定义在R 上的函数()f x 为单调函数，且对任意x R ∈，恒有2
1
)2)((-=-x
x f f ，则函数()f x 的零点是
（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2
（10）已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于B A ,两点，
记直线BC AC ,的斜率分别为21,k k ，当
||ln ||ln 2
212
1k k k k ++最小时，双曲线离心率为 （A ）2 （B ） 3 （C ） 12+ （D ）2
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上 （11）复数()
2321i i -+（i 为虚数单位）等于 .
（12）直线3440x y --=被圆22
(3)9x y -+=截得的弦长为 . （13）已知5π1cos(
)123α+=，且π
π2
α-<<-，则πcos()12α-= .
（14）已知正实数,x y 满足ln ln 0x y +=，且2x y >，若2
2
(2)4k x y x y -≤+恒成立，则k 的取值范围是 .
（15）平面内两个非零向量αβ，，满足||1β=，且α与βα-的夹角为135，则||α的取值范围为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分） 高三某班20名男生在一次体检中被平均分为两个小组，第一组和第二组学生身高（单位：cm ）的统计数据用茎叶图表示（如图）.
（Ⅰ）求第一组学生身高的平均数和方差；
（Ⅱ）从身高超过180cm 的五位同学中随机选出两位同学参加校篮球队集训，求这两位同学在同一小组的概率. 【参考公式：方差n
x x
s n
i i
∑=-=1
2
2
)(，其中x 表示样本平均数】
（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分） 已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且12
1
=+n n a S )(*∈N n ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12log 33
+-=n n a b )(*∈N n ，求1223
2021
111
b b b b b b +++
的值．
（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，设S 为ABC ∆的面积，满足
)(34222c b a S -+=. （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若ABC ∆外接圆半径3=R ，且6cos cos 62sin sin +=+B A B A ，求
b
a 1
1+的值.
（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）
如图，在多面体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形，
1AC AB ==，BC A 1∆是正三角形，11//B C BC ，111
2
B C =
BC . （Ⅰ）求证：面1A AC ⊥面ABC ；
（Ⅱ）求该几何体的体积.
（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 已知函数x
x
x f ln 1)(+=
． (Ⅰ)若函数()f x 在区间1,3m m ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭()0m >上存在极值，求实数m 的取值范围；
(Ⅱ)设]1)([)
1(1)(--+=
x xf x a x
x g ，若对任意)1,0(∈x 恒有2)(-<x g ，求实数a 的取值范围．
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分） 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.如图，“盾
圆C ”是由椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 与抛物线x y 42=中两段曲
线合成，21,F F 为椭圆左、右焦点，)0,1(2F ，A 为椭圆与抛物线的
一个公共点，2
5
||2=AF .
A
B
B 1
A 1
C
C 1
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）是否存在过2F 的一条直线l ，与“盾圆C ”依次交于H G N M ,,,四点，使得MH F 1∆与NG F 1∆的面积之比为5:6，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是
（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分） 【解】（Ⅰ）173)182181175175171171170169168168(10
1
=+++++++++=
x 6.23)9822223455(10
12222222222
2=+++++++++=
s （Ⅱ）设“甲、乙在同一小组”为事件A
身高在180以上的学生分别记作e d c b a ,,,,，其中b a ,属于第一组，e d c ,,属于第二组 从五位同学中随机选出两位的结果有),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(d c e b d b c b e a d a c a b a ),(),,(e d e c ，共10种情况
其中两位同学在同一小组的结果有),(),,(),,(),,(e d e c d c b a ，共4种情况
于是：52104)(==
A P （17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）
【解】（I ）当1n =时，11a s =，由11112s a +
=，得12
3
a = 当2n ≥时，∵ 112n n s a =-， 111
12
n n s a --=-，
∴()1112n n n n s s a a ---=-，即()112n n n a a a -=- ∴)2(3
1
1≥=-n a a n n
∴{}n a 是以23
为首项，13为公比的等比数列，故1211()2()333n n n a -=⋅=⋅ )(*
∈N n
（II ）131)3
1(log 312log 333+=+⨯-=+-=n a b n
n n ，
3
1
)431131()43)(13(111⨯+-+=++=+n n n n b b n n 122320211111111111111
()()34771061643464
b b b b b b +++=⨯-+-++-=⨯-564= （18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分） 【解】(Ⅰ)由于C ab S sin 2
1
=
，于是C ab c b a C ab cos 32)(3sin 2222=-+= 即：3tan =C ，于是3
π
=
C
(Ⅱ)由于1cos()cos cos sin sin cos 2
A B A B A B C +=-=-=-， 于是1
cos cos sin sin 2
A B A B =-
，所以B A B A sin sin 62sin sin =+ 由正弦定理得：R
R ab R b R a 226222⨯⨯=+，代入3=R 得：ab b a 2=+， 所以21
1=+b
a
（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分） 【解】（Ⅰ）一方面：1,2111====AC A A B A C A ， 满足21221C A AC A A =+，于是AC A A ⊥1① 另一方面：AB A A ⊥1②
综合①②可得：⊥A A 1平面ABC ，从而面1A AC ⊥面ABC （Ⅱ）依题意得：11111C B A C BA B A C V V V --+= 而3
1
1131311111=⨯⨯=⨯⨯=
-CA S V BA B A BA B A C ， 12
1
1)222221(313111111
11=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=-A A S V C B A C B A C ，故：12512131=
+=V （20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 【解】(Ⅰ)由题意()2
1ln ln x x f x x x '+⎛⎫'==-
⎪⎝⎭
)
0(>x 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()f x 在1x =处取得极大值．
因为函数()f x 在区间1,3m m ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
（其中0m >）上存在极值，
所以01
1
13m m <<⎧⎪⎨+>⎪⎩
，得213m <<．即实数m 的取值范围是213⎛⎫
⎪⎝⎭，． （Ⅱ）由题可知, 0≠a ，且x x a x
x g ln )
1(1)(-+=
，因为)1,0(∈x ,所以0ln 11<-+x x x . 当0a 时, ()0g x ,不合题意.
当0a 时,由2)(-<x g ,可得01)
1(2ln <+-+
x
x a x 恒成立 设x x a x x h +-+=1)1(2ln )(，则0)(max <x h ,求导得：2
2)1(1
)42()('x x x a x x h ++-+=.
设1)42()(2+-+=x a x x t ，)1(164)42(2-=--=∆a a a .
(1)当10≤<a 时，0≤∆，此时：0)(',0)(≥≥x h x t ，所以()h x 在(0,1)内单调递增，又(1)0h ，所以()(1)0h x h .所以10≤<a 符合条件
(2)当1>a 时，0>∆,注意到0)1(4)1(,01)0(<-=>=a t t ,所以存在)1,0(0∈x ,使得0()0t x ,于是对任意)1,(0x x ∈,()0t x ,0)('<x h .则()h x 在0(,1)x 内单调递减,又(1)0h ,所以当)1,(0x x ∈时,()0h x ,不合要求，综合(1)(2)可得10≤<a
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
【解】(I) 由x y 42
=得准线为1-=x ，所以251||2=
+=A x AF ，故)6,2
3
(A 又)0,1(1-F ，所以62527||||221=+=+=AF AF a ，所以3=a ，代入)6,2
3
(A 得22=b
于是：椭圆方程为18
92
2=+y x (II) 设直线l 方程为1+=my x
联立⎪⎩⎪
⎨⎧=++=189
122y x my x 得：06416)98(22=-++my y m
设),(),,(H H M M y x H y x M ，则9
864
,98162
2+-=+-=+m y y m m y y H M H M ① 联立⎩⎨⎧=+=x
y my x 412得：0442=--my y
设),(),,(G G N N y x G y x N ，则4,4-==+G N G N y y m y y ②
所以：
56981216
1698)
98(644)16(|
||
|||||2222211=+=+++⨯+=--==
∆∆m m m m m y y y y NG MH S S G N H M NG
F MH F 解得：812
=m ，4
2
±=m 若4
2
=
m ，由②可知)2,21(),22,2(-G N ，不在“盾圆C ”上，
同理4
2
-=m 也不满足，综上所述：符合题意的直线l 不存在。