2019届高三一轮文科数学课件：4.2-平面向量的基本定理及坐标表示(含答案)
高三数学(文)一轮复习课件4-2 平面向量基本定理及坐标表示ppt版本
→→ ∵AB，AC不共线，
13－x＝－31λ ∴13＝λy－13
⇒13－－13x＝y－13 13⇒x＋y－3xy＝0，
两边同除以 xy 得1x＋1y＝3。
解析：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2,3)， ∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)。 ∵向量 λa＋b 与向量 c＝(－4，－7)共线， ∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，∴λ＝2。
→→
→
解析：(2)方法一：由 O，P，B 三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP
的坐标为( C )
A．(2,0)
B．(－3,6)
C．(6,2)
D．(－2,0)
(2)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示。若 c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则μλ＝___4_______。
→
→
解析：(1)MN＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设 N(x，y)，则MN＝(x－5，y
解析：∵M→N＝M→D＋D→A＋A→N＝－14a－b＋12a ＝14a－b， ∴m＝14，n＝－1。∴mn ＝－4。 答案：－4
微考点 大课堂
考点例析 对点微练
微考点
平面向量基本定理及其应用
【典例 1】已知点 G 为△ABC 的重心，过 G 作直线与 AB、AC 两边分别交 于 M、N 两点，且A→M＝xA→B，A→N＝yA→C，则1x＋1y的值为__________。
＝( )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
解析：设 C(x，y)，∵A(0,1)，A→C＝(－4，－3)，∴xy＝ －－ 1＝4－，3， 解得
2019年高三文科数学一轮复习：平面向量的基本定理及坐标表示(解析版附后)
2019年高三文科数学一轮复习：平面向量的基本定理及坐标表示（解析版附后）A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．如图4-2-2，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是( )图4-2-2A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④2．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32b B ．12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b3．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向4．如图4-2-3，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则 ( )图4-2-3A ．x ＝23，y ＝13 B ．x ＝13，y ＝23 C ．x ＝14，y ＝34 D ．x ＝34，y ＝145．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( ) A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7) D ．(6，－21)二、填空题6．(2017·陕西质检(二))若向量a ＝(3,1)，b ＝(7，－2)，则与向量a －b 同方向单位向量的坐标是________．7．已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1,1)，C (2,3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________．8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．三、解答题9．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b ).(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标.10．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·宁波模拟)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C ．23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →2．向量a ，b ，c 在正方形 格中的位置如图4-2-4所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.图4-2-43．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线.2019年高三文科数学一轮复习：平面向量的基本定理及坐标表示（解析版）A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．如图4-2-2，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是( )图4-2-2A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④B [①中AD →，AB →不共线；③中CA →，DC →不共线．]2．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32b B ．12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12bB [设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)， ∴⎩⎨⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .]3．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向D [由题意可得c 与d 共线，则存在实数λ，使得c ＝λd ，即⎩⎨⎧k ＝λ，1＝－λ，解得k ＝－1.c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d ，故c 与d 反向．]4．如图4-2-3，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则 ( )图4-2-3A ．x ＝23，y ＝13 B ．x ＝13，y ＝23 C ．x ＝14，y ＝34 D ．x ＝34，y ＝14A [由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.]5．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( ) A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7)D ．(6，－21)B [AQ →＝PQ →－P A →＝(－3,2)，∵点Q 是AC 的中点，∴AC →＝2AQ →＝(－6,4)，PC →＝P A →＋AC →＝(－2,7)，∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝(－6,21)．]二、填空题6．(2017·陕西质检(二))若向量a ＝(3,1)，b ＝(7，－2)，则与向量a －b 同方向单位向量的坐标是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 [由题意得a －b ＝(－4,3)，则|a －b |＝(－4)2＋32＝5，则a －b 的单位向量的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35.]7．已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1,1)，C (2,3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________．(4,7) [由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B 为(x ，y )，则(2－x,3－y )＝－2(1,2)，即⎩⎨⎧ 2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝7. 所以向量OB →的坐标是(4,7)．]8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．m ≠54 [由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54.] 三、解答题9．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b ). (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标. [解] (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1). 2分∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →. ∵2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. 5分 (2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2).7分∴⎩⎨⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3， ∴点C 的坐标为(5，－3).12分10．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)， 2分所以⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.5分(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，7分 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.12分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·宁波模拟)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C ．23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →A [由2AC →＋CB →＝0得AC →＋AB →＝0，即AC →＝－AB →，则OC →＝OA →＋AC →＝OA →－AB →＝OA →－(OB →－OA →)＝2OA →－OB →.]2．向量a ，b ，c 在正方形 格中的位置如图4-2-4所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.图4-2-44 [以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)， 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3， 解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4.]3．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线. [解] (1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4) ＝(4t 2,2t 1＋4t 2).2分当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎨⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.5分 (2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2). 7分∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，10分 ∴AM →与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线.12分。
2019版高考数学文一轮复习教师用书：第四章 第二节 平
第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析：选D 因为a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，所以12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1)＝⎝⎛⎭⎫12，12－⎝⎛⎭⎫32，－32＝(－1,2)． 3．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．0解析：选B 因为a 与b 方向相反，所以b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得x ＝±2.又m <0，所以x ＝m ＝－2.4．已知平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5B.⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5 D.⎝⎛⎭⎫－12，－5 解析：选D ∵AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，∴OC ―→＝12AC ―→＝⎝⎛⎭⎫12，5，∴CO ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－5. 5．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________. 解析：a ＋2b ＝(－3,3＋2k )，3a －b ＝(5,9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.答案：－66．在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：因为AN ―→＝3NC ―→，所以AN ―→＝34AC ―→＝34(a ＋b )，又因为AM ―→＝a ＋12b ，所以MN ―→＝AN―→－AM ―→＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b考点一 平面向量基本定理及其应用 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则AO ―→＝( )A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b 解析：选D ∵在△ABC 中，BE 是边AC 上的中线， ∴AE ―→＝12AC ―→.∵O 是边BE 的中点，∴AO ―→＝12(AB ―→＋AE ―→)＝12AB ―→＋14AC ―→＝12a ＋14b .2．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则2x －y ＝________.解析：由平面向量基本定理可知⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，故2x －y ＝9.答案：93.如图，已知▱ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK ―→＝e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→.解：设BC ―→＝x ，CD ―→＝y ，则BK ―→＝12x ，DL ―→＝－12y .由AB ―→＋BK ―→＝AK ―→，AD ―→＋DL ―→＝AL ―→，得⎩⎨⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2， ②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，即x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，所以BC ―→＝－23e 1＋43e 2.同理可得y ＝－43e 1＋23e 2，即CD ―→＝－43e 1＋23e 2.4．如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作▱OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→.解：∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ， BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b .∵OD ―→＝a ＋b ， ∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→ ＝23OD ―→＝23a ＋23b ， ∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b .[怎样快解·准解]1．用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．2．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组． (2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．考点二 平面向量的坐标运算 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]1．若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝⎭⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A.12a ＋b B ．－12a －bC.32a ＋12b D.32a －12b 解析：选A 设c ＝x a ＋y b ，则⎝⎛⎭⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋2y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，则c ＝12a ＋b .2．(2018·江西九校联考)已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(4，－1)，且AP ―→＝3PB ―→，则|OP ―→|＝________.解析：设P (x ，y )，由题意可得A ，B 两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由AP ―→＝3PB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝12－3x ，y －3＝－3y －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝0，故|OP ―→|＝72.答案：723．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点， ∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ，∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)．[怎样快解·准解]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 考点三 平面向量共线的坐标表示 (重点保分型考点——师生共研)已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32.[解题师说]1．平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2．共线问题解含参，列出方程求得解向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．[冲关演练]1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12 C ．1D ．2解析：选B 因为a ＋λb ＝(1＋λ，2)，(a ＋λb )∥c ， 所以1＋λ3＝24，所以λ＝12.2．已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，求证：A ，B ，C 三点共线．证明：由题意得AB ―→＝(1,3)－(－1，－1)＝(1＋1,3＋1)＝(2,4)，AC ―→＝(2,5)－(－1，－1)＝(2＋1,5＋1)＝(3,6)．因为2×6－4×3＝0，所以AB ―→∥AC ―→，又直线AB 和直线AC 有公共点A ，所以A ，B ，C 三点共线．普通高中、重点高中共用作业(高考难度一般，无须挖潜)A 级——基础小题练熟练快1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)解析：选A 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b ＝12(－6,8)＝(－3,4)．2．若向量AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BC ―→＝( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(3,7)D ．(－3，－7)解析：选B 由向量的三角形法则，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 3．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)． 4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析：选B 由题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝BC ―→－AB ―→＝(AC ―→－AB ―→)－AB ―→＝AC ―→－2AB ―→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(c os A ，sin B )平行，则A ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：选B 因为m ∥n ，所以a sin B －3bc os A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B c os A ＝0，又sin B ≠0，从而t a n A ＝3，由于0<A <π，所以A ＝π3.6．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB―→＝a ，AC ―→＝b ，则PQ ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A 由题意知PQ ―→＝PB ―→＋BQ ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b . 7．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5， ∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－38．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －139．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________． 解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ， 所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0， 即10x ＝5，解得x ＝12.答案：1210．已知梯形ABCD ，其中AB ∥DC ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥DC ， ∴DC ―→＝2AB ―→.设点D 的坐标为(x ，y )， 则DC ―→＝(4－x ，2－y )，AB ―→＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 答案：(2,4)B 级——中档题目练通抓牢1．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6.当m ＝－6时，a ∥(a ＋b )，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件．2．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC ―→＝2AE ―→，则EM ―→＝( )A.12AC ―→＋13AB ―→B.12AC ―→＋16AB ―→C.16AC ―→＋12AB ―→D.16AC ―→＋32AB ―→ 解析：选C 如图，因为EC ―→＝2AE ―→，所以EC ―→＝23AC ―→，所以EM ―→＝EC ―→＋CM ―→＝23AC ―→＋12CB ―→＝23AC ―→＋12(AB ―→－AC ―→)＝12AB ―→＋16AC ―→.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又因为OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.4．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ―→＝2PC ―→，点Q 是AC 的中点，若PA ―→＝(4,3)，PQ ―→＝(1,5)，则 BC ―→＝________.解析：AQ ―→＝PQ ―→－PA ―→＝(－3,2)，因为Q 是AC 的中点，所以AC ―→＝2AQ ―→＝(－6,4)，PC ―→＝PA ―→＋AC ―→＝(－2,7)，因为BP ―→＝2PC ―→，所以BC ―→＝3PC ―→＝(－6,21)．答案：(－6,21)5．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC ―→＝λOA ―→＋OB ―→，则实数λ的值为________．解析：由题意知OA ―→＝(－3,0)，OB ―→＝(0，3)， 则OC ―→＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°知，以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°，所以t a n 150°＝3－3λ， 即－33＝－33λ，所以λ＝1. 答案：16．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值；(2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值．解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧ m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， 解得k ＝－1613. 7.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ―→＝a ，BC ―→＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ―→，DF ―→，CD ―→.解：EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ， DF ―→＝DE ―→＋EF ―→＝－16b ＋⎝⎛⎭⎫13b －a ＝16b －a ， CD ―→＝CF ―→＋FD ―→＝－12b －⎝⎛⎭⎫16b －a ＝a －23b . C 级——重难题目自主选做若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→. (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 的中点，AM 与CN 交于点O ，设BO ―→＝xBM ―→＋y BN ―→，求x ，y 的值．解：(1)由AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→，可知M ，B ，C 三点共线． 如图，设BM ―→＝λBC ―→，则AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝AB ―→＋λ(AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAC ―→，所以λ＝14， 所以S △ABM S △ABC ＝14，即△ABM 与△ABC 的面积之比为1∶4. (2)由BO ―→＝xBM ―→＋y BN ―→，得BO ―→＝xBM ―→＋y 2BA ―→， BO ―→＝x 4BC ―→＋y BN ―→， 由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎨⎧x ＋y 2＝1，x 4＋y ＝1⇒⎩⎨⎧ x ＝47，y ＝67.。
高考数学一轮总复习 4.2 平面向量的基本定理及坐标运算课件(含高考真题)文 新人教版
)
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a+b=(1,-m)+(m2,m)=(m2+1,0).其横坐标恒大于零,纵坐标等于零,故向
量 a+b 所在的直线可能为 x 轴.
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A
解析
答案
答案
(jiě xī) (dá àn)
解析
第十页，共32页。
梳理
(shūlǐ)自
测
4.(2013 辽宁高考)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为
1
2
A.k=-2
B.k=
C.k=1
D.k=-1
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若点 A,B,C 不能构成三角形,则向量, 共线.
∵ = − =(2,-1)-(1,-3)=(1,2), = −
=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),
C
∴1×(k+1)-2k=0,解得
k=1.
ǎo diǎn)一
注意其表示形式的区别,如点 A(x,y),向量 a==(x,y).
当平面向量平行移动到1 1 时,向量不变即1 1 = =(x,y),
但1 1 的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化.
第五页，共32页。
梳理(shūlǐ)
自测
6
3.平面向量的坐标运算
(1)加法、减法、数乘运算
A.5
B.10
32
C.
5
9
)
D.15
关闭
∵a∥b,∴4y-40=0,得 y=10.
关闭
B
解析
解析
(jiě
第九页，共32页。
答案
答案
(dá àn)
梳理(shūlǐ)
高三数学最新复习课件平面向量基本定理及向量坐标表示.ppt
【答案】 m＝－1 【误区警示】 解答本题过程中，易将方程列成 (－1)×1＋2(m－1)＝0即x1x2＋y1y2＝0而出错， 导致此种错误的原因是：没有准确记忆两个向量 平行的充要条件，将其与向量垂直的条件混淆．
变式训练 2 已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及 O→P ＝ O→A ＋t·A→B ，试问：
2．平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘的运算
向量 a
b
a＋b
a－b
λa
坐标 (x1，y1)
(x2，y2)
(x1＋x2， (x1－x2， y1＋y2) y1－y2)
(λx1， λy1)
(2)向量坐标的求法
已知
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
_(_x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1)_________，即一个向量的坐标等于
3．两个向量共线的充要条件在解题中具有重要 的应用，一般地，如果已知两向量共线，求某些
参数的值，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2), 则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0”比较简 捷．(如例3) 4．对于向量坐标的综合应用，关键是利用已知 条件转化为方程或函数关系式解决．(如例4)
例3 (2019年高考陕西卷)已知向量a＝(2，－ 1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c， 则m＝________. 【思路点拨】 由向量平行的充要条件列出关于 m的方程，然后求解． 【解析】 ∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)， ∴a＋b＝(1，m－1)． ∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)， ∴1×2－(－1)·(m－1)＝0， ∴m＝－1.
高考数学 4.2平面向量的基本定理及向量坐标运算配套课
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. （1）平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.（ ） （2）在△ABC中，向量 AB,BC 的夹角为∠ABC.（ ） （3）若a,b不共线，且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b，则λ1=λ2, μ1=μ2.（ ）
（4）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任 何一个向量都可被这组基底唯一表示.（ ） （5）点的坐标与向量的坐标在形式上完全一样，但意义完全 不同，向量的坐标中既有方向也有大小的信息．（ ） （6）若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示 成 x1 ＝ y1 .（ ）
（4）正确.由基底的定义及平面向量基本定理知正确. （5）正确.由向量的坐标的意义可知正确. （6）错误.因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－ x2y1＝0. 答案：（1）× （2）× （3）√ （4）√ （5）√ （6）×
1．若已知e1，e2是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能 作为基底的一组是（ ）
②e1=（3,5）,e2=（6,10）；③e1=（2,-3）,e2=（
1 2
,
3 4
），
能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是（ ）
（A）①
（B）①③
（C）②③
（D）①②③
（2）如图，在△ABC中，AD 2 AB, DE∥BC交AC于E，BC边上
3
的中线AM交DE于N．设 AB a,AC b，用a,b表示向量 AE,BC,DE，
x2 y2
【解析】（1）错误，只有不共线的两个向量才能作为平面的 一组基底. （2）错误.由向量夹角的定义知在△ABC中，向量 AB,B的C夹 角为∠ABC的补角. （3）正确.由λ1a+μ1b=λ2a+μ2b，得（λ1-λ2）a+（μ1μ2）b=0，又a,b不共线，故λ1-λ2=μ1-μ2=0,从而λ1=λ2, μ1=μ2.
高考数学一轮复习 4.2平面向量的基本定理及坐标运算课件 文
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11
1．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，则y等于( )
答案：B
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13
3．(2015·南京模拟)已知A(－3,0)，B(0， 3 )，O为坐标原
点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，
→ OC
＝λ
→ OA
＋
→ OB
，则实数λ
的值为__________．
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14
解析：∵∠AOC＝30°，设C(x0，－ 33x0)，其中x0<0. 又O→C＝λO→A＋O→B，
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能 作基底．
问题探究2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标 是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的 向量O→A的坐标与点A的坐标相同．
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8
2．平面向量的坐标运算
(1)加法、减法、数乘运算
叫做 a 在 y 轴上的坐标．
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6
②设O→A＝x i＋yj，则__向__量__O→_A_的__坐__标___(x_，__y_)_就是终点 A 的坐 标，即若O→A＝(x，y)，则 A 点坐标为__(x_，__y_)___，反之亦成立(O 是坐标原点)．
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7
问题探究1：平面内任一向量用两已知不共线向量e1、e2表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量a、b都能作一组基底 吗？
2019-2020年高三数学一轮复习课件：第25讲 平面向量基本定理及坐标表示
则|QF|= ( )
A.72
B.3
C.52
D.2
[答案] B [解析] 由题知 F(2,0),设 P(-2,t),Q(x0,y0),则 ������������=(-4,t),������������=(x0-2,y0),由������������=4������������,得 -4=4(x0-2),解得 x0=1,根据抛物线定义得 |QF|=x0+2=3.
������-3 = 2,
解得
������ ������
= =
-53, ,即点
Q
的坐标为
(-3,5).
课前双基巩固
2.[教材改编] 如图 4-25-1,已知向量 e1,e2,a 的起点与终点均在正方形网格的格点上,则
向量 a 用基底 e1,e2 表示为
.
图 4-25-1
[答案] -2e1+e2 [解析] 以向量 e1 的起点为原点,向量 e1 的箭头方向为 x 轴的正方向建立平
面直角坐标系.设网格正方形的边长为
1,则 e1=(1,0),e2=(-1,1),a=(-3,1).设
a=xe1+ye2,则
(-3,1)=x(1,0)+y(-1,1)=(x-y,y),∴
������-������ ������ =
=1,-3,解得
������ ������
= =
-12, ,∴a=-2e1+e2.
1.[2017·全国卷Ⅲ] 在矩形 ABCD
中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆
心且与 BD 相切的圆上.若������������=λ
������������+μ������������,则 λ+μ 的最大值为( )
2019版高考数学一轮复习 第四章 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示配套课件 理
与 a－2b 平行，∴(2m－1)×(－1)－4×(3m＋2)＝0，解得 m＝
－12.故选 D.
【互动探究】 5.(2017 年山东)已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)，若 a∥b， 则λ＝ ____－__3____. 解析：由 a∥b，得 2λ＋6＝0，解得λ＝－3.
易错、易混、易漏 ⊙利用方程的思想求解平面向量问题 例题：如图 4-2-1，在△ABO 中，O→C＝14O→A，O→D＝12O→B， AD 与 BC 相交于点 M，设O→A＝a，O→B＝b，试用 a 和 b 表示向 量O→M.
【互动探究】
1.设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝12AB， BE＝23BC.若D→E＝λ1A→B＋λ2A→C(λ1，λ2 为实数)，则 λ1＋λ2 的值为
1 ____2___.
解析：D→E＝D→B＋B→E＝12A→B＋23B→C＝12A→B＋23(B→A＋A→C)＝ －16A→B＋23A→C，所以 λ1＝－16，λ2＝23，即 λ1＋λ2＝12.
考点 2 平面向量的坐标运算 例 2：(1)(2015 年新课标Ⅰ)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量A→C
＝(－4，－3)，则向量B→C＝( )
A.(－7，－4)
B.(7,4)
C.(－1,4)
D.(1,4)
解析：∵A→B＝O→B－O→A＝(3,1)，∴B→C＝A→C－A→B＝(－7，
－4).故选 A.
答案：A
(2)(2015 年江苏)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若 ma＋ nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为__________.
解析：由题意，得 2m＋n＝9，m－2n＝－8⇒m＝2，n＝5， ∴m－n＝－3.
2019版高考数学一轮复习第4章平面向量4.2平面向量基本定理及坐标表示课件文
经典题型冲关
题型 1 平面向量基本定理及应用 典例 (2015·北京高考)在△ABC 中，点 M，N 满足A→M
1 ＝2M→C，B→N＝N→C.若M→N＝xA→B＋yA→C，则 x＝____2____，y＝
___－__16___.
运用向量的线性运算对待求向量不断进 行转化，直到用基底表示．
解析 由A→M＝2M→C知 M 为 AC 上靠近 C 的三等分点， 由B→N＝N→C，知 N 为 BC 的中点，作出草图如下：
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × ) (2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内 的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ )
(2)(必修 A4P101A 组 T5)已知向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)， 若 ma＋nb 与 a－2b 共线，则mn ＝__－__12____.
2．(2018·湖北武昌调考)已知点 P(－1,2)，线段 PQ 的中 点 M 的坐标为(1，－1)．若向量P→Q与向量 a＝(λ，1)共线，
则 λ＝___－__23___. 解析 点 P(－1,2)，线段 PQ 的中点 M 的坐标为(1，－
1)， ∴向量P→Q＝2P→M＝2(1＋1，－1－2)＝(4，－6)． 又P→Q与向量 a＝(λ，1)共线， ∴4×1＋6λ＝0，即 λ＝－23.
2．平面向量的坐标运算 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ， a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝ x21＋y21，
|a＋b|＝ x2＋x12＋y2＋y12.
3．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
2019届高考数学一轮复习 第五章 平面向量、复数 5-2 平面向量基本定理及坐标表示课件 文
[解析] (1)连接 CD，由点 C，D 是半圆弧的三等分点，得 CD∥AB 且C→D＝12A→B＝12a，所以A→D＝A→C＋C→D＝b＋13B→C＝12A→B＋23(B→A＋A→C)＝－16A→B＋ 23A→C，所以 λ1＝－16，λ2＝23，即 λ1＋λ2＝12.
解法二：因为 a＝(3,2)，若 e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，不存在实数 λ，μ，使得 a＝λe1＋μe2，排除 A；若 e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)， 设存在实数 λ，μ，使得 a＝λe1＋μe2，则(3,2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)， 所以32＝＝－2λ－λ＋25μμ，， 解得λμ＝＝21，， 所以 a＝2e1＋e2，故选 B.
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝ |A→B|＝ x2－x12＋y2－y12 .
(x2－x1，y2－y1) ，
3．平面向量共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，a、b 共线⇔ x1y2－x2y1＝0 .
[小题速练]
1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量A→C＝(－4，
[跟踪演练]
1．(2017·河南百校联盟质检)在四边形 ABCD 中，M 为 BD 上
靠近 D 的三等分点，且满足A→M＝xA→B＋yA→D，则实数 x，y 的值
分别为( )
A.13，23
B.23，13
C.12，12
D.14，34
[解析] A→M＝A→B＋B→M＝A→B＋23B→D ＝A→B＋23(A→D－A→B)＝13A→B＋23A→D， 所以 x＝13，y＝23.故选 A.
2019版高考数学一轮复习 第4章 平面向量 4.2 平面向量基本定理及坐标表示课件 文.pptx
题型 2 平面向量共线的坐标表示及应用 角度 1 求点的坐标 典例 已知 A(2,3)，B(4，－3)，点 P 在线段 AB 的延 长线上，且|AP|＝32|BP|，则点 P 的坐标为__(_8_，__－__1_5_)__．
方程组法．
22
解析 设 P(x，y)，由点 P 在线段 AB 的延长线上，且A→P ＝32B→P，得(x－2，y－3)＝32(x－4，y＋3)，
16
解析 由A→M＝2M→C知 M 为 AC 上靠近 C 的三等分点， 由B→N＝N→C，知 N 为 BC 的中点，作出草图如下：
17
则有A→N＝12(A→B＋A→C)，所以 M→N ＝A→N －A→M＝12(A→B＋ A→C)－23·A→C＝12A→B－16A→C，又因为M→N＝xA→B＋yA→C，所以 x ＝12，y＝－16.
11
3．小题热身
(1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若 λ 为实数，
(a＋λb)∥c，则 λ＝( )
1 A.4
1 B.2
C．1
D．2
解析 a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4 －3×2＝0，∴λ＝12.故选 B.
12
(2)(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量 a＝ (3,2)表示出来的是( )
1 A.3
B．3
3 C. 3
D. 3
8
解析 依题意，以 O 为原点，OA、OB 分别为 x，y 轴 建立平面直角坐标系，则 A(1,0)，B(0， 3)，设 C(x，y)， 由O→C＝mO→A＋nO→B得 x＝m，y＝ 3n，又∠AOC＝30°，知yx ＝ 33，故mn ＝3，选 B.
9
高中一轮复习文数通用版课件：第五章 第二节 平面向量基本定理及坐标表示
―→ ―→ 1―→ ―→ ―→ 1―→ ―→ 解析： 由题意得 AE ＝ AD ＋ AB ＝ BC ＋ AB － AB ＝ AC 2 2 1―→ 1 1 － AB ，∴λ＝－ ，μ＝1，∴λ＋μ＝ ，故选 A. 2 2 2
答案：A
4.(2018· 湖南邵阳一模)如图， 在△ABC 中， ―→ ―→ 设 AB ＝a ， AC ＝b ，AP 的中点为 Q， ―→ BQ 的中点为 R， CR 的中点为 P， 若 AP ＝ ma ＋n b ，则 m＋n ＝________.
答案：C
2.向量 e1，e2，a ，b 在正方形网格中的位置 如图所示，则 a －b ＝ A．－4e1－2e2 C．e1－3e2 ( B.－2e1－4e2 D．3e1－e2 )
解析：结合图形易得，a ＝－e1－4e2，b ＝－2e1－e2，故 a － b ＝e1－3e2.
答案：C
3.如图，正方形 ABCD 中，E 为 DC 的中点， ―→ ―→ ―→ 若 AE ＝λ AB ＋μ AC ， 则 λ＋μ 的值为( 1 A. 2 C．1 1 B．－ 2 D．－1 )
―→ ―→ (2)在△ABC 中，设 AB ＝a ， BC ＝b ，则向量 a 与 b 的 夹角为∠ABC. ( × )
(3)若 a ，b 不共线，且 λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则 λ1＝λ2，μ1 ＝μ2. ( √ )
2．填空题 (1)设 e1，e2 是平面内一组基底，若 λ1e1＋λ2e2＝0，则 λ1＋ λ2＝________.
答案：0
(2)设 e1，e2 是平面内一组基向量，且 a ＝e1＋2e2，b ＝－e1＋ e2，则 2a －b ＝________.
答案：3e1＋3e2
―→ (3)(2018· 嘉兴测试)在△ABC 中， 已知 M 是 BC 中点， 设 CB ＝ ―→ ―→ a ， CA ＝b ，则 AM ＝________.
新高考数学一轮复习课件 平面向量基本定理及坐标表示
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
1．平面向量基本定理 (1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对 于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1 ＋λ2e2. (2)基底：若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
1
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
[跟进训练] 1．(多选)(2021·惠州调研)设 a 是已知的平面向量且 a≠0，关于向量 a 的分解，有如下四个命题(向量 b，c 和 a 在同一平面内且两两不共线)，则 真命题是( ) A．给定向量 b，总存在向量 c，使 a＝b＋c B．给定向量 b 和 c，总存在实数 λ 和 μ，使 a＝λb＋μc C．给定单位向量 b 和正数 μ，总存在单位向量 c 和实数 λ，使 a＝λb ＋μc D．给定正数 λ 和 μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c，使 a＝λb＋μc
(1)用 a 和 b 表示向量O→C，D→C； (2)若O→E＝λO→A，求实数 λ 的值．
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
[解] (1)由题意知，A 是 BC 的中点，且O→D＝23O→B，由平行四边 形法则，
得O→B＋O→C＝2O→A， 所以O→C＝2O→A－O→B＝2a－b， D→C＝O→C－O→D＝(2a－b)－23b＝2a－53b.
2019版高考数学(文)第4章 平面向量 第2讲平面向量的基本定理及坐标表示 Word版含解析
第讲平面向量的基本定理及坐标表示板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ，λ，使＝λ＋λ，称，为基底．若，互相垂直，则称这个基底为正交基底；若，分别为与轴，轴方向相同的两个单位向量，则称单位正交基底．考点平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与轴、轴正方向相同的两个单位向量，作为基底，对任一向量，有唯一一对实数，，使得：＝＋，(，)叫做向量的直角坐标，记作＝(，)，显然＝()，＝()，＝()．考点平面向量的坐标运算．设＝(，)，＝(，)，则＋＝(＋，＋)，－＝(－，－)，λ＝(λ，λ)，＝.．设(，)，(，)，则＝(－，－)，＝.考点平面向量共线的坐标表示设＝(，)，＝(，)，则()∥⇔－＝；()若≠，则与平行的单位向量为±.[必会结论]．若与不共线，λ＋μ＝，则λ＝μ＝.．已知＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则，，三点共线的充要条件是λ＋μ＝.以上三个条件任取两两组合，都可以得出第三个条件且λ＋μ＝常被当作隐含条件运用．．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．[考点自测]．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()()若，不共线，且λ＋μ＝λ＋μ，则λ＝λ，μ＝μ.()()在等边三角形中，向量与的夹角为°.()()若＝(，)，＝(，)，则∥的充要条件可表示成＝.()答案()×()√()×()×．[·郑州一模]设向量＝()，＝(，)，若，方向相反，则实数的值是() ．．±．．－。
高考数学一轮复习 24平面向量的基本定理及坐标表示课件 (文) 新人教A版
共 44 页
9
解析:根据基底的定义知,非零且不共线的两个向量才可以作 为平面内的一组基底.A中显然e1∥e2;C中e2=2e1,所以
e1∥e2;D中e1=4e2,所以e1∥e2.
答案:B
共 44 页
10
2.已知a=(-2,3),b=(1,5),则3a+b等于() A.(-5,14) B.(5,14)
共 44 页
12
4.已知向量OA (1, 3), OB (2, 1), OC (m 1, m 2). 若点A､B､C能构成三角形, 则实数m应满足的条件是( A.m 2 C.m 1 1 B.m 2 D.m 2 )
解析 :由题意 AC (m, m 1), BC (m 1, m 1),因为A､B､C 能构成三角形, 所以AC BC ,即有m m 1 m 1 m 1 , 得到m 1, 故选C. 答案 : C
向量 a b a+b a-b λa
坐标
(x1,y1)
(x2,y2)
(x1+x2,y1+y2)
(x1-x2,y1-y2)
(λx1,λy1)
共 44 页
6
(2)向量坐标的求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则
AB=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的
坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标.
共 44 页
17
1 而CM OM OC (m )a nb, CB OB OC 4 1 m 1 1 n 4 b a a b,因为C､M､B三点共线, 所以 , 1 4 4 1 4 即4m n 1. 1 m m 2 n 1 1 3 7 由 , 解得 .所以OM a b. 7 7 4m n 1 n 3 7
2019届高三数学一轮复习：第25讲 平面向量基本定理及坐标表示
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金榜 题名！
4
教学参考
1.[2017·全国卷Ⅲ] 在矩形 ABCD
中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆
心且与 BD 相切的圆上.若������������=λ
������������+μ������������,则 λ+μ 的最大值为( )
,
|������������|= (������2-������1)2 + (������2-������1)2.
3.平面向量共线的坐标表示
设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0,则 a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔ x1y2-x2y1=0 .
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金榜 题名！
向量为
.
[答案]
±
12 13
,-
5 13
[解析] 由已知得������������=(12,-5),所以|������������|=13,因
此与������������共线的单位向量为±1 ������������=±12,- 5 .本
13
13 13
题在求������������的坐标时易出现用 A 点坐标减去 B
=3������������ +4������������ .由平面向量基本定理得
(1 (1
+ +
������)(1-������) = ������)������ = 4,
3,解得
1,则 e1=(1,0),e2=(-1,1),a=(-3,1).设
a=xe1+ye2,则
高考一轮数学文科：第24讲 平面向量基本定理及坐标表示ppt课件
第24讲 PART 04
平面向量基本定理及坐 标表示
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
1．了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
教学参考
真题在线
3．[2016·全国卷Ⅱ] 已知向量 a＝(m，4)，b ＝(3，－2)，且 a∥b，则 m＝________．
[答案] －6
[解析] 因为 a∥b，所以－2m－4×3 ＝0，解得 m＝－6.
真题在线 ■ [2016－2015] 其他省份类似高考真题
[2015·浙江卷] 已知 e1，e2 是平面单位向量，且 e1·e2＝12.若平面向量 b 满足 b·e1＝b·e2＝1，则|b| ＝________.
A→C与A→O共线求解．(2)利用 C，E，M 三点共线和 B，E， N 三点共线，分别表示出向 量A→E，再利用向量相等得出 其系数的关系，可解得系数 的值．
课堂考点探究
[答案] (1)23a＋13b (2)15m＋25n [解析] (1)因为A→B＝2D→C，所以△DOC∽△BOA，且OOCA＝12，所以A→O＝23A→C＝23(A→D＋D→C) ＝23a＋12b＝23a＋13b.
课前双基巩固
对点演练
题组二 常错题
◆ 索引：对向量的夹角，单位向量的概念理解不到位．
5．在等边三角形 ABC 中，若A→B＝a，B→C ＝b，则 a，b 的夹角为________．
[答案] 120°
[解析] 两向量的夹角要求两向量的起点是同一 点，本题中 a，b 的夹角易错认为是 60°.
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2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ， 2 2 ( λx ， λy ) x ＋ y 1 1 1 λa＝ 1 ，|a|＝_________. (2)向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． → ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝
→ 2．已知点 A(－1,5)和向量 a＝(2,3)，若AB＝3a，则点 B 的坐标为( A．(7,4) C．(5,4) B．(7,14) D．(5,14)
)
→ 解析：设点 B 的坐标为(x，y)，则AB＝(x＋1，y－5)．
x＋1＝6， x＝5， → 由AB＝3a，得 解得 故选 D. y－5＝9， y＝14.
2019高三一轮总复习
数 学（文）
提高效率 ·创造未来 ·铸就辉煌
必修部分
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
栏 目 导 航
考情分析
1 3
考点疑难突破
基础自主梳理
2 4 课时跟踪检测
1
考 情 分 析
考点分布
考纲要求
平面向量的基本定理及坐标表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意义． (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表 示． (3)会用坐标表示平面向量的法、减法 与数乘运算． (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条 件．
解析：由 tanα＝7，得
π 4 tanα＋1 tanα＋4＝ ＝－ . 3 1－tanα
以 O 为原点，OA 方向为 x 轴正半轴建立坐标系(图略)，则 A 点坐标为(1,0)． 由 得
π 4 → tanα＋4＝－ ，OB的模为 3
1，可得
3 4 － ， B 5 5.由
答案：D
3．(2017 届衡水中学调研)设向量 a，b 满足|a|＝2 5，b＝(2,1)，则“a＝(4,2)” 是“a∥b”成立的是( A．充要条件 C．充分不必要条件 ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若 a＝(4,2)，则|a|＝2 5，且 a∥b 都成立； 因 a∥b，设 a＝λb＝(2λ，λ)， 由|a|＝2 5，得 4λ2＋λ2＝20. ∴λ2＝4，∴λ＝± 2. ∴a＝(4,2)或 a＝(－4，－2)． 因此“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件．故选 C.
答案：C
4．已知点 A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论： ①直线 OC 与直线 BA 平行； → → → ②AB＋BC＝CA； → → → ③OA＋OC＝OB； → → → ④AC＝OB－2OA. 其中正确的结论是________．
→ → → → 解析：由题意得OC＝(－2,1)，BA＝(2，－1)，故OC∥BA，又画图可知四点不共 线，故 OC∥BA，①正确； → → → 因为AB＋BC＝AC，故②错误； → → → 因为OA＋OC＝(0,2)＝OB，故③正确； → → → 因为OB－2OA＝(－4,0)，AC＝(－4,0)，故④正确．
2 2 → x － x ＋ y － y 2 1 2 1 |AB|＝_____________________.
(x2－x1，y2－y1) ，
3．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0. x1y2－x2y1＝0 a∥b⇔ .
「应用提示研一研」 1．辨明三个易误点 (1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的． (2)注意运用两个向量 a，b 共线坐标表示的充要条件应为 x1y2－x2y1＝0. (3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们类似，但意义完全不 同，向量坐标中既有方向也有大小的信息． 2．有关平面向量的两类本质 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．
答案：①③④
3
考点疑难突破
平面向量基本定理及其应用
[题 组 训 练] → → → 1．(2017 年江苏卷)如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为 1,1， → → → → → → → 2，OA与OC的夹角为 α，且 tanα＝7，OB与OC的夹角为 45° .若OC＝mOA＋nOB(m， n∈R)，则 m＋n＝________.
考点频率
命题趋势
对平面向量其本 定理及坐标表示 的考查主要是加 、减、数乘及向 量共线定理的坐 标表示及应用．
平面向量的 基本定理及 坐标表示
5年12考
2
基础自主梳理
「基础知识填一填」 1．平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向量 λ1e1＋λ2e2 a， 有且只有 一对实数 λ1，λ2，使 a＝ . 其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 ．
「基础小题练一练」 1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是( A．a＝(1,2)，b＝(0,0) B．a＝(1，－2)，b＝(3,5) C．a＝(3,2)，b＝(9,6)
3 1 － ， D．a＝ 4 2，b＝(3，－2)
)
解析：根据平面向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底，故选 B. 答案：B
→ tanα＝7，OC的模为 2，可
1 7 ， C 5 5.
→ → → 由OC＝mOA＋nOB，代入 A、B、C 点坐标可得， 3 1 m－5n＝5， 4n＝7， 5 5 5 m＝4， 解得 n＝7. 4
所以 m＋n＝3.
答案：3
→ → → 2.(2017 届河北衡水中学三调)如图，已知平面内有三个向量OA，OB，OC，其中 → → → → → → → → OA与OB的夹角为 120° ， OA与OC的夹角为 30° ， 且|OA|＝|OB|＝1， |OC|＝2 3.若OC＝ → → λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则 λ＋μ 的值为________．