(名师对话)2019届高三数学(文)一轮复习-第四章 三角函数 解三角形 课时跟踪训练22

课时跟踪训练(二十二)
[基础巩固]
一、选择题
1．(2018·湖南张家界一中月考)为了得到f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫3x －π3的图象，只需将
g (x )＝2sin x 的图象( )
A ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象向右平移π
9个单
位长度
B ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象向右平移π3个单
位长度
C ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1
3，再将所得图象向右平移π
3个单位长
度
D ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1
3，再将所得图象向右平移π
9个单位长度
[解析] 将g (x )＝2sin x 的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1
3，得y
＝2sin3x 的图象；再将所得图象向右平移π
9个单位长度，得f (x )＝2sin3⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫x －π9＝
2sin ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫3x －π3的图象．故选D.
[答案] D
2．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫其中ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，
且f (0)＝
3，则( )
A ．ω＝12，φ＝π
6
B ．ω＝12，φ＝π
3
C ．ω＝2，φ＝π
6
D ．ω＝2，φ＝π
3
[解析] 由T ＝2π
ω
＝π，∴ω＝2.由f (0)＝
3⇒2sin φ＝3，
∴sin φ＝32，又|φ|<π2，∴φ＝π
3.
[答案] D
3．(2018·河南平顶山模拟)为得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫x ＋π3的图象，只需将函数y
＝sin x 的图象( )
A ．向左平移π
6
个长度单位
B ．向右平移π
6个长度单位
C ．向左平移5π
6个长度单位
D ．向右平移5π
6
个长度单位
[解析] 因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫x ＋5π6.故其图象可以看
作函数y ＝sin x 的图象向左平移5π
6
个长度单位而得到．
[答案] C
4．为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )
A ．98π B.1972
π C.1992
π
D ．100π
[解析] 设函数的最小正周期为T ，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫49＋14T ≤1，即1974×2πω≤1，∴
ω≥197π
2
.
[答案] B
5．将函数y ＝sin2x ＋
3cos2x 的图象沿x 轴向左平移φ个单位长度后，
得到一个偶函数的图象，则|φ|的最小值为( )
A.π
12
B.π6
C.π
4
D.5π12
[解析] 函数y ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫2x ＋π3，
将函数y ＝sin2x ＋
3cos2x 的图象沿x 轴向左平移φ个单位长度，得到函
数y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫2x ＋2φ＋π3的图象，函数是偶函数．
令2φ＋π
3＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π2＋π
12
(k ∈Z )．
当k ＝0时，φ＝π
12
.此时|φ|最小．故选A.
[答案] A
6．如图，某地一天从6～14时的温度(单位：℃)变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0,0<φ<π)，则中午12时最接近的温度为( )
A ．26℃
B ．27℃
C ．28℃
D ．29℃
[解析] 由图象，得A ＝30－102＝10，b ＝30＋10
2＝20，最小正周期T ＝2×(14
－6)＝16，得ω＝2πT ＝π8，即y ＝10sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫π8x ＋φ＋20.
把(10,20)代入函数式，得sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫5π4＋φ＝0，由五点法作图，知φ＝3π4，即函
数解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫π8
x ＋3π4＋20.
当x ＝12时，y ＝10sin π
4＋20≈27，故选B.
[答案] B 二、填空题
7．若函数f (x )＝
3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＝________.
[解析] 由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π2，得ω＝4.所以f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎪
⎫π3＝
3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫
4×π3－π3＝0.
[答案] 0
8．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，
若x ∈⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤0，π2，则f (x )的值域是________．
[解析] f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －2π3，
易知ω＝2，则f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫2x －π6，
∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，
∴－3
2
≤f (x )≤3.
[答案] ⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤－32，3
9. (2017·湖南永州二模)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图
象如图所示，则f (x )的单调递增区间是________．
[解析] 由函数f (x )的图象，得3
4T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π3＝3π
4，∴T ＝2πω
＝π，∴ω＝2.
又∵函数f (x )的图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫5π12，2，
∴2＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
2×5π12＋φ，
∴5π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π－π
3
，k ∈Z . 又∵－π
2<φ<π
2，∴φ＝－π
3，
∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3.
由2k π－
π2≤2x －
π3≤2k π＋
π2
，k ∈Z ，解得f (x )的单调增区间是
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤k π－π12，5π12＋k π，k ∈Z . [答案] ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤k π－π12，5π12＋k π，k ∈Z
三、解答题
10．(2017·郴州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象；
(2)函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？
[解] (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫ωx ＋π3，
因为T ＝π，所以2π
ω
＝π，即ω＝2，
故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫2x ＋π3.
列表如下：
y ＝f (x )在[0，π]上的图象如图所示．
(2)将y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π
3个单位长度，
得到函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫x ＋π3的图象．
再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，
得到函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫2x ＋π3(x ∈R )的图象．
[能力提升]
11. (2017·贵州省贵阳市高三监测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
π2的值为( )
A ．2
2 B.
2
C ．－22
D ．－24
[解析] 依题意得f ′(x )＝Aωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象可知，T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A ＝12.因为0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，
且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，解得φ＝π4，故f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫2x ＋π4，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝12sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫π＋π4＝－12×22＝－24，故选D.
[答案] D
12. (2017·云南省高三统一检测)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫ω>0，|φ|<π2的部分
图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为( )
A ．(－1＋4k π，1＋4k π)，k ∈Z
B ．(－3＋8k π，1＋8k π)，k ∈Z
C ．(－1＋4k,1＋4k )，k ∈Z
D ．(－3＋8k,1＋8k )，k ∈Z
[解析] 由题图知，T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝2πT ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫π4x ＋φ.
把(1,1)代入，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，
所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫π4x ＋π4.由2k π－π2≤π4x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得8k －3≤x ≤8k ＋1(k ∈
Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为(8k －3,8k ＋1)(k ∈Z )，故选D.
[答案] D
13．已知角φ的终边经过点P (－4,3)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π
2，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
π4的值为________．
[解析] 由角φ的终边经过点P (－4,3)，可得cos φ＝－4
5，sin φ＝3
5
.根据函
数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得周期
为2πω＝2×π2，解得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫π2＋φ＝cos φ＝－45. [答案] －4
5
14．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π
4
个单位长度，所得图象
经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是________． [解析] 将函数y ＝sin ωx 向右平移π4个单位可得解析式为y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫ωx －ωπ4，当x ＝3π4时，y ＝0，代入令3π4ω－π4
ω＝k π⇒ω＝2k ，又因为ω>0，所以k ＝1时，得ω取得最小值为2.
[答案] 2
15．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．
(1)求f (x )的最小正周期及解析式；
(2)设g (x )＝f (x )－cos2x ，讨论函数g (x )在区间⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的单调性． [解] (1)由题图可知A ＝1，12×2πω＝2π3－π6
，故ω＝2， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2πω
＝π. 当x ＝π6时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2×π6＋φ＝1，因为|φ|<π2，所以φ＝π6.
所以f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6－cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6，令z ＝2x －π6，函数y ＝sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π
2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3
＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，B ＝x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 易知A ∩B ＝⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3. 所以当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2时，f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤π3，π2上单调递减．
16．设函数f (x )＝12sin2x ＋36
cos2x . (1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程；
(2)将函数f (x )的图象向右平移π3
个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－π6，π3上的值域． [解] f (x )＝12sin2x ＋36cos2x ＝3
3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6. (1)f (x )的最小正周期T ＝π，
令2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π6，k ∈Z . ∴函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π6
，k ∈Z . (2)由题意得，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π3＝33sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x －π2 ＝－3
3cos2x .
∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π3，∴2x ∈⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－π3，23π， ∴cos2x ∈⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－12，1， ∴g (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π3上的值域为⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－33，36. [延伸拓展]
函数f (x )是R 上的增函数，且f (sin ω)＋f (－cos ω)>f (－sin ω)＋f (cos ω)，
其中ω为锐角，并且使得函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是__________．
[解析] 由函数f (x )是R 上的增函数，且f (sin ω)＋f (－cos ω)>f (－sin ω)＋
f (cos ω)，得sin ω>cos ω.又ω为锐角，所以ω∈⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫π4，π2.因为ωx ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πω2＋π4，ωπ＋π4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πω2＋π4，ωπ＋π4⊆⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，3π2，所以ω∈⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12，54，综上可
得ω的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎥⎤π4，54. [答案] ⎝ ⎛⎦
⎥⎥⎤π4，54。