高考数学二轮复习三角函数与解三角形多选题知识归纳总结含答案

高考数学二轮复习三角函数与解三角形多选题知识归纳总结含答案
一、三角函数与解三角形多选题
1．如图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =，且
()3cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，则下列说法
正确的是（ ）
A ．ABC 是等边三角形
B ．若23A
C =A ，B ，C ，
D 四点共圆 C ．四边形ABCD 面积最大值为53
32+ D ．四边形ABCD 面积最小值为53
32
- 【答案】AC 【分析】
利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sin B ，再利用a b =，可知ABC 为等边三角形，从而判断A ；利用四点A ，B ，C ，D 共圆，四边形对角互补，从而判断B ；设
AC x =，0x >，在ADC 中，由余弦定理可得2106cos x D =-，利用三角形的面积公
式，三角函数恒等变换的，可求ABCD S 四边形，利用正弦函数的性质，求出最值，判断
CD ．
【详解】
由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===， 3(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅，
332sin ,sin B B =∴=
， a b =，B 是等腰ABC 的底角，(0,
)2
B π
∴∈，
,3
B AB
C π
∴=
∴△是等边三角形，A 正确；
B 不正确：若,,,A B
C
D 四点共圆，则四边形对角互补， 由A 正确知21,cos 32
D D π∠=
=-， 但由于1,3,3DC DA AC ===
22211
cos 232
DC DA AC D DA DC +-===-≠-⋅⋅，
∴B 不正确． C 正确，D 不正确：
设D θ∠=，则2222cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-，
(106cos )cos 422
ABC S θθ∴=
⋅-=-△， 3
sin 2
ADC S θ=
△，
3sin 2ABC
ADC
ABCD S S S
θθ∴=+=
-+
四边形
13(sin cos 2θθ=⋅
-+
，
3sin()3
π
θ=-
+
(0,),sin()(3
πθπθ∈∴-∈，
3ABCD S <≤
+四边形，∴C 正确，D 不正确； 故选：AC.． 【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
2．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ） A ．AB AC →
→
⋅为定值
B ．2210A
C AB += C ．
co 4
15
s A << D ．BAD ∠的最大值为30
【答案】ABD 【分析】
A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，
B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，
C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，
D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】 对于A ，
2
2
413AB AC AD DB AD DB AD DB →
→
→→→→→→
⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→
∴⋅为定
值，A 正确；
对于B ，
cos cos ADC ADB
∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠
2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；
对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242
122b c bc cosA bc bc bc
+--=≥=-（当且仅当
b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，
22cos cos 1133cos A
A A
∴≥-
=-， 解得3
cos 5
A ≥
，故C 错误； 对于D
，2222213cos 44c c BAD c c +-+∠==≥=
（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠， 所以(0,)2
BAD π
∠∈
，又cos BAD ∠≥
BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.
3．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2
ϕπ
<
），08f π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，3()8f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（ ）
A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数
B ．3(0)4
f f π
⎛⎫=
⎪⎝⎭
C ．ω是奇数
D ．ω的最大值为3
【答案】BCD 【分析】 根据3()8f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
得到21k ω=+，根据单调区间得到3ω≤，得到1ω=或3ω=，故CD 正确，代入验证知()f x 不可能为偶函数，A 错误，计算得到B 正确，得到答案. 【详解】
08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ，
故221
T k π
=
+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫
=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，
k Z ∈，
当,1224x ππ⎛⎫∈-
⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫
+∈++ ⎪⎝⎭
，k Z ∈，
()f x 在区间,1224ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，
024
3
ωπ
π
<
≤
，故
6
2
ωπ
π
≤
，故3ω≤，
综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；
1ω=或3ω=，故8
k ϕπ
π=
+或38
k ϕπ
π=
+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误；
当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+
⎪⎝⎭
，33sin sin 4488f k k π
πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
； 当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫
==+
⎪⎝⎭， 393sin sin 4
488f k k π
πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4
f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 综上所述：3(0)4
f f π
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，B 正确； 故选：BCD. 【点睛】
本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
4．已知2
π
-
＜θ2
π
＜
，且sin θ+cos θ＝a ，其中a ∈（0，1），则关于tan θ的值，在以下
四个答案中，可能正确的是（ ） A ．﹣3 B ．
13
C ．13
-
D ．12
-
【答案】CD 【分析】
先由已知条件判断cos 0θ>，sin 0θ<，得到sin 1tan 0cos θ
θθ
-<=<，对照四个选项得到正确答案. 【详解】
∵sin θ+cos θ＝a ，其中a ∈（0，1），
∴两边平方得：1+22
sin cos =a θθ，∴21
sin cos =02
a θθ-<，
∵2
2π
π
θ-
<
＜，∴可得cos 0θ>，sin 0θ<，
∴sin tan 0cos θ
θθ
=
<， 又sin θ+cos θ＝a 0>，所以cos θ＞﹣sin θ，所以sin tan 1cos θ
θθ
=
>- 所以sin 1tan 0cos θ
θθ
-<=
<， 所以tan θ的值可能是1
3-，12
-．
故选：CD 【点睛】
关键点点睛：求出tan θ的取值范围是本题解题关键．
5．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，下列叙述正确的是（ ） A ．若sin sin a b
B A
=，则ABC 为等腰三角形 B ．若
cos cos a b
B A
=，则ABC 为等腰三角形 C ．若tan A tan tan 0B C ++<，则ABC 为钝角三角形 D ．若sin cos a b C c B =+，则4
C π
∠=
【答案】ACD 【分析】
多项选择题，一个一个选项验证：
对于A ：利用正弦定理判断sin sin A B =，在三角形中只能A=B ,即可判断； 对于B ：∵由正弦定理得 sin 2sin 2A B =，可以判断∴ABC 为等腰三角形或直角三角
形；
对于C ：利用三角函数化简得
tan A tan tan B C ++sin sin sin =
cos cos cos A B C
A B C
，利用sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>>判断
cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，即可判断；
对于D ：利用正弦定理判断得cos sin C C =求出角C . 【详解】
对于A ：∵由正弦定理得：sin sin a b
A B
=，而sin sin a b B A =，∴sin sin A B =， ∵A+B+C=π，∴只能A=B ,即ABC 为等腰三角形，故A 正确；
对于B ：∵由正弦定理得：sin sin a b
A B
=， ∴若
cos cos a b
B A
=可化为sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =， ∴22A B =或22A B π+=
∴
ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误； 对于C ：∵A+B+C=π，
∴()()()()sin sin sin cos cos cos A B C C A B C C ππ+=-=+=-=，
， ∴tan A tan tan B C ++
sin sin sin =cos cos cos A B C
A B C
++ sin cos sin cos sin =cos cos cos A B B A C
A B C ++
sin sin =
cos cos cos C C
A B C
+
11=sin cos cos cos C A B C ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
cos cos cos =sin cos cos cos C A B C A B C +⎛⎫ ⎪⎝⎭ sin sin sin =
cos cos cos A B C
A B C
.
∵tan A tan tan 0B C ++<而sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>> ∴cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，
∴
ABC 为钝角三角形. 故C 正确；
对于D ：∵sin cos a b C c B =+，
∴由正弦定理得：sin sin sin sin cos A B A C B =+, 即sin cos sin cos sin sin sin cos B C C B B C C B +=+ ∴cos sin C C = ∵()0,C π∈∴4
C π
.
故D 正确. 故选：ACD 【点睛】
在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．
6．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+<<< ⎪⎝
⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成
立，3y f x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的最小正周期为π C ．函数()f x 的图象关于直线2
x π=
对称
D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
Z 【答案】BD 【分析】
由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππ
ϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭为奇函数可得
()3
k k ωπ
ϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】
因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫
=+=± ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
， 即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±
⎪⎝⎭
，得()122k k ωππ
ϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭为奇函数，
所以
()3
k k ωπ
ϕπ''+=∈Z ②.
由①②可得
()(),3
12
2
k k k k ωπ
ωπ
π
π''-
=--
∈Z ，
即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=， 则(2,)3
3
k k k k π
π
ϕππ=+
=-
'∈'Z ，得3πϕ=，
所以2n 2)3(si f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，
由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确；
()f x 的最小正周期22
T π
π=
=，所以B 正确；
2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，所以C 不正确；
令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，k ∈Z ，得51212
k x k ππ
ππ-
≤≤+，k ∈Z ， 故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】
关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
恒成立”得到“
212f π⎛⎫
=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
”
后，能根据“3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπ
ϕπ''+=∈Z ”.
7．将函数()2πsin 23f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π
6
个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A ．π4g ⎛⎫
= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在π0,4
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增
D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上的值域是22⎡-⎢⎣⎦
【答案】BC 【分析】
首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，再根据选项，整体代入，判断函数的性质. 【详解】
()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
1sin 462
g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；
0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，
故C 正确；,63x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小
值-1，当233x ππ
-=⎡-⎢⎣⎦
.
故选：BC 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.
8．已知函数()1
cos cos 632
f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下说法中正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减
C ．51,62π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的一个对称中心 D ．()f x 的最大值为
12
【答案】ABC 【分析】
利用三角恒等变换思想化简()11
sin 2232
f x x π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断C 选项的正误，利用正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】
cos cos sin 326
6x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，
()1111cos cos cos sin sin 2632662232f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭.
对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为22
T π
π==，A 选项正确； 对于B 选项，当7,1212x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，32232x πππ≤+≤，
此时，函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，
5151111sin 2sin 26
2632222f π
πππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以，51,62π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的一个对称中心，C 选项正确； 对于D 选项，()max 11
1122
f x =⨯+=，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成
()sin y A ωx φ=+形式，
再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．
9．设函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，2
π
ϕ<
），在
,62ππ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
上既无最大值，也无最小值，且()026f f f ππ⎛⎫⎛⎫
-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）
A ．若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R ，则21min x x π-=
B ．()y f x =的图象关于点,03π⎛-
⎫
⎪⎝⎭中心对称 C ．函数()f x 的单调减区间为()7,12
12k k k Z π
πππ⎡⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2
π
【答案】ABD 【分析】
根据条件先求函数的解析式，
对于A:判断出()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，即可； 对于B:根据函数的对称性进行判断；
对于C:求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断； 对于D:根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断. 【详解】 因为函数()f x 在,62ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上既无最大值，也无最小值，
所以,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数的一个单调区间，区间长度为263πππ-=， 即函数的周期2233T π
π≥⨯=，即223
ππω≥，则03ω<≤ 因为()06f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以06212
ππ+=为函数的一条对称轴； 则1223
πππωϕωϕπ+=+=①② 由①②解得：=2=3π
ωϕ，，即()sin 23f x A x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
，函数的周期=T π. 对于A: 若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R 恒成立，则()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，所以12||22T k x x k π-==,则21x x -必为2π的整数倍，故A 错误，可选A; 对于B:3
x π=-时，()sin 03f x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭不是()y f x =的对称中心，B 错误，可选B; 对于C:当7,1212x k k π
πππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦
时，322,2322x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，此时()y f x =单调递减，C 正确，不选C;
对于D: 函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是
44T π=,故D 错误，可选D
故选:ABD
【点睛】
（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②(2)求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；
（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.
10．在ABC 中，下列说法正确的是（ ）
A ．若A
B >，则sin sin A B >
B ．若2
C π
>，则222sin sin sin C A B >+
C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形
D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤
【答案】ABC
【分析】
根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD.
【详解】
A.
A B >，a b ∴>，根据正弦定理sin sin a b A B =，可知sin sin A B >，故A 正确； B.2C π>，222cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知222sin sin sin C A B >+，故B 正确；
C.当02A π<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭
，即22A B A B π
π
->⇒+<，即2C π
>，则ABC 为钝角三角形，若2A π
>，
sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝
⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当2A π
=是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，故C 正确；
D.A B A B ππ+<⇒<-，0,0A B πππ<<<-<，
()cos cos cos A B B π∴>-=-，
即cos cos 0A B +>，故D 不正确.
故选：ABC
【点睛】
关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.。