数学物理方法第三章-精品文档126页

解 级数的部分和为
sn

1

z

z2

z k1

1 zk 1 z
,
(z

1)
26
z 1
z 1
lim
k
sk

1 1
z
lim z k 0
k

级数 zk 收敛,
k0

级数 zk 发散.
k0
由阿贝尔定理知: 收敛范围为一单位圆域 z 1,
在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1,
从某个k开始,
总有
z k
1, 2
于是有
zk kk


1 2
k
,
故该级数对任意的z均收敛. 11
(2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散. 此时, 级数在复平面内除原点外处处发散. 例如,级数 1z22z2kkzk
当z0时, 通项不趋于零, 故级数发散. (3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数.
[证毕]
18
注意:
定理中极限 lim ak1 存在且不为零 . k ak
如果:

1.0, 则级数 ak zk 在复平面内处处收敛 ,
k0
即 R .
2.(极限不存在),
¥
å 则级数 ak zk 对于复平面内除 z = 0以外的一切 k=0
z 均发散, 即 R0.
19
课堂练习 试求幂级数
n p
wk ,
k n1
绝对收敛
式中 p 为任意正整数



若 wk uk2vk2 收敛，则称 w k 绝对收敛
判别法k：1
k1
k 1


wk
的每一项都是复数的模，即正实数，所以它
实际上k 1就是正项级数，这样复数项级数绝对收敛的判
别法即正项级数的判别法。 5
两个绝对收敛级数的和，积，仍绝对收敛。 复变函数项级数：

w k(z ) w 1 (z ) w 2 (z ) w k(z ), k 1 每一项都是复变函数 实际上，对于 z 的一个确定值，复变函数项级
数变成一个复数项级数。
复变函数项级数有一个定义域 B 。它的收敛的 概念应当是相对于这个定义域而言的。
绝对一致收敛
在区域 B 中，复数项级数的各项满足 wk (z) mk ,
而常数项级数

mk
收敛。
k 1
即在各点都绝对收敛
8
3.2 幂级数
幂级数：常用的一种级数，实变函数幂级数的推广
1 定义
复常数
复常数

a k (z z 0 )k a 0 a 1 (z z 0 ) a 2 (z z 0 )2 a k (z z 0 )k
性质1：
若级数


w k (z)
在B内一致收敛于s(z)，且
其各项均为B内的连续k函 1 数，则s(z)也是B内的连续函数。
性质2： 若级数 w k ( z ) 在曲线l上一致收敛于s(z)， k 1
且各项均为l上的连续函数，则级数可沿l逐项积分：

l s(z)dz l wk(z)dz k1
k 0
为以 z 0 为中心的幂级数.

z 0 0 时 akzka0a1za2z2 akzk k0
幂级数的敛散性

定理 (阿贝尔Abel)
如果级数

k0
a
k
z
k
在z=z0(≠0)收
敛，那么对满足 z z0 的z，级数必绝对收敛；如果在
z=z0级数发散，那么对满足 z z0 的z，级数必发散。 9
[a0](n)[a1(zz0)](n)[a2(zz0)2](n) w(n)(z)
结论：幂级数的和可表为连续函数的回路积分。
幂级数在收敛圆内可任意逐项求导，还可以逐项积分。
25
5、典型例题

例1 求幂级数 zk 1 z z2 zk
k0
的收敛范围与和函数.
1
学习要求与内容提要
目的与要求：掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛 朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤立奇点的概念及 判定、零点与极点的关系。 重点： 函数展开成泰勒级数与洛朗级数 难点： 函数展开成洛朗级数
2
无穷级数：一系列无穷多个数w1，w2，w3， wn， 写 成w1+w2+w3+ wn+ 就称为无穷级数。这仅是一种形式上 的相加。这种加法是不是具有‘和数’呢？这个‘和数’的 确切意义是什么？
k1
k1
k1
若在区域内某一点z0点，前n项和极限存在,则
lni m sn(z0)s(z0) 那么级数
k 1
w
k
在z0点收敛，s ( z 0 )
为该无穷级数的和；否则称为发散。
Hale Waihona Puke 4收敛的充要条件柯西判据：复数项级数收敛的充要条件是，对于
任一小的正数 ，必存在一 N 使得 n>N 时有
的表达式被称为复数项级数，其中wk uk ivk 是复数。
部分和
n
n
n
sn wk uk i vk 级数最前面n项的和
k1
k1
k1
收敛性 问题
每一项收敛性问题归结为两个实数项级数
n
n
n
lim
n
wk lni m
ukilni m
vk
极限存在并有限
w(z)
24
乘以
C
z
C R1
n! 1
z0
2i (z z)n1
n! w(z)dz
2i z ( CR1 z)n1
n!
a0 n! a1(zz0)n! a2(zz0)2
2i z ( CR1 z)n1 2i z ( CR1 z)n1 2i CR1 (zz)n1
k ak

证
由于
lim ak1 k ak
z k1 zk
lim ak1 k ak
z
z,
当
z

1

时,

ak zk 收敛.
k0
16
根据上节前面讨论,级数

ak zk
k0
在圆
z

1

内收敛 ,
假设在圆
z

1

外有一点 z0,
使级数

ak zk 收敛,
k0
在圆
z
k0

故级数 a k z k k0
是绝对收敛的。 [证毕]
另一部分的证明请课后完成.
10
2. 收敛圆与收敛半径
对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种:
(1) 对所有的正实数都收敛.
由阿贝尔定理知:
级数在复平面内处处绝对收敛.
例如, 级数 1zz2 zk
22
nk
对任意固定的z,
为什么要研究级数？ (1) 级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具； (2) 常微分方程的级数解。
研究级数需关心的问题： (1) 级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据； (2) 收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。
3
3.1 复数项级数

复数项级数定义 形如 wk w1w2 wk , k1

证
因为级数
a
k
z
k 0
收敛，
k0
由收敛的必要条件, 有lkim ak z0k 0
因而存在正数M, 使对所有的k, 有
如z果 z0,
而 ak zk
ak z0k
zk z0 k
那末z z0
Mq n
q1,
由正项级数的比较判别法知:
ak z0k M,

akzka0a 1za2z2akzk 收敛.
30

例3 求幂级数 (cosin)zn 的收敛半径:
n0
解
因为
an
cos in
con s h1(enen), 2
所以
lim an1 n an

lim
n
e n1 en

e n1 en
e,
故收敛半径 R 1 . e
31

例4 求 (1 i)n zn 的收敛半径.
用有界函数 1 2i
z
1
z
相乘后，在CR1上一致收敛
利用柯西公式
1 w(z)dz
2i CR1zz
1
a0 dz 1 a1(zz0)dz 1 a2(zz0)2dz
2i CR1zz 2i CR1 zz
2i CR1 zz
a0a1(zz0)a2(zz0)2

1
.
说明:
如果


0


R R0
(与比值法相同)
21
4. 复变幂级数在收敛圆内的性质

定理四 设幂级数 ak (z z0 )k 的收敛半径为 R ,
k0
那末

(1) 它的和函数 w(z) ak (z z0)k 是收敛圆
k0
z z0 R 内的解析函数 .
6
收敛 复变函数项级数在其定义域 B中每一点都收 敛，则称在B中收敛。它满足柯西判据：
对于一小正数 ，必存在一N(z)使得n>N(z)
时有
n p
wk (z) ,
k n1
收敛，但N(z) 与复变量 z有关
一致收敛 N 与 z 无关
给定 ，有一个统一的 N 使判据得到满足
7
一致收敛级数的性质
k0 c
或
z w(z )dz
a

k0
ak k
(z 1

z0)k1 .
简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导, 逐项积分. (常用于求和函数)
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6 幂级数的和与回路积分。
记 CR1上点为z， CR1内任一点为 z，则圆上的幂级数可写为
C
z
C R1
z0
z z z w () a 0 a 1 ( z 0 ) a 2 ( z 0 ) 2
n0
解 因为 1 i
2 (cos


i
sin
)

4
4
an (1 i)n ( 2)nen4i;
i
2e4 ,
lim an1 n an

lim( n (
且有 1 1 z z2 zk . 1 z
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例2 求下列幂级数的收敛半径:
z n
(1) n 1 n 3
(并讨论在收敛圆周上的情形)
(2) (z 1)n (并讨论z0,2时的情形) n1 n
解 (1) 因为 lim an1 lim( n )3 1,
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(2)
lim an1 n an
lim n 1, n n 1
即 R 1.
当 z 0时 ,
原级数成为 (1)n 1, 交错级数, 收敛.
n1
n
当 z 2时 ,

原级数成为
1 , 调和级数，发散.
n1 n
说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.
z n
n1 n p
( p为正整数) 的收敛半径.
答案
因为
an

1 kp
，
lim an1
n an

lim( n n n
)p 1

lim
n
(1
1 1)p
1.
n
所以
R
1

1.
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方法2: 根值法(定理三)
如果 lim k k
ak

0,
那末收敛半径
R

1

外再取一点
z1 ,
使 z1 z0 ,

据阿贝尔定理, 级数 ak z1k 必收敛.
k0
17
然而当
z1

1

时,
lim
k
ak 1 ak
z1 z1
k 1 k


z1
1.

与 ak z1k 收敛相矛盾, 即假设不成立 .
k0
故

ak zk
k0
在圆
z

1

外发散 ,
所以收敛半径为 R 1 .
14
例如, 级数: R 均为 1, 收敛圆周 z 1

zk
收敛圆周上无收敛点;
k0
z k
k k 0
在点z 1发散, 在其它点都收敛;
z k
k2
k0
在收敛圆周上处处收敛.
15
3. 收敛半径的求法
方法1: 比值法(定理二):
如果 lim ak1 0, 那末收敛半径 R 1 .
n an
n n1
或
lim n
n
an
lim n n
1 n3
lim 1 1. nn n3
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所以收敛半径 R1, 即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散,
在圆周
z
1上, 级数
zn n1 n3

n1
1 n3
收敛的 p级数 (p31).
所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
设z时,级数收 ; z敛 时,级数发.如散 图:
12
y
收敛圆
o
R.
.

收敛半径 x

幂级数 a k z k 的收敛范围是以原点为中心的圆域. k0 13

问题1: 幂级数 ak (z a)k 的收敛范围是何区域? k 0
答案: 是以 z a 为中心的圆域. 问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何? 注意 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出 一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.
(2) w(z) 在收敛圆 z z0 R 内的导数可将其幂

级数逐项求导得到, 即 w(z) kak (z z0)k1.
k 1
22
(3) w(z) 在收敛圆内可以逐项积分,

即 w(z)dz ak (z z0)k dz, c z a R.
c