2013届高考数学“得分题”训练(8)(教师版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解重庆理
2013年重庆理一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知集合U=1,2,3,4，集合A=1,2，B=2,3，则∁U A∪B= A. 1,3,4B. 3,4C. 3D. 42. 命题"对任意x∈R，都有x2≥0 "的否定为 A. 存在x0∈R，使得x02<0B. 对任意x∈R，都有x2<0C. 存在x0∈R，使得x02≥0D. 不存在x∈R，使得x2<03. 3−a a+6−6≤a≤3的最大值为 A. 9B. 92C. 3 D. 3224. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x,y的值分别为 A. 2,5B. 5,5C. 5,8D. 8,85. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 5603B. 5803C. 200D. 2406. 若a<b<c，则函数f x=x−a x−b+x−b x−c+x−c x−a的两个零点分别位于区间 A. a,b和b,c内B. −∞,a和a,b内C. b,c和c,+∞内D. −∞,a和c,+∞内7. 已知圆C1:x−22+y−32=1，圆C2:x−32+y−42=9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则 PM + PN 的最小值为 A. 5−4B. −1C. 6−2D.8. 执行如图所示的程序框图，如果输出s=3，那么判断框内应填入的条件是 A. k≤6B. k≤7C. k≤8D. k≤99. 4cos50∘−tan40∘= A. 2B. 2+32C. 3D. 22−110. 在平面上，AB1⊥AB2，OB1=OB2=1，AP=AB1+AB2．若OP<12，则OA的取值范围是 A. 0,52B. 52,72C. 52,2 D. 72,2二、填空题（共6小题；共30分）11. 已知复数z=5i1+2i（i是虚数单位），则 z =．12. 已知a n是等差数列，a1=1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1,a2,a5成等比数列，则S8=．13. 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是．（用数字作答）14. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠A=60∘，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为．15. 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线x=t2,y=t3（t为参数）相交于A，B两点，则 AB =．16. 若关于实数x的不等式 x−5+ x+3<a无解，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题；共78分）17. 设f x=a x−52+6ln x，其中a∈R，曲线y=f x在点1,f1处的切线与y轴相交于点0,6．（1）确定a的值；（2）求函数f x的单调区间与极值．18. 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸球恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E X．19. 如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=π3，F 为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B−AF−D的正弦值．20. 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且a2+b2+2ab=c2．（1）求C；（2）设cos A cos B=325，cosα+A cosα+Bcos2α=25，求tanα的值．21. 如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e=22，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，Aʹ两点， AAʹ =4．（1）求该椭圆的标准方程；（2）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，Pʹ，过P，Pʹ作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥PʹQ，求圆Q的标准方程．m∈I n,k∈I n．22. 对正整数n，记I n=1,2,⋯,n,P n=k（1）求集合P7中元素的个数；（2）若P n的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为"稀疏集"．求n的最大值，使P n能分成两个不相交的稀疏集的并．答案第一部分1. D2. A3. B4. C 【解析】[答案] C[分析] 观察茎叶图，由中位数的概念可得x的值，由平均数的计算公式可得y的值．[解析] 由于甲组的中位数是15，可得x=5，由于乙组数据的平均数为16．8，得y=8．5. C6. A 【解析】由题可得f a>0，f b<0，f c>0，故零点在a,b和b,c内．7. A 【解析】作出点C1关于x轴的对称点G2,−3，连接GC2交x轴于点P，同时交圆C2于N点．连接C1P交圆C1于点M，则所得 PM + PN 的值最小．8. B 9. C 【解析】原式=4sin40∘cos40∘−sin40∘=2sin80∘−sin40∘=2sin120∘−40∘−sin40∘cos40∘= 3.10. D【解析】令OB1=a，OB2=b，OA=c，由OB1=OB2=1，则a2=b 2=1．由AP=AB1+AB2，得OP−c=a−c+b−c．∴OP=a+b−c，∴OP2=a2+b2+c2+2a⋅b−2a⋅c−2b⋅c，∵AB1⊥AB2，∴a−c⋅ b−c=0，即a⋅b−a⋅c−b⋅c+c2=0．∴ OP2=2− c2，∵OP<12，∴0≤ OP2<14，∴74<c2≤2，∴72<OA≤2．第二部分11. 512. 6413. 590【解析】分为六类情况：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51=20种；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51=60种；1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53=120种；2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51=90种；1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52=180种；2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52=120种．因此，共计20+60+120+90+180+120=590种．14. 5【解析】在Rt△ABC中，BC=AB sin∠BAC=10∠BCD=60∘，所以BD=BC sin60∘=15，CD=BC cos60∘=53，由切割线定理可得，DC2=DE×DB，故DE=5．15. 1616. −∞,8【解析】提示：x−5+x+3min=8，要使x−5+x+3<a无解，则x−5+x+3 ≥a恒成立，只需a≤8．第三部分17. （1）因为f x=a x−52+6ln x，故fʹx=2a x−5+6 x .令x=1，得f1=16a,fʹ1=6−8a,所以曲线y=f x在点1,f1处的切线方程为y−16a=6−8a x−1.由点0,6在切线上可得6−16a=8a−6，故a=1 .（2）由（1）知，f x=1x−52+6ln x x>0,fʹx=x−5+6=x−2x−3.令fʹx=0，解得x1=2,x2=3.当0<x<2或x>3时，fʹx>0,故f x在0,2,3,+∞上为增函数；当2<x<3时，fʹx<0,故f x在2,3上为减函数．由此可知，f x在x=2处取得极大值f2=92+6ln2,在x=3处取得极小值f3=2+6ln3.18. （1）设A i i =0,1,2,3 表示摸到i 个红球，B j j =0,1 表示摸到j 个蓝球，则A i 与B j 独立． 恰好摸到1个红球的概率为P A 1 =C 31C 4273=18.（2）X 的所有可能值为0,10,50,200，且P X =200 =P A 3B 1 =P A 3 P B 1 =C 3373⋅1=1,P X =50 =P A 3B 0 =P A 3 P B 0 =C 33C 73⋅23=2105,P X =10 =P A 2B 1 =P A 2 P B 1 =C 32C 41C 73⋅13=12105=435,P X =0 =1−1−2−4=6.综上可知，获奖金额X 的分布列为X 01050200P6743521051105从而有E X =0×67+10×435+50×2105+200×1105=4 元 .19. （1）如图，连接BD 交AC 于点O ，因为BC =CD ，即△BCD 为等腰三角形， 又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD ．以O 为坐标原点，OB ,OC,AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ，则OC =CD cosπ3=1. 而AC =4，所以AO =AC −OC =3．又OD =CD sinπ= 3, 故A 0,−3,0 ,B 3,0,0 ,C 0,1,0 ,D − 3,0,0 .因为PA ⊥底面ABCD ，可设P 0,−3,z ，由点F 为PC 边中点，F 0,−1,z2 ．又AF=0,2,z 2,PB=3,3,−z ,因为AF⊥PB，故AF⋅PB=0,即6−z 22=0,z=23（z=−23舍去），所以PA=23,所以PA的长为2（2）由（1）知，AD= − 3,3,0,AB=3,3,0,AF=0,2,3.设平面FAD的法向量为n1=x1,y1,z1，平面FAB的法向量为n2=x2,y2,z2，由n1⋅AD=0,n1⋅AF=0,得− 3x1+3y1=0,2y1+3z1=0,因此可取n1=3,3,−2.由n2⋅AB=0,n2⋅AF=0,得3x2+3y2=0,2y2+3z2=0,故可取n2=3,− 3,2.从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos⟨n1,n2 ⟩=n1⋅n2 n1⋅n2=1 ,故二面角B−AF−D的正弦值为378．20. （1）因为a2+b2+2ab=c2，由余弦定理有cos C=a2+b2−c2=−2ab=−2.故C=3π4．（2）由题意得，sinαsin A−cosαcos A sinαsin B−cosαcos B=2 ,因此tanαsin A−cos A tanαsin B−cos B=2 5 .tan2αsin A sin B−tanαsin A cos B+cos A sin B+cos A cos B=2 5 ,tan2αsin A sin B−tanαsin A+B+cos A cos B=2. ⋯⋯①因为C=3π4，所以A+B=π4，所以sin A+B=cos A+B=2.因为cos A+B=cos A cos B−sin A sin B，即32−sin A sin B=2 .解得sin A sin B=32−2=2.由①得，tan2α−5tanα+4=0，解得tanα=1 或 tanα=4.21. （1）由题意知，A−c,2在椭圆上，则−c22+222=1.从而e2+4b2=1.由e=22，得b2=41−e2=8,从而a2=b21−e2=16.故该椭圆的标准方程为x2+y2=1.（2）由椭圆的对称性，可设Q x0,0．又设M x,y是椭圆上任意一点，则QM 2=x−x02+y2=x2−2x0x+x02+81−x2=1x−2x02−x02+8x∈−4,4.设P x1,y1，由题意知，点P是椭圆上到点Q的距离最小的点，因此，上式当x=x1时取最小值．又因为x1∈−4,4，所以上式当x=2x0时取最小值，从而x1=2x0，且QP 2=8−x02.因为PQ⊥PʹQ，且Pʹx1,−y1，所以QP⋅QPʹ=x1−x0,y1⋅x1−x0,−y1=0,即x1−x02−y12=0,由椭圆方程及x1=2x0，得1 4x12−81−x1216=0,解得x1=±46,x0=x12=±263,从而QP 2=8−x02=16 .故这样的圆有两个，其标准方程分别为x+2632+y2=163,22. （1）当k=4时，km∈I7中有3个数与I7中的3个数重复，因此P7中元素的个数为7×7−3=46．（2）先证：当n≥15时，P n不能分成两个不相等的稀疏集的并．若不然，设A，B为不相交的稀疏集，使A∪B=P n⊇I n．不妨设1∈A，则因为1+3=22，故3∉A，即3∈B．同理，6∈A,10∈B，又推得15∈A，但1+15=42，这与A为稀疏集矛盾．再证P14符合要求．当k=1时，km∈I14=I14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A1=1,2,4,6,9,11,13,B1=3,5,7,8,10,12,14,则A1,B1为稀疏集，且A1∪B1=I14.当k=4时，集合km∈I14中除整数外剩下的数组成集合普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解完美版12,32,52,⋯,132,可求解为下面两稀疏集的并：A2=1,5,9,11,B2=32,72,132.当k=9时，集合km∈I14中除正整数外剩下的数组成集合1 3,23,43,53,…,133,143,可分解为下面两稀疏集的并：A3=1,4,5,10,13,B3=23,73,83,113,143.最后，集合C=km∈I14,k∈I14,且k≠1,4,9中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C,B=B1∪B2∪B3,则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14．综上可知，所求n的最大值为14．。
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2013年广东理一、选择题（共8小题；共40分）1. 设集合M = x x 2+2x =0,x ∈R ，N = x x 2−2x =0,x ∈R ，则M ∪N = A. 0 B. 0,2 C. −2,0 D. −2,0,22. 定义域为R 的四个函数y =x 3，y =2x ，y =x 2+1，y =2sin x 中，奇函数的个数是 A. 4 B. 3 C. 2 D. 13. 若复数z 满足i z =2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是 A. 2,4B. 2,−4C. 4,−2D. 4,24. 已知离散型随机变量X 的分布列为X 123P35310110则X 的数学期望E X = A. 32B. 2C. 52D. 35. 某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 A. 4B. 143C. 163D. 66. 设m ,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A. 若α⊥β,m ⊂α,n ⊂β，则m ⊥nB. 若α∥β,m ⊂α,n ⊂β，则m ∥nC. 若m ⊥n ,m ⊂α,n ⊂β，则α⊥βD. 若m ⊥α,m ∥n ,n ∥β，则α⊥β7. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F 3,0 ，离心率等于32，则C 的方程是 A.x 242 5=1 B.x 24−y 25=1 C.x 22−y 25=1 D.x 222 5=18. 设整数n ≥4，集合X = 1,2,3,⋯,n ．令集合S = x ,y ,z x ,y ,z ∈X ,且三条件x <y <z ,y <z <x ,z <x <y 恰有一个成立 ，若 x ,y ,z 和 z ,w ,x 都在S 中，则下列选项正确的是 A. y ,z ,w ∈S ， x ,y ,w ∉S B. y ,z ,w ∈S ， x ,y ,w ∈SC. y ,z ,w ∉S ， x ,y ,w ∈SD. y ,z ,w ∉S ， x ,y ,w ∉S二、填空题（共7小题；共35分）9. 不等式x2+x−2<0的解集为．10. 若曲线y=kx+ln x在点1,k处的切线平行于x轴，则k=．11. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为．12. 在等差数列a n中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=．13. 给定区域D:x+4y≥4,x+y≤4,x≥0,令点集T=x0,y0∈D x0,y0∈Z,x0,y0是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定条不同的直线．14. 已知曲线C的参数方程为x=2cos ty=2sin t（t为参数），C在点1,1处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为．15. 如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=．三、解答题（共6小题；共78分）16. 已知函数f x=2cos x−π12，x∈R．（1）求f −π6的值；（2）若cosθ=35，θ∈3π2,2π ，求f2θ+π3．17. 某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人?（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．18. 如图左，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90∘,BC=6，D,E分别是AC,AB上的点，CD=BE=2，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到下图右所示的四棱锥Aʹ−BCDE，其中AʹO=3．（1）证明：AʹO⊥平面BCDE；（2）求二面角Aʹ−CD−B的平面角的余弦值．19. 设数列a n的前n项和为S n，已知a1=1，2S nn =a n+1−13n2−n−23，n∈N∗．（1）求a2的值；（2）求数列a n的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有1a1+1a2+⋯+1a n<74．20. 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F0,c c>0到直线l:x−y−2=0的距离为322．设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P x0,y0为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求 AF ⋅ BF 的最小值．21. 设函数f x=x−1e x−kx2k∈R．（1）当k=1时，求函数f x的单调区间；（2）当k∈12,1时，求函数f x在0,k上的最大值M．答案第一部分1. D2. C3. C4. A 【解析】E X=1×3+2×3+3×1=3.5. B6. D7. B8. B 【解析】因为x,y,z∈S，所以x，y，z的大小关系有3种；同理z，w，x的大小关系也有3种．如图所示，可知x，y，w，z的大小关系有4种，均符合y,z,w∈S，x,y,w∈S．第二部分9. −2,110. −111. 712. 20【解析】设等差数列a n的公差为d．因为a3+a8=10，即2a1+9d=10．所以3a5+a7=4a1+18d=22a1+9d=20．13. 6【解析】因为直线z=x+y与直线x+y=4平行，故直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点4,0,3,1,2,2,1,3,0,4时，直线的纵截距最大，即z最大．当直线过0,1时，直线的纵截距最小，即z最小，从而点集T=4,0,3,1,2,2,1,3,0,4,0,1，经过这六个点的直线一共有6条．即T中的点共确定6条不同的直线．14. ρsin θ+π4=2【解析】易得l的直角坐标方程为y=−x+2，故其极坐标方程为ρsinθ=−ρcosθ+2，即ρsin θ+π4=2．15. 23【解析】连接OC．O、C为AB、DB中点，则OC∥AD．又OC⊥CE，则CE⊥AD．又AC⊥BD,BC=CD．∴AB=AD=6．由射影定理，有CD 2=AD ⋅ED =12， ∴BC 2=CD 2=12，即BC =2 3． 第三部分16. （1）f −π6 = 2cos −π4= 2cos π4=1.（2）因为cos θ=35，θ∈ 3π2,2π ，所以sin θ=−45，所以f 2θ+π = 2cos 2θ+π=cos2θ−sin2θ=2cos 2θ−1−2sin θcos θ=2×9−1+2×3×4=1725.17. （1）样本的均值为x =1617+19+20+21+25+30 =22.（2）由茎叶图知，抽取的6名工人中有2名为优秀工人，由此推断 该车间12名工人中优秀工人有12×26=4（名）．（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率P =C 41C 81C 122=3266=1633.18. （1）连接OD ,OE ．∵ BC =6，∴ BO =CO =3．由余弦定理得OD 2=OE 2=CD 2+CO 2−2CD ⋅CO cos ∠BCD=2+9−2 2×3×2=5.在等腰直角三角形ABC 中，∠A =90∘,BC =6,AB =AC =3 2， 所以AʹD =AʹE =2 2,所以OD2+AʹO2=OE2+AʹO2=5+3=8=AʹD2=AʹE2,∴AʹO⊥OD,AʹO⊥OE，∵OD∩OE=O，∴AʹO⊥平面BCDE．（2）设G为AC的中点，连接AʹG,OG，则OG=12AB=322,且OG∥AB.∵AB⊥AC，∴OG⊥AC．∵AʹO⊥平面BCDE，∴AʹG⊥AC，∴∠AʹGO为二面角Aʹ−CD−B的平面角．在Rt△AʹOG中，AʹG=3+92=152=302,所以cos∠AʹGO=OG=15为所求二面角Aʹ−CD−B的平面角的余弦值．19. （1）令n=1，得2S1=2a1=a2−13−1−23.把a1=1代入，解得a2=4．（2）由2S nn =a n+1−13n2−n−23，得2S n=na n+1−1n3−n2−2n, ⋯⋯①2S n+1=n+1a n+2−1n+13−n+12−2n+1, ⋯⋯②②−①化得a n+2−a n+1=1,n∈N∗.即可得a n+1−a n=1,n∈N∗,所以a nn 成为首项为a11=1，公差为1的等差数列，于是有a nn=1+ n −1 =n , 即a n =n 2.（3）①当n =1时，1a 1=1<74成立；②当n ≥2时，1n =12<12=1 1−1 , 故可得出1a 1+1a 2+⋯+1a n<1+1 1−1 + 1−1 +⋯+ 1−1=1+1 1+1−1−1=74−12 1n +1n +1<7.综合以上，对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n <74.20. （1）由题意，得2=3 22．∵ c >0，∴ c =1，所以抛物线C 的方程为x 2=4y ．（2）由x 2=4y ，得yʹ=12x ．设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，切线PA :y −y 1=x 12x −x 1 ,即y +y 1=x 12x ．同理切线PB :y +y 2=x 22x ,由P x 0,y 0 得y 0+y 1=x 12x 0,y 0+y 2=x 22x 0.上述表明直线y +y 0=x02x 过A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点．∵ x 0−y 0−2=0，故直线AB 的方程为：x 02x −y +2−x 0=0.（3）由 x 02x −y +2−x 0=0,x 2=4y ,消去x 化得y 2− x 02−2x 0+4 y + x 0−2 2=0,所以y1+y2=x02−2x0+4, y1y2=x0−22.因为AF=y1+1，BF=y2+1，所以AF ⋅ BF=y1+1y2+1=y1y2+y1+y2+1=2x02−6x0+9=2 x0−32+9.当x0=32，即P为32,−12时，AF ⋅ BF取最小值为92．21. （1）fʹx=x−1e x+e x−2kx=x e x−2kx=x e x−2k.当k=1时，令fʹx=x e x−2=0，得x1=0,x2=ln2;当x<0时，fʹx>0；当0<x<ln2时，fʹx<0；当x>ln2时，fʹx>0；∴函数f x的单调递增区间为−∞,0,ln2,+∞；单调递减区间为0,ln2．（2）∵12<k≤1，∴1<2k≤2，所以0<ln2k<ln2.记 k=k−ln2k，则 ʹk=1−22k =k−1k在k∈12,1有 ʹk<0，∴当k∈12,1时， k=k−ln2k> 1=1−ln2>0，即k>ln2k>0.∴当k∈12,1时，函数f x在0,ln2k单调递减，在ln2k,k单调递增．f0=−1，f k=k−1e k−k3，记g k=f k=k−1e k−k3，下证明g k≥−1．gʹk=k e k−3k,设p k=e k−3k，令pʹk=e k−3=0,得k=ln3>1,∴p k=e k−3k在12,1为单调递减函数，而p 1=e−3> 2.25−1.5=0,p1=e−3<0,∴gʹk=k e k−3k=0的一个非零的根为k0∈12,1，且e k0=3k0．显然g k=k−1e k−k3在12,k0单调递增，在k0,1单调递减，∴g k=f k=k−1e k−k3在12,1上的最大值为g k 0 = k 0−1 3k 0−k 03=−k 03+3k 02−3k 0= 1−k 0 3−1>−1,g 1 =−1 e −1>−1⇔74> e 而74> 3> e 成立，∴ g 12 >−1,g 1 =−1． 综上所述，当k ∈ 12,1 时，函数f x 在 0,k 的最大值M = k −1 e k −k 3.。
2013届高考数学“得分题”训练(4)(教师版)
2013届高考数学“得分题”训练（4）（教师版）一、选择题(每小题5分，共10小题，满分50分)1．（2012-2013学年浙江省绍兴一中分校高三检测试题）设全集{}4,3,2,1,0=U ，集合{}3,2,1=A ,{}4,3,2=B ,则()U A C B ⋂= （ ） A.{}0 B.{}1 C.{}1,0 D.{}4,3,2,1,02．（2013届湖北省仙桃市沔州中学高三第二次月考）已知函数x x x f -+=42)(,则函数)(x f 的值域为 ( )A.]4,2[B.]52,0[题型 选择题 填空题 解答题得分C.]52,4[D.]52,2[3．（2012-2013学年江西省崇仁一中高三月考）已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = ( )A. 4B. 14C. -4D. -144．（2013届福建安溪一中、养正中学高三上学期期中联考）已知等差数列{}n a 中，前n 项和n S ，且2910a a +=，则10S 等于（ ）A ．45B ．50C ．55D ．605．( 2013届甘肃省张掖中学高三上学期期中考)设向量)cos ,1(θ=→a 与)cos 2,1(θ-=→b 垂直，则θ2cos 等于( ) A.22 B.21C.12-D . -16．（2013届广东省陆丰市碣石中学高三第四次月考）已知过(1,)A a -、(,8)B a 两点的直线与直线210x y -+=平行，则a 的值为（ ） A ．10-B ．2C ．5D ．17【答案】B【解析】因为直线AB 与直线2x-y+1=0平行，所以斜率相等，所以.【考点】两直线的平行的判定.7．（2012-2013年辽宁朝阳柳城高中高三上第二次月考）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为23481313-+-=x x y ，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A. 13万件B. 11万件C. 9万件D. 7万件8．( 2012-2013学年湖北武汉部分重点中学高三检测改编)为调查参加2012年8月份举行的伦敦奥运会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄作为样本，就这个问题来说，下列说法正确的是( ) A ．1000名运动员是总体 B ．每个运动员是个体C ．抽取的100名运动员的年龄是样本D ．样本容量是10009．（2013届广东省新兴县惠能中学高三第四次月考）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3123cm ，其三视图中的俯视图如图所示，则其侧（左）视图的面积是（ ）A ．343cm B ．223cm C ．28cm D ．24cm10．(2013年广东高考数学题型检测)如图，表示阴影区域的不等式组为（ ）.二、填空题(每小题5分，共4小题，满分20分)11．(2013届浙江省温州八校高三9月期联考)阅读右图的程序框图, 若输出S 的值等于16, 那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是__________12．(2012-2013学年辽宁省沈阳二中高三月考)若复数1(R,1miz m i i+=∈-是虚数单位)是纯虚数,则m 为________ 【答案】1【解析】由于，那么根据纯虚数的定义可知，参数m-1=0，得到m=1。
2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解陕西理
2013年陕西理一、选择题（共10小题；共50分）1. 设全集为R，函数f x=1−x2的定义域为M，则∁R M为 A. −1,1B. −1,1C. −∞,−1∪1,+∞D. −∞,−1∪1,+∞2. 根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为 输入xIf x≤50 Then y=0.5xElse y=25+0.6x−50End If输出yA. 25B. 30C. 31D. 613. 设a,b为向量，则" a⋅b=a b "是" a∥b "的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2,⋯,840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481,720的人数为 A. 11B. 12C. 13D. 145. 如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 A. 1−π4B. π2−1 C. 2−π2D. π46. 设z1,z2是复数，则下列命题中的假命题是 A. 若z1−z2=0，则z1=z2B. 若z1=z2，则z1=z2C. 若z1=z2，则z1⋅z1=z2⋅z2D. 若z1=z2，则z12=z227. 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若b cos C+c cos B=a sin A，则△ABC的形状为A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定8. 设函数f x= x−1x6,x<0,−x,x≥0,则当x>0时，f f x表达式的展开式中常数项为 A. −20B. 20C. −15D. 159. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是 A. 15,20B. 12,25C. 10,30D. 20,3010. 设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x,y，有 A. −x=−xB. 2x=2xC. x+y≤x+yD. x−y≤x−y二、填空题（共7小题；共35分）11. 双曲线x216−y2m=1的离心率为54，则m等于．12. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为．13. 若点x,y位于曲线y= x−1与y=2所围成的封闭区域，则2x−y的最小值为．14. 观察下列等式：12=112−22=−312−22+32=612−22+32−42=−10⋯⋯照此规律，第n个等式可为．15. 已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则am+bn bm+an的最小值为．16. 如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=．17. 如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2−x=0的参数方程为．三、解答题（共6小题；共78分），b=3sin x,cos2x ,x∈R，设函数f x=a⋅b．18. 已知向量a=cos x,−12（1）求f x的最小正周期．上的最大值和最小值．（2）求f x在0,π219. 设a n是公比为q的等比数列．（1）推导a n的前n项和公式；（2）设q≠1，证明数列a n+1不是等比数列．20. 如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=2．（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（2）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．21. 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．22. 已知动圆过定点A4,0，且在y轴上截得的弦MN的长为8．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点B−1,0，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．23. 已知函数f x=e x,x∈R．（1）若直线y=kx+1与f x的反函数的图象相切，求实数k的值；（2）设x>0，讨论曲线y=f x与曲线y=mx2m>0公共点的个数；（3）设a<b，比较f a+f b2与f b−f ab−a的大小，并说明理由．答案第一部分1. D2. C3. C4. B5. A【解析】该地点有信号的概率P=扇形ADE+扇形CBF的面积矩形ABCD=12π12=π.所以该地点无信号的概率为1−π4．6. D7. B 【解析】本题要把边都转化成角，或者把角都转化成边之后，再判断．利用正弦定理可得到，sin B cos C+sin C cos B=sin A sin A，所以sin B+C=sinπ−A=sin A=sin2A，于是sin A=1，∠A=π2．8. A 【解析】f f x= −xx 6，展开式的通项为T r+1=C6r −x 6−rxr=−16−r C6r x3−r．由展开式的常数项可得r=3，代入可得−20．9. C 10. D【解析】由x的定义可得：x−1<x≤x，对于A，−x≤−x<1−x，−x−1<−x≤−x，所以A不正确．事实上，如果取x取1.5，则−1.5=−2，而−1.5=−1，显然不相等；对于B，2x−1<2x≤2x，2x−2<2x≤2x，所以B不正确．事实上，任然取x=1.5，则2×1.5=3，2× 1.5=2，不相等；设x=x+x，x为x的小数部分，则x=x+x，y=y+y，于是x+y=x+y+x+ y，x−y=x−y+x−y，对于C，x+y=x+y+x+y≥x+y，所以C不成立．如果取x=y=1.5，则1.5+1.5=3，1.5+1.5=2，也可以说明此不等式不成立；对于D，x−y=x−y+x−y≤x−y，所以D成立．第二部分11. 912. π313. −4【解析】如图，可行域为封闭三角形．令 x−1=2，得x1=−1，x2=3．∴三角形三个顶点分别为1,0，−1,2，3,2．目标函数z=2x−y所表示的直线经过点−1,2时，z取最小值；∴z min=2×−1−2=−4，故2x−y在点−1,2处取得最小值−4．14. 12−22+32−42+⋯+−1n+1n2=−1n+1n n+1215. 2【解析】因为a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，所以am+bn bm+an=abm2+a2mn+b2mn+abn2=ab m2+n2+2a2+b2≥2ab⋅mn+2a2+b2=4ab+2a2+b2=2a2+b2+2ab=2a+b2=2,当且仅当m=n=2时，取" = "．所以所求最小值为2．16. 6【解析】∵BC∥PE，∴∠C=∠PED，∵∠C=∠A，∴∠A=∠PED．在△PED和△PAE中，∠PED=∠A，∠P=∠P．∴△PED∽△PAE，则PEPA =PDPE．从而PE2=PA⋅PD=3×2=6，即PE=6．17. x=cos2θy=sinθcosθ（θ为参数）【解析】将x2+y2−x=0配方，得：x−12+y2=1.∴圆的直径为1，设圆上一点P x,y，则x= OP cosθ=1×cosθ×cosθ=cos2θ,y= OP sinθ=1×cosθ×sinθ=sinθcosθ,∴圆x2+y2−x=0的参数方程为：x=cos2θy=sinθcosθ（θ为参数）．第三部分18. （1）f x =a ⋅b= cos x ,−1⋅ 3sin x ,cos2x= 3sin x cos x −12cos2x= 3sin2x −1cos2x =sin 2x −π.f x 的最小正周期为T =2πω=2π2=π, 即函数f x 的最小正周期为π． （2）因为0≤x ≤π2，所以−π6≤2x −π6≤5π6. 由正弦函数的图象，当2x −π6=π2，即x =π3时，f x 取得最大值1； 当2x −π6=−π6，即x =0时，f x 取得最小值−12． 因此，f x 在 0,π2 上的最大值是1，最小值是−12． 19. （1）设 a n 的前n 项和为S n ， 当q =1时，S n=a 1+a 1+⋯+a 1=na 1.当q ≠1时，S n=a 1+a 1q +a 1q 2+⋯+a 1q n−1, ⋯⋯①qS n=a 1q +a 1q 2+⋯+a 1q n , ⋯⋯②①−②得1−q S n =a 1−a 1q n ,所以S n =a 1 1−q n 1−q,综上可得S n = na 1,q =1,a 1 1−q n1−q,q ≠1.（2）假设 a n +1 是等比数列，则对任意的k ∈N +，a k +1+1 2= a k +1 a k +2+1 ,a k +12+2a k +1+1=a k a k +2+a k +a k +2+1,a 12q 2k +2a 1q k =a 1q k−1⋅a 1q k +1+a 1q k−1+a 1q k +1,由a 1≠0，可知2q k =q k−1+q k +1,再结合q≠0，可得到q2−2q+1=0.∴q=1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故a n+1不是等比数列．20. （1）方法一：由题设易知OA,OB,OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图：∵AB=AA1=2，∴OA=OB=OA1=1，∴A1,0,0，B0,1,0，C−1,0,0，D0,−1,0，A10,0,1．由A1B1=AB，易得B1−1,1,1．A1C=−1,0,−1,BD=0,−2,0,BB1=−1,0,1,因此A1C⋅BD=0,A1C⋅BB1=0,可得出A1C⊥BD，A1C⊥BB1，BB1∩BD=B，故A1C⊥平面BB1D1D．方法二：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD．又∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C．又∵OA1是AC的中垂线，∴A1A=A1C=2，且AC=2，∴AC2=AA12+A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C．又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1．又BB1∩BD=B，∴A1C⊥平面BB1D1D．（2）设平面OCB1的法向量n=x,y,z，∵OC=−1,0,0，OB1=−1,1,1，∴n⋅OC=−x=0,n⋅OB1=−x+y+z=0,∴x=0,y=−z.取n=0,1,−1，由（1）知，A1C=−1,0,−1是平面BB1D1D的法向量．因此cos θ= cos n ,A 1C = 2× 2=12. 又0≤θ≤π2，∴θ=π3．21. （1）设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P A =C 21C 32=23,P B =C 42C 53=35.∵ 事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P AB =P A ⋅P B =P A ⋅ 1−P B =23×25=415.（或P AB =C 21⋅C 43C 32⋅C 53=415．）（2）设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P B =C 4253=3.∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P X =0 =P ABC =13×25×25=475,P X =1 =P ABC +P ABC +P ABC=2×2×2+1×3×2+1×2×3=2075=415,P X =2 =P ABC +P ABC +P ABC=2×3×2+2×2×3+1×3×3=33=11,P X =3 =P ABC =23×35×35=1875=625.∴X 的分布列为X 0123P4754151125625∴ X 的数学期望EX =0×4+1×4+2×11+3×6=140=28.22. （1）如图，设动圆圆心O 1 x ,y ，由题意，O 1A= O 1M .当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，所以O1M =x+4.又O1A =x−42+y2，所以x22=x+4.化简得，y2=8x x≠0.当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标0,0也满足方程y2=8x，所以动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.（2）如图，由题意，设直线l的方程为y=kx+b k≠0，P x1,y1,Q x2,y2，将y=kx+b代入y2=8x中，得k2x2+2bk−8x+b2=0.其中Δ=−32kb+64>0．由根与系数的关系得x1+x2=8−2bkk2, ⋯⋯①因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以y1 x1+1=−y2x2+1,即y1x2+1+y2x1+1=0,所以kx1+b x2+1+kx2+b x1+1=0,所以2kx1x2+b+k x1+x2+2b=0, ⋯⋯③将①②代入③并整理得2kb2+k+b8−2bk+2k2b=0,所以k=−b，此时Δ>0，所以直线l的方程为y=k x−1,即直线l过定点1,0．23. （1）f x的反函数为g x=ln x.设直线y=kx+1与g x=ln x的图象在P x0,y0处相切，则有y0=kx0+1=ln x0,k=gʹx0=1 0 .解得x0=e2,k=1 2 .（2）曲线y=e x与y=mx2的公共点个数等于曲线y=e xx与y=m的公共点个数．令φx=e xx2，则φʹx=e x x−2x3,所以φʹ2=0.当x∈0,2时，φʹx<0，φx在0,2上单调递减；当x∈2,+∞时，φʹx>0，φx在2,+∞上单调递增．∴φx在0,+∞上的最小值为φ2=e2 .当0<m<e 24时，曲线y=exx与y=m无公共点；当m=e 24时，曲线y=exx2与y=m恰有一个公共点；当m>e 24时，在0,2内存在x1=m，使得φx1>m,在2,+∞内存在x2=m e2，使得φx2>m,由φx的单调性知，曲线y=e xx与y=m在0,+∞上恰有两个公共点．综上所述，当x>0时，若0<m<e 24，曲线y=f x与y=mx2没有公共点；若m=e 24，曲线y=f x与y=mx2有一个公共点；若m>e 24，曲线y=f x与y=mx2有两个公共点．（3）方法一：可以证明f a+f b2>f b−f ab−a．事实上，f a+f b2>f b−f ab−a⇔e a+e b2>e b−e ab−a⇔b−a2>e b−e ae b+e a⇔b−a2>1−2e ae b+e a⇔b−a2>1−2e b−a+1b>a.∗令ψx=x2+2e+1−1x≥0，则ψʹx=12−2e xe x+12=e x+12−4e xx2=e x−12x2≥0（当且仅当x=0时等号成立），∴ψx在0,+∞上单调递增，∴x>0时，ψx>ψ0=0.令x=b−a，即得∗式．结论得证．方法二：f a+f b2−f b−f ab−a=e b+e a2−e b−e ab−a=b e b+b e a−a e b−a e a−2e b+2e a2b−a=e ab−a e b−a+b−a−2e b−a+2.设函数u x=x e x+x−2e x+2x≥0，则uʹx=e x+x e x+1−2e x.令 x=uʹx，则ʹx=e x+e x+x e x−2e x=x e x≥0（当且仅当x=0时等号成立），∴uʹx单调递增，∴当x>0时，uʹx>uʹ0=0，∴u x单调递增．当x>0时，u x>u0=0．令x=b−a，则得b−a e b−a+b−a−2e b−a+2>0,所以e b+e a−e b−e a>0,所以f a+f b2>f b−f ab−a.。
2013年高考数学真题江苏卷教师版含解析有附加题
2013年一般高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为高．棱柱的体积公式：V ＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．1．(2013江苏，1)函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为__________． 答案：π解析：函数π3sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==. 2．(2013江苏，2)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________．答案：5解析：|z |＝|(2－i)2|＝|4－4i ＋i 2|＝|3－4i|5=＝5.3．(2013江苏，3)双曲线22=1169x y -的两条渐近线的方程为__________． 答案：34y x =±解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为34y x =±.4．(2013江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集． 答案：8解析：由于集合{－1,0,1}有3个元素，故其子集个数为23＝8.5．(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________．答案：3解析：第一次循环后：a ←8，n ←2； 第二次循环后：a ←26，n ←3； 由于26＞20，跳出循环， 输出n ＝3.6．(2013答案：2解析：由题中数据可得=90x 甲，=90x 乙. 于是2s 甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，2s 乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2，由22>s s 乙甲，可知乙运发动成果稳定．故应填2.7．(2013江苏，7)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以随意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为__________．答案：2063解析：由题意知m 的可能取值为1,2,3，…，7；n 的可能取值为1,2,3，…，9.由于是任取m ，n ：若m ＝1时，n 可取1,2,3，…，9，共9种状况；同理m 取2,3，…，7时，n 也各有9种状况，故m ，n 的取值状况共有7×9＝63种．若m ，n 都取奇数，则m 的取值为1,3,5,7，n 的取值为1,3,5,7,9，因此满意条件的情形有4×5＝20种．故所求概率为2063. 8．(2013江苏，8)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝__________.答案：1∶24解析：由题意可知点F 到面ABC 的间隔 与点A 1到面ABC 的间隔 之比为1∶2，S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4.因此V 1∶V 2＝132AED ABCAF S AF S ∆∆⋅⋅＝1∶24. 9．(2013江苏，9)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的随意一点，则x ＋2y 的取值范围是__________．答案：12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：由题意可知抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线方程为y ＝2x －1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影局部所示：当直线x ＋2y ＝0平移到过点A 1,02⎛⎫⎪⎝⎭时，x ＋2y 获得最大值12.当直线x ＋2y ＝0平移到过点B (0，－1)时，x ＋2y 获得最小值－2. 因此所求的x ＋2y 的取值范围为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．(2013江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，1=2AD AB ，2=3BE BC .若12DE AB AC λλ=+(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．答案：12解析：由题意作图如图．∵在△ABC 中，1223DE DB BE AB BC =+=+12()23AB AC AB =+- 121263AB AC AB AC λλ=-+=+，∴λ1＝16-，λ2＝23.故λ1＋λ2＝12.11．(2013江苏，11)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为__________．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)解析：∵函数f (x )为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝224,0,0,0,4,0,x x x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪--<⎩∴原不等式等价于20,4,x x x x >⎧⎨->⎩或20,4,x x x x <⎧⎨-->⎩由此可解得x ＞5或－5＜x ＜0. 故应填(－5,0)∪(5，＋∞)．12．(2013江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为2222=1x y a b+(a ＞0，b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的间隔 为d 1，F 到l 的间隔 为d 2.若21d =，则椭圆C 的离心率为__________．答案：3解析：设椭圆C 的半焦距为c ，由题意可设直线BF 的方程为=1x yc b+，即bx ＋cy －bc ＝0.于是可知1bcd a ==，22222a a c b d c c c c -=-==.∵21d =，∴2b c =，即2ab =. ∴a 2(a 2－c 2)＝6c 4.∴6e 4＋e 2－1＝0.∴e 2＝13.∴3e =.13．(2013江苏，13)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数1y x=(x ＞0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短间隔为，则满意条件的实数a 的全部值为__________．答案：－1解析：设P 点的坐标为1,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则 |P A |2＝22222111()=2=2x a a x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令12t x x =+≥，则|P A |2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2(t ≥2)．结合题意可知(1)当a ≤2，t ＝2时，|P A |2获得最小值．此时(2－a )2＋a 2－2＝8，解得a ＝－1，a ＝3(舍去)． (2)当a ＞2，t ＝a 时，|P A |2获得最小值．此时a 2－2＝8，解得aa＝舍去)．故满意条件的实数a1.14．(2013江苏，14)在正项等比数列{a n }中，512a =，a 6＋a 7＝3.则满意a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为__________．答案：12解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，则由⊂，a 6＋a 7＝a 5(q ＋q 2)＝3可得q ＝2，于是a n ＝2n －6，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝51(12)13221232n n --=--.∵512a =，q ＝2，∴a 6＝1，a 1a 11＝a 2a 10＝…＝26a ＝1.∴a 1a 2…a 11＝1.当n 取12时，a 1＋a 2＋…＋a 12＝27－132＞a 1a 2…a 11a 12＝a 12＝26成立；当n 取13时，a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－132＜a 1a 2…a 11a 12a 13＝a 12a 13＝26·27＝213.当n ＞13时，随着n 增大a 1＋a 2＋…＋a n 将恒小于a1a2…a n.因此所求n的最大值为12.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(2013江苏，15)(本小题满分14分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a－b＝c，求α，β的值．(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0.故a⊥b.(2)解：因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以cos cos0, sin sin1,αβαβ+=⎧⎨+=⎩由此得cos α＝cos(π－β)．由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以5π6α=，π6β=.16．(2013江苏，16)(本小题满分14分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.17．(2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在. 设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，＝1，解得k ＝0或34-， 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即13≤.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 18．(2013江苏，18)(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种途径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ，在甲动身2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35. (1)求索道AB 的长；(2)问乙动身多少分钟后，乙在缆车上与甲的间隔 最短？(3)为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应限制在什么范围内？解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45. 从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝531246313513565⨯⨯⨯=.由正弦定理sin sin AB AC C B =，得12604sin 63sin 565AC AB C B=⨯=⨯＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙动身t min 后，甲、乙两游客间隔 为d ，此时，甲行走了(100＋50t ) m ，乙间隔 A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)， 因0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当3537t =(min)时，甲、乙两游客间隔 最短． (3)由正弦定理sin sin BC AC A B =，得BC ＝12605sin 63sin 1365AC A B⨯=⨯＝500(m)．乙从B 动身时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤，所以为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应限制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦(单位：m/min)范围内． 19．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和．记2nn nS b n c=+，n ∈N *，其中c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.证明：由题设，(1)2n n n S na d -=+. (1)由c ＝0，得12n n S n b a d n -==+.又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以22b ＝b 1b 4，即23=22d a a a d ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于全部的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于全部的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即2nnS n c+＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于全部的n ∈N *，有3211111122d d n b d a d n cd n ⎛⎫⎛⎫-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝c (d 1－b 1)．令A ＝112d d -，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于全部的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有111 730, 1950, 2150,A B cdA B cdA B cd++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③由②，③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，从而cd1＝0.即11 2d d-＝0，b1－d1－a＋12d＝0，cd1＝0.若d1＝0，则由11 2d d-＝0，得d＝0，与题设冲突，所以d1≠0.又因为cd1＝0，所以c＝0.20．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e x－ax，其中a为实数．(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．解：(1)令f′(x)＝11axax x--=＜0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a＞0，进而解得x＞a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a－1)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，从而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝e x－a＝0，得x＝ln a．当x＜ln a时，g′(x)＜0；当x＞ln a时，g′(x)＞0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a＞1，即a＞e.综上，有a∈(e，＋∞)．(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a＞0时，令g′(x)＝e x－a＞0，解得a＜e x，即x＞ln a.因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤－1，即0＜a≤e－1.结合上述两种状况，有a≤e－1.①当a＝0时，由f(1)＝0以及f′(x)＝1x＞0，得f(x)存在唯一的零点；②当a＜0时，由于f(e a)＝a－a e a＝a(1－e a)＜0，f(1)＝－a＞0，且函数f(x)在[e a,1]上的图象不连续，所以f(x)在(e a,1)上存在零点．另外，当x＞0时，f′(x)＝1x－a＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．③当0＜a≤e－1时，令f′(x)＝1x－a＝0，解得x＝a－1.当0＜x＜a－1时，f′(x)＞0，当x＞a－1时，f′(x)＜0，所以，x＝a－1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a－1)＝－ln a－1.当－ln a－1＝0，即a＝e－1时，f(x)有一个零点x＝e.当－ln a－1＞0，即0＜a＜e－1时，f(x)有两个零点．事实上，对于0＜a＜e－1，由于f(e－1)＝－1－a e－1＜0，f(a－1)＞0，且函数f(x)在[e－1，a－1]上的图象不连续，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零点．另外，当x∈(0，a－1)时，f′(x)＝1x－a＞0，故f(x)在(0，a－1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a－1)上只有一个零点．下面考虑f(x)在(a－1，＋∞)上的状况．先证f(e a－1)＝a(a－2－e a－1)＜0.为此，我们要证明：当x＞e时，e x＞x2.设h(x)＝e x－x2，则h′(x)＝e x－2x，再设l(x)＝h′(x)＝e x－2x，则l′(x)＝e x－2.当x＞1时，l′(x)＝e x－2＞e－2＞0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x＞2时，h′(x)＝e x－2x＞h′(2)＝e2－4＞0，从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x＞e时，h(x)＝e x－x2＞h(e)＝e e－e2＞0.即当x＞e时，e x＞x2.当0＜a＜e－1，即a－1＞e时，f(e a－1)＝a－1－a e a－1＝a(a－2－e a－1)＜0，又f(a－1)＞0，且函数f(x)在[a－1，e a－1]上的图象不连续，所以f(x)在(a－1，e a－1)上存在零点．又当x＞a－1时，f′(x)＝1x－a＜0，故f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一个零点．综合①，②，③，当a≤0或a＝e－1时，f(x)的零点个数为1，当0＜a＜e－1时，f(x)的零点个数为2.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．(2013江苏，21)A．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.所以BC ACOD AD=.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.B．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A＝1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B＝1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A－1B.解：设矩阵A的逆矩阵为a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即2 2a bc d--⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，12d =，从而A 的逆矩阵为A －1＝ 1 010 2-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 所以A －1B ＝ 1 010 2-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ 1 20 3--⎡⎤⎢⎥⎣⎦. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,2x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的一般方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l的一般方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的一般方程为y 2＝2x .联立方程组221,2,y x y x =(-)⎧⎨=⎩解得公共点的坐标为(2,2)，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )． 因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(2013江苏，22)(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解：(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以1A B ＝(2,0，－4)，1C D ＝(1，－1，－4)．因为cos 〈1A B ，1C D 〉＝1111A B C D A B C D⋅=， 所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为10. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ＝(1,1,0)，1AC ＝(0,2,4)，所以n 1·AD ＝0，n 1·1AC ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cosθ|＝12122||||3⋅==n n n n ，得sin θ因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为3. 23．(2013江苏，23)(本小题满分10分)设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，11(1),,(1)k k k k k ----个，…，即当1122k k k k n (-)(+)<≤(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }．(1)求集合P 11中元素的个数；(2)求集合P 2 000中元素的个数．解：(1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝－4，a 8＝－4，a 9＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝－a 11，所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证：S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)(i ∈N *)．事实上，①当i ＝1时，S i (2i ＋1)＝S 3＝－3，－i (2i ＋1)＝－3，故原等式成立；②假设i ＝m 时成立，即S m (2m ＋1)＝－m (2m ＋1)，则i ＝m ＋1时，S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m (2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．综合①②可得S i(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是S(i＋1)(2i＋1)＝S i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)．由上可知S i(2i＋1)是2i＋1的倍数，而a i(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1,2，…，2i＋1)，所以S i(2i＋1)＋j＝S i(2i＋1)＋j(2i＋1)是a i(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋1)的倍数．又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是2i＋2的倍数，而a(i＋1)(2i＋1)＋j＝－(2i＋2)(j＝1,2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是a(i＋1)(2i(j＝1,2，…，2i＋2)的倍数，故当l＝i(2i＋1)时，集合P l中元素的个数为1＋3＋…＋(2i－1)＝i2，于是，＋1)＋j当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合P l中元素的个数为i2＋j.又2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P2 000中元素的个数为312＋47＝1 008.。
泰州中学2013届高三高考考前预测数学试题(8)正题
（第3题图）开始 输入p n =1 n <p ？输出S S =0结 束S =S +2−nn =n +1 是否O频率组距分数a 0.0640.0600.0160.020*******8580752013年高考数学模拟卷正题部分(文理必做题)(满分160分 时间 120分钟)一、填空题（本大题共有14题，每小题5分,满分70分）1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .2.已知i 是虚数单位，a ∈R ．若复数22a ia i+-的虚部为1，则a ＝ ．3．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S 的值是 .4.某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示.若要从成绩在[)85,90 ，[)90,95 ， []95,100三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加面试，则成绩在[]95,100内的学生中，学生甲被选取的概率为 .5．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于 .6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2A ，cos A ＝34，b ＝5，则△ABC 的面积为 ．7．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ．8.在△ABC 中，B(10，0)，直线BC 与圆Γ：x2＋(y －5)2＝25相切，切点为线段BC 的中点．若△ABC 的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A 的坐标为 ．9.已知函数()sin(2)(0)6f x x πωω=->在区间2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为________.10．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为11．已知两个不相等的平面向量α，β(0≠α)满足|β|＝2，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的最大值是 .12.已知点P,Q 分别是曲线xy e =,ln (0)y x x =>的动点,则P ,Q 两点距离的最小值为 .13.已知函数()[]f x x x =-,其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数.则关于x 的方程()f x kx k =+有三个不同的实根充要条件是 。
2013年高考数学预测新课标数学考点预测(08)：三角恒等变换
⎡ ⎣
3⎤ ⎦
三、名校试题
1（天津汉沽一中 2009 届高三月考文 8） ． f ( x ) = (sin x − cos x) 2 − 1 是（ A．最小正周期为 2π 的偶函数 C．最小正周期为 π 的偶函数 B．最小正周期为 2π 的奇函数 D．最小正周期为 π 的奇函数 ）
1 3 3 π 3 则 sin 2 A − ， sin(2 A − ) = ， cos 2 A = 2 2 2 3 2 π 又 A 为锐角，所以 A = ，所以△ABC 为等边三角形，面积为 3 ． 3 〖答案〗 3 ．
5（2008-2009 学年度广东六校第三次联考理 12） ．已知 sin α + cos α = 则 sin(α −
1 − cos 2 x 1 − sin 2x , 此时可得函数的最小正周期 2 2
2π =π ． 2 〖答案〗 π ．
T=
6（2008 年江苏卷 15） ．如图，在平面直角坐标系 xoy 中，以 ox 轴为始边做两个锐角 α , β ， 它们的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点，已知 A,B 的横坐标 分别为
∴sinα+cosα= 〖答案〗Ｃ． 2（2008 年高考海南卷 7）.
1 ． 2
3 − sin 700 =（ C ） 2 − cos 2 100
C. 2 D.
A.
1 2
B.
2 2
3 2
〖解析〗
2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解重庆文
2013年重庆文一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知集合U=1,2,3,4，集合A=1,2，B=2,3，则∁U A∪B= A. 1,3,4B. 3,4C. 3D. 42. 命题"对任意x∈R，都有x2≥0 "的否定为 A. 存在x0∈R，使得x02<0B. 对任意x∈R，都有x2<0C. 存在x0∈R，使得x02≥0D. 不存在x∈R，使得x2<03. 函数y=1log2x−2的定义域是 A. −∞,2B. 2,+∞C. 2,3∪3,+∞D. 2,4∪4,+∞4. 设P是圆x−32+y+12=4上的动点，Q是直线x=−3上的动点，则PQ 的最小值为 A. 6B. 4C. 3D. 25. 执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是 A. 3B. 4C. 5D. 66. 如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间22,30内的频率为 A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.67. 关于x的不等式x2−2ax−8a2<0a>0的解集为x1,x2，且x2−x1=15，则a= A. 52B. 72C. 154D. 1528. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. 180B. 200C. 220D. 240 9. 已知函数f x =ax 3+b sin x +4 a ,b ∈R ,f lg log 210 =5，则f lg lg2 = A. −5B. −1C. 3D. 410. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60∘的直线A 1B 1和A 2B 2，使A 1B 1 = A 2B 2 ，其中A 1,B 1和A 2,B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 A. 2 33,2 B.2 33,2 C.2 33,+∞ D.2 33,+∞二、填空题（共5小题；共25分） 11. 设复数z =1+2i （i 是虚数单位），则 z = ． 12. 若2，a ，b ，c ，9成等差数列，则c −a = ．13. 若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 ．14. 在OA 为边、OB 为对角线的矩形中，已知OA= −3,1 ，OB = −2,k ，则实数k = ．15. 设0≤α≤π，不等式8x 2− 8sin α x +cos2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 ．三、解答题（共6小题；共78分）16. 设数列 a n 满足：a 1=1,a n +1=3a n ,n ∈N +．（1）求 a n 的通项公式及前n 项和S n ； （2）已知 b n 是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1=a 2,b 3=a 1+a 2+a 3，求T 20．17. 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i （单位：千元）与月储蓄y i （单位：千元）的数据资料，算得 x i =8010i =1, y i =2010i =1, x i y i =18410i =1, x i 2=72010i =1．附：线性回归方程y =bx +a 中，b = x i y i −nxyn i =1 x i −nx2i =1，a =y −bx ，其中x ,y 为样本平均值，线性回归方程也可写为y =b x +a ．（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y =bx +a ； （2）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关； （3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+ 3bc ．（1）求A ； （2）设a = 3，S 为△ABC 的面积，求S +3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值．19. 如图，四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA =2 3，BC =CD =2，∠ACB =∠ACD =π3．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P−BDF的体积．20. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为ℎ米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（1）将V表示成r的函数V r，并求该函数的定义域；（2）讨论函数V r的单调性，并确定r和ℎ为何值时该蓄水池的体积最大．21. 如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e=2，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，2Aʹ两点， AAʹ =4．（1）求该椭圆的标准方程；（2）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，Pʹ，过P，Pʹ作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外，求△PPʹQ的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．答案第一部分1. D2. A3. C 【解析】要使函数x−2>0log2x−2≠0有意义，则x−2>0x−2≠1，即，即x>2且x≠3，故选C．4. B 【解析】设圆心到直线的距离为d，则d=6，则PQ的最小值为d−r，所以PQ的最小值为4．5. C6. B7. A8. D9. C 10. A【解析】先考虑焦点在x轴上的双曲线，由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴（或y 轴）对称，又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30∘且小于等于60∘，即tan30∘<ba ≤tan60∘，所以13<b2a2≤3．又e2=ca2=c2a2=1+b2a2,所以43<e2≤4，解得233<e≤2．焦点在y轴上的双曲线与焦点在x轴上的双曲线的开口宽窄要求完全相同，所以离心率的范围一致．第二部分11. 512. 7213. 2314. 4【解析】OA⋅OB=OA×OB cos OA,OB=OA 2=6+k，OA=10，故k=4．15. 0,π6∪5π6,π【解析】由题意，得Δ=64sin2α−32cos2α≤0，化简得cos2α≥12，又0≤α≤π，则0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，即0≤α≤π6或5π6≤α≤π．第三部分16. （1）由题设知a n是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n=3n−1,S n=1−3n1−3=123n−1.（2）由题b1=a2=3,b3=1+3+9=13,可得b3−b1=10=2d,所以公差d=5，故T20=20×3+20×192×5=1010.17. （1）由题意知n=10，x=1nx i=8010=8 ni=1,y=1y i=20=2 ni=1,又l xx=x i2ni=1−nx2=720−10×82=80,l xy=x ini=1y i−nxy=184−10×8×2=24,由此得b=l xyl xx=2480=0.3,a=y−bx=2−0.3×8=−0.4,故所求线性回归方程为y=0.3x−0.4.（2）由于变量y的值随x值的增加而增加b=0.3>0，故x与y之间是正相关．（3）将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7−0.4=1.7千元.18. （1）由余弦定理得cos A=b2+c2−a22bc=−3bc2bc=−32.又因为0<A<π，所以A=5π.（2）由（1）得sin A=12．又由正弦定理及a=3，得S=1ab sin C=12⋅a sin Bsin A⋅a sin C=3sin B sin C,因此S+3cos B cos C=3sin B sin C+cos B cos C=3cos B−C.所以，当B=C，即B=π−A2=π12时，S+3cos B cos C取最大值3．19. （1）因为BC=CD，所以△BCD为等腰三角形．又∠ACB=∠ACD，所以BD⊥AC．因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD．从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直，所以BD⊥平面PAC．（2）三棱锥P−BCD的底面BCD的面积S△BCD=1BC⋅CD⋅sin∠BCD=12×2×2×sin2π3= 3.由PA⊥底面ABCD，得V P−BCD=1⋅S△BCD⋅PA=13×3×23=2.由PF=7FC，得三棱锥F−BCD的高为18PA，故V F−BCD=13⋅S△BCD⋅18PA=13×3×18×23=1 ,所以V P−BDF=V P−BCD−V F−BCD=2−1 4=7 4 .20. （1）因为蓄水池侧面的总成本为100⋅2πrℎ=200πrℎ（元），底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为200πrℎ+160πr2元．又根据题意200πrℎ+160πr2=12000π,所以ℎ=15r300−4r2，从而V r=πr2ℎ=π300r−4r3.因为r>0，又由ℎ>0，可得r<53，故函数V r的定义域为0,53．（2）因为V r=π5300r−4r3，所以Vʹr=π300−12r2.令Vʹr=0，解得r1=5,r2=−5（因为r2=−5不在定义域内，舍去）．当r∈0,5时，Vʹr>0，故V r在0,5上为增函数；当r∈5,5时，Vʹr<0，故V r在5,5上为减函数．由此可知，V r在r=5处取得最大值，此时ℎ=8．即当r=5，ℎ=8时，该蓄水池的体积最大．21. （1）由题意知，A−c,2在椭圆上，则−c22+222=1,从而e2+4b =1．由e=22，得b2=42=8,从而a2=b21−e2=16．故该椭圆的标准方程为x2 16+y28=1.（2）由椭圆的对称性，可设Q x0,0．又设M x,y是椭圆上任意一点，则QM 2=x−x02+y2=x2−2x0x+x02+81−x2 16=1x−2x02−x02+8x∈−4,4.设P x1,y1，由题意知，点P是椭圆上到点Q的距离最小的点，因此，上式当x=x1时取最小值．又因为x1∈−4,4，所以，上式当x=2x0时取最小值，从而x1=2x0，且QP 2=8−x02．由对称性知Pʹx1,−y1，故 PPʹ =2y1，所以S=12y1⋅x1−x0=12⋅281−x1216⋅x0=2⋅4−x02x02=2⋅ − x02−22+4.当x0=±2时，△PPʹQ的面积S取到最大值22．此时对应的圆Q的圆心坐标为Q ±2,0，半径QP =8−x02=6,因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为x+22+y2=6,x−22+y2=6.。
2013年高考数学新大纲必考题及答案八
2013年高考数学新大纲必考题及答案八本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、演算步骤或推证过程．第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的． 1.复数121iz i-=-（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.函数()()2lg 1f x x =+A.)(2,00,2-⋃⎡⎤⎣⎦B.)(1,00,2-⋃⎡⎤⎣⎦C.[]2,2-D.(]1,2-3.已知等比数列{}122373,6n a a a a a +=+==满足，则a A.64B.81C.128D.2434.在给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若,21a b a b a -＞则＞”的否命题为“若,21a b a b a ≤≤-则”；③“2,11x R x ∀∈+≥”的否定是“2,11x R x ∃∈+≤”；④在ABC ∆中，“A B ＞”是“sin sin A B ＞”的充要条件.其中不正确的命题的个数是A.4B.3C.2D.15.设变量x,y 满足约束条件,236,y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y=+的最小值为A.2B.3C.4D.96.执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y 的值为 A.2 B.5C.11D.237.如图，梯形//2ABCD AB CD AB CD =中，，且，对角线AC 、DB 相交于点O.若,,AD a AB b AO ===A.4233a b - B.2133a b + C.2133a b -D.1233a b +8.已知集合{}21230,lg 3x A x x x B x y x -⎧⎫=--==⎨⎬+⎩⎭＜，在区间()3,3-上任取一实数x ，则“x A B ∈⋂”的概率为 A.14B.18C.13D.1129.函数()22cos 0963x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为A.2B.0C.1-D.1-10.函数()()cos lg f x x x =-的部分图象是11.曲线()2120C y px p =：＞的焦点F 恰好是曲线()22222:1x y C a a b-=＞0,b ＞0的右焦点，且曲线1C 与曲线2C 交点连线过点F ，则曲线2C 的离心率是1B.12C.2112.已知函数()2,0,0ln ,0,kx x f x k x x +≤⎧=⎨⎩若＞＞，则函数()1y f x =-的零点个数是A.1B.2C.3D.4第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.下图是某几何体的三视图，其中主视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是_________.14.为了调查某厂生产某种产品的能力，随机抽查了部分工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)[)[)[)[)45,55,55,65,65,75,75,85,85,95，由此得到频率分布直方图如图.已知样本中一天生产该产品数量在[)45,65有12人，则样本中一天生产该产品数量在[)75,95的人数为_________.15.已知两点()()222,0,0220A B y x-+-=，，点C是圆x上任意一点，则△ABC面积的最小值是________.16.已知整数对的序列如下：（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3）,（2,2）,（3,1）,（1,4）,（2,3）（3,2）,（4,1）,（1,5）,（2,4）⋅⋅⋅则第57个数对是______.三、解答题：本大题共6小题，共74分，答题时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC中，已知445,cos5 A B==.（I）求sinC的值；（II）若BC=10，D为AB的中点，求CD的长.18.（本小题满分12分）某公司有男职员45名、女职员15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的科研攻关小组。
2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解山东文
2013年山东文一、选择题（共12小题；共60分）1. 复数z=2−i2i（i为虚数单位），则∣z∣= A. 25B.C. 5D.2. 已知集合A，B均为全集U=1,2,3,4的子集，且∁U A∪B=4，B=1,2，则A∩∁U B=A. 3B. 4C. 3,4D. ∅3. 已知函数f x为奇函数，且当x>0时，f x=x2+1x，则f−1= A. 2B. 1C. 0D. −24. 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是 A. 48B. 483C. 4+1,83D. 8,85. 函数f x=xx+3的定义域为 A. −3,0B. −3,1C. −∞,−3∪−3,0D. −∞,−3∪−3,16. 执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为−1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次，第二次输出的a的值分别为 A. 0.2，0.2B. 0.2，0.8C. 0.8，0.2D. 0.8，0.87. △ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=2A，a=1，b=3，则c= A. 23B. 2C. 2D. 18. 给定两个命题p、q，若¬p是q的必要而不充分条件，则p是¬q的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 函数y=x cos x+sin x的图象大致为 A. B.C. D.10. 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为 A. 1169B. 367C. 36D. 67711. 抛物线C1:y=12p x2p>0的焦点与双曲线C2:x23−y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p= A. 316B. 38C. 233D. 43312. 设正实数x,y,z满足x2−3xy+4y2−z=0．则当zxy取得最小值时，x+2y−z的最大值为 A. 0B. 98C. 2 D. 94二、填空题（共4小题；共20分）13. 过点3,1作圆x−22+y−22=4的弦，其中最短弦的长为．14. 在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x+3y−6≤0x+y−2≥0y≥0所表示的区域上一动点，则∣OM∣的最小值是．15. 在平面直角坐标系xOy中，已知OA=−1,t，OB=2,2，若∠ABO=90∘，则实数t的值为．16. 定义"正对数"：ln+x=0,0<x<1ln x,x≥1，现有四个命题：①若a>0,b>0，则ln+a b=b ln+a；②若a>0,b>0，则ln+ab=ln+a+ln+b；③若a>0,b>0，则ln+ab≥ln+a−ln+b；④若a>0,b>0，则ln+a+b≤ln+a+ln+b+ln2．其中真命题有（写出所有真命题的编号）．三、解答题（共6小题；共78分）17. 某小组共有A,B,C,D,E五位同学，他们的身高（单位：米）及体重指标（单位：千克/米2）如下表所示：A B C D E身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82体重指标19.225.118.523.320.9（1）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；（2）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9中的概率．18. 设函数f x=32−3sin2ωx−sinωx cosωxω>0，且y=f x图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4．（1）求ω的值；（2）求f x在区间 π,3π2上的最大值和最小值．19. 如图，四棱锥P−ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E、F、G、M、N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．（1）求证：CE∥平面PAD；（2）求证：平面EFG⊥平面EMN．20. 设等差数列a n的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列b n满足b1a1+b2a2+⋯+b na n=1−12n,n∈N∗，求b n的前n项和T n．21. 已知函数f x=ax2+bx−ln x a,b∈R．（1）设a≥0，求f x的单调区间；（2）设a>0，且对任意x>0，f x≥f1，试比较ln a与−2b的大小．．22. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为22（1）求椭圆C的方程；（2）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为6的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C4于点P，设OP=tOE，求实数t的值．答案第一部分1. C2. A3. D4. B5. A【解析】由题意得1−2x≥0x+3>0，解得−3<x≤0．6. C7. B 【解析】由正弦定理得1sin A =3sin2A．所以1sin A=32sin A cos A．所以cos A=32．又0∘<A<180∘．所以A=30∘．B=60∘．C=90∘．所以c= a2+b2=12+32=2．8. A 9. D 【解析】首先，此函数为奇函数，排除B．又x=π时，y=−π<0，排除A．最后当x是一个比较小的正数时，如x=π6时，y>0，排除C．故选D．当然，也可以用零点角度考虑．10. B【解析】由图可知去掉的两个数是87,99，所以87+90×2+91×2+94+90+x=91×7，解得x=4．故s2=1787−912+90−912×2+91−912×2+94−912×2=367．11. D【解析】由题可知，双曲线右焦点为F2,0，渐近线方程为y=±33x；抛物线焦点为Fʹ0,p2．设M x0,y0，则y0=12p x02．∵k MFʹ=k FFʹ，∴12px02−p2x0=p2−2⋯①．又yʹ=xp，∴yʹ∣x=x=x0p=33⋯②．由①②得p=433．12. C 【解析】含三个参数x,y,z，消元，利用基本不等式及配方法求最值．z=x2−3xy+4y2x,y,z∈R+,所以z=x2−3xy+4y2=xy+4yx−3≥2x⋅4y−3=1.当且仅当xy =4yx，即x=2y时" = "成立，此时z=4y2−6y2+4y2=2y2．所以x+2y−z=2y+2y−2y2=−2y2+4y=−2y−12+2.所以当y=1时，x+2y−z取到最大值2．第二部分13. 214.15. 516. ①③④【解析】本题是新定义型问题，解题时要严格按照所给定义，对每一个选项逐一论证或排除． ①当a >1时，因为b >0，所以a b >1，从而ln + a b =ln a b =b ln a =b ln +a .当0<a <1时，因为b >0，所以0<a b <1，从而ln + a b =0． 又ln +a =0，所以b ln +a =0，从而ln + a b =b ln +a .故①正确．②当a =2,b =14时，ln + ab =ln +12=0，而ln +a =ln2,ln +b =0,从而ln +a +ln +b =ln2≠ln + ab ，故②不成立．③a ．当0<a ≤1,0<b ≤1时，ln +a −ln +b =0−0=0，而ln + ab≥0，所以ln + a≥ln +a −ln +b .b ．当0<a ≤1,b >1时，ln +a −ln +b =−ln +b <0，而ln + ab =0，所以 ln + ab≥ln +a −ln +b .c ．当a >1,0<b ≤1时，ab ≥a >1，所以ln + a b =ln ab ≥ln a =ln +a =ln +a −ln +b .d ．当a >1,b >1，且a <b 时，ln + ab =0,ln +a −ln +b <0，所以ln + a≥ln +a −ln +b .e ．当a >1,b >1，且a >b 时，ab >1，所以ln + a =ln a=ln a −ln b =ln +a −ln +b .综上：ln + ab ≥ln +a −ln +b ，故③正确．④a ．当0<a +b ≤1时，0<a ≤1,0<b ≤1，所以ln + a +b =0，ln +a +ln +b +ln2=0+0+ln2>0,从而ln + a +b <ln +a +ln +b +ln2.b ．当a +b >1时，分以下三种情况：（i ）当0<a ≤1,b ≥1时，因为a +b ≤1+b ≤b +b =2b ，所以 ln + a +b =ln a +b≤ln2b=ln +a +ln +b +ln2.（ii ）当a ≥1,0<b ≤1时，因为a +b ≤1+a ≤a +a =2a ，所以ln + a +b =ln a +b≤ln2a =ln a +ln2=ln +a +ln +b +ln2.（iii）当0<a≤1,0<b≤1时，有a+b≤2，且ln+a=0,ln+b=0．所以ln+a+b=ln a+b≤ln2=ln+a+ln+b+ln2.综上：ln+a+b≤ln+a+ln+b+ln2，故④正确．第三部分17. （1）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：A,B,A,C,A,D,B,C,B,D,C,D,共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有A,B,A,C,B,C,共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P=3=1.（2）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有A,B,A,C,A,D,A,E,B,C,B,D,B,E,C,D,C,E,D,E,共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9中的事件有C,D,C,E,D,E,共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9中的概率为P=3 10 .18. （1）f x=3−3sin2ωx−sinωx cosωx=3−3⋅1−cos2ωx−1sin2ωx=32cos2ωx−12sin2ωx=−sin2ωx−π3.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω>0，所以2π2ω=4×π4,因此ω=1．（2）由（1）知f x=−sin2x−π3．当π≤x≤3π2时，5π≤2x−π≤8π.所以−32≤sin2x−π3≤1.因此−1≤f x≤3 2 .故f x在区间 π,3π2上的最大值和最小值分别为32,−1．19. （1）如图，取PA的中点H，连接EH，DH．因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH=12AB．又AB∥CD，CD=12AB，所以EH∥CD，EH=CD．所以四边形DCEH是平行四边形．所以CE∥DH．又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD．（2）因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA．又AB⊥PA，所以AB⊥EF，同理可证AB⊥FG．又EF∩FG=F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，因此AB⊥平面EFG．又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥DC．又AB∥DC，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG．又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN．20. （1）设等差数列a n的首项为a1，公差为d．由S4=4S2，a2n=2a n+1，得4a1+6d=8a1+4d,a1+2n−1d=2a1+2n−1d+1.解得a1=1,d=2.因此a n=2n−1,n∈N∗.（2）由已知b1 1+b22+⋯+b nn=1−1,n∈N∗,当n=1时，b1a1=12；当n≥2时，b n a n =1−12n−1−12n−1=12n.所以b n a n =12n,n∈N∗.由（1）知a n=2n−1,n∈N∗，所以b n=2n−1,n∈N∗.所以T n=12+322+523+⋯+2n−12n,1 2T n=122+323+⋯+2n−32n+2n−12n+1,两式相减，得1 2T n=12+222+223+⋯+22n−2n−12n+1 =32−12n−1−2n−12n+1,所以T n=3−2n+3n.21. （1）由f x=ax2+bx−ln x,x∈0,+∞，得fʹx=2ax2+bx−1.①当a=0时，fʹx=bx−1.（1）若b≤0，当x>0时，fʹx<0恒成立，所以函数f x的单调递减区间是0,+∞．（2）若b>0，当0<x<1b时，fʹx<0，函数f x单调递减，当x>1b时，fʹx>0，函数f x单调递增，所以函数f x的单调递减区间是0,1b ，单调递增区间是1b,+∞ ．②当a>0时，令fʹx=0，得2ax2+bx−1=0.由Δ=b2+8a>0，得x1=−b− b2+8a,x2=−b+ b2+8a4a.显然x1<0,x2>0．当0<x<x2时，fʹx<0，函数f x单调递减；当x>x2时，fʹx>0，函数f x单调递增．所以函数f x的单调递减区间是0,−b+ b2+8a4a ，单调递增区间是−b+ b2+8a4a,+∞ ．综上所述，当a=0,b≤0时，函数f x的单调递减区间是0,+∞；当a=0,b>0时，函数f x的单调递减区间是0,1b ，单调递增区间是1b,+∞ ；当a>0时，函数f x的单调递减区间是0,−b+ b2+8a4a ，单调递增区间是−b+ b2+8a4a,+∞ ．（2）由题意知函数f x在x=1处取得最小值．由（1）知−b+ b2+8a4a是f x的唯一极小值点，故−b+ b2+8a=1,整理，得2a+b=1,即b=1−2a.令g x=2−4x+ln x，则gʹx=1−4x.令gʹx=0，得x=1 4 ,当0<x<14时，gʹx>0，g x单调递增；当x>14时，gʹx<0，g x单调递减．因此g x≤g1=1+ln 1 4=1−ln4<0,故g a<0,即2−4a+ln a=2b+ln a<0,即ln a<−2b.22. （1）设椭圆C的方程为x2a +y2b=1a>b>0，由题意知a2=b2+c2,c=2,2b=2,解得a = 2,b =1,因此椭圆C 的方程为x 2+y 2=1.（2）（i ）当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x =m ． 由题意得− 2<m <0或0<m < 2.将x =m 代入椭圆方程x 22+y 2=1，得∣y ∣= 2−m 22,所以S △AOB=∣m ∣⋅2−m 22=6. 解得m 2=32或m 2=12. ⋯⋯①因为OP=tOE=12t OA +OB =1t 2m ,0 = mt ,0 ,又P 为椭圆C 上一点，所以mt 22=1. ⋯⋯② 由①②，得t 2=4或t 2=4,又t >0，所以t =2或t =2 33. （ii ）当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y =kx + ．将其代入椭圆的方程x 22+y 2=1，得1+2k 2 x 2+4k x +2 2−2=0.设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．由判别式Δ>0可得1+2k 2> 2,此时x 1+x 2=−4k1+2k 2,x 1x 2=2 2−21+2k 2,y 1+y 2=k x 1+x 2 +2=2 1+2k 2, 所以∣AB ∣= 1+k 2× x 1+x 2 2−4x 1x 2=2 2× 1+k × 1+2k 2− 21+2k 2.因为点O 到直线AB 的距离d =1+k 2,所以S △AOB=1∣AB∣d =1×2 2× 1+k 2×1+2k 2− 22× 1+k 2= 2× 1+2k 2− 21+2k 2×∣ ∣.又S △AOB =64，所以 2×1+2k 2− 21+2k 2×∣ ∣= 64. ⋯⋯③ 令n =1+2k 2，代入③整理得3n 2−16 2n +16 4=0.解得n =4 2或n =42,即1+2k 2=4 2或1+2k 2=432. ⋯⋯④因为OP=tOE=1t OA +OB =1t x 1+x 2,y 1+y 2 = −2k t 1+2k 2, t1+2k 2,又P 为椭圆C 上一点，所以t21−2k22+22=1,即2t21+2k2=1. ⋯⋯⑤将④代入⑤，得t2=4或t2=4 3 .又t>0，故t=2或t=23.经检验，适合题意．综合（i）（ii），得t=2或t=23 3.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解辽宁文
2013年辽宁文一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合A=0,1,2,3,4，B=x x<2，则A∩B= A. 0B. 0,1C. 0,2D. 0,1,22. 复数z=1i−1的模为 A. 12B. 22C. 2D. 23. 已知点A1,3，B4,−1，则与向量AB同方向的单位向量为 A. 35,−45B. 45,−35C. −35,45D. −45,354. 下面是关于公差d>0的等差数列a n的四个命题：p1：数列a n是递增数列；p2：数列na n是递增数列；p3：数列a nn是递增数列；p4：数列a n+3nd是递增数列；其中的真命题为 A. p1,p2B. p3,p4C. p2,p3D. p1,p45. 某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20,40，40,60，60,80，80,100，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是 A. 45B. 50C. 55D. 606. 在△ABC中，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，若a sin B cos C+c sin B cos A=12b，且a>b，则∠B= A. π6B. π3C. 2π3D. 5π67. 已知函数f x=ln2−3x +1，则f lg2+f lg12= A. −1B. 0C. 1D. 28. 执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出S= A. 511B. 1011C. 3655D. 72559. 已知点O0,0,A0,b,B a,a3．若△OAB为直角三角形，则必有 A. b=a3B. b=a3+1aC. b−a3 b−a3−1a=0D. b−a3+b−a3−1a=010. 已知直三棱柱ABC−A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为 A. 3172B. 210 C. 132D. 31011. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点，连接AF,BF，若AB=10，BF=8，cos∠ABF=45，则C的离心率为 A. 35B. 57C. 45D. 6712. 已知函数f x=x2−2a+2x+a2，g x=−x2+2a−2x−a2+8，设H1x=max f x,g x，H2x=min f x,g x（max p,q表示p，q中的较大值，min p,q表示p，q中的较小值）．记H1x的最小值为A，H2x的最大值为B，则A−B= A. 16B. −16C. a2−2a−16D. a2+2a−16二、填空题（共4小题；共20分）13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．14. 已知等比数列a n是递增数列，S n是a n的前n项和，若a1，a3是方程x2−5x+4=0的两个根，则S6=．15. 已知F为双曲线C:x29−y216=1的左焦点，P,Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A5,0在线段PQ上，则△PQF的周长为．16. 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为．三、解答题（共8小题；共104分）17. 设向量a=3sin x,sin x ，b=cos x,sin x,x∈0,π2．（1）若a=b，求x的值；（2）设函数f x=a⋅b，求f x的最大值．18. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．19. 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率．20. 如图，抛物线C1:x2=4y,C2:x2=−2py p>0．点M x0,y0在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A,B（M为原点O时，A,B重合于O）．当x0=1−2时，切线MA的斜率为−12．（1）求p的值；（2）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A,B重合于O时，中点为O）．21. （1）证明：当x∈0,1时，22x≤sin x≤x；（2）若不等式ax+x2+x32+2x+2cos x≤4对x∈0,1恒成立，求实数a的取值范围．22. 如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE,BE．证明：（1）∠FEB=∠CEB；（2）EF2=AD⋅BC．23. 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos θ−π4=22．（1）求C1与C2交点的极坐标；（2）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为x=t3+a y=b2t3+1（t∈R为参数），求a,b的值．24. 已知函数f x= x−a ，其中a>1．（1）当a=2时，求不等式f x≥4− x−4的解集；（2）已知关于x的不等式f2x+a−2f x≤2的解集为x1≤x≤2，求a的值．答案第一部分1. B2. B3. A 【解析】已知点A1,3，B4,−1，则AB=3,−4，故与其同方向的单位向量为153,−4=35,−45．4. D 【解析】选项①正确，因为a n的公差d>0，所以a n+1−a n=d>0，所以数列a n为递增数列；选项②错误，n+1a n+1−na n=n+1a n+d−na n=n+1d+a n，n+1d+a n不一定大于0，所以数列na n不一定为递增数列；选项③错误，a n+1n+1−a nn=na n+1−n+1a nn n+1=nd−a nn n+1，nd−a nn n+1不一定大于0，所以数列a nn不一定为递增数列；选项④正确，a n+1+3n+1d−a n−3nd=4d>0，故数列a n+3nd是递增数列．5. B6. A 【解析】利用正弦定理化简已知等式，根据sin B不为0，两边除以sin B，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sin B的值，即可确定出B的度数．7. D 8. A 9. C 【解析】提示：利用向量垂直数量积为零做，分O,A,B分别为直角顶点三种情况讨论．10. C【解析】提示：过C,B分别作AB,AC的平行线，两线交于点D，过C1,B1分别作A1B1,A1C1的平行线，两线交于点D1，连接DD1，则ABDC－A1B1D1C1恰为该球的内接长方体．11. B 【解析】利用余弦定理求得AF，知∠AFB为直角，再把A,B两点和另一个焦点分别连接即可求得2a和2c．12. B 【解析】由f x=g x，得x−a2=4．所以，当x=a−2和x=a+2时，两函数值相等，又f x的图象为开口向上的抛物线，g x的图象为开口向下的抛物线，则H1x=f x,x≤a−2,g x,a−2<x<a+2,f x,x≥a+2, H2x=g x,x≤a−2,f x,a−2<x<a+2,g x,x≥a+2.所以A=H1x min=f a+2=−4a−4，B=H2x max=g a−2=−4a+12，所以A−B=−16．第二部分13. 16π−1614. 6315. 44【解析】由题意，得PQ=16，线段PQ过双曲线的右焦点，则P,Q都在双曲线的右支上．由双曲线的定义，可知PF− PA=2a，QF− QA=2a，两式相加，得PF+QF−PA+QA=4a，则PF+QF=4a+PQ=4×3+16=28，故△PQF的周长为44．16. 10【解析】设5个班级中参加的人数分别为x1,x2,x3,x4,x5．则由题意知x1+x2+x3+x4+x55=7,由于样本数据互不相同，且五个整数的平方和为20，则必为0+1+1+9+9=20．由 x−7=3．可得x=10 或 x=4.由 x−7=1可得x=8 或 x=6.由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10．第三部分17. （1）由a2=3sin x 2+sin x2=4sin2x,b2=cos x2+sin x2=1及a=b，得4sin2x=1.又x∈0,π2，从而sin x=1 ,所以x=π.（2）f x=a⋅b=3sin x⋅cos x+sin2x=32sin2x−12cos2x+12=sin2x−π+1.当x=π3∈0,π2时，sin2x−π6取最大值1．所以f x的最大值为32．18. （1）由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC．又PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC．（2）连接OG并延长交AC于点M，连接QM,QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．由Q为PA中点，得QM∥PC，又O为AB中点，得OM∥BC．因为QM∩MO=M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC=C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC．又因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC．19. （1）将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6．任取2道题，基本事件为：1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6,共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4,共6个，所以P A=6=2.（2）基本事件同（1），用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有1,5,1,6,2,5,2,6,3,5,3,6,4,5,4,6,共8个，所以P B=8 15 .20. （1）因为抛物线C1:x2=4y上任意一点x,y的切线斜率为yʹ=x 2 ,且切线MA的斜率为−12，所以A点坐标为 −1,14．故切线MA的方程为y=−12x+1+14.因为点M 1−y0在切线MA及抛物线C2上，于是y0=−12−2+1=−3−22, ⋯⋯①y0=−1−22=−3−22. ⋯⋯②由①②得p=2.（2）设N x,y,A x1,x124,B x2,x224,x1≠x2，由N为线段AB中点知x=x1+x22, ⋯⋯③切线MA,MB的方程为y=x12x−x1+x124, ⋯⋯⑤由⑤⑥得MA,MB的交点M x0,y0的坐标为x0=x1+x22,y0=x1x24.因为点M x0,y0在C2上，即x02=−4y0，所以x1x2=−x12+x226. ⋯⋯⑦由③④⑦得x2=4y,x≠0.当x1=x2时，A,B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2=4 3 y.因此AB中点N的轨迹方程为x2=4 y.21. （1）记F x=sin x−22x，则Fʹx=cos x−2 .当x∈0,π4时，Fʹx>0，F x在0,π4上是增函数；当x∈π4,1时，Fʹx<0，F x在π4,1上是减函数．又F0=0，F1>0，所以当x∈0,1时，F x≥0,即sin x≥2 2 x.记H x=sin x−x，则当x∈0,1时，Hʹx=cos x−1<0,所以H x在0,1上是减函数，则H x≤H0=0,即sin x≤x.综上，2x≤sin x≤x,x∈0,1.（2）解法一：因为当x∈0,1时，结合（1）可知：ax+x2+x3+2x+2cos x−4=a+2x+x2+x32−4x+2sin2x2≤a+2x+x2+x32−4x+224x2=a+2x,所以，当a≤−2时，不等式ax+x2+x3+2x+2cos x≤4对x∈0,1恒成立．下面证明，当a>−2时，不等式ax+x2+x3+2x+2cos x≤4对x∈0,1不恒成立．因为当x∈0,1时，ax+x2+x32+2x+2cos x−4=a+2x+x2+x3−4x+2sin2x≥a+2x+x2+x32−4x+2x22=a+2x−x2−x3≥a+2x−3 x2=−3x x−2a+2,所以存在x∈0,1（例如x0取a+23和12中的较小值）满足ax0+x02+x032+2x0+2cos x0−4>0,即当a>−2时，不等式ax+x2+x32+2x+2cos x−4≤0对x∈0,1不恒成立．综上，实数a的取值范围是−∞,−2．解法二：记f x=ax+x2+x32+2x+2cos x−4，则fʹx=a+2x+3x2+2cos x−2x+2sin x.记G x=fʹx，则Gʹx=2+3x−4sin x−2x+2cos x.当x∈0,1时，cos x>12，因此Gʹx<2+3x−4⋅22x−x+2=2−22 x<0.于是fʹx在0,1上是减函数，因此，当x∈0,1时，fʹx<fʹ0=a+2,故当a≤−2时，fʹx<0，从而f x在0,1上是减函数，所以f x≤f0=0,即当a≤−2时，不等式ax+x2+x32+2x+2cos x≤4对x∈0,1恒成立．下面证明，当a>−2时，不等式ax+x2+x3+2x+2cos x≤4对x∈0,1不恒成立．由于fʹx在0,1上是减函数，且fʹ0=a+2>0,fʹ1=a+7+2cos1−6sin1.当a≥6sin1−2cos1−72时，fʹ1≥0,所以当x∈0,1时，fʹx>0，因此f x在0,1上是增函数，故f1>f0=0;当−2<a<6sin1−2cos1−72时，fʹ1<0.又fʹ0>0，故存在x0∈0,1使fʹx0=0，则当0<x<x0时，fʹx>fʹx0=0,所以f x在0,x0上是增函数，所以当x∈0,x0时，f x0>f0=0.所以当a>−2时，不等式ax+x2+x3+2x+2cos x≤4对x∈0,1不恒成立．综上，实数a的取值范围是−∞,−2．22. （1）由直线CD与⊙O相切，得∠CEB=∠EAB．由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB+∠EBF=π2 ;又EF⊥AB，得∠FEB+∠EBF=π2 .从而∠FEB=∠EAB．故∠FEB=∠CEB.（2）由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF．类似可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD=AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2=AF⋅BF,所以EF2=AD⋅BC.23. （1）圆C1的直角坐标方程为x2+y−22=4,直线C2的直角坐标方程为x+y−4=0.解x2+y−22=4,x+y−4=0,得x1=0, y1=4,x2=2, y2=2.所以C1与C2交点的极坐标为4,π2,22,π4注：极坐标系下点的表示不唯一．（2）由（1）可得，P点与Q点的直角坐标分别为0,2,1,3．故直线PQ的直角坐标方程为x−y+2=0.由参数方程可得y=bx−ab+1.所以b=1,−ab2+1=2,解得a=−1,b=2.24. （1）当a=2时，f x+ x−4=−2x+6,x≤2, 2,2<x<4, 2x−6,x≥4.当x≤2时，由f x≥4− x−4得−2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时，f x≥4− x−4无解；当x≥4时，由f x≥4− x−4得2x−6≥4,解得x≥5.所以f x≥4− x−4的解集为x x≤1 或 x≥5.（2）记 x=f2x+a−2f x，则x=−2a,x≤0,4x−2a,0<x<a, 2a,x≥a.由 x≤2，解得a−1 2≤x≤a+12.又已知 x≤2的解集为x1≤x≤2,所以a−1=1,a+1=2.于是a=3．。
2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解北京文
2013年北京文一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合A=−1,0,1，B=x−1≤x<1，则A∩B= A. 0B. −1,0C. 0,1D. −1,0,12. 设a,b,c∈R，且a>b，则 A. ac>bcB. 1a <1bC. a2>b2D. a3>b33. 下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞上单调递减的是 A. y=1xB. y=e−xC. y=−x2+1D. y=lg x4. 在复平面内，复数i2−i对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 在△ABC中，a=3，b=5，sin A=13，则sin B= A. 15B. 59C. 53D. 16. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为 ．A. 1B. 23C. 1321D. 6109877. 双曲线x2−y2m=1的离心率大于2的充分必要条件是 A. m>12B. m≥1C. m>1D. m>28. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有 A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个二、填空题（共6小题；共30分）9. 若抛物线y2=2px的焦点坐标为1,0，则p=；准线方程为．10. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为．11. 若等比数列a n满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=；前n项和S n=．12. 设D为不等式组x≥0,2x−y≤0,x+y−3≤0,表示的平面区域，区域D上的点与点1,0之间的距离的最小值为．13. 函数f x=log12x,x≥1,2x,x<1,的值域为．14. 已知点A1,−1,B3,0,C2,1．若平面区域D由所有满足AP=λAB+μAC1≤λ≤2,0≤μ≤1的点P组成，则D的面积为．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数f x=2cos2x−1sin2x+12cos4x．（1）求f x的最小正周期及最大值；（2）若α∈π2,π ，且fα=22，求α的值．16. 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）求此人在该市停留期间只有1天空气质量重度污染的概率；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?（结论不要求证明）17. 如图，在四棱锥P−ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：（1）PA⊥底面ABCD；（2）BE∥平面PAD；（3）平面BEF⊥平面PCD．18. 已知函数f x=x2+x sin x+cos x．（1）若曲线y=f x在点 a,f a处与直线y=b相切，求a与b的值；（2）若曲线y=f x与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点．19. 直线y=kx+m m≠0与椭圆W:x24（1）当点B的坐标为0,1，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．20. 给定数列a1，a2，⋯，a n，对i=1，2，⋯，n−1，该数列前i项的最大值记为A i，后n−i项a i+1，a i+2，⋯，a n的最小值记为B i，d i=A i−B i．（1）设数列a n为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（2）设a1，a2，⋯，a n n≥4是公比大于1的等比数列，且a1>0，证明：d1，d2，⋯，d n−1是等比数列；（3）设d1，d2，⋯，d n−1是公差大于0的等差数列，且d1>0，证明：a1，a2，⋯，a n−1是等差数列．答案第一部分1. B 【解析】−1,0,1∩x−1≤x<1=−1,0．2. D3. C4. A5. B【解析】由正弦定理：asin A =bsin B及已知得31=5sin B．所以sin B=59．6. C 【解析】依次执行的循环为S=1，i=0；S=23，i=1；S=1321，i=2．7. C 【解析】【解析】∵双曲线x^2-\dfrac{y^{2}}{m}=1的离心率e=\sqrt{1+m}，又∵e>\sqrt{2}，∴\sqrt{1+m}>\sqrt{2}，∴m>1．【答案】 C8. B 【解析】如图，取底面ABCD的中心O，连接PA，PC，PO．因为AC⊥平面DD1B，又PO⊂平面DD1B，所以AC⊥PO．又O是BD的中点，所以PA=PC．同理，取B1C与BC1的交点H，易证B1C⊥平面D1C1B，所以B1C⊥PH．又H是B1C的中点，所以PB1=PC，故PA=PB1=PC．同理可证PA1=PC1=PD．又P是BD1的三等分点，所以PB≠PD1≠PB1≠PD．故点P到正方体的顶点的不同距离有4个．第二部分9. 2，x=−110. 311. 2，2n+1−212. 25513. −∞,2【解析】当x≥1时，log1x≤0，当x<1时，0<2x<2，故函数的值域是−∞,2．14. 3【解析】设P x,y，则AP=x−1,y+1.由题意知AB=2,1,AC=1,2．由AP=λAB+μAC知x−1,y+1=λ2,1+μ1,2,即2λ+μ=x−1,λ+2μ=y+1.∴λ=2x−y−33,μ=2y−x+33,∵1≤λ≤2,0≤μ≤1，∴3≤2x−y−3≤6,0≤2y−x+3≤3.作出不等式组表示的平面区域（如图阴影部分），由图可知平面区域D为平行四边形，可求出M4,2,N6,3，故MN=5．又x−2y=0与x−2y−3=0之间的距离为d=5，故平面区域D的面积为S=5×35=3.第三部分15. （1）因为f x=2cos2x−1sin2x+1cos4x=cos2x sin2x+1cos4x=1sin4x+cos4x=22sin4x+π4,所以f x的最小正周期为π2，最大值为22．（2）因为fα=22，所以sin4α+π=1.因为α∈π2,π ，所以4α+π4∈9π4,17π4,所以4α+π4=5π2,故α=9π16．16. （1）在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是613．（2）根据题意，事件"此人在该市停留期间只有1天空气质量重度污染"等价于"此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日"，所以此人在该市停留期间只有1天空气质量重度污染的概率为413．（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．17. （1）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD．（2）因为AB∥CD，CD=2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB=DE．所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD．又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD．（3）因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD．由（1）知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．又因为PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD．所以CD⊥PD．因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF．所以CD⊥EF．又因为CD⊥BE，EF∩BE=E，所以CD⊥平面BEF．所以平面BEF⊥平面PCD．18. （1）因为曲线y=f x在点 a,f a处与直线y=b相切，所以fʹa=a2+cos a=0,b=f a,解得a=0,b=f0=1.（2）令fʹx=0，得x=0．f x与fʹx的变化情况如下：x−∞,000,+∞fʹx−0+f x↘1↗所以函数f x在区间−∞,0上单调递减，在区间0,+∞上单调递增，f0=1是f x的最小值．当b≤1时，曲线y=f x与直线y=b最多只有一个交点；当b>1时，f−2b=f2b≥4b2−2b−1>4b−2b−1>b,f0=1<b,所以存在x1∈−2b,0，x2∈0,2b，使得f x1=f x2=b.由于函数f x在区间−∞,0和0,+∞上均单调，所以当b>1时，曲线y=f x与直线y=b有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y=f x与直线y=b有两个不同交点，那么b的取值范围是1,+∞．19. （1）因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB互相垂直平分．所以可设A t,12，代入椭圆方程得t2 4+14=1,即t=±3,所以AC=2 3.（2）假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0．由x2+4y2=4,y=kx+m,消去y并整理得1+4k2x2+8kmx+4m2−4=0.设A x1,y1,C x2,y2，则Δ=8km2−41+4k24m2−4=64k2−16m2+16>0,y1+y22=k⋅x1+x22+m=m1+4k2,所以AC的中点为M −4km1+4k2,m1+4k2．因为M为AC和OB的交点，且m≠0,k≠0，所以直线OB的斜率为−14k．因为k⋅ −14k≠−1,所以AC与OB不垂直，所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾，所以当点B在W上且不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．20. （1）d1=2，d2=3，d3=6．（2）因为a1>0，公比q>1，所以a1，a2，⋯，a n是递增数列．因此，对i=1，2，⋯，n−1，A i=a i，B i=a i+1．故i=1，2，⋯，n−1，d i=A i−B i=a i−a i+1=a11−q q i−1.=q i=1,2,⋅⋅⋅,n−2，即d1，d2，⋯，d n−1是等比数列．因此，d i≠0且d i+1d i（3）设d为d1，d2，⋯，d n−1的公差．对1≤i≤n−2，因为B i≤B i+1，d>0，所以A i+1=B i+1+d i+1≥B i+d i+d>B i+d i=A i.又因为A i+1=max A i,a i+1，所以a i+1=A i+1>A i≥a i.从而a1，a2，⋯，a n−1是递增数列．因此A i=a i i=1,2,⋯,n−1.又因为B1=A1−d1=a1−d1<a1,所以B1<a1<a2<⋯<a n−1.因此a n=B1，所以B1=B2=⋯=B n−1=a n.所以a i=A i=B i+d i=a n+d i.因此对i=1，2，⋯，n−2都有a i+1−a i=d i+1−d i=d,即a1，a2，⋯，a n−1是等差数列．。
2013高考数学 夺分法宝 选择,填空、三角函数、立体几何（解析版）
2013高考数学 夺分法宝 选择,填空、三角函数、立体几何（解析版）【2010高考真题——上海卷】（文数）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角19.（本题满分12分）已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin )lg[2cos()]lg(1sin 2)22x x x x x π⋅+-+--+.解析：原式=lg(sinx +cosx)+lg(cosx +sinx)-lg(sinx +cosx)2=0．【2010高考真题——湖南卷】（文数）7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=2a ，则 A.a ＞b B.a ＜bC. a ＝bD.a 与b 的大小关系不能确定【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。
（文数）16. （本小题满分12分）已知函数2()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期。
(II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。
【2010高考真题——浙江卷】（理数）（9）设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不存在零点的是 （A ）[]4,2-- （B ）[]2,0- （C ）[]0,2 （D ）[]2,4解析：将()x f 的零点转化为函数()()()x x h x x g =+=与12sin 4的交点，数形结合可知答案选A ，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题（理数）（4）设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件解析：因为0＜x ＜2π，所以sinx ＜1，故xsin2x ＜xsinx ，结合xsin2x 与xsinx 的取值范围相同，可知答案选B ，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题（理数）（11）函数2()sin(2)224f x x xπ=--的最小正周期是__________________ .解析：()242sin 22-⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f 故最小正周期为π，本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属中档题（文数）（12）函数2()sin (2)4f x x π=-的最小正周期是 。
2013届高考数学“得分题”训练(9)(教师版)
2013届高考数学“得分题”训练（9）（教师版）【点评】训练（9）题目在研读了最新高考数学考纲的基础上，遵循了高考数学试卷的命题原则，以中档题为主，适当地增加部分区分题，训练（9）题目的选择题与前面的8套题相比，难度稍加大了一些，题目考察知识单一变为综合，大部分题目考查的知识点都不止一个，对学生的知识掌握要求高了，随着一轮复习的结束，学生是要达到这个程度的，但难度仍然是没有超出高考试卷的难度，非常适合中上层学生测试用，选择题第9题和第10题难度大，对学生理解分析能力要求高，属于区分度的题目，就算是尖子生也未必能一刻做出答案，其余选择题难度一般，个别题需要转个弯才能做出答案，如第3题平面向量与第4题函数；能够检验学生解题基本功；填空题难度适中，没有特别难题目，题意给出解题条件多，但难度不大；训练（9）的解答选取中档题型三角函数与概率统计，难度适中，符合高考难度，适合学生训练使用，最后一道是解析几何题，解析几何一般是高考试卷中后三题出现，这里选取的是比较基本题型，让学生熟悉基本题型的解题方法，就算是后三题里面也有简单的1—2问的。
题型选择题填空题解答题得分一、选择题(每小题5分，共10小题，满分50分)1.（2013届山西省太原五中高三12月月考）已知集，若,则实数的取值范围是（）A ．B．C ．D．【答案】C【解析】,借助数轴分析【考点】集合的包含关系2．(2013届浙江省东阳市黎明补校高三12月月考)若不等式2229t t a t t +≤≤+在(]2,0∈t 上恒成立,则a 的取值范围是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,61B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡134,61 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,132 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,613．（2013届山东省沂南一中高三第二次质量检测）已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C.若向量,32=+ABBC 的值为( )A.21B.31C.41D.61 4．（2013届浙江省东阳市黎明补校高三12月月考）定义在R 上的可导函数()()22215f x x xf '=++，在闭区间[0,]m 上有最大值15，最小值-1，则m 的取值范围是（ ）A 2m ≥B 24m ≤≤C 4m ≥D 48m ≤≤5．（2012-2013学年吉林省扶余一中高三上学期期末考试） 设l 、m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A. 若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B. 若l α⊥，l m //，则m α⊥C. 若l α//，m α⊂，则l m //D. 若l α//，m α//，则l m // 【答案】B【解析】对于A ，直线只与平面内的一条件直线垂直，不能得到直线与平面垂直，故A 错；对于B ，是一条线面垂直的性质定理，故B 正确；对于C ，若∥，，则与m 可能平行，也可能异面。
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08 三角函数 三角恒等变换)
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （08三角函数 三角恒等变换）一、选择题：1．(2013福建文) 将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ，则ϕ的值可以是（ ） A ．35π B ．65π C ．2π D ．6π 【答案】B【解析】本题考查的三角函数的图像的平移．把)23,0(P 代入)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=，所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得，πϕk =或6ππϕ-=k ，观察选项，故选B2．(2013广东文) 已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【解析】：考查三角函数诱导公式,51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭,选C.3、(2013湖北文、理) 将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A. 12πB. 6πC. 3πD. 56π【解析与答案】解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6. 答案 B【相关知识点】三角函数图象及其变换4. (2013江西文) sincos 23αα==若 （ ）A. 23-B. 13-C. 13D.23[答案]：C[解析]：211cos 12sin12233αα=-=-⨯=5. (2013江西文) 如图。
2013届高考数学“得分题”(第二期)训练(9)(教师版)
【第二期】2013届高考数学“得分题”训练（9）一、选择题(每小题5分，共10小题，满分50分)1．(2013届某某省某某市菱湖中学高三上学期期中考试)已知集合2{|1}P x x =≤，{}M a =，若P M P =，则a 的取值X 围是( )A. (,1]-∞-B. [1,)+∞C. [1,1]-D. (,1]-∞-[1,)+∞2．（2013届某某省某某二中高三第四次月考）在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=S A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 【答案】B 【解析】()()111481*********a a a a S ++===【考点】等差数列性质及求和题型 选择题 填空题解答题 得分3．（2013届某某省某某一中高三上学期期末考试）已知函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩ 的零点个数为A ．3 B.2 C ．1 D ．04．（2013届某某省双鸭山市第一中学高三第三次月考）复数21ii-等于（ ） A.1i -+ B.1i - C.1i + D ．3+i5．(2013届某某省某某市一中高三第八次周考)过椭圆1222=+y x 的右焦点F 2作倾斜角为4π弦AB ，则|AB ︳为（ ）264246D.4336．（2013届某某市某某一中高三上学期第四次月考 ）"1"-=m 是“直线()0212=+-+y m mx 和直线033=++my x 垂直”的( )A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7．（2013届某某省某某铁人中学高三第三次阶段考试）设函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++0,||2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 【答案】A9．（2013届某某某某六中高三第五次阶段性学科达标考试）如下图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（ ）A ．πB ．3πC ．3πD ．33π9．（2012-2013学年某某省庆安三中高三上学期期末考试）在边长为1的正方形ABCD 中任取一点P ，则ABP ∆的面积大于14的概率是（ ） A ．14 B.34 C.12 D.2310.( 2013届某某省某某市高三上学期期中考试)某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时,原油温度（单位：℃）为),50(831)(23≤≤+-=x x x x f ，那么原油温度的瞬时变化率的最小值为 A ．8 B ．320 C ．-1 D ．-8【答案】C【解析】原油温度的瞬时变化率为),50(1)1(2)('22≤≤--=-=x x x x x f 故最小值为-1.因此选C.【考点】导数最值问题二、填空题(每小题5分，共4小题，满分20分) 11.（2013届市东城区高三上学期期末考）若3sin 5α=-，且tan 0α>，则cos α=． 12．（2013届某某省东阳市黎明补校高三12月月考）设y x ,满足约束条件 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-0,0048022y x y x y x ，若目标函数)0,0(,>>+=b a y abx z 的最大值为8，则b a +的最小值为13．（2013届某某省某某市菱湖中学高三上学期期中考）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为_____________ 【答案】22【解析】圆心（0,2）到直线y x =的距离0-2=22d ，所以直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长()22=22-2=22l【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式。
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2013届高考数学“得分题”训练（8）（教师版）【点评】训练（8）题目在研读了最新高考数学考纲的基础上，遵循了高考数学试卷的命题原则，以中档题为主，适当地增加部分区分题，训练（8）题目的选择题与前面的8套题相比，难度稍加大了一些，题目考察知识单一变为综合，大部分题目考查的知识点都不止一个，对学生的知识掌握要求高了，随着一轮复习的结束，学生是要达到这个程度的，但难度仍然是没有超出高考试卷的难度，非常适合中上层学生测试用，选择题第10题难度大，对学生理解分析能力要求高，属于区分题，其余选择题考察点比较基础，能够检验学生基础是否过关，填空题难度适中，特意在12题增加难度，考验学生临场应变能力，因为13题比12题简单,12题是一道创新题，学生只有理解题意才能做出答案，14题难度也大；训练（8）的解答题仍然是选取中档题型三角函数与立体几何和概率统计，难度适中，符合高考难度，适合学生训练使用。
)一、选择题(每小题5分，共10小题，满分50分题q : 则下列判断正确的是（）A．p是真命题B．q是假命题C ．p ⌝是假命题D ．⌝q 是假命题 【答案】D【解析】由于命题：，因该是不等式恒小于等于零，根据判别式为等于0，可知二次函数的函数值恒大于等于零，故命题P 错误，则可知，C 错误，A 错误。
那么对于命题q ，因为sinx+cosx ,故可知存在变量满足题意，因此为真命题，故C 错误，选D. 【考点】命题的判定3．(2012-2013学年黑龙江省鹤岗一中高三上学期期末考试)程序框图如图所示，则该程序框图运行后输出的S 是( )B.-3C.2D.31 【答案】A【解析】程序执行过程中的数据变化情况依次是，【考点】程序框图4．(2013届内蒙古呼伦贝尔牙克石林业一中高三第二次模拟考试)已知向量)2,1(=a ，)2,3(-=b ，若)(b a k +∥)3(b a -，则实数k 的取值为（ ）C.3-D .3．【答案】A【解析】，∥【考点】向量共线的坐标关系5．(2013届山东省沂南一中高三第二次质量检测)设x，y满足条件20360,(0,0)0,0x yx y z ax by a bx y-+≥⎧⎪--≤=+>>⎨⎪≥≥⎩若目标函数的最大值为12为( )ABCD．4【答案】D【解析】画出不等式表示的平面区域，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，则。
当且仅当即时取等号。
故选D．【考点】线性规划6．(2012-2013学年河南省偃师市高级中学高三第三次月考)设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是 A ．1[-，2] B ．[0，2]C ．[1，+∞]D ．[0，+∞]7．(2012-2013学年辽宁实验中学分校高三12月月考)长轴长为10，离心率35e =，则椭圆的方程是（ ） ABCD【答案】A【解析】因为由题意可知椭圆的长轴长为10，离心率，可知2a=10,a=5,同时，那么结合,由于焦点位置不确定，因此可知其方程有两种情况，故可知为或，进而选A.【考点】椭圆的简单性质8．(2012-2013学年河南省偃师市高级中学高三第三次月考)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A.32C.48【答案】B【解析】由题意知原几何体是正四棱锥，其中正四棱锥的高为2，底面是一个边长为4的正方形，过顶点向底面做垂线，垂线段长是2，过底面的中心向长度是4的边做垂线，连接垂足与顶点，得到直角三角形，得到斜高是2，所以四个侧面积是，底面面积为，所以该四棱锥的表面积是16+。
故选B．【考点】三视图；棱锥的体积公式。
9．(2012—2013学年河北省邢台一中高三第三次月考)要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、200户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的5名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的方法依次为（）A．①简单随机抽样调查，②系统抽样B．①分层抽样，②简单随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样【答案】B【解析】①要在高收入家庭、中等收入家庭、低收入家庭中分别抽取，且样本容量较大，所以应用分成抽样；②总体容量较小，样本容量也较小，所以应用简单随机抽样.【考点】抽样方法的特点和选取.【解析】令，则，所以，所以…，，以上个式子相加，得整理得，所以，所以【考点】累加法求数列的通项公式、裂项相消法求数列的前n 项和，考查学生的转化能力和运算求解能力.二、填空题(每小题5分，共4小题，满分20分)11．（2012-2013年辽宁朝阳柳城高中高三上第三次月考）已知,αβ都是锐角，则cos β=_____.【解析】因为都是锐角，则进而得到结论为【考点】两角和差的三角函数公式的运用。
12．（2012-2013学年福建龙岩一中高三上学期第一学段考试）研究问题：“已知关于的不等式02>+-c bx ax 的解集为(1，2)，解关于x 的不等式02>+-a bx cx ”，有如下解法：1)∪(2，3)，则关于x【解析】由于根据已知的解法，和x的不等式的解集为(－3，－1)∪(2，3)，可知用-替换x，不等式可化为，可得(－3，－1)∪(2，3)，可得x,故答案为【考点】不等式的解集13．（2013届山东省沂南一中高三第二次质量检测）已知直线1+=xy与曲线)ln(axy+=相切，则a的值为_________.【答案】2【解析】设切点坐标为（m，n），所以，…………①由导数的几何意义得：y'|x=m=………………………………………②由①②联立解得：。
【考点】导数的几何意义。
14.(2013届浙江省温州中学高三10月月考)抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线对称轴上，过可作直线交抛物线于点、，使得，则的取值范围是_______．【答案】【解析】利用已知条件可知抛物线的准线为y=-2,设出直线MN，联立方程组，结合伟大定理，得到坐标关系式，进而得到成立，此时可知的取值范围是。
【考点】抛物线三、解答题15.（2013届山东省沂南一中高三第二次质量检测）已知锐角中内角、、的对边分别为、、，且.（1）求角的值；（2）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围.【考点】本小题主要考查三角形中正弦定理和余弦定理的应用、三角函数的化简以及三角函数的图象和性质的应用，考查学生熟练运用公式的能力和数形结合数学思想的应用. 16.（2013届内蒙古呼伦贝尔牙克石林业一中高三第二次模拟考试）如图,在三棱柱中,侧棱与底面垂直,,,点分别为和的中点. (1)证明:平面;(2)求三棱锥的体积;(3)证明:平面.【答案】(1)见解析(2)(3)见解析【解析】(1)证法一：由题设知,,又平面,平面,平面, …………1分平面. …………2分又四边形为正方形,为的中点,…………3分,平面,平面平面…………4分证法二：在中，在中，.,即为等腰三角形. …………1分又点为的中点,. …………2分又四边形为正方形,为的中点,…………3分,平面,平面平面…………4分（2）由(1)的证明可得:三棱锥的体积…………6分…………8分(3)证法一: 连接由题意知,点分别为和的中点,. …………10分又平面,平面,平面. …………12分【考点】空间直线与平面平行垂直的判定及锥体体积的计算17．（2012-2013学年黑龙江省鹤岗一中高三上学期期末考试）为了研究化肥对小麦产量的50m的小块，并在100个小块上施用新化肥，留影响，某科学家将一片土地划分成200个2下100个条件大体相当的小块不施用新化肥.下表1和表2分别是施用新化肥和不施用新化肥的小麦产量频数分布表(小麦产量单位：kg)表1：施用新化肥小麦产量频数分布表表2：不施用新化肥小麦产量频数分布表完成下面频率分布直方图；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计施用化肥和不施用化肥的一小块土地的小麦平均产量；(3)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.5%的把握认为“施用新化肥和不施用新化肥的小麦产量有差异”表3：【答案】(1)见解析； (2) 施用化肥的平均产量为21.5，不施用新化肥的平均产量为17.5；(3)列量表见解析，99.5%。
【解析】(2)施用化肥的一小块土地小麦平均产量为5×0.1+15×0.35+25×0.4+35×0.1+45×0.05＝21.5 ………6分不施用新化肥的一小块土地小麦平均产量为5×0.15+15×0.5+25×0.3+35×0.05＝17.5 ………8分(3)表3………11分由于，所以有99.5%的把握认为施用新化肥和不施用新化肥的小麦产量有差异………12分【考点】频率分布直方图；列联表；独立性检验。