平面图形上加速度投影定理的数学证明

加速度投影定理：在任一瞬时，平面图形上任意两点a=0，于是公式（1）变成：
a A·sinθA=a B·sinθB
的加速度按角加速度的方向转过角a=arctan ε ，然后在（2）
ω2
根据公式（2），再结合图2，我们又可得到下列结论：
角加速度等于零时的加速度投影定理：在某瞬时，若
角加速度等于零，则平面图形上任意两点的加速度在该
两点连线之垂直方向上的投影相等。

该两点连线之垂直方向上的投影相等。

证明：如图1 所示，在图示瞬时，已知平面图形上任意
两点A、B的加速度分别为a A、a B及其与AB 连线的夹角分
别为θA、θB，P点为该瞬时的加速度瞬心。

图中ω、ε分别为
平面图形的角速度和角加速度。

因为平面图形上各点加速
度的方向与该点到加速度瞬心的连线之间的夹角都相等，
设该夹角为a，如图1 所示，显然有a＝arctanε 。

ω2
在△PA B 中，根据正弦定理有：
PA＝PB
∴
sin∠PBA sin∠PAB
P A＝s in∠PBA
图2图3
PB sin∠PAB
（2）在某瞬时，若平面图形的角速度ω＝0时，则有a=
P A＝sin（θB－a）
即
PB sin（θA＋a）
arctan ε →π，此时图1 的情形演变为图3 的情形。

因为
ω22
又各点的加速度大小
与该点到加速度瞬心的距
离成正比，即
a→π，于是公式（1）变成：
2
图1a
A
·cosθA＝a B·（-cosθB）
a A·cosθA＝a B·（π－θB）
即（3）
a A=P A
∴
a B PB根据公式（3），再结合图3，我们又可得到下列结论：
角速度ω等于零时的加速度投影定理：在某瞬时，若
角速度ω等于零，则平面图形上任意两点的加速度在该
两点连线方向上的投影相等。

例如图4 所示为曲柄滑块机构，曲柄OA 以匀角速
度ω绕O 轴转动，OA=r，求图示瞬时滑块B 的加速度a B。

（下转第183 页）
a A = sin（θB－a）
a B sin（θA＋a）
a A·sin（θA＋a）＝a B·sin（θB-a）
即（1）
公式（1）即为“加速度投影定理”。

有两种特殊情况：
（1）在某瞬时，若平面图形的角加速度ε＝0时，则有
a=arctan ε ＝0，此时图1 的情形演变为图2 的情形。

因为
ω2
收稿日期：2011-05－10
作者简介：白岗（1957-），男，江苏常州人，讲师（工程师），主要研究方向：力学。

俞文辉（1971-），男，江西婺源人，副教授，主要研究方向：数学。

卢其宜（1962-），男，江西宜春人，教授，主要研究方向：力学、数控编程教学及力
学。

面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统计量。

这时就可以采用标准差，可作为实验误差或精密度的指示。

标准差大，表示各个测定值分布的离散；标准差小，表示各个测定值在平均值附近分布得比较密集。

当<30 时所有的聚合物食品包装内迁移物的迁移。

坠C p=D 坠2C p（1）
坠t坠x2
在方程（1）中，为时刻处于聚合物包装中迁移物的浓度，扩散系数为常数。

对于迁移过程的描述，有以下假设的基本条件：（1）迁移物只从包装薄膜的一侧进入液体食品，不考虑与空气接触的一侧；（2）迁移物在食品中没有浓度梯度；（3）表面传质系数远大于扩散系数，说明聚合物中的迁移过程符合Fick 扩散行为；（4）迁移过程中的扩散系数只与温度有关；（5）忽略聚合物与食品间的边界效应以及相互作用。

4 结语
数学是一切自然科学的基础，它来源于生活又能解决生活中的困难。

高职教学新课程十分强调数学与现实生活的联系，不仅要求数学教学必须让学生获得敏捷的思维，还应该使学生有更多的机会从周围熟悉的事物中学习数学和理解数学，体会到数学就在身边，激发学生运用数学解决实际问题的兴趣，培养探索精神、应用意识和实践能力，做到学以致用，进一步体会数学的作用和价值，感受到数学的魅力。

Σ（X-
姨n-1
s=
当>30 时
姨Σ（X-
s=
n-1
—
—标准差X—
—测定值
S
3.1.3 标准误
理化检验中，采取的是抽样检测，由于抽样引起的样本均数与总体均数之间的差别叫抽样误差（在实际中不可避免），抽样误差常用标准误来表示：
S = S
x軃X
S—
—标准差3.1.4 变异系数n—
—样本数
[参考文献]
[1]孙秀兰，姚卫蓉.食品安全与化学污染防治[M].北京：
化学工业出版社，2007.
[2]刘兴友，刁有样.食品检验理化学[M].北京：中国农业
大学出版社，2010.
[3]曾庆孝.食品加工与保藏原理[M].北京：化学工业出版
社，2009.
[4]惠淑蓉.应用数学[M].沈阳：东北大学出版社，2008.
[5]云智勉，张木全.化工原理[M].广州：华南理工大学出
版社，2009.
[6]茸坊.实用模糊数学[M].北京：科学技术文献出版社,
1998.
变异系数用于检验分析结果的精密度。

变异系数的大小取决于分析方法自身的稳定性、实验仪器的控制以及个人操作误差。

标注插于平均值的比值称为变异系数，记为CV
CV＝S
姨1 n
3.2 食品包装材料的迁移检测模型
“迁移检测”常与模拟食品联系在一起，是对与真实的食品相近的模拟食品进行检测。

通常需要建立迁移数学模型，因为直接对包装材料的迁移检测所需的人力物力太大，所以就采用建立数学模型来解决问题。

聚合物材料化学成分迁移的数学模型主要是基于Fick 扩散定律
（上接第180 页）
解∵在图示瞬时连杆AB 作瞬时平动，
∴ωAB=0，根据角速度ω等于零时的加速度投影定理有：
a B·cosφ＝a A·cos（π－φ）
2
∴a
B ＝a A·sinφ=a A·tanφ=rω2tanφcosφ
a B方向为水平向右。

由此可见，应用“加速度投影定理”求解平面图形
上
任意一点的加速度有时比加速度基点法更方便。

图4
［参考文献］
[1]皮亚南，卢其宜.平面图形上任意两点加速度的投影关系[J].江西工业大学学报，1992（3）：91-94.。