中考数学一轮复习第四章三角形数学文化讲堂四

数学文化讲堂(四)
一 海伦——秦九韶公式
古希腊的几何学家海伦，约公元50年，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了如下公式：若一个三角形的三边分别为a ，b ，c ，记p ＝1
2(a ＋b
＋c)，那么三角形的面积为：S △ABC ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）(海伦公式)．我国南宋时期数学家秦九韶(约1202～约1261)，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：S △
ABC
＝
14[a 2b 2－（a 2＋b 2－c 2
2
）2].海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们一般也称此公式为海伦——秦九韶公式．(人教八下P 16，北师八上P 51)
1. 若△ABC 的三边长为5，6，7，△DEF 的三边长为5，6，7，请利用上面的两个公式分别求出△ABC 和△DEF 的面积．
2. 如图，在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝6，AB ＝9，求△ABC 的内切圆半径．
第2题图
二 赵爽弦图
赵爽，三国吴人，是三国到南宋时期三百多年间中国杰出的数学家之一．他在注解《周髀算经》中给出的“赵爽弦图”证明了勾股定理的准确性，如图所示，四个全等的直角三角形可
以围成一个大的正方形，中间空的是一个小正方形．通过对这个图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．证明方法如下：
设直角三角形的三边中较短的直角边为a，另一直角边为b，斜边为c，朱实面积＝2ab，黄实面积＝(b－a)2＝b2－2ab＋a2，朱实面积＋黄实面积＝a2＋b2＝大正方形面积＝c2.(人教八下P30，北师八下P16)
3. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为________．
第3题图第4题图
4. 如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于________．
三泰勒斯——全等
泰勒斯，公元前7至6世纪的古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，希腊最早的哲学学派——米利都学派(也称爱奥尼亚学派)的创始人．泰勒斯是古希腊及西方第一个有记载有名字留下来的自然科学家和哲学家．
5. 相传泰勒斯利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离．如图，B是观察点，船A在B的正前方，过点B作AB的垂线，在垂线上截取任意长BD，C是BD的中点，观察者从点D沿垂直于BD的DE方向走，直到点E、船A和点C在一条直线上，那么△ABC≌△EDC，从而量出DE的距离即为船离岸的距离AB，这里判定△ABC≌△EDC的方法是( )
第5题图
A. SAS
B. ASA
C. AAS
D. SSS
四《海岛算经》
《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础．由刘徽于三国魏景元四年所撰，《海岛算经》共九问，都是用表尺重复从不同位置测望，取测量所得的差数，进行计算从而求得山高或谷深．(北师九上P104)
6. 该书中提出九个测量问题，其中一个为：有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．从勾端望谷底，入下股九尺一寸．又设重矩于上，其矩间相去三丈．更从勾端望谷底，入上股八尺五寸．问谷深几何？题目的大意是：测量一个山谷AE的深度，拿一个高AB为6尺的矩尺△ABD 放在岸上，从B端看谷底EG(D在BG上)，下股AD为9尺1寸，向上平移矩尺3丈，现从B′
端看谷底EG，上股A′D′为8尺5寸，试求谷深AE.(一丈＝10尺＝100寸)
7. 某校王老师根据《海岛算经》中的问题，编了这样一道题：如图，甲、乙两船同时由港
口A出发开往海岛B，甲船沿北偏东60°方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船
速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，在C港口停留0.5
小时后再沿东北方向开往B岛，B岛建有一座灯塔，在灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，
问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔，两船看到灯塔的时间相差多少？(精确到分钟，3≈1.73，2≈1.41)
第7题图
答案
1. 解： 当△ABC 的三边长为5，6，7时，则p ＝1
2×(5＋6＋7)＝9，
∴S △ABC ＝9×（9－5）×（9－6）×（9－7）＝66， 当△DEF 的三边长为5，6，7时，
S △DEF ＝
14[（5）2×（6）2
－（5＋6－72）2]＝262
. 2. 解：由题意得p ＝1
2
×(5＋6＋9)＝10，则
S ＝10×（10－5）×（10－6）×（10－9）＝10 2. ∵S ＝1
2r(AC ＋BC ＋AB)，
∴102＝1
2r(5＋6＋9)，
解得r ＝2，
故△ABC 的内切圆半径为 2.
3. 1或4 【解析】分两种情况：①5为斜边时，由勾股定理得，另一直角边长＝52
－32
＝4，∴小正方形的边长＝4－3＝1，∴小正方形的面积＝12
＝1；②3和5为两条直角边长时，小正方形的边长＝5－3＝2，∴小正方形的面积＝22
＝4；综上所述，小正方形的面积为1或4.
4. 6 【解析】设AH ＝x ，则AE ＝x ＋2，由四个全等的直角三角形可得DE ＝AH ＝x ，在Rt △DAE 中，由勾股定理得：AD 2
＝AE 2
＋DE 2
，即102
＝(x ＋2)2
＋x 2
，解得x ＝6或x ＝－8(舍去)． 5. B
6. 解：∵AD∥EG， ∴△BAD ∽△BEG ， ∴BA BE ＝AD EG ， ∴
66＋AE ＝9.1EG
， ∵A ′D ′∥EG ，
∴△B ′A ′D ′∽△B ′EG ， ∴B ′A ′B ′E ＝A ′D ′EG ， ∴
66＋30＋AE ＝8.5
EG
，
∴9.1(6＋AE)＝8.5(36＋AE)， ∴解得AE ＝419(尺)， ∴谷深AE 为41丈9尺．
7. 解：如解图，过点B 作BD⊥AC，交AC 的延长线于点D ，设BD ＝x ， 在Rt △BCD 中，
第7题解图∵∠BCD＝45°，
∴BC＝
BD
sin45°
＝2x，
在Rt△ABD中，∵∠ABD＝60°，
∴AD＝BD·tan60°＝3x，AB＝BD
cos60°
＝2x，
∵AC＝20×1＝20(海里)，AC＋CD＝AD，
∴20＋x＝ 3 x，
解得x＝10(3＋1)海里，
∴AB＝2x＝20(3＋1)海里，
BC＝2x＝102(3＋1)海里，
∴t甲＝(AB－5)÷15×60
＝(203＋20－5)÷15×60
≈198.4(分钟)，
t乙＝(AC＋BC－5)÷20×60＋0.5×60
＝[20＋102(3＋1)－5]÷20×60＋30
≈190.5(分钟)．
∵t甲>t乙，
t甲－t乙≈8(分钟)，
∴乙船先看到灯塔，两艘船看到灯塔的时间相差约8分钟．。