2018年湖南G10教育联盟4月高三联考数学(理)试题word版含解析
湖南省G10教育联盟2018届高三4月联考数学(理)试题Word版含解析
湖南G10教育联盟2018年4月高三联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，.............................. ∴故选：B2. 已知复数（是虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵=，∴，故选：A．3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD是边长为1的正方形，高为CC1=1，该几何体的所有顶点都是棱长为1的正方体的顶点，故几何体的外接球，即为棱长为1的正方体的外接球，故球的直径R满足：2R==，∴R=，∴球的表面积是4π×（）2=3π故选：C．点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．4. 天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为（）年A. 丙酉B. 戊申C. 己申D. 己酉【答案】D【解析】天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则80÷10=8，则2029的天干为己，80÷12=6余8，则2029的地支为酉，故选：D5. 下列说法正确的是（）A. “”是“”的充分不必要条件B. 命题“，”的否定是“，”C. 命题“若，则”的逆命题为真命题D. 命题“若，则或”为真命题【答案】D【解析】对于A，x=-1时，不能得出，∴充分性不成立，A错误；对于B，命题“∀x＞0，2x＞1”的否定是：“”，B错误；对于C，命题“若a≤b，则ac2≤bc2”的逆命题是：“若ac2≤bc2，则a≤b”是假命题，如c=0时，命题不成立；对于D，命题“若a+b≠5，则a≠2或b≠3”的逆否命题是：“若a=2且b=3，则a+b=5”是真命题，D正确．故选：D．6. 若的展开式中常数项为，则的值为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】∵（x+a）2=x2+2ax+a2∵展开式的通项为∴展开式的常数项为﹣C53+2aC54﹣a2∴﹣C53+2aC54﹣a2=﹣1解得a=1或9故选：D．7. 设函数，则下列命题正确的是（）A. 的图象关于直线对称B. 的图象关于点对称C. 的最小正周期为，且在上为增函数D. 把的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象【答案】C【解析】试题分析：函数的周期为，当时，，因此在上递增．故C正确．考点：函数的性质．8. 我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数）．若输出的结果为521，则由此可估计的近似值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】发生的概率为，当输出结果为时，，发生的概率为，所以，即故选B.9. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得，因为，则，所以函数表示以为周期的周期函数，又因为为奇函数，所以，所以，，，所以，故选B.10. 平行四边形中，，，，是平行四边形内一点，且，如，则的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】∵，∴==9x2+4y2+2xy×3×2×（﹣）=（3x+2y）2﹣3•3x•2y≥（3x+2y）2﹣×（3x+2y）2=×（3x+2y）2；又=1，即×（3x+2y）2≤1，所以3x+2y≤2，当且仅当3x=2y，即x=，y=时，3x+2y取得最大值2．故选：B．11. 已知、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF2|，即有+＞c2，∴＞3，即b2＞3a2，∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．则e=＞2．∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选：A．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）A. 3B. 1或3C. 4或6D. 3或4或6【答案】A【解析】在和上单增，上单减，又当时，时，故的图象大致为：令，则方程必有两个根，且，不仿设，当时，恰有，此时，有个根，，有个根，当时必有，此时无根，有个根，当时必有，此时有个根，，有个根，综上，对任意，方程均有个根，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，，分别是内角，，的对边，，，，则__________．【答案】【解析】∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，∴sinC=，∴故答案为：14. 过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，若，则__________．【答案】【解析】试题分析：设点A在第一象限，根据焦半径公式,所以,,所以直线的斜率为，所以直线方程设为，与抛物线方程联立整理为，,所以,那么,故填：.考点：直线与抛物线的位置关系15. 已知约束条件表示的可行域为，其中，点，点，若与的最小值相等，则实数等于__________．【答案】2【解析】先根据约束条件画出可行域，设z1==，将z1的值转化可行域内的Q点与点P（0，﹣1）连线的斜率的值，当Q点在可行域内的B（a，3﹣a）时，斜率最小，最小值为=，设z2=3x﹣y，当z2=3x﹣y过点A（1，2）时3x0﹣y0的值最小，最小值为3×1﹣2=1，∵3x0﹣y0与的最小值相等，∴=1，解得a=2，故答案为：2点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16. 已知，则__________．【答案】【解析】：cos（+α）=3sin（α+），∴﹣sinα=﹣3sin（α+），∴sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=；又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（+α）===2﹣4．故答案为：2﹣4．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设是数列的前项和，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由的关系明确数列的通项公式；（2），利用并项法求出数列的前项和．试题解析：（1）∵，，∴当时，，得；当时，，∴当时，，即，又，∴是以为首项，为公比的等比数列．∴数列的通项公式为．（2）由（1）知，，，当为偶数时，；当为奇数时，，∴18. 某校高三年级有1000人，某次数学考试不同成绩段的人数．（1）求该校此次数学考试平均成绩；（2）计算得分超过141的人数；（3）甲同学每次数学考试进入年级前100名的概率是，若本学期有4次考试，表示进入前100名的次数，写出的分布列，并求期望与方差．【答案】（1）23；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩；（2），141分以上的人数为；（3）的取值范围为0,1,2,3,4，求出相应的概率值，得到分布列及期望与方差．试题解析：（1）由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩.（2），故141分以上的人数为人．（3）的取值范围为0,1,2,3,4，，，，，，故的分布列为：期望，方差．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.19. 已知在直角梯形中，，，，将沿起至，使二面角为直角．（1）求证：平面平面；（2）若点满足，，当二面角为时，求的值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）要证平面平面，转证平面即可；（2）建立空间直角坐标系计算平面的法向量，利用二面角为45°建立等量关系求出的值.试题解析：(1)梯形中，∵∴.又∵,∴,∴.∴.折起后，∵二面角为直角，∴平面平面.又平面平面,∴平面.又平面，∴.又∵,∴平面.又∵平面，∴平面平面.(2)由(1)知，平面，∴以为原点，方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则,设，由,得，得.取线段的中点，连结，则,∵,∴.又∵,∴平面.∴平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则取，则.∴，即或.∵，∴.20. 已知椭圆：的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若圆：的切线与曲线相交于、两点，线段的中点为，求的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析:(1)待定系数法求椭圆方程;(2)借助韦达定理表示的最大值,利用二次函数求最值.试题解析:（I），所以,又，解得．所以椭圆的标准方程．（II）设，，，易知直线的斜率不为，则设．因为与圆相切，则，即；由消去，得，则，，，，即，，设，则，，当时等号成立，所以的最大值等于．21. ，，．（1）证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切；（2）若不等式有且只有两个整数解，求的范围．【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，设切点为（x0，y0），得到+x0﹣2=0．设h（x）=e x+x﹣2，根据函数的单调性求出x0的值，判断结论即可；（2）根据a（x﹣）＜1，令，根据函数的单调性求出的最小值，通过讨论a的范围，求出满足条件的a的范围即可．试题解析：（1）设切点为，则，，①和相切，则，，②所以，即，令，，所以单增，又因为，，所以，存在唯一实数，使得，且，所以只存在唯一实数，使①②成立，即存在唯一实数使得和相切．（2）令，则，所以，令，则，由（Ⅰ）可知，在上单减，在单增，且，故当时，，当时，．当时，因为要求整数解，所以在时，，所以有无穷多整数解，舍去；当时，，又，，所以两个整数解为0,1，即所以，即；当时，，因为，在内大于或等于1，所以无整数解，舍去．综上，．22. 在直角坐标系中，直线（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的直角坐标方程；（2）已知点，直线与曲线相交于点、，求的值；【答案】（1）；（2）4【解析】试题分析：（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出曲线C的直角坐标方程即可；（2）先把直线方程化为标准形式，然后将直线l的方程带入曲线C的方程，借助韦达定理及t的几何意义求出+的值即可．试题解析：（1），即，即．（2）因为直线的参数方程为标准形式：（为参数），代入曲线的方程得，则．23. 已知函数，．（1）解不等式；（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】试题分析：（1），得，进而得解；（2）由题意知，分别求值域即可.试题解析：（Ⅰ）由，得（Ⅱ）由题意知又所以或。
湖南江西十四校2018届高三4月联考数学(理)
湖南江西2018届高三十四校联考第一次考试数学（理科）一、选择题1.已知复数z 满足()234i z i -=-+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i -+ B ．2i - C ．2i + D ．2i --2.已知全集为R ，集合{}21xA x =≥，{}2320B x x x =-+<，则RAB =（ ）A ．{}0x x ≤ B ．{}012x x x ≤≤≥或 C ．{}12x x << D ．{}012x x x ≤<>或 3.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”“0”“1”“8”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ） A ．23 B ．12 C ．13 D ．144.若双曲线22131x y m m +=--的焦距为4，则m 等于（ ） A ．0或4 B ．4 C.12- D ．05.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若945S =，3812a a +=，则7a 等于（ ） A ．10 B ．9 C.8 D ．76.执行如图所示的程序框图，则其输出的结果是（ ）A ．2047B ．1025 C.1023 D ．5117.已知函数()f x 为偶函数，当[]1,1x ∈-时，()21f x x =-()1f x +为奇函数，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．12 B ．12- C.32- D ．328.已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．38cm 3B ．34cm C.320cm 3 D ．316cm 39.若01a b <<<，b m a =，an b =，log b p a =，则m ，n ，p 这三个数的大小关系正确的是（ ）A ．n m p <<B ．m n p << C.p m n << D ．p n m <<10.函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，已知12,,2x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12f x f x =，则()12f x x +等于（ ）A ．1-B ．2- C.1 D ．211.若对于函数()()2ln 1f x x x =++图象上任意一点处的切线1l ，在函数()sin cos g x a x x x =-的图象上总存在一条切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为A ．21,12⎤⎥⎣⎦B ．1212⎡-⎢⎣⎦， C.122122⎛⎡⎤--∞+∞ ⎢⎥ ⎝⎦⎣⎦，，D ．(][),11,-∞-+∞12.如图，已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，连接NO ，MO 并延长分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，OMN △与OAB △的面积分别记为OMN S △，OAB S △.则在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①若记直线NO ，MO 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k 的大小是定值为14-； ②OAB △的面积OAB S △是定值1；③线段OA 、OB 长度的平方和22OA OB +是定值5； ④设OMNOABS S λ=△△，则2λ≥. A ．4个 B ．3个 C.2个 D ．1个 二、填空题13.已知向量()1,2m =-，(),4n x =，若m n ⊥，则2m n += ．14.已知a 为常数，且102a xdx =⎰，则6a x ⎫⎪⎭的二项展开式中的常数项为 ．15.已知x ，y 满足约束条件2010x y x x y k -+≥⎧⎪≤⎨⎪++≥⎩，则3z x y =+的最大值是最小值的2-倍，则k = ．16.已知数列{}n a 满足：13a =，()()12312nn n a a n -=--≥.设{}tk a 是等差数列，数列{}()t k t N *∈是各项均为正整数的递增数列，若11k =，则32k k -= ．三、解答题17.设函数())1sin sin 2f x xx x =+-.（Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若()1f B =，2b =，且()()2cos cos 1b A a B -=+，求ABC △的面积.18.某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：x1 2 3 4 5 67 y58810141517（Ⅰ）经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系.请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（Ⅱ）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为16，获得“二等奖”的概率为13.现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额X 的分布列及数学期望.参考公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-，71364i ii x y==∑.19. 如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AD DC CB ===，60ABC ∠=，ACEF ABCD ⊥平面平面，四边形ACEF 是菱形，60CAF ∠=.（Ⅰ）求证：BF AE ⊥；（Ⅱ）求二面角B EF D --的平面角的正切值.20. 已知椭圆()222210x y E a b a b +=>>： 上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的3倍，且点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点()11M ，任作一条直线l ，l 与椭圆E 交于不同于P 点的A 、B 两点，l 与直线:34120m x y +-=交于C 点，记直线PA 、PB 、PC 的斜率分别为1k 、2k 、3k .试探究12k k +与3k 的关系，并证明你的结论.21. 已知函数()()ln xe f x a x x x=+-（其中a R ∈且a 为常数，e 为自然对数的底数，2.71828e =）.（Ⅰ）若函数()f x 的极值点只有一个，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当0a =时，若()f x kx m ≤+（其中0m >）恒成立，求()1k m +的最小值()h m 的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为2344x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为21sin ρθ=-.（Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设1M 为曲线1C 上的点，2M 为曲线2C 上的点，求12M M 的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =--+.（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤.湖南江西2018届高三十四校联考第一次考试数学（理科）答案一、选择题1-5:DBDAB 6-10:ACDBC 11、12：DA 二、填空题13.10 14.15 15.1 16.1 三、解答题17.【解析】（Ⅰ）函数的解析式可化为：()1cos 21222x f x x -=+-12cos 2sin 226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 由22226263k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇒-≤≤+，得函数()f x 的递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）因为()1f B =，即sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22623B k B k πππππ-=+⇒=+， 因为B 是三角形的内角，所以3B π=，又因为()()2cos cos 1b A a B -=+，由正弦定理得()()sin 2cos sin cos 1B A A B -=+， 所以()2sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin B A A B A B A A B A C =++=++=+， 所以2b a c =+， 因为2b =，3B π=，由余弦定理得()22222234b a c ac b a c ac ac b =+-⇒=+-⇒==.所以，113sin 4sin 23223S ac B π====，故ABC △18.【解析】（Ⅰ）依题意：()1123456747x =++++++=， ()158810141517117y =++++++=，721140i i x ==∑，71364i i i x y ==∑，7172217364741121407167i ii ii x y x yb xx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，11243a y bx =-=-⨯=，则y 关于x 的线性回归方程为23y x =+.（Ⅱ）二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：()1110224P X ==⨯=，()1113002233P X ==⨯⨯=，()111156002332618P X ==⨯+⨯⨯=，()1119002369P X ==⨯⨯=，()11112006636P X ==⨯=. 所以，总金额X 的分布列如下表：总金额X 的数学期望为030060090012004004318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元.19.【解析】（Ⅰ）依题意，在等腰梯形ABCD 中，AC =4AB =， ∵2BC =，∴222AC BC AB +=即BC AC ⊥，∵ACEF ABCD ⊥平面平面，∴BC ACEF ⊥平面，而AE ACEF ⊆平面，∴AE BC ⊥. 连接CF ，∵四边形ACEF 是菱形，∴AE FC ⊥， ∴AE BCF ⊥平面，∵BF BCF ⊆平面，∴BF AE ⊥.（Ⅱ）取EF 的中点M ，连接MC ，因为四边形ACEF是菱形，且60CAF ∠=. 所以由平面几何易知MC AC ⊥，∵ACEF ABCD ⊥平面平面，∴MC ABCD ⊥平面. 故此可以CA 、CB 、CM 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：()000C ，，，()0A ,，()020B ，，，)10D-,，()3E ,，)3F,.设平面BEF 和平面DEF 的法向量分别为()1111,,n a b c =，()2222,,n a b c =，∵()3,23BF =-，，()20EF =，.∴由111111111023002300BF n b c a b c EF n ⎧=-+==⎧⎪⇒⇒⎨⎨===⎩⎪⎪⎩⎩，令13b =，则()10,3,2n =，同理，求得()20,3,1n =-. ∴1212cos 130n n n n θ==B EF D --的平面角的正切值为97.20.【解析】（Ⅰ）因为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为a c +，a c -，所以依题意有：()32a c a c a c+=-⇒=，∵222a b c =+，∴b =.故可设椭圆E 的方程为：2222143x y c c+=，因为点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆E 上，所以将其代入椭圆E 的方程得2229141143c c c +=⇒=.∴椭圆E 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）依题意，直线l 不可能与x 轴垂直，故可设直线l 的方程为：()11y k x -=-即1y kx k =-+，()11,A x y ，()22,B x y 为l 与椭圆E 的两个交点.将1y kx k =-+代入方程2234120x y +-=化简得：()()22224384880kx k k x k k +--+--=.所以21228843k k x x k -+=+，212248843k k x x k --=+.()()1212121212123311111112222221111211y y k x k x k k k k x x x x x x ------⎛⎫∴+=+=+=-+=- ⎪------⎝⎭()()()()221222212128824321163221254888843k k k x x k k x x x x k k k k k --++--=-=-++----++.又由()134112034120y kx k x kx k x y =-+⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩ ，解得4843k x k +=+，9343k y k +=+， 即C 点的坐标为4893,4343k k C k k ++⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以3933634324810143k k k k k k +--+==+-+. 因此，12k k +与3k 的关系为：1232k k k +=.21.【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0+∞，，其导数为()()'211x e x x f x ax x--=-= ()21x x e x x a x e -⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由()'01f x x =⇒=或x xa e=， 设()x x u x e =，∵()'1x x u x e-=，∴当()0,1x ∈时，()'0u x >；当()1,x ∈+∞时，()'0u x <.即()u x 在区间()0,1上递增，在区间()1+∞，上递减，∴()()1=1u x u e=极大，又当0x →时，()0u x →，当x →+∞时，()0u x →且()0u x >恒成立.所以，当0a ≤或1a e >时，方程x xa e=无根，函数()f x 只有1x =一个极值点. 当1a e =时，方程x x a e =的根也为1x =，此时()'f x 的因式0x x a e-≥恒成立，故函数()f x 只有1x =一个极值点. 当10a e <<时，方程x xa e=有两个根1x 、2x 且()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，∴函数()f x 在区间()10,x 单调递减；()1,1x 单调递增；()21,x 单调递减；()2,x +∞单调递增，此时函数()f x 有1x 、1、2x 三个极值点. 综上所述，当0a ≤或1a e≥时，函数()f x 只有一个极值点. （Ⅱ）依题意得ln x x kx m -≤+，令()()ln 1x x k x m ϕ=-+-，则对()0,x ∀∈+∞，都有()0x ϕ≤成立.因为()()'11x k xϕ=-+，所以当10k +≤时，函数()x ϕ在()0,+∞上单调递增， 注意到()()10mmek eϕ=-+≥，∴若(),m x e ∈+∞，有()0x ϕ>成立，这与()0x ϕ≤恒成立矛盾；当10k +>时，因为()'x ϕ在()0,+∞上为减函数，且'101k ϕ⎛⎫=⎪+⎝⎭，所以函数()x ϕ在区间101k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，上单调递增，在1,1k ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭上单调递减，∴()()1ln 111x k m k ϕϕ⎛⎫≤=-+--⎪+⎝⎭， 若对()0,x ∀∈+∞，都有()0x ϕ≤成立，则只需()ln 110k m -+--≤成立，()1ln 111m k m k e --∴+≥--⇒+≥，当0m >时，则()1k m +的最小值()1mh m me --=，∵()()'11mh m em --=-，∴函数()h m 在()0,1上递增，在()1+∞，上递减，∴()21h m e ≤，即()1k m +的最小值()h m 的最大值为21e； 综上所述，()1k m +的最小值()h m 的最大值为21e.请考生在第（22）～（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【解析】（Ⅰ）∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩且222x y ρ=+，∴由21sin ρθ=-得sin 2sin 2ρρθρρθ-=⇒=+()222222sin 24444x y y y x y ρρθ⇒=+⇒+=++⇒=+，∴曲线2C 的直角坐标方程为244x y =+.（Ⅱ）设22,14x M x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线2C 上的任意一点， 由2344x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得2100x y --=，知曲线1C 为直线:2100l x y --=.设2M 到l 的距离为d，则()212145x M M d -+≥==≥当4x =取“=”）， 故12M M23.【解析】（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，只需()f x 的最大值()max 1f x m ≥-即可. 因为()()12123x x x x --+≤--+=，所以13m -≤，解得24m -≤≤， 所以实数m 的最大值4M =.（Ⅱ）根据（Ⅰ）知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313ab a b ++≥+， 所以，()2316a b +≤，因为a ，b 均为正实数，所以34a b +≤（当且仅当1a b ==时取“=”）.。
2018届高三4月联考数学试题(有答案,有附加题)
2018届高三联考数 学2018.04.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.若i z 231-=，)(12R a ai z ∈+=，21z z ⋅为实数，则=a _____.2.某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从中抽取40辆汽车进行测速分析,得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图,时速在h km /70以下的汽车有_____.3.已知命题411:＞a p ，01,:2＞++∈∀ax ax R x q ，则p 成立是q 成立的_____.（选“充分必要”，“充分不必要”，“既不充分也不必要”填空）.4.从甲、乙、丙、丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一个被选取的概率是_____.5.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____.6.设y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+-≥+-02023201y y x y x ，则y x z 43+-=的最大值是_____.7.若)(x f 是周期为2的奇函数，当)1,0(∈x 时，308)(2+-=x x x f ，则=)10(f _____.8.正方形铁片的边长为cm 8，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为4π的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积为____.9.已知函数)cos()(ϕω+=x A x f 的图象如图所示，32)2(-=πf ，则=)0(f ____.10.平面直角坐标系xOy 中，双曲线)0,0(1:22221＞＞b a by a x C =-的渐近线与抛物线)0(2:22＞p py x C =交于点B A O ,,,若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为____.11.已知点)2,1(),0,3(---B A ，若圆)0()2(222＞r r y x =+-上恰有两点N M ,，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是____.12.设E D ,分别为线段AC AB ,的中点,且0=⋅CD BE ,记α为AB 与AC 的夹角,则α2cos 的最小值为____.13.已知函数x a a x e e x x x x f --++--=4ln 32)(2，其中e 为自然对数的底数,若存在实数0x 使3)(0=x f 成立，则实数a 的值为____.14.若方程0|12|2=---t x x 有四个不同的实数根4321,,,x x x x ，且4321x x x x ＜＜＜，则)()(22314x x x x -+-的取值范围是____.二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知b c a 222=-，且C A C A sin cos 3cos sin =.（1）求b 的值； （2）若4π=B ，S 为ABC ∆的面积，求C A S cos cos 28+的取值范围.16.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 在棱BC 上，D C AD 1⊥,点F E ,分别是111,B A BB 的中点.（1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证:∥EF 平面1ADC .17.科学研究证实,二氧化碳等温空气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A 市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨,否则将采取紧急限排措施.已知A 市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少%10.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量m 万吨)0(＞m .（1）求A 市2019年的碳排放总量(用含m 的式子表示）； （2）若A 市永远不需要采取紧急限排措施,求m 的取值范围.18.已知椭圆)0(1:2222＞＞b a by a x C =+的左顶点，右焦点分别为F A ,，右准线为m .（1）若直线m 上不存在点Q ，使AFQ ∆为等腰三角形,求椭圆离心率的取值范围；（2）在(1)的条件下，当e 取最大值时，A 点坐标为)0,2(-，设N M B ,,是椭圆上的三点，且ON OM OB 5453+=,求:以线段MN 的中点为圆心,过F A ,两点的圆的方程.19.设函数x ax x f ln 121)(2--=，其中R a ∈. （1）若0=a ，求过点)1,0(-且与曲线)(x f y =相切的直线方程；（2）若函数)(x f 有两个零点21,x x . ①求a 的取值范围；②求证：0)()(21＜x f x f '+'.20.设+⊆N M ，正项数列}{n a 的前n 项的积为n T ，且M k ∈∀，当k n ＞时，k n k n k n T T T T =-+都成立.（1）若}1{=M ，31=a ，332=a ，求数列}{n a 的前n 项和； （2）若}4,3{=M ，21=a ，求数列}{n a 的通项公式.附加题21B .选修4-2：矩阵与变换(本题满分10分)已知矩阵1 1a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,A 的一个特征值2λ=，其对应的特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵A ； （2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l的方程．21C .选修4-4：坐标系与参数方程(本题满分10分)圆C ：2cos ρ=(4πθ-)，与极轴交于点A (异于极点O )，求直线CA 的极坐标方程.22.（本小题满分10分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数i,i,2,2,--其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ23．(本小题满分10分)已知数列{}n a 满足123012323C C C C 222n n n n na +++=++++…*C 2nn nn n ++∈N ，． （1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．联考数学试题Ⅰ一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．若132z i =-，21()z ai a R +∈=，12·z z 为实数，则a = ▲ ．232．某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取40辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70 km/h 以下的汽车有 ▲ 辆． 163．已知命题11:>4p a ，命题210q x R ax ax +∀∈+>：，，则p 成立是q 成立的 ▲ 条件（选“充分必要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”填空）． 充分不必要4．从甲、乙、丙、丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一个被选取的概率为▲ ．235．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ▲ ．456．设,x y 满足约束条件10232020x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩,则34z x y =-+的最大值是 ▲ ．57．已知()f x 是周期为2的奇函数且当()0,1x ∈时()2830f x x x =-+,则()10f= ▲ ．24- 8．正方形铁片的边长为8cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为4π的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积为▲ ．π79．已知函数()()f x Acos x ωϕ=＋的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f = ▲ ．2310．平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若O A B ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为▲ ．3211．已知点3,0()1),2(A B ---，，若圆()222(2)0x y r r +=->上恰有两点M N ，，使得MAB∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是 ▲ ．292(,)2212．设D ，E 分别为线段AB ，AC 的中点，且BE ―→·CD ―→＝0，记α为AB ―→与AC ―→的夹角，cos 2α 的最小值为 ▲ ．72513．已知函数2()23ln 4x aa x f x x x x ee --=--++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使0()3f x =成立，则实数a 的值为 ▲ ． 1ln 2-14. 若方程2|21|0x x t ---=有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则41322()()x x x x -+-的取值范围是 ▲ . (8,45]二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知222a c b -=，且3sinAcosC cosAsinC = .（1）求边b 的值；（2）若4B π=，S 为ABC ∆的面积，求82cos S AcosC +的取值范围．解：（1）由正弦定理sin sin a c A C = ，余弦定理222222cos ,cos 22a b c b c a C A ab bc+-+-== sin cos 3cos sin A C A C =可等价变形为222222322a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅化简得2222b a c -= ……………………3分222a c b -= 4b ∴=或0(b =舍）……………………6分若求范围： （2）由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin 82sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=382cos 82cos()82cos(2)4S AcosC A C A π=-=-∴+……………………10分在ABC ∆中，由3040202A A C A Cπππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎪⎨⎪<<⎪⎪⎪>⎩ 得3(,)82A ππ∈ 32(0,)44A ππ∴-∈，32cos(2)(,1)42A π∴-∈ 82cos (8,82)S AcosC ∈∴+……………………14分若求定值：由sin cos 3cos sin A C A C =得tan 3tan A C = 故2tan tan 4tan tan tan()11tan tan 13tan A C CB AC A C C+=-+=-=-=-- 解得27tan 3C ±=2220a c b -=>27tan 3C +∴=故tan 27A =+ 由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin 82sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=382cos 82cos()82cos(2)8(sin 2cos 2)4S AcosC A C A A A π∴+=-=-=- 2222sin 2cos 22tan 1tan 8()8sin cos tan 1A A A A A A A --+==⋅++ 解得82cos 47S AcosC +=……………………14分16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 在棱BC 上，D C AD 1⊥，点E ，F分别是1BB ，11B A 的中点． （1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证：//EF 平面1ADC ．解：（1） 正三棱柱111C B A ABC -，∴⊥C C 1平面ABC ，又⊂AD 平面ABC ，∴AD C C ⊥1，又D C AD 1⊥，111C C C D C = ∴⊥AD 平面11B BCC ，………………………………………………………3分 又 正三棱柱111C B A ABC -，∴平面ABC ⊥平面11B BCC ，∴⊥AD BC ，D 为BC 的中点．………6分（2） 连接B A 1，连接C A 1交1AC 于点G ，连接DG 矩形11ACC A ，∴G 为C A 1的中点， 又由(1)得D 为BC 的中点，∴△BC A 1中，B A DG 1//…………………9分 又 点E ，F 分别是1BB ，11B A 的中点，∴△B B A 11中，B A EF 1//，∴DG EF //，……12分 又⊄EF 平面1ADC ，⊂DG 平面1ADC ∴//EF 平面1ADC ．………14分17．（本小题满分14分）AA 1BCB 1C 1DEF AA 1BCB 1C 1DEF G科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放（简称碳排放）对全球气候和生态环境产生了负面影响.环境部门对A 市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施.已知A 市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%．同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m 万吨（m >0）.（Ⅰ）求A 市2019年的碳排放总量(用含m 的式子表示)； （Ⅱ）若A 市永远不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围. 解：设2018年的碳排放总量为1a ，2019年的碳排放总量为2a ，… （Ⅰ）由已知，14000.9a m =⨯+,220.9(4000.9)4000.90.9a m m m m =⨯⨯++=⨯++=324 1.9m +. （4分）（Ⅱ）230.9(4000.90.9)a m m m =⨯⨯+++324000.90.90.9m m m =⨯+++,…124000.90.90.90.9n n n n a m m m m --=⨯+++⋅⋅⋅+10.94000.94000.910(10.9)10.9nnn n m m -=⨯+=⋅+--(40010)0.910n m m =-⋅+.（8分） 由已知有*,550n n N a ∀∈≤（1）当400100m -=即40m =时,显然满足题意；（9分）（2）当400100m ->即40m <时，由指数函数的性质可得:(40010)0.910550m m -⨯+≤，解得190m ≤.综合得40m <；（11分）（3）当400100m -<即40m >时，由指数函数的性质可得:10550m ≤，解得55m ≤,综合得4055m <≤.（13分） 综上可得所求范围是(0,55]m ∈. （14分）18．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左顶点，右焦点分别为,A F ，右准线为m ．（1）若直线m 上不存在点Q ，使AFQ ∆为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围;（2）在（1）的条件下，当e 取最大值时，A 点坐标为(2,0)-，设B 、M 、N 是椭圆上的三点，且3455OB OM ON =+，求：以线段MN 的中点为圆心，过,A F 两点的圆方程．解： （1）设直线m 与x 轴的交点是Q ，依题意FQ FA ≥，即2a c a c c -≥+,22a a c c≥+,12a c c a ≥+,112e e ≥+,2210e e +-≤102e <≤…………………………………………4分 （2）当12e =且(2,0)A -时， (1,0)F ，故2,1a c ==， …………………………………………5分所以3b =，椭圆方程是：22143x y += …………………………………………6分 设1122()()M x y N x y ，，， ，则2211143x y +=，2222143x y +=． 由3455OB OM ON =+，得 12123434(,)5555B x x y y ++． 因为B 是椭圆C 上一点，所以2212123434()()5555+=143x x y y ++ …………………8分 即222222112212123434()()()()2()14354355543x y x y x xy y ++++⋅⋅+=1212043x x y y += ………① …………………10分 因为圆过,A F 两点， 所以线段MN 的中点的坐标为121 (,)22y y +- …………11分 又2222212121212121111()(2)[3(1)3(1)2]24444y y y y y y x x y y +=++=-+-+………② …………12分 由①和②得222212121212111313121()[3(1)3(1)3()][2()](2)24442444416y y x x x x x x +=-+-+-=-+=⋅-=所以圆心坐标为121(,)24-±…………14分 （少一解扣一分） 故所求圆方程为 2212157()()2416x y ++±= ………………16分 19．（本小题满分16分）设函数21()1ln 2f x ax x =--，其中a R ∈ ． （1）若0a =，求过点(0,1)-且与曲线()y f x =相切的直线方程； （2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，① 求a 的取值范围；② 求证：12'()'()0f x f x +<．解（1）当a ＝0时，f (x )＝－1－ln x ，f ′(x )＝－1x ．设切点为T (x 0，－1－ln x 0)，则切线方程为：y ＋1＋ln x 0＝－1x 0( x －x 0)． …………………… 2分因为切线过点(0，－1)，所以 －1＋1＋ln x 0＝－1x 0(0－x 0)，解得x 0＝e ．所以所求切线方程为y ＝－1e x －1． …………………… 4分 （2）①f ′(x )＝ax －1x ＝ax 2－1x ，x ＞0．(i) 若a ≤0，则f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，从而函数f (x )在(0，＋∞)上至多有1个零点，不合题意． …………………… 5分(ii)若a ＞0，由f ′(x )＝0，解得x ＝1a．当0＜x ＜1a 时， f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ＞1a时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )min ＝f (1a )＝12－ln 1a －1＝－12－ln 1a．要使函数f (x )有两个零点，首先 －12－ln 1a＜0，解得0＜a ＜e ． …………… 7分当0＜a ＜e 时，1a ＞1e＞1e ．因为f (1e )＝a 2e 2＞0，故f (1e )·f (1a)＜0．又函数f (x )在(0，1a )上单调递减，且其图像在(0，1a)上不间断，所以函数f (x )在区间(0，1a)内恰有1个零点． …………………… 9分考察函数g (x )＝x －1－ln x ，则g′(x )＝1－1x ＝x －1x ．当x ∈(0，1)时，g′(x )＜0，函数g (x )在(0，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g′(x )＞0，函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (1)＝0，故f (2a )＝2a －1－ln 2a ≥0．因为2a －1a ＝2－a a ＞0，故2a ＞1a ．因为f (1a )·f (2a )≤0，且f (x )在(1a ，＋∞)上单调递增，其图像在(1a，＋∞)上不间断，所以函数f (x )在区间(1a ，2a ] 上恰有1个零点，即在(1a，＋∞)上恰有1个零点．综上所述，a 的取值范围是(0，e)． …………………… 11分②由x 1，x 2是函数f (x )的两个零点(不妨设x 1＜x 2)，得 ⎩⎨⎧12ax 12－1－ln x 1＝0，12ax 22－1－ln x 2＝0，两式相减，得 12a (x 12－x 22)－ln x 1x 2＝0，即12a (x 1＋x 2) (x 1－x 2)－ln x 1x 2＝0，所以a (x 1＋x 2)＝2ln x 1x2x 1－x 2． …………………… 13分f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0等价于ax 1－1x 1＋ax 2－1x 2＜0，即a (x 1＋x 2)－1x 1－1x 2＜0，即2ln x 1x2x 1－x 2－1x 1－1x 2＜0，即2ln x 1x 2＋x 2x 1－x 1x 2＞0． 设h (x )＝2ln x ＋1x －x ，x ∈(0，1)．则h ′(x )＝2x －1x 2－1＝2x －1－x 2x 2＝－(x －1)2x 2＜0， 所以函数h (x )在(0，1)单调递减，所以h (x )＞h (1)＝0．因为x 1x 2∈(0，1)，所以2ln x 1x 2＋x 2x 1－x 1x 2＞0，即f ′(x 1)＋f ′(x 2)＜0成立． …………………… 16分20．(本小题满分16分)设M ⊂≠*N ，正项数列{}n a 的前项积为n T ，且k M ∀∈，当n k >时，n k n k n k T T T T +-=都成立． (1)若{1}M =，13a =，233a =，求数列{}n a 的前n 项和；(2)若}4{3M =，，12a =，求数列{}n a 的通项公式． 解：(1)当n ≥2时，因为M ＝{1}，所以T n ＋1T n －1＝T n T 1，可得a n ＋1＝a n a 12，故a n ＋1a n＝a 12＝3(n ≥2)．又a 1＝3，a 2＝33，则{a n }是公比为3的等比数列，…………2分故{a n }的前n 项和为3(1－3n )1－3＝32·3n －32．…………4分(2)当n ＞k 时，因为T n ＋k T n －k ＝T n T k ，所以T n ＋1＋k T n ＋1－k ＝T n ＋1T k ，所以T n ＋k T n －kT n ＋1＋k T n ＋1－k＝T n T kT n ＋1T k，即a n ＋1＋k a n ＋1－k ＝a n ＋1，…………6分 因为M ＝{3，4}，所以取k ＝3，当n ＞3时，有a n ＋4a n －2＝a n ＋12； 取k ＝4，当n ＞4时，有a n ＋5a n －3＝a n ＋12．…………8分 由a n ＋5a n －3＝a n ＋12知，数列a 2，a 6，a 10，a 14，a 18，a 22，…，a 4n －2，…，是等比数列，设公比为q ．………① 由a n ＋4a n －2＝a n ＋12 知，数列a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，a 17，…，a 3n －1，…，是等比数列，设公比为q 1，………② 数列a 3，a 6，a 9，a 12，a 15，a 18，…，a 3n ，…，成等比数列，设公比为q 2，………③ 数列a 4，a 7，a 10，a 13，a 16，a 19，a 22，…，a 3n ＋1，…，成等比数列，设公比为q 3，…④由①②得，a 14a 2＝q 3，且a 14a 2＝q 14，所以q 1＝q 34；由①③得，a 18a 6＝q 3，且a 18a 6＝q 24，所以q 2＝q 34；由①④得，a 22a 10＝q 3，且a 22a 10＝q 34，所以q 3＝q 34；所以q 1＝q 2＝q 3＝q 34．…………12分由①③得，a 6＝a 2q ，a 6＝a 3q 2，所以a 3a 2＝qq 2＝q 14，由①④得，a 10＝a 2q 2，a 10＝a 4q 32，所以a 4a 2＝q 2q 32＝q 12，所以a 2，a 3，a 4是公比为q 14的等比数列，所以{a n }(n ≥2)是公比为q 14的等比数列． 因为当n ＝4，k ＝3时，T 7T 1＝T 42T 32；当n ＝5，k ＝4时，T 9T 1＝T 52T 42， 所以(q 14)7＝2a 24，且(q 14)10＝2a 26，所以q 14＝2，a 2＝22．…………14分又a 1＝2，所以{a n }(n ∈N *)是公比为q 14的等比数列．故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1·2．…………16分21A .选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，210CD =，3AB BC ==，求BD 以及AC 的长．解：由切割线定理得:2DB DA DC ⋅=， ………………………2分2()DB DB BA DC +=， 04032=-+DB DB ，5=DB ． …………6分A B C D ∠=∠，∴ DBC ∆∽DCA ∆， …………………………………8分∴BC DBCA DC = ，得5106=⋅=DB DC BC AC ． ……………………………10分21B .选修4-2：矩阵与变换(本题满分10分)已知矩阵1 1a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,A 的一个特征值2λ=，其对应的特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵A ； （2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l的方程．OABCD解：（1）12211 12a b a A b α+⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+⎣⎡⎤⎢⎦⎣⎥-⎣⎦⎦，1242λλαλ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2422a b +=⎧∴⎨-+=⎩ 解得24a b =⎧⎨=⎩ 故12 14A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦…………4分 （2）设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(',')x y则 '122'4 14x x x y y y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, '2'4x x y y x y =+⎧∴⎨=-+⎩ 2''3''6x y x x y y -⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩4x y -= ∴''8x y -= ∴直线l 的方程为80x y --=…………10分21C .选修4-4：坐标系与参数方程(本题满分10分)圆C ：2cos ρ=(4πθ-)，与极轴交于点A (异于极点O )，求直线CA 的极坐标方程.解：圆C ：θρθρπθρρsin 2cos 24cos 22+=⎪⎭⎫⎝⎛-= 所以02222=--+y x y x …………………4分所以圆心⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,22C ，与极轴交于()0,2A …………………6分直线CA 的直角坐标方程为2=+y x …………………8分即直线CA 的极坐标方程为14cos =⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ． …………………10分 21D .选修4-5：不等式选讲(本题满分10分) 证明：n n12131211222-<++++ (n ≥2，*n N ∈). 证明：n n n )1(13212111131211222-++⨯+⨯+<++++………5分nn 11131212111--++-+-+= n12-=． ………10分 22.（本小题满分10分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数i,i,2,2,--其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ23．(本小题满分10分)已知数列{}n a 满足123012323C C C C 222n n n n na +++=++++…*C 2n n nn n ++∈N ，． （1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明． 23．(本小题满分10分)解：（1）12a =，24a =，38a =． …… 3分 （2）猜想：2n n a =． 证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； …… 5分 ②假设n k =时结论成立， 则有123012323C C C C C 22222k k k k k k k k kk a ++++=+++++=．则1n k =+时，12311112131111231C C C C C2222k+k k k+k+k+k k k+a ++++++++=+++++． 由111C C C k k kn nn +++=+得 102132112233123C C C C C C C 222k k k k k k k ka ++++++++++=++++11111C C C 22k k -k+k+k k+k k+k+k k+++++ 0121112311231C C C C C 222222k k+k k k k k k k+k+k k+-+++++=++++++， 12110231111121C C C C 12(C )22222k k+k k k k k k+k+k k k k a -++++++-=++++++ 121102311111121C C C C C 12(C )22222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k+-+++++++-=++++++． 又111111(21)!(22)(21)!(21)!(1)12C C !(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!2k+k+k+k k+k k k k k k =k k k k k k k ++++++++===+++++ 12110231111111211C C C C C 12(C )222222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k k -++++++++-+=+++++++， 于是11122k k k a a ++=+．所以112k k a ++=， 故1n k =+时结论也成立．由①②得，2n n a =*n ∈N ，． …… 10分。
湖南省长沙市2018高三统考理科数学试题Word版答案
科目：数学（理科）(试题卷）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和 该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。
2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3.本试题卷共7页。
如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交. 姓 名 准考证号 绝密★启用前长沙市2018届高三年级统一模拟考试理科数学长沙市教科院组织名优教师联合命制本试题卷共7页，全卷满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.己知复数iz -=12，则下列结论正确的是 A. z 的虚部为i B.|z|=2C. 2z 为纯虚数 D. z 的共轭复数i z +-=12. 己知命题p: 0x ∃>0，010=-+a x ,若p 为假命题，则a 的取值范围是 A.(-∞，1) B. (-∞，1] C. (1，+∞） D. [1，+∞）3.己知3218==y x ，则=-yx 11 A.1 B. 2 C.-1 D ．-24.在△AOB 中，OA = OB=1，OA 丄OB ，点 C 在 AB 边上，且 AB = 4AC ，则AB C ⋅0= A. 21-B. 21C. 23-D. 235.己知某二棱锥的三视图如图所示，其中俯视图由直角三角形和斜边上的中线组成，则该几何体的外接球的体积为 A. π34B. π312C. π4D. π126.己知 53)sin(=+απ，且 α2sin 2<0，则 )4tan(πα+的值为 A. 7 B.-7 C. 71-D. 717.若正整数N 除以正整数m 后的余数为r,则记为 N=r (mod m),例如10 = 2 (mod 4)。
下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的 “中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i 等于 A. 3B. 9C.27D.818.设函数 )2<<0,0>)(sin()(πϕωϕω+=x x f ，己知)(x f 的最小正周期为π4，且当3π=x 时，)(x f 取得最大值。
湖南G10教育联盟2018年4月高三联考理综试卷(含答案)
湖南G10教育联盟2018年4月高三联考理科综合第I卷(选择题)一、选择题：本题共13个小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列有关于细胞结构和功能的叙述正确的是A.细胞间进行信息交流，信息分子的识别都要依赖于膜上受体蛋白B.小球藻和念珠藻都在叶绿体中进行光合作用C.合成酶的场所是细胞中的核糖体D.除RNA病毒外，其他生物的遗传物质都是DNA2.下列有关生物学实验描述正确的是A.在观察DNA和RNA分布的实验中，可用洋葱鳞片叶外表皮细胞和人的口腔上皮细胞作为实验材料。
B.用溴麝香草酚蓝水溶液能检测到人体成熟红细胞呼吸作用产生的CO2C.用淀粉溶液、蔗糖溶液和淀粉酶溶液为实验材料来验证酶的专一性，可用碘液检测D.在低温诱导染色体数目加倍的实验中，根尖先用卡诺氏液固定，再用体积分数为95%酒精溶液冲洗。
3.2018年3月14日物理学家霍金去世，他曾经患有肌肉萎缩性侧索硬化症即“渐冻症”。
有研究表明该病是由于突变的基因使神经元合成了某种毒蛋白，从而阻碍了轴突内营养物质的流动；也有最新研究结果表明，利用诱导多功能干细胞(IPS细胞)制作前驱细胞，然后移植给渐冻症实验鼠，能延长其寿命。
下列相关描述错误的是A.将控制合成破坏运动神经元的毒蛋白基因替换，可以起到一定的治疗作用B.植入神经干细胞，使受损的运动功能得到恢复，也可以起到一定的治疗作用C.诱导多功能干细胞分化成的多种细胞中核遗传物质不完全相同D.诱导多功能干细胞的分化实质是基因的选择性表达，细胞种类增多4.研究发现人体的生物钟机理如图所示，下丘脑SCN细胞中，基因表达产物PER蛋白的浓度呈周期性变化，振荡周期为24h，下列分析错误的是A.核糖体在图中的移动方向是从右向左B.一条mRNA链上，可同时结合多个核糖体翻译出多条相同的肽链C.per基因只存在在下丘脑SCN细胞D.过程③体现了负反馈调节机制5.下图为某同学建立的一个“模型”(图中甲、乙、丙表示相关的物质或结构)。
全国名校大联考2018届高三第四次联考数学(理)试题+Word版含答案
全国名校大联考2017～2018学年度高三第四次联考数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,0,1,2}A =-，集合{|B x y =，则A B = （ ） A ．(0,2] B ．{0,1,2} C ．{1,2} D ．(1,2] 2.若方程22448430x y x y +-+-=表示圆，则其圆心为（ ） A ．1(1,)2-- B ．1(1,)2 C ．1(1,)2- D ．1(1,)2- 3.函数()f x = ） A ．(0,1000] B ．[3,1000] C ．1(0,]1000 D ．1[,3]10004.已知直线220ax y +-=与圆22(1)(1)6x y -++=相交于,A B 两点，且,A B 关于直线0x y +=对称，则a 的值为（ ）A ．1B ．-1 C.2 D ．-25.设变量x y 、满足约束条件236y xx y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数4z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．5 C.15 D ．126.下图为一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32 B ．43 C.52D ．3 7.等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ）A ．3或13-B ．-3或13C.3或13D ．-3或13-8.已知,αβ是相异两平面，,m n 是相异两直线，则下列命题中错误．．的是（ ） A ．若//,m n m α⊥，则n α⊥ B ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβ C.若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ D ．若//,m n ααβ= ，则//m n9.若点(,)b a 在函数x y e =的图像上，1a ≠，则下列点在函数ln y x =的图像上的是（ ） A ．2(,)a b B ．(,1)ae b - C.(,)a b D ．1(,)b a10.“1a =”是“直线：210x a y ++=与直线：240ax y ++=垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．即不充分也不必要条件11.已知函数()y g x =满足(2)()g x g x +=-，若()y f x =在(2,0)(2,0)-- 上为偶函数，且其解析式为2log ,02()(),20x x f x g x x <<⎧=⎨-<<⎩，则(2017)g -的值为（ ）A ．-1B ．0 C.12 D ．12-12.已知底面为正方形的四棱锥O ABCD -，各侧棱长都为，底面面积为16，以O 为球心，2为半径作一个球，则这个球与四棱锥O ABCD -相交部分的体积是（ ） A ．29π B ．89π C.169π D ．43π二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分.把答案填在题中的横线上.13.若4sin()25πα-=，α为第二象限角，则tan()πα-= ． 14.在空间直角坐标系中，已知点(1,0,2)A ，(1,3,1)B -，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是 ．15.已知圆22:(4)(2)5C x y -++=.由直线2y x =+上离圆心最近的点M 向圆C 引切线，切点为N ，则线段MN 的长为 ． 16.设,a b 是两个非零平面向量，则有：①若||||a b a b +=-，则a b ⊥ ②若a b ⊥，则||||||a b a b +=-③若||||||a b a b +=-，则存在实数λ，使得b a λ=④若存在实数λ，使得b a λ=，则||||||||a b a b +=-或||||||a b a b +=+四个命题中真命题的序号为 ．（填写所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在ABC ∆中，2B A C =+，且2c a =. （1）求角,,A B C 的大小；（2）设数列{}n a 满足2|cos |n n a nC =，前n 项和为n S ，若20n S =，求n 的值.18.已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果(2,1,4)AB =-- ，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--.（1）求证：AP 是平面ABCD 的法向量；（2）求平行四边形ABCD 的面积.19.（1）求圆心在直线2y x =-上，且与直线1y x =-+相切于点(2,1)P -的圆的方程；（2）求与圆22240x y x y +--=外切于点(2,4)且半径为.20.如图所示，PA ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的O 上，30CBA ∠=︒，2PA AB ==，点E 为线段PB 的中点，点M 在弧AB 上，且//OM AC .（1）求证：平面//MOE 平面PAC ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PCB ；（3）设二面角M BP C --的大小为θ，求cos θ的值. 21.已知圆22:9C x y +=，点(5,0)A -，直线:20l x y -=. （1）求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；（2）在直线OA 上（O 为坐标原点），存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBPA为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标. 22.已知函数()f x 的导函数为1'()f x a x=+，其中a 为常数.（1）当1a =-时，求()f x 的最大值，并推断方程ln 1|()|2x f x x =+是否有实数解；（2）若()f x 在区间(0,]e 上的最大值为-3，求a 的值.试卷答案一、选择题1-5:BDADC 6-10:BCDCD 11、12：BC二、填空题13.3414.(0,1,0)-15.①③④ 三、解答题17.解：（1）由已知2B A C =+，又A B C π++=，所以3B π=.又由2c a =，所以222242cos33b a a a a a π=+-⋅=，所以222c a b =+，所以ABC ∆为直角三角形，2C π=，236A πππ=-=.（2）2|cos |2|cos |2n n n n a nC π===0,2,nn n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数为偶数. 所以212n k kS S S +===242020202k++++++= 2224(12)24143k k +--=-，*k N ∈由2224203k n S +-==，得22264k +=，所以226k +=，所以2k =，所以4n =或5n =.18.解：（1）∵(1,2,1)(2,1,4)0AP AB ⋅=--⋅--=， (1,2,1)(4,2,0)0AP AD ⋅=--⋅=.∴AP AB ⊥，AP AD ⊥，又AB AD A = ，∴AP ⊥平面ABCD ，∴AP 是平面ABCD 的法向量.（2）∵||AB，||AD ， ∴(2,1,4)(4,2,0)6AB AD ⋅=--⋅=，∴cos(,)AB AD =故sin(,)AB AD = ABCD S =||||sin ,AB AD AB AD ⋅= 19.解：（1）过点(2,1)P -且与直线1y x =-+垂直的直线为30x y --=，由230y x x y =-⎧⎨--=⎩12x y =⎧⇒⎨=-⎩.即圆心(1,2)C -，半径||r CP == 所求圆的方程为22(1)(2)2x y -++=.（2）圆方程化为22(1)(2)5x y -+-=，得该圆圆心为(1,2)率42221k -==-.设所求圆心为(,)a b ，|(1)3a a --=，∴4a =，|226b b --=，∴8b =. ∴22(4)(8)20x y -+-=.20.（1）证明：因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以//OE PA ，因为PA ⊂平面PAC ，OE ⊄平面PAC ，所以//OE 平面PAC . 因为//OM AC ，且AC ⊂平面PAC ，OM ⊄平面PAC ，所以//OM 平面PAC . 因为OE ⊂平面MOE ，OM ⊂平面MOE ，OE OM O = ， 所以平面//MOE 平面PAC .（2）证明：因为点C 在以AB 为直径的O 上，所以90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.因为AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，PA AC A = ，所以BC ⊥平面PAC . 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PCB .（3）解：如图，以C 为坐标原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C xyz -.因为30CBA ∠=︒，2PA AB ==，所以2cos30CB =︒=，1AC =. 延长MO 交CB 于点D .因为//OM AC ，所以MD CB ⊥，13122MD =+=，12CD CB ==所以(1,0,2)P ，(0,0,0)C ，B ，3(2M .所以(1,0,2)CP = ，CB =.设平面PCB 的法向量(,,)m x y z =.因为00m CP m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以(,,)(1,0,2)0(,,)0x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，即200x z +=⎧⎪=. 令1z =，则2x =-，0y =.所以(2,0,1)m =-.同理可求平面PMB的一个法向量(1n =.所以1cos ,5||||m n m n m n ⋅==-⋅.由图可知θ为锐角，所以1cos 5θ=.21.解：（1）设所求直线方程为2y x b =-+，即20x y b +-=，3=，得b =±∴所求直线方程为2y x =-±（2）方法1：假设存在这样的点(,0)B t ，当P 为圆C 与x 轴左交点(3,0)-时，|3|2PB t PA +=； 当P 为圆C 与x 轴右交点(3,0)时，|3|8PB t PA -=， 依题意，|3||3|28t t +-=，解得，5t =-（舍去），或95t =-. 下面证明点9(,0)5B -对于圆C 上任一点P ，都有PBPA为一常数.设(,)P x y ，则229y x =-，∴2222229()5(5)x y PB PA x y ++==++22221881952510259x x x x x x +++-=+++-18(517)9252(517)25x x +=+， 从而35PB PA =为常数.方法2：假设存在这样的点(,0)B t ，使得PBPA为常数(0)λλ>，则222PB PA λ=， ∴22222()[(5)]x t y x y λ-+=++，将229y x =-代入得，22222229(10259)x xt t x x x x λ-++-=+++-，即 2222(5)3490t x t λλ++--=对[3,3]x ∈-恒成立，∴222503490t t λλ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，解得3595t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或15t λ=⎧⎨=-⎩（舍去）， 所以存在点9(,0)5B -对于圆C 上任一点P ，都有PB PA为常数35.22.解：（1）∵1'()f x a x=+，∴()ln f x ax x =+. 当1a =-时，()ln f x x x -+，11'()1xf x x x-=-+=.当01x <<时，'()0f x >；当1x >时，'()0f x <.∴()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，max ()(1)1f x f ==-.∴|()|1f x ≥. 又令ln 1()2x g x x =+，21ln '()xg x x-=，令'()0g x =，得x e =. 当0x e <<时，'()0g x >，()g x 在(0,)e 上单调递增；当x e >时，'()0g x <，()g x 在(,)e +∞上单调递减，∴max 11()()12g x g e e ==+<，∴()1g x <，∴|()|()f x g x >，即ln 1|()|2x f x x >+， ∴方程ln 1|()|2x f x x =+没有实数解.（2）∵1'()f x a x =+，(0,]x e ∈，∴11[,)x e∈+∞.①若1a e≥-，则'()0f x ≥，()f x 在(0,]e 上为增函数，∴max ()()10f x f e ae ==+≥不合题意.②若1a e <-，则由'()0f x >⇒10a x +>，即10x a <<-，由()0f x <⇒10a x+<，即1x e a-<≤. 从而()f x 在1(0,)a -上为增函数，在1(,)e a -上为减函数，∴max 11()()1ln()f x f a a=-=-+-. 令11ln()3a -+-=-，则1ln()2a -=-，∴21e a--=，即2a e =-.∵21e e-<-，∴2a e =-为所求.。
湖南省长沙市长郡中学2018届高三第四次月考数学(理)试题(含答案)
炎德·英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷（四）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合422x A x x -⎧⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A ．{}12x x -≤≤ B ．{}1,0,1,2- C ．{}2,1,0,1,2-- D ．{}0,1,22．若复数z 满足()212i 13i z -+=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知向量()1,2a x =-r ，()2,1b =r，则“0x >”是“a r 与b r 夹角为锐角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．在()62x -展开式中，二项式系数的最大值为a ，含5x 项的系数为b ，则ab=（ ） A ．53 B ．53- C ．35 D ．35- 5．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．一个三棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．433 C ．2 D ．8337．已知,a b r r是平面内夹角为90°的两个单位向量，若向量c r 满足()()0c a c b -⋅-=r r r r ，则c r 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2 8．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．1009B ．-1009C ．-1007D ．10089．已知斜率为3的直线l 与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，若点()6,2P 是AB 的中点，则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．2210．若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（ ）个. A ．53 B ．59 C ．66 D ．7111．椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB ∆的外接圆圆心(),P m n 在直线y x =-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．2,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ 12．已知函数()ln ,11,12x x f x x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()1F x f f x m =++⎡⎤⎣⎦有两个零点12,x x ，则12x x ⋅的取值范围是（ ）A ．[)42ln 2,-+∞B ．()e,+∞ C ．(],42ln 2-∞- D ．(),e -∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知双曲线经过点()1,22，其一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的标准方程为 ．14．已知函数()21sin 21x xf x x x -=+++，若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为 ．15．已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，23AB =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 ．16．已知O 为坐标原点，F 为抛物线()220y px p =>的焦点，若抛物线与直线:302pl x y --=在第一、四象限分别交于,A B 两点，则()()22OF OAOF OB--uu u r uu r uu u r uu u r的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，在ABC ∆中，3B π∠=，D 为边BC 上的点，E 为AD 上的点，且8AE =，410AC =，4CED π∠=.（1）求CE 的长；（2）若5CD =，求cos DAB ∠的值.18．现有4名学生参加演讲比赛，有A B 、两个题目可供选择，组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择A 题目，掷出其他的数则选择B 题目. （1）求这4个人中恰好有1个人选择B 题目的概率；（2）用X Y 、分别表示这4个人中选择A B 、题目的人数，记X Y ξ=⋅，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ.19．如图1，在矩形ABCD 中，5AB =，2AD =，点,E F 分别在边,AB CD 上，且4AE =，1DF =，AC 交DE 于点G ，AF 交DE 于O .现将ADF ∆沿AF 折起，使得平面ADF ⊥平面ABCF ，得到图2.（1）在图2中，求证：CE DG ⊥；（2）在图2中，若点M 是线段DE 上的一动点，问点M 在什么位置时，二面角M AF D --的余弦值为35. 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为()12,0F -，()22,0F ，点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，设点()3,2N ，记直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k +为定值.21．已知函数()ln 2f x x ax =-，a ∈R .（1）若函数()y f x =存在与直线20x y -=垂直的切线，求实数a 的取值范围； （2）设()()212g x f x x =+，若()g x 有极大值点1x ，求证：1211ln 1x a x x +>. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232242x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为6sin ρθ=.（1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （2）设点()4,3P ，直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求11PA PB+的值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++. （1）求函数()f x 的值域M ；（2）若a M ∈试比较11a a -++，32a ，722a -的大小.炎德·英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷（四）数学（理科）参考答案一、选择题1-5:BCCBB 6-10:CBBAD 11、12：AD二、填空题13．2214y x -= 14．1 15．[]2,4ππ 16．97563+三、解答题17．解：（1）由题意可得344AEC πππ∠=-=， 在AEC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅∠，所以21606482CE CE =++， 整理得282960CE CE +-=， 解得：42CE =. 故CE 的长为42.（2）在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin CE CDCDE CED=∠∠， 即425sin sin 4CDE π=∠，所以25sin 42sin 42442CDE π∠==⨯=， 所以4sin 5CDE ∠=. 因为点D 在边BC 上，所以3CDE B π∠>∠=，而4352<， 所以CDE ∠只能为钝角， 所以3cos 5CDE ∠=-， 所以cos cos cos cos 33DAB CDE CDE ππ⎛⎫∠=∠-=∠ ⎪⎝⎭sin sin 3CDE π+∠ 3143433525210-=-⨯+⨯=.18．解：由题意知，这4个人中每个人选择A 题目的概率为13，选择B 题目的概率为23， 记“这4个人中恰有i 人选择A 题目”为事件()0,1,2,3,4i A i =，∴()441233iii i P A C -⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， （1）这4人中恰有一人选择B 题目的概率为()33341283381P A C ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）ξ的所有可能取值为0，3，4，且()()()040P P A P A ξ==+=440444211611733818181C C ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()133P P A P A ξ==+=33134412123333C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭32840818181+=， ()()2224143P P A C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭2224381⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭. ∴ξ的分布列是所以()17402480348181813E ξ=⨯+⨯+⨯=. 19．解：（1）∵在矩形ABCD 中，5AB =，2AD =，4AE =，1DF =， ∴tan tan DF ADDAF AED AD AE∠===∠，∴90AOE ∠=︒即DE AF ⊥. ∴在图2中，DO OF ⊥，EO AF ⊥.又∵平面ADF ⊥平面ABCF ，平面ADF I 平面ABCF AF =， ∴DO ⊥平面ABCF ，∴DO CE ⊥.依题意，AE CF ∥且AE CF =，∴四边形AECF 为平行四边形. ∴CE AF ∥，∴CE OE ⊥，又∵OD OE O =I ， ∴CE ⊥平面DOE ，又∵DG ⊂平面DOE ，∴CE DG ⊥. （2）如图1，在Rt ADF ∆中，5AF =，25OD =，15OF =， ∵DE AE ∥，4AE DF =，∴845OE OD ==. 如图，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则4,0,05A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,05F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，20,0,5D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，80,,05E ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴()5,0,0FA =uu r，820,,55ED ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u r ，48,,055AE ⎛⎫=-⎪⎝⎭uu ur ， ∵EO AF ⊥，∴OE ⊥平面ADF ，∴()10,1,0n =u r为平面ADF 的法向量.设EM ED λ=uuu r uu u r ，则()482,1,555AM AE ED λλλ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭uuu r uu u r uu u r ，设()2,,n x y z =u u r为平面AFM 的法向量，则2200n FA n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uu r u u r uuu r 即()5048210555x x y z λλ⎧=⎪⎨-+-+=⎪⎩，可取()()20,,41n λλ=-u u r . 依题意，有()12223cos ,5161n n λλλ==+-u r u u r， 整理得281890λλ-+=，即()()43230λλ--=，∴34λ=. ∴当点M 在线段DE 的四等分点且14DM DE =时，满足题意.20．解：（1）依题意，2c =，222a b -=.∵点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴1b OM ==， ∴3a =.∴椭圆C 的方程为2213x y +=. （2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1x =，63y =±.设61,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，61,3B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则12662233222k k -++=+=为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1y k x =-.将()1y k x =-代入2213x y +=整理化简，得()2222316330k x k x k +-+-=. 依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+.又()111y k x =-，()221y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+--()()()()()()122112232333y x y x x x --+--=-- ()()()()()1221121221321393k x x k x x x x x x ---+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++()()()121212121212224693x x k x x x x x x x x -++-++⎡⎤⎣⎦=-++()22122222223361222463131633933131k k x x k k k k k k k ⎡⎤--++⨯-⨯+⎢⎥++⎣⎦=--⨯+++()()2212212621k k +==+. 综上得12k k +为常数2. 21．解：（1）因为()12f x a x'=-，0x >， 因为函数()y f x =存在与直线20x y -=垂直的切线， 所以()12f x '=-在()0,+∞上有解， 即1122a x -=-在()0,+∞上有解， 也即241x a =-在()0,+∞上有解，所以2041a >-，得14a >， 故所求实数a 的取值范围是1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （2）证明：因为()()221122g x f x x x =+=ln 2x ax +-，因为()221x ax g x x-+'=，①当11a -≤≤时，()g x 单调递增无极值点，不符合题意，②当1a >或1a <-时，令()0g x '=，设2210x ax -+=的两根为1x 和2x ，因为1x 为函数()g x 的极大值点，所以120x x <<， 又121x x =，1220x x a +=>，所以1a >，101x <<，所以()111120g x x a x '=-+=，则21112x a x +=， 要证明1211ln 1x a x x +>，只需要证明2111ln 1x x ax +>， 因为211111ln 1ln x x ax x x +-=-2211111111ln 1222x x x x x x ++=--++，101x <<. 令()311ln 122h x x x x x =--++，()0,1x ∈， 所以()231ln 22h x x x '=-++，记()231ln 22P x x x =-++，()0,1x ∈，则()21133x P x x x x-'=-+=，当303x <<时，()0P x '>，当313x <<时，()0P x '<， 所以()max 33ln 033P x P ⎛⎫==<⎪ ⎪⎝⎭，所以()0h x '<. 所以()h x 在()0,1上单调递减， 所以()()10h x h >=，原题得证.22．解：（1）由直线l 的参数方程为232242x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），得直线l 的普通方程为70x y +-=.又由6sin ρθ=得圆C 的直角坐标方程为()2239x y +-=.（2）把直线l 的参数方程242232x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入圆C 的直角坐标方程， 得24270t t -+=，设12,t t 是上述方程的两实数根， 所以1242t t +=，127t t =，∴120,0t t >>， 所以11427PA PB +=. 23．解：（1）()3,1,12,1,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩ 根据函数()f x 的单调性可知，当12x =时，()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以函数()f x 的值域3,2M ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭. （2）因为a M ∈，所以32a ≥，所以3012a <≤. 又111123a a a a a -++=-++=≥， 由32a ≥，知10a ->，430a ->， 所以()()14302a a a -->，所以37222a a >-. 所以3711222a a a a -++>>-.。
2018届湖南省十四校高三第一次联考数学理科试卷及答案解析
2018 届高三·十四校联考
第Ⅰ卷（共 60 分）
第一次考试
数学（理科）试卷
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z 满足 2 i z 3 4i ，则 z 的共轭复数是（ A． 2 i B． 2 i C． 2 i D． 2 i ）
2.已知全集为 R ，集合 A x 2 1 ， B x x 3x 2 0 ，则 A ðR B （ A． x x 0
x
2
）
B． x 0 x 1或x 2
C． x 1 x 2
D． x 0 x 1或x 2
3.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“ 2 ”“ 0 ”“ 1”“ 8 ”，现从中随 机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ A． ）
k
．
3
2018 届湖南省十四校高三第一次联考数学理科试卷及答案解析
16.已知数列 an 满足： a1 3 ， an 2an 1 3 1
n
n 2 .设 ak 是等差数列，数列
t
kt t N 是各项均为正整数的递增数列，若 k1 1 ，则 k3 k2
2 3
B．
1 2
C．
1 3
D．
1 4
4.若双曲线 A． 0 或 4
x2 y2 1 的焦距为 4 ，则 m 等于（ 3 m m 1
湖南省G10教育联盟2018届高三四月联考英语试题+Word版含答案
第I卷第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上, 录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5 小题; 每小题1. 5 分，满分7. 5 分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项, 并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. £19.5.B. £ 9.18.C. £ 9.15.答案是C。
1. What was the weather like when Beth was at the beach?A. Cloudy.B. Sunny.C. Rainy.2. What will the man do next Friday?A. Attend a party.B. Goon a business trip.C. E-mail the woman a report.3. What does Nick do?A. A website designer.B. A computer salesman.C.A school teacher.4. Where are the speakers?A. In the woman’s house.B. In a bookstore.C.In a restaurant.5. What are the speakers talking about?A. A restaurant.B. The man’s job.C.The man’s pay.第二节(共15 小题; 每小题1. 5 分，满分22. 25 分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟，听完后，各小题将给出5 秒钟的作答时间。
高三数学-2018年湖南省理科数学-新人教[原创] 精品
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祁阳四中2018届高三月考数学（理）试题一、选择题（每小题5分，共50分）1、已知A ＝}114|{>+x x ，B ＝}|| |{a x x <，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是（ ） A 、1<aB 、1≤aC 、31≤<-aD 、10≤<a2、设复数i Z 21+=，则Z Z 22-对应点在（ ） A 、第一象限内B 、第三象限内C 、实轴上D 、虚轴上3、抛物线2ax y =的准线方程为1=y ，则a 的值为（ ） A 、41B 、41-C 、4D 、-44、如果函数)(x f y =的图象按向量)2,4(π=a 平移后所得的图象解析式为)4sin(π+=x y ，那么)(x f 的解析式是（ ）A 、2sin +xB 、2cos +xC 、2sin -xD 、2cos -x5、如果函数)10(≠>=-a a a y x 且是增函数，那么函数11log )(+=x x f a的图象大致是6、已知定义在R 上的奇函数)(x f y =满足)2(π+=x f y 是偶函数，对于)(x f y =，下列命题正确的是（ ）①它是周期函数 ②π＝x 是它图像的一条对称轴 ③），（0π-是它图像的一个对称中心 ④当2π=x 时，它一定取最大值 A 、①②B 、①③C 、②④D 、②③ABC D7、已知x x f 2l o g )(=的反函数为)(1x f-，若等差数列}{n a 中，,0),1(211=+-=-a x fa )1(213-=-x fa ，则4a 等于（ ）A 、2B 、16C 、4或16D 、2或168、关于函数|1)32sin(2|)(++=πx x f 的说法正确的是（ ）A 、是周期函数且最小正周期为2πB 、12π-=x 是其图像一条对称轴 C 、其图象上相邻两个最低点距离为πD 、其图像上相邻两个最高点距离是π9、函数⎪⎩⎪⎨⎧<--+≥+=)1( 13)1( )(2x x ax x x b x x f 在1=x 处连续，则x x x x x a b a b -+-∞→3lim 的值为（ ）A 、3B 、-3C 、-1D 、1 10、用4种不同的颜色将一个正四面体的各个面上染上颜色，每个面只能染一种颜色，不允许不染，共有（ ）种不同的染法A 、48B 、36C 、42D 、47二、填空题（每小题4分，共20分）11、若在51）（ax +展开式中3x 的系数为-80，则a ＝ ；12、如图，空间中有两个正方形ABCD和ADEF ，M 、N 分别在BD 、AE 上，有BM ＝AN ，那么下列四个结论中，不正确．．．的是 ； （1）AD ⊥MN （2）MN ∥平面CDE （3）MN ∥CE （4）MN 、CE 是异面直线13、定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：（1）12006*2＝； （2）]2006*)2[(32006*22n n ⨯=+）（ 则2004*2018＝ ；14、已知函数34)(2+-=x x x f ，集合},0)()(|),{(≤+=y f x f y x M , }2,2|),{(R y x y x y x N ∈≤≤=、则集合M ⋂N 在直角坐标系内对应图形的面积为 ；15、已知A 、B 、C 三点共线，O 是这条直线外一点，设,,,===且有在实数m ，使3=+-m 成立，则点A 分BC 的比λ＝ ；三、解答题（本大题满分80分）16、（本题满分12分）已知△ABC 中，C B B A sin 3)cos 3(sin sin =+ （1）求∠A 的大小；（2）若BC ＝3，求△ABC 周长的取值范围 17、如图所示，直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为平行四边形，其中AB ＝2，BD ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 为DC 中点，F 是棱DD 1上的动点（1）求异面直线A 1D 1与BC 1所成角的正切值；（2）当DF ＝41时，证明：EF ⊥BC 1； （3）当DF 的长为多少时，二面角E-FB-D 的大小为60°。
湖南省十四校2018届高三第一次联考数学(理)试题含答案
）
6.执行如图所示的程序框图，则其输出的结果是（
A． 2047
B． 1025
C. 1023
D． 511
2
7.已知函数 f x 为偶函数，当 x 1,1 时， f x 1 x ，且 f x 1 为奇函数，则
21 f （ 2
A．
）
1 2
2.已知全集为 R ，集合 A x 2 1 ， B x x 3x 2 0 ，则 A ðR B （
x 2
）
A． x x 0
B． x 0 x 1或x 2
C． x 1 x 2
D． x 0 x 1或x 2
3.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“ 2 ” “0 ” “1 ” “8 ” ，现从中随机选 取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ A． ）
2018 届高三·十四校联考 第一次考试 数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知复数 z 满足 2 i z 3 4i ，则 z 的共轭复数是（ A． 2 i B． 2 i C． 2 i D． 2 i ）
2 3
B．
1 2
C．
1 3
D．
1 4
）
4.若双曲线 A． 0 或 4
x2 y2 1 的焦距为 4 ，则 m 等于（ 3 m m 1
B． 4 C. 12 D． 0
5.记 S n 为等差数列 an 的前 n 项和，若 S9 45 ， a3 a8 12 ，则 a7 等于（ A． 10 B． 9 C. 8 D． 7 ）
【全国省级联考word】湖南省G10教育联盟2018届高三四月联考英语试题(有答案)
第I卷第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上, 录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5 小题; 每小题1. 5 分，满分7. 5 分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项, 并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. £19.5.B. £ 9.18.C. £ 9.15.答案是C。
1. What was the weather like when Beth was at the beach?A. Cloudy.B. Sunny.C. Rainy.2. What will the man do next Friday?A. Attend a party.B. Goon a business trip.C. E-mail the woman a report.3. What does Nick do?A. A website designer.B. A computer salesman.C. A school teacher.4. Where are the speakers?A. In the woman’s house.B. In a bookstore.C. In a restaurant.5. What are the speakers talking about?A. A restaurant.B. The man’s job.C. The man’s pay.第二节(共15 小题; 每小题1. 5 分，满分22. 25 分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
2018年最新 湖南省长沙雅礼中学2018届高三4月调研考试数学(理科)试卷附答案 精品
雅礼中学2018届高三4月质检试题数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知函数2()log f x x =，2(,)F x y x y =+，则1[(),1]4F f 的值为A ．1-B ．5C ．8-D ．3 2．设全集I 是实数集R . 2{|4}M x x =>与2{|1}1N x x =≥-都是I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为 A ．{}2x x < B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤D ．{}22x x -≤≤3．已知物体的运动方程是23416441t t t s +-=（t 表示时间，单位：秒；s 表示位移，单位：米），则瞬时速度为0米每秒的时刻是 A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒 4．有共同底边的等边三角形ABC 和BCD 所在平面互相垂直，则异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为A ．31 B ．41 C ．43 D ．22 5．在等差数列{}n a 中，若24681080a a a a a ++++=，则7812a a -的值为A ．4B ．6C ．8D ．10 6．若a ，b ∈R ，则3311a b >成立的一个充分不必要条件是 A ．0a b << B ．b a > C ．0ab > D ．()0ab a b -< 7．对于虚数i ，作集合234{,,,}S i i i i =，易知，S 中任何两个元素相乘的积仍然在S 中，现规定S 中关于乘法的单位元θ：即对任意的a S ∈，都有a a a θθ==，则θ为 A ．i B ．2i C ．3i D ．4i8．][x 表示不超过x 的最大整数(称为x 的整数部分)，则方程||([])0x x x -=在]1,1[-上的根有A ．1个B ．3个C ．5 个D ．无穷多个 9．设圆C ：223x y +=，直线063:=-+y x l ，点()l y x P ∈00,，使得存在点C Q ∈，使60OPQ ∠=(O 为坐标原点),则0x 的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 B ．[]1,0 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡56,0 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21 10．平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条直线，则任取其中的三个点，构成三角形的概率是 A ．1433 B ．3233 C ．2633 D ．2733二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上． 11．已知函数()sin 2tan 1f x a x b x =++，且(2)4f -=，那么(2)f =__________. 12．2x →=____________.13．若椭圆+22a x )0(122>>=b a by 的左、右焦点分别为1F 、2F ，线段12F F 被抛物线bx y 22=的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为_____________. 14．n n x xnx x x )1)(321(32+++++ 展开式中常数项（不含x 的项）的和为()nf n ，则()f n 的最简表达式是___________.15．已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1S ，△ABC 的面积为2S ，AP pPB =，AQ qQC =，则（ⅰ）pqp q=+____________，（ⅱ）12S S 的取值范围是______________. 三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）若函数)0(cos sin sin )(2>-=a ax ax ax x f 的图像与直线m y =相切，并且切点的横坐标依次成公差为2π的等差数列． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若点),(00y x A 是)(x f y =图像的对称中心，且∈0x [0,2π]，求点A 的坐标． 17．（本题满分12分）有一个4×5×6的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成120个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个. （Ⅰ）设小正方体涂上颜色的面数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.（Ⅱ）如每次从中任取一个小正方体，确定涂色的面数后，再放回，连续抽取6次，设恰好取到两面涂有颜色的小正方体次数为η. 求η的数学期望.18．（本题满分12分）如图，等腰直角△ABC 中，90ABC ∠=，EA ⊥平面ABC ，FC ∥EA ，EA FC AB a ===.（Ⅰ）求二面角A EB F --的大小； （Ⅱ）求点A 到平面EFB 的距离；（Ⅲ）证明五点,,,,A B C E F 在同一个球面上，并求,A F 两点的球面距离.19．（本题满分12分）一艘轮船在相距1000海里的甲、乙两地之间航行，它的耗油量与速度的平方成正比.当轮船每小时行10海里时，它的耗油量价值500货币单位.又此船每行1小时除耗油费用外，其它消耗为常数(100300)C C ≤≤货币单位，轮船行驶的最大速度是每小时25海里.问：此船从甲地行驶至乙地最经济的行船速度是多少？20．（本题满分13分）不等式表示的区域内有一动点P ，它在区域边界所在直线上的射影分别是,M N ，且满足38PM PN ⋅=. （Ⅰ）求动点P 的轨迹Γ；（Ⅱ）已知点(2,0)F 和直线l ：12x =，设直线PF 交Γ于另一点Q .以PQ 为直径的圆S 与直线l 交于点A 、B ，设劣弧AB 的长为为m ，求证：mAB的长为定值.F E CB A21．（本题满分14分）数列{}n a 和数列{}n b （n ∈+N ）由下列条件确定： （1）10a <，10b >；（2）当2k ≥时，k a 与k b 满足如下条件：当1102k k a b --+≥时，1k k a a -=，112k k k a bb --+=；当1102k k a b --+<时，112k k k a ba --+=，1k kb b -=. 解答下列问题：（Ⅰ）证明数列{}k k a b -是等比数列；（Ⅱ）记数列{}()k n n b a -的前n 项和为n S ，若已知当1a >时，lim 0nn na →∞=，求lim n n S →∞.（Ⅲ）(2)n n ≥是满足12n b b b >>>的最大整数时，用1a ，1b 表示n 满足的条件.雅礼中学2018届高三4月质检试题数学（理科）参考答案及解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知函数2()log f x x =，2(,)F x y x y =+，则1[(),1]4F f 的值为A ．1-B ．5C ．8-D ．3【解析】211()log 244f ==-，1[(),1](2,1)21 1.4F f F =-=-+=-故选A. 2．设全集I 是实数集R . 2{|4}M x x =>与2{|1}1N x x =≥-都是I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为 A ．{}2x x < B ．{}21x x -≤<D ．{}22x x -≤≤【解析】{}{}22M x x x x =<->，{}13N x x =<≤，{}22M x x =-≤≤Rð，根据图形所得阴影部分即为(){}12M N x x =<≤Rð，故选C.3．已知物体的运动方程是23416441t t t s +-=（t 表示时间，单位：秒；s 表示位移，单位：米），则瞬时速度为0米每秒的时刻是 A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒 【解析】函数23416441t t t s +-=两边同时对t 求导，得 32'1232(4)(8)t s t t t t t t =-+=--，解得0,4,8t =，根据导数的物理意义知选D.4．有共同底边的等边三角形ABC 和BCD 所在平面互相垂直，则异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为A ．31C ．43D ．22 【解析】取BC 的中点E ，以,,EB ED EA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，不妨设等边三角形的边长为2，则(1,0,0)B ，A ，(1,0,0)C -，D ，(1BA =-，(1CD =，||1cos 4||||BA CD BA CD θ⋅==⋅，故选B.5．在等差数列{}n a 中，若24681080a a a a a ++++=，则7812a a -的值为A ．4B ．6C ．8D ．10 【解析】由246810680580a a a a a a ++++=⇒=616a ⇒=，78666111(2)8222a a a d a d a -=+-+==，故选C.6．若a ，b ∈R ，则3311a b >成立的一个充分不必要条件是 A ．0a b << B ．b a > C ．0ab > D ．()0ab a b -< 【解析】3311111100()0b a ab a b a b a b a b ab->⇔>⇔->⇔>⇔->，故选A. 7．对于虚数i ，作集合234{,,,}S i i i i =，易知，S 中任何两个元素相乘的积仍然在S 中，现规定S 中关于乘法的单位元θ：即对任意的a S ∈，都有a a a θθ==，则θ为 A ．i B ．2i C ．3i D ．4i【解析】根据题目给出的信息即知选D.8．][x 表示不超过x 的最大整数(称为x 的整数部分)，则方程||([])0x x x -=在]1,1[-上的根有A ．1个B ．3个C ．5 个D ．无穷多个【解析】2(1)10()||([])0101x x x f x x x x x x x -+-≤<⎧⎪=-=≤<⎨⎪=⎩，结合函数的图像知||([])0x x x -=有三个根1-、0、1，故选B.9．设圆C ：223x y +=，直线063:=-+y x l ，点()l y x P ∈00,，使得存在点C Q ∈，使60OPQ ∠=(O 为坐标原点),则0x 的取值范围是 A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 B ．[]1,0D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21≥，结合00360x y +-=，即得0605x ≤≤，故选C.10．平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条直线，则任取其中的三个点，构成三角形的概率是 A ．1433B C ．2633 D ．2733【解析】设有k 组共线的点，每组点数不小于3，依次记为12,,,k n n n ，则有12(1)n C -+ 222211(1)(1)487kn n C C C -++-=-=，而21312in C -≥-=，所以3k ≤，当1,3k =时无整数解；当2k =时，有整数解124,3n n ==，因此三角形数为333114316541160C C C --=--=，根据古典概率的定义有所求概率为1603216533P ==.故选B. 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上． 11．已知函数()sin 2tan 1f x a x b x =++，且(2)4f -=，那么(2)f =2-. 【解析】(2)sin 4tan 214sin 4tan 23f a b a b -=--+=⇒+=-， 故(2)sin 4tan 2131 2.f a b =++=-+=- 12．2x →【解析】21lim2x x →=-221.2x x →→== 13．若椭圆+22a x )0(122>>=b a by 的左、右焦点分别为1F 、2F ，线段12F F 被抛物线bx y 22=的焦点分成5：3【解析】根据题意，得2223()5()22bb c c a b c⎧+=-⎪⎨⎪=+⎩，解得c e a ==14．n n x xnx x x )1)(321(32+++++ 展开式中常数项（不含x 的项）的和为()nf n ，则()f n 的最简表达式是12n -.【解析】展开式的常数项为0123023nn n n n nC C C C nC +++++，也可以倒序写成 01(1)0n n n n nC n C C +-++，两式相加即得01()2n n n n n n C C C n +++=⋅，故1()2.n f n -=15．已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1S ，△ABC 的面积为2S ，AP pPB =，AQ qQC =，则（ⅰ）pq p q =+1，（ⅱ）12SS 的92【解析】设AB a =，AC b =，1AP a λ=，2AQ b λ=，因为G 是△ABC 的重心，故1()3AG a b =+，又111()33PG AG AP a b λ=-=-+，21PQ AQ AP b a λλ=-=-，因为PG 与PQ 共线，所以PQ PG λ=，即11211[()]()033a b λλλλλ-++-=，又a 与b 不共线，所以111()3λλλ-=-及213λλ=，消去λ，得12123λλλλ+=.（ⅰ）121111(1)(1)321p q λλ+=-+-=-=，故1pq p q =+；（ⅱ）12111()313λλλλ=≠-，那么12||||sin ||||sin S AP AQ BAC S AB AC BAC ⋅⋅∠=⋅⋅∠ 2112211113931()24λλλλλ===---+，当P 与B 重合时，11λ=，当P 位于AB 中点时， 112λ=，故11[,1]2λ∈，故12S S 41[,].92∈但因为P 与B 不能重合，故12SS 41[,).92∈ 三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）若函数)0(cos sin sin )(2>-=a ax ax ax x f 的图像与直线m y =相切，并且切点的横坐标依次成公差为2π的等差数列． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若点),(00y x A 是)(x f y =图像的对称中心，且∈0x [0,2π]，求点A 的坐标． 解：（Ⅰ）21)2cos 2(sin 212sin 21)2cos 1(21)(++-=--=ax ax ax ax x f 21)42sin(22++-=πax …（4分） ∵)(x f y =的图像与m y =相切.∴m 为)(x f 的最大值或最小值. 即221+=m 或221-=m …（6分） （Ⅱ）又因为切点的横坐标依次成公差为2π的等差数列．所以)(x f 最小正周期为2π.又0,222>==a a T ππ， 所以2=a …（8分）即21)44sin(22)(++-=πx x f …（9分）令0)44sin(=+πx ．则04,()4x k k Z ππ+=∈ ∴0,()416k x k Z ππ=-∈ …（10分）由0≤164ππ-k ≤,()2k Z π∈得1k =或2,因此点A 的坐标为)21,163(π、)21,167(π．（12分） 17．（本题满分12分）有一个4×5×6的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成120个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个. （Ⅰ）设小正方体涂上颜色的面数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.（Ⅱ）如每次从中任取一个小正方体，确定涂色的面数后，再放回，连续抽取6次，设恰好取到两面涂有颜色的小正方体次数为η. 求η的数学期望. 解：（Ⅰ）分布列8分）E ξ=0×51+1×3013+2×103+3×151=3037 …（10分） （Ⅱ）易知η～B(6, 103), ∴ E η=6×103=1.8 …（12分）18．（本题满分12分）如图，等腰直角△ABC 中，90ABC ∠=，EA ⊥平面ABC ，FC ∥EA ，EA FC AB a ===.（Ⅰ）求二面角A EB F --的大小； （Ⅱ）求点A 到平面EFB 的距离；（Ⅲ）证明五点,,,,A B C E F 在同一个球面上，并求,A F 两点的球面距离. 解：方法一（Ⅰ）取BE 的中点G ，连结FG ，由EA BA =知AG EB ⊥，又EF EB FB ===，故FG EB ⊥，所以AGF ∠即为二面角A EB F --的平面角. 在△AGF中，AF =，2AG a =，2FG =， 由余弦定理有222222133cos 23a a a AG FG AF AGF AG FG +-+-∠===-⋅， 所以二面角A EB F --的大小是arccos 3π-.（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知道BE ⊥平面AGF ，故平面BEF ⊥平面AGF ，故A 在平面BEF 上的射影一定在直线FG 上，所以点A 到平面EFB 的距离即为△AGF 的边FG 上的高.故sin 2233h a AGF =⋅∠==.…（10分） （Ⅲ）易证△ABF 为直角三角形，且90ABF ∠=，取AF 的中点O ，则由四边形ACFE 是矩形知12OA OE OF OC OB AF =====，故五点,,,,A B C E F 在以O 为球心，AF 为直径的球面上，故,A F两点之间的球面距离就是半个大圆的弧长，是.2a π（12分）方法二以A 点为坐标原点，以过A 垂直于AB 的直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴，AE 为z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示.（1分）DFECA（Ⅰ）则(0,,0)B a ，(0,0,)E a ，(,,)F a a a -(0,,)BE a a =-，(,0,)BF a a =-，设1000(,,)n x y z =是平面BEF 的法向量，则有110n BE n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即000000ay az ax az -+=⎧⎨-+=⎩，取01x =， 得1(1,1,1)n =，易知平面AEB 的一个法向量为(1n =133角为π-.（6分） （Ⅱ）(0,,0)AB a =，故点A 到平面EFB 的距离为11||3||||AB n AB n ⋅=⋅.（10分）（Ⅲ）易知AF 的中点O 的坐标为(,,)222a a a -，故3||||||||AO CO EO FO ====， 而||(OB =-=，故五点,,,,A B C E F 在以O 为球心，AF 为直径的球面上，故,A F 两点之间的球面距离就是半个大圆的弧长，是.2a π（12分） 19．（本题满分12分）一艘轮船在相距1000海里的甲、乙两地之间航行，它的耗油量与速度的平方成正比.当轮船每小时行10海里时，它的耗油量价值500货币单位.又此船每行1小时除耗油费用外，其它消耗为常数(100300)C C ≤≤货币单位，轮船行驶的最大速度是每小时25海里.问：此船从甲地行驶至乙地最经济的行船速度是多少？解：设从甲地到乙地的行船速度为每小时x 海里，则需要的时间为1000Cx小时，耗油量21Q kx =，设耗油费用为1y 货币单位，由已知，当10x =时，耗油量2210100Q k k =⋅=，耗油费为500货币单位，故215y x =，故行船的总费用为210005(025)Cy x x x=+<≤货币单位…（4分） 上式两边同时对x 求导，得21000'10C y x x =-，令'0y =，即21000100Cx x -=，解得x =6分）F又322100010(100)'10C x C y x x x -=-=25，即6251004C ≤<时，当x ∈时，'0y <，当x ∈时，'0y >，故y在上单调递减，在上单调递增，而y 在(0,25]上连续，故当x =y 取到最小值…（9分）25，即6252004C ≤≤时，则对(0,25]x ∈总有'0y <，故y 在(0,25]上单调递减，故当25x =时，y 有最小值.综上所述知，当6251004C ≤<时，轮船行驶的速度应为每小时6252004C ≤≤时，轮船的行驶速度是每小时25海里最经济. …（12分） 20．（本题满分13分）不等式||y 表示的区域内有一动点P ，它在区域边界所在直线上的射影分别是,M N ，且满足38PM PN ⋅=. （Ⅰ）求动点P 的轨迹Γ；（Ⅱ）已知点(2,0)F 和直线l ：12x =，设直线PF 交Γ于另一点Q .以PQ 为直径的圆S 与直线l 交于点A 、B ，设劣弧AB 的长为为m ，求证：mAB的长为定值.（Ⅰ）不等式||y ≤表示的区域内的边界所在直线为0y =和0y =，易知π3MPN ∠=，故22π133cos 3288x y PM PN PM PN -⋅=⋅⋅===，整理得2213yx -=…（5分） 又点P 在不等式||y ≤表示的区域内，故1x ≥，所以轨迹是以(2,0)、(2,0)-为焦点，实轴长为2的双曲线的右支…（6分）（Ⅱ）显然，l 是曲线的准线，(2,0)F 是其焦点坐标.mPQ是劣弧CD 所对圆心角的弧度数的一半（设为θ），故转化为证明劣弧CD 所对圆心角的大小是定值，①当PQ x ⊥轴时，易求得π3θ=；…（8分） ②当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为(2)y k x =-，由22(2)13y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y ，整理得：2222(3)4(43)0k x k x k -+-+=，从而求得PQ 的中点坐标为22226(,)33k kk k --，…（10分） 又12||2()2PQ x x =+-，故21223313k r x x k +=+-=-，…（12分）所以22222222143132cos 332(33)23k k k k k k k θ--+-===++-，所以π3θ=.所以m PQ 为定值.（13分） 21．（本题满分14分）数列{}n a 和数列{}n b （n ∈+N ）由下列条件确定： （1）10a <，10b >；（2）当2k ≥时，k a 与k b 满足如下条件：当1102k k a b --+≥时，1k k a a -=，112k k k a bb --+=；当1102k k a b --+<时，112k k k a ba --+=，1k kb b -=. 解答下列问题：（Ⅰ）证明数列{}k k a b -是等比数列；（Ⅱ）记数列{}()k n n b a -的前n 项和为n S ，若已知当1a >时，lim 0nn na →∞=，求lim n n S →∞.（Ⅲ）(2)n n ≥是满足12n b b b >>>的最大整数时，用1a ，1b 表示n 满足的条件.解：（Ⅰ）当1102k k a b --+≥时，111111()22k k k k k k k a b b a a b a -----+-=-=-，当1102k k a b --+<时，111111()22k k k k k k k a b b a b b a -----+-=-=-，所以不论哪种情况，都有111()2k k k k b a b a ---=-，又显然110b a ->，故数列{}k k a b -是等比数列.…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1111()()2n n n b a b a --=-，故111()()2n n n n n b a b a --=-⋅， 11221231()(1)2222n n n n n S b a ---=-+++++，所以1123111231()()222222n n n n nS b a --=-+++++ 所以11311111()(1)22222n n n n S b a -=-++++-，1112()[4(1)]22n n n nS b a =---，…（7分）又当1a >时，lim 0n n na→∞=，故11lim 4()n n S b a →∞=-.（8分）（Ⅲ）当12(2)n b b b n >>>≥时，1k k b b -≠(2)k n ≤≤，由（2）知1102k k a b--+<不成立，故1102k k a b --+≥，从而对于2k n ≤≤，有1k k a a -=，112k k k a bb --+=，于是11n n a a a -===，故11111()()2n n b a b a -=+-，…………（10分）11111111111[()()]()().2222n n n n a b a a b a a b a -+⎧⎫=++-=+-⎨⎬⎩⎭若02n n a b +≥，则12n n n a b b ++=， 1111111111111()()()()()()0222n n n n n b b a b a a b a b a -+⎧⎫⎧⎫-=+--+-=--<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，所以1n n b b +>，这与n 是满足12(2)n b b b n >>>≥的最大整数矛盾.因此n 是满足02n na b +<的最小整数.（12分） 而111111121110()()02log 22n n n n a b b a a b a b a n a a +--<⇔+-<⇔<⇔<-， 因而，n 是满足1121log a b n a -<的最小整数.（14分）。
2018届湖南省江西省十四校高三第二次联考数学理科试题(解析版)
2018届高三·十四校联考第二次考试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】故选D。
2.复数（为虚数单位）的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故复数（为虚数单位）的共轭复数为故选B.3.下列有关命题的说法中错误的是（）A. 设，则“”是“”的充要条件B. 若为真命题，则，中至少有一个为真命题C. 命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题D. 命题“，且”的否定形式是“，且”【答案】D【解析】A．设，则，则当时，函数为增函数，当时，函数为增函数，函数）在上是增函数，则若，则，即|成立，则“”是“”的充要条件，故A正确；B若为真命题，则，中至少有一个为真命题，正确；C命题的逆命题是若的图象不经过第四象限，则是幂函数，错误比如函数的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，故C正确，D．命题“，且”的否定形式是，故d 错误.故选D ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，含有量词的命题的否定，复合命题以及充分条件和必要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大．4.已知不等式的解集为，则二项式展开式的常数项是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵不等式的解集为，．二项式的展开式式的通项公式为令，求得，可得展开式的常数项是故选B．5.若函数，且，，的最小值是，则的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得由，，的最小值是，令求得故函数的增区间为故选A．6.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积（单位：）是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，该几何体为组合体，下面是正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，高为，上面是正方体，边长为，该几何体表面积为故选C.7.甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借、、、四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅类课外书，则不同的借阅方案种类为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分两类：乙、丙、丁、戊四位同学、、、四类课外书各借1本，共种方法；乙、丙、丁、戊四位同学、、三类课外书各借1本，共有中方法，故方法总数为60种.故选C.8.如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】首先，椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长轴、圆柱底面的直径和母线三者组成一个三角直角形，且长轴与直径的夹角为.故选D.9.一个算法的程序框图如下，则其输出结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，是以为周期的周期函数，故又故选B．【大家】本题考查的知识点是程序框图，分析出程序的功能是解答的关键．10.已知点，，点的坐标，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A画出出可行域如图所示，，表示点到可行域的距离的平方减去8的最小值，到可行域的最小距离即为到直线，则的最小值为故选A.11.过圆：的圆心的直线与抛物线：相交于，两点，且，则点到圆上任意一点的距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题，设，不妨设点A位于第一象限，则由可得解方程可得，则故点到圆上任意一点的距离的最大值为.12.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【解析】由，得：即令F（x）=x2f（x），则当时，得即上是减函数，即不等式等价为在是减函数，∴由F得，，即故选B．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及抽象不等式的解法，其中利用一种条件合理构造函数，正确利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题后后的横线上.13.已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影为__________．【答案】【解析】同理设向量，的夹角为则向量在向量上的投影为即答案为-1.14.已知是数列的前项和，且，则数列的通项公式为__________．【答案】【解析】由，得，当时，；当时，，所以数列的通项公式为.故答案为．15.三棱锥的底面是等腰三角形，，侧面是等边三角形且与底面垂直，，则该三棱锥的外接球表面积为__________．【答案】【解析】由题意，由余弦定理由正弦定理的外接圆半径等边三角形的高为3，设球的半径为球心到底面的距离为，则所以，所以该三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：20π．【点评】本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，其中确定球的半径是是解题的关键．16.已知是以为周期的上的奇函数，当，，若在区间，关于的方程恰好有个不同的解，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题可得函数在上的解析式为在区间，关于的方程恰好有个不同的解，当时，由图可知，同理可得，当时，即答案为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由及正弦定理得，由此可求角的大小；（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得，，为锐角三角形，的范围为，则，，利用正弦函数的性质即可得的取值范围.（1）由及正弦定理得，所以，.（2），，所以，，为锐角三角形，的范围为，则，∴的取值范围是，∴.18.如图，在四棱锥中，平面P AD垂直平面ABCD，底面为平行四边形，已知，，于.（1）求证：；（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接，证明，∴，∵，∴，由此可证平面，即可证明.（2）由平面，平面平面，所以，，两两垂直，以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.根据空间向量求面面角的方法即可求二面角的余弦值.（1）连接，∵，，是公共边，∴，∴，∵，∴，又平面，平面，，∴平面，又平面，∴.（2）由平面，平面平面，所以，，两两垂直，以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为，，，所以，，，则，，，，，.设平面的法向量为，则，即，令，则，又平面的一个法向量为，设二面角所成的平面角为，则，显然二面角是锐角，故二面角的余弦值为.19.随着电子产品的不断更新完善，更多的电子产品逐步走入大家的世界，给大家带来了丰富多彩的生活，但也带来了一些负面的影响，某公司随即抽取人对某电子产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的人中的年龄层次以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：岁以下岁或岁以上（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为电子产品的态度与年龄有关系？（2）为了答谢参与问卷调查的人员，该公司对参与本次问卷调查的人员进行抽奖活动，奖金额以及发放的概率如下：元（谢谢支持）元元现在甲、乙两人参与了抽奖活动，记两人获得的奖金总金额为，求的分布列和数学期望.参与公式：临界值表：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据列联表，计算观测值，通过对照题目中的数值表，即可得出统计结论．（2）的可能取值为，，，，，求出相应概率值，得到分布列.求出数学期望.试题解析：试题解析：（1）依题意，在本次的实验中，的观测值，故可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为对电子产品的态度与年龄有关系.（2）的可能取值为，，，，，，，，，，.20.已知椭圆：.（1）若椭圆的离心率为，且过右焦点垂直于长轴的弦长为，求椭圆的标准方程；（2）点为椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，试判断是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由题根据，，不妨令椭圆方程为，当时，得出，从而得到椭圆的标准方程；（2）令直线方程为与椭圆交于，两点，联立方程得，∴，，由此得到为定值.试题解析：（1），即，，不妨令椭圆方程为，当时，，得出，所以椭圆的方程为.（2）令直线方程为与椭圆交于，两点，联立方程得，即，∴，，∴为定值.21.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，，为自然对数的底数.当时，若，，不等式成立，求的最大值.【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；（2）3【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于等价于，对恒成立，，设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的最大值即可．试题解析：（1）对函数求导得，令，得，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）当时，由（1）可知，，，不等式成立等价于当时，恒成立，即对恒成立，因为时，所以对恒成立，即对恒成立，设，则，令，则，当时，，所以函数在上单调递增，而，，所以，所以存在唯一的，使得，即，当时，，，所以函数单调递减；当时，，，所以函数单调递增，所以当时，函数有极小值，同时也为最小值，因为，又，且，所以的最大整数值是.【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查函数恒成立问题，其中正确变形得到等价命题对恒成立，是解题的关键.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：（其中为常数）.（1）若曲线与曲线有两个不同的公共点，求的取值范围；（2）当时，求曲线上的点与曲线上点的最小距离.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由已知：，；：.联立方程有两个解，可得.（2）当时，直线：，设上的点为，，则，当时取等号.（1）由已知：，；：.联立方程有两个解，可得.（2）当时，直线：，设上的点为，，则，当时取等号，满足，所以所求的最小距离为.23.已知函数，.（1）求的解集；（2）若有两个不同的解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）分类讨论可得函数解析式，由此可得的解集；（2）结合图象易得试题解析：（1），若，可得.（2）结合图象易得。
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湖南G10教育联盟2018年4月高三联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，∴故选：B2. 已知复数（是虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵=，∴，故选：A．3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD是边长为1的正方形，高为CC1=1，该几何体的所有顶点都是棱长为1的正方体的顶点，故几何体的外接球，即为棱长为1的正方体的外接球，故球的直径R满足：2R==，∴R=，∴球的表面积是4π×（）2=3π故选：C．点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．4. 天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为（）年A. 丙酉B. 戊申C. 己申D. 己酉【答案】D【解析】天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则80÷10=8，则2029的天干为己，80÷12=6余8，则2029的地支为酉，故选：D5. 下列说法正确的是（）A. “”是“”的充分不必要条件B. 命题“，”的否定是“，”C. 命题“若，则”的逆命题为真命题D. 命题“若，则或”为真命题【答案】D【解析】对于A，x=-1时，不能得出，∴充分性不成立，A错误；对于B，命题“∀x＞0，2x＞1”的否定是：“”，B错误；对于C，命题“若a≤b，则ac2≤bc2”的逆命题是：“若ac2≤bc2，则a≤b”是假命题，如c=0时，命题不成立；对于D，命题“若a+b≠5，则a≠2或b≠3”的逆否命题是：“若a=2且b=3，则a+b=5”是真命题，D正确．故选：D．6. 若的展开式中常数项为，则的值为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】∵（x+a）2=x2+2ax+a2∵展开式的通项为∴展开式的常数项为﹣C53+2aC54﹣a2∴﹣C53+2aC54﹣a2=﹣1解得a=1或9故选：D．7. 设函数，则下列命题正确的是（）A. 的图象关于直线对称B. 的图象关于点对称C. 的最小正周期为，且在上为增函数D. 把的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象【答案】C【解析】试题分析：函数的周期为，当时，，因此在上递增．故C正确．考点：函数的性质．8. 我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数）．若输出的结果为521，则由此可估计的近似值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】发生的概率为，当输出结果为时，，发生的概率为，所以，即故选B.9. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得，因为，则，所以函数表示以为周期的周期函数，又因为为奇函数，所以，所以，，，所以，故选B.10. 平行四边形中，，，，是平行四边形内一点，且，如，则的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】∵，∴==9x2+4y2+2xy×3×2×（﹣）=（3x+2y）2﹣3•3x•2y≥（3x+2y）2﹣×（3x+2y）2=×（3x+2y）2；又=1，即×（3x+2y）2≤1，所以3x+2y≤2，当且仅当3x=2y，即x=，y=时，3x+2y取得最大值2．故选：B．11. 已知、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF2|，即有+＞c2，∴＞3，即b2＞3a2，∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．则e=＞2．∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选：A．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）A. 3B. 1或3C. 4或6D. 3或4或6【答案】A【解析】在和上单增，上单减，又当时，时，故的图象大致为：令，则方程必有两个根，且，不仿设，当时，恰有，此时，有个根，，有个根，当时必有，此时无根，有个根，当时必有，此时有个根，，有个根，综上，对任意，方程均有个根，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，，分别是内角，，的对边，，，，则__________．【答案】【解析】∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，∴sinC=，∴故答案为：14. 过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，若，则__________．【答案】【解析】试题分析：设点A在第一象限，根据焦半径公式,所以,,所以直线的斜率为，所以直线方程设为，与抛物线方程联立整理为，,所以,那么,故填：.考点：直线与抛物线的位置关系15. 已知约束条件表示的可行域为，其中，点，点，若与的最小值相等，则实数等于__________．【答案】2【解析】先根据约束条件画出可行域，设z1==，将z1的值转化可行域内的Q点与点P（0，﹣1）连线的斜率的值，当Q点在可行域内的B（a，3﹣a）时，斜率最小，最小值为=，设z2=3x﹣y，当z2=3x﹣y过点A（1，2）时3x0﹣y0的值最小，最小值为3×1﹣2=1，∵3x0﹣y0与的最小值相等，∴=1，解得a=2，故答案为：2点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16. 已知，则__________．【答案】【解析】：cos（+α）=3sin（α+），∴﹣sinα=﹣3sin（α+），∴sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=；又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（+α）===2﹣4．故答案为：2﹣4．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设是数列的前项和，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由的关系明确数列的通项公式；（2），利用并项法求出数列的前项和．试题解析：（1）∵，，∴当时，，得；当时，，∴当时，，即，又，∴是以为首项，为公比的等比数列．∴数列的通项公式为．（2）由（1）知，，，当为偶数时，；当为奇数时，，∴18. 某校高三年级有1000人，某次数学考试不同成绩段的人数．（1）求该校此次数学考试平均成绩；（2）计算得分超过141的人数；（3）甲同学每次数学考试进入年级前100名的概率是，若本学期有4次考试，表示进入前100名的次数，写出的分布列，并求期望与方差．【答案】（1）23；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩；（2），141分以上的人数为；（3）的取值范围为0,1,2,3,4，求出相应的概率值，得到分布列及期望与方差．试题解析：（1）由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩.（2），故141分以上的人数为人．（3）的取值范围为0,1,2,3,4，，，，，，故的分布列为：期望，方差．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；。