部编版2020八年级数学上册 第15章 分式 15.2 分式的运算 15.2.3 整数指数幂(1)学案
人教版八年级数学上册第15章 分式3 整数指数幂
又 am ·a-n = am-n (a≠0)，因此 am÷an = am ·a-n (a≠0).
即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法.
(2)
特别地，a a b a • b1，所以 b
a b
n
(a
• b1)n
an
• bn.
即商的乘方可以转化为积的乘方.
整数指数幂的运算性质可归结为：
(1) am ·an = am+n (m、n 是整数，a≠0)； (2) (am)n = amn (m、n 是整数，a≠0)；
(3) (ab)n = anbn (n 是整数，a≠0，b≠0).
例3
计算：－22＋
1
2
＋(2022－π)0
＋|
2
-
3 |.
2
解析：分别根据有理数的乘方、0 指数幂、负整数
例4 用小数表示下列各数：
(1) 2×10－7；
(2) 3.14×10－5；
(3) 7.08×10－3；
(4) 2.17×10－1.
解析：小数点向左移动相应的位数即可．
解：(1) 2×10－7＝0.0000002.
(2) 3.14×10－5＝0.0000314.
(3) 7.08×10－3＝0.00708.
6. 用科学记数法把 0.000009405 表示成 9.405×10n， 那么 n = -6 .
1. 零指数幂：当 a ≠ 0 时，a0 = 1
整数
2. 负整数指数幂：当 n 是正整数时，
整 指数幂
a-n＝
1 an
(a≠0)
数 指
3. 整数指数幂的运算性质：
数 用科学记 (1) am·an=am+n (m，n 为整数)
八年级数学上册第十五章分式15.2分式的运算15.2.2分式的加减15.2.2.2分式的混合运算教案新版新人教版2
第2课时分式混合运算
◇教学目标◇
【知识与技能】
明确分式混合运算的顺序.
【过程与方法】
经历探索分式混合运算步骤的过程,能熟练地进行分式的混合运算.【情感、态度与价值观】
结合已有的数学经验解决新问题,获得成就感和克服困难的方法和勇气.
◇教学重难点◇
【教学重点】
分式混合运算的顺序.
【教学难点】
分式的混合运算.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们学习了分式的加减乘除、乘方运算,你能解决下面的问题吗?
化简:.
二、合作探究
探究点1分式乘除混合运算
典例1化简:.
[解析]原式=-=-.
探究点2分式混合运算
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典例2先化简,再求值:,其中x=5.
[解析]原式=
=
=-(x-2)
=-x+2.
当x=5时,原式=-5+2=-3.
探究点3化简求值
典例3先化简,再求值:.其中x的值从不等式组的整数解中选取.
[解析]由不等式组可解得-1<x≤2.
∵x是整数,
∴x=0或1或2.
∴原式==(x+2)·,
当x=0时,原式=0.
当x=2时,原式=.
当x=1时,原式=.
三、板书设计
分式混合运算
分式混合运算
◇教学反思◇
本节是一节习题课,内容是分式的混合运算,要把握运算顺序.不少学生在分式运算中出错,就是因为不重视审题,题没看完就动笔计算,或者受题中部分算式的特殊结构的影响而不遵循运算顺序,如化简,就常出现乱约分而不遵循运算顺序的典型错误,要同学通过练习、板演充分暴露问题所在,纠正,最后总结出容易忽视和出错的地方,提醒自己.
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八年级数学人教版上册第15章分式15.2.2分式的加减(图文详解)第1课时
= 5a2b 3 3a2b 5 8 a2b ab2
= a2b ab2
=
a b
把分子看作一 个整体，先用 括号括起来！
注意：结果要化 为最简分式！
八年级上册第15章分式
1.直接说出运算结果
(1) m x
y x
c x
m y x
c
(2)
m 2abc
n 2bca
d 2cab
八年级上册第15章分式
3.猜一猜, 同分母的分式应该如何加减? 【同分母的分数加减法的法则】 同分母的分数相加减，
分母不变,把分子相加 减. 【同分母的分式加减法的法则】 同分母的分式相加减， 分母不变,把分子相加减. 即： a b a b cc c
八年级上册第15章分式
例1 计算：
xy
八年级上册第15章分式
（ 2）
1 2 a 1 1 a2
解：原式
1 2 a 1 a2 1
1
2
a 1 (a 1)(a 1)
a 1
2
(a 1)(a 1) (a 1)(a 1)
a 1 (a 1)(a 1)
1 a1
八年级上册第15章分式
例2 计算 （1） 解：原式
八年级上册第15章分式
（2）a22a
4
a
1
2
a2 -4 能分解 :
解：原式
(a
2a 2)(a
2)
(a
a2 2)(a
2)
2a (a 2) (a 2)(a 2)
2a a 2 (a 2)(a 2)
(人教版)初中数学新教材目录(2020修订)
（人教版）初中数学新教材目录（2020修订）七年级上册第1章有理数1.1 正数和负数1.2 有理数1.2.1 有理数1.2.2 数轴1.2.3 相反数1.2.4 绝对值1.3 有理数的加减法1.3.1 有理数的加法1.3.2 有理数的减法实验与探究填幻方阅读与思考中国人最先使用负数1.4 有理数的乘除法1.4.1 有理数的乘法1.4.2 有理数的除法观察与猜想翻牌游戏中的数学道理1.5 有理数的乘方1.5.1 乘方1.5.2 科学记数法1.5.3 近似数第2章整式的加减2.1 整式阅读与思考数字1与字母X的对话2.2 整式的加减信息技术应用电子表格与数据计算第3章一元一次方程3.1 从算式到方程3.1.1 一元一次方程3 .1.2 等式的性质阅读与思考方程史话3.2 解一元一次方程（一）——移项与合并实验与探究无限循环小数化分数3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母3.4 实际问题与一元一次方程第4章几何图形初步4.1 几何图形4.1.1 立体图形与平面图形4.1.2 点、线、面、体阅读与思考几何学的起源4.2 直线、射线、线段阅读与思考长度的测量4.3 角4.3.1 角4.3.2 角的比较与运算4.3.3 余角和补角4.4 课题学习制作长方体形状的包装盒七年级下册第5章相交线与平行线5.1 相交线5.1.1 相交线5.1.2 垂线5.1.3 同位角、内错角、同旁内角观察与猜想看图时的错觉5.2 平行线及其判定5.2.1 平行线5.2.2 平行线的判定5.3 平行线的性质5.3.1 平行线的性质5.3.2 命题、定理、证明信息技术应用探索两条直线的位置关系5.4 平移第6章实数13.1 平方根13.2 立方根13.3 实数阅读与思考为什么说不是有理数数学活动第7章平面直角坐标系7.1 平面直角坐标系7.1.1 有序数对7.1.2 平面直角坐标系阅读与思考用经纬度表示地理位置7.2 坐标方法的简单应用7.2.1 用坐标表示地理位置7.2.2 用坐标表示平移第8章二元一次方程组8.1 二元一次方程组8.2 消元——解二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组8.4 三元一次方程组解法阅读与思考一次方程组的古今表示及解法第9章不等式与不等式组9.1 不等式9.1.1 不等式及其解集9.1.2 不等式的性质阅读与思考用求差法比较大小9.2一元一次不等式9.3 一元一次不等式组第10章数据的收集、整理与描述10.1 统计调查实验与探究瓶子中有多少粒豆子10.2 直方图信息技术应用利用计算机画统计图10.3 课题学习：从数据谈节水八年级上册第11章三角形11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性信息技术应用画图找规律11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角7.2.2 三角形的外角阅读与思考为什么要证明11.3 多边形及其内角和11.3.1 多边形11.3.2 多边形的内角和第12章全等三角形12.1 全等三角形12.2 三角形全等的判定信息技术应用探究三角形全等的条件12.3 角的平分线的性质第13章轴对称13.1 轴对称13.1.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质13.2 画轴对称图形信息技术应用用轴对称进行图案设计13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形13.3.2 等边三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系13.4 课题学习最短路径问题第14章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.1 同底数幂的乘法14.1.2 幂的乘方14.1.3 积的乘方14.1.4 整式的乘法14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式14.2.2 完全平方公式阅读与思考杨辉三角14.3 因式分解14.3.1 提公因式法14.3.2 公式法阅读与思考型式子的分解第15章分式（15）15.1 分式15.1.1 从分数到分式15.1.2 分式的基本性质15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除15.2.2 分式的加减15.2.3 整数指数幂阅读与思考容器中的水能倒完吗？15.3 分式方程（3）八年级下册第16章二次根式16.1 二次根式16.2 二次根式的乘除16.3 二次根式的加减阅读与思考海伦——秦九韶公式第17章勾股定理17.1 勾股定理阅读与思考勾股定理的证明17.2 勾股定理的逆定理阅读与思考费马大定理第18章平行四边形18.1 平行四边形18.1.1 平行四边形的性质18.1.2 平行四边形的判定18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形18.2.2 菱形18.2.3 正方形实验与探究丰富多彩的正方形第19章一次函数19.1 变量与函数19.1.1 变量与函数19.1.2 函数的图象阅读与思考如何测算岩石的年龄19.2 一次函数19.2.1 正比例函数19.2.2 一次函数19.2.3一次函数与方程、不等式信息技术应用用计算机画函数图象第20章数据的分析20.1 数据的集中趋势20.1.1 平均数20.1.2 中位数和众数20.2 数据的波动程度阅读与思考数据波动程度的几种度量20.3 课题学习体质健康测试中的数据分析九年级上册第21章一元二次方程21.1 一元二次方程21.2 降次——一元二次方程的解法21.2.1 配方法21.2.2 公式法21.2.3 因式分解法21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系阅读与思考黄金分割数21.3 实际问题与一元二次方程第22章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数22.1.2二次函数y＝ax2的图象和性质22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质2.2 用函数观点看一元二次方程信息技术应用探索二次函数的性质22.3实际问题与二次函数阅读与思考推测滑行距离与滑行时间的关系第23章旋转23.1 图形的旋转23.2 中心对称23.2.1 中心对称23.2.2 中心对称图形23.2.3 关于原点对称的点的坐标信息技术应用探索旋转的性质23.3 课题学习图案设计第24章圆24.1 圆24.1.1 圆24.1.2 垂直于弦的直径24.1.3 弧、弦、圆心角24.1.4 圆周角24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系实验与探究圆和圆的位置关系24.3 正多边形和圆阅读与思考圆周率24.4 弧长和扇形面积实验与探究设计跑道第25章概率初步25.1 随机事件与概率25.1.1 随机事件25.1.2 概率阅读与思考概率与中奖25.2 用列举法求概率25.3 用频率估计概率阅读与思考π的估计九年级下册第26章反比例函数26.1 反比例函数26.1.1 反比例函数26.1.2 反比例函数的图象和性质信息技术应用探索反比例函数的性质26.2实际问题与反比例函数阅读与思考生活中的反比例关系第27章相似27.1 图形的相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定27.2.3 相似三角形的性质27.2.2 相似三角形应用举例阅读与思考奇妙的分形图形27.3 位似信息技术应用探索位似的性质第28章锐角三角函数28.1 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用阅读与思考一张古老的三角函数表第29章投影与视图29.1 投影29.2 三视图阅读与思考视图的产生与应用29.3 课题学习制作立体模型注：2020年考纲基本没有变化。
15.1.2分式的约分和通分 说课稿 2022-2023学年人教版八年级数学上册
15.1.2 分式的约分和通分 - 说课稿一、教材分析《2022-2023学年人教版八年级数学上册》是八年级学生的数学教材，本单元是第15章分式。
本节课的主要内容是分式的约分和通分。
在上一节课中，学生已经学习了分式的定义和基本性质，对于分子和分母的概念有一定的了解。
本节课是对分式的基本操作进行进一步的巩固和拓展，通过约分和通分的学习，让学生掌握分式的化简和比较大小的方法。
这对于学生后续学习更加复杂的分式运算和方程等知识有很大的帮助。
二、教学目标1.知识与技能目标：–掌握分式的约分方法；–理解分式的通分原理；–能够进行简单的分式的比较和化简。
2.过程与方法目标：–培养学生的逻辑思维和分析问题的能力；–引导学生主动探究，培养自主学习的能力；–培养学生的合作学习和交流能力。
3.情感态度价值观目标：–培养学生的数学学习兴趣；–培养学生合作学习的团队意识；–培养学生坚持思考和解决问题的意志品质。
三、教学重点和难点1.教学重点：–约分的方法和技巧；–通分的原理和应用。
2.教学难点：–分式的通分原理的理解；–分式比较大小的方法与技巧。
四、教学过程本节课的教学过程可以分为三个部分：导入与归纳、知识讲解与示范、练习与巩固。
4.1 导入与归纳•引入问题：小明买了一个长方形的蛋糕，他自己吃了1/4，留下了3/4送给了同学们。
如果蛋糕的长是4米，那么同学们吃到了多少米的蛋糕？通过学生回答与讨论，引导出分数的意义以及分数的加减乘除的应用情况。
•总结归纳：这样的数叫做分式，分式的形式是a/b（a和b都是整数，b不等于0）。
分式中的a叫做分子，b叫做分母。
根据分子和分母的关系，我们可以将分数分为整数、真分数和假分数。
4.2 知识讲解与示范•讲解约分的概念和方法：约分是指将一个分数化简到最简形式，即分子和分母没有相同的因数。
约分的过程是找出分子和分母的最大公约数，然后分子和分母同时除以最大公约数。
示范约分的步骤和技巧，并通过示例进行讲解。
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第15章 分式 整数指数幂(第2课时)教案.
第十五章分式15.2分式的运算15.2.3整数指数幂第2课时一、教学目标【知识与技能】1.会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数.2.经历探索用10的负整数次幂来表示绝对值较小的数的过程，完善科学记数法，培养正向、逆向思维能力.【过程与方法】经历探索用科学记数法表示数的过程,理解科学记数法.【情感、态度与价值观】用科学记数法的形式渗透数学的简洁之美，通过完善科学记数法，培养对数学完美形式的追求.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】用科学记数法表示绝对值较小的数.【教学难点】含负指数的整数指数幂的运算，尤其是混合运算以及科学记数法中10的指数与小数点的关系.五、课前准备教师：课件、直尺、科学记数结构图等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。
六、教学过程（一）导入新课通过上节课的学习，大家明确了整数指数幂具有正整数指数幂的运算性质，这节课我们来学习运用其性质进行有关计算及负整数指数幂在科学记数法中的运用.（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究用科学记数法表示绝对值较小的数教师问1：口答：(1)(3－2)2；(2)[(－4)－3]0；(3)5－3×52；(4)(－0.5)－2；(5)222332--⎛⎫⎛⎫⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(6)4.7×10－4.注：前三个小题计算比较直接，可快速抢答，并陈述所用法则；后三个小题允许学生笔算后再口答，并陈述计算时的注意点，尤其是第(5)小题，有正向、逆向两个思路，注意方法的选择.而(6)为学习科学记数法表示绝对值较小的数作了铺垫.学生回答：（1）3-4=181；（2）1；（3）5-1=15；（4）（-12）-2=（-2）2=4；（5）（23×32）-2=1-2=1；（6）0.00047教师问2：由前面的练习可知4.7×10－4＝0.00047，反过来就是，0.00047＝4.7×10－4，由这个形式同学们能想到什么？学生回答：科学记数法.教师问3：那现在我们就一起研究怎样把绝对值较小的数用科学记数法表示出来.请同学们首先完成以下练习：填空：(用科学记数法表示一些绝对值较大的数)(1)4000000000＝________；(2)－369000＝________；学生回答：(1)4×109(2)－3.69×105教师问4：对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有m个0呢？（出示课件4）先完成下面的题目：（出示课件5）填空：（1）0.1=______=______;（2）0.01=______=_______;（3）0.001=______=______;（4）0.0001=_______=______;（5）0.00001=_______=________.学生讨论后回答：（1）110=10-1；（2）1100=10-2；（3）11000=10-3；（4）110000=10-4；（5）1100000=10-5.教师问5：你发现用10的负整数指数幂表示0.0000…001这样较小的数有什么规律吗？请你把总结的规律和你的同伴交流.学生交流后，师生达成共识：表达成10的负整数指数幂的形式时，其指数恰好是第一个非零数前面所有“0”的个数的相反数.教师问6：你能归纳出数学式子吗？学生讨论后回答：教师问7：你能利用10的负整数指数幂，将绝对值较小的数表示成类似形式吗？0.00001＝________；0.0000000257＝2.57×0.00000001＝2.57×________.学生回答：10-5；10-8教师问8：如何用科学记数法表示0.0035和0.0000982呢？（出示课件6）学生回答：0.0035=3.5×0.001=3.5×10-3；0.0000982=9.82×0.00001=9.82×10-5教师问9：观察这两个等式，你能发现10的指数与什么有关呢？师生共同讨论后解答如下：对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几．教师问10：归纳：请说一说你对科学记数法的认识.师生共同讨论后解答如下：绝对值较大的数用科学记数法能表示为a×10n的形式，其中，n等于数的整数位数减1，a的取值为1≤|a|<10；绝对值较小的数用科学记数法能表示为a×10－n的形式，其中，a的取值一样为1≤|a|<10，但n的取值为小数中第一个不为零的数字前面所有的零的个数.教师讲解：这样，任何一个数根据需要都可以记成科学记数法的形式. a×10n的形式，其中，n为整数，a的取值为1≤|a|<10；例1：用科学记数法表示下列各数：（出示课件7-9）(1)0.005师生共同解答如下：(2)0.0204师生共同解答如下：(3)0.00036师生共同解答如下：例2：计算下列各题：（出示课件11）(1)(－4×10-6)÷(2×103)(2)(1.6×10-4)×(5×10-2)师生共同解答如下：解：(1)(－4×10-6)÷(2×103)=(-4÷2)(10-6÷103)=-2×10-9(2)(1.6×10-4)×(5×10-2)=(1.6×5)×(10-4×10-2)=8×10-6总结点拨：科学记数法的有关计算，分别把前边的数进行运算，10的幂进行运算，再把所得结果相乘.例3：纳米(nm)是非常小的长度单位，1nm=10–9m，把1nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，1mm3的空间可以放多少个1nm3的物体？(物体之间间隙忽略不计)师生共同解答如下：（出示课件13）解：1mm=10－3m，1nm=10－9m.(10－3)3÷(10－9)3=10－9÷10－27=1018，1mm3的空间可以放1018个1nm3的物体.（三）课堂练习（出示课件16-20）1.斑叶兰被列为国家二级保护植物,它的一粒种子重约0.0000005克将0.0000005用科学记数法表示为()A.5×107B.5×10-7C.0.5×10-6D.5×10-62.用科学记数法表示下列各数：(1)0.001=________________；(2)-0.000001=_______________；(3)0.001357=____________________；(4)-0.000504=________________________.3.下列是用科学记数法表示的数，试写出它的原数.(1)4.5×10-8=________________；(2)-3.14×10-6=________________；(3)3.05×10-3=___________________.4.计算(结果用科学记数法表示).(1)(6×10-3)×(1.8×10-4)；(2)(1.8×103)÷(3×10-4).5.一根约为1米长、直径为80毫米的光纤预制棒，可拉成至少400公里长的光纤.试问：1平方厘米是这种光纤的横截面积的多少倍？(用科学记数法表示且保留一位小数)参考答案：1.B2.（1）10-3；（2）-10-6；（3）1.357×10-3；（4）-5.04×10-43.（1）0.000000045；（2）-0.00000314；（3）-0.00305.4.（1）解：原式=1.08×10-6；（2）解：原式=0.6×107=6×1065.解：这种光纤的横截面积为1÷(1.256×10-4)≈8.0×103答：1平方厘米是这种光纤的横截面的8.0×103倍.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:用科学记数法表示绝对值小于1的数绝对值小于1的数用科学记数法表示为a×10-n的形式，1≤│a│<10，n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面那个0).（五）课前预习预习下节课（15.3）149页到151页的相关内容。
人教版八年级上册 第15章 第2节 分式的化简求值与恒等变形 讲义
第二节分式的化简求值与恒等变形分式的求值：给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值。
注：①分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式求值的基本策略。
①解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标。
1.分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值。
注：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简，化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式。
2.分式化简求值时需注意的问题（1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值，化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”。
（2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法。
解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法。
当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0.（注意负数和分数加括号的问题）3.分式化简求值需要用到下面的一些技巧①适当引入参数；①取倒数或利用倒数关系；①拆项变形或拆分变形；①整体代入；①利用比例的性质。
1、已知4z 3y 2x==，则222x x z 2-yz x y z y +++=________。
2、化简：1221421x 222+-+÷-+-+x x x x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
3、如果k fe d c b ===a（b+d+f ≠0），且a+c+e=3（b+d+f ），那么k=________。
4、先化简，再求值：1211x 222++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x x ，其中x 的值从不等式组⎩⎨⎧≤41-x 21x - 的整数解中选取。
5、先化简，再求值：24444x 2-122++--+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x ，其中x ²+2x-15=06、已知()2y -x 21-2x +=0，求代数式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 2y xy 2x y -x 2y xy -2x 2y 1-2x 1的值。
新人教八年级上册第15章第2课时 分式的混合运算
新人教八年级上册第15章第2课时分式的混合运算【知识与技能】1.进一步掌握分式的加减法运算方法，能用它解决实际问题.2.能进行分式的乘除、加减、乘方混合运算.【过程与方法】在具体问题情境的探索思考过程中，进一步增强学生的数学应用意识，锻炼分析问题、解决问题的能力.【情感态度】进一步培养学生严密的科学态度和良好的学习习惯.【教学重点】掌握分式乘除、加减、乘方混合运算.【教学难点】运用分式乘除、加减、乘方等解决实际问题.一、情境导入，初步认识问题1异分母分式的加减法的一般步骤有哪些？在运算过程中有哪些需要注意的问题？问题2在进行分式的乘除、加减，乘方混合运算时，你认为应该怎样做？谈谈你的想法.【教学说明】问题1的设置在于巩固上节课学过知识，并能用它解决本节问题，起承上启下作用；问题2则是让学生联想到分式乘除、分式加减法则是类比分数而得到的，因而可类比得到分式混合运算法则.在教学时，可让学生自主探究，相互交流，在探讨中形成认知.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知【教学说明】上述两个例题都应先让学生独立完成试试，然后教师再予以评讲，例1的（1）题侧重于展示分式的混合运算方法；先算乘方，再算乘除，最后算加减；而第（2）题进一步强调混合运算中的运算顺序：“先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号应先做括号内的运算，再算括号外的运算”.三、典例精析，掌握新知【教学说明】教学时，可让学生自主探索，获得结论，教师再行讲解.例1中计算（x2+xy+y2）（x-y）时，若已掌握公式（a2+ab+b2）（a-b）＝a3-b3，可直接写出结果x3-y3，如果不知道此公式，可利用多项式乘多项式的法则计算.例2中含有一个开放性问题，这里教师应该强调：选择一个值代入时，一定要使原代数式有意义，即不能选x为0，1这两个值.四、运用新知，深化理解2.在一块a公顷的稻田上插秧，如果10个人插秧，要用m天完成；如果一台插秧机工作，需比10个人插秧提前3天完成.一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍？【教学说明】学生独立探究，教师巡视时，对有困难同学给予指导，最后予以评讲，让学生在自查中反思，积累解题经验和方法.五、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你有哪些收获？2.你还有哪些疑问？与同伴交流.【教学说明】让学生对照上述两个问题自我反思，既系统回顾本节所学知识，又查找问题所在，在与同伴交流中加深认识.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时要求学生理解并掌握分式的乘除、加减和乘方混合运算，为达到教学目标，本课时通过问题的提出，让学生类比前面不含乘方的混合运算.例题的讲解旨在引导学生把实际问题数学化.当然，无论是例题的分析还是练习题的落实，都以学生为中心，给予充分的时间让学生去演算并暴露问题，再指出问题所在，为后面的教学提供较好的对比分析材料.此外，教师还应引导学生发现并总结多种解题技巧，比较其优劣，通过分析题目的显著特点来灵活运用方法技巧解决问题，锻炼和培养他们的发散思维能力.。
八年级上册分式
八年级上册分式
八年级上册数学中，分式是其中的一个重要内容。
分式是数学中表示数量关系的一种代数式，其分子和分母都是代数式，分母不能为0。
分式的知识点包括分式的定义、分式的性质、分式的约分、通分以及分式的运算。
以下是对这些知识点的详细解释：
1.分式的定义：一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字
母，那么式子A/B就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母。
2.分式的性质：
•分式的分子和分母同乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
即：BA =B×CA×C=BA÷C（C≠0）
•分式的符号变化规律：分子、分母、分式本身这三项，其中任何两项交换位置，分式不变。
3.分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因数约去，这种变形称为分式的约
分。
约分的步骤是：找分子与分母的公因式；约去分子与分母的公因式。
4.分式的通分：通分就是把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分
母的分式，这种变形称为分式的通分。
通分的步骤是：求出原来几个分式的最简公分母；根据等量代换的原则，把原来几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式。
5.分式的运算：包括加、减、乘、除等运算。
在进行这些运算时，要注意运算顺
序和运算法则。
人教版八年级数学上册第15章 分式1 第2课时 分式的乘方
思考：a 可以取任何实数吗？
a 不可以取 0，±1，-2.
分式 乘除 混合 运算
混合运算
乘除法运算及乘方法则 先算乘方，再算乘除
乘方运算 乘方法则
注意
(1) 乘除运算属于同级运算，应按照 先出现的先算的原则，不能交换运算 顺序
(2) 当除变成乘的形式时，灵活运用 乘法交换律和结合律可以简化运算
分母分解因式，再进行约分化简．
x 2x 4 3x 42 x 2x 4 解：原式 = x 4 x 4 • x 22 • x 33x 4
= 3x 4 . x3
方法总结：进行分式的乘除、乘方混合运算时，要 严格按照运算顺序进行运算，先算乘方，再算乘除. 注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式.
1.
计算
(ab)2 ab2
的结果为（
B
）
A. b
B. a C. 1
D. 1
b
2.
化简
2b a
2
•
ac 6b2
的结果是
2c 3a
.
3. 计算：
1
3x
2
y
2x2 y
3
；
3
2
x y
y2
x
2
x2 y 2
z
.
解：(1) 原式 3x2 y
8x6 y3
3x2 y y3 8x6
(2) am÷an＝am-n；
(3) (am)n＝amn；
(4) (ab)n ＝ anbn；
5
a n b
an bn .
例2 下列运算结果不正确的是( D )
√ A.
8a2bx2 6ab2 x
2
4ax 3b
广东省汕头市东厦中学人教版八年级数学上册：15.2.1分式的乘除法(教案)
1.教学重点
（1）分式乘法法则：掌握分式相乘的计算方法，包括分子与分子相乘、分母与分母相乘，以及结果的简化。
举例：对于分式$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}$，重点讲解$ac$为分子乘积，$bd$为分母乘积，以及如何对结果进行约分。
（2）分式除法法则：理解分式相除的计算过程，即乘以倒数，并掌握结果的化简方法。
（3）混合运算中的分式处理：在含有整数和分式的混合运算中，正确处理分式的运算。
难点举例：面对表达式$3 + \frac{2}{x} \times (x - 2)$，指导学生如何先将括号内的乘法运算完成，然后再与整数3进行加法运算。
（4）实际应用题的建模：将现实生活中的问题转化为分式乘除问题，建立数学模型。
3.乘除混合运算法则：讲解在含有多个分式的乘除运算中，如何按照运算顺序进行计算，并简化结果。
4.应用示例：通过典型例题，使学生学会在实际问题中运用分式的乘除法，提高解题能力。
二、核心素养目标
1.培养学生的数学运算能力，使其掌握分式乘除法的基本法则，能够熟练进行相关运算，提高解题效率。
2.培养学生的逻辑思维和推理能力，通过分析分式乘除运算的规律，培养学生运用数学语言进行严谨推理的能力。
其次，在新课讲授环节，我尽量用简洁明了的语言解释分式乘除法的概念和规则。从学生的反应来看，大部分同学能够跟上我的讲解，但对于一些基础较弱的学生，可能还是存在一定的难度。在今后的教学中，我可以适当放慢讲解速度，重点强调关键步骤，并增加一些互动环节，让学生更多地参与到课堂讨论中。
再来说说实践活动，分组讨论和实验操作对于巩固学生的知识点非常有帮助。但在实际操作中，我发现有些小组的讨论并不充分，可能是因为时间安排不够合理。在以后的教学中，我需要更加注意时间的分配，确保每个小组都有足够的时间进行充分的讨论和操作。
15.2.1_分式的乘除(2)最新
x 2
通过本课时的学习，需要我们.
1.理解并掌握分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方
的运算. 2.熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 3.能解决一些与分式乘除法有关的实际问题.
一个人在科学探索的道路上，走过弯路， 犯过错误，并不是坏事，更不是什么耻辱， 要在实践中勇于承认和改正错误。 —— 爱因斯坦
2 3 10
:
a a a a a a2 2 b b bb b b a a a a ________________ b b b b a ________________________ b
10 3
2
一 地 当 n是 整 时 般 ， 正 数 ，
1 3 9 1 2 8 x y x y 27 36
1 3 9 36 x y 2 8 27 x y
2
4
18 x
12 x 2 y 30 x 4 9 x 2
2 2 4
4 xy 3
1 (18 x 12 x y 30 x ) ( ) 2 9 x
ab
2x 2 3 4.计算：1 3x 2 y ( ) y
8x6 y3 3y4 3 x 2 y ( 3 ) 3 x 2 y ( ) 6 y 8x 8x4
2
x 3 y2 2 x2y 2 ( ) ( ) ( ) y x z
x3 y 4 z 2 ( 3 ) 2 4 2 y x x y
4
y x y 3x y
2 2 4 2
3
2
4 x y
.
1
6 x
y 4 2 xy
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第15章 分式(教案) 整数指数幂(第1课时)教案.
第十五章分式15.2分式的运算15.2.3整数指数幂第1课时一、教学目标【知识与技能】1.经历探索负整数指数幂和0指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展代数推理能力和有条理的表达能力.2.理解负整数指数幂的意义,熟练运用整数指数幂运算性质进行运算.【过程与方法】1.知道负整数指数幂a－n＝1a n(a≠0，n是正整数)，了解幂运算的法则可以推广到整数指数幂，掌握整数指数幂的运算性质，会进行简单的整数范围内的幂运算.2.通过观察、推理、总结得出负整数指数幂的意义,体验利用负整数指数幂进行乘除法的转化.【情感、态度与价值观】1.通过独立思考、同伴交流、自主发现问题解决问题,提高学生的学习兴趣和学习主动性.2.在数学公式中渗透公式的简洁美、和谐美，随着学习的知识范围的扩展，产生对新知识的渴望与追求的积极情感，形成辩证统一的哲学观和世界观.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】掌握整数指数幂的运算性质，尤其是负整数指数幂的概念.【教学难点】认识负整数指数幂的产生过程及幂运算法则的扩展过程.五、课前准备教师：课件、直尺、幂结构图等。
学生：直尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。
六、教学过程（一）导入新课正整数指数幂有以下运算性质：(1)(m，n是正整数)(2)(m，n是正整数)(3)(n是正整数)(4)(a≠0，m，n是正整数，m＞n)(5)(n是正整数)此外，还学过0指数幂，即a0=1(a≠0)如果指数是负整数该如何计算呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究整数指数幂教师问1：你会计算它们吗？53÷55＝________；103÷107＝________.师生共同解答如下：思路一：53÷55＝5355＝152，103÷107＝103107＝1104.思路二：53÷55＝53－5＝5－2，103÷107＝103－7＝10－4.教师问2：由以上计算，你能发现什么？学生回答：发现：5－2＝152，10－4＝1104.教师问3：将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，正整数指数幂的那些运算性质还适用吗？（出示课件4）学生讨论后猜想：这些性质还适用.教师问4：a m中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂a m 表示什么？学生讨论后回答：m个a相乘的积.教师问5：那么我们看下面的问题：根据分式的约分，当a≠0时，如何计算a3÷a5=？（出示课件5）学生回答：a3÷a5=33∙2=12(1)教师问6：如果把正整数指数幂的运算性质(a≠0，m，n是正整数，m>n)中的条件m>n去掉，即假设这个性质对于像a3÷a5的情形也能使用，如何计算？学生回答：a3÷a5=a3-5=a-2(2)教师问7：有上边的问题的计算结果，我们可以得到什么？学生回答：a-2=12教师问8：在a-2=12中，有什么限制条件吗？为什么呢？学生讨论后回答：a≠0，因为分母不能为0.总结点拨：（出示课件6）由(1)(2)想到，若规定a-2=12(a≠0)，就能使a m÷a n=a m-n这条性质也适用于像a3÷a5的情形，因此：数学中规定：当n是正整数时，这就是说，a-n(a≠0)是a n的倒数．教师问9：想一想：在引入负整数指数和0指数后，a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)这条性质能否扩大到m，n是整数的情形？（出示课件8）学生猜想回答：应该可以.教师问10：请完成下面的题目：填一填：(1)a3×a－5＝a3·1（）＝1（）＝a()＝a()＋()，即a3×a－5＝a()＋()；(2)a－3×a－5＝1（）·1（）＝1（）＝()＝a()＋()，即a－3×a－5＝a()＋()；(3)a0×a－5＝()·1（）＝1()=()＝a()＋()，即a0×a－5＝a()＋().学生回答：（1）a5;a2;-2;3+(-5);3+(-5)（2）a3;a5;a8;a-8;(-3)+(-5);(-3)+(-5)（3）1;a5;a5;a-5;0+(-5);0+(-5)完成填空后，思考下列问题：教师问11：从以上填空中你想到了什么？学生回答：a m·a n＝a m＋n这条性质对m，n是任意整数的情形都适用.教师问12：再换其他整数指数验证这个规律.类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是否还适用？（出示课件9）学生回答：a-3·a-7=a-3+(-7)=a-10，a-2÷a-5=a-2-(-5)=a3，a0÷a-4=a0-(-4)=a4.教师讲解：形成定论：a m·a n＝a m＋n这条性质对m，n是任意整数的情形都适用.总结点拨：（出示课件10）(1)(m，n是整数)；(2)(m，n是整数)；(3)(n是整数)；(4)(m，n是整数)；(5)(n是整数)．教师问11：试说说当m分别是正整数、0、负整数时，a m各表示什么意义？（出示课件11）师生共同解答如下：当m是正整数时，a m表示m个a相乘.当m是0时，a0表示一个数的n次方除以这个数的n次方，所以特别规定，任何除0以外的实数的0次方都是1.当m是负整数时，a m表示|m|个相乘.例：计算：（出示课件12-13）师生共同解答如下：解：2.创设情境，探究整数指数幂的性质教师问19：继续举例探究：(a m)n＝a mn，(ab)n＝a n b n，nab⎛⎫⎪⎝⎭＝a nb n在整数指数幂范围内是否适用？（出示课件15）师生共同解答如下：根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，，，因此，，即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法特别地，所以，即商的乘方可以转化为积的乘方总结点拨：（出示课件16）这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：(1)(m，n是整数)；(2)(m，n是整数)；(3)(n是整数)．例：下列等式是否正确？为什么？（出示课件17）(1)a m÷a n=a m·a-n；(2)师生共同解答如下：解：(1)∵a m÷a n=a m-n=a m+(-n)=a m·a-n，∴a m÷a n=a m·a-n.故等式正确.(2)故等式正确.（三）课堂练习（出示课件20-23）1.下列计算正确的是()A.30=0B.-|-3|=-3C.3-1=-3D.9=±32.下列计算不正确的是()A. B.C. D.3.若0<x<1，则x-1，x，x2的大小关系是()A.x-1<x<x2B.x<x2<x-1C.x2<x<x-1D.x2<x-1<x4.计算:5.若，试求的值.参考答案：1.B2.B3.C4.5.解：∵a+a-1=3（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.幂的两个规定：a0＝1(a≠0);数学中规定：当n是正整数时，这就是说，a-n(a≠0)是a n的倒数．2.幂的三类运算性质：这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：(1)(m，n是整数)；(2)(m，n是整数)；(3)(n是整数)．（五）课前预习预习下节课（15.2.3）145页的相关内容。
人教版八年级数学上册第15章 分式 小结与复习
因为 ( 3)2 ( 3)2 3，所以小玲的计算结果也正确.
例4
解析：本题若先求出 a 的值，再代入求值，显
然比较复杂；但是如果将分式
的分子、
分母颠倒过来，即求
的值，
再利用完全平方公式变形求解就简单多了．
归纳总结 利用 A 和 1 互为倒数的关系，构造已知
A
条件与所求式子的关系，并运用整体代换，可使一 些分式求值问题的思路豁然开朗，简化解题过程．
第十五章 分 式
小结与复习
一、分式 1. 分式的概念：
一般地，如果 A、B 都表示整式，且 B 中含有
字母，那么称 为分式. 其中 A 叫做分式的分子，
B 叫做分式的分母. 2. 分式有意义的条件：
对于分式 ：当__B_≠__0__时分式有意义； 当__B__=_0__时分式无意义.
3. 分式值为零的条件： 当 A = 0 且 B≠0 时，分式
的值为零.
4. 分式的基本性质：
A A C ， A A C（C 0）. B BC B BC
5. 分式的约分： 约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母
的公因式约去，叫做分式的约分．
最简分式的定义 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有 的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元， 其余视为辅元，并将辅元用含有主元的式子表示，从 而达到减元的目的，最终实现化繁为简，化难为易.
针对训练
9.
已知
x y
2 3
，求
x2
x2 y2 2xy
y2
xy 2x2
y2 2xy
人教版八年级上册第15章《分式》全章教案(21页,含反思)
第十五章分式15．1分式15． 1.1从分数到分式1．以描绘实质问题中的数目关系为背景抽象出分式的观点，成立数学模型，并理解分式的观点．2．能够经过分式的定义理解和掌握分式存心义的条件．要点理解分式存心义的条件及分式的值为零的条件．难点能娴熟地求出分式存心义的条件及分式的值为零的条件．一、复习引入1． 什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？2． 判断以下各式中 ，哪些是整式？哪些不是整式？① 8m ＋ n ；② 1＋ x ＋ y 2；③ a 2 b ＋ab 2a ＋b 2；⑥3；⑦3x 2－ 43 ；④ ；⑤ a 2＋ b 2 .32x 2＋ 2x ＋12x二、研究新知1． 分式的定义(1) 学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 千米 /时，它沿江以最大航速顺流航行 90 千米所用时间 ，与以最大航速逆流航行 60 千米所用的时间相等 ，江水的流速为多少？剖析：设江水的流速为 v 千米 / 时．轮船顺流航行 90 千米所用的时间为90小时 ，逆流航行 60 千米所用时间为60小时，30＋ v 30－ v所以 90 ＝ 60.30＋ v 30－ v(2) 学生达成教材第 127 页“思虑”中的题．察看：以上的式子 9060S V30＋ v ，30－v ， a ， s ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？能够发现 ，这些式子都像分数相同都是AB (即 A ÷B) 的形式．分数的分子 A 与分母 B 都是整数 ，而这些式子中的 A ， B 都是整式 ，并且 B 中都含有字母．A归纳：一般地 ，假如 A ，B 表示两个整式 ，并且 B 中含有字母 ，那么式子 B 叫做分式． 稳固练习：教材第 129 页练习第 2 题．2． 自学教材第 128 页思虑：要使分式存心义 ，分式中的分母应知足什么条件？分式的分母表示除数 ，因为除数不可以为 0，所以分式的分母不可以为 0，即当 B ≠ 0 时，分 式 A才存心义．B学生自学例 1.例 1以下分式中的字母知足什么条件时分式存心义？2 ；(2) x； (3) 1 ； (4)x ＋y (1) 3xx － 1 5－ 3bx － y.解： (1)要使分式 3x 2存心义 ，则分母 3x ≠ 0，即 x ≠ 0；(2) 要使分式x存心义 ，则分母x － 11(3) 要使分式存心义 ，则分母 5－ 3bx ＋ y(4) 要使分式 x － y 存心义 ，则分母x － 1≠ 0，即 x ≠ 1；55－ 3b ≠ 0，即 b ≠ ；x － y ≠ 0，即 x ≠ y.思虑：假如题目为：当x 为何值时 ，分式无心义．你知道怎么解题吗？稳固练习：教材第 129 页练习第 3 题． 3． 增补例题：当 m 为何值时 ，分式的值为 0?m ；(2) m － 2； (3) m 2－ 1(1) m － 1 m ＋ 3 m ＋ 1 .思虑：当分式为 0 时，分式的分子、分母各知足什么条件？剖析：分式的值为 0 时，一定同时知足两个条件： (1) 分母不可以为零；(2)分子为零．答案： (1)m ＝ 0； (2)m ＝ 2； (3)m ＝ 1. 三、归纳总结 1． 分式的观点．2． 分式的分母不为 0 时，分式存心义；分式的分母为 0 时，分式无心义．3． 分式的值为零的条件： (1)分母不可以为零； (2) 分子为零．四、部署作业教材第 133 页习题 15.1 第 2， 3 题．在引入分式这个观点从前先复习分数的观点，经过类比来自主研究分式的观点 ，分式有意义的条件 ，分式值为零的条件 ，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培育学生利用类比转变的数学思想方法解决问题的能力．15． 1.2 分式的基天性质 (2 课时 )第 1 课时分式的基天性质1．认识分式的基天性质，灵巧运用分式的基天性质进行分式的变形．2．会用分式的基天性质求分式变形中的符号法例．要点理解并掌握分式的基天性质．难点灵巧运用分式的基天性质进行分式变形．一、类比引新 1． 计算：(1) 5 2 4 8× 15 ； (2) ÷ .6 5 15 思虑：在运算过程中运用了什么性质？教师出示问题．学生独立计算后回答：运用了分数的基天性质． 2． 你能说出分数的基天性质吗？分数的分子与分母都乘 (或除以 )同一个不为零的数 ，分数的值不变．3． 试试用字母表示分数的基天性质：小组议论沟通如何用字母表示分数的基天性质，而后写出分数的基天性质的字母表达式．a ＝ a ·c a ＝ a ÷cb b ·c ， b b ÷c .( 此中 a ， b ，c 是实数 ，且 c ≠ 0) 二、研究新知1． 分式与分数也有近似的性质 ，你能说出分式的基天性质吗？分式的基天性质：分式的分子与分母乘 (或除以 )同一个不为零的整式 ，分式的值不变． 你能用式子表示这个性质吗？ AA ·C A A ÷CB ＝ B ·C ， B ＝ B ÷C .(此中 A ， B ，C 是整式 ，且 C ≠ 0)如 x ＝ 1， b ＝ab2，你还可以举几个例子吗？2x 2 a a回首分数的基天性质 ，让学生类比写出分式的基天性质 ，这是从详细到抽象的过程．学生试试着用式子表示分式的性质 ，增强对学生的抽象表达能力的培育．2． 想想以下等式成立吗？为何？－ a a ； － a a a＝ ＝ ＝－ . － b b b － b b教师出示问题．学生小组议论、沟通、总结．例 1 不改变分式的值 ，使以下分式的分子与分母都不含“－”号：－ 2a－ 3x－ x 2(1) － 3a ； (2) 2y ； (3)－ y.例 2不改变分式的值 ，使以下分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：x ＋ 1 2－ x － x － 1(1) － 2x － 1； (2)－ x 2＋ 3；(3) x ＋ 1 .指引学生在达成习题的基础长进行归纳 ，使学生掌握分式的变号法例．例 3填空：x 3（ ） 3x 2＋ 3xy＝x ＋ y；＝ y，（ ）(1) xy6x 2（），2a －2 （ ） .(b ≠ 0)(2)1＝2b ＝ 2aba b a a bx 3解： (1)因为 xy 的分母 xy 除以 x 才能化为 y ，为保证分式的值不变 ，依据分式的基天性 质，分子也需除以 x ，即x 3＝ x 3 ÷x ＝x 2. xy xy ÷ x y相同地 ，因为 3x 2＋ 3xy的分子 3x 2＋3xy 除以 3x 才能化为 x ＋ y ，所以分母也需除以 3x ，6x 2即3x 2＋ 3xy（3x 2＋ 3xy ） ÷（ 3x ） x ＋ y6x 2＝6x 2 ÷（ ＝2x.3x ）所以 ，括号中应分别填入 x 2和 2x.(2) 因为 ab1的分母 ab 乘 a 才能化为 a 2b ，为保证分式的值不变 ，依据分式的基天性质 ，分子也需乘 a ，即1 ＝ 1·a ＝ a2 . ab ab ·a a b2a － b相同地 ，因为a2 的分母 a 2乘 b 才能化为 a 2b ，所以分子也需乘 b ，即2a － b （ 2a －b ） ·b 2ab －b 22 ＝＝ 2.a a 2 ·b a b所以 ，括号中应分别填 a 和 2ab － b 2.在解决例题 1， 2 的第 (2)小题时 ，教师能够指引学生察看等式两边的分母发生的变化，再思虑分式的分子如何变化；在解决例2 的第 (1)小题时 ，教师指引学生察看等式两边的分子发生的变化 ，再思虑分式的分母随之应当如何变化．三、讲堂小结1． 分式的基天性质是什么？ 2． 分式的变号法例是什么？3． 如何利用分式的基天性质进行分式的变形？ 学生在教师的指引下整理知识、理顺思想． 四、部署作业教材第 133 页习题 15.1 第 4， 5 题．经过算数中分数的基天性质，用类比的方法给出分式的基天性质，学生接受起来其实不感觉困难，但要要点重申分子分母同乘 (或除 )的整式不可以为零，让学生养成谨慎的态度和习惯．第 2 课时分式的约分、通分1．类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的观点．2．类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤．要点运用分式的基天性质正确地进行分式的约分与通分．难点通分时最简分分母确实定；运用通分法例将分式进行变形．一、类比引新1．在计算56×152时，我们采纳了“约分”的方法，分数的约分约去的是什么？分式a＋ b相等吗？为何？aba2＋ab利用分式的基天性质，分式a2b约去分子与分母的公因式a，其实不改变分式的值a＋ b获得. a2＋ ab a2b，，能够教师点拨：分式a2＋ ab能够化为a＋ b__分式的约分 __．a2b ab ，我们把这样的分式变形叫做4 64 62． 如何计算 5＋ 7？如何把 5，7通分？近似的 ，你能把分式 a， c变为同分母的分式吗？b d利用分式的基天性质 ，把几个异分母的分式分别化成与本来的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分式变形叫做__分式的通分 __．二、研究新知－ 25a 2bc 3；(2) x 2－ 9； 1． 约分： (1) 15ab 2c x 2＋ 6x ＋9 6x 2－ 12xy ＋ 6y 2 (3) 3x －3y .剖析：为约分 ，要先找出分子和分母的公因式．2322解： (1) － 25a bc ＝－ 5abc ·5ac ＝－5ac ；15ab 2c5abc · 3b 3bx 2－ 9 （ x ＋ 3）（ x － 3） x － 3(2)x2＋＝ （x ＋ 3） 2 ＝；6x ＋9x ＋ 36x 2－ 12xy ＋ 6y 2 6（ x － y ）2(3)3x －3y＝＝2(x － y)．3（x － y ）若分子和分母都是多项式 ，则常常需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式 ) ，然后才能进行约分． 约分后 ，分子与分母没有公因式 ，我们把这样的分式称为 __最简分式 __．( 不 能再化简的分式 )2． 练习：约分：2ax 2y ； － 2a （ a ＋b ） （ a － x ） 2 2－ 4 ； m 2－ 3m 2－13b （ a ＋b ） ； ； x ； 99.3axy 2 （ x －a ） 3 xy ＋ 2y9－ m 298学生先独立达成 ，再小组沟通 ，集体校正．3． 议论：分式1 ， 114的最简公分母是什么？3 22 3， 6xy2x y z 4x y提出最简公分母观点．一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母 ，它叫做最简公分母．学生议论、小组沟通、总结得出求最简公分母的步骤：(1) 系数取各分式的分母中系数最小公倍数； (2) 各分式的分母中所有字母或因式都要取到； (3) 相同字母 (或因式 )的幂取指数最大的；(4) 所得的系数的最小公倍数与各字母 (或因式 )的最高次幂的积 (此中系数都取正数 ) 即为最简公分母．4． 通分： (1) 32 与a －2 b； (2) 2x 与 3x .2a b ab c x － 5 x ＋ 5 剖析：为通分 ，要先确立各分式的公分母．解： (1)最简公分母是 2a 2b 2c.33·bc 3bc2a 2b ＝ 2a 2b · bc ＝2a 2b 2 c ， a － b （ a －b ） ·2a 2a 2 －2abab 2c ＝ab 2c · 2a ＝ 2a 2b 2c .(2) 最简公分母是 (x － 5)(x ＋ 5) ．2x＝2x（ x＋ 5）＝2x2＋ 10xx－ 5 （ x－ 5）（ x＋ 5）x2－ 25，3x ＝3x（ x－ 5）＝ 3x2－ 15x x＋ 5 （ x＋ 5）（ x－ 5）x2－ 25. 5．练习：通分： (1) 12与 5 ； (2) 21与 2 1 ； (3) 12与2x.3x 12xy x ＋ x x － x （2－ x）x － 4教师指引：通分的要点是先确立最简公分母；假如分式的分母是多项式则应先将分母分解因式，再按上述的方法确立分式的最简公分母．学生板演并互批实时纠错．6．思虑：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的依据是什么？教师让学生议论、沟通，师生共同作以小结．三、讲堂小结1．什么是分式的约分？如何进行分式的约分？什么是最简分式？2．什么是分式的通分？如何进行分式的通分？什么是最简公分母？3．本节课你还有哪些迷惑？四、部署作业教材第 133 页习题 15.1 第 6， 7 题．本节课是在学习了分式的基天性质后学的，要点是运用分式的基天性质正确的约分和通分，约分时要注意必定要约成最简分式，娴熟运用因式分解；通分时要将分式变形后再确立最简公分母．15． 2分式的运算15． 2.1分式的乘除(2课时)第 1 课时分式的乘除法1．理解并掌握分式的乘除法例．2．运用法例进行运算，能解决一些与分式相关的实质问题．要点掌握分式的乘除运算．难点分子、分母为多项式的分式乘除法运算．一、复习导入1． 分数的乘除法的法例是什么？2． 计算： 3 × 15 ； 3 155 12 ÷ .5 2由分数的运算法例知3 15 ＝ 3× 15 315 3 × 2 ＝ 3× 2× 12 5× 12 ； ÷ ＝ 15 .5 5 2 5 5× 153． 什么是倒数？ 我们在小学学习了分数的乘除法 ，关于分式如何进行计算呢？这就是我们这节要学习的内容．二、研究新知问题 1：一个水平搁置的长方体容器 ，其容积为 V ，底面的长为 a ，宽为 b 时，当容器的水占容积的 m时，水面的高度是多少？n问题 2：大拖沓机 m 天耕地 a hm 2，小拖沓机 n 天耕地 b hm 2，大拖沓机的工作效率是小拖沓机的工作效率的多少倍？问题 1 求容积的高 V m，问题 2 求大拖沓机的工作效率是小拖沓机的工作效率的 a b ·÷ 倍．ab nm n依据上边的计算 ，请同学们总结一下对分式的乘除法的法例是什么？分式的乘法法例：分式乘分式 ，用分子的积作为积的分子 ，分母的积作为积的分母． 分式的除法法例：分式除以分式 ，把除式的分子、分母颠倒地点后，与被除式相乘．a ca ·c a c a d a ·d·＝； ÷ ＝ ·＝.b d b ·d b d bc b ·c 三、举例剖析例 1 计算：4x y ab 3 － 5a 2b 2(1) 3y ·2x 3； (2)2c 2÷4cd.剖析：这道例题就是直策应用分式的乘除法法例进行运算．应当注意的是运算结果应约分到最简 ，还应注意在计算时跟整式运算相同 ，先判断运算符号 ，再计算结果．解： (1)4xy ＝ 4xy ＝ 2 ；3y ·36x 3y 3x 22x(2) ab 3－ 5a 2b 2 ab 34cd 4ab 3cd 2bd2c 2÷ ＝ 2· 2 2＝－ 2 2 2＝－ .4cd 2c － 5a b 10a b c 5ac 例 2 计算：a 2－ 4a ＋4 a － 1(1) a 2－ 2a ＋1·a 2－ 4；1 1(2) 49－m 2÷ m 2－ 7m . 剖析：这两题是分子与分母是多项式的状况 ，第一要因式分解 ，而后运用法例．（ a －2） 2 a － 1 a － 2解： (1)原式 （ a －1） 2· （ a ＋ 2）（ a － 2）＝ （ a －1）（ a ＋ 2） ；(2) 原式 1 1÷（ 7－ m ）（ 7＋ m ） m （ m － 7）＝ 1 m （ m － 7） ＝－ m7＋m ） · 1 .（ 7－ m ）（ m ＋ 7例 3 “丰产 1 号”小麦试验田边长为 a 米 (a ＞ 1)的正方形去掉一个边长为 1 米的正方形蓄水池后余下的部分 ，“丰产 2 号”小麦的试验田是边长为 (a － 1)米的正方形 ，两块试验田的小麦都收获了 500 千克．(1) 哪一种小麦的单位面积产量高？(2) 高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？剖析：此题的实质是分式的乘除法的运用．解： (1)略．500500 500 a 2－ 1 a ＋ 1 (2) （ a －1） 2÷ a 2－ 1＝（ a － 1） 2· 500 ＝a － 1.“丰产 2 号”小麦的单位面积产量是“丰产1 号”小麦的单位面积产量的a ＋ 1倍．a － 1四、随堂练习1． 计算： (1) c 2 · a 2b 2 (2)－ n 2 · 4m 2 y 2； 2m 5n 3；(3) ÷(－ )；ab c 7x x 2ya 2－ 4 a 2－ 1 (4) － 8xy ÷ ； (5)－ 2 ·2 4a ＋ 4 ；5x a －2a ＋ 1 a ＋y 2－ 6y ＋ 9(6)÷(3－ y)．y ＋ 2答案： (1)abc ； (2)－ 2m； (3)－ y； (4)－ 20x 2；(5) （ a ＋ 1）（ a － 2） ；(6) 3－ y 5n 14－（ a － 1）（ a ＋ 2） y ＋ 2 . 2． 教材第 137 页练习 1， 2，3 题．五、讲堂小结(1) 分式的乘除法法例； (2) 运用法例时注意符号的变化；(3) 因式分解在分式乘除法中的应用；(4) 步骤要完好 ，结果要最简．最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式，也能够写成一个多项式 ，如 （ a － 1） 2 a 2－ 2a ＋ 1或 a .a六、部署作业教材第 146 页习题 15.2 第 1， 2 题．本节课从两个拥有实质背景的问题出发，使学生在解决问题的过程中认识到分式的乘除法是由实质需要产生的，从而激发他们学习的兴趣，接着，从分数的乘除法例的角度指引学生经过察看、研究、归纳总结出分式的乘法法例．有益于学生接受新知识，并且能表现由数到式的发展过程．第 2课时分式的乘方及乘方与乘除的混淆运算1．进一步娴熟分式的乘除法法例，会进行分式的乘、除法的混淆运算．2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算．要点分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混淆运算．难点分式的乘除法、乘方混淆运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号确实定．一、复习引入1．分式的乘除法法例．分式的乘法法例：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母．分式的除法法例：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒地点后，与被除式相乘．2．乘方的意义：a n＝ a·a·a· ·a(n 为正整数 )．二、研究新知例 1(教材例 4) 计算2x 3 x÷·.5x－ 3 25x 2－ 9 5x ＋ 3解：2x 3·x÷＋ 3 5x－3 25x 2－ 9 5x25x 2－ 9x (先把除法一致成乘法运算 )＝ 2x ·3 · 5x － 3 5x＋3 2x 2 ＝3 .( 约分到最简公式 ) 分式乘除运算的一般步骤：(1) 先把除法一致成乘法运算；(2) 分子、分母中能分解因式的多项式分解因式； (3) 确立分式的符号 ，而后约分；(4) 结果应是最简分式．1． 由整式的乘方引出分式的乘方，并由特别到一般地指引学生进行归纳．2(1)( a )2＝a a＝ a2；bb ·b b↑↑由乘方的意义 由分式的乘法法例(2) 同理：a 3 a a aa 3( )＝ ··＝ 3；b b b b ba n a a aa · a · · an 个a n( ) ＝ ·· ·n个＝＝ n .b b b bb · b · · bn 个 b2． 分式乘方法例：n分式： (a b )n ＝ ab n .(n 为正整数 )文字表达：分式乘方是把分子、分母分别乘方． 3． 当前为止 ，正整数指数幂的运算法例都有什么？(1)a n · a n ＝ a m ＋n ； (2)a m ÷ a n ＝ a m －n ；(3)(a m ) n ＝a mn ；(4)(ab) n ＝ a n b n ；a a n(5)( b )n＝ b n . 三、举例剖析 例2计算：－ 2a 2b(1)( 3c )2；2a b3÷2a· (c2(3)( － x 2 y 2 )3÷ y )4；y )2· (－ x (－x a 2－ b 2 a － b(4) 22÷ () 2.a ＋ ba ＋ b22 4 2（－ 2a b ）＝4a b 2 ；解： (1)原式＝ （ 3c ） 29ca 6b 3 d 3c 2a 3b 3 (2) 原式＝ －c 3d 9· 2a ·4a 2＝－ 8cd 6；46 4(3) 原式＝x · (－ y x ＝－ x 5； y 2x 3)·4y(4) 原式＝ （ a ＋ b ）（ a － b ） （ a ＋ b ） 2 （ a ＋ b ） 32 2· （ a － b ） 2＝22 .a ＋b （ a － b ）（ a ＋ b ）学生板演、 纠错并实时总结做题方法及应注意的地方： ①关于乘、 除和乘方的混淆运算 ，应注意运算次序 ，但在做乘方运算的同时 ，可将除变乘；②做乘方运算要先确立符号．例3 计算：b3n －1c2a2n －1(1) a 2n＋1·b 3n－2；x 2－2xy ＋ y 2x － y(2)(xy － x 2) ÷ · x 2 ；xy (3)( a 2－ b 2 a －b )2.ab )2÷ (a解： (1)原式＝ b 3n －2· b · c 2 a 2n － 1bc 2 a2n －1· a 2·b 3n －2＝a 2；x （ x － y ） xy2· x － y(2) 原式＝－1 ·x 2 ＝－ y ；（ x － y ）（ a ＋ b ）2（ a － b ） 2 a 2 a 2＋ 2ab ＋b 2 (3) 原式＝ a 2b 2· （a －b ） 2＝b 2. 本例题是本节课运算题目的拓展，关于 (1)指数为字母 ，可是方法不变； (2)(3) 是较复杂的 乘除乘方混淆运算 ，要进一步让学生熟习运算次序，注意做题步骤．四、稳固练习教材第 139 页练习第 1， 2 题． 五、讲堂小结 1． 分式的乘方法例． 2． 运算中的注意事项． 六、部署作业教材第 146 页习题 15.2 第 3 题．分式的乘方运算这一课的教课先让学生回想从前学过的分数的乘方的运算方法用类比的方法让学生得出分式的乘方法例．在解说例题和练习时充分调换学生的踊跃性大家都参加进来 ，提升学习效率．，而后采，使15． 2.2分式的加减(2 课时)第 1 课时分式的加减理解并掌握分式的加减法例，并会运用它们进行分式的加减运算．要点运用分式的加减运算法例进行运算．难点异分母分式的加减运算．一、复习发问 1． 什么叫通分？ 2． 通分的要点是什么？ 3． 什么叫最简公分母？4． 通分的作用是什么？ (引出新课 ) 二、研究新知1． 出示教材第 139 页问题 3 和问题 4. 教材第 140 页“思虑”．1 分式的加减法与分数的加减法近似，它们的实质相同． 察看以下分数加减运算的式子：5＋2＝31－ 2＝－ 11＋1＝ 3＋2＝5 1－ 1＝ 3－ 2＝1，得出分式的加减法5 5，5 55， 2 3666， 2 3 6 6 6.你能将它们推行 法例吗？教师提出问题 ，让学生列出算式 ，获得分式的加减法法例． 学生议论：组内沟通 ，教师点拨． 2． 同分母的分式加减法．a b a ±b公式： ±＝c .c c文字表达：同分母的分式相加减 ，分母不变 ，把分子相加减．3． 异分母的分式加减法．分式： a c ad bc ad ±bc± ＝ ± ＝ bd .b d bd bd文字表达：异分母的分式相加减 ，先通分 ，变为同分母的分式 ，而后再加减．三、典型例题 例 1(教材例 6) 计算：5x ＋3y－ 2x2； (2)1 ＋ 1(1) 2－ y 2 2.xx － y2p ＋ 3q 2p － 3q解： (1)5x ＋ 3y － 2xx 2－ y2 x 2－ y 25x ＋ 3y － 2x 3x ＋ 3y 3 ＝ 2 2 ＝ 2 － y 2 ＝ ；x － y x x －y(2) 1 ＋ 12p ＋3q2p － 3q＝2p － 3q ＋2p ＋ 3q （ 2p ＋ 3q ）（ 2p － 3q ） （ 2p ＋ 3q ）（ 2p － 3q ）＝ 2p － 3q ＋ 2p ＋ 3q＝4p（ 2p ＋ 3q ）（ 2p － 3q ） 4p 2－ 9q 2.小结：(1) 注意分数线有括号的作用 ，分子相加减时 ，要注意添括号．(2) 把分子相加减后 ，假如所得结果不是最简分式 ，要约分．例2 计算：m ＋ 2n ＋ n － 2m . n － m m － n n － m剖析： (1)分母能否相同？ (2)如何把分母化为相同的？(3)注意符号问题．解：原式＝ m ＋ 2n － n － 2mn － m n －m n － m＝ m ＋ 2n － n － 2mn －m＝n － mn － m＝ 1. 四、讲堂练习1． 教材第 141 页练习 1， 2 题．5232．计算： (1)－＋ ；12 2(2) m 2－ 9＋3－ m ；(3)a ＋ 2－ 4；2－ aa 2－b 2 ab － b 2(4) ab －ab －ab 2.五、讲堂小结1． 同分母分式相加减 ，分母不变 ，只要将分子作加减运算 ，但注意每个分子是个整体 ，要合时添上括号．2．关于整式和分式之间的加减运算 ，则把整式当作一个整体 ，即当作是分母为 1 的分式 ，以便通分．3．异分母分式的加减运算 ，第一察看每个公式能否为最简分式 ，能约分的先约分 ，使分式简化 ，而后再通分 ，这样可使运算简化．4． 作为最后结果 ，假如是分式则应当是最简分式． 六、部署作业教材第 146 页习题 15.2 第 4， 5 题．从直观的分数加减运算开始，先介绍同分母分式的加减运算的详细方法，经过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律，表现了数学知识间详细与抽象、从特别到一般的内在联系．尔后，利用相同的类比方法，安排学习异分母的分式加减运算，这样由简到繁、由易到难，切合学生认知的发展规律，有助于知识的层层落实与掌握．第 2 课时分式的混淆运算1．明确分式混淆运算的次序，娴熟地进行分式的混淆运算．2．能灵巧运用运算律简易运算．要点娴熟地进行分式的混淆运算．难点娴熟地进行分式的混淆运算．一、复习引入回想：我们已经学习了分式的哪些运算？1．分式的乘除运算主假如经过( )进行的，分式的加减运算主假如经过( ) 进行的．2．分数的混淆运算法例是再算 ()，最后算 ( ( ) ，近似的，分式的混淆运算法例是先算 ) ，有括号的先算 ( )里面的．( )，二、研究新知1．典型例题例1计算：( x＋2 ＋ 4 ) ÷x .x－2 x2－ 4x＋ 4 x－ 2 剖析：应先算括号里的．例 2计算：4y 24x 2yx ＋ 2y ＋ x － 2y － x 2－ 4y2. 剖析： (1)此题应采纳逐渐通分的方法挨次进行； (2)x ＋ 2y 能够看作 x ＋ 2y.1 例 31 －2x 计算：1x ＋ yx ＋ y ·( 2x －x －y)．剖析：此题可用分派律简易计算．例 4 [ 1 2－1 2] ÷( 1 － 1 )．（ a ＋ b ） （ a － b ） a ＋b a － b 剖析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分．例 5(教材例 7)2a 21a b计算 ()·－ ÷ .b a － b b 4解： 2a1－ ab( )2· b ÷b a －b 4＝ 4a 2 1 － a 4 b 2 · ·a －b b b4a 24a4a 2 4a （ a －b ） ＝ b 2（ a － b ） － b 2＝ b 2（ a － b ）－ b 2（ a － b ）4a 2－ 4a 2＋ 4ab 4ab＝ b 2（ a － b ） ＝b 2（ a － b ） ＝ 4a ab － b 2.点拨：式与数有相同的混淆运算次序：先乘方 ，再乘除 ，而后加减． 例 6(教材例 8)计算： (1)(m ＋ 2＋ 52m － 4) · ；2－ m 3－ mx ＋ 2 － x － 1x －4 (2)( x 2－ 2x x 2－ 4x ＋ 4) ÷ x .解： (1)(m ＋ 2＋ 5 2m － 4) ·2－ m 3－ m ＝ （ m ＋ 2）（ 2－ m ）＋ 5 2m － 42－m ·3－ m＝ 9－ m 2 2（ m － 2） 2－ m · 3－ m＝ （ 3－ m ）（ 3＋ m ） － 2（ 2－ m ） 2－ m · 3－ m＝－ 2(m ＋ 3)；(2)( x ＋ 2－ x － 1x －4x 2 x 2) ÷ x － 2x － 4x ＋ 4＝ [ x ＋ 2 －x － 1 x （ x － 2） 2] ·x （ x － 2）x － 4＝（ x ＋ 2）（ x － 2）－（ x －1） x ·x x （ x － 2） 2x － 4 ＝ x 2－ 4－ x 2＋ x（ x － 2） 2（ x － 4）1＝ （ x － 2） 2. 分式的加、减、乘、除混淆运算要注意以下几点：(1) 一般按分式的运算次序法例进行计算，但合适地使用运算律会使运算简易．(2) 要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以备约分或通分时用 ，可防止运算烦 琐．(3) 注意括号的“添”或“去”、“变大”与“变小”．(4) 结果要化为最简分式．增强练习 ，指引学生实时纠正在例题中出现的错误 ，进一步提升运算能力．三、稳固练习x 21． (1)x － 1－ x － 1；(2)(1 － 2)2÷x － 1；x ＋1 x ＋ 12ab2bc(3)（ a －b ）（ a － c ） ＋ （ a － b ）（ c － a ）；(4)( 1 ＋ 1 ) ÷2 xy2 .x － y x ＋ y x － y 2． 教材第 142 页第 1， 2 题． 四、讲堂小结1．分式的混淆运算法例是先算 ( )，再算 () ，最后算 ()，有括号先算 ()里的．2． 一些题应用运算律、公式能简易运算． 五、部署作业1． 教材第 146 页习题 15.2 第 6 题．1 － 1 x 2－ 2x ＋ 1，此中 x ＝ 2－1.2． 先化简再求值 x ＋ 1 x 2－ 1· x ＋ 1分式的混淆运算是分式这一章的要点和难点，波及到因式分解和通分这两个较难的知识点，可依据学生的详细状况，合适增添例题、习题，让学生娴熟掌握分式的运算法例并提升运算能力．15． 2.3整数指数幂1．知道负整数指数幂a－n＝1n.(a≠ 0， n 是正整数 ) a2．掌握整数指数幂的运算性质．3．会用科学记数法表示绝对值小于 1 的数．要点掌握整数指数幂的运算性质 ，会有科学记数法表示绝对值小于1 的数．难点负整数指数幂的性质的理解和应用．一、复习引入1． 回想正整数指数幂的运算性质：(1) 同底数的幂的乘法： a m · a n ＝ a m ＋n (m ， n 是正整数 ) ；(2) 幂的乘方： (a m )n ＝ a mn (m ， n 是正整数 )； (3) 积的乘方： (ab)n ＝ a n b n (n 是正整数 )；(4) 同底数的幂的除法： a m ÷ a n ＝a m －n (a ≠ 0， m ， n 是正整数 ， m ＞n) ；a n a n(5) 分式的乘方： ( ) ＝n (n 是正整数 )．bb2． 回想 0 指数幂的规定 ，即当 a ≠ 0 时， a 0＝ 1. 二、研究新知3 312，再假定正整数指数幂的运算性质am÷ a n( 一)1.计算当 a ≠ 0 时， a 3÷ a 5＝ a5＝a ＝aa 3· a 2 a－－ －2.于是＝ a m n (a ≠ 0， m ， n 是正整数 ， m ＞ n)中的 m ＞ n 这个条件去掉 ，那么 a 3÷ a 5＝ a 3 5＝ a － 2 1获得 a ＝2(a ≠ 0)．a总结：负整数指数幂的运算性质：一般的 ，我们规定：当 n 是正整数时 ，a －n＝ 1n (a ≠ 0)．a 2． 练习稳固： 填空：(1) － 22＝ ________， (2)( － 2)2＝ ________， (3)( － 2)0＝ ________，(4)20＝ ________，－3－3 ＝________． (5)2 ＝ ________， (5)( － 2) 3．例 1 (教材例 9) 计算：－2 5 b 3－ 2； (1)a÷ a ； (2)( 2)a(3)(a －1 b 2 )3； (4)a － 2b 2· (a 2b － 2)－3.解： (1)a －2÷ a 5＝ a －2－ 5＝a －7＝ a 17；b 3－6a 4 －b －(2)( 2) 2＝ － 4＝ a 4b 6 ＝ 6； a ab 6(3)(a －1 b2 )3＝ a －3b6＝ba 3；－ － － － － －b 8 (4)a 2b 2· (a 2b 2) 3＝ a 2b 2· a 6 b 6＝ a 8b 8＝ 8.a[剖析 ] 本例题是应用推行后的整数指数幂的运算性质进行计算 ，与用正整数指数幂的 运算性质进行计算相同 ，但计算结果有负指数幂时 ，要写成分式形式．4． 练习：计算： (1)(x 3y － 2)2； (2)x 2y － 2· (x －2y)3；(3)(3x 2y －2 2 － 23) ÷ (x y) . 5．例 2 判断以下等式能否正确？(1)a m÷ a n＝ a m·a －n； (2)(ab)n ＝ a n b －n .[ 剖析 ] 类比负数的引入使减法转变为加法 ，获得负指数幂的引入能够使除法转变为幂的乘法这个结论 ，从而使分式的运算与整式的运算一致同来 ，而后再判断等式能否正确．( 二)1.用科学记数法表示值较小的数因为 0.1＝ 1 ＝ 10 － 110 ； 0.01＝________＝ ________；0． 001＝ ________＝________所以 0.000 025＝ 2.5× 0.000 01＝ 2.5×10－5.我们能够利用 10 的负整数次幂 ，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，马上它们表示成 a ×10－n 的形式 ，此中 n 是正整数 ，1≤ |a|＜ 10.2． 例 3(教材例 10) 纳米是特别小的长度单位 ， 1 纳米＝ 10－9米，把 1 纳米的物体放到 乒乓球上 ，就好像把乒乓球放到地球上 .1 立方毫米的空间能够放多少个1 立方纳米的物体？(物体之间的空隙忽视不计 )[ 剖析 ]这是一个介绍纳米的应用题，是应用科学记数法表示小于 1 的数．3．用科学记数法表示以下各数：0． 00 04，－ 0.034，0.000 000 45， 0.003 009.4．计算：－8 3 －3 2 －3 3.(1)(3 × 10 )× (4× 10 )； (2)(2 ×10 ) ÷(10 )三、讲堂小结1．引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍旧成立．2．科学记数法不单能够表示一个值大于10 的数，也能够表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意 a 一定知足1≤ |a|＜ 10，此中 n 是正整数．四、部署作业教材第 147 页习题 15.2 第 7， 8， 9 题．本节课教课的主要内容是整数指数幂学设计上，教师要点发掘学生的潜伏能力，将从前所学的相关知识进行了扩大．在本节的教，让学生在讲堂上经过察看、考证、研究等活动，加深对新知识的理解．15．3分式方程(2课时)第 1 课时分式方程的解法1．理解分式方程的意义．2．理解解分式方程的基本思路和解法．3．理解解分式方程时可能无解的原由，并掌握解分式方程的验根方法．要点解分式方程的基本思路和解法．难点理解解分式方程时可能无解的原由．一、复习引入问题： 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h ，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用时间 ，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等 ，江水的流速为多少？90＝60[ 剖析 ] 设江水的流速为 x 千米 /时，依据题意 ，得 30＋ v 30－ v .①方程①有何特色？[ 归纳 ] 方程①中含有分式 ，并且分母中含有未知数 ，像这样的方程叫做分式方程． 发问：你还可以举出一个分式方程的例子吗？ 辨析：判断以下各式哪个是分式方程．x ＋ 2＝ 2y － z ； (3)1； (4)y＝0； (5)1＋ 2x ＝ 5.(1)x ＋ y ＝ 5； (2) 5 3 x x ＋ 5 x依据定义可得： (1)(2) 是整式方程 ， (3) 是分式 ， (4)(5) 是分式方程．二、研究新知1． 思虑：如何解分式方程呢？为认识决本问题 ，请同学们先思虑并回答以下问题：(1) 回首一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中可否获得一点启迪？(2) 有没有方法能够去掉分式方程的分母把它转变为整式方程呢？ [ 可先松手让学生自主研究 ，合作学习并进行总结]方程①能够解答以下：方程两边同乘以 (30＋ v)(30 －v)，约去分母 ，得 90(30－ v)＝ 60(30 ＋ v)． 解这个整式方程 ，得 v ＝ 6. 所以江水的流度为 6 千米 /时．[ 归纳 ]上述解分式方程的过程 ，实质上是将方程的两边乘以同一个整式 ，约去分母 ，把分式方程转变为整式方程来解．所乘的整式往常取方程中出现的各分式的最简公分母．2． 例 1 解方程：1 ＝ 210.②x － 5 x － 25解：方程两边同乘 (x 2－ 25)，约去分母 ，得 x ＋ 5＝ 10.解这个整式方程 ，得 x ＝ 5.事实上 ，当 x ＝ 5 时，原分式方程左侧和右侧的分母 (x － 5)与 (x 2－ 25)都是 0，方程中出现的两个分式都没存心义 ，所以 ，x ＝ 5 不是分式方程的根 ，应当舍去 ，所以原分式方程无解．解分式方程的步骤：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不合适原分式方程的解 (或根 ) ，这类根往常称为增根．所以，在解分式方程时一定进行查验．3．那么，可能产生“增根”的原由在哪里呢？解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母 )．方程①两边乘 (30＋ v)(30 － v)，获得整式方程，它的解 v＝6.当 v＝ 6 时， (30＋ v)(30 － v)≠ 0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为 0 的式子，所以所得整式方程的解与①的解相同．方程②两边乘(x－ 5)(x ＋ 5)，获得整式方程，它的解 x＝ 5.当 x＝ 5 时，(x －5)(x ＋ 5)＝ 0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0 的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为 0 的现象，所以这样的解不是②的解．4．验根的方法：解分式方程进行查验的要点是看所求得的整式方程的根能否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简易起见，也可将它代入所乘的整式 (即最简公分母 )，看它的值能否为零．假如为零，即为增根．如例 1 中的 x＝ 5，代入 x2－ 25＝0，可知 x＝ 5 是原分式方程的增根．三、举例剖析例 2(教材例 1) 解方程 2 ＝3.x－ 3 x解：方程两边乘x(x －3) ，得 2x ＝ 3x－ 9.解得 x＝ 9.查验：当x＝ 9 时， x(x － 3)≠ 0.所以，原分式方程的解为x＝9.例 3(教材例 2) 解方程x － 1＝ 3.x－ 1 （x－ 1）（ x＋ 2）解：方程两边乘 (x－ 1)(x ＋2)，得x(x ＋ 2)－ (x－ 1)(x ＋ 2)＝ 3.解得 x＝ 1.查验：当x＝ 1 时， (x－1)(x ＋ 2)＝ 0，所以 x＝ 1 不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解．四、讲堂小结1．分式方程：分母中含有未知数的方程．2．解分式方程的一般步骤以下：。
人教版八年级数学上册教案：第15章 分式 章目标总览
第十五章分式
本章的内容包括：分式、分式的运算、分式方程．
本章我们将类比分数学习分式,解一些分式方程,并学会解能化为一元一次方程的分式方程及利用分式的知识解决一些实际问题．在中考中,本章重点在考查分式有意义的条件、分式的化简与求值、分式方程及其应用．
【本章重点】
利用分式的基本性质进行约分和通分、分式的混合运算及列分式方程解决实际问题．【本章难点】
分式的混合运算及列分式方程解决实际问题．
【本章思想方法】
1．掌握类比思想．如：类比分数的概念及性质理解分式的概念及性质,类比分数的运算法则理解分式的运算法则．
2．掌握转化思想．如：把除法转化为乘法,把异分母分式加减法转化为同分母分式加减法,把分式方程转化为整式方程．
3．体会数学建模思想．如：在利用分式方程解决实际问题时,需根据实际问题建立数学模型,从而列出分式方程求解．
15．1分式2课时
15．2分式的运算5课时
15．3分式方程2课时。
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第15章15.1.1 从分数到分式
第十五章分式15.1 分式15.1.1 从分数到分式一、教学目标【知识与技能】1.了解分式的概念,会判断一个代数式是否是分式;2.能用分式表示简单问题中数量之间的关系,能解释简单分式的实际背景或几何意义.【过程与方法】能通过回忆分数的意义,类比地探索分式的意义及分式的值,渗透数学中的类比,分类等数学思想.【情感、态度与价值观】通过探索和合作交流,培养创新意识和合作精神.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】分式的概念，掌握分式有意义的条件.【教学难点】分式值为零的条件、分类意识的渗透.五、课前准备教师：课件、直尺、长方形图片等。
学生：直尺、练习本、铅笔、圆珠笔。
六、教学过程（一）导入新课8÷9可以写成分数98，那么y÷x可以写成这样的形式吗？假如你认为可以，那么这个式子是我们以前学习的整式吗？那它是什么式子呢？通过今天的学习，我们会进一步认识它.（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究分式的概念教师问1：长方形的面积为10cm2，长为7cm，宽应为________cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为________.（出示课件4）学生回答：107；Sa教师问2：把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中，水面高度为________cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为________.（出示课件5）学生回答：200 33；VS教师问3：春天来了，万物复苏，一年一度的春游离我们近了.现在就让我们进行一次模拟旅游：(1)我们从学校出发，以5km /h 的速度向离学校4km 的公园出发，那么经过________小时到达目的地；(2)到了公园后要先买门票，门票价格：成人每人8元，学生每人3元，若我们有m 个老师和n 个学生，买门票需要________元；(3)公园内有一个大型文物店，内有A 、B 两种型号的柜台，其中A 型规格的柜台有p 个，收藏文物m 件，平均每个柜台存放了________件文物，另有B 型规格的柜台q 个，收藏文物n 件，本店内平均每个柜台存放了________件文物.学生讨论回答：（1）54；（2）8m+3n ；（3）p mm ＋n p ＋q教师问4：一艘轮船在静水中的最大航速是20千米/时，它沿江以最大船速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等.江水的流速是多少?（出示课件6）师生共同分析如下：最大船速顺流航行100千米所用时间=以最大航速逆流航行60千米所用的时间如果设江水的流速为v 千米/时. 学生回答：206020100-=+v v 教师问5：请大家观察式子S a 和VS ，有什么特点？（出示课件7）学生回答：分子和分母中都含有字母.学生问6：请大家观察式子100v+20和60v -20，有什么特点？学生回答：分母中都含有字母.教师问7：它们与分数有什么相同点和不同点？学生回答：相同点：都具有分数的形式不同点(观察分母)：分母中有字母.教师问8：单项式、多项式我们早已熟知，它们都属于整式，剩下的式子我们能给它命名为分式，你能说一下分式的定义吗？学生回答：分母中含有字母的式子叫做分式.教师问9：这两类式子有何区别与联系？师生共同分析后解答如下：联系：分式的分子、分母都是整式，即分式由整式组成；区别：分式的分母中含字母，而整式不具备.总结点拨：分式概念（出示课件8）A为分式.其中一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称BA叫做分式的分子，B为分式的分母.注意：分式是不同于整式的另一类式子，且分母中含有字母是分式的一大特点.类比分数、分式的概念及表达形式:注意：由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性.教师问10：你能说一说分数与分式的相同点、不同点吗？（出示课件9）师生共同讨论后解答如下：相同点{分子分数线分母不同点{分数：分子、分母都为数字分式：分子、分母都为整式，且分母中必须含有字母；分子中可以不含字母例1：指出下列代数式中，哪些是整式，哪些是分式？（出示课件10）师生共同解答如下：解：整式有分式有总结点拨：判断一个式子是分式的关键：分母中含有字母.2：师生互动，分式有无意义的探寻，分式值为零的条件教师讲解：同学们都知道，字母能表示数，我相信下面的题目同学们肯定能轻松完成.教师问11：填表求值：学生回答：教师问12：这两个分式在什么情况下无意义？学生回答：分母为零时无意义.教师问13：这两个分式在什么情况下值为零？学生回答：分子为零时.的分母有什么条件限制？（出示课件12）教师问14：分式AB学生回答：无意义.当B=0时，分式AB当B≠0时，分式A有意义B=0时分子和分母应满足什么条件？教师问15：当AB的值为零。
新人教部编版初中八年级数学上册《分式》知识归纳
新人教部编版八年级数学上册
第十五章分式
15.1 分式：A/B。
（A、B表示两个整式，并且B中含有字母。
B ≠ 0分式才有意义。
）
分式的性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
约分、最简分式、通分、最简公分母。
15.2 分式的运算
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
分式的乘方：要把分子、分母分别乘方。
整数指数幂：正整数指数幂，零指数幂，负整数指数幂（a-n = 1/a n , a≠0）。
归结：a m ·a n = a m + n（m、n是整数）
(a m)n = a m n（m、n是整数）
(ab)n = a n b n（n是整数）
备注：分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分。
15.3 分式方程
概念：分母中含未知数的方程。
最简公分母不为0→是分式方程的解；
步骤：分式方程→整式方程→X = a →最简公分母为0 →不是分式方程的解。
去分母解整式方程检验。
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15.2.3整数指数幂（1）
【学习目标】理解负指数幂的意义，正确熟练地运用负指数幂的性质进行计算. 【学习重点】掌握整数指数幂的运算性质，尤其是负整数指数幂的概念. 【学习难点】认识负整数指数幂的产生过程及幂运算法则的扩展过程. 【学习过程】 一、知识链接： 1、计算
（1）5
333⨯ （2）33)(x （3）3)(mn
(4）35a a ÷ (5）77x x ÷ （6）8
7a a ÷ 2、填空
a m ⋅
a n ＝ （m ，n 是正整数）； （a m ）n
＝ （m ，n 是正整数）
(ab )n ＝ （n 是正整数）; a m ÷a n
＝ （a ≠0，m ，n 是正整数，m ≥n ）； (a b
)n ＝ （n 是正整数）; a 0
＝ (a ≠0).
二、自主学习，阅读课本P142—144 1、 计算 （1） 52
÷5
5
（2） 5
2a a ÷
思路1：由约分得，52÷55
＝
()1
555553
2252=
⨯= =÷5
2
a a 52
a a =()
1
3
22=⋅a
a a
思路2：由正整数幂的运算性质 a m
÷a n
＝n
m a -（a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n ）
猜想 52
÷55 =
=÷52a a
由上题思路1、思路2的计算结果， 则有
52
÷55 =
44
515
=
- =÷5
2a a )0(13
3≠=-a a
a 一般地，规定：a －n
＝1n a
（a ≠0，n 是 数），即任何不等于零的数的－n （n 为任
何正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的 数. 练习： (1) =-3
5
(2) =-22 (3) =-1a (4) =-2)2(x
2、随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，前面提到的运算性质也推广到整数指数幂.
（1）想一想：在引入负整数指数和零指数后，a m
⋅
a n ＝n
m a
+（m ，n 是正整数），这些情形
能否推广到m ，n 是负整数的情形？ ()
()
(
)
(
)()
+-===
⨯
=⨯a a a a a
1
1
353
即
(
)()+-=⨯a a a 53
()
(
)
(
)
(
)()
+--===
⨯=⨯a a a a
a
a 1
1
1
35
3
即
(
)()
+--=⨯a a a 53
()(
)
(
)
(
)()
+-==⨯
=
⨯a a a a
a 15
即
(
)(
)
+-=⨯a a a 50
从上面的填空中你想到了什么？ 结论：n
m n
m
a
a a +=⨯这条性质对于m 、n 是 的情形仍然适用.
（2）继续举例探究：mn
n
m a a =)(、n
n
n
b a ab =)(、n n
n b
a b a =)(在整数指数范围内是否适用?
3、例题：计算
⑴ 5
2
a a
÷- ⑵ 2
23)(-a
b ⑶ 321)(b a - ⑷
32222)(---⋅b a b a
三、反思小结、观点提练：
1、幂的两个规定：（1）当a ≠0时,=0a （2）当n 是正整数时，=-n
a (0≠a )
2、幂的三类运算性质：
（1）同底数幂的乘法：a m
⋅
a n
＝ （m ，n 是整数）
（2）同底数幂的除法：=÷n
m a a （n m a ,,0≠为整数） （3）幂的乘方：=n
m a )( （m ，n 是整数） 积的乘方：=n
ab )( （m ，n 是整数） 商的乘方：=n
b
a
)( （,0≠b m ，n 是整数）
四、课堂巩固：
1、30
= 3-2
= （-3）0
= （-3）-2
= b 0
= b -2
= (b ≠0)
2、下列等式是否正确？为什么？
（1）a m
÷a n ＝a m ·a －n
； （2）（a b
）n ＝a n b －n
.
3、计算：(1)3132)(y x y x -- （2）32232)()2(b a c ab ---÷
（3）(－3ab －1)3
⑷ (2m 2n －2)2·3m －3n 3
（5）3a －2
b ·2ab －2
（6）4xy 2
z ÷（－2x －2
yz －1
）
五、拓展提高 1、已知3m
＝127，（12
）n ＝16，求m n
的值.
2、若(x －3)0
＋2(3x －6)－2
有意义，求x 的取值范围.
六、课后反思：
（实际用课时）。