9.1 微分方程的基本概念

y f ( x , y );
( n)
F ( x , y, y, , y ) 0, y f ( x , y, y, , y
( n) ( n 1 )
).
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分类3: 线性与非线性微分方程.
y P ( x ) y Q ( x ),
x ( y) 2 yy x 0;
2 2
ds v 0.4t C , s 0.2t C t C dt
2
1
1
2
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代入条件后知 C 20, C 0.
1 2
ds v 0.4t 20, dt
故 s 0.2t 2 20t ,
20 开始制动到列车完全停住共需 t 50(秒), 0.4 列车在这段时间内行驶了
s 0.2 50 20 50 500(米).
2
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9.1.2
微分方程基本概念
一、微分方程的定义
定义 凡含有未知函数的导数或微分的方程称为 微分方程. 例如
2
y xy, y 2 y 3 y e , z x y. ( t x )dt xdx 0, x
0 0Biblioteka 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
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例 3 验证：函数 x c1 cos kt c2 sin kt 是微分 d2x 方程 2 k 2 x 0 的解.并求满足初始条件 x t 0 A, dt dx 0 的特解. dt t 0 dx 解 kC sin kt kC cos kt , dt
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例 2 列车在平直的线路上以20 米 秒 的速度 行驶，当制动时列车获 得加速度 0.4 米 秒 2 ，问 开始制动后多少时间列 车才能停住？以及列车 在 这段时间内行驶了多少 路程？
解 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s( t )
ds d s 0.4 , t 0 时, s 0, v 20, dt dt
故 x C1 cos kt C 2 sin kt 是原方程的解 .
x t 0 dx A, 0, dt t 0
C1 A, C 2 0.
所求特解为 x A cos kt .
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以及列车开始制动后多少时间列得加速度行驶当制动时列车获的速度dtds500502050定义凡含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程
第 9章
9.1 9.2 9.3
9.4 9.5
微分方程及其应用
微分方程的概念 一阶微分方程 可降阶二阶微分方程
二阶线性微分方程 微分方程的应用
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9.1.1
微分方程的引入
x
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的
某些导数(或微分)之间的关系式.
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二、微分方程的分类
分类1: 常微分方程, 偏常微分方程. 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶.
分类2:
一阶微分方程 F ( x , y , y ) 0, 高阶(n阶)微分方程
例 1 一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点 M ( x , y ) 处的切线的斜率为2 x，求这曲线的方程 .
解 设所求曲线为 y y( x ) dy 2 x , 其中 x 1时, y 2. dx
y 2 xdx , 即 y x 2 C , 求得C 1,
所求曲线方程为 y x 2 1 .
通解的图象:积分曲线族. 初始条件:用来确定任意常数的条件.
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初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.
y f ( x , y ) 一阶： 过定点的积分曲线; y x x y0
0
y f ( x , y , y) 二阶： y x x y0 , yx x y0
2
分类4: 单个微分方程与微分方程组.
dy dx 3 y 2 z , dz 2 y z , dx
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三、微分方程的解
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
设 y ( x ) 在区间 I 上有 n 阶导数 ,
F ( x , ( x ), ( x ),, ( n ) ( x )) 0.
1 2
d x k C cos kt k C sin kt , dt d2x 将 2 和 x 的表达式代入原方程 , dt
2 2 2 2 1 2
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k 2 (C1 cos kt C 2 sin kt ) k 2 (C1 cos kt C 2 sin kt ) 0.
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意 常数的个数与微分方程的阶数相同.
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例 y y, 通解 y ce x ;
y y 0, 通解 y c1 sin x c2 cos x;
(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.
解的图象:微分方程的积分曲线.