2019-2020学年江西省抚州市数学高二下期末检测试题含解析

2019-2020学年江西省抚州市数学高二(下)期末检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．平面α 与平面β 平行的条件可以是（ ） A ．α内有无穷多条直线都与β平行 B ．α内的任何直线都与β平行
C ．直线a α⊂ ，直线b β⊂ ，且//,//a b βα
D ．直线//,//a a αβ ，且直线a 不在平面α内，也不在平面β内 2．已知复数10
23z i i
=-+（其中i 为虚数单位），则z = A ．33
B ．32
C ．23
D ．22
3．求二项式()7
12x -展开式中第三项的系数是（ ） A ．-672
B ．-280
C ．84
D ．42
4．设0,0a b >>，若3是33a b 与的等比中项，则11
a b
+的最小值为（ ） A ．8 B ．
1
4
C ．1
D ．4
5． “
”是“a,b,c 成等比数列”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ） A ．36种
B ．48种
C ．96种
D ．192种
7．某学校有2200名学生,现采用系统抽样方法抽取44人,将2200人按1,2,…,2200随机编号,则抽取的44人中,编号落在[101,500]的人数为（ ） A ．7 B ．8 C ．9
D ．10
8．展开式中
的系数为（ ）
A ．10
B ．30
C ．45
D ．210
9． “人机大战，柯洁哭了，机器赢了”，2017年5月27日，
岁的世界围棋第一人柯洁
不敌人工
智能系统AlphaGo ，落泪离席.许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查.在参与调查的
男性中，有
人持反对意见，
名女性中，有
人持反对意见.再
运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是（ ）
A ．分层抽样
B ．回归分析
C ．独立性检验
D ．频率分布直方图
10．已知双曲线的焦距是虚轴长的倍，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知方程2
3
ln 02
x ax -+
=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．2e 0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．2e 0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．2e 0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
12．设函数()2sin x f x e a x =-，()0,x π∈有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ） A 42e π
B ．422e π
C ．222
e π
D 22e π
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,准线与x 轴的交点为,M N 为抛物线上的一点,且满足
3
2
NF =
,则NMF ∠ =_____. 14．某校共有教师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为50人，那么n 的值为______.
15．从边长为10cm×16cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为______cm 1
．
16．用1、2、3、4、5、6六个数字组成的没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是____________。

三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．某啤酒厂要将一批鲜啤酒用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，运费由厂家承担．若厂家恰能在约定日期（×月×日）将啤酒送到，则城市乙的销售商一次性支付给厂家40万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给厂家2万；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给厂家2万元．为保证啤酒新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送．已知下表内的信息：
汽车行驶路线
在不堵车的情况下到达
城市乙所需时间（天）
在堵车的情况下到
达城市乙所需时间
（天）
堵车的概率
运费（万元）
公路1 1 4 α
2 公路2
2
3
β
1
（1）记汽车选择公路1运送啤酒时厂家获得的毛收入为X （单位：万元），求X 的分布列和EX ； （2）若13α=
，1
4
β=，选择哪条公路运送啤酒厂家获得的毛收人更多？ （注：毛收入=销售商支付给厂家的费用-运费）．
18．设函数()()2
0f x ax bx c a =++≠，曲线()y f x =通过点()0,23+a ，且在点()()
1,1f --处的切
线垂直于y 轴.
（1）用a 分别表示b 和c ；
（2）当bc 取得最小值时，求函数()()-=-x
g x f x e
的单调区间.
19．（6分）某工厂拟生产并销售某电子产品m 万件（生产量与销售量相等），为扩大影响进行销售，促销
费用x （万元）满足2
4x m +=（其中0x a <≤，a 为正常数）．已知生产该产品还需投入成本1612m m ⎛⎫
⎪+
⎪ ⎪
-⎝⎭
万元（不含促销费用），产品的销售价格定为304m ⎛
⎫
+
⎪⎝⎭
元/件． （1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，此工厂所获利润最大？
20．（6分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，
且满足222sin cos ,2c B C a c b =-=． （Ⅰ）求C 的大小；
（Ⅱ）若ABC ∆
的面积为b 的值．
21．（6分）已知()|1|f x ax =-，不等式()3f x ≤的解集是{}|12x x -≤≤． （1）求a 的值． （2）若
()()
3f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围．
22．（8分）某舆情机构为了解人们对某事件的关注度，随机抽取了100人进行调查，其中女性中对该事件关注的占2
，而男性有10人表示对该事件没有关注. （1）根据以上数据补全22⨯列联表；
（2）能否有90%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”？
（3）已知在被调查的女性中有10名大学生，这其中有6名对此事关注.现在从这10名女大学生中随机抽取3人，求至少有2人对此事关注的概率. 附表：
()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ 参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】
根据空间中平面与平面平行的判定方法，逐一分析题目中的四个结论，即可得到答案． 【详解】
平面α内有无数条直线与平面β平行时，两个平面可能平行也可能相交，故A 不满足条件；
平面α内的任何一条直线都与平面β平行，则能够保证平面α内有两条相交的直线与平面β平行，故B 满足条件；
直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥α，则两个平面可能平行也可能相交，故C 不满足条件； 直线a ∥α，a ∥β，且直线a 不在α内，也不在β内，则α与β相交或平行，故D 错误； 故选B. 【点睛】
本题考查的知识点是空间中平面与平面平行的判定，熟练掌握面面平行的定义和判定方法是解答本题的关键． 2．B 【解析】
分析：根据复数的运算法则和复数的模计算即可. 详解：()()()
10310
223233333i z i i i i i i i i -=
-=-=--=-++-，
则z =故选：B.
点睛：复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程． 3．C 【解析】 【分析】
直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】
二项式()712x -展开式的通项为：()172r
r
r T C x +=-， 取2r =，则第三项的系数为()2
27284C ⋅-=.
故选：C . 【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 4．D 【解析】
33a b 与的等比中项，∴3=3a •3b =3a +b ，∴a +b=1． a ＞2，b ＞2．
∴
11a b +=()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=224b a a b ++≥+=．当且仅当a=b=12时取等号． 故选D ．
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 5．B 【解析】 6．C 【解析】
试题分析：设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，∴不同的选修方案共有6×4×4=96种，故选C ． 考点：分步计数原理
点评：本题需注意方案不分次序，即a ，b 和b ，a 是同一种方案，用列举法找到相应的组合即可．
7．B
【解析】
【分析】
先求出每一个小组的人数，再求编号落在[101,500]的人数.
【详解】
每一个小组的人数为，
所以编号落在[101,500]的人数为.
故选：B
【点睛】
本题主要考查系统抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
8．B
【解析】
（-1-x+x2）10=[（x2-x）-1]10的展开式的通项公式为
，所以或，故展开式中的系数为
故选B
9．C
【解析】
【分析】
根据“性别”以及“反对与支持”这两种要素，符合，从而可得出统计方法。

【详解】
本题考查“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”这两个变量是否有关系，符合独立性检验的基本思想，因此，该题所选择的统计方法是独立性检验，故选：C.
【点睛】
本题考查独立性检验适用的基本情形，熟悉独立性检验的基本思想是解本题的概念，考查对概念的理解，属于基础题。

10．A
【解析】
，，渐近线方程为，即，
故选A. 11．A 【解析】
分析：由于2
3
ln 2
y x ax =-+是偶函数，因此只要在0x >时，方程有2个根即可．用分离参数法转化为求函数的极值．
详解：由于23ln 2y x ax =-+是偶函数，所以方程2
3ln 02
x ax -+=有两个根，即2
3
ln 2x a x +=有两个根．设23ln 2()x f x x +=，则43
3
2(ln )
2(ln 1)2'()x x x x f x x x -++==-，∴10x e
<<时，'()0f x >，()f x 递增，1x e >时，'()0f x <，()f x 递减，1x e =时，()f x 取得极大值也是最大值2
1()2
e
f e =，又0
x →+时，()f x →-∞，x →+∞时，()0f x →，所以要使2
3
ln 2x a x +=
有两个根，则2
02
e a <<．
故选A ．
点睛：本题考查方程根的分布与函数的零点问题，方程根的个数问题常常转化为函数图象交点个数，如能采用分离参数法，则问题转化为求函数的单调性与极值或值域． 12．B 【解析】 【分析】
先由题意得到方程2sin =x e a x 在()0,x π∈上仅有一个实根；令()sin =
x e g x x ，得到函数()sin =x
e g x x
与直线2y a =在()0,x π∈上仅有一个交点；用导数的方法判断()sin =x
e
g x x
单调性，求出最值，结合图像，
即可得出结果. 【详解】
因为函数()2sin x
f x e a x =-，()0,x π∈有且仅有一个零点；
所以方程2sin 0-=x e a x 在()0,x π∈上仅有一个实根；
即方程2sin =x e a x 在()0,x π∈上仅有一个实根；令()sin =
x
e g x x
，
则函数()sin =x
e g x x 与直线2y a =在()
0,x π∈上仅有一个交点；
因为()2
2sin cos ()sin cos sin sin -'==-x x x
e e x e g x x x x
， 由()0g x '>得sin cos 0->x ，因为()0,x π∈，所以
4
π
π<<x ；
由()0g x '<得sin cos 0-<x ，因为()0,x π∈，所以04
x π
<<
；
所以，函数()sin =x
e g x x 在04π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；
因此4
4min
()24sin 4
ππ
ππ
⎛⎫
=== ⎪⎝⎭e g x g e
作出函数()sin =x
e g x x
的大致图像如下：
因为函数()sin =x
e g x x
与直线2y a =在()0,x π∈上仅有一个交点，
所以4
min 2()
2π==a g x e ，记得422
π=a . 故选B 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的零点，通常将函数零点问题，转化为两函数图像交点的问题，结合图像求解即可，属于常考题型.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．
6
π 【解析】
分析：利用抛物线的性质，过N 作准线的垂线交准线于1N ，则1NN NF =，则
1cos cos NMF N NM ∠=∠，在1Rt N NM n 中可表示出1cos N NM ∠，计算即可得到答案
详解：过N 作准线的垂线交准线于1N
则113cos cos 2
NN NF NMF N NM MN
MN
∠=∠==
=
故6
NMF π
∠=
点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，解答本题的关键是记清抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，灵活运用抛物线的定义来解题 14．120 【解析】
分析：根据分层抽样的原则先算出总体中女学生的比例，再根据抽取到女学生的人数计算样本容量n 详解：因为共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人 所以女学生占的比例为
10005
240012
= 女学生中抽取的人数为50人 所以5
n 5012
⨯
= 所以n=120
点睛：分层抽样的实质为按比例抽，所以在计算时要算出各层所占比例再乘以样本容量即为该层所抽取的个数. 15．144 【解析】 【分析】
设小正方形的边长为，可表示出盒子的容积，利用导数求得其最大值
【详解】
设小正方形的边长为
则盒子的容积
当
时，
，当
时，
时，取得极大值，也是最大值，
故答案为
【点睛】
本题主要考查了导数在解决实际问题中的应用，考查了学生的阅读理解能力和利用数学知识解决问题的能力，属于基础题目． 16．40 【解析】 【分析】
将问题分成三步解决，首先将3,5排列，再将4,6插空排列，再根据已排好的位置将1,2整体插空放入，利用分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】
第一步：将3,5进行排列，共有2
2
2A =种排法 第二步：将4,6插空排列，共有2
224A =种排法
第三步：将1,2整体插空放入，共有1
55C =种排法
根据分步乘法计数原理可得共有：24540⨯⨯=种排法 本题正确结果：40 【点睛】
本题考查分步乘法计数原理的应用，关键是能够根据题意将问题拆分成几个步骤来进行处理，要注意不重不漏.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（1）分布列见解析，406EX α=-；（2）选择公路2运送啤酒有可能让啤酒厂获得的毛收入更多． 【解析】 【分析】
（1）若汽车走公路1，不堵车时啤酒厂获得的毛收人402240X =-+=（万元），堵车时啤酒厂获得的毛收入402434X =--=（万元），然后列出分布列和求出EX （2）当1
3α=时，由（1）知1406383
EX =-⨯=（万元），然后求出EY ，比较二者的大小即可得出结论. 【详解】
解：（1）若汽车走公路1，
不堵车时啤酒厂获得的毛收人402240X =-+=（万元），
堵车时啤酒厂获得的毛收入402434X =--=（万元），
所以汽车走公路1时啤酒厂获得的毛收入X 的分布列为
∴401344(06)EX ααα=-+=-．
（2）当13α=
时，由（1）知1406383EX =-⨯=（万元）， 当14
β=时，设汽车走公路2时啤酒厂获得的毛收入为Y ，则 不堵车时啤酒厂获得的毛收入4013Y =-=9（万元），
堵车时啤酒厂获得的毛收入401237Y =--=（万元），
∴汽车走公路2时啤酒厂获得的毛收入Y 的分布列为
∴393738.544
EY =⨯+⨯=（万元）， 由EX EY <得选择公路2运送啤酒有可能让啤酒厂获得的毛收入更多．
【点睛】
本题考查的是随机变量的分布列和期望，较简单，属于基础题；由于文字太多，解答本题的关键是读懂题意.
18．（1）2a ，23a +；（2）()g x 的减区间为(),2-∞-和()2,+∞；增区间为()2,2-.
【解析】
分析：（1）求函数的导数，利用已知条件和导数的几何意义，即可用a 分别表示b 和c ；
（2）当bc 取得最小值时，求得a ，b 和c 的值.写出函数()g x 的解析式，根据求导法则求出()'g x ，令()'g x =0求出x 的值，分区间讨论()'g x 的正负，即可得到函数()g x 的单调区间.
详解：解：（1）因为()2
f x ax bx c =++，所以()2f x ax b ='+ 又因为曲线()y f x =通过点()023a +，
, 故()023f a =+，而()0f c =，从而23c a =+.
又曲线()y f x =在()()
11f --，处的切线垂直于y 轴，
故()10f '-=，即20a b -+=，因此2b a =.
（2）由（1）得()2
39223444bc a a a ⎛⎫=+=+- ⎪⎝
⎭， 故当34a =-时，bc 取得最小值94
-. 此时有33,22
b c =-=. 从而()2333422f x x x =--+，()3322f x x =-'-， ()()23334
22x x g x f x e x x e --⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭， 所以()()()()
23(44x x g x f x f x e x e --=-'-'=-. 令()0g x '=，解得122,2x x =-=.
当(),2x ∈-∞-时，()0g x '<，故()g x 在(),2x ∈-∞-上为减函数；
当()2,2x ∈-时，()0g x '>，故()g x 在()2,2x ∈-上为增函数.
当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，故()g x 在()2,x ∈+∞上为减函数.
由此可见，函数()g x 的单调递减区间为(),2-∞-和()2,+∞；单调递增区间为()2,2-.
点睛：本题考查导数的几何意义，利用函数的导数研究函数的单调性，以及二次函数的最值问题，做题时要注意函数的求导法则的正确运用.
19．（1）31629(0)2y x x a x ⎛⎫=-+<≤ ⎪⎝⎭
（2）当4a ≥时，利润最大值为17万元，当4a <时，最大利润316292a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
万元 【解析】
【分析】
（1）利润为单价乘以产品件数减去促销费用再减去投入成本；
（2）可有对勾函数的的单调性求得最大值．
【详解】
（1）3014612y m x m m m ⎛⎫ ⎪⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭
， 将24
x m +=代入
2123064x y x x x +⎛⎫=++--- ⎪⎝
⎭ 1432642x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ 324292x x
=-- 31629(0)2x x a x ⎛⎫=-+<≤ ⎪⎝⎭
（2）令16()g x x x
=+，()g x 在(0,4)单减，(4,)+∞单增 min ()(4)8g x g ∴==
∴当4a ≥时，利润最大值为17万元
当4a <时，最大利润316292a a ⎛⎫-
+ ⎪⎝⎭万元 【点睛】
本题考查函数的应用，解题关键是确定关系式求得函数解析式，然后通过函数解析式求得最值等．
20．（1）3C π=
;（2）b =【解析】
分析：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得， sinBcosC ，进而利用同角三角函数基本关系式可求
C 的值；（Ⅱ） 由（Ⅰ）利用余弦定理可求a 2+b 2﹣c 2=ab ，又a 2﹣c 2=2b 2，可得a=3b ，利用三角形面积公式即可解得b 的值．
详解：
(1)Q 由已知及正弦定理可得，sinCsinB =，
sinB 0≠Q ，
tanC ∴=，πC .3
∴= (2) 由(1)可得，222a b c 1cosC 2ab 2
+-==， 222a b c ab ∴+-=，
又222a c 2b -=Q ，
a 3
b ∴=，
∴
由题意可知，2ABC 1S absinC b 24
===V
2b 28∴=
，可得：b =
点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
21． (1) 2a =,(2) 23k >
. 【解析】
试题分析：（1）通过讨论a 的范围，求出不等式的解集，根据对应关系求出a 的值即可；
（2）根据不等式的性质求出最小值，得到关于k 的不等式，解出即可．
解析：（1）由13ax -≤，得313ax -≤-≤，即24ax -≤≤，
当0a >时，42a x a
-≤≤， 所以2142a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，解得2a =； 当0a <时，42x a a
≤≤-， 所以1241a a
⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩无解. 所以2a =.
(2)因为()()
2121
33f x f x x x +--++= ()
2121233
x x --+≥=， 所以要使()()
3f x f x k +-<存在实数解，
只需23k >，所以实数k 的取值范围是2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
. 点睛：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，以及函数恒成立求参的方法． 22．（1）见解析（2）有90%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”（3）
23
【解析】
分析：（1）由题意，补全列联表。

（2）由列联表，根据()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=
++++求得2100 3.03033
K =≈，结合临界值表即可判断把握性。

（3）根据独立事件的概率，求得3人中至少有2人关注此事的概率即可。

详解：（1）根据已知数据得到如下列联表
（2）根据列联表中的数据，得到2K 的观测值
()
21004515103055457525k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 100 3.030 2.70633
=≈>. 所以有90%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”.
（3）抽取的3人中至少有2人对此事关注的概率为32166431023
C C C C +=. 所以，至少有2人对此事关注的概率为23
. 点睛：本题综合考查了列联表及其独立性检验中2K 的求法，并根据临界值表对所得结果进行判断；根据事件的独立性，求得相应的概率，考查知识点多，总体难度不大，属于简单题。