广东省广州市执信中学2021年高二数学文月考试卷含解析

广东省广州市执信中学2021年高二数学文月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知等差数列的公差，前项和满足：，那么数列中最大的值是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
2. 定义在上的函数，其导函数为，若和都恒成立，对于，下列结论中不一定成立的是（）
A．B．
C. D．
参考答案：
D
由题意可得：，构造函数：
，则，
则函数单调递减，，
即：，选项A正确；
，则，
则函数单调递增，，
即：，选项B正确；
，则，则函数单调递增，，
即：，选项C正确；
利用排除法可知选择D选项.
3. 若复数满足,则下面四个命题中真命题的为（）
的共轭复数为的虚部为
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
4. 如图四边形ABCD，AB=BD=DA=2．BC=CD=，现将△ABD沿BD折起，使二面角A﹣BD﹣C的大小在[，]，则直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是（）
A．[0，]∪（，1）B．[，] C．[0，] D．[0，]
参考答案：
D
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．
【解答】解：取BD中点O，连结AO，CO，
∵AB=BD=DA=2．BC=CD=，∴CO⊥B D，AO⊥BD，且CO=1，AO=，
∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，
以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，
过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（0，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），
设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，
连AO、BO，则∠AOC=θ，A（），
∴，，
设AB、CD的夹角为α，
则cosα==，
∵，∴cos，∴|1﹣|∈[0，]．
∴cos．
故选：D．
【点评】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
5. 设向量，若，则实数的值为（）
A．0 B.4 C.5 D.6
参考答案：
B
【分析】
根据已知条件求出的坐标点，然后再根据得到，代入即可求得结果【详解】
，
即，
故选
6. 已知双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率
为
（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
7. 若a=20.5，b=logπ3，c=log20.5，则（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
参考答案：
A
【考点】72：不等式比较大小．
【分析】利用指数函数和对数函数的性质即可得出．
【解答】解：∵20.5＞20=1，0＜logπ3＜logππ=1，log20.5＜log21=0，
∴a＞b＞c．
故选A．
8. 过抛物线x2=4y的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p，q，则
等于（）
A．B．2 C．1 D．16
参考答案：
C
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】本题是选择题，可以利用特殊值法求解，设PQ的斜率 k=0，因抛物线焦点坐标为（0，1），把直线方程 y=1代入抛物线方程得p，q的值，代入可得答案．
【解答】解：抛物线x2=4y的焦点F为（0，1），
设PQ的斜率 k=0，
∴直线PQ的方程为y=1，
代入抛物线x2=4y得：x=±2，
即p=q=2，
∴=+=1，
故选：C．
9. 以正方体的顶点D为坐标原点O，如图建立空间直角坐标系，则与共
线的向量的坐标可以是
A． B．
C． D．
参考答案：
C
10. 下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A. B. D.
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数，则f (4) =_________.
参考答案：
3
略
12. 设集合A＝{(x，y)| }，B＝{(x，y)|y＝}，则A∩B的子集的个数是_______参考答案：
4
13. 已知,则
的最小值为 .
参考答案：
2
略
14. 已知曲线恰有三个点到直线距离为1，则
参考答案： 9
15. 在平面几何中，有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的
”。

拓展到空间，类比平面几
何的上述正确结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的。

参考答案：
略
16. 已知||＝,||＝,与的夹角为
，则在上的投影为_____________.
参考答案： 1
17. 一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为36π，那么该三棱柱的体积是
．
参考答案：
162
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】根据球的体积得出球的半径，由球与棱柱相切可知棱柱的高为球的直径，棱柱底面三角形的内切圆为球的大圆，从而计算出棱柱的底面边长和高．
【解答】解：设球的半径为r ，则=36π，解得r=3．
∵球与正三棱柱的三个侧面相切，
∴球的大圆为棱柱底面等边三角形的内切圆， ∴棱柱底面正三角形的边长为2=6
．
∵球与棱柱的两底面相切， ∴棱柱的高为2r=6． ∴三棱柱的体积V==162
．
故答案为162
．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数的定义域为，对任意的
都满足
，当
时，
.
（1）判断并证明
的单调性和奇偶性；
（2）是否存在这样的实数，当时，使不等式
对所有恒成立，如存在,求出的取值范围；若不存在,说明理由.
参考答案： （1）令
有
即
为奇函数 在R 上任取
，由题意知
则 故是增函
数
（2）要使
，只须
又由
为单调增函数有
令
原命题等价于恒成立
令上为减函数，时，原命题成立.
略
19. 已知椭圆C的两个焦点是，，且椭圆C经过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过左焦点F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于P、Q两点，求线段PQ的长.
参考答案：
(1)；(2).
试题分析：
(1)由题意可得椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为，由题意可得，求得
，即可得到所求椭圆的方程；
（2）求出直线的方程，代入椭圆的方程，设，运用韦达定理，由弦长公式计算即可得到所求的值．
试题解析：
（1）由已知得，椭圆C的焦点在x轴上，
可设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），
是椭圆短轴的一个顶点，可得，
由题意可得c=2，即有a==3，
则椭圆C的标准方程为；
（2）由已知得，直线l斜率k=tan45°=1，而F1（﹣2，0），
所以直线l方程为：y=x+2，
代入方程，得5x2+9（x+2）2=45，即14x2+36x﹣9=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，
则=．
20. （本题满分12分）已知是实数，试解关于的不等式：
参考答案：
解析：原不等式同解于………（4分），
当时，原不等式的解集为；………（7分），
当时，原不等式的解集为；………（9分），
当时，原不等式的解集为；………（12分）.
21. 在平面直角坐标系xOy中，直线，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.设直线l与曲线C交于M，N两点，M点在N点的下方.
（Ⅰ）当时，求M，N两点的直角坐标；
（Ⅱ）当k变化时，求线段MN中点P的轨迹的极坐标方程.
参考答案：
（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）根据题意，可将直线与曲线C联立求得，两点的直角坐标；
（II）（解法一）当变化时，，于是可知点的轨迹为圆，从而得到其轨迹方程；
（解法二）设，可用相关点法表示出的坐标，代入，于是得到轨迹方程.
【详解】解：（Ⅰ）当时，直线，
曲线的普通方程为：，
由解得或，
∵点在点的下方，
所以，两点的直角坐标为：，.
（II）（解法一）当变化时，，
所以点的轨迹是以为直径的圆（点除外），
因为曲线是圆心为的圆，
则以为直径的圆的圆心坐标，半径为2.
所以点轨迹的直角坐标方程为，
所以点轨迹的极坐标方程为.
（解法二）设，
因为点是线段中点，是极点，
所以点的坐标为，
代入中，得，
因为，不重合，所以，
所以点轨迹的极坐标方程为.
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程.意在考查学生的转化能力，计算能力，逻辑推理能力，难度中等.
22. 实数m取什么数值时，复数分别是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？
参考答案：
（1）；（2）；（3）；（4）.
试题分析：根据复数的概念及几何意义易得.
（1）当复数z是实数时，，解得；
（2）当复数z是虚数时，，解得；
（3）当复数z是纯虚数时，且，解得；
（4）当复数z表示的点位于第四象限时，且,解得.
试题解析：
解：（1）当，即时，复数z是实数；（2）当，即时，复数z是虚数；
（3）当，且时，即时，复数z是纯虚数；
（4）当且,即时，复数z表示的点位于第四象限。

考点：复数的概念及几何意义.。